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Taller 2 29 de abril de 2010

Juan David Uchuvo Gonz´ alez [email protected] c´ od: 257895 Probabilidad Y Esrad´ıstica Fundamental Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ingenier´ıa Departamento de Sistemas e Industrial Ejercicios Impares Capitulo 2 Secci´ on 2.1 1. La probabilidad de que un microcircuito est´e defectuoso es 0,08. ¿cu´al es la probabilidad de que no est´e defectuoso? P (0 N odef ectuoso0 ) = 1 − P (0 def ectuso0 ) P ( N odef ectuoso0 ) = 1 − 0,08 = 0,92 0

3. Setenta por ciento de las grandes compras hechas a un vendedor de computadoras son PC, 30 % son port´atiles y 10 % son accesorios, como impresoras. Como parte de una auditor´ıa, se elige una muestra aleatoria del registro de compra. a) ¿cu´ al es la probabilidad de que se trate de una computadora personal? P (P C) =

60 100

= 0,6

b)¿cu´ al es la probabilidad de que se trate de una computadora personal o una port´ atil? P (P C ∪ P ortatil) = P (P C) + P (P ortatil) − P (P C ∩ P ortatil) P (P C ∪ P ortatil) = 0,6 + 0,3 − 0 = 0,9 5. Un ingeniero que vigila el control de calidad toma una muestra de cien unidades fabricadas por determinado proceso y encuentra que quince de ellas son defectuosas. Verdadero o falso. a) La probabilidad de que una unidad fabricada por este proceso est´e defectuosa es de 0,15 1

Falso, porque la experiencia s´olo se llevo a cabo con una muestra en la poblaci´ on, y no la totalidad. b) La probabilidad de que una unidad fabricada por este proceso est´e defectuosa se aproxima a 0,15, pero no es exactamente igual a 0,15. Verdadero. 7. Un sistema contiene dos componentes, A y B. El sistema s´olo funcionar´a si ambos componentes funcionan. La probabilidad de que A funcione es de 0,95, de que B funcione es de 0,90 y que ambos funcionen es de 0,88. ¿Cu´al es la probabilidad de que el sistema funcione? P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) P (A ∩ B) = 0,98 + 0,95 − 0,99 = 0,94 9. Verdadero o falso: Si A y B son mutuamente excluyentes. a) P (A ∪ B) = 0 Falso Es f´ acil mostrar un contraejemplo; Sean A y B eventos mutuamente excluyentes P (A) = 0,1 y P (B) = 0,3 ⇒ P (A ∪ B) = 0,1 + 0,3 6= 0 b) P (A ∩ B) = 0 Verdadero como son dos eventos mutuamente excluyentes A ∩ B = ∅, y por el axioma de de probabilidad n´ umero uno podemos comprobar que P (∅) = 0 c) P (A ∪ B) = P (A ∩ B)Falso Podemos tomar como contraejemplo el mismo del primer numeral. d) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Verdadero Axioma tres de probabilidad Secci´ on 2.2 1.Las mol´eculas de ADN constan de secuencias qu´ımicamente enlazadas a las bases adenina, guanina, citosina y tiamina, denotadas por A, G, C, T. Una secuencia de tres bases se llama cod´on a)¿cu´ antos codones diferentes hay? Por regla del producto la cantidad de codones diferentes es: 43 = 64 b) Las bases A y G son purinas, mientras que C y T son pirid´ınicas. ¿cu´antos codones hay cuya primera y tercera base son purinas y cuya tercera base es una pirimid´ınica? Por regla del producto tenemos que como la primera casilla tiene dos opciones diferentes al igual que la segunda y la tercera el n´ umero de codones

2

est´ a dado por: 23 = 8 c)¿cu´ antos codones constan de tres bases diferentes? P (4, 3) = 24 3. Diez ingenieros han solicitado un puesto administrativo en una gran empresa. Se selecionar´ a a cuatro de ellos como finalistas para el puesto. ¿de cu´antas maneras se puede hacer est´ a selecci´on? 10 4




=

10! 4!(10−4)!

