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Taller 1 María Camila Montoya Giraldo – azul Brandon Ferney López Méndez - negro Steffany Monsalve barragán- amarillo Silvia Fernanda Tobo Ortiz – Blanco

Profesor: Alexander Reatiga Villamizar

Universidad Industrial de Santander Bucaramanga 2020

Contenido DESINTEGRACION RADIOACTIVA.......................................................................................................................... 3 EJERCICIO 8 ....................................................................................................................................................... 3 FECHADO POR CARBONO ..................................................................................................................................... 5 EJERCICIO 12 ..................................................................................................................................................... 5 CIRCUITOS EN RC .................................................................................................................................................. 7 EJERCICIO 34 ..................................................................................................................................................... 7 RESISTENCIA AL AIRE ............................................................................................................................................ 9 EJERCICIO 36 ..................................................................................................................................................... 9 MODELO POBLACIONAL ...................................................................................................................................... 11 EJERCICIO 41 ................................................................................................................................................... 11 MODELO POBLACINAL ........................................................................................................................................ 11 EJERCICIO 41 ................................................................................................................................................... 11 REFERENCIAS; ..................................................................................................................................................... 12

DESINTEGRACION RADIOACTIVA EJERCICIO 8 A. Considere el problema de valor inicial da/dt= kA,A(0)= A0, como el modelo de decaimiento de una sustancia radioactiva muestre que, en general, la vida T media de la sustancia es T=(-ln2)/k

Tenemos que por variables separables 𝑑𝐴 = 𝑘𝐴 𝑑𝑡 ∫

𝑑𝑎 = ∫ 𝑘 𝑑𝑡 𝐴

ln(𝐴) = 𝐾𝑡 + 𝐶 𝐴 = 𝑒 𝐾𝑡 𝑒 𝐶

𝑨 = 𝑪𝒆𝒌𝒕

𝐴(0) = 𝐶𝑒 𝑘(0)

𝐴o = C

Ahora resolviendo el inciso a)

1 𝐴(𝑇) = 𝐴o𝐶𝑒 𝑘𝑡 = 𝐴0 2 Despejando T 𝑒 𝑘𝑡 =

1 2

𝑘𝑇 = ln(1) − ln(2) 𝐾𝑇 = − ln(2) Aquí comprobamos la vida media en el inciso a) 𝑻=

−𝐥𝐧(𝟐) 𝒌

B. Muestre que la solución del problema de valor inicial dado en el inciso a) se puede escribir como A(t)=A02^-t/T Despejando K de la ecuación anterior

𝑲=

−𝐥𝐧(𝟐) 𝑻

𝐴(𝑡) = 𝐴𝑜𝑒 𝐾𝑡 𝐴(𝑡) = 𝐴𝑜𝑒

−𝑙𝑛2 𝑇 𝑡

Por propiedades de logaritmos el ln quedara de la siguiente manera

𝐴(𝑡) = 𝐴𝑜𝑒 (𝑙𝑛2)

−t/T

Exponencial y logaritmo natural se cancelan

𝑨(𝒕) = 𝑨𝒐𝟐−𝒕/𝑻

C. Si una sustancia radiactiva tiene la vida media T dada en el inciso a), ¿cuánto le tomará a la cantidad inicial A0 de la sustancia en decaer a 1/8 Ao

1 𝐴𝑜 = 𝐴𝑜2−𝑡/𝑇 8

1 = 2−𝑡/𝑇 8

Tenemos que 1/8 es igual a 2−3 = 2−𝑡/𝑇

Para que la ecuación se cumpla los exponentes también deben ser iguales entonces:

−3 =

−𝑡 𝑇

Le tomara tres veces el tiempo de vida media.

𝒕 = 𝟑𝑻

FECHADO POR CARBONO EJERCICIO 12 Muchas personas creen que el sudario de Turín, que muestra la imagen negativa del cuerpo de un hombre aparentemente crucificado, fue el manto mortuorio de Jesús de Nazaret. En 1998, el Vaticano concedió el permiso para que se investigara su antigüedad mediante el fechado por carbono. Tres laboratorios científicos independientes analizaron las telas y concluyeron que el sudario tenia aproximadamente 660 años de antigüedad, una edad que concordaba con su aparición histórica. Con base a esta edad, determine cual es el porcentaje de la cantidad original de c-14 que permanecía en tela hasta 1998.

