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T2 Ejercicios Y Anexos DEL Texto Analisis Numerico Richard Burden Decima Edicion Análisis Numérico (Universidad Popular del Cesar)

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Capítulo 1 CONJUNTO DE EJERCICIOS 1.1 1.

Muestre que las siguientes ecuaciones tienen por lo menos una solución en los intervalos dados.

2.

a. x cos x − 2x 2 + 3x − 1 = 0, [0.2, 0.3] y [1.2, 1.3] b. (x − 2)2 − ln x = 0, [1, 2] y [ e, 4] c. 2x cos(2x) − (x − 2)2 = 0, [2, 3] y [3, 4] d. x − (ln x)x = 0, [4, 5] Muestre que las siguientes ecuaciones tienen por lo menos una solución en los intervalos dados. √ a. x − cos x = 0, [0, 1] x b. e − x 2 + 3x − 2 = 0, [0, 1] c. −3 tan(2x) + x = 0, [0, 1] d. ln x − x 2 + 52 x − 1 = 0, [ 21 , 1]

3.

Encuentre los intervalos que contienen soluciones para las siguientes dados. a. x − 2−x = 0 b. 2x cos(2x) − (x + 1)2 = 0 c. 3x − e x = 0 d. x + 1 − 2 sen(π x) = 0

4.

Encuentre los intervalos que contienen soluciones para las siguientes ecuaciones. a. x − 3−x = 0 b. 4x 2 − e x = 0 c. x 3 − 2x 2 − 4x + 2 = 0 d. x 3 + 4.001x 2 + 4.002x + 1.101 = 0

5.

Encuentre máx a≤x≤b | f (x)| para las siguientes funciones e intervalos. a. f (x) = (2 − e x + 2x)/3, [0, 1] b. f (x) = (4x − 3)/(x 2 − 2x), [0.5, 1] c. f (x) = 2x cos(2x) − (x − 2)2 , [2, 4] f (x) = 1 + e− cos(x−1) , [1, 2] d.

6.

Encuentre máx a≤x≤b | f (x)| para las siguientes funciones e intervalos. a. b. c. d.

f (x) = 2x/(x 2 + 1), √ f (x) = x 2 (4 − x), f (x) = x 3 − 4x + 2, √ f (x) = x (3 − x 2 ),

[0, 2] [0, 4] [1, 2] [0, 1]

7.

Muestre que f 9(x) es 0 en por lo menos uno de los intervalos dados. a. f (x) = 1 − e x + (e − 1) sen((π/2)x), [0, 1] b. f (x) = (x − 1) tan x + x sen π x, [0, 1] c. f (x) = x sen π x − (x − 2) ln x, [1, 2] d. f (x) = (x − 2) sen x ln(x + 2), [−1, 3]

8.

Suponga que f ∈ C[a, b] y f (x) existe en (a, b). Muestre que si f (x) = 0 para todas las x en (a, b), entonces puede existir p en [a, b] con f(p) = 0. Si f (x) = x 3 . a. Encuentre el segundo polinomio de Taylor P2(x) alrededor de x0 = 0. b. Encuentre R2(0.5) y el error real al utilizar P2(0.5) para aproximar f (0.5). c. Repita la parte a) usando x0 = 1. d. Repita la parte b) usando el polinomio de la parte c).

9.

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Conjunto de ejercicios √ 10. Encuentre √ el tercer de Taylor P3(x) para la función f (x) = x + 1 alrededor de x0 = 0. √ polinomio √ √ Aproxime 0.5, 0.75, 1.25, y 1.5 mediante P3(x) y encuentre los errores reales. 11. Encuentre el segundo polinomio de Taylor P2(x) para la función f (x) = e x cos x alrededor de x0 = 0. a. Use P2(0.5) para aproximar f(0.5). Encuentre un límite superior para el error | f (0.5) − P2 (0.5)| por medio de la fórmula de error y compárela con el error real. b. Encuentre una cota para el error | f (x) − P2 (x)| al usar P2(x) para aproximar f(x) en el intervalo [0, 1]. 1 1 c. Aproxime 0 f (x) d x por medio de 0 P2 (x) d x. 1 d. Encuentre una cota superior para el error en c) usando 0 |R2 (x) d x| y compárela con el error real. 12. Repita el ejercicio 11 usando x0 = π/6. 13. Encuentre el tercer polinomio de Taylor P3(x) para la función f (x) = (x − 1) ln x alrededor de x0 = 1. a. Use P3(0.5) para aproximar f (0.5). Encuentre una cota superior para el error | f (0.5) − P3 (0.5)| por medio de la fórmula de error y compárela con el error real. b. Encuentre una cota para el error | f (x) − P3 (x)| al utilizar P3(x) para aproximar f(x) en el intervalo [0.5, 1.5]. 1.5 1.5 c. Aproxime 0.5 f (x) d x por medio de 0.5 P3 (x) d x. 1.5 d. Encuentre una cota superior para el error en (c) a través de 0.5 |R3 (x) d x| y compárela con el error real. 14. Si f (x) = 2x cos(2x) − (x − 2)2 y x0 = 0. a. Encuentre el tercer polinomio de Taylor P3(x) y utilícelo para aproximar f(0.4). b. Use la fórmula de error en el teorema de Taylor para encontrar una cota superior para el error | f (0.4)− P3 (0.4)|. Calcule el error real. c. Encuentre el cuarto polinomio de Taylor P4(x) y úselo para aproximar f(0.4). d. Utilice la fórmula de error en el teorema de Taylor para encontrar un límite superior para el error | f (0.4)− P4 (0.4)|. Calcule el error real. 2 15. Encuentre el cuarto polinomio de Taylor P4(x) para la función f (x) = xe x alrededor de x0 = 0. a. Encuentre una cota superior para | f (x) − P4 (x)|, para 0 ≤ x ≤ 0.4. 0.4 0.4 b. Aproxime 0 f (x) d x por medio de 0 P4 (x) d x. 0.4 c. Encuentre una cota superior para el error en b) usando 0 P4 (x) d x. d. Aproxime f 9(0.2) usando P4 (0.2) y encuentre el error. 16. Utilice el término error de un polinomio de Taylor para calcular el error implicado al usar sen x ≈ x para aproximar sen 1°. 17. Utilice un polinomio de Taylor alrededor de π/4 para aproximar cos 42° con una precisión de 10−6. 18. Si f (x) = (1 − x)−1 y x0 = 0. Encuentre el n-ésimo polinomio de Taylor Pn(x) para f(x) alrededor de x0. Encuentre un valor de n necesario para Pn(x) para aproximar f(x) dentro de 10−6 en [0, 0.5]. 19. Si f (x) = e x y x0 = 0. Encuentre el n-ésimo polinomio de Taylor Pn(x) para f(x) alrededor de x0. Encuentre un valor de n necesario para que Pn(x) aproxime a f(x) con una precisión de 10−6 en [0,0.5]. 20. Encuentre el n-ésimo polinomio de Maclaurin Pn(x) para f(x) = arctan x. 21. El polinomio P2 (x) = 1 − 21 x 2 se utilizará para aproximar f (x) = cos x en [− 21 , 12 ]. Encuentre una cota para el error máximo. 22. Use el teorema del valor intermedio 1.11 y el teorema de Rolle 1.7 para mostrar que la gráfica de f (x) = x 3 + 2x + k corta al eje x exactamente una vez, independientemente del valor de la constante k. 23. Un polinomio de Maclaurin para ex se utiliza para obtener la aproximación 2.5 para e. La cota del error en esta aproximación se establece como E = 61. Encuentre una cota para el error en E. 24. La función de error definida por

2 erf(x) = √ π

x

2

e−t dt 0

da la probabilidad de que cualquiera de una serie de pruebas se encontrará dentro de las unidades x de la media, suponiendo que las pruebas tienen una distribución normal con una media de 0 y una desviación √ estándar de 2/2. Esta integral no se puede evaluar en términos de funciones elementales, por lo que es preciso usar una técnica de aproximación.

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Capítulo 1 a.

2

Integre la serie de Maclaurin para e−x para mostrar que 2 erf(x) = √ π

b.

d. e. f.

k=0

(−1)k x 2k+1 . (2k + 1)k!

La función de error también se puede expresar en forma 2 2 erf(x) = √ e−x π

c.

∞

∞

k=0

2k x 2k+1 . 1 · 3 · 5 · · · (2k + 1)

Verifique que las dos series concuerdan en k = 1, 2, 3 y 4. [Sugerencia: Use la serie de Maclaurin 2 para e−x .] Use la serie en la parte a) para aproximar erf(1) con una precisión de 10−7. Use el mismo número de términos que se utilizaron en la parte c) para aproximar erf(1) con la serie en la parte b). Explique por qué se presentan dificultades al usar la serie en la parte b) para aproximar erf(x).

EJERCICIOS TEÓRICOS 25. El n-ésimo polinomio de Taylor para una función f en x0 algunas veces recibe el nombre de polinomio de grado a los más n que se aproxima “mejor” a f cerca de x0. a. Explique porqué esta descripción es precisa. b. Encuentre el polinomio cuadrático que se aproxima mejor a la función f cerca de x0 = 1 si la recta tangente en x0 = 1 tiene la ecuación y = 4x − 1 y si f 0 (1) = 6. 26. Pruebe el teorema generalizado de Rolle, teorema 1.10, al verificar lo siguiente. a. Use el teorema de Rolle para mostrar que f 9(zi) = 0 para n − 1 números en [a, b] con a < z1 < z2 < … < zn−1 < b. b. Use el teorema de Rolle para mostrar que f 0(wi) = 0 para n − 2 números en [a, b] con z1 < w1 < z2 < w2 … wn−2 < zn−1 < b. c. Continúe los argumentos en las partes a) y b) para mostrar que para cada j = 1, 2,… , n − 1, existen n − j números distintos en [a, b], en donde f (j) es 0. d. Muestre que la parte c) implica la conclusión del teorema. 27. El ejemplo 3 establecía que para todas las x tenemos | sen x| ≤ |x|. Utilice lo siguiente para verificar esta declaración. a. Muestre que para todas las x ≥ 0, f (x) = x − sen x no disminuye, lo que implica que sen x ≤ x con igualdad, sólo cuando x = 0. b. Use el hecho de que la función seno es impar para obtener la conclusión. 28. Una función f :[a, b] → R se dice que satisface una condición de Lipschitz con constante de Lipschitz L en [a, b] si, para cada x, y ∈ [a, b], tenemos | f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|. a. Muestre que si f satisface una condición de Lipschitz con constante de Lipschitz L en un intervalo [a, b], entonces f ∈ C[a, b]. b. Muestre que si f tiene una derivada limitada en [a, b] por L, entonces f satisface una condición de Lipschitz con constante de Lipschitz L en [a, b]. c. Proporcione un ejemplo de una función continua en un intervalo cerrado, pero que no satisface una condición de Lipschitz en el intervalo. 29. Suponga que f ∈ C[a, b] y x1 y x2 se encuentran en [a, b]. a. Muestre que existe un número ξ entre x1 y x2 con f (ξ ) =

b.

f (x1 ) + f (x2 ) 1 1 = f (x1 ) + f (x2 ). 2 2 2

Suponga que c1 y c2 son constantes positivas. Muestre que existe un número entre x1 y x2 con f (ξ ) =

c.

c1 f (x1 ) + c2 f (x2 ) . c1 + c2

Proporcione un ejemplo para mostrar que el resultado en la parte b) no necesariamente se mantiene cuando c1 y c2 tienen signos opuestos con c1 = −c2 .

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Conjunto de ejercicios 30. Sea f ∈ C[a, b] y sea p en el intervalo abierto (a, b). a. Suponga que f ( p) = 0. Muestre que existe un δ > 0 tal que para todas las x en [p − δ, p + δ], f (x) = 0, con [p − δ, p + δ] es subconjunto de [a, b]. b. Suponga que f(p) = 0 y k > 0 es dada. Muestre que existe un δ > 0 tal que para toda x en | f (x)| ≤ k , [p − δ, p + δ], con [p − δ, p + δ] es un subconjunto de [a, b].

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

Con palabras propias, describa la condición de Lipschitz. Proporcione varios ejemplos de funciones que satisfacen esta condición o de funciones que no la satisfacen.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 1.2 1.

2.

3.

4.

Calcule los errores absoluto y relativo en las aproximaciones de p por p ∗. a. p = π, p ∗ = 22/7 b. p = √ π, p ∗ = 3.1416 c. p = e, p ∗ = 2.718 d. p = 2, p ∗ = 1.414 Calcule los errores absoluto y relativo en las aproximaciones de p por p ∗.

a. p = e10 , p ∗ = 22000 b. p = 10π , p ∗ =√1400 c. p = 8!, p ∗ = 39900 d. p = 9!, p ∗ = 18π(9/e)9 Suponga que p ∗ se debe aproximar a p con error relativo máximo de 10−3. Encuentre el intervalo más largo en el que se debe encontrar p ∗ para cada valor de p. a. 150 b. 900 c. 1500 d. 90 Encuentre el intervalo más largo en el que se debe encontrar p ∗ para aproximarse a p con error relativo máximo de 10−4 para cada valor de p. a. π b. e√ √ 3 c. 2 d. 7

5.

Realice los siguientes cálculos i) de forma exacta, ii) con aritmética de corte de tres dígitos y iii) con aritmética de redondeo de tres dígitos. iv) Calcule los errores relativos en las partes ii) y iii). 4 1 4 1 + b. · a. 5 3 5 3 3 3 3 3 1 1 − + d. + − c. 3 11 20 3 11 20

6.

Utilice la aritmética de redondeo de tres dígitos para realizar lo siguiente. Calcule los errores absoluto y relativo con el valor exacto determinado para por lo menos cinco dígitos. a. 133 + 0.921 b. 133 − 0.499 c. (121 − 0.327) − 119 d. (121 − 119) − 0.327 Use la aritmética de redondeo de tres dígitos para realizar lo siguiente. Calcule los errores absoluto y relativo con el valor exacto determinado para por lo menos cinco dígitos. 13 3 − 67 14 b. −10π + 6e − a. 62 2e − 5.4 √ √ 2 9 13 + 11 · c. √ d. √ 9 7 13 − 11

7.

8. 9. 10. 11.

Repita el ejercicio 7 mediante aritmética de redondeo de cuatro dígitos. Repita el ejercicio 7 mediante aritmética de redondeo de tres dígitos. Repita el ejercicio 7 mediante aritmética de redondeo de cuatro dígitos. Los primeros tres términos diferentes a cero de la serie de Maclaurin para la función arcotangente son x − (1/3)x 3 + (1/5)x 5. Calcule los errores absoluto y relativo en las siguientes aproximaciones de π mediante el polinomio en lugar del arcotangente: a.

4 arctan

b.

16 arctan

1 2 1 5

+ arctan − 4 arctan

1 3 1 239

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Capítulo 1 ara nn = 0 y 12. El número e se puede definir por medio de e = ∞ n=0 (1/n!), donde n! = n(n − 1) · · · 2 · 1 para 0 yy 0! = 1. Calcule los errores absoluto y relativo en la siguiente aproximación de e: 5

a. n=0

10

1 n!

b. n=0

1 n!

13. Si f (x) =

a. b. c. d.

x cos x − sen x . x − sen x

Encuentre lím x→0 f (x). Utilice aritmética de redondeo de cuatro dígitos para evaluar f (0.1). Reemplace cada función exponencial con su tercer polinomio de Maclaurin y repita la parte b). El valor real es f(0.1) = −1.99899998. Encuentre el error relativo para los valores obtenidos en las partes b) y c).

14. Si f (x) =

e x − e−x . x

Encuentre lím x→0 (e x − e−x )/x. Use la aritmética de redondeo de tres dígitos para evaluar f (0.1). Reemplace cada función exponencial con su tercer polinomio de Maclaurin y repita la parte b). El valor real es f(0.1) = 2.003335000. Encuentre el error relativo para los valores obtenidos en las partes b) y c). 15. Use la aritmética de redondeo de cuatro dígitos y las fórmulas (1.1), (1.2) y (1.3) para encontrar las aproximaciones más precisas para las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Calcule los errores absoluto y relativo. a. b. c. d.

a. b. c. d.

1 2 123 1 x − x+ =0 3 4 6 1 1 2 123 x + x− =0 3 4 6 1.002x 2 − 11.01x + 0.01265 = 0

1.002x 2 + 11.01x + 0.01265 = 0

16. Use la aritmética de redondeo de cuatro dígitos y las fórmulas (1.1), (1.2) y (1.3) para encontrar las aproximaciones más precisas para las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Calcule los errores absoluto y relativo. √ √ a. x 2 − 7x + 2 = 0 b. c. d.

π x 2 + 13x + 1 = 0

x2 + x − e = 0 √ x 2 − 35x − 2 = 0

17. Repita el ejercicio 15 mediante aritmética de corte de cuatro dígitos. 18. Repita el ejercicio 16 con aritmética de corte de cuatro dígitos. 19. Use el formato real de 64 bits de longitud para encontrar el equivalente decimal de los siguientes números de máquina de punto flotante. a.

0 10000001010 1001001100000000000000000000000000000000000000000000

b.

1 10000001010 1001001100000000000000000000000000000000000000000000

c.

0 01111111111 0101001100000000000000000000000000000000000000000000

d.

0 01111111111 0101001100000000000000000000000000000000000000000001

20. Encuentre los siguientes números de máquina más grande y más pequeño en formato decimal para los números proporcionados en el ejercicio 19.

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Conjunto de ejercicios 21. Suponga que dos puntos (x0 , y0 ) y (x1 , y1 ) se encuentran en línea recta con y1 = y0. Existen dos fórmulas para encontrar la intersección x de la línea: x=

x0 y1 − x1 y0 y1 − y0

y

x = x0 −

(x1 − x0 )y0 . y1 − y0

a. b.

Muestre que ambas fórmulas son algebraicamente correctas. Use los datos (x0 , y0 ) = (1.31, 3.24) y (x1 , y1 ) = (1.93, 4.76) y la aritmética de redondeo de tres dígitos para calcular la intersección con x de ambas maneras. ¿Cuál método es mejor y por qué? n 22. El polinomio de Taylor de grado n para f (x) = e x es i=0 (x i /i!). Use el polinomio de Taylor de grado nueve y aritmética de corte de tres dígitos para encontrar una aproximación para e−5 con cada uno de los siguientes métodos. 9

a.

e−5 ≈ i=0

b.

e−5

(−5)i = i!

1 = 5 ≈ e

1 9 5i i=0 i!

9

i=0

(−1)i 5i i!

.

Un valor aproximado de e−5 correcto para tres dígitos es 6.74 × 10−3 . ¿Qué fórmula, a) o b), es más precisa y por qué? 23. El sistema lineal dos por dos c)

ax + by = e, cx + dy = f,

donde a, b, c, d, e, f están dadas, se puede resolver para x y y como sigue: determine m =

c , a

siempre que a = 0;

d1 = d − mb; f 1 = f − me; y=

f1 ; d1

x=

(e − by) . a

Resuelva los siguientes sistemas lineales con aritmética de redondeo de cuatro dígitos. a.

1.130x − 6.990y = 14.20 1.013x − 6.099y = 14.22

b.

8.110x + 12.20y = −0.1370 −18.11x + 112.2y = −0.1376

24. Repita el ejercicio 23 con aritmética de corte de cuatro dígitos. 25. a. Muestre que la técnica anidada polinomial descrita en el ejemplo 6 también se puede aplicar a la evaluación de f (x) = 1.01e4x − 4.62e3x − 3.11e2x + 12.2e x − 1.99.

b. c. d.

Use la aritmética de redondeo de tres dígitos y la suposición de que e1.53 = 4.62 y el hecho de que enx = (e x )n para evaluar f (1.53) como se establece en la parte a). Haga nuevamente el cálculo en la parte b) al anidar primero los cálculos. Compare las aproximaciones en las partes b) y c) con el resultado verdadero de tres dígitos f (1.53) = −7.61.

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Capítulo 1

EJERCICIOS APLICADOS 26. El ejemplo de apertura para este capítulo describía un experimento físico que involucra la temperatura de un gas bajo presión. En esta aplicación se nos proporcionaba P = 1.00 atm, V = 0.100 m3, N = 0.00420 mol y R = 0.08206. Al resolver para T en la ley de gas ideal obtenemos T =

(1.00)(0.100) PV = = 290.15 K = 17◦ C. NR (0.00420)(0.08206)

En el laboratorio, se encontró que T era 15°C en estas condiciones y, cuando al duplicar la presión y reducir a la mitad el volumen, T era 19°C. Suponga que los datos son valores redondeados exactos para los lugares determinados y muestre que ambas cifras de laboratorio se encuentran dentro de los límites de precisión para la ley de gas ideal.

EJERCICIOS TEÓRICOS 27. El coeficiente binomial m k

=

m! k! (m − k)!

describe el número de formas de seleccionar un subconjunto de k objetos a partir de un conjunto de m elementos. a. Suponga números máquina decimales de la forma ±0.d1 d2 d3 d4 × 10n ,

con 1 ≤ d1 ≤ 9, 0 ≤ di ≤ 9,

sí i = 2, 3, 4 y |n| ≤ 15.

¿Cuál es el valor más grande de m para el que el coeficiente binomial k se puede calcular para todas las k por medio de la definición sin causar desbordamiento (sobreflujo)? m Muestre que k también se puede calcular a través de m

b.

m k

=

m k

m−1 k−1

···

m−k+1 1

.

¿Cuál es el valor más grande de m para el que el coeficiente binomial 3 se puede calcular con la fórmula en la parte b) sin causar desbordamiento? d. Use la ecuación en b) y la aritmética de corte de cuatro dígitos para calcular el número de juegos de cinco cartas posible en una baraja de 52 cartas. Calcule los errores real y relativo. 28. Suponga que fl(y) es una aproximación de redondeo de k dígitos para y. Muestre que m

c.

y − f l(y) ≤ 0.5 × 10−k+1 . y [Sugerencia: Si dk+1 < 5, entonces f l(y) = 0.d1 d2 . . . dk × 10n . Si dk+1 ≥ 5, entonces f l(y) = 0.d1 d2 . . . dk × 10n + 10n−k .]

29. Si f  C[a, b] es una función cuya derivada existe en (a, b). Suponga que f se va a evaluar en x0 dentro de (a, b), pero en lugar de calcular el valor real f(x0), el valor aproximado, f˜(x0 ), es el valor real de f en x0 + ; es decir, f˜(x0 ) = f (x0 + a. Utilice el teorema del valor medio 1.8 para calcular el error absoluto | f (x0 ) − f˜(x0 )| y el error relativo | f (x0 ) − f˜(x0 )|/| f (x0 )|, al suponer que f (x0 ) = 0. b. Si = 5 × 10−6 y x0 = 1, encuentre límites para los errores absoluto y relativo para i. f (x) = e x f (x) = sen x ii. c.

Repita la parte b) con = (5 × 10−6 )x0 y x0 = 10.

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Conjunto de ejercicios

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3. 4.

Analice la diferencia entre la aritmética realizada por computadora y la aritmética tradicional. ¿Por qué es tan importante reconocer la diferencia? Proporcione diferentes ejemplos de la vida real acerca de errores catastróficos que se han presentado a partir del uso de la aritmética digital finita y explique lo que salió mal. Analice las múltiples formas de redondear números. Analice la diferencia entre un número escrito en notación estándar y uno que está escrito en formato de punto flotante decimal, normalizado. Proporcione varios ejemplos.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 1.3 1.

Utilice aritmética de corte de tres dígitos para calcular las siguientes sumas. Para cada parte, ¿qué método es más preciso y por qué? a. b.

2.

10 2 i=1 (1/i ) 10 3 i=1 (1/i )

primero por

1 1 1 1

+ +

1 4 1 8

+ ··· + +

1 27

1 100

1 y luego por 100 +

+ ··· +

1 1000

y luego por

1 + · · · + 11 . 81 1 1 + 729 + ··· 1000

+ 11 .

∞ El número e se define mediante e = n=0 (1/n!), donde n! = n(n − 1) · · · 2 · 1 para n = 0 y 0! = 1. Utilice aritmética de corte de cuatro dígitos para calcular las siguientes aproximaciones para e y determine los errores absoluto y relativo. 5

a.

e≈ n=0 10

c.

e≈ n=0

3.

primero por

5

1 n!

b.

1 n!

d.

e≈ j=0 10

e≈ j=0

1 (5 − j)! 1 (10 − j)!

La serie de Maclaurin para la función arcotangente converge para −1 < x ≤ 1 y está dada por n

arctan x = lím Pn (x) = lím n→∞

n→∞

(−1)i+1 i=1

x 2i−1 . 2i − 1

Utilice el hecho de que tan π/4 = 1 para determinar el número n de términos de la serie que se necesita sumar para garantizar que |4Pn (1) − π| < 10−3 . b. El lenguaje de programación C11 requiere que el valor de π se encuentre dentro de 10210. ¿Cuántos términos de la serie se necesitarían sumar para obtener este grado de precisión? 4. El ejercicio 3 describe con detalle un método bastante ineficiente para obtener una aproximación para arctan 12 + arcotangente π. El método puede mejorar considerablemente al observar que π/4 = arcotangente 1 1 1 arctan arctan 3 y evaluar la serie para la arcotangente en 2arctan y en 3 . Determine el número de términos que deben sumarse para garantizar una aproximación para π dentro de 1023. rctan 15 2 arco5. Otra fórmula para calcular π se puede deducir a partir de la identidad π/4 = 4 arcotangente 1 arctan 239 . Determine el número de términos que se deben sumar para garantizar una aproximación π tangente dentro de 1023. 6. Encuentre la rapidez de convergencia de las siguientes sucesiones conforme n → ∞. a.

a. c.

lím

n→∞

7.

1 =0 n 1 2 =0 sen n

lím sen

n→∞

b.

1 =0 n2 lím [ln(n + 1) − ln(n)] = 0

lím sen

n→∞

d.

n→∞

Encuentre la rapidez de convergencia de las siguientes funciones como h → 0. h → 0. sen h 1 − cos h a. lim =1 b. lim =0 h→0 h→0 h h sen h − h cos h 1 − eh =0 c. lim = −1 d. lim h→0 h h→0 h

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Capítulo 1

EJERCICIOS TEÓRICOS Suponga que 0 < q < p y que αn = α + O n − p . a. Muestre que αn = α + O n −q . b. Haga una tabla donde enumere 1/n, 1/n 2 , 1/n 3 , y 1 /n 4 para n = 5, 10, 100, y 1000, y analice la rapidez de variación de convergencia de estas sucesiones conforme n se vuelve más grande. 9. Suponga que 0 < q < p yy para que F(h) = L + O (h p ). a. Muestre que F(h) = L + O (h q ). b. Haga una tabla en donde enumere h, h2, h3 y h4 para h 5 0.5, 0.1, 0.01 y 0.001 y analice la rapidez de convergencia de estas potencias de h conforme h se aproxima a cero. 10. Suponga que cuando x se aproxima a cero, 8.

F1 (x) = L 1 + O(x α )

y

F2 (x) = L 2 + O(x β ).

Si c1 y c2 son constantes diferentes a cero y definen F(x) = c1 F1 (x) + c2 F2 (x)

y

G(x) = F1 (c1 x) + F2 (c2 x).

Muestre que si γ 5 mínimo {a, b}, entonces, conforme x se aproxima a cero, a. b.

F(x) = c1 L 1 + c2 L 2 + O(x γ ) G(x) = L 1 + L 2 + O(x γ ).

11. La sucesión {Fn } descrita por F0 = 1, F1 = 1, y Fn+2 = Fn + Fn+1 , si n ≥ 0, recibe el nombre de sucesión de Fibonacci. Sus términos se presentan de manera natural en muchas especies botánicas, en especial aquellas con pétalos o escalas ordenadas en forma de espiral logarítmica. Considere la √sucesión {xn }, donde xn = Fn+1 /Fn . Suponga que existe lím n→∞ xn = x, muestre que x = (1 + 5)/2. Este número recibe el nombre de número áureo. 12. Muestre que la sucesión de Fibonacci también satisface la ecuación √ n √ n 1 1+ 5 1− 5 Fn ≡ F˜ n = √ . − 2 2 5 13. Describa la salida del siguiente algoritmo. ¿Cómo se compara este algoritmo con la ilustración en la página 24? ENTRADA n, x1 , x2 , . . . , xn . SALIDA SUM. Paso 1 Determine SUM = x1 . Paso 2 Para i = 2, 3, . . . , n efectúe el paso 3. Paso 3 SUM = SUM + xi . Paso 4 SALIDA SUM; PARE.

14. Compare los siguientes tres algoritmos. ¿Cuándo es correcto el algoritmo de la parte 1a? a.

ENTRADA n, x1 , x2 , . . . , xn . SALIDA PRODUCT. Paso 1 Determine PRODUCT = 0. Paso 2 Para i = 1, 2, . . . , n haga Determine PRODUCT = PRODUCT * xi . Paso 3 SALIDA PRODUCT; PARE.

b.

ENTRADA n, x1 , x2 , . . . , xn . SALIDA PRODUCT. Paso 1 Determine PRODUCT = 1. Paso 2 Para i = 1, 2, . . . , n haga Set PRODUCT = PRODUCT * xi . Paso 3 SALIDA PRODUCT; PARE.

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Conjunto de ejercicios c.

15. a.

ENTRADA n, x1 , x2 , . . . , xn . SALIDA PRODUCT. Paso 1 Determine PRODUCT = 1. Paso 2 Para i = 1, 2, . . . , n haga si xi = 0 entonces determine PRODUCT = 0; SALIDA PRODUCT; PARE también determine PRODUCT = PRODUCT * xi . Paso 3 SALIDA PRODUCT; PARE.

¿Cuántas multiplicaciones y sumas se requieren para determinar una suma de la forma n

i

ai b j ? i=1 j=1

b.

Modifique la suma en la parte a) a un formato equivalente que reduzca el número de cálculos.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3. 4.

5.

n Escriba un algoritmo para sumar la serie finita i=1 xi en orden inverso. Construya un algoritmo que tenga como entrada un entero n ≥ 1, números x0 , x1 , . . . , xn y un número x y que produzca como salida el producto (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ). Si P(x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 es un polinomio y si se proporciona x0. Construya un algoritmo para evaluar P(x0) por medio de la multiplicación anidada. Las ecuaciones (1.2) y (1.3) en la sección 1.2 proporcionan formas alternativas para las raíces x1 y x2 de ax2 1 bx 1 c 5 0. Construya un algoritmo con entrada a, b, c y salida x1, x2 que calcule las raíces x1 y x2 (que pueden ser iguales con conjugados complejos) mediante la mejor fórmula para cada raíz. Suponga que

2x − 4x 3 4x 3 − 8x 7 1 + 2x 1 − 2x + + + ··· = , 1 − x + x2 1 − x2 + x4 1 − x4 + x8 1 + x + x2

6.

para x < 1 y si x 5 0.25. Escriba y ejecute un algoritmo que determine el número de términos necesarios en el lado izquierdo de la ecuación de tal forma que el lado izquierdo difiera del lado derecho en menos de 1026. ¿Qué calculan los algoritmos en la parte a) y en la parte b)? a.

ENTRADA a0 , a1 , x0 , x1 . SALIDA S. Paso 1 Para i = 0, 1 haga que sea si = ai . Paso 2 Para i = 0, 1 haga para j = 0, 1 haga para i = j determine si =

b.

(x − x j ) ∗ si . (xi − x j )

Paso 3 Determine S = s0 + s1 . Paso 4 SALIDA S; PARE. ENTRADA a0 , a1 , a2 , x0 , x1 , x2 . SALIDA S. Paso 1 Para i = 0, . . . , 2 haga que sea si = ai . Paso 2 Para i = 0, 1, 2 haga para j = 0, 1 haga

si i = j entonces determine si =

c. c.

(x − x j ) ∗ si . (xi − x j )

Paso 3 Determine S = s0 + s1 + s2 . Paso 4 SALIDA S; PARE. Generalize the algorithms to have input n a a x x . What is t Generalice los algoritmos para tener entrada n, a0,… , an, x0,… , xn. ¿Cuál es el valor de entrada S?

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Capítulo 1

PREGUNTA DE ANÁLISIS (FINAL DEL CAPÍTULO) 1.

Analice las diferencias entre algunos de los paquetes de software disponibles para cálculo numérico.

CONCEPTOS CLAVE Algoritmos de representación de dígitos finitos Aritmética de dígitos finitos Convergencia Continuidad Diferenciabilidad

Errores de redondeo del teorema de Taylor Estabilidad Integración Integral Riemann Límites Software numérico

Teorema de Rolle Teorema del valor extremo Teorema del valor intermedio Teorema del valor medio Teorema generalizado de Rolle

REVISIÓN DEL CAPÍTULO Revisemos el capítulo 1 en términos de las habilidades que necesitará en los siguientes capítulos. En la sección 1.1 debe ser capaz de utilizar el teorema de Rolle, el teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo, según corresponda para: i.

Determinar si una ecuación tiene por lo menos una solución dentro de un intervalo determinado.

ii.

Encontrar un intervalo que contenga una solución para una ecuación determinada.

iii.

Mostrar que f9(x) 5 0 en un intervalo determinado.

iv.

Maximizar una función en un intervalo determinado.

También debe ser capaz de usar el teorema de Taylor para encontrar el polinomio de Taylor de grado nth Pn(x) para una función determinada, f alrededor de x0. Además, debe ser capaz de usar el teorema del valor extremo para maximizar el término restante (error) para la expansión. Los estudiantes también deben observar que al calcular una cota superior para el término restante Rn(x) normalmente minimizamos el límite del error. Esto se logra al encontrar el máximo del valor absoluto de una derivada particular sobre el intervalo adecuado. En la sección 1.2 usted debe ser capaz de convertir números al formato de máquina decimal de k dígitos. También de utilizar de manera competente la aritmética de redondeo o corte, según se requiera. Además debe ser capaz de calcular el error real, el error absoluto y el error relativo en las aproximaciones de p mediante p* y de encontrar el intervalo más grande en el que p* debe encontrarse para aproximarse a p con un error relativo que se encuentre dentro de la tolerancia específica. Los estudiantes deben saber que al realizar aritmética de dígitos finitos, cada cálculo individual debe redondearse o cortarse antes de realizar cualquier otro paso. En la sección 1.3, siempre que sea posible, debe ser capaz de determinar el número de n términos de una serie que se sumará para garantizar que el error absoluto se encuentra dentro de una tolerancia específica. Al tratar con series alternantes, el error producido por el truncamiento de las series en cualquier término es menor a la magnitud del siguiente término. Siempre que sea posible, debe ser capaz de determinar la rapidez de convergencia de una sucesión. También debe tener la capacidad para seguir los pasos de un algoritmo y describir la salida. La sección 1.4 resalta algunas de las diferencias entre los paquetes de software de propósito general y los algoritmos provistos en este texto. La principal “ventaja” de esta sección es exponerse al hecho de que los paquetes de software de propósito general consideran dos formas de reducir errores debido a redondeo máquina, subdesbordamiento y desbordamiento. También describe el rango de entrada que conducirá a resultados de cierta precisión específica. Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

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Capítulo 2 CONJUNTO DE EJERCICIOS 2.1 1. 2.

√ Use el método de bisección para encontrar p3 para f (x) = x − cos x = 0 en [0, 1]. Sea f (x) = 3(x + 1)(x − 12 )(x − 1) = 0. Use el método de bisección sobre los siguientes intervalos para encontrar p3. a.

[−2, 1.5]

b.

[−1.25, 2.5]

3. Use el método de bisección para encontrar soluciones precisas dentro de 1022 para para x 3 − 7x 2 + 14x − 6 = 0 en cada intervalo. a.

b.

[0, 1]

[1, 3.2]

c.

[3.2, 4]

4. Use el método de bisección para encontrar soluciones precisas dentro de 1022 para para x 4 − 2x 3 − 4x 2 + 4x + 4 = 0 en cada intervalo. a.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. 14.

[−2, −1]

b.

[0, 2]

c.

[2, 3]

d.

[−1, 0]

Use el método de bisección para encontrar soluciones precisas dentro de 1025 para los siguientes problemas. a. x − 2−x = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 b. e x − x 2 + 3x − 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 c. 2x cos(2x) − (x + 1)2 = 0 para −3 ≤ x ≤ −2 y −1 ≤ x ≤ 0 d. x cos x − 2x 2 + 3x − 1 = 0 para 0.2 ≤ x ≤ 0.3 y 1.2 ≤ x ≤ 1.3 Use el método de bisección para encontrar soluciones precisas dentro de 1025 para los siguientes problemas. a. 3x − e x = 0 para 1 ≤ x ≤ 2 b. 2x + 3 cos x − e x = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 c. x 2 − 4x + 4 − ln x = 0 para 1 ≤ x ≤ 2 y 2 ≤ x ≤ 4 d. x + 1 − 2 sen π x = 0 para 0 ≤ x ≤ 0.5 y 0.5 ≤ x ≤ 1

a. Dibuje las gráficas para y 5 x y y 5 sen x. b. Use el método de bisección para encontrar soluciones precisas dentro de 1025 para el primer valor positivo de x con x 5 2 sen x. a. Dibuje las gráficas para y 5 x y y 5 tan x. b. Use el método de bisección para encontrar una aproximación dentro de 1025 para el primer valor positivo de x con x 5 tan x. a. Dibuje las gráficas para y 5 e x 2 2 y y = cos(e x 2 2). b. Use el método de bisección para encontrar una aproximación dentro de 1025 para un valor en [0.5, 1.5] con ex 2 2 5 cos(e x 2 2) 2 a. Dibuje las gráficas de y = x 2 − 1 y y = e1−x . b. Use el método de bisección para encontrar una aproximación dentro de 1023 para un valor en 2 [22, 0] con x 2 − 1 = e1−x . Sea f (x) = (x + 2)(x + 1)x(x − 1)3 (x − 2). ¿En qué cero de f converge el método de bisección cuando se aplica en los siguientes intervalos? a. [−3, 2.5] b. [−2.5, 3] c. [−1.75, 1.5] d. [−1.5, 1.75] Sea f (x) = (x + 2)(x + 1)2 x(x − 1)3 (x − 2). ¿En qué cero de f converge el método de bisección cuando se aplica en los siguientes intervalos? a. [−1.5, 2.5] b. [−0.5, 2.4] c. [−0.5, 3] d. [−3, −0.5] √ Encuentre una aproximación para 3 25 correcto dentro de 1024 con el algoritmo de bisección. 25.] [Sugerencia: Considere f (x) = x 3 −√ Encuentre una aproximación para 3 correcto dentro de 1024 con el algoritmo de bisección. [Sugerencia: Considere f (x) = x 2 − 3.]

EJERCICIOS APLICADOS 15. Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma de semicírculo con radio r. (Consulte la figura adjunta.) Cuando se llena con agua hasta una distancia h a partir de la parte superior, el volumen V de agua es V = L 0.5πr 2 − r 2 arcsen(h/r ) − h(r 2 − h 2 )1/2 . Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

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Capítulo 2

h

r

h



Suponga que L 5 10 pies, r 5 1 pie y V 5 12.4 pies3. Encuentre la profundidad del agua en el abrevadero dentro de 0.01 pies. 16. Una partícula inicia en reposo en un plano ligeramente inclinado, cuyo ángulo u cambia a una velocidad constante dθ = ω < 0. dt

Al final de t segundos, la posición del objeto está determinada por x(t) = −

g 2ω2

ewt − e−wt − sen ωt 2

.

Suponga que la partícula se ha movido 1.7 ft en 1 segundo. Encuentre, dentro de 1025, la velocidad v a la que u cambia. Suponga que g 5 32.17 ft/s2.

x(t)

 (t)

EJERCICIOS TEÓRICOS 17. Use el teorema 2.1 para encontrar una cota para el número de iteraciones necesarias para lograr una aproximación con precisión de 1024 para la solución de x3 2 x 2 1 5 0 que se encuentra dentro del intervalo [1, 2]. Encuentre una aproximación para la raíz con este grado de precisión. 18. Use el teorema 2.1 a fin de encontrar una cota al número de iteraciones necesarias para lograr una aproximación con precisión de 1023 para la solución de x3 1 x 2 4 5 0 que se encuentra dentro del intervalo [1, 4]. Encuentre una aproximación para la raíz con este grado de precisión. n 1 19. Sea {pn} la sucesión definida por pn = k=1 k . Muestre que {pn} diverge incluso cuando límn→∞ ( pn − pn−1 ) = 0. 1 y pn = 1 + 1/n. Muestre que | f ( pn )| < 10−3 siempre que n > 1 pero 20. Sea f (x) = (x − 1)10 , p =1, −3 que | p − pn | < 10 requiere que n > 1000. 21. La función definida por f(x) 5 sen p x tiene ceros en cada entero. Muestre que cuando 21 < a < 0 y 2 < b < 3, el método de bisección converge a a.

0,

si a + b < 2

b.

2,

si a + b > 2

c.

1,

si a + b = 2

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3.

Obtenga una función f para la que el método de bisección converge a un valor que no es un cero de f. Obtenga una función f para la que el método de bisección converge a un valor cero de f, pero f no es continua en ese punto. ¿El método de bisección es sensible al valor de inicio? ¿Por qué sí o por qué no?

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Conjunto de ejercicios

CONJUNTO DE EJERCICIOS 2.2 1.

2.

3.

4.

Use una manipulación algebraica para mostrar que cada una de las siguientes funciones tiene un punto fijo en p precisamente cuando f ( p) = 0, donde f (x) = x 4 + 2x 2 − x − 3. a.

g1 (x) = 3 + x − 2x 2

c.

g3 (x) =

g2 (x) =

x + 3 − x4 2

d.

g4 (x) =

3x 4 + 2x 2 + 3 4x 3 + 4x − 1

1/2

1/2

Realice cuatro iteraciones, de ser posible, en cada una de las funciones de g que se definen en el ejercicio 1. Sea p0 = 1 y pn+1 = g( pn ), para n = 0, 1, 2, 3. b. ¿Cuál función cree que proporciona la mejor aproximación a la solución? Sea f (x) = x 3 − 2x + 1. Para resolver f(x) 5 0, se proponen los siguientes cuatro problemas de punto fijo. Derive cada método de punto fijo y calcule p1, p2, p3 y p4. ¿Cuáles métodos parecen apropiados? 1 2 1 1 1 b. x = − 2 , p0 = a. x = (x 3 + 1), p0 = 2 2 x x 2 √ 1 1 1 d. x = − 3 1 − 2x, p0 = c. x = 2 − , p0 = 2 x 2 Si f (x) = x 4 + 3x 2 − 2. Para resolver f(x) 5 0, se proponen los siguientes cuatro problemas de punto fijo. Derive cada método de punto fijo y calcule p1, p2, p3 y p4. ¿Cuáles métodos parecen apropiados?

c.

6.

b.

a.

a.

5.

x +3 x2 + 2

1/4

2 − x4 , p0 = 1 3 4 2−x , p0 = 1 x= 3x

x=

b.

x=

d.

x=

√ 4 3

2 − 3x 2 , 2 − 3x 2 , x

p0 = 1 p0 = 1

Se proponen los siguientes cuatro métodos para calcular 211/3. Clasifíquelos en orden, con base en su velocidad de convergencia aparente, suponiendo que p0 5 1. 2 20 pn−1 + 21/ pn−1 21

a.

pn =

c.

pn = pn−1 −

4 − 21 pn−1 pn−1 2 pn−1 − 21

b.

pn = pn−1 −

d.

pn =

21 pn−1

3 − 21 pn−1 2 3 pn−1 1/2

Se proponen los siguientes cuatro métodos para calcular 71/5. Clasifíquelos en orden, con base en su velocidad de convergencia aparente, al suponer p0 5 1. a.

pn = pn−1 1 +

c.

pn = pn−1 −

5 7 − pn−1 2 pn−1

5 −7 pn−1 4 5 pn−1

b.

pn = pn−1 −

5 −7 pn−1 2 pn−1

d.

pn = pn−1 −

5 −7 pn−1 12

3

Use el método de iteración de punto fijo para determinar una solución precisa dentro de 1022 para x 4 −3x 2 −3 = 0 en [1, 2]. Utilice p0 5 1. 8. Use el método de iteración de punto fijo para determinar una solución exacta dentro de 1022 para x 3 − x − 1 = 0 en [1, 2]. Use p0 5 1. 9. Use el teorema 2.3 para mostrar que g(x) = π + 0.5 sen(x/2) tiene un único punto fijo en [0, 2p]. Use la iteración de punto fijo para encontrar una aproximación que es precisa para el punto fijo dentro de 1022. Use el corolario 2.5 para calcular el número de iteraciones que se requiere para lograr una precisión de 1022 y compare esta estimación teórica con el número que realmente se requiere. 10. Use el teorema 2.3 para mostrar que g(x) = 2−x tiene un único punto fijo en [ 31 , 1]. Use la iteración de punto fijo para encontrar una aproximación para el punto fijo que es precisa dentro de 1024. Utilice el corolario 2.5 para calcular el número de iteraciones que se requiere para lograr una precisión de 1024 y compárela con el número que realmente se requiere. 7.

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Capítulo 2 √ 11. Use un método de iteración de punto fijo para hallar una aproximación a 3 que sea precisa dentro de 1024. Compare su resultado y el número de iteraciones requeridas con la respuesta obtenida en el ejercicio 14 de la sección 2.1. √ 3 12. Use un método de iteración de punto fijo para encontrar una aproximación para 25 que sea precisa dentro de 1024. Compare su resultado y el número de iteraciones requeridos con la respuesta obtenida en el ejercicio 13 de la sección 2.1. 13. Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine un intervalo [a, b] en el que la iteración de punto fijo converja. Calcule el número de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones precisas dentro de 1025 y realice los cálculos. 5 2 − ex + x 2 b. x = 2 + 2 a. x = x 3 d. x = 5−x c. x = (e x /3)1/2 −x e. x = 6 f. x = 0.5(sen x + cos x)

14. Para cada una de las siguientes ecuaciones, use el intervalo dado o determine un intervalo [a, b] en el que la iteración de punto fijo converja. Calcule el número de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones precisas dentro de 1025 y realice los cálculos. a. c.

2 + sen x − x = 0 use [2, 3] 3x 2 − e x = 0

b. d.

x 3 − 2x − 5 = 0 use [2, 3] x − cos x = 0

15. Encuentre todos los ceros de f(x) 5 x2 5 10 cos x usando el método de iteración de punto fijo para una función de iteración adecuada g. Encuentre los ceros con una precisión dentro de 1024. 16. Use el método de iteración de punto fijo para determinar una solución precisa dentro de 1024 para x 5 tan x, para x en [4, 5]. 17. Use un método de iteración de punto fijo para determinar una solución precisa dentro de 1022 para x 5 2 sen (px) 1 x 5 0, para x en [1, 2]. Utilice p0 5 1.

EJERCICIOS APLICADOS 18. Un objeto que cae verticalmente a través del aire está sujeto a una resistencia viscosa, así como a la fuerza de gravedad. Suponga que un objeto con masa m cae desde una altura s0 y que la altura del objeto después de t segundos es s(t) = s0 −

mg m2 g t + 2 (1 − e−kt/m ), k k

donde g 5 32.17 pies/s2 y k representa el coeficiente de la resistencia del aire en lb-s/pie. Suponga s0 5 300 pies, m 5 0.25 lb y k 5 0.1 lb-s/pie. Encuentre, dentro de 0.01 segundos, el tiempo que tarda un cuarto de libra en golpear el piso.

EJERCICIOS TEÓRICOS 19. Sea g ∈ C1[a, b] y p en (a, b) con g( p) = p y |g ( p)| > 1. Muestre que existe un d > 0 tal que si 0 < | p0 − p| < δ, entonces | p0 − p| < | p1 − p| . Entonces, sin importar qué tan cercana esté la aproximación inicial p0 de p, la siguiente iteración p1 está más alejada, por lo que la iteración de punto fijo no converge si p0 = p. 20. Sea A una constante positiva y g(x) 5 2x 2 Ax2. a. Muestre que si la iteración de punto fijo converge en un límite diferente de cero, entonces el límite es p = 1/A, por lo que la inversa de un número se puede encontrar de usando solamente multiplicaciones y restas. = 1/A para el que la iteración de punto fijo converge, siempre y cuanb. Encuentre un intervalo sobre do p0 se encuentre en ese intervalo. 21. Encuentre una función g definida sobre [0, 1] que no satisface ninguna de las hipótesis del teorema 2.3, pero sigue siendo un punto fijo único sobre [0, 1]. 22. a. Muestre que el teorema 2.3 es verdad si la desigualdad |g (x)| ≤ k se reemplaza con g (x) ≤ k, para todas las x ∈ (a, b). [Pista: Solamente la singularidad está en cuestión]. b. Muestre que el teorema 2.4 podría no mantenerse si la desigualdad |g (x)| ≤ k se reemplaza con g (x) ≤ k,. [Pista: Muestre que g(x) 5 1 2 x2, para x en [0, 1], provee un ejemplo contrario.]