= 210

5. Una prueba consta de 15 preguntas. Diez son preguntas verdadero-falso y cinco son de elecci´ on m´ ultiple que tiene cuatro opciones cada una. Un estudiante debe seleccionar una respuesta para cada pregunta. ¿de cu´antas maneras se puede hacer esta prueba? Usando la regla del producto el n´ umero de maneras de realizar la prueba es: = (210 )(45 ) = 1048576 7. Una contrase˜ na de computadora consta de ocho caracteres. a) ¿cu´ antas contrase˜ nas diferentes son posibles si cada caracter puede ser cualquier letra min´ uscula o d´ıgito? (26 + 10)8 = 368 = 2821109907456 b) ¿cu´ antas contrase˜ nas diferentes son posibles si cada caracter puede ser cualquier letra min´ uscula o d´ıgito y al menos un caracter debe ser un d´ıgito? C = 368 − 268 = 2821109907456 − 208827064576 = 2612282842880 c) Un sistema de computadora requeire que las contrase˜ nas contengan al menos un d´ıgito. Si se generan ocho caracteres aleatoriamente y cada uno es igualmente probable de ser cualesquiera de las 26 letras o de los diez d´ıgitos, ¿cu´ al es la probabilidad de que se genere una contrase˜ na v´alida? El total de casos posibles ser´ıa Ω = 368 y los casos favorables al evento los calculamos en el numeral anterior. P (valida) =

368 −268 368

=

2612282842880 2821109907456

= 0, 925976984

9. un caj´ on en un tocador contiene 8 calcetines azules y seis blancos. Un segundo caj´ on contiene cuatro calcetines azules y dos calcetines blancos. Se elige un calcet´ın de cada caj´ on. ¿cu´al es la probabilidad de que combinen? P (Combinen) = P (0 P arBlanco0 ) + P (0 P arAzul0 )

3

Luego, primero hallamos las probabilidades de que combinen por separado: 8 P (0 P arBlanco0 ) = ( 47 )( 46 ) = 21 3 2 1 P (0 P arAzul0 ) = ( 7 )( 6 ) = 7 8 77 P (P ar0 ) = 21 + 17 = 147 = 0, 523809524

Secci´ on 2.3 1.Una caja contiene diez fusibles. Ocho de ellos est´an tasados a 10A y los otros dos est´ an tasados en 15A. Se seleccionan dos fusibles aleatoriamente. a)¿cu´ al es la probabilidad de que el primer fusibles est´e tasado en 15A? P (15A) =

2 10

b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el segundo fusible est´e tasado en 15A, dado que el primer fusible est´e tasado en 10A? Por el diagrama de ´ arbol: P (15Asegunda |10Aprimera ) =

2 9

c)¿cu´ al es la probabilidad de que el segundo fusible est´e tasado en 15A? Tambi´en por el diagrama de ´arbol: P (15Asegunda |15Aprimera ) =

1 9

3. Un d´ıa de una graduaci´ on de una gran universidad, se selecciona aleatoriamente un graduado. Sea A el evento que el estudiante est´a por terminar ingenieria y sea B el evento que el estudiante tom´o un curso de c´alculo en la universidad. ¿qu´e probabilidad es mayor P (B|A) o P (A|B)? P (B|A) > P (A|B), porque algui´en que este terminando la carrera de ingenieria tiene que haber tomado necesariamente un curso de c´alculo, mientras que cualquiera que halla tomado un curso de c´alculo no necesariamente es ingeniero. 5. Los pozos de petr´ oleo perforados en la regi´o A tienen una probabilidad de 0,2 de producir. Los pozos perforados en la regi´on B tienen una probabilidad de 0,09. Se perfora un pozo en cada regi´on. Suponga que los pozos producen de manera independiente. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que ambos pozos produzcan? P (AmbosP roduzcan) = P (A ∩ B) P (A ∩ B) = P (B)P (A|B) = P (A)P (B) = (0,2)(0,09) = 0,018 b)¿Cu´ al es la probabilidad de que ninguno produzca? P ((A ∪ B)c ) = 1 − P (A ∪ B) = 0,728 c) La probabilidad de que al menos uno produzca estara dada por:

4

1 − P (ningunoproduzca) = 1 − 0,728 = 0,272 7. En el proceso de producci´on de v´alvulas de motor, ´estas se someten a un primer rectificado. La v´ alvulas cuyos espesores est´an dentro de la especificaci´ on est´ an listas para la instalaci´on. Las valvulas cuyos espesores est´an arriba de la especificaci´ on se rectifican, mientras que aquellas que est´an por debajo se deshechan. Suponga que despu´es del primer rectificado, 70 % de las v´alvulas satisfacen la especificaci´ on, 20 % es nuevamente rectificado y el 10 % se deshecha. Adem´ as suponga que de las v´ alvulas que son nuevamente rectificadas, 90 % satisface la especificaci´ on y 10 % se deshecha. a) Determine la probabilidad de que la v´alvula se rectifique s´olo una vez. P (0 U nSoloRectif icado0 ) = P (0 AbajodelaEspecif icaci´ on0 )+P (0 DentrodelaEspecicaci´ on0 ) 0 P ( U nSoloRectif icado ) = 0,7 + 0,1 = 0,8 0

b) Dado que la v´ alvula se hace s´olo una vez ¿cu´al es la probabilidad de que se desheche? P (Deseche|Rectc ) =

P (Deseche∩Rectc ) P (Rectc )

=

0,1 0,8

= 0,125

c) Determine la probabilidad de que se deseche la v´alvula P (0 Deseche0 ) = P (Deseche ∩ Rectc ) + P (Deseche ∩ Rect) P ( Deseche0 ) = 0,1 + P (Deseche|Rect)P (Rect) = 0,1 + (0,1)(0,2) = 0,12 0

d) Dado que una v´ alvula se desecha, ¿cu´al es la probabilidad de que se rectifique dos veces? La probabilidad de que se deseche la hallamos en el literal anterior y la probabilidad de la interseccion la vemos en el diagrama de ´arbol: P (0 Rect|Deshecha0 ) = P (0 Rect|Deshecha0 ) =

0,02 0,12

P (Rect∩Desecha) P (0 Deseche0 )

= 0,16667

e) Determine la probabilidad de que la v´alvula satisfaga la especificaci´on (despu´es de la primera o segunda rectificaci´on) P (0 Bien0 ) = P (0 Bien ∩ Rectc ) + P (0 Bien0 |0 Rect0 ) P ( Bien0 ) = 0,7 + (0,2)(0,9) = 0,88 0

f ) Dado que la v´ alvula satisface la especificaci´on (despu´es de la primera o segunda rectificaci´ on), ¿cu´ al es la probabilidad de que se haya rectificado dos veces? P (0 Rect0 ∩0 Bien0 ) P (0 Bien0 ) 0,018 0,88 = 0,2045

P (0 Rect0 |0 Bien0 ) = P (0 Rect0 |0 Bien0 ) =

g) Dado que un v´ alvula satisface la especificaci´on, ¿cu´al es la probabilidad

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de que se haya rectificado una vez? P (0 Rectc |Bien0 ) = P (0 Rectc |Bien0 ) =

0,7 0,88

P (0 Rectc ∩Bien0 ) P (0 Bien0 )