Planteamos el problema de valor inicial

𝑑𝑀 = −𝑘𝑀 𝑑𝑡

𝑀(0) = 𝑀𝑜

Utilizamos el método de separación de variables:

𝑑𝑀 = −𝑘𝑑𝑡 𝑀 Integramos:

∫

𝑑𝑀 = ∫ −𝑘𝑑𝑡 = 𝐿𝑛𝑀 = −𝑘𝑡 + 𝑐 𝑀

Para despejar M:

𝑒 𝐿𝑛𝑀 = 𝑒 −𝑘𝑡+𝑐

𝑀 = 𝑒 −𝑘𝑡 ∙ 𝑒 𝑐

𝑀 = 𝑐𝑒 −𝑘𝑡

Aplicamos la condición inicial para encontrar c y tomamos la vida media del C-14 como:

𝐾=

𝐿𝑛2 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝐶 − 14 𝑒𝑠 5730 5730

Entonces: 𝑙𝑛2

𝑀𝑜 = 𝑐𝑒 −5730 ∙0 = 𝑀𝑜 = 𝑐𝑒 0 =

𝑀𝑜 = 𝑐

El modelo sería:

𝑀 = 𝑀𝑜 𝑒 −𝑘𝑡 Teniendo en cuenta el estudio de laboratorio, reemplazamos t=660 en la ecuación.

𝑙𝑛2

𝑀 = 𝑀𝑜 𝑒 −5730 ∙660 = 0,07983 Ese valor sería la cantidad de carbono que se ha perdido, para obtener la que hay en el año 1998 sería

1 − 0,07983 = 0,9201 Es decir, en el 1998 se conserva el 92,01% de C-14 original.

CIRCUITOS EN RC EJERCICIO 34 Suponga que un circuito RC en serie tiene un resistor variable. Si en el tiempo t la resistencia está dada por R=K1+K2t k1 , donde k1 y k2 se conocen como constantes positivas, entonces (9) se convierte en

(𝑘1 + 𝑘2𝑡)

𝑑𝑞 𝑑𝑡

1

+ 𝑞 = 𝐸(𝑡) 𝐶

Si E(t) y q(0)=qo Donde Eo y qo son constantes, demuestre que

Si E(t)=Eo y (qo-EoC) (

𝑘1

𝑘1+𝑘2𝑡

)1/𝑐𝑘2

La ecuación diferencial para el circuito Rc se da como (𝑘1 + 𝑘2𝑡)

𝑑𝑞 1 + 𝑞 = 𝐸(𝑡) 𝑑𝑡 𝐶

Donde 𝐸 = 𝐸(𝑡) Ahora dividimos todo entre (𝑘1 + 𝑘2𝑡) para dejarlo de la forma general

𝑑𝑞 1 𝐸 (𝑡 ) + 𝑞= (𝑘1 + 𝑘2𝑡) 𝑑𝑡 𝐶 (𝑘1 + 𝑘2𝑡) Asi el factor de integración seria 1 ∫ 𝐶(𝑘1+𝑘2𝑡) 𝑒 1 𝑐𝑘2 𝑒 ln(𝑘1+𝑘2𝑡)

𝑒 ln(𝑘1+𝑘2𝑡)

1/𝑐𝑘2

µ = (𝑘1 + 𝑘2𝑡)

1/𝑐𝑘2

Ahora multiplicando la ED por el factor de integración tenemos

(𝑘1 + 𝑘2𝑡)

1 (𝑐𝑘2) 𝑑𝑞

𝑑𝑡

1 +

𝐶

(𝑘1 + 𝑘2𝑡)

1 (𝑐𝑘2)−1

𝑞 = 𝐸𝑜(𝑘1 + 𝑘2𝑡)

1 1 𝑑 ( )−1 ((𝑘1 + 𝑘2𝑡)𝑐𝑘2 𝑞) = 𝐸𝑜(𝑘1 + 𝑘2𝑡) 𝑐𝑘2 𝑑𝑡

(𝑘1 +

1 𝑘2𝑡)𝑐𝑘2 𝑞

= ∫ 𝐸𝑜(𝑘1 + 𝑘2𝑡)

1 𝑐𝑘2 (𝑘1 + 𝑘2𝑡) 𝑞

= 𝐸𝑜𝐶(𝑘1 + 𝑘2𝑡)

𝑞(𝑡) = 𝐸𝑜𝐶 + 𝑐(𝑘1 + 𝑘2𝑡)