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Conjunto de ejercicios 23. a.

Use el teorema 2.4 para mostrar que la secuencia definida por xn =

b. c. 24. a.

1 1 xn−1 + , 2 xn−1

para n ≥ 1,

√ √ converge a 2 siempre que x0 >√ 2 . √ √ Use el hecho de que 0 < (x0 2 2 )2 siempre que x0 = 2 para mostrar que si 0 < x0 < 2 , √ entonces x1 > 2 . √ Use los resultados de las partes a) y b) para mostrar que la sucesión en a) converge a 2 siempre que x0 > 0. Muestre que si A es cualquier número positivo, entonces la sucesión definida por xn =

1 A xn−1 + , 2 2xn−1

para n ≥ 1,

√ converge a A siempre que x0 > 0. b. ¿Qué pasa si x0 < 0? 25. Reemplace la suposición en el teorema 2.4 que establece que existe “un número positivo k < 1 con |g (x)| ≤ k” con “g satisface la condición de Lipschitz en el intervalo [a, b] con constante de Lipschitz L < 1.” (Consulte el ejercicio 28, sección 1.1.) Muestre que las conclusiones de este teorema siguen siendo válidas. 26. Suponga que g es continuamente diferenciable en algún intervalo (c, d) que contiene el punto fijo p de g. Muestre que si |g ( p)| < 1, entonces existe un d > 0 tal que si | p0 − p| ≤ δ, entonces la iteración de punto fijo converge.

PREGUNTA DE ANÁLISIS 1.

Proporcione una descripción general de la forma en la que se relaciona la teoría del caos y la iteración de punto fijo. Como punto de inicio, consulte lo siguiente: http://pages.cs.wisc.edu/~goadl/cs412/examples/chaosNR.pdf y http://www.cut-the-knot.org/blue/chaos.shtml.Summarize your readings.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 2.3 1. 2. 3.

4.

5.

6.

Sea f (x) = x 2 − 6 y p0 = 1. Use el método de Newton para encontrar p2. Sea f (x) = −x 3 − cos x y p0 = −1. Use el método de Newton para encontrar p2. ¿Se podría usar p0 5 0? Sea f (x) = x 2 − 6. Con p0 5 3 y p1 5 2. Encuentre p3. a. Use el método de la secante b. Use el método de posición falsa √ c. ¿Cuál parte a) o b) está más cerca de 6? 3 Sea f (x) = −x − cos x. Con p0 5 21 y p1 5 0, encuentre p3. a. Use el método de la secante b. Use el método de posición falsa Use el método de Newton para encontrar soluciones precisas dentro de 1024 para los siguientes problemas. a. x 3 − 2x 2 − 5 = 0, [1, 4] b. x 3 + 3x 2 − 1 = 0, [−3, −2] c. x − cos x = 0, [0, π/2] d. x − 0.8 − 0.2 sen x = 0, [0, π/2] Use el método de Newton para encontrar soluciones precisas dentro de 1025 para los siguientes problemas. a. e x + 2−x + 2 cos x − 6 = 0 para 1 ≤ x ≤ 2 b. ln(x − 1) + cos(x − 1) = 0 para 1.3 ≤ x ≤ 2

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Capítulo 2 c. 2x cos 2x − (x − 2)2 = 0 para 2 ≤ x ≤ 3 y 3 ≤ x ≤ 4 d. (x − 2)2 − ln x = 0 para 1 ≤ x ≤ 2 y e ≤ x ≤ 4 e. e x − 3x 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 y 3 ≤ x ≤ 5 f. sen x − e−x = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 3 ≤ x ≤ 4 y 6 ≤ x ≤ 7 7. Repita el ejercicio 5 con el método de la secante. 8. Repita el ejercicio 6 con el método de la secante. 9. Repita el ejercicio 5 con el método de posición falsa. 10. Repita el ejercicio 6 con el método de posición falsa. 11. Use los tres métodos en esta sección para encontrar las soluciones dentro de 1025 para los siguientes problemas. a. 3x − e x = 0 para 1 ≤ x ≤ 2 b. 2x + 3 cos x − e x = 0 para 1 ≤ x ≤ 2

12. Use los tres métodos en esta sección para encontrar las soluciones dentro de 1027 para los siguientes problemas. a. b.

x 2 − 4x + 4 − ln x = 0 para 1 ≤ x ≤ 2 y para 2 ≤ x ≤ 4 x + 1 − 2 sen π x = 0 para 0 ≤ x ≤ 1/2 y para 1/2 ≤ x ≤ 1

13. El polinomio de cuarto grado

f (x) = 230x 4 + 18x 3 + 9x 2 − 221x − 9

tiene dos ceros reales, uno en [21, 0] y el otro en [0, 1]. Intente aproximar estos ceros dentro de 1026 con a. El método de posición falsa b. El método de la secante c. El método de Newton Use los extremos de cada intervalo como aproximaciones iniciales en las partes a) y b) y los puntos medios como la aproximación inicial en la parte c). arctan 6 ≈ 0.447431543. Sea p0 5 0 y p1 5 14. La función f(x) 5 tan π x 2 6 tiene cero en (1/π) arcotangente 0.48 y use 10 iteraciones en cada uno de los siguientes métodos para aproximar esta raíz. ¿Cuál método es más eficaz y por qué? a. método de bisección b. método de posición falsa c. método de la secante 15. La ecuación 4x2 2 ex 2 e2x 5 0 tiene dos soluciones positivas x1 y x2. Utilice el método de Newton para aproximar la solución dentro de 1025 con los siguientes valores de p0. a. p0 = −10 b. p0 = −5 c. p0 = −3 d. p0 = −1 e. p0 = 0 f. p0 = 1 g. p0 = 3 h. p0 = 5 i. p0 = 10 16. La ecuación x2 2 10 cos x 5 0 tiene dos soluciones ± 1.3793646. Use el método de Newton para aproximar la solución dentro de 1025 con los siguientes valores de p0. a. p0 = −100 b. p0 = −50 c. p0 = −25 d. p0 = 25 e. p0 = 50 f. p0 = 100

17. La función descrita por f (x) = ln(x 2 + 1) − e0.4x cos π x tiene un número infinito de ceros. a. Determine, dentro de 1026, el único cero negativo. b. Determine, dentro de 1026, los cuatro ceros positivos más pequeños. c. Determine una aproximación inicial razonable para encontrar el enésimo cero positivo más pequeño de f. [Sugerencia: Dibuje una gráfica aproximada de f.] d. Use la parte c) para determinar, dentro de 1026, el vigesimoquinto cero positivo más pequeño de f. 18. Use el método de Newton para resolver la ecuación 0=

1 1 1 2 + x − x sen x − cos 2x, 2 4 2

con p0 =

π . 2

Itere con el método de Newton hasta obtener una precisión de 1025. Explique por qué el resultado parece poco común para el método de Newton. Además resuelva la ecuación con p0 5 5π y p0 5 10π.

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Conjunto de ejercicios

EJERCICIOS APLICADOS 19. Use el método de Newton para aproximar, dentro de 1024, el valor de x que en la gráfica de y 5 x2 produce el punto que está más cerca de (0, 1). [Sugerencia: Minimice [d(x)2]], en donde d(x) representa la distancia desde (x, x2) hasta (1, 0).] 20. Use el método de Newton para aproximar, dentro de 1024, el valor de x que en la gráfica y 5 1/x produce el punto que está más cerca de (2, 1). 21. La suma de dos números es 20. Si cada número se suma a su raíz cuadrada, el producto de las dos sumas es 155.55. Determine los dos números dentro de 1024. 22. Encuentre una aproximación para λ, precisa dentro de 1024, para la ecuación de crecimiento poblacional 1 564 000 = 1 000 000 eλ +

435 000 λ (e − 1), λ

que se ha analizado en la introducción de este capítulo. Use este valor para predecir la población al final del segundo año, al suponer que la tasa de inmigración durante este año sigue siendo 435 000 individuos por año. 23. Los problemas relacionados con la cantidad de dinero requerida para pagar una hipoteca por un periodo fijo incluye la fórmula A=

P [1 − (1 + i)−n ], i

Conocida como ecuación de anualidad ordinaria. En esta ecuación, A es la cantidad de la hipoteca, P es la cantidad de cada pago e i es la tasa de interés por periodo para los n periodos de pago. Suponga que se necesita una hipoteca por $135 000 a 30 años para una vivienda y que el prestatario puede efectuar pagos de máximo $1 000 por mes. ¿Cuál es la tasa de interés máximo que el prestatario puede pagar? 24. El valor acumulado de una cuenta de ahorros con base en pagos periódicos regulares se puede determinar a partir de la ecuación debida a la anualidad, A=

P [(1 + i)n − 1]. i

En esta ecuación, A es la cantidad en la cuenta, P es la cantidad depositada regularmente e i es la tasa de interés por periodo para los n periodos de depósito. A un ingeniero le gustaría tener una cuenta de ahorro con un monto de $750 000 para su jubilación en 20 años y puede pagar $1 500 por mes para esta meta. ¿Cuál es la tasa mínima de interés a la que se invierte esta cantidad, al suponer que es un interés compuesto mensual? 25. El modelo de crecimiento de población logístico se describe con una ecuación en la forma P(t) =

PL , 1 − ce−kt

donde PL, c y k > 0 son constantes y P(t) es la población en el tiempo t. PL representa el valor límite de la población ya que lím t→∞ P(t) = PL. Use los datos de los censos para las décadas 1960 y 1970 listados en la tabla de la página 77 para determinar las constantes PL, c y k para un modelo logístico de crecimiento. Utilice el modelo logístico para predecir la población de Estados Unidos en 1980 y 2010, al suponer que t 5 0 en 1950. Compare la predicción de 1980 con el valor real. 26. El modelo de crecimiento de población Gompertz se describe por P(t) = PL e−ce

−kt

,

donde PL, c y k > 0 son constantes y P(t) es la población en el tiempo t. Repita el ejercicio 25 con el modelo de crecimiento Gompertz en lugar del modelo logístico. 27. El jugador A dejará fuera (ganará por una puntuación de 21–0) al jugador B en un juego de ráquetbol con probabilidad P=

1+ p 2

p 1 − p + p2

21

,

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Capítulo 2 donde p denota la probabilidad de que A ganará cualquier rally específico (independientemente del servicio). (Consulte [Keller, J], p. 267). Determine, dentro de 1023, el valor mínimo de p que garantice que A dejará fuera a B en por lo menos la mitad de los partidos que jueguen. 28. Un medicamento administrado a un paciente produce una concentración en el torrente sanguíneo determinado por c(t) 5 Ate2t/3 miligramos por mililitro, t horas después de que se han inyectado las unidades A. La concentración máxima segura es 1 mg/mL. a. ¿Qué cantidad se debería inyectar para alcanzar la concentración máxima segura y cuándo se presenta este máximo? b. Una cantidad adicional de este medicamento se administrará al paciente después de que la concentración cae hasta 0.25 mg/mL. Determine, al minuto más cercano, cuándo se debería aplicar la segunda inyección. c. Suponga que la concentración a partir de las inyecciones consecutivas es adictiva y que 75% de la cantidad que originalmente se inyectó se administra en la segunda inyección. ¿Cuándo será el momento para una tercera inyección? 29. En el diseño de los vehículos todo terreno, es necesario considerar la falla del vehículo al tratar de superar dos tipos de obstáculos. Un tipo de falla recibe el nombre de falla compleja y se presenta cuando el vehículo intenta cruzar un obstáculo que causa que la parte inferior del vehículo toque el suelo. El otro tipo recibe el nombre de falla de nariz y se presenta cuando el vehículo desciende en una zanja y su nariz toca el suelo. La figura de acompañamiento, adaptada de [Beck], muestra los componentes relacionados con la falla de nariz de un vehículo. En esta referencia, se muestra que el ángulo máximo a que un vehículo puede superar cuando b es el ángulo máximo en el que la falla compleja no ocurre satisface la ecuación A sen a cos a 1 B sen2 a 2 C cos a 1 E sen a 5 0, donde A 5 l sen b1, B 5 l cos b1,

C 5 (h 1 0.5D) sen b1 2 0.5 D tan b1,

y E 5 (h 1 0.5 D) cos b1 2 0.5 D. a. b.

Se establece que cuando l 5 89 pulgadas, h 5 49 pulgadas, D 5 55 pulgadas y b1 5 11.5º, el ángulo a es aproximadamente 33º. Verifique el resultado. Encuentre a para la situación cuando l, h y b1 son las mismas en la parte a) pero D 5 30 pulgadas.

l D/ 2

h





1

EJERCICIOS TEÓRICOS 30. La ecuación de iteración para el método de la secante se puede escribir en la forma más simple pn =

f ( pn−1 ) pn−2 − f ( pn−2 ) pn−1 . f ( pn−1 ) − f ( pn−2 )

Explique por qué, en general, es probable que esta ecuación de iteración sea menos precisa que la proporcionada en el algoritmo 2.4. 31. Lo siguiente describe gráficamente el método de Newton: suponga que f9(x) existe en [a, b] y que f (x) = 0 en [a, b]. Además, suponga que existe una p ∈ [a, b] por lo que f(p) 5 0 y sea p0 ∈ [a, b]

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Conjunto de ejercicios sea arbitraria. Si p1 es el punto en el que la recta tangente a f en (p0, f(p0)) cruza el eje x. Para cada n ≥ 1, sea pn la intersección con el eje x de la recta tangente a f en (pn–1, f(pn–1)). Deduzca la fórmula que describe este método. 32. Deduzca la fórmula de error para el método de Newton | p − pn+ | ≤

M | p − p n |2 2| f ( pn )|

suponiendo que la hipótesis del teorema 2.6 se mantiene, que | f ( pn )| = 0, y M = máx | f (x)|. [Sugerencia: Use el polinomio de Taylor como se hizo en la deducción del método de Newton al inicio de esta sección.]

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

3. 4.

¿El método de Newton converge para cualquier aproximación inicial x0? En este caso, ¿cuál es la razón de convergencia y cuál es el orden de convergencia? ¿El método sigue convergiendo cuando f(x) tiene múltiples ceros en p? Si la aproximación inicial no está suficientemente cerca de la raíz, el método de Newton puede no converger a una raíz errónea. Encuentre uno o dos ejemplos donde esto puede presentarse y proporcione una justificación sobre por qué lo hace. La función f(x) 5 0.5x3 2 6x2 1 21.5x 2 22 tiene un cero en x 5 4. Usando el punto de inicio p0 5 5, p1 5 4.5 para el método de la secante, compare los resultados de la secante y los métodos de Newton. La función f (x) = x (1/3) tiene una raíz en x 5 0. Usando el punto de inicio de x 5 1 y p0 5 5, p1 5 0.5 para el método de secante, compare los resultados de los métodos de secante y Newton.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 2.4 1.

2.

Use el método de Newton para encontrar soluciones precisas dentro de 1025 para los siguientes problemas. a. x 2 − 2xe−x + e−2x = 0, para 0 ≤ x ≤ 1 √ √ b. cos(x + 2) + x(x/2 + 2) = 0, para −2  x  1 c. x 3 − 3x 2 (2−x ) + 3x(4−x ) − 8−x = 0, para 0 ≤ x ≤ 1 d. e6x + 3(ln 2)2 e2x − (ln 8)e4x − (ln 2)3 = 0, para −1  x  0 Use el método de Newton para encontrar soluciones precisas dentro de 1025 para los siguientes problemas. a. b. c. d.

3. 4. 5.

1 − 4x cos x + 2x 2 + cos 2x = 0, para 0 ≤ x ≤ 1 x 2 + 6x 5 + 9x 4 − 2x 3 − 6x 2 + 1 = 0, para −3
x
2 sen 3x + 3e−2x sen x − 3e−x sen 2x − e−3x = 0, para 3 ≤ x ≤ 4 e3x − 27x 6 + 27x 4 e x − 9x 2 e2x = 0, para 3 ≤ x ≤ 5

Repita el ejercicio 1 con el método modificado de Newton descrito en la ecuación (2.13). ¿Hay alguna mejora en la velocidad o la precisión en comparación con el ejercicio 1? Repita el ejercicio 2 con el método modificado de Newton descrito en la ecuación (2.13). ¿Hay alguna mejora en la velocidad o la precisión en comparación con el ejercicio 2? Use el método de Newton y el método modificado de Newton descrito en la ecuación (2.13) para encontrar una solución precisa dentro de 1025 para el problema e6x + 1.441e2x − 2.079e4x − 0.3330 = 0,

para − 1 ≤ x ≤ 0.

Éste es el mismo problema que en 1d) sólo que los coeficientes han sido reemplazados con aproximaciones de cuatro dígitos. Compare las soluciones con los resultados en 1d) y 2d).

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Capítulo 2

EJERCICIOS TEÓRICOS Muestre que las siguientes sucesiones convergen linealmente a p 5 0. ¿Qué tan grande debe ser n antes de | pn − p| ≤ 5 × 10−2 ? 1 1 b. pn = 2 , n ≥ 1 a. pn = , n ≥ 1 n n 7. a. Muestre que para cualquier entero k, la sucesión definida por pn = 1/n k converge linealmente a p 5 0. b. Para cada par de enteros k y m, determine un número N para el que 1/N k < 10−m . 8. a. Muestre que la sucesión pn 5 1022n converge cuadráticamente a 0. b. Muestre que la sucesión pn 5 102nk no converge cuadráticamente a 0, independientemente del tamaño del exponente k > 1. 9. a. Construya una sucesión que converja a 0 de orden 3. b. Suponga que α > 1. Construya una sucesión que converja en 0 de orden α. 10. Suponga que p es un cero de multiplicidad m de f, donde f (m) es continua en un intervalo abierto que contiene p. Muestre que el siguiente método de punto fijo tiene g9( p) 5 0: 6.

g(x) = x −

m f (x) . f (x)

11. Muestre que el algoritmo de bisección 2.1 proporciona una sucesión con una cota de error que converge linealmente a 0. 12. Suponga que f tiene m derivadas continuas. Modifique la prueba del teorema 2.11 para mostrar que f tiene un cero de multiplicidad m en p si y sólo si 0 = f ( p) = f ( p) = · · · = f (m−1) ( p),

pero f (m) ( p) = 0.

13. El método iterativo para resolver f (x) 5 0, dado por el método de punto fijo g(x) 5 x, donde pn = g( pn−1 ) = pn−1 −

f ( pn−1 ) f ( pn−1 ) − f ( pn−1 ) 2 f ( pn−1 )

f ( pn−1 ) f ( pn−1 )

2

,

para n = 1, 2, 3, . . . ,

tiene g9(p) 5 g 0(p) 5 0. En general, esto producirá convergencia cúbica (α 5 3). Amplíe el análisis del ejemplo 1 para comparar la convergencia cuadrática y cúbica. 14. Se puede demostrar (véase, por ejemplo, [DaB], pp. 228–229) que si { pn }∞ n=0 son aproximaciones de la solución f (x) 5 0, obtenidas con el método de la secante, entonces existe una constante C con | pn+1 − p| ≈ C | pn − p| | pn−1 − p| para los valores suficientemente grandes de n. Suponga que {pn} √ converge a p de orden α y muestre que α = (1 + 5)/2. (Nota: Esto implica que el orden de convergencia del método de la secante es aproximadamente 1.62).

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2. 3. 4.

La rapidez a la que converge la sucesión generada por un método iterativo recibe el nombre de razón de convergencia del método. Existen muchos tipos de razones de convergencia: lineal, superlineal, sublineal, logarítmica, cuadrática y así sucesivamente. El inconveniente de estas razones de convergencia es que no captan algunas sucesiones que siguen convergiendo con rapidez, pero cuya “velocidad” es variable. Seleccione una de las razones de convergencia y describa cómo se puede acelerar esa razón. Analice cuándo el método de Newton provee convergencia lineal o cuadrática para la función f(x) 5 x 2 (x 2 1). Lea el documento que se encuentra en http://www.uark.edu/misc/arnold/publichtml/4363/OrderConv. pdf y explique en palabras propias lo que implica el error asintótico. ¿Cuál es la diferencia entre la razón de convergencia y el orden de convergencia? ¿Están relacionados de alguna forma? ¿Dos sucesiones podrían tener las mismas razones de convergencia, pero diferentes órdenes de convergencia y viceversa?

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Conjunto de ejercicios

CONJUNTO DE EJERCICIOS 2.5 1.

2.

3. 4.

Las siguientes sucesiones son linealmente convergentes. Genere los primeros cinco términos de la sucesión { pˆ n } con el método 2 de Aitken. 2 )/3, n ≥ 1 a. p0 = 0.5, pn = (2 − e pn−1 + pn−1 pn−1 1/2 b. p0 = 0.75, pn = (e /3) , n ≥ 1 c. p0 = 0.5, pn = 3− pn−1 , n ≥ 1 d. p0 = 0.5, pn = cos pn−1 , n ≥ 1

Considere la función f (x) = e6x + 3(ln 2)2 e2x − (ln 8)e4x − (ln 2)3. Use el método de Newton con p0 5 0 para aproximar cero de f. Genere términos hasta que | pn+1 − pn | < 0.0002. Construya la sucesión { pˆ n }. ¿Mejora la convergencia? Sea g(x) = cos(x − 1) y p0(0) = 2. Use el método de Steffensen para encontrar p0(1) . Sea g(x) = 1 + (sen x)2 y p0(0) = 1. Use el método de Steffensen para encontrar p0(1) y p0(2) .

5. El método de Steffensen se aplica a una función g(x) usando p0(0) = 1 y p2(0) = 3 para obtener (0) ara obtener p0(1) = 0.75.¿Qué es p1 ? √ 6. El método de Steffensen se aplica a una función g(x) usando p0(0) = 1 y p1(0) = 2 para obtener p (0) (1) ara obtener p0 = 2.7802. ¿Qué es p2 ? 7. Use el método de Steffensen para encontrar, con una precisión de 1024, la raíz de x3 2 x 2 1 5 0 que se encuentra en [1, 2] y compare esto con los resultados del ejercicio 8 de la sección 2.2. 8. Use el método de Steffensen para encontrar, con una precisión de 1024, la raíz de x 2 2x21 5 0 que se encuentra en [0, 1] y compare esto con los resultados del ejercicio 10 de la sección 2.2. √ 9. Use el método de Steffensen con p0 5 2 para calcular una aproximación para 3 precisa dentro de 10–4. Compare este resultado con los resultados obtenidos en el ejercicio 11 de la sección 2.2 y el ejercicio 14 de la sección 2.1. √ 3 10. Use el método de Steffensen con p0 5 3 para calcular una aproximación de 25 precisa dentro de 24 10 . Compare este resultado con los obtenidos en el ejercicio 12 de la sección 2.2 y el ejercicio 13 de la sección 2.1 11. Use el método de Steffensen para aproximar las soluciones de las siguientes ecuaciones dentro de 1025. a. x = (2 − e x + x 2 )/3, donde g es la función en el ejercicio 13a) de la sección 2.2 b. x = 0.5(sen x + cos x), donde g es la función en el ejercicio 13f) de la sección 2.2 c. x = (e x /3)1/2, donde g es la función en el ejercicio 13c) de la sección 2.2 d. x = 5−x, donde g es la función en el ejercicio 13d) de la sección 2.2 12. Use el método de Steffensen para aproximar las soluciones de las siguientes ecuaciones dentro de 1025. a. b. c. d.

2 + sen x − x = 0, donde g es la función en el ejercicio 14a) de la sección 2.2 x 3 − 2x − 5 = 0, donde g es la función en el ejercicio 14b) de la sección 2.2

3x 2 − e x = 0, donde g es la función en el ejercicio 14c) de la sección 2.2

x − cos x = 0, donde g es la función en el ejercicio 14d) de la sección 2.2

EJERCICIOS TEÓRICOS 13. Las siguientes sucesiones convergen a 0. Use el método 2 de Aitken para generar { pˆ n } hasta  pˆ n | ≤ 5×10−2 : a.

14.

pn =

1 , n

b.

n≥1

pn =

1 , n2

n≥1

Se dice que una sucesión {pn} es superlinealmente convergente en p si lím

n→∞

a. b.

| pn+1 − p| = 0. | pn − p|

Muestre que si pn → p de orden α > 1, entonces {pn} es superlinealmente convergente a p. Muestre que pn = n1n es superlinealmente convergente a 0 pero no converge en 0 de orden α para cualquier α . 1.

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Capítulo 2 15. Suponga que {pn} es superlinealmente convergente a p. Muestre que lím

n→∞

| pn+1 − pn | = 1. | pn − p|

16. Pruebe el teorema 2.14 [Sugerencia: Si δn = ( pn+1 − p)/( pn − p) − λ y muestre que lím n→∞ δn = 0. Entonces exprese ( pˆ n+1 − p)/( pn − p) en términos de δn , δn+1 , y λ.] 17. Sea Pn(x) el enésimo polinomio de Taylor para f(x) 5 ex expandido alrededor de x0 5 0. a. Para x fija, muestre que pn 5 Pn(x) satisface la hipótesis del teorema 2.14. b. Si x = 1, use el método 2 de Aitken para generar la sucesión pˆ 0 , . . . , pˆ 8 . c. ¿El método Aitken acelera la convergencia en esta situación?

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

Lea el artículo titulado A Comparison of Iterative Methods for the Solution of Non-Linear Systems, (Una comparación de los métodos iterativos para la solución de sistemas no lineales), de Noreen Jamil, que se encuentra en http://ijes.info/3/2/42543201.pdf. Observe algunas de las referencias. Resuma su lectura. En algunas ocasiones, la bisección se empareja con los métodos de Newton y de secante hasta que se identifica un intervalo suficientemente pequeño cerca de la raíz para realizar una buena conjetura inicial. Otro enfoque es usar el método de Brent. Describa este método. ¿Acelera la convergencia, y, en este caso, por qué?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 2.6 1.

2.

3. 4. 5.

Encuentre las aproximaciones dentro de 1024 para todos los ceros reales de los siguientes polinomios con el método de Newton. a. f (x) = x 3 − 2x 2 − 5 b. f (x) = x 3 + 3x 2 − 1 c. f (x) = x 3 − x − 1 d. f (x) = x 4 + 2x 2 − x − 3 e. f (x) = x 3 + 4.001x 2 + 4.002x + 1.101 f. f (x) = x 5 − x 4 + 2x 3 − 3x 2 + x − 4 Encuentre las aproximaciones dentro de 1025 para todos los ceros de cada uno de los siguientes polinomios, primero al encontrar los ceros reales con el método de Newton y, después, al reducir los polinomios de grado inferior para determinar cualquier cero complejo. a. f (x) = x 4 + 5x 3 − 9x 2 − 85x − 136 b. f (x) = x 4 − 2x 3 − 12x 2 + 16x − 40 c. f (x) = x 4 + x 3 + 3x 2 + 2x + 2 d. f (x) = x 5 + 11x 4 − 21x 3 − 10x 2 − 21x − 5 e. f (x) = 16x 4 + 88x 3 + 159x 2 + 76x − 240 f. f (x) = x 4 − 4x 2 − 3x + 5 g. f (x) = x 4 − 2x 3 − 4x 2 + 4x + 4 h. f (x) = x 3 − 7x 2 + 14x − 6 Repita el ejercicio 1 con el método de Müller. Repita el ejercicio 2 con el método de Müller. Use el método de Müller para encontrar, dentro de 1023, los ceros y puntos críticos de las siguientes funciones. Utilice esta información para dibujar la gráfica de f. a.

6.

f (x) = x 3 − 9x 2 + 12 3

2

b.

f (x) = x 4 − 2x 3 − 5x 2 + 12x − 5

f (x) = 10x − 8.3x + 2.295x − 0.21141 = 0 tiene una raíz en x 5 0.29. Use el método de Newton con una aproximación inicial x0 5 0.28 para intentar encontrar esta raíz. Explique lo que pasa.

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Conjunto de ejercicios 7.

Use cada uno de los siguientes métodos para encontrar una solución en [0.1, 1] precisa dentro de 1024 para 600x 4 − 550x 3 + 200x 2 − 20x − 1 = 0. a. Método de bisección b. Método de Newton c. Método de la secante d. Método de posición falsa e. Método de Müller

EJERCICIOS APLICADOS 8.

Dos escaleras se entrecruzan en un pasillo de ancho W. Cada escalera llega desde la base de una pared hasta algún punto en la pared opuesta. Las escaleras cruzan a una altura H sobre el pavimento. Encuentre W dado que las longitudes de las escaleras son x1 5 20 pies y x2 5 30 pies, y que H 5 8 pies.

x2

x1

H W 9. Una lata en forma de un cilindro circular recto se construye para contener 1 000 cm3. Las partes superior e inferior de la lata deben tener un radio de 0.25 cm más que el radio de la lata, de tal forma que el exceso se pueda usar para formar un sello con la parte lateral. La hoja de material que se forma dentro de la parte lateral de la lata también debe ser 0.25 cm más grande que la circunferencia de la lata, de tal forma que se pueda formar un sello. Encuentre, dentro de 1024, la cantidad mínima de material necesario para construir la lata.

r 1 0.25 h

r

10. En 1224, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, respondió el desafío matemático de Juan de Palermo en presencia del emperador Federico II: encontrar una raíz de la ecuación x3 1 2x2 1 10x 5 20. Primero mostró que la ecuación no tenía raíces racionales y ninguna raíz euclidiana irracional, √ √ √ √ √ √ a ± b, donde es decir, ninguna raíz de ninguna de las formas a ± b, a ± b, a ± b, o a y b son números racionales. A continuación, aproximó la única raíz real, probablemente con una técnica algebraica de Omar Khayyam, relacionada con la intersección de un círculo y una parábola. Su respuesta fue proporcionada en el sistema de numeración base 60 como 1 + 22

1 60

+7

1 60

2

+ 42

1 60

3

+ 33

1 60

4

+4

¿Qué tan precisa fue su aproximación?

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1 60

5

+ 40

1 60

6

.

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Capítulo 2

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2.

Analice la posibilidad de combinar el método de posición falsa con el método de Müller para obtener un método para el que se acelera la convergencia. Compare esta aproximación con el método de Brent. Analice la diferencia, si existe, entre el método de Müller y la interpolación cuadrática inversa.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS (FINAL DEL CAPÍTULO) 1. 2. 3.

Analice las diferencias entre algunos de los paquetes de software disponibles para el cálculo numérico de una solución para f(x) 5 0. Compare y contraste las razones de convergencia en por lo menos dos de los métodos que se analizan en este capítulo. Compare y contraste los métodos de Cauchy y de Müller.

CONCEPTOS CLAVE Iteración de punto fijo Medición del error Método de bisección Método de 2 de Aitken

Método de Horner Método de la secante Método de Müller Método de Newton

Método de posición falsa Método de Steffensen Razones de convergencia

REVISIÓN DEL CAPÍTULO Revisemos el capítulo 2 en términos de habilidades desarrolladas. Hemos considerado el problema de resolver la ecuación f(x) 5 0, donde f es una función continua determinada. Todos los métodos comenzaron con aproximaciones iniciales y generaron una sucesión que convergía a una raíz de la ecuación, si el método era exitoso. Si [a, b] era un intervalo en el que f(a) y f(b) son de signo opuesto, entonces el método de bisección y el método de posición falsa convergían. Sin embargo, encontramos que la convergencia de estos métodos puede ser lenta. Aprendimos que la convergencia más rápida se obtenía por lo general con el método de secante o de Newton. Sin embargo, se requerían dos buenas aproximaciones iniciales para el método de la secante y una buena aproximación inicial para el método de Newton. Descubrimos que las técnicas de agrupación de raíz, como los métodos de bisección o de posición falsa, se pueden usar como métodos de inicio para el método de la secante o de Newton. Observamos que el método de Müller proporcionaba convergencia rápida sin una buena aproximación inicial especial. Aunque no era tan eficiente como el método de Newton, su orden de convergencia cercano a la raíz fue de aproximadamente α 5 1.84, en comparación con el orden cuadrático, α 5 2 del método de Newton. Sin embargo, era mejor que el método de la secante, cuyo orden es aproximadamente α 5 1.62 y tiene la ventaja de que es capaz de aproximar raíces complejas. En general, la deflación se usaba con los métodos de Newton o de Müller una vez que se había determinado la raíz de un polinomio. Descubrimos que después de una aproximación a la raíz de la ecuación deflactada éramos capaces de usar el método de Müller o el método de Newton sobre el polinomio original con esta raíz como aproximación inicial. Este procedimiento garantizaba que la raíz aproximada fuera una solución para la verdadera ecuación, no para la ecuación deflactada. Recomendamos el método de Müller para encontrar todos los ceros de los polinomios, reales o complejos. Observamos que el método de Müller también se podría usar para una función continua arbitraria. Existen otros métodos de orden superior para determinar las raíces de los polinomios. Si este tema es de interés particular, recomendamos considerar el método de Laguerre, el cual proporciona convergencia cúbica y también aproxima raíces complejas (consulte [Ho], pp. 176–179 para un análisis completo), el método de Jenkins–Traub (consulte [JT]), y el método de Brent (consulte [Bre]). Otro método de interés, el método de Cauchy, es similar al método de Müller, pero evita el problema de falla cuando f (xi ) = f (xi+1 ) = f (xi+2 ), para alguna i. Para un análisis interesante de este método, así como más detalles sobre el método de Müller, recomendamos [YG], secciones 4.10, 4.11 y 5.4. Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

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Capítulo 3 CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.1 1.

Para las funciones dadas f(x), sean , let x0 = 0, x1 = 0.6, y x2 = 0.9. Construya polinomios de interpolación de grados a lo sumo uno y dos para aproximar f (0.45) y encuentre el error absoluto. a. f (x) = cos x c. f (x) = ln(x + 1) √ b. f (x) = 1 + x d. f (x) = tan x

2.

, let x0 = 1, x1 = 1.25, y x2 = 1.6. Construya polinomios de interpolaPara las funciones dadas f(x), sean ción de grados a lo sumo uno y máximo dos para aproximar f(1.4) y encuentre el error absoluto. a. b.

3. 4. 5.

c. d.

f (8.4) si f (8.1) = 16.94410, f (8.3) = 17.56492, f (8.6) = 18.50515, f (8.7) = 18.82091 f − 31 si f (−0.75) = −0.07181250, f (−0.5) = −0.02475000, f (−0.25) = 0.33493750, f (0) = 1.10100000 f (0.25) si f (0.1) = 0.62049958, f (0.2) = −0.28398668, f (0.3) = 0.00660095, f (0.4) = 0.24842440 f (0.9) si f (0.6) = −0.17694460, f (0.7) = 0.01375227, f (0.8) = 0.22363362, f (1.0) = 0.65809197

Use polinomios de interpolación de Lagrange adecuados de grados uno, dos y tres para aproximar cada uno de los siguientes: a. f (0.43) si f (0) = 1, f (0.25) = 1.64872, f (0.5) = 2.71828, f (0.75) = 4.48169 f (0) si f (−0.5) = 1.93750, f (−0.25) = 1.33203, f (0.25) = 0.800781, f (0.5) = 0.687500 b. c. d.

7.

f (x) = log10 (3x − 1) f (x) = e2x − x

Use el teorema 3.3 para encontrar una cota del error para las aproximaciones en el ejercicio 1. Use el teorema 3.3 para encontrar una cota del error para las aproximaciones en el ejercicio 2. Use polinomios de interpolación de Lagrange adecuados de grados 1, 2 y 3 para aproximar cada una de las siguientes imágenes: a. b.

6.

c. d.

f (x) = sen π x √ f (x) = 3 x − 1

f (0.18) si f (0.1) = −0.29004986, f (0.2) = −0.56079734, f (0.3) = −0.81401972, f (0.4) = −1.0526302 f (0.25) si f (−1) = 0.86199480, f (−0.5) = 0.95802009, f (0) = 1.0986123, f (0.5) = 1.2943767

Los datos para el ejercicio 5 se generaron usando las siguientes funciones. Use la fórmula del error para encontrar una cota del error y compárela con el error real en los casos n 5 1 y n 5 2. a. f (x) = x ln x b. f (x) = x 3 + 4.001x 2 + 4.002x + 1.101 c. f (x) = x cos x − 2x 2 + 3x − 1 d. f (x) = sen (e x − 2)

8.

Los datos para el ejercicio 6 se generaron usando las siguientes funciones. Use la fórmula del error para encontrar una cota del error y compárela con el error real en los casos n 5 1 y n 5 2. a. f (x) = e2x b. f (x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 c. f (x) = x 2 cos x − 3x d. f (x) = ln(e x + 2) 9. Si P3(x) es el polinomio de interpolación para los datos (0, 0), (0.5, y), (1, 3) y (2, 2). El coeficiente de x3 en P3(x) es√6. Encuentre y. 10. Sea f (x) = x − x 2 y P2 (x) es el polinomio de interpolación en x0 5 0, x1 y x2 5 1. Encuentre el valor más grande de x1 en (0, 1) para el que f(0.5) 2 P2(0.5) 5 20.25. 11. Use los siguientes valores y la aritmética de redondeo de cuatro dígitos para construir una aproximación del tercer polinomio de Lagrange para f (1.09). La función aproximada es f (x) 5 log10(tan x ). Use esta información para encontrar una cota para el error en la aproximación. f (1.00) = 0.1924

f (1.05) = 0.2414

f (1.10) = 0.2933

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f (1.15) = 0.3492

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Capítulo 3 12. Use el polinomio de interpolación de Lagrange de grado 3 o menos y la aritmética de corte de cuatro dígitos para aproximar cos 0.750 con los siguientes valores. Encuentre una cota para el error en la aproximación cos 0.698 = 0.7661

cos 0.733 = 0.7432

cos 0.768 = 0.7193

cos 0.803 = 0.6946

El valor real de cos 0.750 es 0.7317 (para cuatro lugares decimales). Explique la discrepancia entre el error real y la cota del error. 13. Construya los polinomios de interpolación de Lagrange para las siguientes funciones y encuentre una cota para el error absoluto en el intervalo [x0, xn]. a. f (x) = e2x cos 3x, x0 = 0, x1 = 0.3, x2 = 0.6, n = 2 b. f (x) = sen(ln x), x0 = 2.0, x1 = 2.4, x2 = 2.6, n = 2 c. f (x) = ln x, x0 = 1, x1 = 1.1, x2 = 1.3, x3 = 1.4, n = 3 d. f (x) = cos x + sen x, x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 1.0, n = 3 14. Construya los polinomios de interpolación de Lagrange para las siguientes funciones y encuentre una cota para el error absoluto en el intervalo [x0, xn]. a. f (x) = e−2x sen 3x, x0 = 0, x1 = π6 , x2 = π4 , n = 2 b. f (x) = log10 x, x0 = 3.0, x1 = 3.2, x2 = 3.5, n = 2 c. f (x) = e x + e−x , x0 = −0.3, x1 = 0, x2 = 0.3, n = 2 d. f (x) = cos(2 ln(3x)), x0 = 0, x1 = 0.3, x2 = 0.5, x3 = 1.0, n = 3 15. Sea a. b. c. d.

f (x) = e x , para 0 ≤ x ≤ 2. Aproxime f(0.25) usando interpolación lineal con x0 5 0 y x1 5 0.5. Aproxime f(0.75) usando interpolación lineal con x0 5 0.5 y x1 5 1. Aproxime f (0.25) y f(0.75) usando el segundo polinomio de interpolación con x0 5 0, x1 5 1 y x2 5 2. ¿Cuáles aproximaciones son mejores y por qué?

f (x) = e−x cos x, para 0 ≤ x ≤ 1. Aproxime f (0.25) usando interpolación lineal con x0 5 0 y x1 5 0.5. Aproxime f (0.75) usando interpolación lineal con x0 5 0.5 y x1 5 1. Aproxime f(0.25) y f (0.75) usando el segundo polinomio de interpolación con x0 5 0, x1 5 0.5 y x2 5 1.0. d. ¿Cuáles aproximaciones son mejores y por qué? 17. Suponga que usted necesita construir tablas de ocho lugares decimales para la función logarítmica común, o de base 10, desde x 5 1 hasta x 5 10 de tal forma que la interpolación lineal sea precisa dentro de 1026. Determine una cota del tamaño de paso para esta tabla. ¿Qué selección de tamaño de paso realizaría para garantizar que x 5 10 se encuentra en la tabla? 18. En el ejercicio 24 de la sección 1.1 se integró una serie de Maclaurin para aproximar erf(1), donde erf(x) es la función de error de distribución normal definida por

16. Sea a. b. c.

2 erf(x) = √ π

a. b.

x

2

e−t dt. 0

Use la serie de Maclaurin para construir una tabla para erf(x) que sea precisa dentro de 10–4 para erf(xi), donde xi 5 0.2i, para i 5 0, 1, …, 5. Use tanto la interpolación lineal como la interpolación cuadrática para obtener una aproximación para erf( 13 ). ¿Qué enfoque parece más factible?

EJERCICIOS APLICADOS 19. a.

La introducción para este capítulo incluyó una tabla que enumera la población de Estados Unidos desde 1960 hasta 2010. Use la interpolación de Lagrange para aproximar la población en los años 1950, 1975, 2014 y 2020. b. La población en 1950 era aproximadamente 150 697 360 y en 2014 se calculó que era de 317 298 000. ¿Qué tan precisas cree usted que son sus cifras para 1975 y 2020? 20. Se sospecha que las grandes cantidades de tanino en las hojas maduras de los robles inhiben el crecimiento de la larva de polilla de invierno (Operophtera bromata L., Geometridae) que daña en exceso estos árboles en ciertos años. La siguiente tabla enumera el peso promedio de dos muestras de la larva

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Conjunto de ejercicios en los primeros 28 días después de su nacimiento. Mientras la primera muestra se crió en las hojas jóvenes de roble, la segunda muestra se crió en las hojas maduras. a. Use la interpolación de Lagrange para aproximar la curva de peso promedio para cada muestra. b. Encuentre un peso promedio máximo aproximado para cada muestra determinando el máximo del polinomio de interpolación. Día Muestra 1 peso promedio (mg) Muestra 2 peso promedio (mg)

0

6

10

13

17

20

28

6.67 6.67

17.33 16.11

42.67 18.89

37.33 15.00

30.10 10.56

29.31 9.44

28.74 8.89

EJERCICIOS TEÓRICOS 21. Muestre que

máx

x j ≤x≤x j+1

|g(x)| = h 2 /4, donde g(x) = (x − j h)(x − ( j + 1)h).

22. Pruebe el teorema de Taylor 1.14 siguiendo el procedimiento en la demostración del teorema 3.3. [Sugerencia: Sea g(t) = f (t) − P(t) − [ f (x) − P(x)] ·

(t − x0 )n+1 , (x − x0 )n+1

donde P es el enésimo polinomio de Taylor y use el teorema de generalización de Rolle 1.10.] 23. El polinomio de Bernstein de grado n para f ∈ C[0, 1] está dado para n

Bn (x) =

k=0

n k

k n

f

x k (1 − x)n−k ,

donde nk denota n!/k!(n − k)!. Estos polinomios se pueden usar en una prueba constructiva del teorema de aproximación de Weierstrass 3.1 (consulte [Bart]) porque lím Bn (x) = f (x) para cada x n→∞ para cada x ∈ [0, 1]. a. Encuentre B3(x) para las funciones i. f (x) = x ii. f (x) = 1 b.

Muestre que para cada k ≤ n,

n−1 k−1

c.

=

k n

n . k

Use la parte b) y el hecho, a partir de ii) en la parte a), de que n

1=

k=0

n k x (1 − x)n−k , k

para cada n,

para mostrar que, para f (x) = x 2 ,

n−1 1 x 2 + x. n n Use la parte c) para calcular el valor de n necesario para que Bn (x) − x 2 ≤ 10−6 sea válido para todas las x en [0, 1]. Bn (x) =

d.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

Suponga que usamos el polinomio de Lagrange para ajustar dos conjuntos de datos determinados que concuerdan exactamente, excepto por una pequeña perturbación en uno de los puntos de datos debido al error de medición. A pesar de que la perturbación es pequeña, el cambio en el polinomio de Lagrange es grande. Explique por qué se presenta esta discrepancia. Si decidimos incrementar el grado del polinomio de interpolación al agregar nodos, ¿existe una forma fácil de usar un polinomio de interpolación previo para obtener un polinomio de interpolación de grado más alto o necesitamos volver a empezar?

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Capítulo 3

CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.2 1.

Con el método de Neville obtenga las aproximaciones para los polinomios de interpolación de Lagrange de grados uno, dos y tres para aproximar cada uno de los siguientes: a. b. c. d.

2.

Use el método de Neville a fin de obtener las aproximaciones para los polinomios de interpolación de Lagrange de grados uno, dos y tres para aproximar cada uno de los siguientes: a. f (0.43) si f (0) = 1, f (0.25) = 1.64872, f (0.5) = 2.71828, f (0.75) = 4.48169 b.

c. d.

3.

b.

5.

f (0) si f (−0.5) = 1.93750, f (−0.25) = 1.33203, f (0.25) = 0.800781, f (0.5) = 0.687500

f (0.18) si f (0.1) = −0.29004986, f (0.2) = −0.56079734, f (0.3) = −0.81401972, f (0.4) = −1.0526302

f (0.25) si f (−1) = 0.86199480, f (−0.5) = 0.95802009, f (0) = 1.0986123, f (0.5) = 1.2943767 √ Use el método de Neville para aproximar 3 con las siguientes funciones y valores. a.

4.

f (8.4) si f (8.1) = 16.94410, f (8.3) = 17.56492, f (8.6) = 18.50515, f (8.7) = 18.82091 f − 31 si f (−0.75) = −0.07181250, f (−0.5) = −0.02475000, f (−0.25) = 0.33493750, f (0) = 1.10100000 f (0.25) si f (0.1) = 0.62049958, f (0.2) = −0.28398668, f (0.3) = 0.00660095, f (0.4) = 0.24842440 f (0.9) si f (0.6) = −0.17694460, f (0.7) = 0.01375227, f (0.8) = 0.22363362, f (1.0) = 0.65809197

f (x) = 3x y los valores x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1, y x4 = 2. √ f (x) = x y los valores x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, y x4 = 5.

c. Compare la precisión de la aproximación en las partes a) y b). Sea P3(x) el polinomio de interpolación para los datos (0, 0), (0.5, y), (1, 3) y (2, 2). Encuentre y si el coeficiente de x3 en P3(x) es 6. El método de Neville se usa para aproximar f(0.4), dada la siguiente tabla. x0 x1 x2 x3

6.

=0 = 0.25 = 0.5 = 0.75

P0 = 1 P1 = 2 P2 P3 = 8

P0 = 0 P1 = 2.8 P2

P0,1,2,3 = 3.016

P0,1 = 3.5 P1,2

P0,1,2 =

27 7

Determine P2 5 f (0.7). Suponga que xj 5 j, para j 5 0, 1, 2, 3, y se sabe que P0,1 (x) = 2x + 1,

8.

P0,1,2 P1,2,3 = 2.96

Determine P2 5 f (0.5). El método de Neville se usa para aproximar f (0.5), dada la siguiente tabla. x0 = 0 x1 = 0.4 x2 = 0.7

7.

P01 = 2.6 P1,2 P2,3 = 2.4

P0,2 (x) = x + 1,

y

P1,2,3 (2.5) = 3.

y

P1,2,3 (1.5) = 4.

Encuentre P0,1,2,3 5 (2.5). Suponga xj 5 j, para j 5 0, 1, 2, 3, y se sabe que P0,1 (x) = x + 1,

P1,2 (x) = 3x − 1,

Encuentre P0,1,2,3(1.5). El algoritmo de Neville se usa para aproximar f(0) usando f(22), f(21), f(1) y f(2). Suponga que f(21) se disminuyó en 2 y f(1) se incrementó en 3. Determine el error en el cálculo original del valor del polinomio de interpolación para aproximar f(0). 10. El algoritmo de Neville se utiliza para aproximar f(0) mediante f(22), f(21), f (1) y f(2). Suponga que f(21) se disminuyó en 2 y f(1) se incrementó en 3. Determine el error en el cálculo original del valor del polinomio de interpolación para aproximar f(0).

9.