= 0,795

9. Un sistema de aspersi´ on autom´atico especial tiene dos tipos diferentes de dispositivos de activaci´ on de regadera. Un tipo tiene una confiabilidad de 0,9; es decir la probabilidad de que se active cuando debe el aspersor es de 0,9. El otro tipo que opera independiente del primer tipo, tiene una confiabilidad de 0,8. Si se dispara cualquier dispositivo, el aspersor se activar´a. Suponga que empieza un fuego cerca de una regadera. a) ¿cu´ al es la probabilidad de que la regadera se active? Como ambos dispositivos son independientes P (A ∩ B) = P (A)P (B), entonces: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) P (A ∪ B) = 0,9 + 0,8 − (0,9)(0,8) = 0,98 b) ¿cu´ al es la probabilidad de que la regadera no se active? Para resolver est´e literal utiliz´o el siguiente hecho: ’Si A y B son eventos independientes entonces Ac y B c tambi´en son eventos independientes’, que ser´ a mostrado en un punto posterior. Se tiene por Morgan que: P ((A ∪ B)c ) = P (Ac ∩ B c ) Adem´ as por el hecho ya mencionado: P (Ac ∩ B c ) = P (Ac )P (B c ) = (0,2)(0,1) = 0,02 c) ¿cu´ al es la probabulidad de que ambos dispositivos de activaci´on trabajen adecuadamente? P (A ∩ B) = P (A)P (B) = 0,72 d) ¿cu´ al es la probabilidad de que s´olo el dispositivo con 0,9 de confiabilidad trabaje adecuadamente? P (A ∩ B c ) = P (A)P (B c ) = (0,9)(1 − 0,8) = 0,18 11. Las centrales nucleares tienen componentes superfluos en sistemas importantes para reducir la probabilidad de fallas catastr´oficas. Suponga que una planta tiene dos sistemas de medici´on del nivel de refigerante en el n´ ucleo del reactor y que cada sistema de medici´on tiene una probabilidad de 0,01 de fallar. Suponga que una causa potencial para que el sistema de mediciones falle es que los cables el´ectricos que conducen del centro a la sala de control donde se ubican los sistemas de medici´on podr´ıan quemarse. Algui´en desea calcular la probabilidad de que ambos sistemas fallen y hace el c´alculo siguiente:

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P (AmbosF allan) = P (P rimeroF alla)P (SegundoF alla) = (0,01)(0,01) = 0,0001 a) ¿Qu´e suposici´ on se debe hacer en est´e calculo? Para que el c´ alculo sea correcto se debe suponer que los sistemas son independientes, porque P (A)P (B|A) = P (A ∩ B) y P (B|A) = P (B) s´olo cuando son eventos independientes. b) Explique por qu´e esta suposici´on probablemente no est´a justificada en este caso. Porque cuando los cables el´ectricos fallan es probable que ambos fallen, entonces no son independientes. c) ¿Es la probabilidad 0,0001 posiblemente demasiado alta o demasiado baja? Demasiado baja! 13. Un lote de diez componetes contiene tres que est´an defectuosos. Se extraen aleatoriamente dos componentes y se evaluan. Sea A el evento de que el primer componente extra´ıdo est´e defectuoso y sea B el evento de que el segundo tambi´en lo est´e. a) Determine P (A). P (A) =

3 10

b) Determine P (B|A). P (B|A) =

2 9

c) Determine P (B ∩ A). 3 )( 29 ) = P (A ∩ B) = P (B|A)P (A) = ( 10

6 90

=

1 15

d) Determine P (Ac ∩ B). 7 P (A ∩ B) = P (B|Ac )P (Ac ) = ( 10 )( 39 ) =

7 30

e) Determine P (B). P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ac ) =

1 15

+

7 30

=

3 10

f ) Son A y B independientes? No, porque la probabilidad de B es diferente a la probabilidad de B|A.