−(

(

(

1 )−1 𝑐𝑘2

1 ) 𝑐𝑘2

𝑑𝑡

+𝐶

1 ) 𝑐𝑘2

Ahora aplicando la condición inicial q(0)=qo

𝑞𝑜 =

1 ) −( 𝑐𝑘2 𝐸𝑜𝐶 + 𝑐𝑘1

𝑐=

−(

𝑐𝑘1

1 ) 𝑐𝑘2

= 𝑞𝑜 − 𝐸𝑜𝐶

𝑞𝑜 − 𝐸𝑜𝐶 −(

𝑘1

1 ) 𝑐𝑘2

Ahora se sustituye la constante en la solución obtenida

1

1

( ) ) −( 𝑞(𝑡) = 𝐸𝑜𝐶 + (𝑞𝑜 − 𝐸𝑜𝐶)𝑘1 𝑐𝑘2 (𝑘1 + 𝑘2𝑡) 𝑐𝑘2

Y el resultado sería ya simplificado 𝟏 𝒌𝟏 𝒒(𝒕) = 𝑬𝒐𝑪 + (𝒒𝒐 − 𝑬𝒐𝑪)( )𝒄𝒌𝟐 𝒌𝟏 + 𝒌𝟐𝒕

1 (𝑐𝑘2)−1

RESISTENCIA AL AIRE EJERCICIO 36 Suponga que una bala de cañón que pesa 16 libras e dispara verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de vo=300 ft/s. La respuesta a la pregunta “¿Qué tan alto puede llegar la bala?” depende de si se toma en cuenta la resistencia del aire. A- Suponga que ignoramos la resistencia del aire. Si la dirección positiva es ascendente, entonces el modelo para el estado de la bala de cañón estará dado por el modelo para el estado de la bala de cañón estará dado por

𝑑2 𝑠 𝑑𝑡 2

= −𝑔 . Dado que

La última ecuación diferencial es igual a

𝑑𝑣 𝑑𝑡

𝑑𝑠 𝑑𝑡

= 𝑣 (𝑡).

= −𝑔, de donde tomamos que g=32ft/s^2. Encuentre

la velocidad v (t) de la bala de cañón en el tiempo t. SOLUCIÓN: Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad y la dirección es positiva hacia abajo cuando la bala está en su posición inicial, se puede deducir el modelo para la velocidad:

𝑚

𝑑𝑣 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 𝑑𝑡

Desarrollamos la ecuación diferencial por el método de separación de variables de la siguiente forma:

𝑚

𝑑𝑣 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 𝑑𝑡

𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 𝑚 ln(𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 ) =

𝑡 +𝑐 𝑚 𝑡

𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 = 𝑒 𝑚+𝑐 𝑡

𝑚𝑔 𝑒 𝑚+𝑐 𝑣(𝑡) = − 𝑘 𝑘

𝑚𝑔 𝑐𝑒 𝑡/𝑚 𝑣(𝑡) = − 𝑘 𝑘 Evaluamos en v(0)=0, para obtener el valor de c,

𝑐 = 𝑚𝑔 𝑣(𝑡) =

𝑚𝑔 (1 − 𝑒 𝑡/𝑚 ) 𝑘

Convirtiendo unidades:

𝑘 = 0,5; 𝑚 = 5; 𝑔 = 32 𝑣(𝑡) = 320(1 − 𝑒 5𝑡 ) B- Use el resultado obtenido en el inciso a) para determinar la altura s(t) de la bala de cañón medida desde el nivel del suelo. Encuentre la altura máxima que alcanzo esta bala. Primero integramos v(t): SOLUCIÓN:

∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 320(1 − 𝑒 5𝑡 ) 𝑑𝑡 𝑠(𝑡) = 320𝑡 + 1600𝑒 5𝑡 + 𝑐 Para hallar c, evaluamos en la s(0)=0,

𝒄 = −𝟏𝟔𝟎𝟎, 𝑠(𝑡) = 320𝑡 + 1600𝑒 5𝑡 − 1600 Evaluar en v(0)=

𝑣(𝑡) = 320(1 − 𝑒 5𝑡 ) 0 = 320(1 − 𝑒 5𝑡 ) ln(320) 𝑡= = 1,15𝑠 5 𝑠(𝑡) = 320𝑡 + 1600𝑒 5𝑡 − 1600 𝒔 = 𝟓𝟏𝟎𝟕𝟔𝟗, 𝟏𝟕𝟐𝟓 𝒇𝒕

MODELO POBLACIONAL EJERCICIO 41

MODELO POBLACINAL EJERCICIO 41

𝑑𝑃 𝑑𝑃 = 𝑘1𝑃 − 𝑘2𝑃 = 𝑃(𝑘1 − 𝑘2) → ∫ = ∫(𝑘1 − 𝑘2)𝑑𝑡 → ln(𝑃) = (𝑘1 − 𝑘2)𝑡 + 𝑐 𝑑𝑡 𝑃 𝑃 (𝑡) = 𝑐𝑒 (𝑘1−𝑘2)𝑡

𝒌𝟏 > 𝒌𝟐 𝒌𝟏 − 𝒌𝟐 > 𝟎 Tasa de natalidad mayor a la de mortalidad; la población crece en el tiempo

𝒌𝟏 < 𝒌𝟐 𝒌𝟏 − 𝒌𝟐 < 𝟎 Tasa de natalidad menor a la de mortalidad; la población decrece en el tiempo

𝒌𝟏 = 𝒌𝟐 Tasa de natalidad Igual a la mortalidad; la población se mantiene en el tiempo.

REFERENCIAS; 

Matemáticas avanzadas para ingeniería cuarta edición Deniss Zill