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Conjunto de ejercicios

EJERCICIOS TEÓRICOS √ to f (1 + 10), donde f (x) = (1 +√x 2 )−1 11. Construya una sucesión de valores interpolantes yn para para 25 ≤ x ≤ 5, como sigue: para cada n = 1, 2, . . . , 10, sea h = 10/n y yn = Pn (1 + 10), , . . . , xn(n) y x (n) nodes x0(n) , x1(n) √ donde Pn(x) es el polinomio de interpolación para f(x) en los nodos j = −5 + j h, para cada j 5 0, 1, 2, …, n. ¿La sucesión {yn} parece convergertoa f (1 + 10)?

Interpolación inversa Suponga que f ∈ C 1 [a, b], f (x) = 0 en [a, b] y f tiene un cero p en [a, b]. Si x0, …, xn son n 1 1 números distintos en [a, b] con f(xk) 5 yk para cada k 5 0, 1, …, n. Para aproximar p, construya el polinomio de interpolación de grado n en los nodos y0, …, yn para f –1. Puesto que yk 5 f(xk) y 0 5 f( p), sigue que f –1( yk) 5 xk y p 5 f –1(0). El uso de la interpolación iterada para aproximar f –1(0) recibe el nombre de interpolación iterada inversa. 12. Use la interpolación inversa para encontrar una aproximación a la solución de x 2 e–x 5 0, usando los datos x

0.3

0.4

0.5

0.6

e−x

0.740818

0.670320

0.606531

0.548812

13. Construya un algoritmo que pueda usarse para la interpolación inversa.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

Fiabilidad: ¿Qué es y cómo se mide? Lea el artículo que se encuentra en http://www.slideshare.net/ analisedecurvas/reliability-what-is-it-and-how-is-it-measured. Resuma sus hallazgos y describa cómo se aplica el método de Neville para medir el error. ¿El método de Neville se puede usar para obtener el polinomio de interpolación en un punto general en oposición a un punto específico?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.3 1.

2.

Utilice la ecuación (3.10) o el algoritmo 3.2 para construir polinomios interpolantes de grados uno, dos y tres para los siguientes datos. Aproxime el valor especificado usando cada uno de los polinomios. a. f (8.4) si f (8.1) = 16.94410, f (8.3) = 17.56492, f (8.6) = 18.50515, f (8.7) = 18.82091 f (0.9) si f (0.6) = −0.17694460, f (0.7) = 0.01375227, f (0.8) = 0.22363362, f (1.0) = b. 0.65809197 Utilice la ecuación (3.10) o el algoritmo 3.2 para construir polinomios interpolantes de grados uno, dos y tres para los siguientes datos. Aproxime el valor especificado usando cada uno de los polinomios. a. b.

3.

Utilice la fórmula de diferencias hacia adelante de Newton para construir los polinomios de interpolación de grados uno, dos y tres para los siguientes datos. Aproxime el valor especificado usando cada uno de los polinomios. a. b.

4.

f (0.43) si f (0) = 1, f (0.25) = 1.64872, f (0.5) = 2.71828, f (0.75) = 4.48169 f (0) si f (−0.5) = 1.93750, f (−0.25) = 1.33203, f (0.25) = 0.800781, f (0.5) = 0.687500

f − 13 si f (−0.75) = −0.07181250, f (−0.5) = −0.02475000, f (−0.25) = 0.33493750, f (0) = 1.10100000 f (0.25) si f (0.1) = −0.62049958, f (0.2) = −0.28398668, f (0.3) = 0.00660095, f (0.4) = 0.24842440

Utilice la fórmula de diferencias hacia adelante de Newton para construir los polinomios de interpolación de grados uno, dos y tres para los siguientes datos. Aproxime el valor especificado usando cada uno de los polinomios. a. b.

f (0.43) si f (0) = 1, f (0.25) = 1.64872, f (0.5) = 2.71828, f (0.75) = 4.48169

f (0.18) si f (0.1) = −0.29004986, f (0.2) = −0.56079734, f (0.3) = −0.81401972, f (0.4) = −1.0526302

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Capítulo 3 5.

Utilice la fórmula de diferencias hacia adelante de Newton para construir los polinomios de interpolación de grados uno, dos y tres para los siguientes datos. Aproxime el valor especificado usando cada uno de los polinomios. a. f (−1/3) si f (−0.75) = −0.07181250, f (−0.5) = −0.02475000, f (−0.25) = 0.33493750, f (0) = 1.10100000

b.

6.

Utilice la fórmula de diferencias hacia adelante de Newton para construir los polinomios de interpolación de grado uno, dos y tres para los siguientes datos. Aproxime el valor especificado mediante cada uno de los polinomios. a. f (0.43) si f (0) = 1, f (0.25) = 1.64872, f (0.5) = 2.71828, f (0.75) = 4.48169

b.

7.

8.

9.

f (0.25) si f (0.1) = −0.62049958, f (0.2) = −0.28398668, f (0.3) = 0.00660095, f (0.4) = 0.24842440

a.

b. a.

b. a.

f (0.25) si f (−1) = 0.86199480, f (−0.5) = 0.95802009, f (0) = 1.0986123, f (0.5) = 1.2943767 Utilice el algoritmo 3.2 para construir el polinomio interpolante de grado tres para los puntos espaciados de manera desigual que se dan en la siguiente tabla:

−0.1 0.0 0.2 0.3

5.30000 2.00000 3.19000 1.00000

x

f (x)

0.0 0.1 0.3 0.6 1.0

−6.00000 −5.89483 −5.65014 −5.17788 −4.28172

Agregue f (1.1) 5 23.99583 a la tabla y construya el polinomio interpolante de grado cinco. Aproxime f(0.05) usando los siguientes datos y la fórmula de diferencias hacia adelante de Newton:

f (x)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.00000

1.22140

1.49182

1.82212

2.22554

Use la fórmula de diferencias hacia atrás de Newton para aproximar f(0.65). Use la fórmula de Stirling para aproximar f (0.43). Aproxime f (20.05) usando los siguientes datos y la fórmula de diferencias hacia adelante de Newton: x −1.2 −0.9 −0.6 −0.3 0.0 f (x)

b. c.

f (x)

Agregue f (0.35) 5 0.97260 a la tabla y construya el polinomio interpolante de grado cuatro. Use el algoritmo 3.2 para construir el polinomio interpolante de grado cuatro para los puntos espaciados de manera desigual que se dan en la siguiente tabla:

x

b. c. 10. a.

x

0.18232

−0.105083

−0.51036

−1.20397

−3.12145

Use la fórmula de diferencias hacia atrás de Newton para aproximar f(20.2). Use la fórmula de Stirling para aproximar f(20.43).

11. Se proporcionan los siguientes datos para un polinomio P(x) de grado desconocido. x

0

1

2

P(x)

2

−1

4

Determine el coeficiente de x2 en P(x) si las diferencias hacia adelante de tercer orden son 1.

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Conjunto de ejercicios 12. Se proporcionan los siguientes datos para un polinomio P(x) de grado desconocido.

x

0

1

2

3

P(x)

4

9

15

18

Determine el coeficiente de x3 en P(x) si las diferencias hacia adelante de cuarto orden son 1. 13. La fórmula de la diferencias hacia adelante de Newton se usa para aproximar f(0.3) dada la siguiente tabla. x

0.0

0.2

0.4

0.6

f (x)

15.0

21.0

30.0

51.0

Suponga que se descubre que f(0.4) se subestimó en 10 y que f(0.6) se exageró en 5. ¿En cuánto debería modificarse la aproximación de f(0.3)? 14. Para una función f, la fórmula de diferencias divididas de Newton da el polinomio interpolante P3 (x) = 1 + 4x + 4x(x − 0.25) +

16 x(x − 0.25)(x − 0.5), 3

en los nodos x0 5 0, x1 5 0.25, x2 5 0.5 y x3 5 0.75. Encuentre f(0.75). 15. Un polinomio de cuarto grado P(x) satisface 4 P(0) = 24, 3 P(0) = 6, y P(x) = P(x + 1) − P(x).Compute Calcule 2 P(10). 16. Para una función f, las diferencias divididas hacia adelante están dadas por x0 = 0.0

f [x0 ]

x1 = 0.4

f [x1 ]

x2 = 0.7

f [x2 ] = 6

2

P(0) = 0, donde

f [x0 , x1 ] f [x0 , x1 , x2 ] =

f [x1 , x2 ] = 10

50 7

Determine las entradas faltantes en la tabla.

EJERCICIOS APLICADOS 17. a.

La introducción de este capítulo incluyó una tabla que lista la población de Estados Unidos desde 1960 hasta 2010. Use diferencias divididas adecuadas para aproximar la población en los años 1950, 1975, 2014 y 2020. b. La población en 1950 era aproximadamente 150 697 360 y en 2014 se calculó que sería de 317 298 000. ¿Qué tan precisas cree usted que son las cifras para 1975 y 2020? 18. El tiempo más rápido jamás registrado en el Derby de Kentucky fue de un caballo llamado Secretariat en 1973. Él cubrió la pista de 1 41 de milla en 1:59 52 (1 minuto y 59.4 segundos). Los tiempos para los palos de cuarto de milla, media milla y una milla fueron: 0:25 51 , 0 : 49 15 , y 1:36 25 . a. Use la interpolación para predecir el tiempo en el palo de tres cuartos de milla y compárelo con el tiempo real de 1:13. b. Use la derivada del polinomio de interpolación para calcular la velocidad de Secretariat al final de la carrera.

EJERCICIOS TEÓRICOS 19. Muestre que el polinomio que interpola los siguientes datos tiene grado tres. x f (x)

−2

−1

0

1

2

3

1

4

11

16

13

−4

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Capítulo 3 20. a.

Muestre que los polinomios cúbicos P(x) = 3 − 2(x + 1) + 0(x + 1)(x) + (x + 1)(x)(x − 1) y Q(x) = −1 + 4(x + 2) − 3(x + 2)(x + 1) + (x + 2)(x + 1)(x) interpolan los datos x

−2

−1

0

1

2

f (x)

−1

3

1

−1

3

b. ¿Por qué la parte a) no viola la propiedad de unicidad de los polinomios de interpolación? 21. Dado Pn (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) + a3 (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) + · · · + an (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn−1 ), use Pn (x2 ) para mostrar que a2 = f [x0 , x1 , x2 ].

22. Muestre que f [x0 , x1 , . . . , xn , x] =

f (n+1) (ξ(x)) , (n + 1)!

para algunos ξ(x). [Sugerencia: A partir de la ecuación (3.3) f (x) = Pn (x) +

f (n+1) (ξ(x)) (x − x0 ) · · · (x − xn ). (n + 1)!

Considerando el polinomio de interpolación de grado n + 1 en x0 , x1 , . . . , xn , x, tenemos f (x) = Pn+1 (x) = Pn (x) + f [x0 , x1 , . . . , xn , x](x − x0 ) · · · (x − xn ).

that f [xi0 , xi1 , . . . , xin ] = f [x0 , 23. Sea i 0 , i 1 , . . . , i n una reorganización de los enteros 0, 1, …, n. Muestre que x1 , . . . , xn ]. [Sugerencia: Considere el coeficiente principal del enésimo polinomio de Lagrange sobre los datos {x0 , x1 , . . . , xn } = {xi0 , xi1 , . . . , xin }.]

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3.

Compare y contraste varios de los diferentes métodos de diferencias divididas que leyó en este capítulo. ¿Es más fácil agregar un nuevo par de datos usando métodos de diferencias divididas con el fin de obtener un polinomio de Lagrange de grado superior? El polinomio de Lagrange se usó para deducir la fórmula del error en la interpolación polinomial. ¿Es posible usar alguna de estas fórmulas de diferencias divididas para deducir ese error? ¿Por qué sí o por qué no?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.4 1.

Use el teorema 3.9 o el algoritmo 3.3 para construir un polinomio de aproximación para los siguientes datos. a. x f (x) f (x) f (x) f (x) b. x

c.

8.3 8.6 x

17.56492 3.116256 18.50515 3.151762 f x f x

d.

0.8 1.0 x

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0.22363362 0.65809197 f x

2.1691753 2.0466965 f x

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Conjunto de ejercicios c.

2.

3.

−0.0247500 0.3349375 1.1010000

0.7510000 2.1890000 4.0020000

c.

0 0.5 x

1.00000 2.00000 2.71828 5.43656 f (x) f (x)

0.1 0.2 0.3

−0.29004996 −0.56079734 −0.81401972

d.

x

f (x)

f (x)

0.1 0.2 0.3 0.4

−0.62049958 −0.28398668 0.00660095 0.24842440

3.58502082 3.14033271 2.66668043 2.16529366

f (x)

f (x)

b.

x

f (x)

f (x)

d.

−0.25 0.25 x

1.33203 0.800781 f (x)

0.437500 −0.625000 f (x)

−1 −0.5 0 0.5

0.86199480 0.95802009 1.0986123 1.2943767

−2.8019975 −2.6159201 −2.9734038

0.15536240 0.23269654 0.33333333 0.45186776

Los datos en el ejercicio 1 se generaron usando las siguientes funciones. Use los polinomios construidos en el ejercicio 1 para aproximar f(x) en el valor de x dado y calcular el error absoluto.

c.

f (x) = x ln x;

aproxime f (8.4).

x

f (x) = sen(e − 2); 3

aproxime f (0.9).

2

f (x) = x + 4.001x + 4.002x + 1.101;

aproxime f (−1/3).

f (x) = x cos x − 2x 2 + 3x − 1; aproxime f (0.25).

Los datos en el ejercicio 2 se generaron usando las siguientes funciones. Utilice los polinomios construidos en el ejercicio 2 para aproximar f(x) en el valor de x dado y calcule el error absoluto. a. b. c. d.

7.

−0.5 −0.25 0

x

d.

6.

f (x)

a.

b.

5.

f (x)

Use el teorema 3.9 o el algoritmo 3.3 para construir un polinomio de aproximación para los siguientes datos.

a.

4.

x

a.

f (x) = e2x ;

aproxime f (0.43).

f (x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1; aproxime f (0).

f (x) = x 2 cos x − 3x; x

f (x) = ln(e + 2);

aproxime f (0.18).

aproxime f (0.25).

Use los siguientes valores y la aritmética de redondeo de cinco dígitos para construir el polinomio de interpolación de Hermite para aproximar sen 0.34. x

sen x

Dx sen x = cos x

0.30 0.32 0.35

0.29552 0.31457 0.34290

0.95534 0.94924 0.93937

b. Determine una cota del error para la aproximación en la parte a) y compárela con el error real. c. Agregue sen 0.33 5 0.32404 y cos 0.33 5 0.94604 a los datos y repita los cálculos. Sea f(x) 5 3xex 2 e2x . a. Aproxime f(1.03) mediante el polinomio de interpolación de Hermite de grado máximo tres usando x0 5 1 y x1 5 1.05. Compare el error real con la cota del error. b. Repita a) con el polinomio de interpolación de Hermite de grado máximo cinco usando x0 5 1, x1 5 1.05 y x2 5 1.07. 2 La siguiente tabla lista los datos para la función descrita mediante f (x) = e0.1x . Aproxime f(1.25) por medio de H5(1.25) y H3(1.25), donde H5 usa los nodos x0 5 1, x1 5 2 y x2 5 3 y H3 usa los nodos x¯ 0 = 1 y x¯ 1 = 1.5. Encuentre las cotas del error para estas aproximaciones. x0 x¯ 1 x1 x2

2

x

f (x) = e0.1x

= x0 = 1 = 1.5 =2 =3

1.105170918 1.252322716 1.491824698 2.459603111

f (x) = 0.2xe0.1x 0.2210341836 0.3756968148 0.5967298792 1.475761867

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Capítulo 3

EJERCICIOS APLICADOS 8.

Un lanzador de béisbol lanza una bola rápida desde el montículo del lanzador hacia el receptor. A pesar de que la distancia desde el montículo hasta el plato de home es 60 pies y 6 pulgadas, normalmente, la bola viaja aproximadamente 55 pies y 5 pulgadas. Suponga que la velocidad inicial de la bola es 95 millas por hora y que la velocidad final en el plato de home es 92 millas por hora. Construya un polinomio de interpolación de Hermite para los datos Tiempo t (en segundos)

0

0.4

Distancia d (en pies)

0

55.5

95

92

Velocidad (millas por hora)

a.

9.

Use la derivada del polinomio de Hermite para calcular la velocidad de la bola de béisbol en millas por hora en t = 0.2 segundos. b. ¿La velocidad máxima de la pelota se presenta en t 5 0, o la derivada del polinomio de Hermite tiene un máximo que supera las 95 millas por hora? En ese caso, ¿esto parece razonable? [Sugerencia: Convierta las millas por hora en pies por segundo para resolver el problema y después regresar a las millas por hora para dar las respuestas.] La información de un automóvil que circula por un camino recto se registra en diversos puntos. Los datos a partir de las observaciones se muestran en la siguiente tabla, donde el tiempo está en segundos, la distancia en pies y la velocidad en pies por segundo.

a. b.

c.

Tiempo

0

3

5

8

13

Distancia

0

225

383

623

993

Velocidad

75

77

80

74

72

Use el polinomio de Hermite para predecir la posición del vehículo y su velocidad cuando t = 10 segundos. Use la derivada del polinomio de Hermite para determinar si el automóvil excede en algún punto el límite de velocidad de 55 millas por hora. En ese caso, ¿cuál es la primera vez que el automóvil excede esta velocidad? ¿Cuál es la velocidad máxima prevista para el automóvil?

EJERCICIOS TEÓRICOS 10. Sea z 0 = x0 , z 1 = x0 , z 2 = x1 , y z 3 = x1. Forme la siguiente tabla de diferencias divididas. z 0 = x0

f [z 0 ] = f (x0 )

z 1 = x0

f [z 1 ] = f (x0 )

z 2 = x1

f [z 2 ] = f (x1 )

z 3 = x1

f [z 3 ] = f (x1 )

f [z 0 , z 1 ] = f (x0 )

f [z 0 , z 1 , z 2 ]

f [z 1 , z 2 ]

f [z 0 , z 1 , z 2 , z 3 ] f [z 1 , z 2 , z 3 ]

f [z 2 , z 3 ] = f (x1 )

Muestre que el polinomio cúbico de Hermite H3(x) también se puede escribir como f [z 0 ] + f [z 0 , z 1 ]( z 1 ](x − x0 ) + f [z 0 , z 1 , z 2 ](x − x0 )2 + f [z 0 , z 1 , z 2 , z 3 ](x − x0 )2 (x − x1 ). 11. a. Muestre que H2n11(x) es el único polinomio de menor grado que concuerda con f y f9 en x0, …, xn. [Sugerencia: Suponga que P(x) es otro polinomio y considere D 5 H2n11 2 P y D’ en x0, x1, …, xn.] b. Deduzca el término del error en el teorema 3.9 [Sugerencia: Use el mismo método en la deducción del error de Lagrange, teorema 3.3, al definir g(t) = f (t) − H2n+1 (t) −

(t − x0 )2 · · · (t − xn )2 [ f (x) − H2n+1 (x)] (x − x0 )2 · · · (x − xn )2

y usar el hecho de que g9(t) tiene (2n12) ceros distintos en [a, b].]

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Conjunto de ejercicios

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2. 3.

Uno de los problemas con interpolación polinomial es que a pesar de que se ajusta a los puntos, la forma de la curva no siempre concuerda muy bien. Un enfoque es usar los polinomios de interpolación y ajustar las derivadas y los puntos, describa, con palabras propias, cómo se logra esto. En esta sección se presentaron dos métodos para encontrar el polinomio de Hermite. Explique la utilidad para cada uno de los dos métodos. Investigue la derivación del método de diferencias divididas para calcular el polinomio de interpolación de Hermite. [Sugerencia: Consulte la referencia de Powell].

CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.5 1. 2. 3.

Determine el spline cúbico natural S que interpola los datos f (0) = 0, f (1) = 1, y f (2) = 2. Determine el spline cúbico condicionado s que interpola los datos f (0) = 0, f (1) = 1 y f (2) = 2 y satisface s (0) = s (2) = 1. Construya el spline cúbico natural para los siguientes datos. a.

x

c.

8.3 8.6 x −0.5 −0.25 0

4.

f (x) 17.56492 18.50515 f (x)

b.

x

f (x)

d.

0.8 1.0 x

0.22363362 0.65809197 f (x)

0.1 0.2 0.3 0.4

−0.62049958 −0.28398668 0.00660095 0.24842440

−0.0247500 0.3349375 1.1010000

Construya el spline cúbico natural para los siguientes datos. a.

x

f (x)

c.

0 0.5 x

1.00000 2.71828 f (x)

0.1 0.2 0.3

−0.29004996 −0.56079734 −0.81401972

b.

x

f (x)

d.

−0, 25 0.25 x

1.33203 0.800781 f (x)

−1 −0.5 0 0.5

0.86199480 0.95802009 1.0986123 1.2943767

5.

Los datos en el ejercicio 3 se generaron usando las siguientes funciones. Utilice los splines cúbicos construidos en dicho ejercicio para el valor determinado de x con el fin de aproximar f (x) y f 9(x) y calcule el error real. a. f (x) = x ln x; aproxime f (8.4) y f (8.4). f (x) = sen(e x − 2); aproxime f (0.9) y f (0.9). b. c. f (x) = x 3 + 4.001x 2 + 4.002x + 1.101; aproxime f (− 31 ) y f (− 13 ). f (x) = x cos x − 2x 2 + 3x − 1; aproxime f (0.25) y f (0.25). d.

6.

Los datos en el ejercicio 4 se generaron usando las siguientes funciones. Utilice los splines cúbicos construidos en dicho ejercicio para el valor determinado de x a fin de aproximar f (x) y f 9(x) y calcule el error real. a. f (x) = e2x ; aproxime f (0.43) y f (0.43). f (x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1; aproxime f (0) y f (0). b. c. f (x) = x 2 cos x − 3x; aproxime f (0.18) y f (0.18). d. f (x) = ln(e x + 2); aproxime f (0.25) y f (0.25).

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Capítulo 3 7.

Construya el spline cúbico condicionado usando los datos del ejercicio 3 y el hecho de que a. f (8.3) = 1.116256 y f (8.6) = 1.151762. b. f (0.8) = 2.1691753 y f (1.0) = 2.0466965. c. f (−0.5) = 0.7510000 y f (0) = 4.0020000. d. f (0.1) = 3.58502082 y f (0.4) = 2.16529366.

8.

Construya el spline cúbico condicionado usando los datos del ejercicio 3 y el hecho de que a. f (0) = 2 y f (0.5) = 5.43656. b. f (−0.25) = 0.437500 y f (0.25) = −0.625000. c. f (0.1) = −2.8004996 y f (0) = −2.9734038. d. f (−1) = 0.15536240 y f (0.5) = 0.45186276.

9. Repita el ejercicio 5 usando los splines cúbicos condicionados construidos en el ejercicio 7. 10. Repita el ejercicio 6 usando los splines cúbicos condicionados construidos en el ejercicio 8. 11. Un spline cúbico natural S en [0, 2] se define mediante S(x) =

S0 (x) = 1 + 2x − x 3 , S1 (x) = 2 + b(x − 1) + c(x − 1)2 + d(x − 1)3 ,

si 0 ≤ x < 1, si 1 ≤ x ≤ 2.

Encuentre b, c y d. 12. Un spline cúbico natural S se define mediante S(x) =

S0 (x) = 1 + B(x − 1) − D(x − 1)3 , S1 (x) = 1 + b(x − 2) − 34 (x − 2)2 + d(x − 2)3 ,

si 1 ≤ x < 2, si 2 ≤ x ≤ 3.

Si S interpola los datos (1, 1), (2, 1) y (3, 0) encuentre B, D, b y d. 13. Un spline cúbico condicionado s para una función f se define en [1, 3] mediante s(x) =

s0 (x) = 3(x − 1) + 2(x − 1)2 − (x − 1)3 , si 1 ≤ x < 2, s1 (x) = a + b(x − 2) + c(x − 2)2 + d(x − 2)3 , si 2 ≤ x ≤ 3.

Donde f (1) = f (3), encuentre a, b, c y d. 14. Un spline cúbico condicionado s para una función f se define mediante s(x) =

s0 (x) = 1 + Bx + 2x 2 − 2x 3 , si 0 ≤ x < 1, s1 (x) = 1 + b(x − 1) − 4(x − 1)2 + 7(x − 1)3 , si 1 ≤ x ≤ 2.

Encuentre f (0) y f (2). 15. Dada la partición x0 = 0, x1 = 0.05, y x2 = 0.1 de [0, 0.1], de [0, 0.1] encuentre la función de inter0.1 0.1 polación lineal por tramos F para f (x) = e2x. Aproxime 0 e2x d x con 0 F(x) d x y compare los resultados con el valor real. 16. Dada la partición x0 = 0, x1 = 0.3, y x2 = 0.5 de [0 , 0.5], encuentre la función de interpolación lineal 0.5 0.5 por tramos F para f (x) = sen 3x. Aproxime 0 sen 3x d x con 0 F(x) d x y compare los resultados con el valor real. 17. Construya un spline cúbico natural para aproximar f (x) = cos π x al usar los valores dados por f(x) 1 en x 5 0, 0.25, 0.5, 0.75, y 1.0. Integre el spline sobre [0, 1] y compare el resultado para 0 cos π x d x = 0. Use las derivadas del spline para aproximar f (0.5) y f (0.5). Compare estas aproximaciones con los valores reales. 18. Construya un spline cúbico natural para aproximar f (x) = e−x al usar los valores dados por f(x) en 1 x 5 0, 0.25, 0.75 y 1.0. Integre el spline sobre [0, 1] y compare el resultado para 0 e−x d x = 1 − 1/e. Use las derivadas del spline para aproximar f (0.5) y f (0.5). Compare las aproximaciones con los valores reales. 19. Repita el ejercicio 17, al construir en su lugar el spline cúbico condicionado con f (0) = f (1) = 0. 20. Repita el ejercicio 18, al construir en su lugar el spline cúbico condicionado con f (0) = −1, f (1) = − = −e−1 . 21. Dada la partición x0 = 0, x1 = 0.05, x2 = 0.1 de [0, 0.1] y f (x) = e2x : a. Encuentre el spline cúbico s con condiciones de frontera que interpola f. 0.1 0.1 b. Encuentre una aproximación para 0 e2x d x al evaluar 0 s(x) d x.

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Conjunto de ejercicios c.

Use el teorema 3.13 para calcular máx 0≤x≤0.1 | f (x) − s(x)| y 0.1 0

0.1

f (x) d x −

s(x) d x . 0

d.

Determine el spline cúbico S con condiciones de frontera naturales y compare S(0.02), s(0.02) y e0.04 = 1.04081077. 22. Dada la partición x0 = 0, x1 = 0.3, x2 = 0.5 de [0, 0.5] y f (x) = sen 3x: a. Encuentre el spline cúbico s con condiciones de frontera que interpola f. 0.5 0.5 b. Encuentre una aproximación para 0 sen 3x d x con 0 s(x) d x y compare los resultados con el valor real.

EJERCICIOS APLICADOS 23. Un automóvil que circula por un camino recto se registra en una serie de puntos. Los datos a partir de las observaciones se dan en la siguiente tabla, donde el tiempo se representa en segundos, la distancia en pies y la velocidad en pies por segundo. Tiempo

0

3

5

8

13

Distancia

0

225

383

623

993

Velocidad 75

77

80

74

72

a.

Use un spline cúbico condicionado para predecir la posición del automóvil y su velocidad cuando t 5 10 segundos. b. Use la derivada del spline para determinar si el automóvil excede un límite de velocidad de 55 millas por hora en algún punto en el camino; en ese caso, ¿cuál es la primera vez que el automóvil excede esta velocidad? c. ¿Cuál es la velocidad máxima prevista para el vehículo? 24. a. La introducción para este capítulo incluía una tabla que enumeraba la población de Estados Unidos desde 1960 hasta 2010. Use interpolación de spline cúbico natural para aproximar la población en los años 1950, 1975, 2014 y 2020. b. La población en 1950 era aproximadamente 150 697 360 y en 2014 se calculó que era de 317 298 000. ¿Qué tan precisas cree que son sus cifras para 1975 y 2020? 25. Se sospecha que las grandes cantidades de curtido en hojas maduras de roble inhiben el crecimiento de la larva (Operophtera bromata L., Geometridae) de polilla de invierno que daña considerablemente estos árboles en ciertos años. La siguiente tabla lista el peso promedio de dos muestras de larva en tiempos en los primeros 28 días después del nacimiento. Mientras la primera muestra se crió en hojas jóvenes de roble, la segunda muestra se crió en hojas maduras del mismo árbol. a. Use un spline cúbico natural para aproximar la curva de peso promedio para cada muestra. b. Encuentre un peso promedio máximo aproximado para cada muestra al determinar el máximo del spline. Día

0

6

10

13

17

20

28

Muestra 1 peso promedio (mg) 6.67 17.33 42.67 37.33 30.10 29.31 28.74 Muestra 2 peso promedio (mg) 6.67 16.11 18.89 15.00 10.56

9.44

8.89

26. Un caballo llamado California Chrome ganó el Derby de Kentucky de 2014 (5:2 probabilidades para el favorito) en un tiempo de 2:03:66 (2 minutos y 3.66 segundos) para la carrera de 1¼ de milla. Los tiempos de los postes de cuarto de milla, media milla y una milla fueron 0:23.04, 0:47.37 y 1:37.45. a. Use esos valores junto con el tiempo de inicio para construir un spline cúbico natural para la carrera de California Chrome. b. Use el spline para predecir el tiempo en el poste de tres cuartos de milla y compárelo con el tiempo real de 1:11:80. c. Use el spline para predecir la velocidad de inicio y la velocidad en la meta de California Chrome. 27. La parte superior de este dócil perro se aproxima mediante splines cúbicos interpolantes condicionados. La curva se dibuja en una cuadrícula a partir de la cual se construye la tabla. Use el algoritmo 3.5 para construir los tres splines cúbicos condicionados.

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Capítulo 3 28. Repita el ejercicio 27, construya los tres splines cúbicos naturales con el algoritmo 3.4.

f (x) 8 7 6 5 4 3 2 1

Pendiente 2

2 3

Pendiente 3

Pendiente 24

Pendiente 1

Pendiente 1 3

Curva 1 5

Curva 3

Curva 2

10

15

20

Curva 1

25

Pendiente 2 3 2

30

Curva 2

x

Curva 3

i

xi

f (xi )

f (xi )

i

xi

f (xi )

f (xi )

i

xi

f (xi )

f (xi )

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 5 6 7 8 10 13 17

3.0 3.7 3.9 4.2 5.7 6.6 7.1 6.7 4.5

1.0

0 1 2 3 4 5 6

17 20 23 24 25 27 27.7

4.5 7.0 6.1 5.6 5.8 5.2 4.1

3.0

0 1 2 3

27.7 28 29 30

4.1 4.3 4.1 3.0

0.33

−1.5

−4.0

−0.67

EJERCICIOS TEÓRICOS 29. Suponga que f (x) es un polinomio de grado tres. Muestre que f (x) es un spline cúbico condicionado, pero que no puede ser su propio spline cúbico natural. n 30. Suponga que {xi , f (xi ))}i=1 se encuentran en una línea recta. ¿Qué se puede decir sobre los splines cúbicos naturales y condicionados para la función f ? [Sugerencia: Siga el ejemplo de los resultados de los ejercicios 1 y 2.] 31. Extienda los algoritmos 3.4 y 3.5 para incluir como salida la primera y la segunda derivada del spline en los nodos. 32. Extienda los algoritmos 3.4 y 3.5 para incluir como salida la integral del spline sobre el intervalo [x0, xn]. 33. Sea f ∈ C 2 [a, b] y sean los nodos a = x0 < x1 < · · · < xn = b dados. Deduzca una estimación error similar a la del teorema 3.13 para la función de interpolación lineal por tramos F. Use esta estimación para derivar cotas del error para el ejercicio 15. 34. Sea f definida sobre [a, b] y sean los nodos a = x0 < x1 < x2 = b dados. Un spline cuadrático S interpolante consiste en el polinomio cuadrático S0 (x) = a0 + b0 (x − x0 ) + c0 (x − x0 )2

en [x0 , x1 ]

y el polinomio cuadrático S1 (x) = a1 + b1 (x − x1 ) + c1 (x − x1 )2

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en [x1 , x2 ],

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Conjunto de ejercicios tal que i. ii.

S(x0 ) = f (x0 ), S(x1 ) = f (x1 ), y S(x2 ) = f (x2 ), S ∈ C 1 [x0 , x2 ].

Muestre que las condiciones i) y ii) conducen a cinco ecuaciones en seis variables desconocidas a0 , b0 , c0 , a1 , b1 , y c1 . El problema es decidir cuál condición adicional imponer para hacer que la solución sea única. ¿La condición S ∈ C 2 [x0 , x2 ] conduce a una solución significativa? 35. Determine un spline cuadrático s que interpole los datos f (0) = 0, f (1) = 1, y f (2) = 2 y satisface s (0) = 2.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

En esta sección se analizó la interpolación por splines cúbicos y la interpolación lineal por tramos. La interpolación por spline cuadrático se presentó en un ejercicio. Los splines de grado superior pueden calcularse. Compare el uso de la interpolación por spline cuadrático versus la interpolación por spline cúbico. Investigue la llamada interpolación sin nudo, la cual es una alternativa a la interpolación de spline cúbico condicionado y natural.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.6 1.

Sean (x0 , y0 ) = (0, 0) y (x1 , y1 ) = (5, 2) los extremos de una curva. Use los puntos guía dados para construir aproximaciones paramétricas cúbicas de Hermite (x (t), y (t)) para la curva y trace las aproximaciones. a. (1, 1) y (6, 1) c. (1, 1) y (6, 3) d. (2, 2) y (7, 0) b. (0.5, 0.5) y (5.5, 1.5)

2. 3.

Repita el ejercicio 1 usando los polinomios de Bézier cúbicos. Construya y grafique los polinomios de Bézier cúbicos dados los siguientes puntos y puntos guía. a. Punto (1, 1) con el punto guía (1.5, 1.25) para el punto (6, 2) con el punto guía (7, 3) b. Punto (1, 1) con el punto guía (1.25, 1.5) para el punto (6, 2) con el punto guía (5, 3) c. Punto (0, 0) con el punto guía (0.5, 0.5) para el punto (4, 6) con el punto guía de entrada (3.5, 7) y con el punto guía de salida (4.5, 5) para el punto (6, 1) con el punto guía (7, 2) d. Punto (0, 0) con el punto guía (0.5, 0.5) para el punto (2, 1) con el punto guía de entrada (3, 1) y el punto guía de salida (3, 1) para el punto (4, 0) con l punto guía de entrada (5, 1) y el punto guía de salida (3, 21) para el punto (6, 21) con el punto guía (6.5, 20.25) Use los datos en la siguiente tabla y el algoritmo 3.6 para aproximar la forma de la letra N.

4.

i

xi

yi

αi

βi

0 1 2 3 4

3 2 6 5 6.5

6 2 6 2 3

3.3 2.8 5.8 5.5

6.5 3.0 5.0 2.2

αi

βi

2.5 5.0 4.5 6.4

2.5 5.8 2.5 2.8

EJERCICIOS TEÓRICOS 5.

Suponga que un polinomio de Bézier cúbico está colocado a través de (u0, v0) y (u3, v3) con puntos guía (u1, v1) y (u2, v2), respectivamente. a. Derive las ecuaciones paramétricas para u(t) y v(t) al suponer que u(0) = u 0 ,

u(1) = u 3 ,

u (0) = u 1 − u 0 ,

u (1) = u 3 − u 2

v(0) = v0 ,

v(1) = v3 ,

v (0) = v1 − v0 ,

v (1) = v3 − v2 .

y

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Capítulo 3 b.

Sea f (i/3) = u i , para i = 0, 1, 2, 3, y g(i/3) = vi , para i = 0, 1, 2, 3. Muestre que el polinomio de Bernstein de grado tres en t para f es u(t) y el polinomio de Bernstein de grado tres en t para g es v(t) (consulte el ejercicio 23 de la sección 3.1.)

PREGUNTA DE ANÁLISIS 1.

Investigue la utilidad de los métodos en esta sección para los paquetes de gráficas.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS (FINAL DEL CAPÍTULO) 1.

2.

Los polinomios de interpolación resultan afectados negativamente por datos malos. Es decir, un error en un punto de datos afectará todo el polinomio de interpolación. Los splines hacen que sea posible limitar los efectos malos de un punto de datos erróneo. Analice la forma de lograrlo. Los splines cúbicos tienen las siguientes propiedades: a) interpolan los datos proporcionados; b) tienen continuidad de cero, primera y segunda derivada en puntos interiores y c) satisfacen ciertas condiciones de frontera. Analice las opciones para las condiciones límite

CONCEPTOS CLAVE Aproximación polinomial por tramos Condición de frontera Condición de frontera natural Curva de Bézier Curva paramétrica Diferencias divididas Diferencias hacia adelante Diferencias hacia atrás Fórmula de Stirling

Fórmulas de error Interpolación Interpolación de Hermite Interpolación por splines cúbicos Método de Neville Operador de diferencias hacia adelante Operador de diferencias hacia atrás Polinomio de Lagrange

Polinomio osculante Spline cúbico Spline cúbico condicionado Spline cúbico natural Teorema de aproximación de Weierstrass

REVISIÓN DEL CAPÍTULO En este capítulo consideramos aproximar una función usando polinomios y polinomios por tramos. Encontramos que la función podría especificarse mediante una ecuación de definición dada o al proporcionar puntos en el plano por los que pasa la gráfica de la función. En cada caso se determinó un conjunto de nodos x0, x1, …, xn, y podría requerirse más información, como el valor de diferentes derivadas. Necesitamos encontrar una función de aproximación que satisfaga las condiciones especificadas por estos datos. El polinomio de interpolación P(x) fue el polinomio de grado mínimo que satisfacía, para una función f,

P(xi ) = f (xi ),

para cada i = 0, 1, . . . , n.

Encontramos que aunque este polinomio de interpolación era único, podría tomar muchas formas diferentes. A menudo se usaba la forma de Lagrange para interpolar tablas cuando n era pequeña y deducir fórmulas para aproximar derivadas e integrales. El método de Neville se usó para evaluar varios polinomios de interpolación en el mismo valor de x. Observamos que las formas del polinomio de Newton eran más apropiadas para el cálculo y también se usaban ampliamente para derivar fórmulas en la resolución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, la interpolación polinomial tenía debilidades inherentes de oscilación, en especial

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Conjunto de ejercicios

si el número de nodos era grande. En este caso, había otros métodos que podían aplicarse mejor. Los polinomios de Hermite interpolaban una función y su derivada en los nodos. Podían ser muy precisos, pero requerían más información sobre la función que se aproximaba. Cuando había un gran número de nodos, los polinomios de Hermite también presentaban debilidades de oscilación. La forma de interpolación que se usa de manera más común fue la interpolación polinomial por tramos. Cuando los valores de la función y la derivada estaban disponibles, se recomendaba la interpolación cúbica de Hermite por tramos. De hecho, éste fue el método preferido para interpolar los valores de una función que fue la solución para una ecuación diferencial. Observamos que sólo cuando los valores de la función estaban disponibles, se podía usar la interpolación de spline cúbico natural. Este spline forzaba que la segunda derivada fuera cero en los extremos. Otros splines cúbicos requerían datos adicionales. Por ejemplo, el spline cúbico condicionado necesitaba valores de la derivada de una función en los extremos del intervalo. Como establecimos en la sección 3.3, nuestro tratamiento de métodos de diferencias divididas fue breve ya que los resultados en esta sección no se usarán en gran medida en material subsiguiente. La mayoría de los textos más antiguos sobre análisis numérico incluyen tratamientos amplios de los métodos de diferencias divididas. Si se necesita un tratamiento exhaustivo, el libro de Hildebrand [Hild] es una referencia especialmente buena. Como nota final, existen otros métodos de interpolación que se usan comúnmente. La interpolación trigonométrica, en particular, la transformada rápida de Fourier que se analiza en el capítulo 8, se utiliza con grandes cantidades de datos cuando se asume que la función tiene una naturaleza periódica. También se usa la interpolación mediante funciones racionales. Si se sospecha que los datos son imprecisos, es posible aplicar técnicas de suavizado y se recomienda alguna forma de mínimos cuadrados para ajustar los datos. Los polinomios, las funciones trigonométricas, las funciones racionales y los splines se pueden usar para ajustar datos con mínimos cuadrados. Nosotros los consideramos en el capítulo 8. Las referencias generales para los métodos en este capítulo son los libros de Powell [Pow] y de Davis [Da]. El artículo fundamental sobre splines se debe a Schoenberg [Scho]. Los libros importantes sobre splines son los de Schultz [Schul], De Boor [Deb2], Dierckx [Di] y Schumaker [Schum].

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Capítulo 4 CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.1 1.

Utilice las fórmulas de diferencias hacia adelante y de diferencias hacia atrás para determinar todas las entradas faltantes en las siguientes tablas. a.

2.

x

f (x)

0.5 0.6 0.7

0.4794 0.5646 0.6442

x

f (x)

−0.3 −0.1 −0.1

1.9507 2.0421 2.0601

f (x)

b.

b.

f (x) = sen x

b.

f (x) = 2 cos 2x − x

0.00000 0.74140 1.3718

x

f (x)

1.0 1.2 1.4

1.0000 1.2625 1.6595

f (x)

f (x) = e x − 2x 2 + 3x − 1

f (x) = x 2 ln x + 1

Utilice la fórmula de tres puntos más adecuada para determinar todas las entradas faltantes en las siguientes tablas. a. x f (x) f (x) b. x f (x) f (x) 1.1 1.2 1.3 1.4 c.

6.

0.0 0.2 0.4

f (x)

Los datos en el ejercicio 2 se tomaron de las siguientes funciones. Calcule los errores reales en el ejercicio 2 y encuentre cotas de error mediante las fórmulas de error. a.

5.

f (x)

Los datos en el ejercicio 1 se tomaron de las siguientes funciones. Calcule los errores reales en el ejercicio 1 y encuentre cotas de error mediante las fórmulas de error. a.

4.

x

Utilice las fórmulas de diferencias hacia adelante y de diferencias hacia atrás para determinar todas las entradas faltantes en las siguientes tablas. a.

3.

b.

f (x)

9.025013 11.02318 13.46374 16.44465

x

f (x)

2.9 3.0 3.1 3.2

−4.827866 −4.240058 −3.496909 −2.596792

8.1 8.3 8.5 8.7 f (x)

d.

16.94410 17.56492 18.19056 18.82091

x

f (x)

2.0 2.1 2.2 2.3

3.6887983 3.6905701 3.6688192 3.6245909

f (x)

Use la fórmula de tres puntos más adecuada para determinar todas las entradas faltantes en las siguientes tablas. a.

c.

x

f (x)

−0.3 −0.2 −0.1 0

−0.27652 −0.25074 −0.16134 0

x

f (x)

1.1 1.2 1.3 1.4

1.52918 1.64024 1.70470 1.71277

f (x)

f (x)

b.

d.

x

f (x)

7.4 7.6 7.8 8.0

−68.3193 −71.6982 −75.1576 −78.6974

x

f (x)

−2.7 −2.5 −2.3 −2.1

0.054797 0.11342 0.65536 0.98472

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f (x)

f (x)

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Conjunto de ejercicios 7.

Los datos en el ejercicio 5 se tomaron de las siguientes funciones. Calcule los errores reales en el ejercicio 5 y encuentre cotas de error mediante las fórmulas de error. a. c.

8.

b. d.

f (x) = x ln x f (x) = 2(ln x)2 + 3 sen x

Los datos en el ejercicio 6 se tomaron de las siguientes funciones. Calcule los errores reales en el ejercicio 6 y encuentre cotas de error mediante las fórmulas de error. a. c.

9.

f (x) = e2x f (x) = x cos x − x 2 sen x

f (x) = e2x − cos 2x f (x) = x sen x + x 2 cos x

b. d.

f (x) = ln(x + 2) − (x + 1)2 f (x) = (cos 3x)2 − e2x

Use las fórmulas provistas en esta sección para determinar, con tanta precisión como sea posible, las aproximaciones para todas las entradas faltantes en las siguientes tablas. a.

x

f (x)

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

−1.709847 −1.373823 −1.119214 −0.9160143 −0.7470223 −0.6015966

b.

f (x)

x

f (x)

f (x)

−3.0 −2.8 −2.6 −2.4 −2.2 −2.0

9.367879 8.233241 7.180350 6.209329 5.320305 4.513417

10. Use las fórmulas provistas en esta sección para determinar, con tanta precisión como sea posible, las aproximaciones para todas las entradas faltantes en las siguientes tablas. a.

x

f (x)

1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30

−1.709847 −1.373823 −1.119214 −0.9160143 −0.7470223 −0.6015966

b.

f (x)

x

f (x)

f (x)

−3.0 −2.8 −2.6 −2.4 −2.2 −2.0

16.08554 12.64465 9.863738 7.623176 5.825013 4.389056

11. Los datos en el ejercicio 9 se tomaron de las siguientes funciones. Calcule los errores reales en el ejercicio 9 y encuentre cotas de error mediante las fórmulas de error. a. f (x) = tan x b. f (x) = e x/3 + x 2

12. Los datos en el ejercicio 10 se tomaron de las siguientes funciones. Calcule los errores reales en el ejercicio 10 y encuentre cotas de error mediante las fórmulas de error. a.

b.

f (x) = tan 2x

f (x) = e−x − 1 + x

13. Use los siguientes datos y el conocimiento de que las primeras cinco derivadas de f están acotadas en [1, 5] por 2, 3, 6, 12 y 23, respectivamente, para aproximar f (3), con tanta precisión como sea posible. Encuentre una cota para el error. x

1

2

3

4

5

f (x)

2.4142

2.6734

2.8974

3.0976

3.2804

14. Repita el ejercicio 13, suponiendo, por el contrario, que la tercera derivada de f está acotada en [1, 5] por 4. 15. Repita el ejercicio 1 mediante aritmética de redondeo de cuatro dígitos y compare los errores con los del ejercicio 3. 16. Repita el ejercicio 5 mediante aritmética de redondeo de cuatro dígitos y compare los errores con los del ejercicio 7. 17. Repita el ejercicio 9 mediante aritmética de redondeo de cuatro dígitos y compare los errores con los del ejercicio 11. 18. Considere la siguiente tabla de datos: x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

f (x)

0.9798652

0.9177710

0.808038

0.6386093

0.3843735

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Capítulo 4 a. Utilice todas las fórmulas apropiadas dadas en esta sección para aproximar f (0.4) y f (0.4). b. Utilice todas las fórmulas apropiadas dadas en esta sección para aproximar f (0.6) y f (0.6). 19. Si f (x) = cos π x. Utilice la ecuación (4.9) y los valores f (x) para x = 0.25, 0.5, y 0.75 para aproximar f (0.5). Compare este resultado con el valor exacto y con la aproximación encontrada en el ejercicio 15 de la sección 3.5. Explique por qué este método es especialmente preciso para este problema y encuentre una cota para el error. 20. Sea f (x) = 3xe x − cos x. Utilice los siguientes datos y la ecuación (4.9) para aproximar f (1.3) con con h 5 0.1 y con h 5 0.001. x

1.20

1.29

1.30

1.31

1.40

f (x)

11.59006

13.78176

14.04276

14.30741

16.86187

Compare sus resultados con f (1.3). 21. Considere la siguiente tabla de datos:

a. b. c.

x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

f (x)

0.9798652

0.9177710

0.8080348

0.6386093

0.3843735

Use la ecuación (4.7) para aproximar f 9(0.2). Use la eciación (4.7) para aproximar f 9(1.0). Use la ecuación (4.6) para aproximar f 9(0.6).