7

15. En un lote de componentes, 30 % est´a defectuoso. Se extraen aleatoriamente dos componetes y se evaluan. Sea A el evento de que el primer componente extra´ıdo est´e defectuoso, y sea B el evento de que el segundo tambi´en lo est´e. ¿para qu´ a tama˜ no de lote n serian A y B cercanamente independientes n = 10 o n = 1000?. n = 1000, porque 21. Un sistema contiene dos componentes C y D. Conectados en paralelo, suponga que C y D funcionan de manera independiente para que el sistema funcione, debe funcionar C o D. a) Si la probabilidad de que C falle es 0,08 y la probabilidad de que D falle es de 0,12, encuentra la probabilidad de que el sistema funcione. P (F uncione) = P ((C ∩ D)c ) = P (C c ∪ Dc ) Secci´ on 2.4 1. Determine si cada una de las siguientes variables aleatorias es discreta o continua. a) El n´ umero de caras en 100 lanzamientos a ‘cara’ o ‘cruz’ de una moneda. Discreta b) La longitud de una varilla elegida aleatoriamente de la producci´on de un d´ıa. Continua c) El puntaje del exam´en final de un estudiante elegido aleatoriamente de la clase de estad´ıstica de ingenier´ıa del u ´ltimo semestre. Discreta d) La edad de un estudiante elegido aleatoriamente de la escuela de minas de Colorado. Continua e) La edad que tendr´ a un estudiante de la escuela de minas de Colorado, elegida aletoriamente en su p´ oximo cumplea˜ nos. Discreta 3. Una compa˜ n´ıa de materiales qu´ımicos env´ıa cierto disolvente en tambores de diez galones. Sea X el n´ umero de tambores pedidos por un cliente elegido aleatoriamente. Suponga que X tiene la siguiente funci´on de masa de probabilidad: x p(x)

1 0,4

2 0,2

3 0,2

4 0,1

5 0,1

a) Determine la medida del n´ umero de tambores ordenados. µx = (0,4)(1) + (0,2)(2) + (0,2)(3) + (0,1)(4) + (0,1)(5) = 2,3

8

σx2

b)X Determine la varianza del n´ umero de tambores ordenados. 2 2 = x P (X = x) − µ x x

σx2 = (0,4)(1) + (0,2)(4) + (0,2)(9) + (0,1)(16) + (0,1)(25) − 5,29 = 1,81 c)p Determine on est´andar del n´ umero de tambores ordenados. √ la desviaci´ σx = σx2 = 1,81 = 1,345 d) Sea Y el n´ umero de galones ordenados. Determine la funci´on masa de probabilidad de Y. y 10 20 30 40 50 p(y) 0,4 0,2 0,2 0,1 0,1 e) Determine la media del n´ umero de galones ordenados. µy = (0,4)(10) + (0,2)(20) + (0,2)(30) + (0,1)(40) + (0,1)(50) = 23 f )X Determine la varianza del n´ umero de galones ordenados. y 2 P (Y = y) − µ2 y σy2 = y

σy2 = (0,4)(100) + (0,2)(400) + (0,2)(900) + (0,1)(1600) + (0,1)(2500) − 529 = 181 g)q Determine la desviaci´ on est´andar del n´ umero de galones ordenados. √ 2 σy = σy = 181 = 13, 45 5. Cierto tipo de componente est´a empaquetado en lotes de cuatro, Sea X el n´ umero de componentes que funcionan de modo adecuado en un lote elegido de manera aleatoria. Suponga que la probabilidad de que exactamente x compontentes funcionen es proporcional a x; en otras palabras suponga que la funci´on de masa de probabilidad de X es dada por:  cx x = 1, 2, 3o4 p(x) = 0 de otro modo donde c es una constante. a) Determine el calor de la constante c para que p(x) sea una funci´on de masa de Xprobabilidad. cx = 1 x

c + 2c + 3c + 4c = 1 c(1 + 2 + 3 + 4) = 1 10c = 1 c = 0,1 b) Determine P (X = 2). P (X = 2) = (0,1)(2) = 0,2 c) Determine la media del n´ umero de componentes que funcionan adecuadamente. µx = 1P (X = 1) + 2P (X = 2) + 3P (X = 3) + 4P (X = 4) µx = 0,1 + 0,4 + 0,9 + 1,6 = 3

9

d) Determine la varianza del n´ umero de componentes que funcionan adecuadamente. X σx2 = x2 P (X = x) − µ2 x x

