• Author / Uploaded
• Juan F Rojas

Citation preview

TALLER MÉTODOS NUMÉRICOS Fecha de envío : febrero 19 de 2018

Ing. Matilde Montealegre Madero, MSc. Fecha de entrega: Sustentación 5 de marzo de 2018.

1. Pruebe que las series dadas para las siguientes funciones f(x) o f(y) son un caso especial de las series de Taylor dadas las condiciones especiales cuando xi = 0 y h = x o yi = 0 y h=y. Recuerda: La serie de Taylor está dada para h = xi +1 − xi por: f ( xi +1 ) ≅ f ( xi ) + f '( xi )( xi +1 − xi ) +

f ''( xi ) f '''( xi ) f ( n ) ( xi ) ( xi +1 − xi ) 2 + ( xi +1 − xi )3 + ... + ( xi +1 − xi ) n + Rn 2! 3! n!

a) La serie de Maclaurin ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 1 − ‫ ݔ‬+

௫మ ଶ!

−

௫య ଷ!

+

௫ర ସ

−

௫ఱ ହ!

+

௫ల ଺!

− ⋯+

௫೙ ௡!

Ha sido usada para aproximar la

−x

función f ( x) = e . Pruebe que esta serie es un caso especial de las series de Taylor con xi = 0 y h = x . b) La serie de Maclaurin ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 1 + ‫ ݔ‬+

௫మ ଶ!

+

௫య ଷ!

+

௫ర ସ

+

௫ఱ ହ!

+

௫ల ଺!

−⋯+

௫೙ ௡!

ha sido usada para aproximar e x .

Pruebe que esta serie es un caso especial de las series de Taylor con xi = 0 y h = x c) El coseno hiperbólico de un número real fórmula: coshሺ‫ݔ‬ሻ =

௘ ೣ ା௘ షೣ ଶ

, que se designa mediante coshሺ‫ݔ‬ሻ, está definido mediante la

. Utilice las series generadas en a y b y reemplace en la fórmula para obtener una

aproximación de la función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = coshሺ‫ݔ‬ሻ. d) El seno hiperbólico de un número real x, que se designa mediante senh(x) está definido mediante la fórmula

senhሺ‫ݔ‬ሻ =

௘ ೣ ି௘ షೣ ଶ

. Utilice las series generadas en a y b y reemplace en la fórmula para obtener una

aproximación de la función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = senhሺ‫ݔ‬ሻ. x3 x5 x 7 x9 x 2 x 4 x 6 x8 + − + − ... y f ( x) = cos( x) = 1 − + − + − ... si x está 3! 5! 7! 9! 2! 4! 6! 8! dada en radianes, han sido usadas para aproximar las funciones sen(x) y cos(x). Pruebe que estas series son un caso especial de las series de Taylor con xi = 0 y h = x e) Las series de Maclaurin f ( x) = x −

f) Utilice las series de Taylor con xi = 0 y h = x para encontrar las formulas a la función f ( x) = e 2 x . g) Utilice las series de Taylor con yi = 0 y h = y para encontrar las fórmulas de las siguientes funciones: Genere hasta n=7. **

**

f ( y ) = ln(1 + y )

f ( y) = e− y

** f ( y ) =

Rta:

y 2 y3 y 4 (−1) n y n +1 f ( y ) = y − + − + ... 2 3 4 n +1

2

y −2 2