EJERCICIOS APLICADOS 22. En un circuito con voltaje E(t) e inductancia L, la primera ley de Kirchhoff provee la relación E(t) = L

di + Ri, dt

donde R es la resistencia en el circuito e i es la corriente. Suponga que medimos la corriente para varios valores de t y obtenemos t

1.00

1.01

1.02

1.03

1.0

i

3.10

3.12

3.14

3.18

3.24

donde t se mide en segundos, i está en amperes, la inductancia L es una constante de 0.98 henrios y la resistencia es 0.142 ohms. Aproxime el valor E(t) cuando t 5 1.00, 1.01, 1.02, 1.03, y 1.04. 23. En el ejercicio 9 de la sección 3.4, se proporcionaron datos que describen un automóvil que viaja por un camino recto. Ese problema pedía predecir la posición y la velocidad del automóvil cuando t = 10 segundos. Utilice los siguientes tiempos y posiciones para predecir la velocidad en cada tiempo listado. Tiempo

0

3

5

8

10

13

Distancia

0

225

383

623

742

993

EJERCICIOS TEÓRICOS 24. Deduzca el error en una fórmula de cinco puntos O(h 4 ) para aproximar f (x0 ) que usa f (x0 − h), f (x0 ), , f (x0 + h), f (x0 + 2h), y f (x0 + 3h). [Sugerencia: Considere la expresión A f (x0 − h) + B f (x0 x0 + h) + C f (x0 + 2h) + D f (x0 + 3h). Expanda f en el cuarto polinomio de Taylor y seleccione A, B, C y D adecuadamente.] 25. Use la fórmula derivada en el ejercicio 24 y los datos en el ejercicio 21 para aproximar f (0.4) y f (0.8). 26. a. Analice los errores de redondeo, como en el ejemplo 4, para la fórmula f (x0 ) =

b.

f (x0 + h) − f (x0 ) h − f (ξ0 ). h 2

Encuentre una h > 0 óptima para la función dada en el ejemplo 2.

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Conjunto de ejercicios 27. Todos los estudiantes de cálculo saben que la derivada de una función f en x se puede definir como f (x) = lím

h→0

f (x + h) − f (x) . h

Seleccione su función f favorita, un número x diferente a cero y computador o calculadora. Genere aproximaciones f n (x) para f (x) mediante f n (x) =

f (x + 10−n ) − f (x) , 10−n

para n = 1, 2, . . . , 20, y describa lo que pasa. 28. Deduzca un método para aproximar f (x0 ) cuyo término de error sea del orden h2 expandiendo la función f en un cuarto polinomio de Taylor alrededor de x0 y evalúe en x0 ± h y x0 ± 2h. 29. Considere la función e(h) =

ε h2 + M, h 6

donde M es una cota para la tercera derivada de una función. Muestre que e(h) tiene un mínimo en √ 3 3ε/M.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2.

En esta sección, usted estudió una variedad de fórmulas para aproximar las derivadas. Compare y contraste estas fórmulas y su medida de error. ¿Cómo sabe cuál fórmula usar? Deduzca un método para aproximar f(x0) cuyo término de error es del orden h2 al expandir la función de f en el cuarto polinomio de Taylor alrededor de x0 y evalúe en x0 + 2h.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.2 1.

Aplique el proceso de extrapolación descrito en el ejemplo 1 para determinar N3(h), una aproximación para f (x0 ), para las funciones y los tamaños de paso siguientes. a. b.

2. 3. 4. 5.

c. d.

f (x) = ln x, x0 = 1.0, h = 0.4 f (x) = x + e x , x0 = 0.0, h = 0.4

f (x) = 2x sen x, x0 = 1.05, h = 0.4 f (x) = x 3 cos x, x0 = 2.3, h = 0.4

Añada otra línea a la tabla de extrapolación en el ejercicio 1 para obtener la aproximación N4(h). Repita el ejercicio 1 mediante aritmética de redondeo de cuatro dígitos. Repita el ejercicio 2 mediante aritmética de redondeo de cuatro dígitos. Los siguientes datos dan aproximaciones para la integral π

sen x d x.

M= 0

N1 (h) = 1.570796,

6.

h 2

N1

= 1.896119,

N1

h 4

= 1.974232,

N1

h 8

= 1.993570.

Al suponer que M = N1 (h) + K 1 h 2 + K 2 h 4 + K 3 h 6 + K 4 h 8 + O(h 10 ), construya una tabla de extrapolación para determinar N4(h). Los siguientes datos se pueden usar para aproximar la integral 3π/2

cos x d x.

M= 0

N1 (h) = 2.356194, N1

h 4

= −0.8815732,

N1

h 2

= −0.4879837,

N1

h 8

= −0.9709157.

Suponga que existe una fórmula del tipo dado en el ejercicio 5 y determine N4(h).

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Capítulo 4

EJERCICIOS TEÓRICOS 7. 8.

Muestre que la fórmula de cinco puntos en la ecuación (4.6) aplicada para f (x) = xe x en x0 = 2.0 g da N2(0.2) en la tabla 4.6 cuando h 5 0.1 y N2(0.1) cuando h 5 0.05. La fórmula de diferencias hacia adelante se puede expresar como f (x0 ) =

9.

1 h h2 [ f (x0 + h) − f (x0 )] − f (x0 ) − f (x0 ) + O(h 3 ). h 2 6

Utilice la extrapolación para derivar una fórmula O(h3) para f (x0 ). Suponga que N(h) es una aproximación para M para cada h > 0 y que M = N (h) + K 1 h + K 2 h 2 + K 3 h 3 + · · · ,

para algunas constantes K 1 , K 2 , K 3 , . . . . Use Use los valores alues N (h), N aproximación O(h3) para M. 10. Suponga que N(h) es una aproximación para M para cada h > 0 y que

h 3

,yN

h 9

para producir una

M = N (h) + K 1 h 2 + K 2 h 4 + K 3 h 6 + · · · ,

para algunas constantes K 1 , K 2 , K 3 , . . . . Use Use los valores alues N (h), N h3 , y N h9 para producir una 6 aproximación O(h ) para M. 11. En cálculo, aprendemos que e = límh→0 (1 + h)1/ h . a. Determine aproximaciones para e correspondientes a h 5 0.04, 0.02, y 0.01. b. Use la extrapolación en las aproximaciones, suponiendo que las constantes K 1 , K 2 , . . . , eexisten con e 5 (1+h)1/ h + K 1 h + K 2 h 2 + K 3 h 3 +· · ·, para producir una aproximación O(h3) para e, donde h 5 0.04. c. ¿Cree que la suposición en la parte b) es correcta? 12. a. Muestre que lím

h→0

b. c.

d. e.

2+h 2−h

1/ h

= e. 1/ h

Calcule aproximaciones para e mediante la fórmula N (h) = 2+h , para h = 0.04, 0.02, y 0.01. 2−h Suponga que e = N (h) + K 1 h + K 2 h 2 + K 3 h 3 + · · ·. Use la extrapolación por lo menos con 16 dígitos de precisión para calcular una aproximación O(h3) para e con h 5 0.04. ¿Cree que la suposición es correcta? Muestre que N (−h) = N (h). Use la parte d) para mostrar que K 1 = K 3 = K 5 = · · · = 0 en la fórmula e = N (h) + K 1 h + K 2 h 2 + K 3 h 3 K 4 h 4 + K 5 h 5 + · · ·

de tal forma que la fórmula se reduce a e = N (h) + K 2 h 2 + K 4 h 4 + K 6 h 6 + · · · .

Use los resultados de la parte e) y la extrapolación para calcular una aproximación O(h6) para e con h 5 0.04. 13. Suponga que la siguiente tabla de extrapolación se ha construido para aproximar el número M con M = N1 (h) + K 1 h 2 + K 2 h 4 + K 3 h 6 : f.

N1 (h)

a. b.

N1

h 2

N2 (h)

N1

h 4

N2

h 2

N3 (h)

Muestre que el polinomio de interpolación lineal P0,1(h) a través de (h2, N1(h)) y (h2 /4, N1(h /2)) satisface P0,1(0) 5 N2(h). De igual forma, muestre que P1,2(0) 5 N2(h /2). Muestre que el polinomio de interpolación lineal P0,2(h) a través de (h4, N2(h)) y (h4 /16, N2(h /2)) satisface P0,2(0) 5 N3(h).

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Conjunto de ejercicios 14. Suponga que N1(h) es una fórmula que produce aproximaciones O(h) para un número M y que M = N1 (h) + K 1 h + K 2 h 2 + · · · , T para un conjunto de constantes positivas K 1 , K 2 , . . . . Entonces N1(h), N1((h /2), N1((h /4), . . . son todos cotas inferiores para M. ¿Qué se puede decir sobre las aproximaciones N2 (h), N3 (h), . . .?extrapoladas? 15. Los semiperímetros de polígonos regulares con k lados que inscriben y circunscriben el círculo de unidad utilizado por Arquímedes antes de 200 a.C., para aproximar π, la circunferencia de un semicírculo. La geometría se puede utilizar para mostrar que la secuencia de semiperímetros inscritos y circunscritos {pk} y {Pk}, respectivamente, satisfacen pk = k sen

π k

y

Pk = k tan

π k

,

con pk < π < Pk, siempre √que k ≥ 4. a. Muestre que p4 = 2 2 y P4 = 4. b. Muestre que para k ≥ 4., las secuencias satisfacen las relaciones de recurrencia P2k =

c. d.

2 pk Pk pk + Pk

y

p2k =

pk P2k .

Aproxime π dentro de 1024 al calcular pk y Pk hasta que Pk − pk < 10−4 . Use la serie de Taylor para mostrar que π = pk +

π3 3!

2

1 k

π5 5!

1 k

4

2π 5 15

1 k

4

−

+ ···

y π = Pk −

e.

π3 3

1 k

2

+

− ··· .

Use la extrapolación con h = 1/k para mejorar la aproximación de π.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2.

¿Cómo se puede aplicar la extrapolación de Richardson a la integración? ¿Cómo afecta esta aplicación la medición del error? Si la extrapolación de Richardson se aplica a un procedimiento inestable, tal como la diferenciación numérica, ¿la inestabilidad mostrada en la tabla de extrapolación se volverá más pequeña conforme h disminuye?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.3 1.

Aproxime las siguientes integrales usando la regla trapezoidal. 1

0.5

x4 dx

a.

b.

0.5 1.5

0 1 2

c.

x ln x d x

0 1.6

e. π/4 0

0.35

2x dx −4

f.

x sen x d x

h.

x2

1

g.

x 2 e−x d x

d.

1

2 dx x −4

0 π/4

2 dx x2 − 4 e3x sen 2x d x

0

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Capítulo 4 2.

Aproxime las siguientes integrales con la regla trapezoidal. 0.25

0

(cos x)2 d x

a.

b.

−0.25 1.3

c. 0.75

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

x ln(x + 1) d x

−0.5 e+1

(sen x)2 − 2x sen x + 1 d x

1 dx x ln x

d. e

Encuentre una cota para el error en el ejercicio 1 con la fórmula de error y compárela con el error real. Encuentre una cota para el error en el ejercicio 2 por medio de la fórmula de error y compárela con el error real. Repita el ejercicio 1 con la regla de Simpson. Repita el ejercicio 2 con la regla de Simpson. Repita el ejercicio 3 con la regla de Simpson y los resultados del ejercicio 5. Repita el ejercicio 4 con la regla de Simpson y los resultados del ejercicio 6. Repita el ejercicio 1 con la regla del punto medio. Repita el ejercicio 2 con la regla del punto medio. Repita el ejercicio 3 con la regla del punto medio y los resultados del ejercicio 9. Repita el ejercicio 4 con la regla del punto medio y los resultados del ejercicio 10. 2 La regla trapezoidal aplicada a 0 f (x) d x da el valor de 4 y la regla de Simpson da el valor de 2. ¿Cuál es f (1)? 2 La regla trapezoidal aplicada a 0 f (x) d x da el valor de 5, y la regla del punto medio da el valor de 4. ¿Qué valor da la regla de Simpson? Aproxime las siguientes integrales con las fórmulas (4.25) a (4.32). ¿Las precisiones de las aproximaciones son consistentes con las fórmulas de error? 0.1 √ π/2 a. 1 + x dx b. (sin x)2 d x 0

0

1.5

1 x

c.

x 1/3 d x

d.

e dx 1.1

0

16. Aproxime las siguientes integrales con las fórmulas (4.25) a (4.32). ¿Las precisiones de las aproximaciones son consistentes con las fórmulas de error? ¿Cuáles partes c) y d) dan la mejor aproximación? 2.5

a. 2 10

c. 1

1

(ln x)3 dx 3x

b.

1 dx x

d.

2

5xe3x d x 0.5 5.5 1

10

1 dx + x

5.5

1 dx x

17. Dada la función f en los siguientes valores,

x

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

f (x)

3.12014

4.42569

6.04241

8.03014

10.46675

2.6

aproxime 1.8 f (x) d x usando todas las fórmulas adecuadas de cuadratura de esta sección. 18. Suponga que los datos del ejercicio 17 tienen errores de redondeo determinados por la siguiente tabla. x

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

Error en f (x)

2 × 10−6

−2 × 10−6

−0.9 × 10−6

−0.9 × 10−6

2 × 10−6

Calcule los errores debidos al redondeo en el ejercicio 17.

EJERCICIOS TEÓRICOS 19. Encuentre el grado de precisión de la fórmula de cuadratura 1 −1

f (x) d x = f

√

3 − 3

+ f

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√

3 3

.

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Conjunto de ejercicios 20. Sea h = (b − a)/3, x0 = a, x1 = a + h, y x2 = b. Encuentre el grado de precisión de la fórmula de cuadratura b

f (x) d x =

a

9 3 h f (x1 ) + h f (x2 ). 4 4

1

21. La fórmula de cuadratura −1 f (x) d x = c0 f (−1) + c1 f (0) + c2 f (1) es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que dos. Determine c0, c1, y c2. 2 22. La fórmula de cuadratura 0 f (x) d x = c0 f (0) + c1 f (1) + c2 f (2) es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que dos. Determine c0, c1, y c2. 23. Encuentre las constantes c0, c1, y x1 de tal forma que la fórmula de cuadratura 1 0

f (x) d x = c0 f (0) + c1 f (x1 )

tenga el grado de precisión más alto posible. 24. Encuentre las constantes x0, x1, y c1 de tal forma que la fórmula de cuadratura 1 0

f (x) d x =

1 f (x0 ) + c1 f (x1 ) 2

tenga el grado de precisión lo más alto posible. 25. Pruebe la declaración que sigue a la definición 4.1; muestre que una fórmula de cuadratura tiene grado de precisión n si y sólo si el error E(P(x)) = 0 para todos los polinomios P(x) de grado gree k = 0, 1, . . . , n, pero E(P(x)) = 0 para algún polinomio P(x) de grado n 1 1. 26. Derive la regla de Simpson con el término de error por medio de x2 x0

f (x) d x = a0 f (x0 ) + a1 f (x1 ) + a2 f (x2 ) + k f (4) (ξ ).

Encuentre a0, a1, y a2 a partir del hecho de que la regla de Simpson es exacta para f (x) = x n x cuando n = 1, 2, y 3. A continuación, encuentre k al aplicar la fórmula de integración con f (x) = x 4 . 27. Derive la regla abierta con n 5 1 con término de error por medio del teorema 4.3 28. Derive la regla de tres octavos de Simpson (la regla cerrada con n 5 3) con el término de error por medio del teorema 4.2. n

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

3.

4.

El método básico para aproximar una integral definida de una función que no tiene antiderivada explícita o cuya derivada no es fácil de obtener recibe el nombre de cuadratura numérica. Usted estudió una variedad de métodos de cuadratura en la sección 4.3, analícelos. Analice el uso de fórmulas abiertas para integrar una función desde 0 hasta 1 que tiene una singularidad 1 en 0. Por ejemplo, f (x) = √ . x Seleccione una de las funciones en el ejemplo 1 de la sección 4.3 y cree una hoja de cálculo que aproximará la integral desde 0 hasta 2 con la regla trapezoidal. Compare su aproximación con el resultado obtenido en la tabla 4.7. Seleccione una de las funciones en el ejemplo 1 de la sección 4.3 y cree una hoja de cálculo que aproximará la integral desde 0 hasta 2 con la regla de Simpson. Compare su aproximación con el resultado obtenido en la tabla 4.7.

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Capítulo 4

CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.4 1.

Utilice la regla compuesta trapezoidal con los valores indicados de n para aproximar las siguientes integrales. 2

a.

2

x ln x d x, 1 2

c. 0 2

2 d x, x2 + 4 e2x sen 3x d x,

e. 0 5

g.

√

3

2.

−2 π

−4

d x,

n=4

x 2 cos x d x,

d.

n=6

0 3

n=8

f.

n=8

h.

x2

1

3π/8

1 x2

x 3 e x d x,

b.

n=4

n=6

x d x, +4

n=8

tan x d x,

n=8

0

Use la regla compuesta trapezoidal con los valores indicados de n para aproximar las siguientes integrales. 0.5

0.5

cos2 x d x,

a.

−0.5 1.75

c. .75

b.

n=4

x ln(x + 1) d x,

−0.5 e+2

(sen 2 x − 2x sen x + 1) d x,

n = 8 d.

e

3. 4. 5.

1 d x, x ln x

n=6

n=8

Use la regla compuesta de Simpson para aproximar las integrales en el ejercicio 1. Use la regla compuesta de Simpson para aproximar las integrales en el ejercicio 2. Use la regla compuesta de punto medio con n 1 2 subintervalos para aproximar las integrales en el ejercicio 1. 6. Use la regla compuesta de punto medio con n 1 2 subintervalos para aproximar las integrales en el ejercicio 2. 2 7. Aproxime 0 x 2 ln(x 2 + 1) d x using por medio de h 5 0.25. Utilice a. Regla compuesta trapezoidal b. Regla compuesta de Simpson c. Regla compuesta de punto medio 2 2 8. Aproxime 0 x 2 e−x d x using por medio de h 5 0.25. Utilice a. Regla compuesta trapezoidal b. Regla compuesta de Simpson c. Regla compuesta de punto medio 9. Suponga que f (0) = 1, f (0.5) = 2.5, f (1) = 2, y f (0.25) = f (0.75) = α. FEncuentre a si la 1 regla compuesta trapezoidal con n 5 4 da el valor de 1.75 para 0 f (x) d x. 1 10. La regla del punto medio para aproximar −1 f (x) d x da el valor 12, la regla compuesta de punto medio con n 5 2 da 5 y la regla compuesta de Simpson da 6. Utilice el hecho de que f (−1) = f (1) y f (−0.5) = f (0.5) − 1 para t etermine f (−1), f (−0.5), f (0), f (0.5), y f (1). determinar 11. Determine los valores de n y h requeridos para aproximar 2

e2x sen 3x d x 0

dentro de 1024. Use a. Regla compuesta trapezoidal b. Regla compuesta de Simpson c. Regla compuesta de punto medio π 12. Repita el ejercicio 11 para la integral 0 x 2 cos x d x. 13. Determine los valores de n y h requeridos para aproximar 2 0

1 dx x +4

25

dentro de 10 y calcule la aproximación. Utilice a. Regla compuesta trapezoidal b. Regla compuesta de Simpson c. Regla compuesta de punto medio

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Conjunto de ejercicios 2

14. Repita el ejercicio 13 para la integral 1 x ln x d x. 15. Si f está definida por  3  0 ≤ x ≤ 0.1,  x + 1, f (x) = 1.001 + 0.03(x − 0.1) + 0.3(x − 0.1)2 + 2(x − 0.1)3 , 0.1 ≤ x ≤ 0.2,   1.009 + 0.15(x − 0.2) + 0.9(x − 0.2)2 + 2(x − 0.2)3 , 0.2 ≤ x ≤ 0.3. a. b.

Investigue la continuidad de las derivadas de f. 0.3 Use la regla compuesta trapezoidal con n 5 6 para aproximar 0 f (x) d x y calcular el error por medio del límite de error. 0.3 c. Utilice la regla compuesta trapezoidal con n 5 6 para aproximar 0 f (x) d x. ¿Los resultados son más precisos que en la parte b)? 16. En cursos de cálculo multivariado y de estadística, se muestra que ∞ −∞

1 2 √ e−(1/2)(x/σ ) d x = 1, σ 2π

para cualquier s. La función f (x) =

1 2 √ e−(1/2)(x/σ ) σ 2π

es la función de densidad normal con media m 5 0 y desviación estándar s. La probabilidad de que un valor seleccionado de manera aleatoria descrito por esta distribución se encuentre en [a, b] está deb terminada por a f (x) d x. Aproxime dentro de 1025 la probabilidad de que un valor seleccionado de manera aleatoria descrito por esta distribución se encontrará en a.

b.

[−σ, σ ]

c.

[−2σ, 2σ ]

[−3σ, 3σ ]

EJERCICIOS APLICADOS 17. Determine, dentro de 1026, la longitud de la gráfica de la elipse con la ecuación 4x 2 + 9y 2 = 36. 18. Un automóvil completa una vuelta del circuito de carreras en 84 segundos. La velocidad de este automóvil en cada intervalo de 6 segundos se determina con una pistola radar y se da desde el principio de la vuelta, en pies por segundo, por las entradas en la siguiente tabla. Tiempo

0

Velocidad 124

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

134

148

156

147

133

121

109

99

85

78

89

104

116

123

¿Cuánto mide la pista? 19. Una partícula de masa m que se mueve hacia un fluido está sujeta a una resistencia viscosa R, la cual es una función de la velocidad v. La relación entre la resistencia R, velocidad v y el tiempo t está dada por la ecuación v(t)

t=

v(t0 )

m du. R(u)

√ Suponga que R(v) = −v v para un fluido especial, en donde R está en Newtons y v en metros por segundo. Si m = 10 kg y v(0) = 10 m/s, aproxime el tiempo requerido para que la partícula reduzca su velocidad a v = 5 m/s. 20. Para simular las características térmicas de los frenos de disco (véase la siguiente figura), D. A. Secrist y R. W. Hornbeck [SH] necesitaron aproximar numéricamente el “aumento promedio de la temperatura del revestimiento” T, de la almohadilla del freno a partir de la ecuación r0

T (r )r θ p dr T =

re

,

r0

r θ p dr re

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Capítulo 4 donde re representa el radio en el que comienza el contacto almohadilla-disco, r0 representa el radio externo del contacto almohadilla-disco, up representa el ángulo subtendido por las almohadillas del freno del sector y T(r) es la temperatura en cada punto de la almohadilla, obtenido numéricamente a partir del análisis de la ecuación térmica (consulte la sección 12.2). Suponga que re = 0.308 pies, r0 = 0.478 pies, y θ p = 0.7051 radianes y que las temperaturas provistas en la siguiente tabla se han calculado en los diferentes puntos del disco. Aproxime T. r (pies) T (r ) (◦ F) r (pies) T (r ) (◦ F) r (pies) T (r ) (◦ F) 0.308 0.325 0.342 0.359

640 794 885 943

0.376 0.393 0.410 0.427

1034 1064 1114 1152

0.444 0.461 0.478

1204 1222 1239

up Almohadilla del freno ro re

Disco del freno

21. Encuentre una aproximación dentro de 1024 del valor de la integral en la aplicación con que inicia este capítulo: 48

1 + (cos x)2 d x.

0

22. La ecuación x 0

1 2 √ e−t /2 dt = 0.45 2π

se puede resolver para x a través del método de Newton con x

f (x) = 0

1 2 √ e−t /2 dt − 0.45 2π

y 1 2 f (x) = √ e−x /2 . 2π

Para evaluar f en la aproximación pk, necesitamos una fórmula de cuadratura para aproximar pk 0

a. b.

1 2 √ e−t /2 dt. 2π

Encuentre una solución para f (x) 5 0 precisa dentro de 1025 por medio del método de Newton con p0 = 0.5 y la regla compuesta de Simpson. Repita a) por medio de la regla compuesta trapezoidal en lugar de la regla compuesta de Simpson.

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Conjunto de ejercicios

EJERCICIOS TEÓRICOS 23. Muestre que el error E(f ) para la regla compuesta de Simpson se puede aproximar por medio de −

h4 [ f (b) − f (a)]. 180 b

n/2 for a f (4) (x) d x.] [Sugerencia: j=1 f (4) (ξ j )(2h) es la suma de Riemann para 24. a. Deduzca un estimado para E(f ) en la regla compuesta trapezoidal con el método en el ejercicio 23. b. Repita la parte a) para la regla compuesta de punto medio. 25. Utilice los cálculos de error de los ejercicios 23 y 24 para calcular los errores en el ejercicio 12. 26. Utilice los cálculos de error de los ejercicios 23 y 24 para calcular los errores en el ejercicio 14.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2.

Deduzca un método compuesto con base en la regla de los tres octavos de Simpson. La regla de los tres octavos de Simpson es otro método para la integración numérica. ¿Cómo difiere este método del método de Simpson? ¿Vale la pena? ¿Por qué sí o por qué no?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.5 1.

Utilice la integración de Romberg para calcular R3,3 para las siguientes integrales. 1.5

1

x 2 ln x d x

a. 1

0 0.35

c.

d.

e3x sen 2x d x

f.

π/4

e.

π/4

2 dx −4

x2

0

x 2 sen x d x 0 1.6

0

g.

√

3

π/4

x x2 − 4

(cos x)2 d x

h.

dx

0

Utilice la integración de Romberg para calcular R3,3 para las siguientes integrales. 1

0.75

(cos x)2 d x

a.

b.

−1

−0.75

4

c. 1

3. 4. 5.

6.

7.

2x dx −4

x2

1 3.5

2.

x 2 e−x d x

b.

2e

(sen x)2 − 2x sen x + 1 d x

d. e

x ln(x + 1) d x

1 dx x ln x

Calcule R4,4 para las integrales en el ejercicio 1. Calcule R4,4 para las integrales en el ejercicio 2. Use la integración de Romberg para aproximar las integrales en el ejercicio 1 dentro de 1026. Calcule la tabla de Romberg hasta que |Rn−1,n−1 − Rn,n | < 10−6 o n 5 10. Compare sus resultados con los valores exactos de las integrales. Use la integración de Romberg para aproximar las integrales en el ejercicio 2 dentro de 1026. Calcule la tabla de Romberg hasta que |Rn−1,n−1 − Rn,n | < 10−6 o n 5 10. Compare sus resultados con los valores exactos de las integrales. 5 Use los siguientes datos para aproximar 1 f (x) d x con tanta precisión como sea posible. x

1

2

3

4

5

f (x)

2.4142

2.6734

2.8974

3.0976

3.2804

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Capítulo 4 8.

9.

Use los siguientes datos para aproximar

6 0

f (x) d x con tanta precisión como sea posible.

x

0

0.75

1.5

2.25

3

3.75

4.5

5.25

6

f (x)

0

0.866025

1.22474

1.5

1.7321

1.9365

2.1213

2.2913

2.4495

La integración de Romberg se utiliza para aproximar 3

f (x) d x. 2

Si f (2) = 0.51342, f (3) = 0.36788, R31 = 0.43687, y R33 = 0.43662, encuentre f (2.5). 10. La integración de Romberg se usa para aproximar 1 0

x2 d x. 1 + x3

Si R11 = 0.250 y R22 = 0.2315, ¿cuál es R21 ? b 11. La integración de Romberg para aproximar a f (x) d x da R11 = 8, R22 = 16/3, y R33 = 208/45. Encuentre R31. 1 12. La integración de Romberg para aproximar 0 f (x) d x da R11 = 4 y R22 = 5. Encuentre f (1/2). 13. Use la integración de Romberg para calcular las siguientes aproximaciones para 48

1 + (cos x)2 d x.

0

[Nota: Los resultados en este ejercicio son más interesantes si usted usa un dispositivo con aritmética entre siete y nueve dígitos.] a. Determine R1,1, R2,1, R3,1, R4,1 y R5,1, y utilice estas aproximaciones para predecir el valor de la integral. b. Determine R2,2, R3,3, R4,4, y R5,5, y modifique su predicción. c. Determine R6,1, R6,2, R6,3, R6,4, R6,5, y R6,6, y modifique su predicción. d. Determine R7,7, R8,8, R9,9, y R10,10, y realice su predicción final. e. Explique porqué esta integral causa dificultad con la integración de Romberg y cómo se puede reformular para determinar con mayor facilidad una aproximación precisa. 14. En el ejercicio 24 de la sección 1.1 se integró una serie de Maclaurin para aproximar erf(1), donde erf(x) es la función de error de distribución normal definida por 2 erf(x) = √ π

x

2

e−t dt. 0

27

Aproxime erf(1) dentro de 10 .

EJERCICIOS APLICADOS 15. Encuentre una aproximación dentro de 1024 del valor de la integral considerada en la aplicación de apertura de este capítulo: 48

1 + (cos x)2 d x.

0

16. En la sección 4.4, ejercicio 19. El método compuesto de Simpson se utilizó para aproximar el tiempo requerido para que una partícula disminuya su velocidad a 5 metros por segundo. La partícula√tiene una masa m 5 10 kg y se mueve a través de fluido. Está sujeta a una resistencia viscosa R = −v v donde v es su velocidad en metros por segundo. La relación entre R, v y el tiempo t está dada por v(t)

t=

v(0)

m du R(u)

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Conjunto de ejercicios Suponiendo v(0) = 10 metros por segundo, utilice la integración de Romberg con n 5 4 para obtener la aproximación.

EJERCICIOS TEÓRICOS 17. Muestre que la aproximación obtenida a partir de Rk,2 es la misma que la provista por la regla compuesta de Simpson descrita en el teorema 4.4 con h = h k . 18. Muestre que, para cualquier k, 2k−1 −1

f

i=1

i a + h k−1 2

2k−2

=

f i=1

a+ i−

1 2

h k−1

2k−2 −1

+

i=1

f (a + i h k−1 ).

19. Utilice el resultado del ejercicio 18 para verificar la ecuación (4.34); es decir, muestre que para todas las k,

Rk,1

 2k−2 1 f = Rk−1,1 + h k−1 2 i=1

1 a+ i− 2



h k−1  .

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

3.

4.

Una modificación de la integración de Romberg es construir Rk (h) al duplicar el tamaño de paso h, y la otra es construir Rk (h) al reducir a la mitad el tamaño de paso h. Analice la utilidad de ambas modificaciones si un número limitado de valores de datos (tk , Ik ) se determina como entrada. Recree la tabla 4.9 al crear una hoja de cálculo que aproximará la integral. Compare su aproximación con el resultado obtenido en la tabla 4.9. Describa las similitudes y diferencias en las tablas. f (x ) d x usando la función T (x) = 0.001t 4 − (b − a ) 0.280t 2 + 25, donde t es el número de horas desde el mediodía (−12 < t < 12). ¿La extrapolación de Richardson se puede usar para encontrar el valor promedio? En este caso, ¿qué modificaciones, si hay alguna, se deben hacer? Si se elige usar la regla compuesta de Simpson en lugar de la regla trapezoidal como la primera columna en una tabla de Romberg, ¿las columnas a la derecha serán diferentes a aquellas en la tabla original de Romberg?

El valor promedio de una función está definido por

b

a

CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.6 1.

Calcule las aproximaciones de la regla de Simpson S (a, b), S(a, (a + b)/2), y S((a + b)/2, b) para las siguientes integrales y verifique el cálculo determinado en la fórmula de aproximación. 1.5

1

x 2 ln x d x

a. 1

0 0.35

2 dx x2 − 4

c. 0

2.

x 2 e−x d x

b.

π/4

x 2 sen x d x

d. 0

Calcule las aproximaciones de la regla de Simpson S(a, b), S(a, (a + b)/2), y S((a + b)/2, b) para las siguientes integrales y verifique el cálculo determinado para la fórmula de aproximación. 1.6

π/4

a.

e

3x

sen 2x d x

b.

0

1 3.5

c. 3

√

π/4

x x2

−4

dx

2x dx x2 − 4 (cos x)2 d x

d. 0

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Capítulo 4 3. 4. 5.

Utilice la cuadratura adaptable para encontrar aproximaciones dentro de 1023 para las integrales en el ejercicio 1. No use un programa de computadora para generar estos resultados. Utilice la cuadratura adaptable para encontrar aproximaciones dentro de 1023 para las integrales en el ejercicio 2. No use un programa de computadora para generar estos resultados. Utilice la cuadratura adaptable para aproximar las siguientes integrales dentro de 1025. 3

3

e2x sen 3x d x

a.

e3x sen 2x d x

b.

1

1 5

0

6.

5

2x cos(2x) − (x − 2)2 d x

c.

0

Utilice la cuadratura adaptable para aproximar las siguientes integrales dentro de 1025. π

a. 0

2

(sen x + cos x) d x

b.

x sen 4x d x

d.

π/2

Utilice la regla compuesta de Simpson con n = 4, 6, 8, . . . , hasta que las aproximaciones sucesivas para las siguientes integrales concuerden dentro de 1026. Determine el número de nodos requerido. Use el algoritmo de cuadratura adaptable para aproximar la integral dentro de 1026, y cuente el número de nodos. ¿El procedimiento de cuadratura adaptable produjo alguna mejora? π

π

x cos x 2 d x

a.

x sen x 2 d x

b.

0

0

Utilice la regla compuesta de Simpson con n = 4, 6, 8, . . . , hasta que las aproximaciones sucesivas para las siguientes integrales concuerden dentro de 1026. Determine el número de nodos requerido. Use el algoritmo de cuadratura adaptable para aproximar la integral dentro de 1026, y cuente el número de nodos. ¿El procedimiento de cuadratura adaptable produjo alguna mejora? π

π

x 2 cos x d x

a.

x 2 sen x d x

b.

0

9.

(6 cos 4x + 4 sen 6x)e x d x

0

−1

8.

(x + sen 4x) d x

1

1

c.

7.

4x cos(2x) − (x − 2)2 d x

d.

0

Bosqueje las gráficas de sen (1/x) y cos (1/x) en [0.1, 2]. Utilice cuadratura adaptable para aproximar las siguientes integrales dentro de 1023. 2

a.

sen 0.1

2

1 dx x

b.

1 dx x

cos 0.1

EJERCICIOS APLICADOS 10. El estudio de difracción de la luz en una apertura rectangular implica las integrales de Fresnel t

c (t) =

cos 0

π w 2

t 2

dw

y

s(t) =

sen 0

π 2 w dw. 2

Construya una tabla de valores para c(t) y s(t) que sea precisa dentro de 1024 para valores de t 5 0.1, 0.2, . . . , 1.0. 11. La ecuación diferencial m u (t) + ku (t) = F

0

cos ωt

describe un sistema masa-resorte con una masa m, una constante de resorte k y sin amortiguamiento aplicado. El término F0 cos ωt describe una fuerza externa periódica aplicada al sistema. La solución a la ecuación cuando inicialmente el sistema está en reposo (u (0) = u(0) = 0) es F0 k u(t) = = ω. (cos ωt − cos ω0 t) , en donde ω0 = m m(ω02 − ω2 )

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Conjunto de ejercicios Approximate Approximate Bosqueje la gráfica de u cuando m = 1, k = 9, F0 = 1, ω = 2, y t ∈ [0, 2π]. Aproxime 0 u(t) dt dentro de 1024. 12. Si el término cu (t) se añade al lado izquierdo de la ecuación de movimiento en el ejercicio 7, la ecuación diferencial resultante describe un sistema masa-resorte amortiguado con una constante de amortiguamiento c = 0. La solución a esta ecuación cuando el sistema está inicialmente en reposo es 2π

u(t) = c1 er1 t + c2 er2 t +

F0 cω sen ωt + m ω02 − ω2 cos ωt , c2 ω2 + m 2 (ω02 − ω2 )2

Donde r

a. b.

1

=

−c +

c2 − 4ω02 m 2 2m

−c −

y r2 =

c2 − 4ω02 m 2 . 2m

Si m = 1, k = 9, F0 = 1, c = 10, y ω = 2. Encuentre los valores de c1 y c2 de tal forma que u(0) = u (0) = 0. 2π Bosqueje la gráfica de u(t) para t ∈ [0, 2π] y aproxime 0 u(t) dt dentro de 1024.

EJERCICIOS TEÓRICOS ) + T ( a+b , b) las aplicaciones sencilla y doble de la regla trapezoidal para 13. Sean T (a, b) y T (a, a+b 2 2 b f (x) d x . Obtenga la relación entre a T (a, b) − T

a,

a+b 2

a+b ,b 2

−T

y b a

f (x) d x − T

a,

a+b 2

−T

a+b ,b 2

.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2.

¿La integración de Romberg reemplazará la regla de Simpson en cuadratura adaptable? En este caso, ¿se determinaría n? La eficiencia de la cuadratura adaptable disminuye considerablemente si la función tiene singularidades integrables en los extremos del intervalo. Esta situación podría requerir miles de iteraciones para disminuir el error de integración a un nivel que sea aceptable. Analice cómo se puede evitar esto.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.7 1.

Aproxime las siguientes integrales por medio de cuadratura gaussiana con n 5 2 y compare sus resultados para los valores exactos de las integrales. 1.5

1

x 2 ln x d x

a. 1

0 0.35

c. 0

2.

x 2 e−x d x

b.

2 dx x2 − 4

π/4

x 2 sen x d x

d. 0

Aproxime las siguientes integrales por medio de cuadratura gaussiana con n 5 2 y compare sus resultados para los valores exactos de las integrales. 1.6

π/4

e3x sen 2x d x

a.

b.

0

1 3.5

c. 3

√

π/4

x x2

−4

dx

2x dx x2 − 4 (cos x)2 d x

d. 0

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Capítulo 4 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Repita el ejercicio 1 con n 5 3. Repita el ejercicio 2 con n 5 3. Repita el ejercicio 1 con n 5 4. Repita el ejercicio 2 con n 5 4. Repita el ejercicio 1 con n 5 5. Repita el ejercicio 2 con n 5 5.

EJERCICIOS APLICADOS Aproxime la longitud de la gráfica de la elipse 4x 2 + 9y 2 = 36 en el primer cuadrante mediante cuadratura gaussiana con n 5 5. Determine el error en la aproximación dado que la longitud real es 3.7437137. 10. Utilice la cuadratura gaussiana para aproximar la integral 9.

48 0

1 + (cos x)2 d x,

considerada en la aplicación con que se inicio este capítulo. Para la aproximación, divida el intervalo [0, 48] en 16 subintervalos y sume las aproximaciones obtenidas a través de la cuadratura gaussiana con n 5 5 para cada uno de los subintervalos. ¿Cómo se compara la aproximación con el valor real de la integral?

EJERCICIOS TEÓRICOS 11. Determine las constantes a, b, c y d que producirá una fórmula de cuadratura 1 −1

f (x) d x = a f (−1) + b f (1) + c f (−1) + d f (1)

que tiene un grado de precisión de tres. 12. Determine las constantes a, b, c y d que producirán una fórmula de cuadratura 1 −1

f (x) d x = a f (−1) + b f (0) + c f (1) + d f (−1) + e f (1)

que tiene grado de precisión cuatro. 13. Verifique las entradas para los valores de n 5 2 y 3 en la tabla 4.12 en la página 172 al encontrar las raíces de los polinomios de Legendre respectivos y utilice las ecuaciones anteriores a esta tabla para encontrar los coeficientes relacionados con los valores. n ci P(xi ) no tiene grado de precisión superior a 2n 2 1, inde14. Muestre que la fórmula Q ( P ) = i=1 pendientemente de la elección de c1 , . . . , cn y x1 , . . . , xn . [. [Sugerencia: Construya un polinomio que tenga una raíz doble en cada una de las xi].

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

Describa las diferencias y similitudes entre la cuadratura gaussiana y el método de cuadratura gaussiana adaptable conocido como cuadratura de Gauss-Kronrod.

2

Describa las diferencias y similitudes entre la cuadratura de Hermite-Gauss y la cuadratura gaussiana.

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Conjunto de ejercicios

CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.8 1.

Utilice el algoritmo 4.4 con n 5 m 5 4 para aproximar las siguientes integrales dobles y compare los resultados con las respuestas exactas. 2.5

1.4

0.5

x y 2 dy dx

a. 2.1 2.2

1.2 2x

c. 2

2. 3. 4.

5.

x

1.5

(x 2 + y 3 ) dy dx

1

(x 2 +

0

1 0

√

y) dy dx

ln x y dy d x 1

d.

cos x dy d x

f.

0

sen x

1 1−

0

y2

(y 2 + x 3 ) dy dx

x x

cos y dy d x 0

g. 0

2x

π

0 π/4

1 1

(x 2 + y 3 ) dy dx x

π

e.

x

b.

2x x

0

e

(2y sen x + cos2 x) dy dx

sen x

c.

9.

x

d.

cos x

0

8.

0

Encuentre los valores más pequeños para n 5 m de tal forma que se pueda utilizar el algoritmo 4.4 para aproximar las integrales en el ejercicio 1 dentro de 1026 del valor real. Utilice el algoritmo 4.5 con n 5 m 5 2 para aproximar las integrales en el ejercicio 1 y compare los resultados con los obtenidos en el ejercicio 1. Encuentre los valores más pequeños para n 5 m de tal forma que se pueda utilizar el algoritmo 4.5 para aproximar las integrales en el ejercicio 1 dentro de 1026 del valor real. No continúe más allá de n 5 m 5 5. Compare el número de evaluaciones funcionales requeridas con el número requerido en el ejercicio 2. Utilice el algoritmo 4.4 con (i) n 5 4, m 5 8, (ii) n 5 8, m 5 4, y (iii) n 5 m 5 6 para aproximar las siguientes integrales dobles y compare los resultados con las respuestas exactas. π/4

7.

e y−x dy dx 0

a.

6.

0.5

b.

0 3π/2

2π

h.

dy dx

(y sen x + x cos y) dy dx

0

−π

Encuentre los valores más pequeños para n 5 m de tal forma que se pueda utilizar el algoritmo 4.4 para aproximar las integrales en el ejercicio 5 dentro de 1026 del valor real. Utilice el algoritmo 4.5 con (i) n 5 m 5 3, (ii) n 5 3, m 5 4, (iii) n 5 4, m 5 3, y (iv) n 5 m 5 4 para aproximar las integrales en el ejercicio 5. Utilice el algoritmo 4.5 con n 5 m 5 5 para aproximar las integrales en el ejercicio 5. Compare el número de evaluaciones funcionales requeridas con el número requerido en el ejercicio 6. Utilice el algoritmo 4.4 con n 5 m 5 14 y el algoritmo 4.5 con n 5 m 5 4 para aproximar e−(x+y) d A R

para la región R en el plano limitado por las curvas y = x 2 y y = 10. Utilice el algoritmo 4.4 para aproximar

√

x.

x y + y 2 d A, R

donde R es la región en el plano limitada por las rectas x + y = 6, 3y − x = 2, y 3x − y = 2. Primero subdivida R en dos regiones R1 y R2 en donde se pueda aplicar el algoritmo 4.4. Utilice n 5 m 5 6 tanto en R1 y R2. 11. Utilice el algoritmo 4.6 con n 5 m 5 p 5 2 para aproximar las siguientes integrales triples y compare los resultados con las respuestas exactas. 1

2

0.5

1

e x+y+z dz dy d x

a. 0

1 1

0 x

x+y

y dz dy d x 0

x2 x

x−y xy

z

0

x 1

x

1

x2 1

x+y

d.

z dz dy d x 0

1

y

y 2 z dz dy d x 0

c.

1

b.

x−y xy

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Capítulo 4 0

x x

π

x−y xy

e. 0

12. 13. 14. 15.

0

0

0

x 1

1 z sen dz dy d x y y

1

x−y xy

ex

f. 0

0

2 +y 2

dz dy d x

−x y

Repita el ejercicio 11 con n 5 m 5 p 5 3. Repita el ejercicio 11 con n 5 m 5 p 5 4. Repita el ejercicio 11 con n 5 m 5 p 5 5. Utilice el algoritmo 4.6 con n 5 m 5 p 5 5 para aproximar √

x yz d V,

S

donde S es la región en el primer octante limitado por el cilindro x 2 +y 2 = 4, the la sphere esfera x 2 +y 2 +z 2 = 4, y el plano x + y + z = 8. ¿Cuántas evaluaciones funcionales se requieren para la aproximación? 16. Utilice el algoritmo 4.6 con n 5 m 5 p 5 4 para aproximar x y sen(yz) d V, S

donde S es el sólido limitado por los planos coordenados y los planos x = π , y = π/2 y z = π/3. Compare esta aproximación con el resultado exacto.

EJERCICIOS APLICADOS 17. Una lámina plana es una hoja delgada de masa distribuida de manera continua. Si s es una función que describe la densidad de una lámina que tiene la forma de una región R en el plano xy, entonces, el centro de masa (x¯ , y¯ ) de la lámina es xσ (x, y) d A R

x¯ =

σ (x, y) d A R

yσ (x, y) d A ,

y¯ =

R

σ (x, y) d A

.

R

Utilice el algoritmo 4.4 con n 5 m 5 14√para encontrar el centro de masa de la lámina descrita median2 2 te R = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x 2 } con función de densidad σ (x, y) = e−(x +y ). Compare la aproximación con el resultado exacto. 18. Repita el ejercicio 17 utilizando el algoritmo 4.5 con n 5 m 5 5. 19. El área de la superficie descrita mediantez = f (x, y) para (x, y) en R está dada por [ f x (x, y)]2 + [ f y (x, y)]2 + 1 d A. R

Utilice el elgoritmo 4.4 con n 5 m 5 8 para encontrar una aproximación del área de la superficie en el hemisferio x 2 + y 2 + z 2 = 9, z ≥ 0 que se encuentra arriba de la región en el plano descrito por R = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }. 20. Repita el ejercicio 19 usando el algoritmo 4.5 con n 5 m 5 4.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

3.

Los métodos Monte Carlo son fáciles de aplicar a los métodos de integración multidimensional. Estos métodos pueden producir mayor precisión que los métodos analizados en esta sección. Uno de éstos es el algoritmo Metropolios-Hastings. Compare y contraste este método con el método de integral doble de Simpson. Los métodos Monte Carlo son fáciles de aplicar a los métodos de integración multidimensional. Estos métodos pueden producir mejor precisión que los analizados en esta sección. Uno de ellos es el algoritmo Metropolios-Hastings. Compare y contraste este método con el método de integral triple de Simpson. Los métodos Monte Carlo son fáciles de aplicar a los métodos de integración multidimensional. Estos métodos pueden producir mejor precisión que los métodos analizados en esta sección. Uno de estos métodos es el algoritmo de muestreo de Gibb. Compare y contraste este método con el método de integral doble de Simpson.

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Conjunto de ejercicios 4.

Los métodos Monte Carlo son fáciles de aplicar a los métodos de integración multidimensional. Pueden producir mayor precisión que los métodos analizados en esta sección. Uno de ellos es el algoritmo de muestreo de Gibb. Compare y contraste este método con el método de integral triple de Simpson.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.9 1.

Utilice la regla compuesta de Simpson y los valores dados de n para aproximar las siguientes integrales impropias. 1

1

x −1/4 sen x d x,

a.

b.

n=4

0

0 2

c. 1

2.

1 0

0

2

e−x √ d x, 1−x

b.

n=6

xe x 3

0

(x − 1)2

d x,

n=8

Utilice la transformación t = x −1 y, a continuación, la regla compuesta de Simpson y los valores dados de n para aproximar las siguientes integrales impropias. ∞

a.

∞

c. 1

1 d x, n = 4 +9 cos x d x, n = 6 x3

∞

b.

x2

1

4.

1

d.

n=8

Utilice la regla compuesta de Simpson y los valores dados de n para aproximar las siguientes integrales impropias. a.

3.

ln x d x, (x − 1)1/5

e2x √ d x, n = 6 5 x2 cos 2x d x, n = 6 x 1/3

1 ∞

d.

1 d x, 1 + x4 x −4 sen x d x,

1

n=4 n=6

La integral impropia 0 f (x) d x no se puede convertir en una integral con límites finitos mediante la sustitución t = 1/x porque el límite en cero se vuelve infinito. El problema se resuelve al escribir ∞ 1 ∞ primero 0 f (x) d x = 0 f (x) d x + 1 f (x) d x. Aplique esta técnica para aproximar las siguientes integrales impropias con una precisión de 1026. ∞ ∞ 1 1 dx b. a. dx 4 1 + x (1 + x 2 )3 0 0 ∞

EJERCICIOS APLICADOS 5.

Suponga que un cuerpo de masa m viaja verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra. Si se omite toda la resistencia excepto la gravedad, la velocidad de escape v está determinada por ∞

v 2 = 2g R

z −2 dz,

donde z =

1

x , R

R 5 3 960 millas es el radio de la Tierra y g 5 0.00609 mi/s2 es la fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra. Aproxime la velocidad de escape v.

EJERCICIOS TEÓRICOS 6.