σx2 = (1)(0,1) + (4)(0,2) + (9)(0,3) + (16)(0,4) − 9 = 1 e) Determine la desviaci´ on est´andar del n´ umero de componentes que funcionanpadecuadamente. √ σx = σx2 = 1 = 1 7. En 100 d´ıas diferentes, un ingeniero especializado en el tr´ansito de autom´ oviles cuenta el n´ umero de ´estos que pasan por cierto crucero entre las 5:00 y las 5:05 p.m. Los resultados se presentan en la tabla siguiente N´ umero de autom´ oviles N´ umero de d´ıas Proporci´on de d´ıas 0 36 0,36 1 28 0,28 2 15 0,15 3 10 0,10 4 7 0,07 5 4 0,04 a) Sea X el n´ umero de autom´oviles que pasan por el crucero entre las 5:00 y 5:05 p.m. en un d´ıa elegido aleatoriamente. Algui´en suguiere que para cualquier entero positivo x, la masa de probabilidad de X es p1 (x) = (0,2)(0,8)x . Usando esta funci´ on, calcule P (X = x) para valores de x de 0 a 5 inclusive. P (X = 0) = (0,2)(0,8)0 = 0,2 P (X = 1) = (0,2)(0,8)1 = 0,16 P (X = 2) = (0,2)(0,8)2 = 0,128 P (X = 3) = (0,2)(0,8)3 = 0,1024 P (X = 4) = (0,2)(0,8)4 = 0,0819 P (X = 5) = (0,2)(0,8)5 = 0,0655 b) Otra persona sugiere que para cualquier entero positivo x, la funci´on de masa probabilidad es p2 (x) = (0,4)(0,6)x . Usando esta funci´on, calcule P (X = x) para valores de x de 0 a 5 inclusive. P (X = 0) = (0,4)(0,6))0 = 0,4 P (X = 1) = (0,4)(0,6)1 = 0,24 P (X = 2) = (0,4)(0,6)2 = 0,144 P (X = 3) = (0,4)(0,6)3 = 0,0864 P (X = 4) = (0,4)(0,6)4 = 0,0518 P (X = 5) = (0,4)(0,6)5 = 0,0311 c) Compare los resultados, con los de la tabla ¿cu´al funci´on de masa de probabilidad parece se mejor modelo? Parece ser mejor modelo p2 (x) las probabilidades se acercan m´as... d) Algui´en dice que ninguna de las funciones es buen modelo ya que ninguna coincide exactamente con los datos. ¿esto es correcto? No ya que estamos trabajando sobre una muestra y una muestra no refleja ex-

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actamente lo que pasa en la poblaci´on. 8. Se seleccionan aleatoriamente chips de microprocesadores uno tras otro de una gran poblaci´ on y se prueban para determinar si son aceptables para determinada aplicaci´ on. El 90 % de los chips de la poblaci´on es aceptable. a) ¿cu´ al es la probabilidad de que el primer chip elegido sea aceptable? b) ¿cu´ al es la probabilidad de que el primer chip elegido sea inaceptable y el segundo aceptable? c) Sea X el n´ umero de chips que se prueba hasta incluir el primer chip aceptable. Determine P (X = 3). 9. Con referencia al ejercicio 8, sea Y el n´ umero de chips probados hasta incluis el segundo chip aceptable. a) ¿cu´ al es el valor m´ as peque˜ no posible de Y? b) ¿cu´ al es la probabilidad de que Y tome ese valor? c) Sea X el n´ umero de chips que se prueba hasta incluir el primer chip aceptable. Determine P(Y=3 — X=1). d) Determine P(Y=3 — X=2) e) Determine P(Y=3) 11. La hidrogenaci´ on del benceno para el ciclohexano es promovida con un catalizador de n´ıquel divido en poros finos. El catalizador de part´ıculas se puede considerar como esferas de diferentes tama˜ nos . Todas las part´ıculas tienen masas entre 10 y 70µg. Sea X la masa de una part´ıcula elegida aleatoriamente. la funci´ o(n de densidad de probabilidad de X est´a dada por x − 10 10¡x¡70 f (x) = 1800 0 de otro modo a) ¿cu´ al es la proporci´ on de part´ıculas que tiene una masa menor a 50? Z 50 x2 − 20x x − 10 P (X < 50) = dx = = 0,444 1800 3600 10 b) Determine la media de las masas de las part´ıculas. c) Determine la desviaci´ on est´andar de las masas de las part´ıculas. d) Determine la funci´ on de distribuci´on acumulativa de las masas de las part´ıculas. e) Determine la mediana de las masas de las part´ıculas. 13. Una masa radiactiva emite part´ıculas de tiempo peri´odicamente. El tiempo entre dos emisiones es aleatorio. Sea T el tiempo en segundos entre dos emisiones. Suponga que la funci´ on densidad de probabilidad de T es dada por a) Determine la media del tiempo entre dos emisiones. b) Determine la desviaci´ on est´andar del tiempo entre emisiones. c) Determine la funci´ on de distribuci´on acumulativa del tiempo entre dos emisiones. d) Determine la probabilidad de que el tiempo entre emisones sea menor a diez segundos. e) Determine la mediana del tiempo entre emisones. f ) Determine el 90avo percentil de los tiempos entre emisiones.