Los polinomios de Laguerre {L 0 (x), L 1 (x) . . . } forman un conjunto ortogonal en [0 , ∞) y satisfacen ∞ −x e L i (x)L j (x) d x = 0, para i = j. (Consulte la sección 8.2.) El polinomio Ln(x) tiene n ceros 0 diferentes x1 , x2 , . . . , xn en [0, ∞). Si ∞

cn,i = 0

n

e−x j=1 j=i

x − xj d x. xi − x j

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Capítulo 4 Muestre que la fórmula de cuadratura ∞ 0

7.

n

f (x)e−x d x =

cn,i f (xi ) i=1

tiene un grado de precisión 2n 2 1. [Sugerencia: Siga los pasos en la demostración del teorema 4.7.] Los polinomios de Laguerre L 0 (x) = 1, L 1 (x) = 1 − x, L 2 (x) = x 2 − 4x + 2, y L 3 (x) = −x 3 + 9x 2 − 18x + 6 se deducen en el ejercicio 11 de la sección 8.2. Como se muestra en el ejercicio 6, estos polinomios son útiles para aproximar las integrales de la forma ∞

e−x f (x) d x = 0. 0

8.

a. Deduzca la fórmula de cuadratura mediante n 5 2 y los ceros de L2(x). b. Deduzca la fórmula de cuadratura mediante n 5 3 y los ceros de L3(x). Utilice las fórmulas de cuadratura derivadas en el ejercicio 7 para aproximar la integral ∞

√

xe−x d x.

0

9.

Utilice las fórmulas de cuadratura derivadas en el ejercicio 7 para aproximar la integral ∞ −∞

1 d x. 1 + x2

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2.

Describa la forma en la que se manejan las singularidades al aproximar las integrales impropias. La eficiencia de la cuadratura adaptable disminuye considerablemente si la función tiene singularidades integrables en los extremos del intervalo. Esta situación puede requerir miles de iteraciones para disminuir el error de integración a un nivel aceptable. Analice la forma en la que la subrutina AutoGKSingular resuelve este problema.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS (FINAL DEL CAPÍTULO) 1. 2. 3. 4. 5.

Proporcione una descripción general de la subrutina AutoGKSmooth encontrada en el paquete de software numérico ALGLIB. Proporcione una descripción general de la subrutina AutoGKSmoothW encontrada en el paquete de software numérico ALGLIB. Analice la forma en la que se manejan integrales múltiples en MAPLE. ¿Existen situaciones que podrían crear un problema al utilizar MAPLE? Analice la forma en la que se manejan integrales múltiples en MATLAB. ¿Existen situaciones que podrían crear un problema al utilizar MATLAB? Analice la forma en la que se manejan integrales múltiples en Mathematica. ¿Existen situaciones que podrían crear un problema al utilizar Mathematica?

CONCEPTOS CLAVE Cuadratura gaussiana Cuadratura numérica Diferenciación numérica Error de redondeo Extrapolación de Richardson Fórmulas abiertas de Newton-Cotes Fórmulas cerradas de Newton-Cotes

Fórmulas de diferencia Grado de precisión Integración de Romberg Integración numérica Integrales impropias Medición de precisión Métodos de cuadratura adaptable Métodos de integral múltiple

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Polinomios de Legendre Regla compuesta de Simpson Regla de Simpson Regla trapezoidal Regla trapezoidal compuesta Singularidad

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Conjunto de ejercicios

REVISIÓN DEL CAPÍTULO En este capítulo consideramos integrales de aproximación de funciones de una, dos o tres variables y la aproximación de las derivadas de una función de una sola variable real. Se estudió la regla de punto medio, la regla trapezoidal y la regla de Simpson para introducir las técnicas y el análisis de error de los métodos de cuadratura. Descubrimos que la regla compuesta de Simpson era fácil de utilizar y que produce aproximaciones precisas a menos que la función oscile en un subintervalo del intervalo de integración. Descubrimos que es posible usar la cuadratura adaptable si se sospecha que la función tiene una conducta oscilatoria. También observamos que mediante la cuadratura gaussiana podemos obtener la capacidad de minimizar el número de nodos mientras mantenemos la precisión. La integración de Romberg se introdujo para aprovechar la aplicación fácil de la regla compuesta trapezoidal y la extrapolación. Para leer más sobre integración numérica, recomendamos los libros de Engels [E] y de Davis y Rabinowitz [DR]. Para más información sobre cuadratura gaussiana, consulte Stroud y Secrest [StS]. Los libros sobre integrales múltiples incluyen los de Stroud [Stro] y de Sloan y Joe [SJ].

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Capítulo 5 CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.1 1.

2.

Use el teorema 5.4 para mostrar que cada uno de los siguientes problemas tiene una sola solución y encuéntrela. a. y = y cos t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1. 2 b. y = y + t 2 et , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 0. t √ 2 c. y = − y + t 2 et , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2e. t 4t 3 y d. y = , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1. 1 + t4

Muestre que cada uno de los siguientes problemas de valor inicial tiene una única solución y encuéntrela. ¿El teorema 5.4 se puede aplicar en cada caso? a. b. c. d.

3.

y = et−y , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1. y = t −2 (sen 2t − 2t y), 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2. y = −y + t y 1/2 , 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 2. ty + y , 2 ≤ t ≤ 4, dy(2) = 4. y = ty + t

Para cada selección de f (t, y) proporcionada en las partes a)2d): i. ¿ f satisface la condición de Lipschitz en D = { (t, y) | 0 ≤ t ≤ 1, −∞ < y < ∞ }? ii. ¿El teorema 5.6 se puede usar para mostrar que el problema de valor inicial y = f (t, y),

0 ≤ t ≤ 1,

y(0) = 1,

está bien planteado? a.

4.

f (t, y) = t 2 y + 1 b.

c.

f (t, y) = t y

f (t, y) = 1 − y

d.

f (t, y) = −t y +

4t y

Para cada selección de f (t, y) proporcionada en las partes a)2d): i. ¿f satisface la condición de Lipschitz en D = { (t, y) | 0 ≤ t ≤ 1, −∞ < y < ∞ }? ii. ¿El teorema 5.6 se puede utilizar para mostrar que el problema de valor inicial y = f (t, y),

0 ≤ t ≤ 1,

y(0) = 1,

está bien planteado?

5.

6.

a.

f (t, y) = et−y

b.

f (t, y) =

1+y 1+t

c.

f (t, y) = cos(yt)

d.

f (t, y) =

y2 1+t

Para los siguientes problemas de valor inicial, muestre que la ecuación dada define una solución de manera implícita. Aproxime y(2) con el método de Newton. y3 + y , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 1; (3y 2 + 1)t

a.

y =−

b.

y cos t + 2te y , 1 ≤ t ≤ 2, y =− sen t + t 2 e y + 2

y 3 t + yt = 2

y(1) = 0; y sen t + t 2 e y + 2y = 1

Suponga que la perturbación δ(t) es proporcional para t, es decir, δ(t) = δt para alguna constante δ. Muestre directamente que los siguientes problemas de valor inicial están bien planteados. a.

y = 1 − y, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0

c.

y =

2 y + t 2 et , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 0 t

b.

y = t + y, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = −1

d.

√ 2 y = − y + t 2 et , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2e t

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Conjunto de ejercicios

EJERCICIOS TEÓRICOS 7. Muestre que cualquier punto en la recta que pasa por (t1, y1) y (t2, y2) corresponde a corresponds to ((1−λ)t1 +λt2 , (1−λ)y1 +λy2 ) para alguna elección de l. 8. Pruebe el teorema 5.3 al aplicar el teorema de valor medio 1.8 para f (t, y), al mantener t fija. 9. Muestre que, para cualquier constante a y b, el conjunto D = { (t, y) | a ≤ t ≤ b, −∞ < y < ∞ } es convexo. 10. El método de Picard para resolver el problema de valor inicial y = f (t, y),

a ≤ t ≤ b,

y(a) = α,

se describe como sigue: Sea y0 (t) = α para cada t en [a, b]. Defina una sucesión {yk (t)} de funciones mediante t

yk (t) = α +

f (τ, yk−1 (τ )) dτ,

k = 1, 2, . . . .

a

a. b.

Integre y = f (t, y(t)) y utilice la condición inicial para deducir el método de Picard. Genere y0 (t), y1 (t), y2 (t), y y3 (t) para el problema de valor inicial y = −y + t + 1,

c.

0 ≤ t ≤ 1,

y(0) = 1.

Compare el resultado en la parte b) para las series de Maclaurin de la solución real y(t) = t + e−t .

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

Los métodos numéricos siempre se preocupan por resolver problemas perturbados ya que el error de redondeo introducido en la representación perturba el problema original. ¿Cómo puede decidir si su aproximación para un problema perturbado aproxima con precisión la solución al problema original? El siguiente problema de valor inicial y = f (x, y) y(0) = 0

en donde f es la función f (x, y) =

y sen (1/y) 0

y=0 y=0

es continua, pero no es Lipschitz alrededor de (0,0). ¿Por qué la solución es única?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.2 1.

Use el método de Euler para aproximar las soluciones para cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. a. b. c. d.

2.

y y y y

= te3t − 2y, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0, con h = 0.5 = 1 + (t − y)2 , 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 1, con h = 0.5 = 1 + y/t, 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2, con h = 0.25 = cos 2t + sen 3t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, con h = 0.25

Utilice el método de Euler para aproximar las soluciones para cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. a. b. c. d.

y = et−y , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, con h = 0.5 1+t , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2, con h = 0.5 y = 1+y y = −y + t y 1/2 , 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 2, con h = 0.25 y = t −2 (sen 2t − 2t y),

1 ≤ t ≤ 2,

y(1) = 2, con h = 0.25

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Capítulo 5 3.

4.

Las soluciones reales para los problemas de valor inicial en el ejercicio 1 se proporcionan aquí. Compare el error real en cada paso con la cota de error. 1 1 1 1 b. y(t) = t + a. y(t) = te3t − e3t + e−2t 5 25 25 1−t 1 1 4 c. y(t) = t ln t + 2t d. y(t) = sen 2t − cos 3t + 2 3 3 Las soluciones reales para los problemas de valor inicial en el ejercicio 2 se proporcionan aquí. Compare el error real en cada paso para con la cota de error si se puede aplicar el teorema 5.9. a. c.

5.

b. c. d.

b. c. d.

8.

9.

2

d.

t 2 + 2t + 6 − 1 4 + cos 2 − cos 2t y(t) = 2t 2

y(t) =

y = y/t − (y/t)2 ,

1 ≤ t ≤ 2,

2

y = 1 + y/t + (y/t) , y = −(y + 1)(y + 3),

y = −5y + 5t 2 + 2t,

y(1) = 1, con h = 0.1

1 ≤ t ≤ 3,

0 ≤ t ≤ 2,

0 ≤ t ≤ 1,

y(1) = 0, con h = 0.2

y(0) = −2, con h = 0.2

y(0) = 13 , con h = 0.1

Use el método de Euler para aproximar las soluciones para cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. a.

7.

b.

Utilice el método de Euler para aproximar las soluciones para cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. a.

6.

y(t) = ln(et + e − 1) √ y(t) = t − 2 + 2ee−t/2

2 − 2t y , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, con h = 0.1 t2 + 1 y2 y = , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = −(ln 2)−1 , con h = 0.1 1+t y = t −1 (y 2 + y), 1 ≤ t ≤ 3, y(1) = −2, con h = 0.2 y =

y = −t y + 4t y −1 ,

0 ≤ t ≤ 1,

y(0) = 1, con h = 0.1

Aquí se dan las soluciones reales para los problemas de valor inicial en el ejercicio 5. Calcule el error real en las aproximaciones del ejercicio 5. t b. y(t) = t tan(ln t) a. y(t) = 1 + ln t 2 1 c. y(t) = −3 + d. y(t) = t 2 + e−5t 1 + e−2t 3 Aquí se dan las soluciones reales para los problemas de valor inicial en el ejercicio 6. Calcule el error real en las aproximaciones del ejercicio 6. 2t + 1 −1 b. y(t) = a. y(t) = 2 t +1 ln(t + 1) 2t d. y(t) = 4 − 3e−t 2 c. y(t) = 1 − 2t Dado el problema de valor inicial y =

2 y + t 2 et , t

1 ≤ t ≤ 2,

y(1) = 0,

con solución exacta y(t) = t 2 (et − e): a. Use el método de Euler con h 5 0.1 para aproximar la solución y compárelos con los valores reales de y. b. Utilice las respuestas generadas en la parte a) y la interpolación lineal para aproximar los siguientes valores de y, y compárelos con los valores reales. i.

y(1.04)

ii.

y(1.55)

iii.

y(1.97)

c. Calcule el valor de h necesario para |y(ti ) − w i | ≤ 0.1, por medio de la ecuación (5.10). 10. Dado el problema del valor inicial 1 y y = 2 − − y 2 , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = −1, t t con solución exacta y(t) = −1/t:

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Conjunto de ejercicios a. b.

Use el método de Euler con h 5 0.05 para aproximar la solución y compárelos con los valores reales de y. Utilice las respuestas generadas en la parte a) y la interpolación lineal para aproximar los siguientes valores de y, y compárelos con los valores reales. i. y(1.052) ii. y(1.555) iii. y(1.978)

c. Calcule el valor de h necesario para |y(ti ) − w i | ≤ 0.05 , por medio de la ecuación (5.10). 11. Dado el problema de valor inicial y = −y + t + 1,

0 ≤ t ≤ 5,

y(0) = 1,

con solución exacta y(t) = e−t + t: a. Aproxime y(5) usando el método de Euler con h 5 0.2, h 5 0.1, y h 5 0.05. b. Determine el valor óptimo de h para usarlo en el cálculo de y(5), al suponer que δ = 10−6 y que la ecuación (5.14) es válida. 12. Considere el problema de valor inicial y = −10y,

0 ≤ t ≤ 2,

y(0) = 1,

que tiene solución y(t) = e−10t. ¿Qué pasa cuando se aplica el método de Euler a este problema con h 5 0.1? ¿Esta conducta viola el teorema 5.9? 13. Utilice los resultados del ejercicio 5 y la interpolación lineal para aproximar los siguientes valores de y(t). Compare las aproximaciones asignadas para los valores reales obtenidos mediante las funciones determinadas en el ejercicio 7. a. c.

b. d.

y(1.25) y y(1.93) y(1.4) y y(1.93)

y(2.1) y y(2.75) y(0.54) y y(0.94)

14. Utilice los resultados del ejercicio 6 y la interpolación lineal para aproximar los siguientes valores de y(t). Compare las aproximaciones logradas para los valores reales obtenidos mediante las funciones determinadas en el ejercicio 8. a. c.

b. d.

y(0.25) y y(0.93) y(2.10) y y(2.75)

y(1.25) y y(1.93) y(0.54) y y(0.94)

hM δ + . 2 h Para el problema de valor inicial

15. Sea E(h) = a.

y = −y + 1,

b. c.

0 ≤ t ≤ 1,

y(0) = 0,

calcule el valor de h para minimizar E(h). Suponga δ = 5 × 10−(n+1) si usará aritmética de n dígitos en la parte c). Para la h óptima calculada en la parte a), use la ecuación (5.13) para calcular el error mínimo obtenible. Compare el error real obtenido con h 5 0.1 y h 5 0.01 para el error mínimo en la parte b). ¿Puede explicar los resultados?

EJERCICIOS APLICADOS 16. En un circuito con voltaje impreso E que tiene una resistencia R, inductancia L y capacitancia C en paralelo, la corriente i satisface la ecuación diferencial di d 2E 1 dE 1 =C 2 + + E. dt dt R dt L

Suponga que C 5 0.3 faradios, R 5 1.4 ohms y L 5 1.7 henrios, y que el voltaje está determinado por E(t) = e−0.06πt sen(2t − π).

Si i(0) 5 0, encuentre la corriente i para los valores t = 0.1 j, donde j = 0,1, . . . , 100.

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Capítulo 5 17. En un libro titulado Looking at History Through Mathematics (Observando la historia a través de las matemáticas), Rashevsky [Ra], pp. 103–110, propone un modelo para un problema relacionado con la producción de inconformistas en la sociedad. Suponga que una sociedad tiene una población de x(t) individuos en el tiempo t, en años, y que todos los inconformistas que se unen a otros inconformistas tienen descendencia que también es inconformista, mientras una proporción fija r de todos los otros descendientes también son inconformistas. Si se supone que los índices de natalidad y mortalidad son las constantes b y d, respectivamente, y si los conformistas y los inconformistas se unen de manera aleatoria, el problema se puede expresar con las ecuaciones diferenciales d x(t) = (b − d)x(t) dt

y

d xn (t) = (b − d)xn (t) + r b(x(t) − xn (t)), dt

donde xn(t) denota el número de inconformistas en la población en el tiempo t. a. Suponga que se introduce la variable p(t) = xn (t)/x(t) para representar la proporción de inconformistas en la sociedad en el tiempo t. Muestre que las ecuaciones pueden combinarse y simplificarse en la ecuación diferencial individual dp(t) = r b(1 − p(t)). dt

b. c.

Al suponer que p(0) = 0.01, b = 0.02, d = 0.015, y r = 0.1, aproximan la solución p(t) desde t 5 0 hasta t 5 50, cuando el tamaño de paso es h 5 1 año. Resuelva la ecuación diferencial p(t) de manera exacta y compare su resultado en la parte b) cuando t 5 50 con el valor exacto en ese tiempo.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2. 3.

Proporcione una descripción general del método de Euler mediante el sitio web http://www.mathscoop. com/calculus/differential-equations/euler-method.php como su punto de inicio. Observe cuidadosamente la medida del error. ¿Por qué este método no es práctico? Describa la manera en la que se puede implementar el método de Euler en una hoja de cálculo, como Excel. Use el método de Euler para aproximar una solución para el problema de valor inicial dy/dt = et cos t para t entre 0 y 5. Inicie con un tamaño de paso de 0.25, a continuación pruebe el tamaño de paso de 0.1 o incluso 0.05 o menor. Utilice una hoja de cálculo o un sistema de álgebra para computadora para los cálculos. ¿La solución es la que esperaba? ¿Qué está pasando y por qué?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.3 1.

Use el método de Taylor de orden 2 para aproximar las soluciones para cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. a. b. c. d.

2.

y y y y

= te3t − 2y, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0, con h = 0.5 = 1 + (t − y)2 , 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 1, con h = 0.5 = 1 + y/t, 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2, con h = 0.25 = cos 2t + sen 3t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, con h = 0.25

Utilice el método de Taylor de orden 2 para aproximar las soluciones para cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. a. b. c. d.

y = et−y , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, con h = 0.5 1+t , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2, con h = 0.5 y = 1+y y = −y + t y 1/2 , 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 2, con h = 0.25 y = t −2 (sen 2t − 2t y), 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2, con h = 0.25

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Conjunto de ejercicios 3. 4. 5.

Repita el ejercicio 1 con el método de Taylor de orden 4. Repita el ejercicio 2 con el método de Taylor de orden 4. Utilice el método de Taylor de orden 2 para aproximar las soluciones para cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. a. b. c. d.

6.

1 ≤ t ≤ 1.2,

y(1) = 1, con h = 0.1

−t

0 ≤ t ≤ 1,

y(0) = 0, con h = 0.5

y = (y + y)/t,

1 ≤ t ≤ 3,

y(1) = −2, con h = 0.5

y = sen t + e , 2

−1

y = −t y + 4t y ,

0 ≤ t ≤ 1,

y(0) = 1, con h = 0.25

Utilice el método de Taylor de orden 2 para aproximar las soluciones para cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. 2 − 2t y , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, con h = 0.1 a. y = 2 t +1 y2 , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = −(ln 2)−1 , con h = 0.1 b. y = 1+t c. d.

7. 8. 9.

y = y/t − (y/t)2 ,

y = (y 2 + y)/t, 1 ≤ t ≤ 3, y(1) = −2, con h = 0.2 y = −t y + 4t/y, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, con h = 0.1

Repita el ejercicio 5 con el método de Taylor de orden 4. Repita el ejercicio 6 con el método de Taylor de orden 4. Dado el problema de valor inicial y =

2 y + t 2 et , t

1 ≤ t ≤ 2,

y(1) = 0,

con solución exacta y(t) = t 2 (et − e): a. Utilice el método de Taylor de orden 2 con h 5 0.1 para aproximar la solución y compárela con los valores reales de y. b. Use las respuestas generadas en la parte a) e interpolación lineal para aproximar y en los siguientes valores y compárelos con los valores reales de y. i.

c. d.

ii.

y(1.04)

iii.

y(1.55)

y(1.97)

Utilice el método de Taylor de orden 4 con h 5 0.1 para aproximar la solución y compárela con los valores reales de y. Use las respuestas generadas en la parte c) y la interpolación cúbica por tramos de Hermite para aproximar y en los siguientes valores y compárelas con los valores reales de y. i. y(1.04) ii. y(1.55) iii. y(1.97)

10. Dado el problema de valor inicial y =

1 y − − y2, t2 t

1 ≤ t ≤ 2,

y(1) = −1,

con solución exacta y(t) = −1/t: a. Use el método de Taylor de orden 2 con h 5 0.05 para aproximar la solución y compárela con los valores reales de y. b. Use las respuestas generadas en la parte a) y la interpolación lineal para aproximar y en los siguientes valores, y compárelos con los valores reales de y. i.

c. d.

y(1.052)

ii.

y(1.555)

iii.

y(1.978)

Utilice el método de Taylor de orden 4 con h 5 0.05 para aproximar la solución y compárela con los valores reales de y. Use las respuestas generadas en la parte c) y la interpolación cúbica por tramos de Hermite para aproximar y en los siguientes valores, y compárelos con los valores reales de y. i. y(1.052) ii. y(1.555) iii. y(1.978)

11. Utilice el método de Taylor de orden 2 con h 5 0.1 para aproximar la solución de y = 1 + t sen(t y), 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0.

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Capítulo 5

EJERCICIOS APLICADOS 12. Un proyectil de masa m 5 0.11 kg disparado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial v(0) = 8 m/s desacelera debido a la fuerza de gravedad Fg = −mg, y debido a la resistencia del aire, Fr = −kv|v|, donde g = 9.8 m/s2 y k 5 0.002 kg/m. La ecuación diferencial para la velocidad v está determinada por mv = −mg − kv|v|. Encuentre la velocidad después de 0.1,0.2,... ,1.0 s. Para la décima de segundo más cercana, determine cuándo alcanza el proyectil su máxima altura y comienza a caer. 13. Un tanque grande almacena 1000 galones de agua que contienen 50 libras de sal disuelta. Suponga que una solución de agua salada con una concentración de 0.02 libras de sal por galón de agua fluye hacia el tanque a una velocidad de 5 galones por minuto. La solución en el tanque está bien agitada y fluye fuera de un orificio en el fondo del tanque a una velocidad constante de 3 galones por minuto. Sea x (t) la cantidad de sal en libras en el tanque en el tiempo t, donde x(0) 5 50 libras. La ecuación diferencial que proporciona la razón de cambio x 9(t) de sal medida en libras por minuto en el tanque es a. b.

x (t) = 0.1 −

a. b.

3x(t) . 1000 + 2t

Encuentre el momento en el que tanque almacenará 1 010 galones de agua salada. Con el método de Taylor de orden 4 con h 5 0.5, encuentre la concentración de sal cuando el tanque almacena 1 010 galones de agua.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2.

Analice las similitudes y diferencias entre el método de Euler y el método de Taylor. ¿Un método es mejor que el otro? Use el método de Taylor de orden cuatro para aproximar la solución al problema de valor inicial dy/dt = et sen(t), para t entre 0 y 5. Inicie con un tamaño de paso de 0.25, a continuación pruebe un tamaño de paso de 0.1 y 0.025. Use una hoja de cálculo o un sistema de álgebra para computadora para los cálculos. ¿La solución hace lo que usted esperaba? ¿Qué está pasando y por qué?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.4 1.

Utilice el método modificado de Euler para aproximar las soluciones para cada uno de los siguientes problemas de valor inicial y compare los resultados con los valores reales. a. b. c. d.

2.

1 3t y = te3t − 2y, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0, con h = 0.5; solución real y(t) = 15 te3t − 25 e + 1 −2t e . 25 1 y = 1 + (t − y)2 , 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 1, con h = 0.5; solución real y(t) = t + 1−t . y = 1 + y/t, 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2, con h = 0.25; solución real y(t) = t ln t + 2t. y = cos 2t + sen 3t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, con h = 0.25; solución real y(t) = 1 sen 2t − 13 cos 3t + 43 . 2

Use el método modificado de Euler para aproximar las soluciones para cada uno de los siguientes problemas de valor inicial y compare los resultados con los valores reales. a. b. c. d.

y = et−y , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, con h = 0.5; solución real y(t) = ln(et + e − 1). √ 1+t y = , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2, con h = 0.5; solución real y(t) = t 2 + 2t + 6−1. 1+y y = −y√+ t y 1/2 , 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 2, con h = 0.25; solución real y(t) = (t − 2 + 2ee−t/2 )2 . y = t −2 (sen 2t − 2t y), 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2, con h = 0.25; solución real y(t) = 4 + cos 2 − cos 2t . 2t 2

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Conjunto de ejercicios 3.

Utilice el método modificado de Euler para aproximar las soluciones para cada uno de los siguientes problemas de valor inicial y compare los resultados con los valores reales. a.

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

1 ≤ t ≤ 2, 2

y(1) = 1, con h = 0.1; solución real y(t) = t/(1 + ln t).

b.

y = 1+y/t +(y/t) ,

c.

y = −(y + 1)(y + 3), 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = −2, con h = 0.2; solución real y(t) = −3 + 2(1 + e−2t )−1 . y = −5y +5t 2 +2t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 13 , con h = 0.1; solución real y(t) = t 2 + 13 e−5t .

d.

4.

y = y/t − (y/t)2 ,

1 ≤ t ≤ 3,

y(1) = 0, con h = 0.2; solución real y(t) = t tan(ln t).

Utilice el método modificado de Euler para aproximar las soluciones para cada uno de los siguientes problemas de valor inicial y compare los resultados con los valores reales. 2 − 2t y , t2 + 1

a.

y =

b.

y =

c.

y =

d.

y = −t y + 4t/y,

y2 , 1+t

0 ≤ t ≤ 1, 1 ≤ t ≤ 2,

(y 2 + y) , t

y(0) = 1, con h = 0.1; solución real y(t) = y(1) =

1 ≤ t ≤ 3, 0 ≤ t ≤ 1,

−1 , ln 2

con h = 0.1; solución real y(t) =

2t + 1 . t2 + 1

−1 . ln(t + 1)

y(1) = −2, con h = 0.2; solución real y(t) = y(0) = 1, con h = 0.1; solución real y(t) =

2t . 1 − 2t

4 − 3e−t 2 .

Repita el ejercicio 1 usando el método de punto medio. Repita el ejercicio 2 usando el método de punto medio. Repita el ejercicio 3 usando el método de punto medio. Repita el ejercicio 4 usando el método de punto medio. Repita el ejercicio 1 usando el método de Heun. Repita el ejercicio 2 usando el método de Heun. Repita el ejercicio 3 usando el método de Heun. Repita el ejercicio 4 usando el método de Heun. Repita el ejercicio 1 usando el método Runge-Kutta de orden 4. Repita el ejercicio 2 usando el método Runge-Kutta de orden 4. Repita el ejercicio 3 usando el método Runge-Kutta de orden 4. Repita el ejercicio 4 usando el método Runge-Kutta de orden 4. Use los resultados del ejercicio 3 y la interpolación lineal para aproximar valores de y(t) y compare los resultados para los valores reales. a. c.

y(1.25) y y(1.93) y(1.3) y y(1.93)

b. d.

y(2.1) y y(2.75) y(0.54) y y(0.94)

18. Utilice los resultados del ejercicio 4 y la interpolación lineal para aproximar valores de y(t) y compare los resultados con los valores reales. a. c.

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

y(0.54) y y(0.94) y(1.3) y y(2.93)

b. d.

y(1.25) y y(1.93) y(0.54) y y(0.94)

Repita el ejercicio 17 usando los resultados del ejercicio 7. Repita el ejercicio 18 usando los resultados del ejercicio 8. Repita el ejercicio 17 usando los resultados del ejercicio 11. Repita el ejercicio 18 usando los resultados del ejercicio 12. Repita el ejercicio 17 usando los resultados del ejercicio 15. Repita el ejercicio 18 usando los resultados del ejercicio 16. Use los resultados del ejercicio 15 y la interpolación cúbica de Hermite para aproximar los valores de y(t), y compare las aproximaciones para los valores reales. a. c.

y(1.25) y y(1.93) y(1.3) y y(1.93)

b. d.

y(2.1) y y(2.75) y(0.54) y y(0.94)

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Capítulo 5 26. Utilice los resultados del ejercicio 16 y la interpolación cúbica de Hermite para aproximar los valores de y(t) y compare las aproximaciones para los valores reales. a. c.

b. d.

y(0.54) y y(0.94) y(1.3) y y(2.93)

y(1.25) y y(1.93) y(0.54) y y(0.94)

EJERCICIOS APLICADOS 27. La reacción química irreversible en la que dos moléculas de dicromato de potasio sólido (K2Cr2O7), dos moléculas de agua (H2O), y tres átomos de sulfuro sólido (S) se combinan para producir tres moléculas del gas de dióxido de sulfuro (SO2), cuatro moléculas de hidróxido de potasio sólido (KOH), y dos moléculas de óxido crómico sólido (Cr2O3) se puede representar de manera simbólica mediante la ecuación estequiométrica: 2K2 Cr2 O7 + 2H2 O + 3S −→ 4KOH + 2Cr2 O3 + 3SO2 .

Si n1 moléculas de K2Cr2O7, n2 moléculas de H2O, y n3 moléculas de S están originalmente disponibles, la siguiente ecuación diferencial describe la cantidad x(t) de KOH después del tiempo t: dx x = k n1 − dt 2

2

n2 −

x 2

2

n3 −

3x 4

3

,

donde k es la velocidad constante de la reacción. Si k = 6.22 × 10−19 , n 1 = n 2 = 2 × 103, y n 3 = 3 × 103, use el método Runge-Kutta de orden 4 para determinar la forma en la que muchas unidades de hidróxido de potasio se habrán formado después de 0.2 s. 28. El agua fluye desde un tanque cónico invertido con un orificio circular a una velocidad de √ x dx = −0.6πr 2 2g , dt A(x) donde r es el radio del orificio, x es la altura del nivel de líquido desde el vértice del cono y A(x) es el área de la sección transversal del tanque x unidades por encima del orificio. Suponga que r 5 0.1 pies, g 5 32.1 pies/s2, y el tanque tiene un nivel inicial de agua de 8 pies y un volumen inicial de 512(p/3) pies3. Utilice el método Runge-Kutta de orden 4 para encontrar lo siguiente: a. El nivel de agua después de 10 min con h 5 20 s. b. Cuándo se vaciará el tanque, con una exactitud de 1 min.

EJERCICIOS TEÓRICOS 29. Muestre que el método de punto medio y el método modificado de Euler dan las mismas aproximaciones para el problema de valor inicial y = −y + t + 1,

0 ≤ t ≤ 1,

y(0) = 1,

para cualquier selección de h. ¿Por qué esto es verdad? 30. Muestre que el método de diferencia w 0 = α, w i+1 = w i + a1 f (ti , w i ) + a2 f (ti + α2 , w 1 + δ2 f (ti , w i )),

para cada i = 0, 1, . . . , N − 1, no puede tener error de truncamiento local O(h3) para ninguna elección de constantes a1 , a2 , α2 , y δ2 . 31. Muestre que el método de Heun se puede expresar en forma de diferencia, similar al método RungeKutta de orden cuatro, ya que w 0 = α, k1 = h f (ti , w i ), k2 = h f

ti +

1 h , w i + k1 , 3 3

k3 = h f

ti +

2 2h , w i + k2 , 3 3

1 w i+1 = w i + (k1 + 3k3 ), 4 para cada i = 0, 1, . . . , N − 1. Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

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Conjunto de ejercicios 32. El método Runge-Kutta de orden 4 se puede escribir de la forma w 0 = α, w i+1 = w i +

h h f (ti , w i ) + f (ti + α1 h, w i + δ1 h f (ti , w i )) 6 3

h f (ti + α2 h, w i + δ2 h f (ti + γ2 h, w i + γ3 h f (ti , w i ))) 3 h + f (ti + α3 h, w i + δ3 h f (ti + γ4 h, w i + γ5 h f (ti + γ6 h, w i + γ7 h f (ti , w i )))). 6

+

Encuentre los valores de las constantes α1 , α 2 , α 3 

1  2  3  2  3  4  5  6  y γ7 .

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2.

3. 4.

Describa el método de punto medio y el método modificado de Euler. ¿Cuál es la relación entre ellos? En muchos de los métodos analizados hasta ahora, conforme h disminuye, los cálculos aumentan, pero son más precisos. Sin embargo, disminuir demasiado h podría causar errores significativos. ¿Por qué sucede esto? Analice la manera en la que una hoja de cálculo se puede utilizar para implementar el método Runge-Kutta. Analice las diferencias entre el método Runge-Kutta y el método de Euler.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.5 1.

Use el método Runge-Kutta-Fehlberg con tolerancia TOL 5 1024, hmáx 5 0.25, y hmín 5 0.05 para aproximar las soluciones de los siguientes problemas de valor inicial. Compare los resultados con los valores reales. a. b. c. d.

2.

= te3t − 2y, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0; solución real y(t) = 15 te3t − 251 e3t + 251 e−2t . = 1 + (t − y)2 , 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 1; solución real y(t) = t + 1/(1 − t). = 1 + y/t, 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2; solución real y(t) = t ln t + 2t. = cos 2t + sen 3t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1; solución real y(t) = 12 sen 2t − 13 cos 3t + 43 .

Utilice el método Runge-Kutta-Fehlberg TOL 5 1024 para aproximar la solución de los siguientes problemas de valor inicial. a. b. c. d.

3.

y y y y

y y y y

= (y/t)2 + y/t, 1 ≤ t ≤ 1.2, y(1) = 1, con hmáx = 0.05 y hmín = 0.02. = sen t + e−t , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0, con hmáx = 0.25 y hmín = 0.02. = (y 2 + y)/t, 1 ≤ t ≤ 3, y(1) = −2, con hmáx = 0.5 y hmín = 0.02. = t 2 , 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0, con hmáx = 0.5 y hmín = 0.02.

Utilice el método Runge-Kutta-Fehlberg con tolerancia TOL 5 1026, hmáx 5 0.5, y hmín 5 0.05 para aproximar las soluciones a los siguientes problemas de valor inicial. Compare los resultados con los valores reales. a. b. c. d.

y y y y

= y/t − (y/t)2 , 1 ≤ t ≤ 4, y(1) = 1; solución real y(t) = t/(1 + ln t). = 1 + y/t + (y/t)2 , 1 ≤ t ≤ 3, y(1) = 0; solución real y(t) = t tan(ln t). = −(y + 1)(y + 3), 0 ≤ t ≤ 3, y(0) = −2; solución real y(t) = −3 + 2(1 + e−2t )−1 . 2 = (t + 2t 3 )y 3 − t y, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 13 ; solución real y(t) = (3 + 2t 2 + 6et )−1/2 .

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Capítulo 5 4.

Utilice el método Runge-Kutta-Fehlberg con TOL 5 1026, hmáx 5 0.5, y hmín 5 0.05 para aproximar las soluciones para los siguientes problemas de valor inicial. Compare los resultados con los valores reales. 2−2t y , t 2 +1 y2 , 1+t

y(0) = 1; solución real y(t) = (2t + 1)/(t 2 + 1).

a.

y =

b.

y =

c. d.

y = −t y + 4t/y, 0 ≤ t ≤ 1, y = −y + t y 1/2 , 2 ≤ t ≤ 4,

0 ≤ t ≤ 3, 1 ≤ t ≤ 4,

y(1) = −(ln 2)−1 ; solución real y(t) =

−1 . ln(t+1)

y(0) = 1; solución real y(t) = 4 − 3e−t 2 . √ y(2) = 2; solución real y(t) = (t − 2 + 2e e−t/2 )2 .

EJERCICIOS APLICADOS 5.

En la teoría de la propagación de enfermedad contagiosa (consulte [Ba1] o [Ba2]), una ecuación diferencial relativamente fundamental se puede utilizar para predecir el número de individuos de la población infectados en cualquier tiempo, siempre que se hagan las suposiciones de simplificación adecuadas. En particular, suponga que todos los individuos en una población fija tienen la misma probabilidad de resultar infectados y, una vez que lo son, permanecer en ese estado. Suponga que x(t) denota el número de individuos susceptibles en el tiempo t y y(t) denota el número de individuos infectados. Es razonable suponer que la velocidad con que cambia el número de individuos infectados es proporcional al producto de x(t) y y(t) porque la velocidad depende tanto del número de individuos infectados como del número de individuos susceptibles presentes en ese tiempo. Si la población es suficientemente grande como para suponer que x(t) y y(t) son variables continuas, el problema se puede expresar como y (t) = kx(t)y(t),

donde k es una constante y x(t) + y(t) = m, la población total. Esta ecuación se puede reescribir para que contenga solamente y(t) como y (t) = k(m − y(t))y(t).

Suponiendo que m = 100 000, y(0) = 1000, que k = 2 × 10−6, y que el tiempo se mide en días, encuentre una aproximación para el número de individuos infectados al cabo de 30 días. b. La ecuación diferencial en la parte a) recibe el nombre de ecuación de Bernoulli y se puede transformar en una ecuación diferencial lineal en u(t) = (y(t))−1. Utilice esta técnica para encontrar la solución exacta para la ecuación, bajo las mismas suposiciones de la parte a) y compare el valor verdadero de y(t) con la aproximación aquí dada. ¿Qué es lím t→∞ y(t)? ¿Esto concuerda con su intuición? En el ejercicio previo, todos los individuos infectados permanecieron en la población para propagar la enfermedad. Una propuesta más realista es introducir una tercera variable z(t) para representar el número de individuos retirados de la población afectada en un tiempo t determinado mediante aislamiento, recuperación e inmunidad consiguiente o muerte. Naturalmente, esto complica bastante el problema, pero se puede mostrar (consulte [Ba2]) que es posible proporcionar una solución aproximada de la forma a.

6.

x(t) = x(0)e−(k1 /k2 )z(t)

y

y(t) = m − x(t) − z(t),

donde k1 es la rapidez de infección, k2 es la rapidez de aislamiento y z(t) se determina a partir de la ecuación diferencial z (t) = k2 m − z(t) − x(0)e−(k1 /k2 )z(t) .

Los autores no están conscientes de ninguna técnica para resolver este problema directamente, por lo que se debe aplicar un procedimiento numérico. Encuentre una aproximación para z(30), y(30), y x(30), al suponer que m 5 100 000, x(0) = 99 000, k1 = 2 × 10−6 , y k2 = 10−4 .

EJERCICIOS TEÓRICOS 7.

El método Runge-Kutta-Verner (consulte [Ve]) está basado en las fórmulas 13 2375 5 12 3 k1 + k3 + k4 + k5 + k6 y 160 5984 16 85 44 3 875 23 264 125 43 = w i + k1 + k3 + k4 + k5 + k7 + k8 , 40 2244 72 1955 11592 616

w i+1 = w i + w˜ i+1

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Conjunto de ejercicios donde k1 = hf(ti , w i ), k2 = hf ti +

h 1 , w i + k1 , 6 6

k3 = hf ti +

4h 4 16 , w i + k1 + k2 , 15 75 75

k4 = hf ti +

5 8 5 2h , w i + k1 − k2 + k3 , 3 6 3 2

k5 = hf ti +

165 55 425 85 5h , wi − k1 + k2 − k3 + k4 , 6 64 6 64 96

k6 = hf ti + h, w i + k7 = hf ti +

4015 11 88 12 k1 − 8k2 + k3 − k4 + k5 , 5 612 36 255

8263 124 643 81 2484 h , wi − k1 + k2 − k3 − k4 + k5 , 15 15000 75 680 250 10625

y k8 = hf ti + h, w i +

3501 300 297275 319 24068 3850 k1 − k2 + k3 − k4 + k5 + k7 . 1720 43 52632 2322 84065 26703

˜ i+1 se usa para calcular el error en el método de quinto orden w i+1. ConsEl método de sexto orden w truya un algoritmo similar al algoritmo de Runge-Kutta-Fehlberg y repita el ejercicio 3 con este nuevo método.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7.

El método Runge-Kutta-Fehlberg es adaptable, ¿Qué significa esto? ¿Qué es el método RK56 y cómo difiere del método RKF45? ¿Qué es el método Runge-Kutta-Marson y cómo difiere del método Runge-Kutta-Fehlberg? ¿Qué es el cuadro de Butcher y cómo se relaciona con los métodos de Runge-Kutta? El método Runge-Kutta-Fehlberg tiene dos métodos: uno de orden 4 y el otro de orden 5. Analice el cuadro ampliado de Butcher para cada uno. Cuando se ha controlado el error, uno tiene una aproximación a partir de un método de orden 4 y otra a partir del método de orden 5. El procedimiento acepta la aproximación a partir del método de orden 4. ¿Por qué no aceptar la aproximación a partir del método de orden 5 en su lugar? Un método Runge-Kutta se identifica de manera única mediante su cuadro de Butcher. Describa el cuadro de Butcher para el método Runge-Kutta-Verner descrito en el ejercicio 7.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.6 1.

Use todos los métodos de Adams–Bashforth para aproximar las soluciones para los siguientes problemas de valor inicial. En cada caso, utilice los valores iniciales exactos y compare los resultados con los valores reales. a. b. c. d.

y = te3t − 2y, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0, con h = 0.2; solución real y(t) = 15 te3t − 251 e3t + 1 −2t e . 25 1 . y = 1 + (t − y)2 , 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 1, con h = 0.2; solución real y(t) = t + 1−t y = 1 + y/t, 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2, con h = 0.2; solución real y(t) = t ln t + 2t. y = cos 2t + sen 3t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, con h = 0.2; solución real y(t) = 1 sen 2t − 13 cos 3t + 43 . 2

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Capítulo 5 2.

Use todos los métodos de Adams–Bashforth para aproximar las soluciones para los siguientes problemas de valor inicial. En cada caso, utilice los valores iniciales exactos y compare los resultados con los valores reales. a. b. c. d.

3.

Use cada uno de los métodos de Adams-Bashforth para aproximar las soluciones para los siguientes problemas de valor inicial. En cada caso, utilice los valores iniciales obtenidos a partir del método Runge-Kutta de orden cuatro. Compara los resultados con los valores reales. a. b. c. d.

4.

b. c. d.

6.

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

t . 1 + ln t y = 1+y/t +(y/t)2 , 1 ≤ t ≤ 3, y(1) = 0, con h = 0.2; solución real y(t) = t tan(ln t). y = −(y + 1)(y + 3), 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = −2, con h = 0.1; solución real y(t) = −3 + 2/(1 + e−2t ). y = −5y + 5t 2 + 2t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1/3, con h = 0.1; solución real y(t) = t 2 + 13 e−5t . y = y/t − (y/t)2 ,

1 ≤ t ≤ 2,

y(1) = 1, con h = 0.1; solución real y(t) =

Use cada uno de los métodos de Adams-Bashforth para aproximar las soluciones para los siguientes problemas de valor inicial. En cada caso, utilice los valores iniciales obtenidos a partir del método Runge-Kutta de orden cuatro. Compare los resultados con los valores reales. a.

5.

y = 1 + y/t + (y/t)2 , 1 ≤ t ≤ 1.5, y(1) = 0, con h = 0.1; solución real y(t) = t tan(ln t). y = sen t +e−t , 0 ≤ t ≤ 0.5, y(0) = 0, con h = 0.1; solución real y(t) = 2−cos t −e−t . , 1 ≤ t ≤ 1.5, y(1) = 1, con h = 0.1; solución real y(t) = 2t − 1. y = y+1 t y = t 2 , 0 ≤ t ≤ 0.5, y(0) = 0, con h = 0.1; solución real y(t) = 13 t 3 .

2 − 2t y 2t + 1 , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, con h = 0.1 solución real y(t) = 2 . t2 + 1 t +1 2 −1 y y = , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = ln−12 , con h = 0.1 solución real y(t) = . 1+t ln(t + 1) 2t y = (y 2 + y)/t, 1 ≤ t ≤ 3, y(1) = −2, con h = 0.2 solución real y(t) = . 1 − 2t y =

y = −t y + 4t/y,

0 ≤ t ≤ 1,

y(0) = 1, con h = 0.1 solución real y(t) =

4 − 3e−t 2 .

Use todos los métodos de Adams-Moulton para aproximar las soluciones para los ejercicios 1a), 1c) y 1d). En cada caso, utilice los valores iniciales exactos y resuelva de manera explícita para w i+1. Compare los resultados con los valores reales. Use todos los métodos de Adams-Moulton para aproximar las soluciones para los ejercicios 2b), 2c) y 2d). En cada caso, utilice los valores iniciales exactos y resuelva de manera explícita para w i+1. Compare los resultados con los valores reales. Use el algoritmo 5.4 para aproximar las soluciones para los problemas en el ejercicio 1. Use el algoritmo 5.4 para aproximar las soluciones a los problemas del valor inicial en el ejercicio 2. Use el algoritmo 5.4 para aproximar las soluciones a los problemas del valor inicial en el ejercicio 3. Use el algoritmo 5.4 para aproximar las soluciones a los problemas del valor inicial en el ejercicio 4. Use el método indicador corrector de Milne-Simpson para aproximar las soluciones a los problemas de valor inicial en el ejercicio 3. Use el método indicador-corrector de Milne-Simpson para aproximar las soluciones a los problemas de valor inicial en el ejercicio 4. El problema de valor inicial y = ey ,

0 ≤ t ≤ 0.20,

y(0) = 1,

tiene la solución y(t) = 1 − ln(1 − et).

La aplicación del método Adams-Moulton de tres pasos en este problema es equivalente a encontrar el punto fijo w i+1 de g(w) = w i +

h (9ew + 19ew i − 5ew i−1 + ew i−2 ) . 24

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Conjunto de ejercicios a. b.

n for i = 2, . . . , 19 usando los Con h 5 0.01. obtenga w i+1 por medio de iteración funcional para valores iniciales exactos w0, w1, y w2. En cada paso, utilice wi para aproximar inicialmente w i+1. ¿El método de Newton acelera la convergencia sobre iteración funcional?

EJERCICIOS APLICADOS 14. La ecuación diferencial de Gompertz N (t) = α ln

K N (t) N (t)

sirve como modelo para el crecimiento de tumores, donde N(t) es el número de células en un tumor en el tiempo t. El número máximo de células que puede estar respaldado es K y a es la constante relacionada con la habilidad proliferativa de células. En un tipo particular de cáncer, α = 0.0439, k = 12000, y t se mide en meses. En el tiempo (t 5 0) el tumor se detecta, N(0) 5 4 000. Con el método indicador-corrector de Adams con h 5 0.5, encuentre el número de meses para que N(t) 5 11 000 células, el cual es el número letal para este cáncer.

EJERCICIOS TEÓRICOS 15. Cambie el algoritmo 5.4 de tal forma que el corrector se puede iterar para un número determinado p de iteraciones. Repita el ejercicio 9 con p 5 2, 3 y 4 iteraciones. ¿Qué elección de p da la mejor respuesta para cada problema de valor inicial? 16. a. Derive el método de dos pasos de Adams-Bashforth mediante la forma de Lagrange del polinomio de interpolación. b. Derive el método de dos pasos de Adams-Bashforth mediante la forma de diferencia regresiva de Newton del polinomio de interpolación. 17. Derive el método de tres pasos de Adams-Bashforth con el siguiente método. Establezca y(ti+1 ) = y(ti ) + ah f (ti , y(ti )) + bh f (ti−1 , y(ti−1 )) + ch f (ti−2 , y(ti−2 )).

Amplíe y(ti+1 ), f (ti−2 ,y(ti−2 )) y f (ti−1 ,y(ti−1 )) en la serie de Taylor sobre (ti , y(ti )) y equipare los coeficientes de h, h2 y h3 para obtener a, b y c. 18. Derive el método de dos pasos de Adams–Moulton y su error de truncamiento local por medio de una forma adecuada de un polinomio de interpolación. 19. Derive el método de Simpson al aplicar la regla de Simpson a la integral ti+1

y(ti+1 ) − y(ti−1 ) =

f (t, y(t)) dt. ti−1

20. Derive el método de Milne al aplicar la fórmula abierta de Newton-Cotes (4.29) a la integral ti+1

y(ti+1 ) − y(ti−3 ) =

f (t, y(t)) dt. ti−3

21. Verifique las entradas en la tabla 5.12 en la página 305.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2. 3. 4.

El método indicador-corrector de Adams-Bashforth/Adams-Moulton requiere cuatro valores iniciales, uno de los cuales se da mediante la condición inicial. Normalmente, los otros valores iniciales se obtienen a partir del método Runge-Kutta de orden 4. ¿El método mejoraría con el uso de valores iniciales de orden superior? Considere la posibilidad de cambiar el orden de un método Adams-Bashforth con base en su representación de diferencia regresiva. ¿Eso se puede hacer de manera eficiente? Considere el método indicador-corrector con base en el uso de un método de un paso para proporcionar el predictor para el método corrector implícito multipasos. ¿Ésta es una combinación factible? En un método indicador corrector, normalmente, existe solo una corrección por medio de un método implícito. Analice corregir más de una vez mediante la corrección anterior como una predicción nueva.

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Capítulo 5

CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.7 1.

Use el algoritmo indicador-corrector del tamaño de paso variable de Adams con tolerancia TOL 5 1024, hmáx 5 0.25, y hmín 5 0.025 para aproximar las soluciones para los problemas de valor inicial determinados. a. b. c. d.

2.

y y y y

= (y/t)2 + y/t, 1 ≤ t ≤ 1.2, y(1) = 1, con hmáx = 0.05 y hmín = 0.01. = sen t + e−t , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0, con hmáx = 0.2 y hmín = 0.01. = (1/t)(y 2 + y), 1 ≤ t ≤ 3, y(1) = −2, con hmáx = 0.4 y hmín = 0.01. = t 2 , 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0, con hmáx = 0.5 y hmín = 0.02.

Use el algoritmo indicador-corrector de tamaño de paso variable de Adams con tolerancia TOL 5 1026, hmáx 5 0.5, y hmín 5 0.02 para aproximar las soluciones para los problemas de valor inicial determinados. Compare los resultados con los valores reales. a. b. c. d.

4.

= te3t − 2y, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0; solución real y(t) = 15 te3t − 251 e3t + 251 e−2t . = 1 + (t − y)2 , 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 1; solución real y(t) = t + 1/(1 − t). = 1 + y/t, 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2; solución real y(t) = t ln t + 2t. = cos 2t + sen 3t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1; solución real y(t) = 12 sen 2t − 13 cos 3t + 43 .

Use el algoritmo indicador-corrector de tamaño de paso variable de Adams con tolerancia TOL 5 1024 para aproximar las soluciones para los siguientes problemas de valor inicial: a. b. c. d.

3.

y y y y

y y y y

= y/t − (y/t)2 , 1 ≤ t ≤ 4, y(1) = 1; solución real y(t) = t/(1 + ln t). = 1 + y/t + (y/t)2 , 1 ≤ t ≤ 3, y(1) = 0; solución real y(t) = t tan(ln t). = −(y + 1)(y + 3), 0 ≤ t ≤ 3, y(0) = −2; solución real y(t) = −3 + 2(1 + e−2t )−1 . 2 = (t + 2t 3 )y 3 − t y, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 13 ; solución real y(t) = (3 + 2t 2 + 6et )−1/2 .

Use el algoritmo indicador-corrector del tamaño de paso variable de Adams con tolerancia TOL 5 1025, hmáx 5 0.2 y hmín 5 0.02 para aproximar las soluciones para los problemas de valor inicial determinados. Compare los resultados con los valores reales. a. b. c. d.

2 − 2t y , 0 ≤ t ≤ 3, y(0) = 1; solución real y(t) = (2t + 1)/(t 2 + 1). t2 + 1 −1 y2 , 1 ≤ t ≤ 4, y(1) = −(ln 2)−1 ; solución real y(t) = . y = 1+t ln(t + 1) 4t y = −t y + , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1; solución real y(t) = 4 − 3e−t 2 . y √ y = −y + t y 1/2 , 2 ≤ t ≤ 4, y(2) = 2; solución real y(t) = (t − 2 + 2 e e−t/2 )2 . y =

EJERCICIOS APLICADOS 5.

Un circuito eléctrico consiste en un capacitor de capacitancia constante de C 5 1.1 faradios que está en oltage E(t) = 110 sen t se aplica serie con un resistor de resistencia constante R0 = 2.1 ohms. A Unv voltaje en el tiempo t 5 0. Cuando el resistor se calienta, la resistencia se vuelve una función de la corriente i, R(t) = R0 + ki,

donde k = 0.9,

y la ecuación diferencial para i(t) se convierte en 1+

6.

2k i R0

di 1 1 dE . + i= dt R0 C R0 C dt

Encuentre i(2), al suponer que i(2) 5 0. La temperatura dentro de una camioneta es T (0) = 100◦ F, mientras la temperatura afuera es una constante M(t) = M0 = 80◦. El propietario la aborda y configura el aire acondicionado en T1 = 66◦. Con base en la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura T(t) en el tiempo t satisface la ecuación diferencial T (t) = K 1 [M(t) − T (t)] + K 2 [T1 − T (t)],

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Conjunto de ejercicios

7.

donde las constantes K1 y K2 están basadas en las propiedades de la camioneta y del aire acondicionado. Suponga que K 1 = 12 hr1 y K 2 = 72 hr1 . Encuentre cuánto tiempo tarda la temperatura en el interior de la camioneta en enfriarse a 70 ºF. Utilice TOL 5 0.1, hmín 5 0.01, y hmáx 5 0.2 en el método indicador-corrector de tamaño de paso variable de Adams. Sea P(t) el número de individuos en una población en el tiempo t, medido en años. Si el índice de natalidad b es constante y el índice de mortalidad d es proporcional al tamaño de la población (debido a la superpoblación), entonces el índice de crecimiento de la población está dado por la ecuación logística d P(t) = b P(t) − k[P(t)]2 , dt

donde d = k P(t). Suponga P(0) = 50, 976, b = 2.9×10−2 , y k = 1.4×10−7 Encuentre la población después de cinco años.

EJERCICIOS TEÓRICOS 8.

Construya un algoritmo indicador-corrector de tamaño de paso variable de Adams con base en el método Adams-Bashforth de cinco pasos y el método Adams-Moulton de cuatro pasos. Repita el ejercicio 3 con este método nuevo.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3.

Analice la variación del orden además de la variación del tamaño de paso en un método indicador corrector con base en la representación de diferencia regresiva. Analice la posibilidad de un método indicador-corrector de tamaño de paso variable que sólo permite reducir a la mitad o duplicar el tamaño de paso. ¿Esto es más fácil de implementar que el algoritmo 5.5? Analice el error implicado en un método indicador-corrector de Milne-Simpson con valores iniciales Runge-Kutta en comparación con el error relacionado con el método indicador-corrector de tamaño de paso variable de Adams por medio de valores iniciales Runge-Kutta.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.8 1.

Use el algoritmo de extrapolación con tolerancia TOL 5 1024, hmáx 5 0.25, y hmín 5 0.05 para aproximar las soluciones para los siguientes problemas de valor inicial. Compare los resultados con los valores reales. a. b. c. d.

2.

1 3t 1 −2t = te3t − 2y, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0; solución real y(t) = 15 te3t − 25 e + 25 e . 2 = 1 + (t − y) , 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 1; solución real y(t) = t + 1/(1 − t). = 1 + y/t, 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2; solución real y(t) = t ln t + 2t. = cos 2t + sen 3t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1; solución real y(t) = 12 sen 2t − 13 cos 3t + 43 .

Utilice el algoritmo de extrapolación con tolerancia TOL 5 1024 para aproximar las soluciones para los siguientes problemas de valor inicial. a. b. c. d.

3.

y y y y

y y y y

= (y/t)2 + y/t, 1 ≤ t ≤ 1.2, y(1) = 1, con hmáx = 0.05 y hmín = 0.02. = sen t + e−t , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0, con hmáx = 0.25 y hmín = 0.02. = (y 2 + y)/t, 1 ≤ t ≤ 3, y(0) = −2, con hmáx = 0.5 y hmín = 0.02. = t 2 , 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0, con hmáx = 0.5 y hmín = 0.02.

Use el algoritmo de extrapolación con tolerancia TOL 5 1026, hmáx 5 0.5, y hmín 5 0.05 para aproximar soluciones para los siguientes problemas de valor inicial. Compare los resultados con los valores reales. a. b. c. d.

y = y/t − (y/t)2 ,

1 ≤ t ≤ 4,

y = 1 + y/t + (y/t)2 , y = −(y + 1)(y + 3), 3

3

y = (t + 2t )y − t y,

y(1) = 1; solución real y(t) = t/(1 + ln t).

1 ≤ t ≤ 3,

y(1) = 0; solución real y(t) = t tan(ln t).

0 ≤ t ≤ 3,

y(0) = −2; solución real y(t) = −3 + 2(1 + e−2t )−1 .

0 ≤ t ≤ 2,

y(0) = 13 ; solución real y(t) = (3 + 2t 2 + 6et )−1/2 .

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2

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Capítulo 5 4.

Use el algoritmo de extrapolación con tolerancia TOL 5 1026, hmáx 5 0.5, y hmín 5 0.05 para aproximar soluciones para los siguientes problemas de valor inicial. Compare los resultados con los valores reales. a. b. c. d.

2 − 2t y (2t + 1) , 0 ≤ t ≤ 3, y(0) = 1; solución real y = 2 . t2 + 1 (t + 1) −1 y2 y = , 1 ≤ t ≤ 4, y(1) = −(ln 2)−1 ; solución real y(t) = . 1+t ln(t + 1) 4t y = −t y + , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1; solución real y(t) = 4 − 3e−t 2 . y √ y = −y + t y 1/2 , 2 ≤ t ≤ 4, y(2) = 2; solución real y(t) = (t − 2 + 2 e e−t/2 )2 . y =

EJERCICIOS APLICADOS 5.

Suponga que un lobo persigue a un conejo. La trayectoria del lobo hacia el conejo recibe el nombre de curva de persecución. Suponga que el lobo corre a una velocidad constante a y el conejo a una velocidad constante b. Si el lobo comienza en el tiempo t 5 0 en el origen y el conejo en el punto (0, 1). Suponga que el conejo sube por la línea x 5 1.Let Si (x(t), y(t)) denota la posición del lobo en el tiempo t. La ecuación diferencial que describe la curva de persecución es dy 1 = (1 − x)−β/α − (1 − x)β/α dx 2

6.

Suponga que el lobo corre a una velocidad de 35 millas por hora y el conejo a 25 millas por hora. Encuentre la ubicación (x(t), y(t)) en la que el lobo atrapa al conejo con el método de extrapolación con TOL = 10−10 , hmín = 10−12 , y hmáx = 0.1. El modelo de población de Gompertz se describió en el ejercicio 26 de la sección 2.3. La población está provista por P(t) = PL e−ce

−kt

donde PL ,c y k > 0 son constante y P(t) es la población en el tiempo t. P(t) satisface la ecuación diferencial P (t) = k [ln PL − ln P(t)] P(t).

a. b. c.

Por medio de t 5 0 y los datos provistos en la tabla en la página 103, aproxime PL, c y k. Aplique el método de extrapolación con TOL 5 1 a la ecuación diferencial para aproximar P(1990), P(2000), y P(2010). Compare las aproximaciones para los valores de la función de Gompertz y la población real.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2.

Compare la precisión del método de extrapolación en el algoritmo 5.6 para el método Runge-Kutta de cuarto orden para un número determinado de evaluaciones de función. Analice las similitudes y diferencias entre el método en el algoritmo 5.6 y el método Bulirsch-Stoer.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.9 1.

Use el método Runge-Kutta en los sistemas para aproximar las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden y compare los resultados con las soluciones reales. a.

b.

c.

u 1 = 3u 1 + 2u 2 − (2t 2 + 1)e2t , u 1 (0) = 1; u 2 = 4u 1 + u 2 + (t 2 + 2t − 4)e2t , u 2 (0) = 1; 0 ≤ t ≤ 1; h = 0.2; soluciones reales u 1 (t) = 31 e5t − 31 e−t + e2t y u 2 (t) = 13 e5t + 32 e−t + t 2 e2t . u 1 = −4u 1 − 2u 2 + cos t + 4 sen t, u 1 (0) = 0; u 2 = 3u 1 + u 2 − 3 sen t, u 2 (0) = −1; 0 ≤ t ≤ 2; h = 0.1; soluciones reales u 1 (t) = 2e−t − 2e−2t + sen t y u 2 (t) = −3e−t + 2e−2t . u u u 0 1; Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

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Conjunto de ejercicios c.

d.

2.

= − + =− + u 1 = u 2 , u 1 (0) = 1; u 2 = −u 1 − 2et + 1, u 2 (0) = 0; u 3 = −u 1 − et + 1, u 3 (0) = 1; 0 ≤ t ≤ 2; h = 0.5; soluciones reales u 1 (t) = cos t + sen t − et + 1, u 2 (t) = − sen t + cos t − et , y u 3 (t) = − sen t + cos t. u 1 = u 2 − u 3 + t, u 1 (0) = 1; u 2 = 3t 2 , u 2 (0) = 1; u 3 = u 2 + e−t , u 3 (0) = −1; 0 ≤ t ≤ 1; h = 0.1; soluciones reales u 1 (t) = −0.05t 5 + 0.25t 4 + t + 2 − e−t , 0.25t 4 + t − e−t .

Use el método Runge-Kutta para sistemas para aproximar las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden y compare los resultados con las soluciones reales. a.

b.

c.

u 1 = u 1 − u 2 + 2, u 1 (0) = −1; u 2 = −u 1 + u 2 + 4t, u 2 (0) = 0; 0 ≤ t ≤ 1; h = 0.1; 1 1 1 1 y u 2 (t) = e2t + t 2 − . soluciones reales u 1 (t) = − e2t + t 2 + 2t − 2 2 2 2 1 2 1 2 u 1 = u 1 − u 2 − t 2 + , u 1 (0) = −3; 9 3 9 3 u 2 = u 2 + 3t − 4, u 2 (0) = 5; 0 ≤ t ≤ 2; h = 0.2; soluciones reales u 1 (t) = −3et + t 2 y u 2 (t) = 4et − 3t + 1.

u 1 = u 1 + 2u 2 − 2u 3 + e−t , u 1 (0) = 3; u 2 = u 2 + u 3 − 2e−t , u 2 (0) = −1; u 3 = u 1 + 2u 2 + e−t , u 3 (0) = 1; 0 ≤ t ≤ 1;

d.

4.

h = 0.1;

3 21 2 3 sen t − cos t − e2t , soluciones reales u 1 (t) = −3e − 3 sen t + 6 cos t, u 2 (t) = e−t + 2 10 10 5 9 2 12 cos t + sen t − e2t . y u 3 (t) = −e−t + 5 5 5 u 1 = 3u 1 + 2u 2 − u 3 − 1 − 3t − 2 sen t, u 1 (0) = 5; u 2 = u 1 − 2u 2 + 3u 3 + 6 − t + 2 sen t + cos t, u 2 (0) = −9; u 3 = 2u 1 + 4u 3 + 8 − 2t, u 3 (0) = −5; 0 ≤ t ≤ 2 ; h = 0.2; soluciones reales u 1 (t) = 2e3t + 3e−2t + t, u 2 (t) = −8e−2t + e4t − 2e3t + sen t, y u 3 (t) = 2e4t − 4e3t − e−2t − 2. −t

3.

u 2 (t) = t 3 + 1, y u 3 (t) =

Use el algoritmo del método Runge-Kutta destinado a sistemas para aproximar las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior y compare los resultados con las soluciones reales. a.

y − 2y + y = tet − t, 0 ≤ t ≤ 1, y(t) = 16 t 3 et − tet + 2et − t − 2.

b.

t 2 y − 2t y + 2y = t 3 ln t, 1 ≤ t ≤ 2, real y(t) = 47 t + 21 t 3 ln t − 34 t 3 .

c.

y + 2y − y − 2y = et , 0 ≤ t ≤ 3, y(0) = 1, 43 t solución real y(t) = 36 e + 14 e−t − 49 e−2t + 61 tet .

d.

t 3 y − t 2 y + 3t y − 4y = 5t 3 ln t + 9t 3 , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 0, y (1) = 1, con h = 0.1; solución real y(t) = −t 2 + t cos(ln t) + t sen(ln t) + t 3 ln t.

y(0) = y (0) = 0, con h = 0.1; y(1) = 1,

solución real

y (1) = 0, con h = 0.1; y (0) = 2,

solución

y (0) = 0, con h = 0.2; y (1) = 3,

Use el algoritmo del método Runge-Kutta para un sistemas para aproximar las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior y compare los resultados con las soluciones reales. a.

y − 3y + 2y = 6e−t , y(t) = 2e2t − et + e−t .

b.

t 2 y + t y − 4y = −3t, y(t) = 2t 2 + t + t −2 .

c.

y + y − 4y − 4y = 0, 0 ≤ t ≤ 2, solución real y(t) = e−t + e2t + e−2t .

d.

t 3 y + t 2 y − 2t y + 2y = 8t 3 − 2, 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2, h = 0.1; solución real y(t) = 2t − t −1 + t 2 + t 3 − 1.

0 ≤ t ≤ 1, 1 ≤ t ≤ 3,

y(0) = y (0) = 2, con h = 0.1; y(1) = 4, y(0) = 3,

y (1) = 3, con h = 0.2; y (0) = −1,

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solución real solución real

y (0) = 9, con h = 0.2;

y (1) = 8,

y (1) = 6, con

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Capítulo 5

EJERCICIOS APLICADOS 5.

El estudio de modelos matemáticos para predecir la dinámica de una población de especies competentes tiene su origen en los trabajos independientes publicados en la primera época del siglo xx por A. J. Lotka y V. Volterra (consulte, por ejemplo, [Lo1], [Lo2] y [Vo]). Considere el problema de predecir la población de dos especies, una de las cuales es un depredador, cuya población en el tiempo t es x2(t), que se alimenta de la otra, que es la presa, cuya población es x1(t). Supondremos que la presa siempre tiene un suministro de comida adecuado y que su índice de natalidad en cualquier tiempo es proporcional al número de presas vivas en ese momento; es decir, el índice de natalidad (presa) es k1 x1(t). El índice de mortalidad de la presa depende tanto del número de presas como de depredadores vivos en ese momento. Para simplicidad, suponemos un índice de mortalidad (presa) 5 k2 x1(t)x2(t). El índice de natalidad del depredador, por otro lado, depende de su suministro de comida, x1(t), así como del número de depredadores disponible para propósitos de reproducción. Por esta razón, suponemos que el índice de natalidad (depredador) es k3 x1(t)x2(t). El índice de mortalidad del depredador será tomado como simplemente proporcional al número de depredadores vivos en ese momento; es decir, el índice de mortalidad (depredador) 5 k4 x2(t). Puesto que x1 (t) y x2 (t) representan el cambio en las poblaciones de presas y depredadores, respectivamente, en relación con el tiempo, el problema se expresa mediante el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales x1 (t) = k1 x1 (t) − k2 x1 (t)x2 (t)

6.

y x2 (t) = k3 x1 (t)x2 (t) − k4 x2 (t).

Resuelva este sistema para 0 ≤ t ≤ 4, al suponer que la población inicial de la presa es 1000 y que la del depredador es 500 y que las constantes son k1 = 3, k2 = 0.002, k3 = 0.0006, y k4 = 0.5. Bosqueje una gráfica de las soluciones para este problema, al graficar ambas poblaciones con el tiempo y describa el fenómeno físico representado. ¿Existe una solución estable para este modelo de población? En caso afirmativo, ¿Para qué valores de x1 y x2 la solución es estable? En el ejercicio 5 consideramos el problema de predecir la población con un modelo depredador-presa. Otro problema de este tipo se preocupa por dos especies que compiten por el mismo suministro de comida. Si los números de especies vivas en el tiempo t se denotan a través de x1(t) y x2(t), con frecuencia se supone que, a pesar de que el índice de natalidad de cada una de las especies es simplemente proporcional al número de especies vivas en ese momento, el índice de mortalidad de cada especie depende de la población de ambas especies. Estableceremos que la población de un par particular de especies se describe mediante las ecuaciones d x 1 (t) = x1 (t)[4 − 0.0003x1 (t) − 0.0004x2 (t)] y dt d x2 (t) = x2 (t)[2 − 0.0002x1 (t) − 0.0001x2 (t)]. dt

7.

Si se sabe que la población inicial de cada especie es 10 000, encuentre la solución de este sistema para 0 ≤ t ≤ 4,. ¿Existe una solución estable para este modelo de población? En caso afirmativo, ¿para qué valores de x1 y x2 la solución es estable? Suponga que el péndulo que oscila descrito en el ejemplo principal de este capítulo es de 2 pies de largo y que g 5 32.17 pies/s2. Con h 5 0.1 s, compare el ángulo u obtenido para los siguientes problemas de valor inicial en t 5 0, 1, y 2 s. a. b.

g π d 2θ + sen θ = 0, θ (0) = , θ (0) = 0, dt 2 L 6 g π d 2θ + θ = 0, θ(0) = , θ (0) = 0, dt 2 L 6

EJERCICIOS TEÓRICOS 8.

Cambie el algoritmo indicador-corrector de cuarto orden de Adams para obtener soluciones aproximadas para los sistemas de ecuaciones de primer orden. 9. Repita el ejercicio 1 con el algoritmo desarrollado en el ejercicio 5. 10. Repita el ejercicio 2 con el algoritmo desarrollado en el ejercicio 5.

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Conjunto de ejercicios

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

El siguiente sistema describe la reacción química de Robertson. Esto se considera un sistema “rígido” de EDO. ¿El algoritmo 5.7 se puede aplicar al sistema en 0 ≤ x ≤ 40 con buenos resultados? ¿Por qué sí o por qué no? y1 = −0.04y1 + 104 y2 y3 y2 = −0.04y1 − 104 y2 y3 − 3 ∗ 107 y22 y3 = 3 ∗ 107 y22

2.

¿Cuáles son los métodos de Rosenbrock y por qué se utilizan?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.10 EJERCICIOS TEÓRICOS 1.

Para probar el teorema 5.20, parte i), muestra que la hipótesis implica que existe una constante K > 0 tal que |u i − vi | ≤ K |u 0 − v0 |,

2.

para cada 1 ≤ i ≤ N ,

N N y {vi }i=1 siempre que {u i }i=1 satisfagan la ecuación de diferencia w i+1 = w i + hφ(ti , w i , h). Para los métodos Adams-Bashforth y Adams-Moulton de orden 4, a. Muestre que si f 5 0, entonces

F(ti , h, w i+1 , . . . , w i+1−m ) = 0.

b.

Muestre que si f satisface la condición de Lipschitz con la constante L, entonces existe una constante C con m

|F(ti , h, w i+1 , . . . , w i+1−m ) − F(ti , h, vi+1 , . . . , vi+1−m )| ≤ C

|w i+1− j − vi+1− j |. j=0

3. 4.

Use los resultados del ejercicio 32 en la sección 5.4 para mostrar que el método Runge-Kutta de orden 4 es consistente. Considere la ecuación diferencial y = f (t, y),

a.

a ≤ t ≤ b,

y(a) = α.

Muestre que y (ti ) =

−3y(ti ) + 4y(ti+1 ) − y(ti+2 ) h 2 + y 2h 3

1 ),

para alguna ξ , donde ti < ξi < ti+2 . b.

La parte a) sugiere el método de diferencia w i+2 = 4w i+1 − 3w i − 2h f (ti ,w i ),

para i = 0,1,... ,N − 2.

Use este método para resolver y = 1 − y,

5.

0 ≤ t ≤ 1,

y(0) = 0,

con h 5 0.1. Utilice los valores iniciales w 0 = 0 y w 1 = y(t1 ) = 1 − e−0.1 . c. Repita la parte b) con h = 0.01 y w 1 = 1 − e−0.01 . d. Analice este método para consistencia, estabilidad y convergencia. Dado el método multipasos 3 1 w i+1 = − w i + 3w i−1 − w i−2 + 3h f (ti , w i ), 2 2

para i = 2, . . . , N − 1,

con valores iniciales w 0 , w 1 , w 2 :

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Capítulo 5

6.

a. Encuentre el error de truncamiento local. b. Comente sobre consistencia, estabilidad y convergencia. Obtenga una solución aproximada para la ecuación diferencial

y = −y,

7.

0 ≤ t ≤ 10,

y(0) = 1

usando el método de Milne con h 5 0.1 y h 5 0.01, con valores iniciales w 0 = 1 y w 1 = e−h en ambos casos. ¿Cómo afecta la disminución de h desde h 5 0.1 hasta h 5 0.01 al número de dígitos correctos en las soluciones aproximadas en t 5 1 y t 5 10? Investigue la estabilidad del método de diferencia w i+1 = −4w i + 5w i−1 + 2h[ f (ti , w i ) + 2h f (ti−1 , w i−1 )],

8.

lues w 0 , w 1 . para i = 1, 2, . . . , N − 1,, con valores iniciales Considere el problema y = 0, 0 ≤ t ≤ 10, y(0) = 0, que tiene la solución y ≡ 0. Si el método de diferencia del ejercicio 4 se aplica al problema, entonces w i+1 = 4w i − 3w i−1 , w 0 = 0,

para i = 1, 2, . . . , N − 1, y

w 1 = α1 .

= ε es un error de redondeo pequeño. Calcule wi exactamente para Suponga que w 1 = α1 = ε donde i = 2, 3, . . . , 6 para encontrar cómo se propaga el error = ε.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3.

Analice la diferencia entre error de truncamiento local, error local, error de truncamiento global y error global. Describa las regiones de estabilidad para el método de Euler, el método Runge de segundo orden y la regla de Kutta-Simpson de cuarto orden. Para casi todos los problemas de valor inicial bien condicionados, por lo común, un método firmemente inestable (en aritmética de punto flotante) produce soluciones que se vuelven inútiles rápidamente. Analice la razón por la que esto pasa.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.11 1.

Resuelva los siguientes problemas de valor inicial rígido con el método de Euler y compare los resultados con la solución real. a. b. c. d.

2.

y = −9y, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = e, con h = 0.1; solución real y(t) = e1−9t . y = −20(y − t 2 ) + 2t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 13 , con h = 0.1; solución real y(t) = t 2 + 31 e−20t . y = −20y + 20 sen t + cos t, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 1, con h = 0.25; solución real y(t) = sen t + e−20t . √ y = 50/y − 50y, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 2, con h = 0.1; solución real y(t) = (1 + e−100t )1/2 .

Resuelva los siguientes problemas de valor inicial rígido con el método de Euler y compare los resultados con la solución real. a. b. c. d.

y = −5y + 6et , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 2, con h = 0.1; solución real y(t) = e−5t + et . y = −10y+10t +1, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = e, con h = 0.1; solución real y(t) = e−10t+1 +t. y = −15(y − t −3 ) − 3/t 4 , 1 ≤ t ≤ 3, y(1) = 0, con h = 0.25; solución real y(t) = −e−15t + t −3 . y = −20y + 20 cos t − sen t, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0, con h = 0.25; solución real y(t) = −e−20t + cos t.

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Conjunto de ejercicios 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Repita el ejercicio 1 con el método Runge-Kutta de cuarto orden. Repita el ejercicio 2 con el método Runge-Kutta de cuarto orden. Repita el ejercicio 1 con el método Adams indicador-corrector de cuarto orden. Repita el ejercicio 2 con el método Adams indicador-corrector de cuarto orden. Repita el ejercicio 1 con el algoritmo trapezoidal con TOL 5 1025. Repita el ejercicio 2 con el algoritmo trapezoidal con TOL 5 1025. Resuelva el siguiente problema de valor inicial rígido con el método Runge-Kutta de cuarto orden con a) h 5 0.1 y b) h 5 0.025. 2 2 1 u 1 = 32u 1 + 66u 2 + t + , 0 ≤ t ≤ 0.5, u 1 (0) = ; 3 3 3 1 1 1 u 2 = −66u 1 − 133u 2 − t − , 0 ≤ t ≤ 0.5, u 2 (0) = . 3 3 3

Compare los resultados con la solución real, u 1 (t) =

2 2 1 t + e−t − e−100t 3 3 3

y

1 1 2 u 2 (t) = − t − e−t + e−100t . 3 3 3

EJERCICIOS TEÓRICOS 10. Muestre que el método Runge-Kutta de cuarto orden k1 = h f (ti , w i ), k2 = h f (ti + h/2, w i + k1 /2), k3 = h f (ti + h/2, w i + k2 /2), k4 = h f (ti + h, w i + k3 ), 1 w i+1 = w i + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ), 6

al aplicarlo a la ecuación diferencial y = λy, se puede reescribir de la forma w i+1 =

1 1 1 1 + hλ + (hλ)2 + (hλ)3 + (hλ)4 w i . 2 6 24

11. El método regresivo de Euler de un paso está definido por w i+1 = w i + h f (ti+1 , w i+1 ),

para i = 0, . . . , N − 1.

Muestre que Q(hλ) = 1/(1 − hλ) para el método regresivo de Euler. 12. Aplique el método regresivo de Euler a las ecuaciones diferenciales dadas en el ejercicio 1. Use el método de Newton para resolver para w i+1 . 13. Aplique el método regresivo de Euler a las ecuaciones diferenciales dadas en el ejercicio 2. Use el método de Newton para resolver para w i+1 . 14. a. Muestre que el método trapezoidal implícito es A-estable. b. Muestre que el método regresivo de Euler descrito en el ejercicio 12 es A-estable.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

Analice la consistencia, estabilidad y convergencia del método trapezoidal implícito w i+1 = w i +

h ( f (ti+1 , w i+1 ) + f (ti , w i )) , 2

con w 0 = α aplicado a la ecuación diferencial y = f (t, y), a ≤ t ≤ b,

para i = 0, 1, . . . , N − 1,

y(a) = α.

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Capítulo 5 2.

El siguiente sistema describe la reacción química de Robertson. Ésta se considera un sistema “rígido” de EDO. ¿El algoritmo 5.8 puede aplicarse a este sistema en 0 ≤ x ≤ 40? ¿Por qué sí o por qué no? y1 = −0.04y1 + 104 y2 y3 y2 = −0.04y1 − 104 y2 y3 − 3 × 107 y22 y3 = 3 × 107 y22

PREGUNTAS DE ANÁLISIS (FINAL DEL CAPÍTULO) 1. 2. 3. 4. 5.

Seleccione dos de los métodos analizados en este capítulo y compare y contraste su utilidad y estabilidad. Seleccione uno de los algoritmos presentados en el capítulo y analice cómo se podría usar una hoja de cálculo de Excel para implementarlo. Seleccione uno de los algoritmos presentados en el capítulo y analice cómo se podría utilizar MAPLE para implementarlo. Seleccione uno de los algoritmos presentados en el capítulo y analice cómo se podría utilizar MATLAB para implementarlo. Seleccione uno de los algoritmos presentados en el capítulo y analice cómo se podría utilizar Mathematica para implementarlo.

CONCEPTOS CLAVE A-estable Adams-Bashforth Adams-Moulton Condición de Lipschitz Control de error en método RKF Cotas de error para el método de Euler Ecuación diferencial rígida Ecuaciones de orden superior

Error de truncamiento local Estabilidad Método de Euler Método de Euler de orden superior Método indicador-corrector Método RK para sistemas Método Runge-KuttaFehlberg (RKF) Métodos de extrapolación Métodos de Runge-Kutta

Métodos multipasos Métodos multipasos de tamaño de paso variable Polinomio característico Problema bien planteado Problema de valor inicial Problema perturbado Región de estabilidad Sistemas de ecuaciones diferenciales

REVISIÓN DEL CAPÍTULO En este capítulo hemos considerado métodos para aproximar las soluciones de los problemas de valor inicial para las ecuaciones diferenciales ordinarias. Comenzamos con un análisis sobre la técnica numérica fundamental, el método de Euler. Este procedimiento no es suficientemente preciso para utilizarse en aplicaciones, pero ilustra la conducta general de las técnicas más poderosas sin las dificultades algebraicas que las acompañan. A continuación, consideramos los métodos de Taylor como generalizaciones del método de Euler. Encontramos que éstos son precisos, pero engorrosos debido a la necesidad de determinar derivadas parciales extensas de la función de definición de la ecuación diferencial. Las fórmulas Runge-Kutta simplificaban los métodos de Taylor sin aumentar el orden del error. Hasta este punto sólo consideramos métodos de un paso, técnicas que solamente utilizan datos en el punto calculado más reciente. Los métodos multipasos se analizaron en la sección 5.6, donde consideramos los métodos explícitos de tipo Adams-Bashforth y los métodos implícitos tipo Adams-Moulton. Esto culminó en los métodos indicador-corrector, que usan un método explícito, como Adams-Bashforth, para predecir la solución y, después, aplicar uno implícito correspondiente, como Adams-Moulton, para corregir la aproximación. La sección 5.9 ilustraba cómo se pueden usar estas técnicas para resolver los problemas de valor inicial de orden superior y los sistemas de problemas de valor inicial.

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Conjunto de ejercicios

Los métodos adaptables más precisos están basados en las técnicas, relativamente poco complicadas, multipasos y de un paso. En particular, en la sección 5.5 observamos que el método Runge-Kutta-Fehlberg es un procedimiento de un paso que busca seleccionar espaciado de malla para mantener bajo control el error local de la aproximación. El método indicador-corrector de tamaño de paso variable en la sección 5.7 está basado en el método Adams-Bashforth de cuatro pasos y en el método Adams-Moulton de tres pasos. También cambia el tamaño de paso para mantener el error local dentro de una tolerancia determinada. El método de extrapolación, analizado en la sección 5.8, se basa en una modificación del método de punto medio e incluye la extrapolación para mantener la precisión deseada de la aproximación. El tema final en el capítulo abordaba la dificultad inherente en la aproximación de la solución de una ecuación rígida, una ecuación diferencial cuya solución exacta contiene una parte de la forma e2lt, donde l es una constante positiva. Se debe tener extrema precaución con este tipo de problemas o los resultados pueden ser abrumadores debido al error de redondeo. En general, los métodos tipo Runge-Kutta-Fehlberg son suficientes para los problemas no rígidos cuando se requiere precisión moderada. Los procedimientos de extrapolación se recomiendan para los problemas no rígidos cuando se requiere alta precisión. Las extensiones del método trapezoidal implícito para los métodos tipo Adams implícito de orden y tamaño de orden variable se usan en los problemas de valor inicial rígido. Muchos libros se especializan en la solución numérica de los problemas de valor inicial. Dos clásicos son Henrici [He1] y Gear [Ge1]. Otros libros que estudian el campo son Botha y Pinder [BP], Ortega y Poole [OP], Golub y Ortega [GO], Shampine [Sh] y Dormand [Do]. Dos libros de Hairer, Nörsett y Warner proveen análisis amplios sobre problemas no rígidos [HNW1] y rígidos [HNW2]. El libro de Burrage [Bur] describe métodos paralelos y secuenciales.

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Capítulo 6 CONJUNTO DE EJERCICIOS 6.1 1.

Para cada uno de los siguientes sistemas lineales obtenga, de ser posible, una solución con métodos gráficos. Explique los resultados desde un punto de vista geométrico. a.

x1 + 2x2 = 3,

b.

x1 − x2 = 0.

2.

c.

2x1 + 4x2 = 6.

x1 + 2x2 = 0,

b.

x1 − x2 = 0.

x1 + 2x2 = 3, c.

−2x1 − 4x2 = 6.

x1 − 3x2 = 5.

2x1 + x2 = −1, d.

2x1 + x2 + x3 = 1,

x1 + x2 = 2,

2x1 + 4x2 − x3 = −1.

x1 − 3x2 = 5.

4x1 − x2 + x3 = 8,

b.

4x1 + x2 + 2x3 = 9,

2x1 + 4x2 − x3 = −5,

x1 + 2x2 + 4x3 = 11.

x1 + x2 − 3x3 = −9.

Utilice la eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás y aritmética de redondeo de dos dígitos para resolver los siguientes sistemas lineales. No reordene las ecuaciones. (La solución exacta para cada sistema es x1 = −1, x2 = 1, x3 = 3.) a.

−x1 + 4x2 + x3 = 8, 5 x 3 1

b.

4x1 + 2x2 − x3 = −5, 1 x 9 1

+ 23 x2 + 23 x3 = 1,

2x1 + x2 + 4x3 = 11.

+ 91 x2 − 13 x3 = −1,

x1 + 4x2 + 2x3 = 9.

Utilice el algoritmo de eliminación gaussiana para resolver, de ser posible, los siguientes sistemas lineales, y determine si se necesitan intercambios de fila: a.

x1 − x2 + 3x3 = 2,

b.

3x1 − 3x2 + x3 = −1, x1 + x2

c.

2x1

+ 2x3 = 3,

4x1 − 4.5x2 + 5x3 = 1.

= 3,

− 3x2 + 0.5x3

2x1 − 2x2 +

2x1 − 1.5x2 + 3x3 = 1,

−x1

= 3.

x1 + 1.5x2

6.

4x1 + 2x2 = −2,

2x1 + 4x2 = 0.

2x1 + 5x2 + 2x3 = 3,

5.

2x1 + x2 = −1,

d.

Utilice la eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás y aritmética de redondeo de dos dígitos para resolver los siguientes sistemas lineales. No reordene las ecuaciones. (La solución exacta para cada sistema es x1 = 1, x2 = −1, x3 = 3.). a.

4.

x1 + 2x2 = 0,

Para cada uno de los siguientes sistemas lineales, obtenga, de ser posible, una solución con métodos gráficos. Explique los resultados desde un punto de vista geométrico. a.

3.

x1 + 2x2 = 3,

d.

+ x4 = 2,

x1 + x2

2x1 + x2 − x3 + x4 = 1,

= 4.5,

4x1 − x2 − 2x3 + 2x4 = 0,

= −6.6,

3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −3.

x3 + x4 = 0.8.

Utilice el algoritmo de eliminación gaussiana para resolver, de ser posible, los siguientes sistemas lineales, y determine si se necesitan intercambios de fila: x2 − 2x3 = 4,

a.

x1 −x2 + x3 = 6, x1

− x3 = 2.

b.

x1 − 12 x2 + x3

= 4,

x1 + x2 + 12 x3

= 2,

2x1 − x2 − x3 + x4 = 5, x1 −

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1 x 2 2

+ x3 + x4 = 5.

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Conjunto de ejercicios c.

2x1 −x2 +x3 −x4 = 6,

d.

x2 −x3 +x4 = 5,

−x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4,

3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −3.

x3 −x4 = 3.

Use el algoritmo 6.1 y la aritmética computacional de precisión única para resolver los siguientes sistemas lineales. a.

c.

8.

1 x 4 1 1 x 3 1 1 x 2 1

+ 15 x2 + 16 x3 = 9, 1 x 4 2

+

+

1 x 5 3

b.

2.222x1 + 16.71x2 + 9.612x3 = 28.544,

= 8,

+ x2 + 2x3 = 8.

1.5611x1 + 5.1791x2 + 1.6852x3 = 8.4254.

x1 + 12 x2 + 31 x3 + 14 x4 = 61 , 1 x 3 2 1 x 4 2

1 x 4 3 1 x 5 3

1 x = 5 4 1 x = 6 4

1 x 2 1 1 x 3 1

+

1 x 4 1

+ 15 x2 + 61 x3 + 17 x4 =

+

+ +

+ +

3.333x1 + 15920x2 − 10.333x3 = 15913,

d.

1 , 7 1 , 8 1 . 9

2x1 + x2 − x3 + x4 − 3x5 = 7, x1

+ 2x3 − x4 + x5 = 2,

− 2x2 − x3 + x4 − x5 = −5,

3x1 + x2 − 4x3

+ 5x5 = 6,

x1 − x2 − x3 − x4 + x5 = 3.

Use el algoritmo 6.1 y aritmética computacional de precisión única para resolver los siguientes sistemas lineales. a.

c.

1 x 2 1 1 x 3 1 1 x 7 1

+ 14 x2 − 1 x 6 2 1 x 7 2

− +

π x1 +

ex1 − x1 +

−x1 −

9.

+ x4 = 2,

2x1 + x2 − x3 + x4 = 1,

x4 = 5,

7.

x1 + x2

√

+ +

1 x 8 3 1 x 9 3 1 x 10 3

2x2 −

x2 +

x2 −

= 0,

b.

3.33x1 + 2x2 − 200x3 = 41.

= 2.

x4 = 0,

x3 + √

x2 +

x3 −

d.

2x4 = 1,

x3 +

3x3 +

2.71x1 + x2 + 1032x3 = 12,

4.12x1 − x2 + 500x3 = 11.49,

= 1,

√

x1 + x2 − x3 + x4 − x5 = 2,

2x1 + 2x2 + x3 − x4 + x5 = 4,

3x1 + x2 − 3x3 − 2x4 + 3x5 = 8,

x4 = 2,

4x1 + x2 − x3 + 4x4 − 5x5 = 16,

5x4 = 3.

16x1 − x2 + x3 − x4 − x5 = 32.

Dado el sistema lineal 2x1 − 6αx2 = 3,

3αx1 −

x2 = 32 .

a. Encuentre el valor(es) de a para los que el sistema no tiene soluciones. b. Encuentre el valor(es) de a para los que el sistema tiene un número infinito de soluciones. c. Suponga que existe una única solución para una a determinada, encuentre la solución. 10. Dado el sistema lineal x1 − x2 + αx3 = −2,

−x1 + 2x2 − αx3 = 3, αx1 + x2 + x3 = 2.

a. b. c.

Encuentre el valor(es) de a para los que el sistema no tiene soluciones. Encuentre el valor(es) de a para los que el sistema tiene un número infinito de soluciones. Suponga que existe una única solución para una a determinada, encuentre la solución.

EJERCICIOS APLICADOS 11. Suponga que en un sistema biológico existen n especies de animales y m fuentes de alimento. Si xj representa la población de las j-ésimas especies, para cada j = 1, . . . , n; bi representa el suministro

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Capítulo 6 diario disponible del i-ésimo alimento y aij representa la cantidad del i-ésimo alimento consumido en promedio por un miembro de las j-ésima especie. El sistema lineal a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ,

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 , .. .. .. .. . . . . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm

representa un equilibrio donde existe un suministro diario de alimento para cumplir con precisión con el promedio diario de consumo de cada especie. a. Si 

1 A = [ai j ] =  1 0

2 0 0

0 2 1

 3 2 , 1

x = (x j ) = [1000, 500, 350, 400], y b = (bi ) = [3500, 2700, 900]. ¿Existe suficiente alimento para satisfacer el consumo promedio diario?

¿Cuál es el número máximo de animales de cada especie que se podría agregar de forma individual al sistema con el suministro de alimento que cumpla con el consumo? c. Si la especie 1 se extingue, ¿qué cantidad de incremento individual de las especies restantes se podría soportar? d. Si la especie 2 se extingue, ¿qué cantidad de incremento individual de las especies restantes se podría soportar? 12. La ecuación integral de Fredholm de segunda clase es una ecuación de la forma b.

b

u(x) = f (x) +

K (x, t)u(t) dt, a

donde a y b y las funciones f y K están dadas. Para aproximar la función u en el intervalo [a, b], se · ·< xm−1 < xm = b y las ecuaciones selecciona una partición x0 = a < x1 < · b

u(xi ) = f (xi ) +

K (xi , t)u(t) dt, a

para cada i = 0, . . . , m,

se resuelven para u(x0 ), u(x1 ), . . . , u(xm ). Las integrales se aproximan mediante fórmulas de cuadratura con base en los nodos x0 , . . . , xm. En nuestro problema, a = 0, b = 1, f (x) = x 2 , y K (x, t) = e|x−t| . a. Muestre que el sistema lineal 1 u(0) = f (0) + [K (0, 0)u(0) + K (0, 1)u(1)], 2 1 u(1) = f (1) + [K (1, 0)u(0) + K (1, 1)u(1)] 2

b. c.

se resuelve cuando se utiliza la regla de trapecio. Formule y resuelva el sistema lineal que resulta cuando se utiliza la regla de trapecio con n 5 4. Repita la parte (b) mediante la regla compuesta Simpson.

EJERCICIOS TEÓRICOS 13. Muestre que las operaciones a.

(λE i ) → (E i )

b.

(E i + λE j ) → (E i )

no cambian la solución establecida de un sistema lineal.

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c.

(E i ) ↔ (E j )

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Conjunto de ejercicios 14. Método Gauss-Jordan: Este método se describe de acuerdo con lo siguiente. Utilice la i-ésima ecuación para eliminar xi no sólo a partir de las ecuaciones E i+1 , E i+2 , . . . , E n, como con el método de eliminación gaussiana, sino también a partir de E 1 , E 2 , . . . , E i−1. Al reducir [A, b] a       

(1) a11

0 .. . 0

.. (1) .. a1,n+1 .. (2) .. a2,n+1 .. .. .. . .. (n) .. an,n+1

0

· · · 0 .. .. (2) . . a22 .. .. . . 0 (n) · · · 0 ann )



   ,  

la solución se obtiene al establecer xi =

(i) ai,n+1

aii(i)

,

para cada i = 1, 2, . . . , n. Este procedimiento elude la sustitución hacia atrás en la eliminación gaussiana. Construya un algoritmo para el procedimiento Gauss-Jordan a partir del algoritmo 6.1. 15. Use el método Gauss-Jordan y aritmética de redondeo de dos dígitos para resolver los sistemas en el ejercicio 3. 16. Repita el ejercicio 7 con el método Gauss-Jordan. 17. a. Muestre que el método Gauss-Jordan requiere n3 n + n2 − 2 2

multiplicaciones/divisiones

y n3 n − 2 2

sumas/restas.

Haga una tabla en la que compare las operaciones requeridas para los métodos Gauss-Jordan y de eliminación gaussiana para n = 3, 10, 50, 100. ¿Qué método requiere menos cálculos? 18. Considere el siguiente método híbrido Gauss-Jordan-eliminación-gaussiana para resolver el sistema (6.4). Primero, aplique la técnica de eliminación gaussiana para reducir el sistema a una forma triangular. A continuación, utilice la enésima ecuación para eliminar los coeficientes de xn en cada una de las primeras n 2 1 filas. Después de completar esto utilice la (n 2 1)-ésima ecuación para eliminar los coeficientes xn−1 en las primeras n 2 2 columnas y así sucesivamente. Al final, el sistema aparecerá como el sistema reducido en el ejercicio 12. a. Muestre que este método requiere b.

n3 3 5 + n2 − n 3 2 6

multiplicaciones/divisiones

y n3 n2 5 + − n 3 2 6

sumas/restas.

Haga una tabla en la que compare las operaciones requeridas para los métodos Gauss-Jordan, de eliminación gaussiana e híbrido para n = 3, 10, 50, 100. 19. Use el método híbrido descrito en el ejercicio 16 y aritmética de redondeo de dos dígitos para resolver los sistemas en el ejercicio 3. 20. Repita el ejercicio 7 con el método descrito en el ejercicio 16. b.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

Una técnica similar a la eliminación gaussiana apareció por primera vez en “Nine Chapters on the Mathematical Art” (“Nueve capítulos sobre el arte matemático”). Lea el artículo corto “Jiu Zhang Suan Shu and the Gauss Algorithm for Linear Equations” (Jiu Zhang Suan Shu y el algoritmo Gauss para ecuaciones lineales) de Ya-xiang Yuan que puede encontrar en http://www.math.uiuc.edu/documenta/ vol-ismp/10 yuan-yaxiang.pdf. Compare la técnica con la que se presenta en este capítulo.

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Capítulo 6 2. 3.

A principios de 1700, Newton desarrolló un método similar a la eliminación gaussiana. Compare ese método con el que se presenta en este capítulo. 3 Los pasos 5 y 6 del algoritmo de eliminación gaussiana requiere n3 + n 2 − n3 multiplicaciones y divi3 2 siones y n3 + n2 − 5n6 sumas y restas para reducir un sistema completo en el punto en el que se puede utilizar sustitución hacia atrás. Considere el siguiente sistema. x1 +2x2

2x1 + x2 +3x3

= 4, = 5,

3x3 +x4 = − 1.

4.

¿Cuántas operaciones se requieren para reducir el sistema unido por debajo de ese mismo punto? El texto describe las tres operaciones utilizadas para crear una secuencia de sistemas lineales equivalentes con la misma solución que el sistema original y cada uno resuelto con mayor facilidad que el último. ¿Cómo afecta esta sucesión de sistemas el costo de encontrar la solución? ¿Se forma error generado con cada sucesión?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 6.2 1.

Encuentre intercambios de fila requeridos para resolver los siguientes sistemas lineales mediante el algoritmo 6.1. a.

x1 − 5x2 +

10x1 5x1 c.

x3 = 7,

b.