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15. Con referencia al ejercicio 14, un proceso competidor produce anullos cuyos di´ ametros (en cent´ımetros) var´ıan de acuerdo con la funci´on de densidad de probabilidad las especificaciones pedidas para el di´ametro son 10.0 0.1cm. ¿qu´e proceso es mejor, ´este o el del ejercicio 14?. 17. Un cient´ıfico ecologista esta preocupado por la tasa a la que se absorve cierta soluci´ on t´ oxica en la piel. Sea X el volumen en microlitros de la soluci´on absorvida por 1 pulg de piel en 1 min. Suponga que la funci´on densidad de probabilidad de X se aproxima bien por la funci´ on f(x)=(2sqrt(2pi)− 1e− x − 102 /8, def inidade a) Determine la media del volumen absorvido en un minuto b) Determine la desviaci´ on est´andar del volumen absorvido en 1 min. Solucion Ejercicios cap´ıtulo 2 del libro de Decking 2.1 Let A and B be two events in a sample space for which P (A) = 2/3, P (B) = 1/6, and P (A ∩ B) = 1/9. What is P (A ∪ B)? 13 P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) P (A ∪ B) = 32 + 61 − 19 = 18 2.2 Let E and F be two events for which one knows that the probability that at least one of them occurs is 3/4. What is the probability that neither E nor F occurs? P (E c ∩ F c ) E c ∩ F c = (E ∪ F )c P (E c ∩ F c ) = P ((E ∪ F )c ) = 1 − P (E ∪ F ) P (E c ∩ F c ) = 1 − 34 = 14 2.3 Let C and D be two events for which one knows that P (C) = 0,3, P (D) = 0,4, and P (C ∩ D) = 0,2. What is P (C c ∩ D)? P (C c ∩ D) P (D) − P (C ∩ D) = P (C c ∩ D) = 0,4 − 0,2 = 0,2 2.4 Cierto Haciendo el diagrama de Venn, para los 2 casos, se obtiene que son iguales.

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2.5 Demostrar que si B ⊂ A → (P (A/B) = P (A) − P (B)): Si tenemos el conjunto A/B tenemos que: ∀x ∈ A/B, x ∈ A ∧ x 6∈ B Luego al calcular P (A/B), estamos calculando P (x ∈ A ∧ x 6∈ B) que mas formalmente seria: P (A ∩ B c ) = P (A) + P (B c ) − P (A ∪ B c ) = P (A) + (1 − P (B)) − 1 Este ultimo -1 viene de que la probabilidad de A ∪ B c es la misma que la de P (Ω) que es igual a 1. Luego, haciendo la resta se obtiene el resultado deseado: P (A ∩ B c ) = P (A) − P (B)  2.6 a)La probabilidad buscada es: P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) =

1 1 1 3 + − = 3 2 4 12

b) P (Ac ∪ B c ) = = = = =

P (Ac ) + P (B c ) − P (Ac ∪ B c ) 1 − P (A) + (1 − P (B)) − (1 − P (A ∩ B)) 1 1 − 13 + 1 − 21 − 1 + 12 2 1 12 1 3 + 2 − 12 + 12 1 4

2.7 Nos estan preguntando cual es P (A4B)(la probabilidad de la diferencia simetrica entre A y B), esta esta dada por: P (A 4 B) = 0,4 + 0,5 − 2(0,1) = 0,7 2.8 Sea D1 = Desastre 1 y D2 = Desastre 2; se nos pregunta por P (D1 ∪ D2 ) y por P (D1 ∩ D2 ), ademas se nos da las desigualdades: P (D1 ) ≤ 10−6 y P (D2 ) ≤ 10−6 , luego P (D1 ∪ D2 ) ≤ P (D1 ) + P (D2 ) = 2 ∗ 10−6 , el igual se debe a que D1 puede ser igual a D2 . Ahora para que ocurran los 2 desastres: P (D1 ∩ D2 ) ≤ m´ın{P (D1 , P (D2 )} = 10−6 , el igual se tiene ya que puede pasar que D1 ∩ D2 = ∅ 2.9 a) A = {T T H, T HT, HT T } B = {T T H, T HT, T T T, HT T } C = {HT H, HHT, HT T } D = T HH, T T H, T HT, T T T b) AC = {HHH, T HH, HT H, HHT, T T T } A ∪ (C ∩ D) = {T T H, T HT, T T T, HT T } = A, ya que C ∩ D = ∅. A ∩ Dc = {HT T } 2.10 C = A 4 B, luego C = (A ∪ B)/(A ∩ B) = (Ac ∩ B c ) ∩ (A ∪ B), se puede comprobar haciendo el diagrama de Venn correspondiente. 2.11 Se tiene que cumplir que p2 +p = 1, ya qye sin las 2 unicas posibles salidas, luego, al obtener las raices de la ecuacion: p2 + p − 1 = 0 13

Se obtiene que: p=

−1 ±

p

12 − 4(1)(−1) −1 + = 2 2

√

5

−1 − ∨ 2

√

5

Descartamos, la negativa ya que una probabilidad no puede ser negativa, luego √ p = −1+2 5 1 1 2.12 a) La probabilidad de un evento sera: 10! = 3628800 . Ya que para la primera pocision tenemos 10 posibilidades, luego para la siguiente 9, y asi sucesivamente... b) El primer grupo puede ser organizado de 5! y el segundo tambien, luego por regla del producto tememos que la cantidad total de salidas para este evento sera 5!2 c) Uniendo los resultados anteriores, y teniendo en cuenta que en un partido se puede ser local o visitante (25 ), tenemos que: P (DreamM atch) =

32(5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2) 42 ∗ 5 8 25 (5!)(5!) = = = ≈ 0,127 10! 6 ∗ 7 ∗ 8 ∗ 9 ∗ 10 7 ∗ 9 ∗ 10 63

2.13 a)

4 b) P (C) = 16 = 41 , el evento “C es escojido”, significa que se saca un “C”, dejando para la otra sacada como posibles candidatos a: d, b, a.

2.14

14

2.15 Como se vio en clase, y como muestra los diagramas de Venn correspondientes:

P (A∪B∪C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (C∩B)+P (A∩B∩C) En el caso General para n variables se tiene: P(

n [

i=1

Ei ) =

n X

P (Ei )−

X

n X \ P (∩2Eventos)+ P (∩3Eventos)+...+(−1)n+1 P ( Ei )

i=1

i=1

Es decir, es la suma de todas las probabilidades , y se le va sumando o restando, dependiendo de que n sea, la interseccion de las probabilidades. 2.16 Ya que los 3 eventos son disyuntos, y la suma de las 3 probabilidades es 1. Se deduce que: P (E) = P (E ∩ G) + P (E ∩ F ) =

1 1 2 + = 3 3 3

2.17 Lo mas prudente seria tomar todos los clientes de las 2 filas, ya que se puede dar el caso, de que todos hagan la fila para comprar sellos... 2.18 2.19 a) Ya que pueden pasar cualquier cantidad de veces antes de la segunda cara, el espacio muestral es Ω = 2, 3, 4, .... = N\{1} b) La probabilidad es: P (5) = (1 − p)3 4p2

15