+ 20x3 = 6,

−

x1 + x2 + 4x3 = 2,

2x1 − x2 + 2x3 = 3.

x3 = 4.

2x1 − 3x2 + 2x3 = 5,

x1 − 2x2 − x3 = 4,

2x1 + 2x2 + 4x3 = 8.

x1 − x2 + x3 = 5.

Encuentre intercambios de fila requeridos para resolver los siguientes sistemas lineales mediante el algoritmo 6.1. a.

13x1 + 17x2 +

x3 = 5,

12x2 −

x3 = 0.

b.

x2 + 19x3 = 1,

c.

5x1 +

2x1 +

x2 − 6x3 = 7,

x1 + 2x1 +

d.

x2 − x3 = 0,

12x2 − x3 = 4, x2 + x3 = 5.

x1 − x2 + x3 = 5,

7x1 + 5x2 − x3 = 8,

x2 − x3 = 8,

6x1 + 12x2 + x3 = 9.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

x2 + x3 = 6,

d.

−4x1 + 2x2 − 6x3 = 14,

2.

x1 + x2 − x3 = 1,

2x1 + x2 + x3 = 7.

Repita el ejercicio 1 usando el algoritmo 6.2. Repita el ejercicio 2 usando el algoritmo 6.2. Repita el ejercicio 1 usando el algoritmo 6.3. Repita el ejercicio 2 usando el algoritmo 6.3. Repita el ejercicio 1 usando pivoteo completo. Repita el ejercicio 2 usando pivoteo completo. Utilice eliminación gaussiana y aritmética de corte de tres dígitos para resolver los siguientes sistemas lineales y compare las aproximaciones con la solución real. a.

0.03x1 + 58.9x2 = 59.2,

5.31x1 − 6.10x2 = 47.0. Solición real [10, 1].

b.

3.03x1 − 12.1x2 + 14x3 = −119,

−3.03x1 + 12.1x2 − 7x3 = 120,

6.11x1 − 14.2x2 + 21x3 = −139.

Solución real [0, 10, 17 ].

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Conjunto de ejercicios c.

1.19x1 + 2.11x2 − 100x3 + x4 = 1.12, 14.2x1 − 0.122x2 + 12.2x3 − x4 = 3.44, 100x2 − 99.9x3 + x4 = 2.15,

15.3x1 + 0.110x2 − 13.1x3 − x4 = 4.16.

d.

Solución real [0.176, 0.0126, −0.0206, −1.18]. √ √ √ π x1 − ex2 + 2x3 − 3x4 = 11, π 2 x1 + ex2 − e2 x3 + 73 x4 = 0, √ √ √ 5x1 − 6x2 + x3 − 2x4 = π, √ √ π 3 x1 + e2 x2 − 7x3 + 19 x4 = 2.

Solución real [0.788, −3.12, 0.167, 4.55].

10. Utilice eliminación gaussiana y aritmética de corte de tres dígitos para resolver los siguientes sistemas lineales y compare las aproximaciones con la solución real. a.

58.9x1 + 0.03x2 = 59.2,

b.

−6.10x1 + 5.31x2 = 47.0.

3.3330x1 + 15920x2 + 10.333x3 = 7953,

2.2220x1 + 16.710x2 + 9.6120x3 = 0.965,

−1.5611x1 + 5.1792x2 − 1.6855x3 = 2.714.

Solución real [1, 10].

Solución real [1, 0.5, −1]. c.

2.12x1 − 2.12x2 + 51.3x3 + 100x4 = π, √ 2,

0.333x1 − 0.333x2 − 12.2x3 + 19.7x4 =

6.19x1 + 8.20x2 − 1.00x3 − 2.01x4 = 0,

−5.73x1 + 6.12x2 +

d.

x3 −

x4 = −1.

Solución real [0.0998, −0.0683, −0.0363, 0.0465]. √ π x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0, ex1 − x1 +

−x1 −

x2 +

x2 −

x2 +

√

2x4 = 1,

x3 +

3x3 +

x3 −

√

x4 = 2,

5x4 = 3.

Solución real [1.35, −4.68, −4.03, −1.66].

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

Repita el ejercicio 9 usando aritmética de redondeo de tres dígitos. Repita el ejercicio 10 usando aritmética de redondeo de tres dígitos. Repita el ejercicio 9 usando eliminación gaussiana con pivoteo parcial. Repita el ejercicio 10 usando eliminación gaussiana con pivoteo parcial. Repita el ejercicio 9 usando eliminación gaussiana con pivoteo parcial y aritmética de redondeo de tres dígitos. Repita el ejercicio 10 usando eliminación gaussiana con pivoteo parcial y aritmética de redondeo de tres dígitos. Repita el ejercicio 9 usando eliminación gaussiana con pivoteo parcial escalado. Repita el ejercicio 10 usando eliminación gaussiana con pivoteo parcial escalado. Repita el ejercicio 9 usando eliminación gaussiana con pivoteo parcial escalado y aritmética de redondeo de tres dígitos. Repita el ejercicio 10 usando eliminación gaussiana con pivoteo parcial escalado y aritmética de redondeo de tres dígitos. Repita el ejercicio 9 usando eliminación con pivoteo completo. Repita el ejercicio 10 usando eliminación con pivoteo completo. Repita el ejercicio 9 usando eliminación gaussiana con pivoteo completo y aritmética de redondeo de tres dígitos. Repita el ejercicio 10 usando eliminación gaussiana con pivoteo completo y aritmética de redondeo de tres dígitos.

EJERCICIOS APLICADOS 25. El siguiente circuito tiene cuatro resistores y dos fuentes de voltaje. Los resistores son R1, R2, R3 y R4 ohms; las fuentes de voltaje son E1 y E2 volts; y las corrientes son i1, i2 y i3 amperes.

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Capítulo 6

i1

i3 i2

R1

R2 E1

R3 E2 R4

a.

Mediante las leyes de Kirchohoff, derive el sistema lineal (R1 + R4 )i 1 + R2 i 2 (R1 + R4 )i 1

= E1 + E2

+ R3 i 3 = E 1 i 1 − i 2 − i 3 = 0.

when E 1 = 12 volts, E b. Por medio de eliminación gaussiana sin pivoteo, encuentre i1, i2 e i3 cuando olts, E 2 = 10 volts, olts, R1 = 2 ohms, R2 = 2 ohms, R3 = 4 ohms, y R4 = 1 ohm. c. Si las resistencias se cambian por R1 = 0.001 ohms, R2 = 3.333 ohms, R3 = 4.002 ohms, y R4 = 0.012 ohms, encuentre las corrientes i1, i2 e i3, mediante eliminación gaussiana y aritmética de corte de 3 dígitos. d. ¿El pivoteo parcial mejora la respuesta de la parte c)?

EJERCICIOS TEÓRICOS 26. Suponga que 2x1 + x2 + 3x3 = 1, 4x1 + 6x2 + 8x3 = 5, 6x1 + αx2 + 10x3 = 5, α|< 10. ¿Para cuáles de los siguientes valores de a no habrá intercambio requerido al resolver con | este sistema mediante pivoteo parcial escalado? a.

α=6

b.

α=9

c.

α = −3

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2.

3.

4. 5.

Construya un algoritmo para el procedimiento de pivoteo completo analizado en el texto. Una estrategia nueva de pivoteo para eliminación gaussiana se presentó en el artículo “A New Pivoting Strategy for Gaussian Elimination” (“Una nueva estrategia de pivoteo para eliminación gaussiana”) de Markus Olschowka. Analice la forma en la que esta estrategia se compara con las estrategias analizadas en este capítulo. La estrategia de pivoteo de Rook fue introducida por Neal y Poole en “A Geometric Analysis of Gaussian Elimination” (“Un análisis geométrico de la eliminación gaussiana”). Analice la forma en la que esta estrategia se compara con las estrategias analizadas en este capítulo. Compare y contraste las diferentes estrategias de pivoteo analizadas en la sección 6.2 de su texto. Puesto que la computadora utiliza aritmética de precisión fija, es posible que este pequeño error se introduzca cada vez que se realiza una operación aritmética. Por lo tanto, el uso de una estrategia de pivoteo trivial en eliminación gaussiana puede llevar a un error significativo en la solución de un sistema de ecuaciones lineales. ¿Este error se puede controlar?

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Conjunto de ejercicios

CONJUNTO DE EJERCICIOS 6.3 1.

Realice las siguientes multiplicaciones de matriz-vector: 2

1

3

a. 3

−4  c.

2.

2

  3  0

0

−2 

0

−1 2

2

2

c.

2

  1  0

4

1 

    2   5  −3 1

d.

0

−4

1

  −2  4

1



4

−2

 1   0

3 1

0

1

3

2

1

1 1

0

−1 2

−2 

6

4

−1 

2



    2   5  4 −1

2

d.

1

−2

3

0

−2

  −2  0

3

1

−4



 1   −2

1

Realice las siguientes multiplicaciones matriz-matriz: 2 a. 3  c.

2

  4  5

−3

1

−1

2

−3 3 2

5

2

−3

3

−1

b. 1

0 



0

1

−2

  0   1 −4 2

0

 −1   −2

3

 d.

2

  −2  2

Realice las siguientes multiplicaciones matriz-matriz: a.  c.

6.

−4

b. 

5.

1

Realice las siguientes multiplicaciones matriz-vector: 3

4.

−2



a.

3.

2 b.

−2

3

0

3

2   −3  −2

−3 4 1

2 −5

−5 2 

2   1    −3 −4 4

−2

b. −3 4 −1

4



 −1   d. −2



−3 2 

0

1

2

3

  0    −4 0 3

−1

−1

3

−2

4

3   2  −2

5

−1 −2 1

2

1

−2

−2



 1   2

3

−3 2 2   0 −1 2    3  −1   4  4 3 −5

Determine cuáles de las siguientes matrices son no singulares y calcule la inversa de esas matrices:     4 2 6 1 2 0 0 7  a.  3 b.  2 1 −1  −2 −1 −3 3 1 1     1 1 −1 1 4 0 0 0  1 2 −4 −2   6 7 0 0    c.  d.   2 1  9 11 1 0  1 5  −1 0 −2 −4 5 4 1 1 Determine cuáles de las siguientes matrices son no singulares y calcule la inversa de esas matrices:     1 2 −1 4 0 0 2  b.  0 0 0  a.  0 1 −1 4 3 0 0 3     1 2 3 4 2 0 1 2  2 1 −1 1   1 1 0 2    c.  d.   −3 2  2 −1 3 1  0 1  0 5 2 6 3 −1 4 3

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Capítulo 6 7.

Dados los sistemas lineales 4 3 4 que tienen la misma matriz de coeficientes: x1 − x2 + 2x3 − x4 = 6,

x1 − x2 + 2x3 − x4 = 1,

2x1 + x2 + 3x3 −4x4 = −2, − x2 + x3 − x4 = 5;

2x1 + x2 + 3x3 −4x4 = 2, − x2 + x3 − x4 = −1.

x1

a.

b.

8.

− x3 + x4 = 4,

− x3 + x4 = 1,

x1

Resuelva los sistemas lineales al aplicar la eliminación gaussiana a la matriz aumentada   6 1 1 −1 2 −1 ...  1 0 −1 1 .. 4 1   . .  2 1 3 −4 .. −2 2  . 0 −1 1 −1 . 5 −1 Resuelva los sistemas lineales al encontrar y multiplicar por la inversa de   1 −1 2 −1  1 0 −1 1  . A=  2 1 3 −4  0 −1 1 −1

c. ¿Qué método requiere más operaciones? Considere los cuatro sistemas lineales 3 3 3 que tienen la misma matriz de coeficientes: 2x1 − 3x2 + x3 = 2,

2x1 − 3x2 + x3 = 6,

−x1 + x2 − 3x3 = 0;

−x1 + x2 − 3x3 = 5;

2x1 − 3x2 + x3 = 0,

2x1 − 3x2 + x3 = −1,

−x1 + x2 − 3x3 = −3;

−x1 + x2 − 3x3 = 0.

x1 + x2 − x3 = 4,

x1 + x2 − x3 = −1,

x1 + x2 − x3 = 1,

a.

Resuelva los sistemas lineales al aplicar la eliminación gaussiana a la matriz aumentada. 

2  1 −1

b.

9.

x1 + x2 − x3 = 0,

−3 1 1

1 −1 −3

.. 2 .. .. −1 .. 0

6 4 5

0 1 −3

 −1 0 . 0

Resuelva los sistemas lineales al encontrar y multiplicar por la inversa de   2 −3 1 1 −1  . A= 1 −1 1 −3

c. ¿Qué método requiere más operaciones? A menudo es útil dividir las matrices en una colección de submatrices. Por ejemplo, las matrices     1 2 −1 2 −1 7 0 0 4 5  A =  3 −4 −3  y B =  3 6 5 0 −2 1 −3 1 se pueden dividir en  . 1 2 .. −1  3 −4 .. −3   . . . . . . . . .. . . . .  = . 6 5 .. 0 

a.

.. A A . . 11 . . . . .. . . . .12. A21 ... A22

 . 2 −1 7 .. 0 .   y  . . .3. . . . .0. . . . . 4. . . .... . 5. .  = .. −2 1 −3 . 1 

Muestre que el producto de A y B en este caso es AB =

. A11 B11 + A12 B21 .. A11 B12 + A12 B22 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . A21 B11 + A22 B21 ... A21 B12 + A22 B22

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.. B B . .11. . . .... . . .12. . B21 ... B22

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Conjunto de ejercicios b.

Si B se dividiera en  . 2 −1 7 .. 0  . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . .  B= 3 0 4 .. 5  = −2 1 −3 .. 1 

c.

.. B B . . 11 . . . . .. . . . 12 .. B21 ... B22

,

¿el resultado en la parte a) se mantendría? Realice una conjetura respecto a las condiciones necesarias para el resultado en la parte a) para mantener el caso general.

EJERCICIOS APLICADOS 10. El estudio de cadenas alimenticias es un tema importante para determinar la distribución y acumulación de contaminantes ambientales en la materia viva. Suponga que una cadena de alimentos tiene tres vínculos. El primero consiste en vegetación de tipo v1 , v2 , . . . , vn , que provee requisitos alimenticios para los herbívoros de las especies h 1 , h 2 , . . . , h m en el segundo vínculo. El tercer vínculo consiste en los animales carnívoros c1 , c2 , . . . , ck , que dependen enteramente de los herbívoros en el segundo vínculo para su suministro de comida. La entrada aij de la matriz 

  A= 

a11 a21 .. . an1

a12 a22 .. . an2

· · · a1m · · · a2m .. . · · · anm

    

representa el número total de plantas tipo vi consumidas por los herbívoros en las especies hj, mientras bij en 

  B= 

b11 b21 .. . bm1

b12 b22 .. . bm2

··· ··· ···

b1k b2k .. . bmk

    

describe el número de herbívoros en las especies hi que son devorados por los animales de tipo cj. a. Muestre que el número de plantas tipo vi que al final terminaron en los animales de especies cj está determinado por la entrada en la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz AB. b. ¿Qué importancia física está relacionada con las matrices A−1 , B −1 , y (AB)−1 = B −1 A−1 ? 11. En un artículo titulado “Population Waves” (“Ondas de población”) Bernadelli [Ber] (también consulte [Se]) realiza la hipótesis de que un tipo de escarabajo simplificado tiene un periodo de vida natural de tres años. Las hembras de esta especie tienen una tasa de supervivencia de 12 en el primer año de vida, 1 una de 3 del segundo al tercer año y procrea un promedio de seis hembras nuevas antes de expirar al final del tercer año. Se puede utilizar una matriz para mostrar la contribución de una sola hembra, en un sentido probabilístico, a la población de hembras de la especie al permitir que aij en la matriz A = [ai j ] denote la contribución que un solo escarabajo de edad j realizaría a la población de hembras de edad i el año siguiente; es decir,   0 0 6 1 A =  2 0 0 . 0 13 0 a.

b.

c.

Por lo tanto, la contribución de un escarabajo femenino para la población de dos años se determina a partir de las entradas de A2, de tres años a partir de A3, y así sucesivamente. Construya A2 y A3, e intente realizar una declaración general sobre la contribución de un escarabajo hembra para la población en n años tiempo para cualquier valor entero positivo de n. Utilice sus conclusiones a partir de a) para describir lo que pasará en los años futuros a una población de estos escarabajos que consiste inicialmente en 6 000 escarabajos hembra en cada uno de los tres grupos de edad. Construya A21 y describa su importancia respecto a la población de estas especies.

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Capítulo 6

EJERCICIOS TEÓRICOS 12. Pruebe las siguientes declaraciones o proporcione contraejemplos para mostrar que no son verdaderas. a. El producto de dos matrices simétricas es simétrico. b. La inversa de una matriz simétrica no singular es una matriz simétrica no singular. c. Si A y B son matrices n 3 n, entonces (AB)t = At B t . 13. Las siguientes declaraciones son necesarias para probar el teorema 6.12. a. Muestre que si A21 existe, es única. b. Muestre que si A es no singular, entonces (A−1 )−1 = A. c. Muestre que si A y B son matrices n 3 n no singulares, entonces (AB)−1 = B −1 A−1 . 14. a. Muestre que el producto de dos matrices triangulares inferiores n 3 n es triangular inferior. b. Muestre que el producto de dos matrices triangulares superiores n 3 n es triangular superior. c. Muestre que la inversa de una matriz triangular inferior no singular n 3 n es triangular inferior. 15. En la sección 3.6 encontramos que la forma paramétrica (x(t), y(t)) de los polinomios cúbicos de Hermite (x(0), y(0)) = (x0 , y0 ) y (x(1), y(1)) = (x1 , y1 ) con puntos guidepoints indicadores (x0 + α0 , y0 + β0 ) y (x1 − α1 , y1 − β1 ), respectivamente, están dados por x(t) = (2(x0 − x1 ) + (α0 + α1 )) t 3 + (3(x1 − x0 ) − α1 − 2α0 ) t 2 + α0 t + x0

y y(t) = (2(y0 − y1 ) + (β0 + β1 )) t 3 + (3(y1 − y0 ) − β1 − 2β0 ) t 2 + β0 t + y0 .

Los polinomios cúbicos de Bézier tienen la forma

xˆ (t) = (2(x0 − x1 ) + 3(α0 + α1 )) t 3 + (3(x1 − x0 ) − 3(α1 + 2α0 )) t 2 + 3α0 t + x0

y yˆ (t) = (2(y0 − y1 ) + 3(β0 + β1 )) t 3 + (3(y1 − y0 ) − 3(β1 + 2β0 )) t 2 + 3β0 t + y0 .

a.

Muestre que la matriz 

7  −6 A=  0 0

4 −3 0 0

 0 0   0  1

4 −6 3 0

transforma los coeficientes del polinomio de Hermite en los coeficientes del polinomio de Bézier. Determine una matriz B que transforme los coeficientes del polinomio de Bézier en coeficientes del polinomio de Hermite. 16. Suponga que m sistemas lineales b.

Ax( p) = b( p) ,

p = 1, 2, . . . , m,

se resuelven, cada uno con la matriz de coeficientes n 3 n A. a. Muestre que la eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás aplicada a la matriz aumentada A:

b(1) b(2) · · · b(m)

requiere 1 3 1 n + mn 2 − n 3 3

multiplicaciones/divisiones

y 1 3 1 1 n + mn 2 − n 2 − mn + n 3 2 6

b.

sumas/restas.

Muestre que el método Gauss-Jordan (consulte el ejercicio 14, sección 6.1) aplicado a la matriz aumentada A:

b(1) b(2) · · · b(m)

requiere 1 3 1 n + mn 2 − n 2 2

multiplicaciones/divisiones

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Conjunto de ejercicios y 1 3 n + (m − 1)n 2 + 2

c.

1 −m n 2

sumas/restas.

Para el caso especial 

b( p)

    =    

0 .. . 0 1 .. . 0



      ← p-ésima fila,   

para cada p = 1, . . . , m, con m = n, la solución x( p) es la p-ésima columna de A−1. Muestre que la eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás requiere 4 3 1 n − n 3 3

multiplicaciones/divisiones

y 4 3 3 2 1 n − n + n 3 2 6

sumas/restas

para esta aplicación y que el método Gauss-Jordan requiere 3 3 1 n − n 2 2

multiplicaciones/divisiones

y 3 3 1 n − 2n 2 + n 2 2

sumas/restas.

Construya un algoritmo usando la eliminación gaussiana para encontrar A−1, pero no haga multiplicaciones cuando se sepa que uno de los multiplicadores es 1 y no realice sumas/restas cuando uno de los elementos implicados sea 0. Muestre que los cálculos requeridos se reducen a n3 multiplicaciones/divisiones y n 3 − 2n 2 + n sumas/restas. e. Muestre que resolver el sistema lineal Ax = b, cuando se conoce A−1 sigue requiriendo n2 multiplicaciones/divisiones y n 2 − n sumas/restas. f. Muestre que resolver m sistemas lineales Ax( p) = b( p) , para p = 1, 2, . . . , m, por el método x( p) = A−1 b( p) requiere mn2 multiplicaciones y m(n 2 − n) sumas si se conoce A−1. g. Sea A una matriz n 3 n. Compare el número de operaciones requeridas para resolver n sistemas lineales relacionados con A mediante eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás y al invertir primero A y después, multiplicar Ax = b por A−1 , para n 5 3, 10, 50 y 100. ¿En algún punto es ventajoso calcular A−1 para resolver sistemas lineales? 17. Utilice el algoritmo desarrollado en el ejercicio 16d) para encontrar las inversas de las matrices no singulares en el ejercicio 5. 18. Considere el sistema lineal 2 3 2 (A + i B)(x + iy) = c + id con entradas complejas en forma de componente: d.

(a11 + ib11 )(x1 + i y1 ) + (a12 + ib12 )(x2 + i y2 ) = c1 + id1 , (a21 + ib21 )(x1 + i y1 ) + (a22 + ib22 )(x2 + i y2 ) = c2 + id2 .

a.

Utilice las propiedades de los números complejos para convertir este sistema al sistema lineal real equivalente 4 3 4 Ax − By = c, Bx + Ay = d.

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Capítulo 6 b.

Resuelva el sistema lineal (1 − 2i)(x1 + i y1 ) + (3 + 2i)(x2 + i y2 ) = 5 + 2i, (2 + i)(x1 + i y1 ) + (4 + 3i)(x2 + i y2 ) = 4 − i.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3.

¿La declaración “todas las matrices diagonales son cuadradas” es verdadera o falsa? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Todas las matrices cuadradas tienen una inversa? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Una alteración muy pequeña en una matriz cuadrada singular puede crear una matriz no singular? ¿Por qué sí o por qué no?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 6.4 1.

2.

Utilice la definición 6.15 para calcular los determinantes de las siguientes matrices:     1 2 0 4 0 1 a.  2 1 −1  b.  2 1 0  3 1 1 2 2 3     1 1 −1 1 2 0 1 2  1 2 −4 −2   1 1 0 2    c.  d.   2 1   1 5 2 −1 3 1  −1 0 −2 −4 3 −1 4 3 Utilice la definición 6.15 para calcular los determinantes de las siguientes matrices:

a.

  

c.

3. 4. 5.

  

4 −1 2 1 2 3 −1

2 0 1 1 −1 4 5

 6 4  7 2 2 1 2

b.  1 0   1  3

d.

1 A= 2 0

7.

2  3 3 

2 4 0

1  2   −3 0

2 1 2 5

 1 −1  5 3 −1 0 2

 4 1   1  6

Repita el ejercicio 1 usando el método del ejemplo 2. Repita el ejercicio 2 usando el método del ejemplo 2. Encuentre los valores de a que hacen que la siguiente matriz sea singular. 

6.



−1 2 α

 α 1 . − 23

Encuentre los valores de a que hacen que la siguiente matriz sea singular.   1 2 −1 1 . A= 1 α 2 α −1 Encuentre los valores de a de tal forma que el siguiente sistema lineal no tenga soluciones. 2x1 − x2 + 3x3 = 5, 4x1 + 2x2 + 2x3 = 6,

−2x1 + αx2 + 3x3 = 4.

8.

Encuentre los valores de a de tal forma que el siguiente sistema lineal tenga un número infinito de soluciones. 2x1 − x2 + 3x3 = 5, 4x1 + 2x2 + 2x3 = 6,

−2x1 + αx2 + 3x3 = 1. Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

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Conjunto de ejercicios

EJERCICIOS APLICADOS 9.

La matriz de rotación Rθ =

aplicada al vector x =

cos θ − sen θ sen θ cos θ

x1 x2

tiene el efecto geométrico de rotar x en el sentido contrario a las manecillas del reloj, un ángulo de u radianes. a. Sea y = Rθ x. Verifique que y es x rotado por u. [Sugerencia: Utilice la relación x1 + i x2 = r eiα, donde r =

x12 + x22 y α = tan−1 ( xx21 ). Sho that y = y1 + i y2 = r ei(θ+α) .] Muestre que

Encuentre de dos formas diferentes [Sugerencia: Considere una rotación en la dirección de las manecillas del reloj.] 1 c. Sean x = y θ = π6 . Encuentre la rotación de x dada por un ángulo u tanto en el sentido 2 de las manecillas del reloj como en sentido contrario al utilizar Rθ y Rθ−1. d. Encuentre el determinante tanto de Rθ como de Rθ−1 . 10. La matriz de rotación para una rotación en 3 dimensiones, en sentido contrario a las manecillas del reloj, por un ángulo u sobre el vector u está determinada por Rθ−1

b.

Ru,θ

 u 21 (1 − cos θ) + cos θ u 1 u 2 (1 − cos θ) − u 3 sen θ u 1 u 3 (1 − cos θ) + u 2 sen θ 2 u 2 (1 − cos θ) + cos θ u 2 u 3 (1 − cos θ) − u 1 sen θ  , =  u 1 u 2 (1 − cos θ ) + u 3 sen θ u 1 u 3 (1 − cos θ ) − u 2 sen θ u 2 u 3 (1 − cos θ) + u 1 sen θ u 23 (1 − cos θ) + cos θ 

u 21 + u 22 + u 23 = 1.

donde u = (u 1 , u 2 , u 3 )t ,

√

√

Rote el vector x = (1, 2, 3)T alrededor del vector u = ( 66 , 36 , sentido contrario a las manecillas del reloj. b. Encuentre la matriz para “deshacer” la rotación en la parte a). c. Calcule los determinantes de las matrices en las partes a) y b). d. ¿Las partes b) y c) se pueden generalizar? 11. La fórmula química a.

√ 6 ) 6

con un ángulo de

π 3

en el

x1 [Ca(O H )2 ] + x2 [H N O3 ] → x3 [C A(N O3 )2 ] + x4 [H2 O]

indica que x1 moléculas de hidróxido de calcio Ca(OH)2 se combinan con x2 moléculas de ácido nítrico H N O3 para producir x3 moléculas de nitrato de calcio C A(N O3)2 y x4 moléculas de agua H2O. Para determinar x1, x2, x3 y x4, establecemos ecuaciones para átomos de calcio Ca, oxígeno O, hidrógeno H y nitrógeno N. Puesto que los átomos no se destruyen en esta reacción química, una reacción equilibrada requiere que para calcio x1 = x3, para oxígeno 2x1 + 3x2 = 6x3 + x4, para hidrógeno 2 x1 + x2 = 2x4, y para nitrógeno x2 = 2x3. El sistema lineal resultante Ax = 0 oes 

1 2  2 0

a. b. c. d.

0 3 1 1

−1 −6 0 −2

    0 x1 0  x 2   0 −1   =  . −2  x3  0 0 0 x4

Calcule el determinante de A. ¿Por qué la parte a) da este resultado? Encuentre x1, x2, x3 y x4, para equilibrar la ecuación química. ¿La respuesta en la parte c) es única?

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Capítulo 6

EJERCICIOS TEÓRICOS 12. Use inducción matemática para mostrar que cuando n > 1, la evaluación del determinante de una matriz n 3 n usando la definición requiere n−1

n! k=1

1 multiplicaciones/divisiones y n! − 1 sumas/restas. k!

˜ es la matriz obtenida a partir de A mediante cualquiera de 13. Si A es una matriz 3 3 3. Muestre que si A las operaciones (E 1 ) ↔ (E 2 ),

(E 1 ) ↔ (E 3 ),

o

(E 2 ) ↔ (E 3 ),

˜ = − det A. entonces det A 14. Pruebe que AB es no singular si y sólo si tanto A como B son no singulares. 15. La solución mediante la regla de Cramer para el sistema lineal es a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 ,

es  b1 1 det  b2 x1 = D b3

a12 a22 a32

 a13 D1 a23  ≡ , D a33

 a11 1 x2 = det  a21 D a31

b1 b2 b3

 a13 D2 a23  ≡ , D a33

y  a11 1 det  a21 x3 = D a31

a.

a12 a22 a32

 b1 D3 b2  ≡ , D b3

donde



a11 D = det  a21 a31

a12 a22 a32

 a13 a23  . a33

Encuentre la solución para el sistema lineal 2x1 + 3x2 − x3 = 4,

x1 − 2x2 + x3 = 6,

b.

mediante la regla de Cramer. Muestre que el sistema lineal

x1 − 12x2 + 5x3 = 10,

2x1 + 3x2 − x3 = 4, x1 − 2x2 + x3 = 6,

−x1 − 12x2 + 5x3 = 9,

c.

no tiene solución. Calcule D1, D2 y D3. Muestre que el sistema lineal 2x1 + 3x2 − x3 = 4, x1 − 2x2 + x3 = 6, −x1 − 12x2 + 5x3 = 10,

d. e. 16. a. b.

tiene un número infinito de soluciones. Calcule D1, D2 y D3. Pruebe que si un sistema lineal 3 3 3 con D 5 0 tiene soluciones, entonces D1 5 D2 5 D3 5 0. Determine el número de multiplicaciones/divisiones y sumas/restas requeridas para la regla de Cramer en un sistema 3 3 3. Generalice la regla de Cramer para un sistema lineal n 3 n. Utilice el resultado en el ejercicio 12 para determinar el número de multiplicaciones/divisiones y sumas/restas requerido para la regla de Cramer en un sistema n 3 n.

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Conjunto de ejercicios

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3.

De acuerdo con el texto, existen 2n definiciones diferentes del det A, dependiendo de la fila o columna seleccionada. Analice la razón por la que todas las definiciones dan el mismo resultado numérico. Explique cómo se puede usar la eliminación gaussiana para encontrar el determinante de una matriz. Explique cómo se puede usar la eliminación gaussiana para encontrar la inversa de una matriz, si existe.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 6.5 1.

2.

3.

Resuelva los siguientes sistemas lineales:       1 0 0 2 3 −1 x1 2 1   x2  =  −1  a.  2 1 0   0 −2 −1 0 1 0 0 3 1 x3       2 0 0 1 1 1 x1 −1 0   0 1 2   x2  =  3  b.  −1 1 3 2 −1 0 0 1 0 x3 Resuelva los siguientes sistemas lineales:    1 0 0 2 1 −1 2  a.  −2 1 0   0 4 3 0 1 0 0 5    1 0 0 1 2 −3 2  b.  2 1 0   0 1 −3 2 1 0 0 1

c.

5.

 1 0  −5  4 6  8

Considere las siguientes matrices. Encuentre la matriz de permutación P tal que P A se puede factorizar en el producto LU, donde L es triangular inferior con 1 en su diagonal y U es triangular superior para estas matrices. a.

4.

  x1 x2  =  x3   x1 x2  =  x3



1 A= 2 0  1  1 A=  2 2

 −1 0  −1

2 4 1 1 1 −1 −1

−1 4 2 2



0 A= 1 1  0  0 A=  1 1

b.  0 3   4  3

d.

1 −2 −1 1 1 2 1

 1 −1  1 1 1 −1 2

 2 −1   3  0

Considere las siguientes matrices. Encuentre la matriz de permutación P de tal forma que P A se puede factorizar en el producto LU, donde L es triangular inferior con 1 en su diagonal y U es triangular superior para estas matrices.     0 2 −1 1 2 −1 2  7  a. A =  1 −1 b. A =  2 4 1 −1 4 −1 2 5     1 1 −1 2 1 1 −1 2  −1 −1  2 1 5  2 4 5    c. A =  d. A =   2  1 −1 2 3 7  1 7  2 3 4 5 2 3 4 6 Factorice las siguientes matrices en la descomposición LU mediante el algoritmo de factorización LU con lii = 1 para todas las i.

a.



2  3 3

−1 3 3

2

0

 1 9  5 0



1.012 b.  −2.132 3.104 0

2 1756

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−2.132 4.096 −7.013 4 0231

 3.104 −7.013  0.014 2 1732

5 1967

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Capítulo 6  c.

6.

7.

2  1   0 2

0 1.5 −3 −2

0 0 0.5 1

 0 0   0  1



2.1756  −4.0231  d.  −1.0000 6.0235

−2.1732 0 1.1111 0

 5.1967 1.1973   0 −4.1561

Modifique el algoritmo de factorización LU de tal forma que se pueda utilizar para resolver un sistema lineal y, a continuación, resuelva los siguientes sistemas lineales. 2x1 − x2 + x3 = −1,

b.

3x1 + 3x2 + 9x3 = 0,

c.

2x1 − 3x2 + 0.5x3

d.

3.104x1 − 7.013x2 + 0.014x3 = −3.895.

= 3,

x1 + 1.5x2

2x1 − 2x2 +

1.012x1 − 2.132x2 + 3.104x3 = 1.984,

−2.132x1 + 4.096x2 − 7.013x3 = −5.049,

3x1 + 3x2 + 5x3 = 4.

= 4.5,

= −6.6,

x3 + x4 = 0.8.

2.1756x1 + 4.0231x2 − 2.1732x3 + 5.1967x4 = 17.102,

−4.0231x1 + 6.0000x2

−1.0000x1 − 5.2107x2 + 1.1111x3 6.0235x1 + 7.0000x2

+ 1.1973x4 = −6.1593, = 3.0004,

− 4.1561x4 = 0.0000.

Modifique el algoritmo de factorización LU de tal forma que se pueda usar para resolver un sistema lineal y, a continuación, resuelva los siguientes sistemas lineales a.

x1 − x2

= 2,

b.

2x1 + 2x2 +3x3 = −1,

−x1 + 3x2 +2x3 = 4.

c.

2x1 + x2

−x1 + 3x2 +

3x3

= 0,

= 5,

2x1 − 2x2 + x3 + 4x4 = −2,

−2x1 + 2x2 + 2x3 + 5x4 = 6.

9.

4.0231 6.0000 −5.2107 7.0000

Factorice las siguientes matrices en la descomposición LU mediante el algoritmo de factorización LU con lii = 1 para todas las i.    1  1 − 14 1 −1 0 3 2    2 2 3 a. 2 3  b.  51 3 8  −1 3 2 5 2 − 23 5 8     2 1 0 0 2.121 −3.460 0 5.217  −1  3 3 0  0 5.193 −2.197 4.206    c.  d.   2 −2 1 4   5.132 1.414 3.141 0  −2 2 2 5 −3.111 −1.732 2.718 5.212

a.

8.

−

d.

1 x1 + 3 1 x1 + 5 2 x1 − 5

1 x2 − 2 2 x2 + 3 2 x2 + 3

1 x3 = 1, 4 3 x3 = 2, 8 5 x3 = −3. 8

2.121x1 − 3.460x2

+5.217x4 = 1.909,

5.193x2 −2.197x3 +4.206x4 = 0,

5.132x1 + 1.414x2 +3.141x3

= −2.101,

−3.111x1 − 1.732x2 +2.718x3 +5.212x4 = 6.824.

Obtenga factorizaciones de la forma A = P t LU para las siguientes matrices.    0 2 3 1 −2 3 0  3 −6 9 1 −1  3 a. A =  1  b. A =  0 −1 1 2 1 4 1 1 −2 2 −2

10. Obtenga factorizaciones de la forma A = P t LU para las siguientes matrices.    1 2 −1 1 −2 3 0  1 −2 3 2 3  1 a. A =  1  b. A =  2 −1 4 1 −2 2 −2 2 1 3 −1 Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

   

   

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Conjunto de ejercicios

EJERCICIOS APLICADOS 11. El ejercicio 11 de la sección 6.3 se puede generalizar de acuerdo con lo siguiente. Suponga que el escarabajo tiene un periodo de vida de cuatro años. La hembra de la especie tiene una tasa de supervivencia de p1 en el primer año de vida, tiene una tasa de supervivencia de p2 desde el segundo hasta su tercer año, y tiene una tasa de supervivencia de p3 desde el año 3 hasta el año 4 antes de expirar al final del cuarto año. El escarabajo hembra procrea un promedio de b1 escarabajos hembras en el primer año, b2 escarabajos hembras en el segundo año, b3 escarabajos hembras en su tercer año y b4 escarabajos hembras en su cuarto año. Se puede usar una matriz A = [ai j ] para modelar las contribuciones que realiza un escarabajo hembra, en un sentido probabilístico, a la población femenina de la especie al hacer que ai j denote la contribución que una sola hembra de edad j realizará a la población de hembras del siguiente año de edad i. Tenemos   b1 b2 b3 b4  p1 0 0 0  . A=  0 p2 0 0  0 0 b3 0 a.

b.

Por medio de la descomposición LU o descomposición P t LU con b1 = 0, b2 = 1/8, b3 = 1/4, b b4 5 1/2, p1 = 1/2, p2 = 1/4 y p3 = 1/8, encuentre el número de hembras de cada edad necesario para que la población después de un año sea b = (175, 100, 50, 25)t . Repita la parte a) mediante b = (100, 100, 100, 100)t. ¿Qué significa su respuesta?

EJERCICIOS TEÓRICOS 12. a.

Muestre que el algoritmo de factorización LU requiere 1 3 1 n − n multiplicaciones/divisiones y 3 3

b.

1 3 1 2 1 n − n + n sumas/restas. 3 2 6

Muestre que resolver Ly = b, donde L es una matriz triangular inferior con lii = 1 para i, requiere 1 2 1 n − n multiplicaciones/divisiones y 2 2

1 2 1 n − n sumas/restas. 2 2

Muestre que resolver Ax = b al factorizar primero A en A = LU y, después, resolver Ly = b y U x = y requiere el mismo número de operaciones que el algoritmo de eliminación gaussiana 6.1. d. Cuente el número de operaciones requeridas para resolver m sistemas lineales Ax(k) = b(k) b k) para k = 1, . . . , m, al factorizar primero A y, después, utilizar el método de la parte c) m veces. 13. Suponga A = P t LU , donde P es una matriz de permutación, L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y U es una matriz triangular superior. a. Cuente el número de operaciones necesarias para calcular P t LU para una matriz determinada A. b. Muestre que si P contiene k intercambios de fila, entonces c.

det P = det P t = (−1)k .

c. d.

Utilice det A = det P t det L det U = (−1)k det U para contar el número de operaciones para determinar det A mediante factorización. Calcule det A y cuente el número de operaciones cuando   0 2 1 4 −1 3  1 2 −1 3 4 0     0 1 1 −1 2 −1  . A=  2 3 −4 2 0 5     1 1 1 3 0 2  −1 −1 2 −1 2 0

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Capítulo 6

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3. 4. 5. 6.

¿La descomposición LU es única? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuántas operaciones se necesitarían para descomponer una matriz m 3 m tridiagonal A en su factorización LU? ¿Cómo se pueden manejar los intercambios de filas en la descomposición LU? ¿Por qué la descomposición LU de una matriz A es tan útil? ¿La descomposición es computacionalmente práctica? Si una matriz A requiere intercambios de fila, ¿cómo afecta la descomposición de A su factorización LU? Analice los diferentes tipos de matrices de banda y los efectos de resolver mínimos cuadrados con matrices de banda mediante descomposiciones.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 6.6 1.

2.

Determine cuál de las siguientes matrices son i) simétricas, ii) singulares, iii) estrictamente diagonalmente dominantes y iv) definidas positivas.   2 1 2 1 0 a. 1 3 b.  0 3 0  1 0 4     4 2 6 4 0 0 0  6 0 7  7 0 0  c.  3  d.   9 11 1 0  −2 −1 −3 5 4 1 1 Determine cuál de las siguientes matrices son i) simétricas, ii) singulares, iii) estrictamente diagonalmente dominantes y iv) definidas positivas. −2 1

1 −3

2  −1 0

−1 4 2

a.

c.

3.

4.



b.  0 2  2

d.

2  0 1 

2  −2   3 6

1 3 2

0 2  4 3 4 7 −9

1 −1 1.5 3

 2 5   1  7

Utilice el algoritmo de factorización LDL t para encontrar una factorización de la forma A = LDLt para las siguientes matrices:     2 −1 0 4 1 1 1  1 2 −1  3 −1 1  a. A =  −1  b. A =   0 −1 2 1 −1 2 0  1 1 0 2     4 1 −1 0 6 2 1 −1  1  2 4 3 −1 0  1 0    c. A =  d. A =   −1 −1  1 1 5 2  4 −1  0 0 2 4 −1 0 −1 3 Utilice el algoritmo de factorización LDL t para encontrar una factorización de la forma A = LDLt para las siguientes matrices:     4 −1 1 4 2 2 3 0  a. A =  −1 b. A =  2 6 2  1 0 2 2 2 5     4 0 2 1 4 1 1 1  0  1 3 −1 1  3 0 −1    c. A =  d. A =   2 −1  1 6 3  0 2 1  1 1 3 8 1 −1 1 4 Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

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Conjunto de ejercicios 5. 6. 7.

Utilice el algoritmo de Cholesky para encontrar una factorización de la forma A = L L t para las matrices en el ejercicio 3. Utilice el algoritmo de Cholesky para encontrar una factorización de la forma A = L L t para las matrices en el ejercicio 4. Modifique el algoritmo de factorización LDL t, como se sugiere en el texto, de tal forma que se pueda utilizar para resolver los siguientes sistemas lineales. a.

2x1 − x2

= 3,

b.

−x1 + 2x2 − x3 = −3,

x1 + 3x2 − x3 + x4 = 0.05,

− x2 + 2x3 = 1.

c.

x1 − x2 + 2x3 x1 + x2

4x1 + x2 − x3

= 7,

x1 + 3x2 − x3

d.

= 8,

= 0,

+ 2x4 = 0.5.

6x1 + 2x2 + x3 − x4 = 0, 2x1 + 4x2 + x3

−x1 − x2 + 5x3 + 2x4 = −4,

= 7,

x1 + x2 + 4x3 − x4 = −1,

2x3 + 4x4 = 6.

8.

4x1 + x2 + x3 + x4 = 0.65,

− x3 + 3x4 = −2.

−x1

Utilice el algoritmo modificado a partir del ejercicio 7 para resolver los siguientes sistemas lineales. a.

4x1 − x2 + x3 = −1,

−x1 + 3x2 x1

c.

4x1

b.

= 4,

4x1 + 2x2 +2x3 = 0,

2x1 + 6x2 +2x3 = 1,

+2x3 = 5.

2x1 + 2x2 +5x3 = 0.

+ 2x3 + x4 = −2,

d.

3x2 − x3 + x4 = 0,

4x1 + x2 + x3 + x4 = 2, x1 +3x2

2x1 − x2 + 6x3 + 3x4 = 7,

x1

x1 + x2 + 3x3 + 8x4 = −2.

− x4 = 2,

+ 2x3 + x4 = 1,

x1 − x2 + x3 +4x4 = 1.

Modifique el algoritmo de Cholesky, como se sugiere en el texto, de tal forma que se pueda usar para resolver sistemas lineales y utilice el algoritmo modificado para resolver los sistemas lineales en el ejercicio 7. 10. Use el algoritmo modificado desarrollado en el ejercicio 9 para resolver los sistemas lineales en el ejercicio 8. 11. Utilice la factorización de Crout para sistemas tridiagonales para resolver los siguientes sistemas lineales. 9.

a.

= 0,

x1 − x2

b.

−2x1 + 4x2 − 2x3 = −1, 2x1 − x2

= 3,

= −1,

2x1 + 4x2 + x3 = 7,

− x2 + 2x3 = 1.5.

c.

3x1 + x2

2x2 + 5x3 = 9.

d.

−x1 + 2x2 − x3 = −3,

0.5x1 + 0.25x2

= 0.35,

0.35x1 + 0.8x2 + 0.4x3

− x2 + 2x3 = 1.

= 0.77,

x3 + 0.5x4 = −0.5,

0.25x2 +

x3 − 2x4 = −2.25.

12. Utilice la factorización de Crout de sistemas tridiagonales para resolver los siguientes sistemas lineales. = 3, = 5, a. 2x1 + x2 b. 2x1 − x2 x1 + 2x2 + x3 = −2,

−x1 + 3x2 + x3 = 4,

2x2 +3x3 = 0.

c.

2x1 − x2

x1 + 2x2 − x3

= 3,

= 4,

x2 − 2x3 + x4 = 0, x3 +2x4 = 6.

x2 + 4x3 = 0.

d.

2x1 − x2

x1 + 2x2 − x3

= 1,

2x2 + 4x3 − x4

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= 2,

= −1,

2x4 − x5 = −2, x4 +2x5 = −1.

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Capítulo 6 13. Sea A una matriz tridiagonal 10 3 10 determinada por aii = 2, ai,i+1 = ai,i−1 = −1, para paracad cada para cada i = 2, . . . , 9, y a11 = a10,10 = 2, a12 = a10,9 = −1. Sea b el vector columna 10-dimensional dado por b1 = b10 = 1 y bi = 0, para cada i = 2, 3, . . . , 9. Resuelva Ax 5 b mediante la factorización de Crout para sistemas tridiagonales. 14. Modifique la factorización LDL t para factorizar una matriz simétrica A. [Nota: La factorización no siempre puede ser posible.] Aplique el nuevo algoritmo a las siguientes matrices:     3 −3 6 3 −6 9 2 −7  14 −20  a. A =  −3 b. A =  −6 6 −7 13 9 −20 29     −1 2 0 1 2 −2 4 −4  2 −3 2 −1   −2 3 −4 5    c. A =  d. A =   0  4 −4 2 5 6  10 −10  1 −1 6 12 −4 5 −10 14 15. ¿Cuál de las matrices simétricas en el ejercicio 14 son definidas positivas? 

1 2 1

 −1 1  sea definida positiva. 4



α 2 1

 −1 1  sea definida positiva. 4

α 16. Encuentre todas las a de tal forma que A =  1 −1 2 17. Encuentre todas las a de tal forma que A =  α −1

18. Encuentre todas las a y β > 0 de tal forma que la matriz   4 α 1 A =  2β 5 4  β 2 α sea estrictamente diagonalmente dominante. 19. Encuentre todas las α > 0 y β > 0 de tal forma que la matriz   3 2 β A= α 5 β  2 1 α sea estrictamente diagonalmente dominante. 20. Si 

1 A= 0 −1

0 1 1

Encuentre todos los valores de a para los cuales: a. A es singular c. A es estrictamente diagonalmente dominante

 −1 1 . α

b. d.

A es simétrica A es definida positiva

21. Si 

α A= β 0

1 2 1

Encuentre todos los valores de a y b para los cuales: a. A es singular c. A es estrictamente diagonalmente dominante

 0 1 . 2

b. d.

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A es simétrica A es definida positiva

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Conjunto de ejercicios

EJERCICIOS APLICADOS 22. En un artículo de Dorn y Burdick [DoB] se reporta que la longitud promedio del ala que resulta de aparear tres variedades mutantes de moscas de fruta (Drosophila melanogaster) se puede expresar en la forma de matriz simétrica   1.59 1.69 2.13 A =  1.69 1.31 1.72  2.13 1.72 1.85 donde ai j denota la longitud promedio del ala de una descendencia que resulta de aparear un macho tipo i con una hembra tipo j. a. ¿Qué importancia física se relaciona con la simetría de esta matriz? b. ¿Esta matriz es definida positiva? De ser así, pruébelo; de no ser así encuentre un vector x diferente de cero para el que xt Ax ≤ 0. 23. Suponga V 5 5.5 volts en el ejemplo principal de este capítulo. Al reordenar las ecuaciones, se puede formar un sistema lineal tridiagonal. Utilice el algoritmo de factorización de Crout para encontrar la solución del sistema modificado.

EJERCICIOS TEÓRICOS 24. Suponga que A y B son matrices n 3 n estrictamente diagonalmente dominantes. ¿Cuál de las siguientes deben ser estrictamente diagonalmente dominantes? a.

−A

b.

At

c.

A+B

d.

A2

e.

A−B

25. Suponga que A y B son matrices n 3 n definidas positivas. ¿Cuál de las siguientes deben ser definidas positivas? a. −A b. At c. A + B d. A2 e. A − B

26. Suponga que A y B conmutan; es decir, AB 5 BA. ¿At y Bt también deben conmutar? 27. Construya una matriz A que no sea simétrica, pero para la que xt Ax > 0 para toda x = 0. 28. Muestre que la eliminación gaussiana se puede realizar en A sin intercambio de columnas si y sólo si todas las primeras submatrices principales de A no son singulares. [Sugerencia: Particione cada matriz en la ecuación A(k) = M (k−1) M (k−2) · · · M (1) A verticalmente entre la k-ésima y la (k 1 1)-ésima columnas y horizontalmente entre la k-ésima y la (k 1 1)-ésima filas (consulte el ejercicio 9 de la sección 6.3). Muestre que la no singularidad de (k) = 0.] la primera submatriz principal de A es equivalente a ak,k 29. Normalmente, las submatrices tridiagonales se etiquetan mediante la notación 

  A=  

a1 c1 0.. .. .. . . . . . 0. . b2 a2 . . c2 . . . . . . ... ... ... . 0. . . b3 . . . . . . . 0 .. . . . . . . . . . . . . . . . . .cn−1 . 0 . . . . . . . 0 bn .an

     

para enfatizar que no es necesario considerar todas las entradas de la matriz. Reescriba el algoritmo de factorización de Crout mediante esta notación y modifique la notación de li j y u i j de manera similar. 30. Pruebe el teorema 6.31 [Sugerencia: Muestre que u i,i+1 < 1, para cada i = 1, 2, . . . , n − 1, and y que det U = 0.] that | lii |> 0, para cada i = 1, 2, . . . , n. D Deduzca that que det A = det L · 31. Construya el conteo de operaciones para resolver un sistema lineal n 3 n mediante el algoritmo de factorización de Crout. 32. Suponga que la matriz definida positiva A tiene factorización de Cholesky A = L L t y también factorización A = Lˆ D Lˆ t, donde D es la matriz diagonal con √ diagonales √ entradas √ positivas d11 , d22 , . . . , dnn . Sea D 1/2 la matriz diagonal con entradas diagonales d11 , d22 , . . . , dnn . that L = Lˆ D 1/2 . b. Muestre que a. Muestre that que D = D 1/2 D 1/2 .

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Capítulo 6

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2.

Distinga entre las factorizaciones de Doolittle, Crout y Cholesky. ¿En qué condiciones es más apropiado utilizarlas? Muchos problemas en robótica se pueden formular como problemas de optimización de mínimos cuadrados no lineales. Analice la forma en la que se puede usar el método de Cholesky para encontrar la configuración óptima de las variables que satisfacen al máximo el conjunto de restricciones no lineales.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS (FINAL DEL CAPÍTULO) 1. 2. 3.

3.

SuperLU es un paquete de código abierto para la factorización LU. Proporcione una descripción general de este paquete. KLU es un algoritmo de código abierto para la factorización LU. Proporcione una descripción general de este algoritmo. ALGLIB es una biblioteca de procesamiento de datos y análisis numérico multiplataforma y de código abierto que maneja la factorización LDLT. Proporcione una descripción general del paquete ALGLIB y, en especial, la subrutina de factorización LDLT. LIBMF es una biblioteca de factorización de matriz de código abierto que maneja la factorización LLT. Proporcione una descripción general del paquete LIBMG y, en especial, la subrutina de factorización LLT.

CONCEPTOS CLAVE Conteo de operaciones Determinante de la matriz Eliminación gaussiana Factorización Crout Factorización de Cholesky Factorización de matriz Factorización LDLT Factorización LU Factorización Pt L U Inversión de matriz Matrices especiales

Matriz Matriz cuadrada Matriz de banda Matriz de permutación Matriz diagonal Matriz identidad Matriz inversa Matriz triangular inferior Matriz triangular superior Matriz tridiagonal Pivoteo completo

Pivoteo parcial Pivoteo parcial escalado Producto matriz-matriz Producto matriz-vector Punto pivotal Sistemas lineales Sustitución hacia atrás Transpuesta de la matriz Vector

REVISIÓN DEL CAPÍTULO En este capítulo hemos visto métodos directos para resolver sistemas lineales. Un sistema lineal consiste en n ecuaciones con n incógnitas expresadas en notación de matriz como A x 5 b. Estas técnicas utilizan una secuencia finita de operaciones aritméticas para determinar la solución exacta del sistema sujeto solamente a error de redondeo. Encontramos que el sistema lineal A x 5 b. tiene una sola solución si y sólo si existe A21, que es equivalente a det A = 0. Cuando se conoce A21, la solución del sistema lineal es el vector x 5 A21 b. Las técnicas de pivoteo se introdujeron para minimizar los efectos del error de redondeo, que puede dominar la solución cuando se usan métodos directos. Estudiamos el pivoteo parcial y el pivoteo parcial escalado, y analizamos brevemente el pivoteo completo. Recomendamos los métodos de pivoteo parcial y pivoteo parcial escalado para la mayor parte de los problemas porque esto disminuye los efectos del error de redondeo sin añadir demasiados cálculos adicionales. Debería usarse el pivoteo completo si se sospecha que el error de redondeo es grande. En la sección 5 del capítulo 7 observaremos algunos procedimientos para calcular este error de redondeo. Se mostró la eliminación gaussiana con modificaciones menores para producir una factorización de la matriz A en LU, donde L es triangular inferior con números 1 en la diagonal y U es triangular superior. Este proceso recibe el nombre de factorización de Doolittle. No

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Conjunto de ejercicios

todas las matrices no singulares se pueden factorizar de esta forma, pero una permutación de las filas siempre proporcionará una factorización de la forma P A 5 LU, donde P es la matriz de permutación utilizada para reordenar las filas de A. La ventaja de la factorización es que el trabajo disminuye significativamente al resolver los sistemas lineales A x 5 b con la misma matriz de coeficientes A y diferentes vectores b. Las factorizaciones toman una forma más simple cuando la matriz A es definida positiva. Por ejemplo, la factorización de Choleski tiene la forma A 5 L L t, donde L es triangular inferior. Una matriz simétrica que tiene una factorización LU también se puede factorizar de la forma A 5 L DL t, donde D es diagonal y L es triangular inferior con números 1 en la diagonal. Con estas factorizaciones, las manipulaciones relacionadas con A se pueden simplificar. Si A es tridiagonal, la factorización LU toma una forma especialmente simple, donde U tiene números 1 en la diagonal principal y ceros en las demás, excepto en la diagonal inmediatamente sobre la diagonal principal. Además, L tiene sus entradas diferentes a cero en la diagonal principal y una diagonal debajo. Otro método importante de factorización de matriz se considera en la sección 6 del capítulo 9. Los métodos directos son los seleccionados para la mayoría de los sistemas lineales. Para las matrices tridiagonales, en banda y definidas positivas, se recomiendan los métodos especiales. Para el caso general se recomiendan los métodos de eliminación gaussiana o de factorización LU, que permiten el pivoteo. En estos casos, deberían supervisarse los efectos del error de redondeo. En la sección 7.5 analizamos el cálculo de errores en métodos directos. Los grandes sistemas lineales con entradas principalmente 0 que se presentan en patrones regulares se pueden resolver de manera eficiente por medio de un procedimiento iterativo, como el que se analiza en el capítulo 7. Los sistemas de este tipo surgen de manera natural, por ejemplo, cuando se usan técnicas de diferencia finita para resolver problemas de valor en la frontera, una aplicación común en la solución de ecuaciones diferenciales parciales. Puede ser muy difícil resolver sistemas lineales grandes que tienen entradas principalmente diferentes de 0 o 1, donde las entradas 0 no están en patrón predecible. La matriz relacionada con el sistema se puede colocar en almacenamiento secundario y forma dividida, y leer las partes en la memoria principal sólo conforme sea necesario para el cálculo. Los métodos que requieren almacenamiento secundario pueden ser tanto iterativos como directos, pero en general requieren técnicas provenientes de los campos de la estructura de datos y la teoría gráfica. Se dirige al lector a [BuR] y [RW] para un análisis de las técnicas actuales. Para obtener más información sobre la solución numérica de sistemas y matrices lineales consulte Golub y Van Loan [GV], Forsythe y Moler [FM] y Stewart [Stew1]. El uso de técnicas directas para resolver grandes sistemas dispersos se analiza detalladamente en George y Liu [GL] y en Pissanetzky [Pi]. Coleman y Van Loan [CV] consideran el uso de BLAS, LINPACK y MATLAB.

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Capítulo 7 CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.1 1.

Encuentre las normas l∞ y l2 de los vectores. a. b. c. d.

2.

b. c. d.

b. c. d.

x = (4/(k + 1), 2/k 2 , k 2 e−k )t para un entero positivo fijo k

x = (2, −2, 1)t

x = (−4/5, −2/5, 1/5, 2/5)t √ x = ((2 + k)/k, 1/ k, −3)t para un entero positivo fijo k

x = ((3k + 1)/(2k), 2, 0, 1/k)t para un entero positivo fijo k

x(k) = (1/k, e1−k , −2/k 2 )t

b. c. d.

x(k) = (e1/k , (k 2 + 1)/(1 − k 2 ), (1/k 2 )(1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1)))t

x(k) = (2 + 1/k, −2 + 1/k, 1 + 1/k 2 )t

x(k) = ((2 + k)/k, k/(2 + k), (2k + 1)/k)t

x(k) = ((3k + 1)/k 2 , (1/k) ln k, k 2 e−k , 2k/(1 + 2k))t cos k sen k 1 − k 3k − 2 t , , , x(k) = k k k 2 + 1 4k + 1

Encuentre la norma l∞ de las matrices. 10 0

a.

c.

6.

t

x(k) = e−k cos k, k sen(1/k), 3 + k −2 √ 2 x(k) = (ke−k , (cos k)/k, k 2 + k − k)t

Pruebe que las siguientes sucesiones son convergentes y encuentre sus límites. a.

5.

x = (sen k, cos k, 2k )t para un entero positivo fijo k

Pruebe que las siguientes sucesiones son convergentes y encuentre sus límites. a.

4.

x = (2, 1, −3, 4)t

Encuentre las normas l∞ y l2 de los vectores. a.

3.

x = (3, −4, 0, 32 )t



2  −1 0

15 1 −1 2 −1

10 15

b.  0 −1  2

d.

0 1



4  −1 −7

−1 4 0

 7 0  4

Encuentre la norma l∞ de las matrices. a.

c.

10 −1 −1 11 √  √ 2/2 − 2/2  1 0 π −1

11 0

b.  1 0  2

d.



−11 1

1/3  −1/4 2

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−1/3 1/2 −2

 1/3 1/4  −1

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Conjunto de ejercicios 7.

Los siguientes sistemas lineales Ax = b tienen x como la solución real y x˜ como una solución aproximada. Calcule x − x˜ ∞ y Ax˜ − b ∞ . a.

1 x1 + 2 1 x1 + 3 x=

c.

1 1 , x2 = 3 63 1 1 x2 = , 4 168 1 1 ,− 7 6

b.

x1 + 2x2 + 3x3 = 1, 2x1 + 3x2 + 4x3 = −1, 3x1 + 4x2 + 6x3 = 2,

t

x = (0, −7, 5)t ,

,

x˜ = (−0.33, −7.9, 5.8)t .

x˜ = (0.142, −0.166)t . x1 + 2x2 + 3x3 = 1,

d.

0.04x1 + 0.01x2 − 0.01x3 = 0.06,

2x1 + 3x2 + 4x3 = −1,

8.

0.2x1 + 0.5x2 − 0.2x3 = 0.3,

3x1 + 4x2 + 6x3 = 2, x = (0, −7, 5)t ,

x1 + 2x2 + 4x3 = 11, x = (1.827586, 0.6551724, 1.965517)t ,

x˜ = (−0.2, −7.5, 5.4)t .

x˜ = (1.8, 0.64, 1.9)t .

Los siguientes sistemas lineales Ax = b tienen x como la solución real y x˜ como una solución aproximada. Calcule x − x˜ ∞ y Ax˜ − b ∞ . a.

c.

b.

3.9x1 + 1.5x2 = 5.4,

x1 + 2x2 = 3,

6.8x1 − 2.9x2 = 3.9, x = (1, 1)t ,

1.001x1 − x2 = 0.001, x = (1, 1)t ,

x˜ = (0.98, 1.02)t .

x˜ = (1.02, 0.98)t . d.

x1 + x2 + x3 = 2π,

0.04x1 + 0.01x2 − 0.01x3 = 0.0478, 0.4x1 + 0.1x2 − 0.2x3 = 0.413,

−x1 + x2 − x3 = 0, x1 + x3 = π, x = (0, π, π )t ,

x1 + 2x2 + 3x3 = 0.14, x = (1.81, −1.81, 0.65)t ,

x˜ = (0.1, 3.18, 3.10)t .

x˜ = (2, −2, 1)t .

EJERCICIOS TEÓRICOS 9.

a.

Verifique que la función · 1, definida en Rn mediante n

x

1

|xi |,

= i=1

es una norma en Rn. b. Encuentre x 1 para los vectores determinados en el ejercicio 1. x 2. c. Pruebe eso para todas las x ∈ Rn , x 1 10. La norma matricial · 1, definida por A 1 = máx Ax 1 , se puede calcular con la fórmula x 1 =1

n

A

1

= máx

1≤ j ≤n

|ai j |, i=1

donde la norma vectorial · 1, se define en el ejercicio 9. Encuentre · 1, para las matrices en el ejercicio 5. 11. Muestre con un ejemplo que · ∞, definida por A ∞ = máx |ai j |, no define una norma matricial. 1≤i, j≤n 12. Muestre que · , definida por n

A

n

=

|ai j |, i=1 j=1

es una norma matricial. Encuentre ·

, para las matrices en el ejercicio 5.

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Capítulo 7 13. a. La norma de Frobenius (que no es una norma natural) se define para una matriz A n 3 n mediante n

A

F

1/2

n

|ai j |2

=

.

i=1 j=1

14. 15.

16. 17. 18.

Muestre que · F es una norma matricial. b. Encuentre · F para las matrices en el ejercicio 5. A F ≤ n 1/2 A 2 . c. Para cualquier matriz A, muestre que A 2 En el ejercicio 13 se definió la norma de Frobenius de una matriz. Muestre que para cualquier matriz A n 3 n y vector x en Rn , Ax 2 A F x 2. Si S es una matriz definida positiva n 3 n. Para cualquier x en Rn defina x (xt Sx)1/2 . Muestre que esto define una norma en Rn. [Sugerencia: Utilice la factorización Cholesky para S y muestre que xt Sy = yt Sx ≤ (xt Sx)1/2 (yt Sy)1/2 .] Si S es una matriz real y no singular y si · 1es cualquier norma en Rn. Defina · por x Sx . Muestre que · 91 también es una norma en Rn. Pruebe que si · 1es una norma vectorial en Rn, entonces A máx x 1 Ax es una norma matricial. El siguiente extracto de Mathematics Magazine [Sz] proporciona una forma alternativa de probar la desigualdad de Cauchy-Buniakowsky-Schwarz. a. Muestre que cuando x = 0 y y = 0, tenemos n i=1 n 2 1/2 i=1 x i

b.

xi yi n i=1

yi2

1/2

n

1 =1− 2

i=1



xi

 

n j=1

x 2j

−

1/2

2

yi n j=1

y 2j



1/2 

.

Utilice el resultado en la parte a) para mostrar que n

1/2

n

i=1

1/2

n

xi2

xi yi ≤

yi2

i=1

.

i=1

19. Muestre que la desigualdad Cauchy-Buniakowsky-Schwarz se puede extender a n

n

i =1

i =1

1/2

n

xi2

|xi yi | ≤

xi yi ≤ i =1

1/2

n

yi2

.

i =1

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2. 3. 4.

El análisis del error para problemas relacionados con vectores y matrices implica medir el tamaño de los errores en un vector o matriz. Existen dos tipos comunes de análisis de error que se usan para este propósito. ¿Qué son y cómo se utilizan las normas vectoriales y matriciales? ¿Cuál es la norma espectral y cómo difiere de las normas definidas en esta sección? ¿Qué es una norma p y cómo difiere de las normas definidas en esta sección? ¿Qué es una norma de Frobenius y cómo difiere de las normas definidas en esta sección?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.2 1.

Calcule los eigenvalores y eigenvectores asociados de las siguientes matrices. 2 −1

a. d.



2  1 0

−1 2 1 2 0

 0 0  3

0 1

b. e.



−1  0 0

1 1

0

c. 2 3 0

 0 4  7

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f.

1 2

1 2

0

2  2 1

1 3 1



 1 2  2

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Conjunto de ejercicios 2.

Calcule los eigenvalores y eigenvectores asociados de las siguientes matrices. 1 −2

a. d.

3.



3  1 2

1 −2 2 −2 0

−1

−1

1 3 1 2

1 6

0

 −1 2

2

b.  −1 3  4



e.

 0 0 

1 2

3 1

c. f.

− 13



2  0 0

4 0 0 2 −1

 0 4  2

Encuentre los eigenvalores complejos y eigenvectores asociados de las siguientes matrices. a.

2 −1

2 2

1 −1

b.

2 2

4.

Encuentre los eigenvalores complejos y eigenvectores asociados de las siguientes matrices.     1 0 2 0 1 −2 0  a.  0 1 −1  b.  1 0 1 1 1 −1 1 1

5. 6. 7. 8. 9. 10.

Encuentre el radio espectral para cada matriz en el ejercicio 1. Encuentre el radio espectral para cada matriz en el ejercicio 2. ¿Cuál de las matrices en el ejercicio 1 son convergentes? ¿Cuál de las matrices en el ejercicio 2 son convergentes? Encuentre la norma l2 para las matrices en el ejercicio 1. Encuentre la norma l2 para las matrices en el ejercicio 2.

1 1 0 0 2 y A2 = . Muestre que A1 no es convergente, pero que A2 es conver11. Let Si A1 = 1 1 1 16 4 2 2 gente. 12. Una matriz A n 3 n recibe el nombre de nilpotente si existe un entero m con Am = O. Muestre que si l es un eigenvalor de una matriz nilpotente, entonces λ = 0.

EJERCICIOS APLICADOS 13. En el ejercicio 11 de la sección 6.3, supusimos que la contribución de un escarabajo hembra de cierto tipo para la población de escarabajos de los años futuros se podía expresar en términos de la matriz   0 0 6 A =  12 0 0  , 0 31 0 donde la entrada en la i-ésima fila y la j-ésima columna representa la contribución probabilística de un escarabajo de edad j en la población hembra del siguiente año de edad i. a. ¿La matriz A tiene algún eigenvalor real? En este caso, determínelo, así como cualquier eigenvector asociado. b. Si se necesita una muestra de esta especie para propósitos de pruebas de laboratorio que tendría una proporción constante en cada grupo de edad año con año, ¿qué criterios se impondrían en la población inicial para garantizar la satisfacción de este requisito? 14. En el ejercicio 11 de la sección 6.5 se consideró una población de escarabajos hembra, lo cual condujo a la matriz 

0  1/2 A=  0 0

1/8 0 1/4 0

1/4 0 0 1/8

 1/2 0  , 0  0

donde las entradas ai j denotan la contribución que un solo escarabajo hembra de edad j realizaría a la siguiente población de escarabajos hembra del siguiente año de edad i. a. Encuentre el polinomio característico de A. b. Encuentre el radio espectral ρ(A). c. Dada cualquier población inicial x = (x1 , x2 , x3 , x4 )t, de escarabajos hembra, ¿qué sucederá al final?

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Capítulo 7

EJERCICIOS TEÓRICOS 15. Muestre que el polinomio característico p(λ) = det(A − λI ) para la matriz A n 3 n es de enésimo grado. [Sugerencia: Expanda det(A − λI ) a lo largo de la primera fila y utilice inducción matemática en n.] 16. a. Muestre que si A es una matriz n 3 n, entonces n

det A =

λ1 , i=1

17.

18. 19. 20.

donde λi , . . . , λn son los eigenvalores de A. [Sugerencia: Considere p(0).] b. Muestre que A es singular si y sólo si λ = 0 es un eigenvalor de A. Sea l un eigenvalor de la matriz A n 3 n y x = 0 un eigenvector asociado. a. Muestre que l también es un eigenvalor de A t. b. Muestre que para cualquier entero k ≥ 1, λk es un eigenvalor de A k con eigenvector x. c. Muestre que si existe A21, entonces 1/λ es un eigenvalor de (A−1 )k con eigenvector x. d. Generalice las partes b) y c) para (A21)k para enteros k ≥ 2. e. Dado el polinomio q(x) = q0 + q1 x + · · · + qk x k , defina q(A) para la matriz q(A) 5 = q0 I + q1 A + · · · + qk Ak. Muestre que q(l) es un eigenvalor de q(A) con eigenvector x. f. Sea α = λ dado. Muestre que si A − α I no es singular, entonces 1/(λ − α) es un eigenvalor de (A − α I )−1 con eigenvector x. Muestre que si A es simétrica, entonces ||A||2 = ρ(A). Encuentre las matrices A y B para las que ρ(A + B) > ρ( A) + ρ(B). (Esto muestra que ρ(A) no puede ser una norma matricial.) Muestre que si || · || es una norma natural, entonces (||A−1 ||)−1 ≤ |λ| ≤ ||A|| para cualquier eigenvalor l de la matriz no singular A.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3.

Encuentre una aplicación en la que el eigenvalor de 1 tenga un significado importante. Analice la importancia geométrica del radio espectral relativo para los eigenvalores de una matriz A. ¿En qué circunstancias el radio espectral de una matriz también es un eigenvalor de la matriz?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.3 1.

Encuentre las primeras dos iteraciones del método de Jacobi para los siguientes sistemas lineales, por medio de x(0) = 0: a. 3x1 − x2 + x3 = 1, b. 10x1 − x2 = 9, 3x1 + 6x2 + 2x3 = 0, c.

3x1 + 3x2 + 7x3 = 4. 10x1 + 5x2 5x1 + 10x2 − 4x3

−x1 + 10x2 − 2x3 = 7, = 6,

d.

= 25,

− 2x2 + 10x3 = 6. 4x1 + x2 + x3 + −x1 − 3x2 + x3 + x4

− 4x2 + 8x3 − x4 = −11,

x5 = 6, = 6,

2x1 + x2 + 5x3 − x4 − x5 = 6,

− x3 + 5x4 = −11.

−x1 − x2 − x3 + 4x4

= 6,

2x2 − x3 + x4 + 4x5 = 6.

2.

Encuentre las primeras dos iteraciones del método de Jacobi para los siguientes sistemas lineales, por medio de x(0) = 0: a.

b.

4x1 + x2 − x3 = 5,

−2x1 + x2 + 12 x3 = 4, x1 −2x2 − 21 x3 = −4,

−x1 + 3x2 + x3 = −4, c.

2x1 + 2x2 + 5x3 = 1. 4x x x x

2

d.

4x

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x2 + 2x3 = 0. x

0

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Conjunto de ejercicios c.

+ + = 4x1 + x2 − x3 + x4 = −2,

+ = 4x1 − x2 −x1 + 4x2 − x3

d.

x1 + 4x2 − x3 − x4 = −1,

= 0, = 5,

− x2 + 4x3

−x1 − x2 + 5x3 + x4 = 0,

= 0, + 4x4 − x5

x1 − x2 + x3 + 3x4 = 1.

= 6,

− x4 + 4x5 − x6 = −2, − x5 +4x6 = 6.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Repita el ejercicio 1 usando el método de Gauss-Siedel. Repita el ejercicio 2 usando el método de Gauss-Siedel. Utilice el método de Jacobi para resolver los sistemas lineales en el ejercicio 1, con TOL = 10−3 con la norma l∞. Utilice el método de Jacobi para resolver los sistemas lineales en el ejercicio 2, con TOL = 10−3 con la norma l∞. Utilice el método de Gauss-Siedel para resolver los sistemas lineales en el ejercicio 1, con TOL = 10−3 con la norma l∞. Utilice el método de Gauss-Siedel para resolver los sistemas lineales en el ejercicio 2, con TOL = 10−3 con la norma l∞. El sistema lineal 2x1 − x2 + x3 = −1, 2x1 + 2x2 + 2x3 = 4, −x1 − x2 + 2x3 = −5,

. tiene la solución (1, 2, −1)t √ a. Muestre que ρ(T j ) = 25 > 1. b. Muestre que el método de Jacobi con x(0) = 0 falla al proporcionar una buena aproximación después de 25 iteraciones. c. Muestre que ρ(Tg ) = 21 . d. Utilice el método de Gauss-Siedel con x(0) = 0:para aproximar la solución para el sistema lineal dentro de 1025 con la norma l∞. 10. El sistema lineal x1 + 2x2 − 2x3 = 7, x1 + x2 + x3 = 2, 2x1 + 2x2 + x3 = 5

tiene la solución (1, 2, −1)t . a. Muestre que ρ(T j ) = 0. b. Utilice el método de Jacobi con x(0) = 0:para aproximar la solución para el sistema lineal dentro de 1025 con la norma l∞. c. Muestre que ρ(Tg ) = 2. d. Muestre que el método de Gauss-Siedel aplicado como en la parte b) no proporciona una buena aproximación después de 25 iteraciones. 11. El sistema lineal x1 1 − x1 2 x1

− + −

x2 1 x2 2

− +

x3 1 x3 4 x3

=

0.2,

=

−1.425,

=

2,

tiene la solución (0.9, −0.8, 0.7)t . a. ¿La matriz de coeficientes 



1

0

−1

 A =  − 21

1

 − 14  1

1

− 21

es estrictamente diagonalmente dominante?

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Capítulo 7 b. c. d.

Calcule el radio espectral de la matriz de Gauss-Siedel Tg . Utilice el método iterativo de Gauss-Siedel para aproximar la solución para el sistema lineal con una tolerancia de 1022 y un máximo de 300 iteraciones. ¿Qué pasa en la parte c) cuando el sistema cambia por el siguiente? x1 1 − x1 2 x1

− + −

x2 1 x2 2

− +

2x3 1 x3 4 x3

=

0.2,

=

−1.425,

=

2.

12. Repita el ejercicio 11 usando el método de Jacobi. 13. Utilice a) el método de Jacobi y b) el método de Gauss-Siedel para resolver el sistema lineal Ax 5 b dentro de 1025 con la norma l∞, donde las entradas de A son

ai, j =

 2i,          0.5i,  

     0.25i,      0,

cuando j = i y i = 1, 2, . . . , 80, cuando

j = i + 2 y i = 1, 2, . . . , 78, j = i − 2 y i = 3, 4, . . . , 80,

cuando

j = i + 4 y i = 1, 2, . . . , 76, j = i − 4 y i = 5, 6, . . . , 80,

en otro caso,

y los de b son bi = π , para cada i = 1, 2, . . . , 80.

EJERCICIOS APLICADOS 14. Suponga que un objeto puede estar en cualquiera de los n 1 1 puntos igualmente espaciados x0 , x1 , . . . , xn . Cuando un objeto se encuentra en la ubicación xi, es igualmente probable que se mueva ya sea hacia xi −1 o hacia xi +1 y no se puede mover directamente hacia cualquier otra ubicación. n de que un objeto que inicia en la ubicación xi llegará al extremo Considere las probabilidades {Pi }i=0 izquierdo x0 antes de llegar al extremo derecho xn. Claramente, P0 = 1 y Pn = 0. Puesto que el objeto se puede mover hacia xi sólo desde xi−1 o xi+1 y lo hace con una probabilidad 12 para cada una de estas ubicaciones, Pi =

a.

           

d.

para cada i = 1, 2, . . . , n − 1.

Muestre que 

b. c.

1 1 Pi −1 + Pi +1 , 2 2

0 . .... . . . . . . . . . . . 0. .. .. .. .. − 21 1 − 12 . . . .. .. .. .. . 0. . . .− 21 . . 1 . . . . . . . .. . . .. .. .. . . . . .. . . .. . .. .. .. . 0 .. .. .. .. .. . 1 . .. . . −2 1 − 12 .. .. 1 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 − 12 1

− 12



   P1    P2   .   ..   Pn−1  





    =  

1 2

0 .. . 0



  . 

Resuelva este sistema usando n 5 10, 50 y 100. Cambie las probabilidades de a y 1 2 a para movimiento hacia la izquierda y derecha, respectivamente y derive el sistema lineal similar al de la parte a). Repita la parte b) con α = 13 .

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Conjunto de ejercicios 15. Las fuerzas en un puente peatonal descritas en la apertura de este capítulo satisfacen las ecuaciones en la siguiente tabla: Unión

Componente horizontal −F1 + −

√

2 2

√ 2 2

Componente vertical

f1 + f2 = 0

f1 +

√ 3 2

f4 = 0

−

− f2 + f5 = 0

√ − 23

√ 2 2

√ 2 2

f 1 − F2 = 0 1 2

f1 − f3 −

f4 = 0

f 3 − 10 000 = 0 1 2

f4 − f5 = 0

f 4 − F3 = 0

Este sistema lineal se puede escribir en la forma matricial 

−1

0

0

0

−1

0

               

0

0

−1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

√

−

2 2 √ 2 2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2 2

0

0

−1

−1

1 2 − 12

 0    0    0     1    0   0  

√

0 −

0

0

√

0

1

2 2

0

0

0

0

0

0 √

3 2 √ − 23



F1 F2 F3 f1 f2 f3 f4 f5





          =          

0 0 0 0 0 10 000 0 0



     .     

−1

a. b.

Explique porqué se reordenó el sistema de ecuaciones. Aproxime la solución del sistema lineal resultante dentro de 1022 con la norma l∞ al utilizar como aproximación inicial el vector cuyas entradas sean 1 con i) el método de Jacobi y ii) el método de Gaus-Siedel. 16. Un cable coaxial está formado por un conductor interno de 0.1 pulgadas cuadradas y un conductor externo de 0.5 pulgadas cuadradas. El potencial en un punto en la sección transversal del cable se describe mediante la ecuación de Laplace. Suponga que el conductor interno se mantiene en 0 volts y el conductor externo se mantiene en 110 volts. Aproximar el potencial entre los dos conductores requiere resolver el siguiente sistema lineal. (Consulte el ejercicio 5 de la sección 12.1.) 4

−1

0

0

−1

0

0

0

0

0

0

 −1    0    0   −1    0   0    0    0   0    0

4

−1

0

0

0

0

0

0

0

0

−1

4

−1

0

0

0

0

0

0

0

0

−1

4

0

−1

0

0

0

0

0

0

0

0

4

0

−1

0

0

0

0



0

a. b. c.

0

0

−1

0

4

0

−1

0

0

0

0

0

0

−1

0

4

0

−1

0

0

0

0

0

0

−1

0

4

0

0

0

0

0

0

0

0

−1

0

4

−1

0

0

0

0

0

0

0

0

−1

4

−1

0

0

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

−1

0

0

0

−1

0

−1

0



 0     0    0    0    0    0     −1    0    0    −1 

w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9 w 10 w 11 w 12



                  =                  

4

¿La matriz es estrictamente diagonalmente dominante? Resuelva el sistema lineal usando el método de Jacobi con x(0) = 0 y TOL = 10−2 . Repita la parte c) mediante el método de Gauss-Siedel.

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

220 110 110 220 110 110 110 110 220 110 110 220



         .         

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Capítulo 7

EJERCICIOS TEÓRICOS 17. Muestre que si A es estrictamente diagonalmente dominante, entonces ||T j ||∞ < 1. 18. a. Pruebe que x(k) − x

T

k

x(0) − x

y

T

x(k) − x

1

k

T

x(1) − x(0) ,

donde T es una matriz n 3 n con T < 1 y x(k) = T x(k−1) + c,

k = 1, 2, . . . ,

con x(0) arbitrario, c ∈ Rn , y x = T x + c. b. Aplique las cotas del ejercicio 1, cuando sea posible, mediante la norma l∞. 19. Suponga que A es definida positiva. a. Muestre que podemos escribir A = D − L − L t , donde D es diagonal con dii > 0 para cada 1 ≤ i ≤ n y L es triangular inferior. Además, muestre que D 2 L es no singular. b. Si Tg = (D − L)−1 L t y P = A − Tgt ATg . Muestre que P es simétrica. c. Muestre que Tg también se puede escribir como Tg = I − (D − L)−1 A. d. Si Q 5 (D 2 L)21A. Muestre que Tg = I − Q y P = Q t [AQ −1 − A + (Q t )−1 A]Q. e. Muestre que P = Q t D Q y P es definida positiva. f. Sea l un eigenvalor de Tg con eigenvector x = 0. Utilice la parte b) para mostrar que xt Px > 0 implica que |λ| < 1. g. Muestre que Tg es convergente y prueba que el método de Gauss-Siedel converge.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2.

El GMRES es un método iterativo que se usa para la resolución de grandes sistemas lineales no simétricos dispersos. Compare ese método con los métodos iterativos analizados en esta sección. ¿Los métodos directos, como la eliminación gaussiana o la factorización LU, son más eficientes que los métodos directos, como Jacobi o Gauss-Siedel, cuando el tamaño del sistema aumenta significativamente?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.4 1.

Encuentre las primeras dos iteraciones del método SOR con v 5 1.1 para los siguientes sistemas linea(0) les, usando = : x 5 0: a. 3x1 − x2 + x3 = 1, b. 10x1 − x2 = 9, 3x1 + 6x2 + 2x3 = 0,

−x1 + 10x2 − 2x3 = 7,

3x1 + 3x2 + 7x3 = 4.

c. 10x1 + 5x2

5x1 + 10x2 − 4x3

− 2x2 + 10x3 = 6.

d.

= 6,

= 25,

x5 = 6, = 6,

2x1 + x2 + 5x3 − x4 − x5 = 6,

− 4x2 + 8x3 − x4 = −11,

−x1 − x2 − x3 + 4x4

− x3 + 5x4 = −11.

2.

4x1 + x2 + x3 +

−x1 − 3x2 + x3 + x4

= 6,

2x2 − x3 + x4 + 4x5 = 6.

Encuentre las primeras dos iteraciones del método SOR con v 5 1.1 para los siguientes sistemas lineales, usando x(0) 5 0:

a.

b.

4x1 + x2 − x3 = 5,

x1 −2x2 − 21 x3 = −4,

−x1 + 3x2 + x3 = −4,

c.

2x1 + 2x2 + 5x3 = 1. x x x 4x

−2x1 + x2 + 12 x3 = 4,

2

d.

4x

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x2 + 2x3 = 0. x

0

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Conjunto de ejercicios c.

2x1 + 2x2 + 5x3 = 1 4x1 + x2 − x3 + x4 = −2,

x2 + 2x3 = 0 4x1 − x2

d.

x1 + 4x2 − x3 − x4 = −1,

= 0,

−x1 + 4x2 − x3

= 5,

− x2 + 4x3

= 0,

−x1 − x2 + 5x3 + x4 = 0, x1 − x2 + x3 + 3x4 = 1.

= 6,

+4x4 − x5

− x4 + 4x5 − x6 = −2, − x5 + 4x6 = 6.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Repita el ejercicio 1 usando v 5 1.3. Repita el ejercicio 2 usando v 5 1.3. Utilice el método SOR con v 5 1.2 para resolver los sistemas lineales en el ejercicio 1 con una tolerancia TOL = 10−3 con la norma l∞. Utilice el método SOR con v 5 1.2 para resolver los sistemas lineales en el ejercicio 1 con una tolerancia TOL = 10−3 con la norma l∞. Determine cuáles matrices en el ejercicio 1 son tridiagonales y definidas positivas. Repita el ejercicio 1 para estas matrices a través de la selección óptima de v. Determine cuáles matrices en el ejercicio 2 son tridiagonales y definidas positivas. Repita el ejercicio 1 para estas matrices a través de la selección óptima de v. Utilice el método SOR para resolver el sistema lineal Ax 5 b dentro de 1025 con la norma l∞, donde las entradas de A son  2i, cuando j = i y i = 1, 2, . . . , 80,       j = i + 2 y i = 1, 2, . . . , 78,   0.5i, cuando   j = i − 2 y i = 3, 4, . . . , 80, ai, j =   j = i + 4 y i = 1, 2, . . . , 76,   0.25i, cuando   j = i − 4 y i = 5, 6, . . . , 80,      0, en otro caso, y las de b son bi = π, para cada i = 1, 2, . . . , 80.

EJERCICIOS APLICADOS 10. Las fuerzas en los puentes peatonales descritas en la apertura de este capítulo satisfacen las ecuaciones en la siguiente tabla: Unión

Componente horizontal −F1 + −

√

2 2

√ 2 2

√

f1 + f2 = 0

f1 +

√ 3 2

√ − 22

f4 = 0

− f2 + f5 = 0

−

√ 3 2

Componente vertical 2 2

f 1 − F2 = 0

f1 − f3 −

1 2

f4 = 0

f 3 − 10 000 = 0 1 2

f4 − f5 = 0

f 4 − F3 = 0

Este sistema lineal se puede escribir en forma matricial                  

−1

0

0

0

−1

0

0

0

−1

√ 2 2 √ 2 2



1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 2

0

−1

− 12 0

 0    0    0    1    0     0  

0

0

0

√ − 22

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

√ − 22

0

0

0

0

0 √

3 2 √ − 23

−1

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F1





0

  F2   0    F3  0       f1   0 =   f2   0     f3 10 000     f4   0 f5

0



        .       

lOMoARcPSD|5123985

Capítulo 7 a. b.

Explique por qué se reordenó el sistema de ecuaciones. Aproxime la solución del sistema lineal resultante dentro de 1022 con la norma l∞ usando como aproximación inicial el vector cuyas entradas son números 1 y el método SOR con v 5 1.25. 11. Suponga que un objeto puede estar en cualquiera de los n 1 1 puntos igualmente espaciados x0 , x1 , . . . , xn . Cuando un objeto se encuentra en la ubicación xi, es igualmente probable que se mueva ya sea hacia xi−1 o hacia xi+1 y no se pueda mover directamente hacia cualquier otra ubicación. Considen de que un objeto que inicia en la ubicación x llegue al extremo izquierdo x re las probabilidades {Pi }i=0 i 0 antes de llegar al derecho xn. Claramente, P0 = 1 y Pn = 0. Puesto que el objeto se puede mover hacia xi sólo desde xi −1 o xi +1 y lo hace con una probabilidad 12 para cada una de estas ubicaciones, Pi =

a.

1 1 Pi−1 + Pi+1 , 2 2

para cada i = 1, 2, . . . , n − 1.

Muestre que             

0 . .... . . . . . . . . . . . 0. .. .. .. .. 1 − 12 . . − 21 . .. .. .. . . 1 . . .. 0. . . .− 2 . . 1 . . . . . . . .. . .. .. . . . . .. ... . .. .. 0 . . . . .. .. . . .. .. . 1 .. −1 .. 1 −2 .. 2 .. . 1 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 −1 − 12

1

2



   P1    P2   .   ..   Pn −1  





    =  

1 2

0 .. . 0



  . 

b. c.

Resuelva este sistema usando n 5 10, 50 y 100. Cambie las probabilidades de a y 1 2 a para movimiento hacia la izquierda y hacia la derecha, respectivamente y derive el sistema lineal similar al de la parte a). d. Repita la parte b) con α = 13 . 12. Un cable coaxial está formado por un conductor interno de 0.1 pulgadas cuadradas y uno externo de 0.5 pulgadas cuadradas. El potencial en un punto en la sección transversal del cable se describe con la ecuación de Laplace. Suponga que el conductor interno se mantiene en 0 volts y que el externo se mantiene en 110 volts. Aproximar el potencial entre los dos conductores requiere resolver el siguiente sistema lineal. (Consulte el ejercicio 7 de la sección 12.1.)



4

 −1    0    0   −1    0   0    0    0   0    0 0

a. b.

−1

4

−1

0

0

−1

0

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

4

0

0

0

4

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

−1

0

0

−1

−1

−1

0

0

0

4

−1

0

0

−1

0

0

4

−1

0

0

0

0

−1

0

0

0

4

0

0

0

−1

0

4

0

0

0

0

0

−1

−1

0

0

0

0

4

−1

−1

4

0

−1

¿La matriz es definida positiva? A pesar de que la matriz no es tridiagonal, sea ω=

2 1+

1 − [ρ(T j )]2

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.

0



 0     0    0    0    0    0     −1    0    0    −1  4

w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9 w 10 w 11 w 12





                  =                  

220 110 110 220 110 110 110 110 220 110 110 220



         .         

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Conjunto de ejercicios

c.

Aproxime la solución para el sistema lineal usando el método SOR con x(0) = 0 y TOL = 10−2 . ¿El método SOR supera a los métodos de Jacobi y Gauss-Siedel?

EJERCICIOS TEÓRICOS 13. Pruebe el teorema 7.24 de Kahan. [Sugerencia: Si λ1 , . . . , λn son eigenvalores de Tω , entonces n det Tω = i =1 λi . Puesto que D −1 = det(D − ωL)−1 y el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de los factores, el resultado sigue la ecuación (7.18).] 14. En el ejercicio 19 de la sección 7.3 se describió una técnica para probar que el método de Gauss-Siedel converge cuando A es una matriz definida positiva. Extienda este método de prueba para mostrar que en este caso también existe convergencia para el método SOR con 0 < ω < 2.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3.

¿El método de análisis en esta sección se puede aplicar a desigualdades lineales? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Por qué seleccionar xi(k) +1 para que una coordenada del vector residual sea cero no es necesariamente el método más eficiente para reducir la norma del vector ri(k) +1? A menudo, es deseable acelerar (sobre-relajación) o frenar (sub-relajación) los cambios en los valores de la variable dependiente de iteración a iteración. El proceso de sobre-relajación se utiliza con frecuencia junto con el método de Gauss-Siedel. ¿Cuándo se usa el proceso de sub-relajación?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.5 1.

2.

Calcule números de condición de las siguientes matrices relativas a · a.

1 2 1 3

c.

1 1.00001

2 2

b.

3.9 6.8

d.

1.003 5.550

c.

0.03

58.9

5.31

−6.10

58.09 321.8



1  0 0

−1 1 0

58.9 −6.10

b.

 −1 −1  −1

d.

∞.

1.6 2.9

Calcule números de condición de las siguientes matrices relativas a · a.

3.

1 3 1 4



0.04  0.2 1

∞.

0.03 5.31 0.01 0.5 2

 −0.01 −0.2  4

Los siguientes sistemas lineales Ax 5 b tienen x como la solución real xy − a x˜ como una solución aproximada. Por medio de los resultados del ejercicio 1, calcule x − x˜ a.

c.

1 x1 + 2 1 x1 + 3

1 1 x2 = , 3 63 1 1 x2 = , 4 168

x=

1 1 ,− 7 6

y

K ∞ (A)

b.

t

x˜ = (0.96, 1.02)t .

∞

.

3.9x1 + 1.6x2 = 5.5, x = (1, 1)t ,

x˜ = (0.98, 1.1)t .

,

1.0001x1 + 2x2 = 3.0001,

b − Ax˜ A ∞

6.8x1 + 2.9x2 = 9.7,

t

x˜ = (0.142, −0.166)t . x1 + 2x2 = 3,

x = (1, 1) ,

∞

d.

1.003x1 + 58.09x2 = 68.12, 5.550x1 + 321.8x2 = 377.3, x = (10, 1)t ,

x˜ = (−10, 1)t .

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Capítulo 7 4.

Los siguientes sistemas lineales Ax 5 b tienen x como la solución realxy− a x˜ como una solución aproximada. Por medio de los resultados del ejercicio 2, calcule x − x˜ a.

c.

y

∞

b − Ax˜ A ∞

K ∞ (A)

b.

0.03x1 + 58.9x2 = 59.2, 5.31x1 − 6.10x2 = 47.0,

−6.10x1 + 5.31x2 = 47.0,

x = (10, 1)t ,

x = (1, 10)t , x˜ = (1.02, 9.98)t .

x˜ = (30.0, 0.990)t . x1 − x2 − x3 = 2π,

d.

0.04x1 + 0.01x2 − 0.01x3 = 0.06, 0.2x1 + 0.5x2 − 0.2x3 = 0.3,

− x3 = π.

x1 +

2x2 +

4x3 = 11,

x = (0, −π, −π) ,

x = (1.827586, 0.6551724, 1.965517)t ,

x˜ = (−0.1, −3.15, −3.14)t .

x˜ = (1.8, 0.64, 1.9)t .

t

i) Utilice eliminación gaussiana y aritmética de tres dígitos para aproximar las soluciones de los siguientes sistemas lineales. ii) A continuación utilice una iteración de refinamiento iterativo para mejorar la aproximación y compare las aproximaciones con las soluciones reales. a.

0.03x1 + 58.9x2 = 59.2, 5.31x1 − 6.10x2 = 47.0. Solución real (10, 1)t .

b.

3.3330x1 + 15920x2 + 10.333x3 = 7953, 2.2220x1 + 16.710x2 + 9.6120x3 = 0.965, −1.5611x1 + 5.1792x2 − 1.6855x3 = 2.714. Solución real (1, 0.5, −1)t .

c.

d.

6. 7.

.

58.9x1 + 0.03x2 = 59.2,

x2 − x3 = 0,

5.

∞

1.19x1 + 2.11x2 − 100x3 + x4 = 1.12, 14.2x1 − 0.122x2 + 12.2x3 − x4 = 3.44, 100x2 − 99.9x3 + x4 = 2.15, 15.3x1 + 0.110x2 − 13.1x3 − x4 = 4.16. Solución real (0.17682530, 0.01269269, −0.02065405, −1.18260870)t . √ √ √ π x1 − ex2 + 2x3 − 3x4 = 11, 3 π 2 x1 + ex2 − e2 x3 + x4 = 0, √ √7 √ 5x1 − 6x2 + x3 − 2x4 = π, √ √ 1 3 2 x4 = 2. π x1 + e x2 − 7x3 + 9 Solución real (0.78839378, −3.12541367, 0.16759660, 4.55700252)t .

Repita el ejercicio 5 mediante aritmética de redondeo de cuatro dígitos. El sistema lineal 1 2 x1 3 = 1.0001 2 3.0001 x2 tiene solución (1, 1)t . Cambie A ligeramente por 1 0.9999

2 2

y considere el sistema lineal 1 0.9999

2 2

x1 x2

=

3 3.0001

.

Calcule la nueva solución mediante aritmética de redondeo de cinco dígitos y compare el error real con el cálculo (7.25). ¿A está mal condicionada?

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Conjunto de ejercicios 8.

El sistema lineal Ax 5 b dado por 1 1.00001

2 2

x1 x2

3 3.00001

=

tiene solución (1, 1)t . Utilice aritmética de redondeo de siete dígitos para encontrar la solución del sistema perturbado 1 1.000011

9.

2 2

x1 x2

3.00001 3.00003

=

y compare el error real con el estimado (7.25). ¿A está mal condicionada? La matriz de Hilbert H (n) n 5 n (consulte la página 380) definida por Hi(n) j =

1 , i + j −1

1 ≤ i, j ≤ n,

es una matriz mal condicionada que surge al resolver las ecuaciones normales de los coeficientes del polinomio de mínimos cuadrados (consulte el ejemplo 1 de la sección 8.2). a. Muestre que

[H (4) ]−1



16  −120  = 240 −140

−120 1200 −2700 1680

 −140 1680   −4200  2800

240 −2700 6480 −4200

y calcule K ∞ (H (4) ). b. Muestre que 

(5) −1

[H ]

c.

  =  

25 −300 1050 −1400 630

−300 4800 −18900 26880 −12600

1050 −18900 79380 −117600 56700

−1400 26880 −117600 179200 −88200

630 −12600 56700 −88200 44100

     

y calcule K ∞ (H (5) ). Resuelva el sistema lineal 

  x1  x2     H (4)   x3  =  x4

 1 0   0  1

mediante aritmética de redondeo de cinco dígitos y compare el error real con el estimado en (7.25). 10. A través de aritmética de redondeo de cuatro dígitos calcule la inversa H 21 de la matriz de Hilbert H ˆ = (H −1 )−1 . Determine ||H − H ˆ ||∞. de tamaño 3 3 3 y, a continuación, calcule H

EJERCICIOS TEÓRICOS 11. Muestre que si B es singular, entonces 1 || A − B|| ≤ . K (A) || A||

[Sugerencia: Existe un vector con ||x|| = 1, como Bx 5 0. Derive la estimación mediante || Ax|| ≥ ||x|| / ||A−1 ||.] 12. Usando el ejercicio 11, calcule los números de condición para las siguientes matrices: a.

1 1.0001

2 2

b.

3.9 6.8

1.6 2.9

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Capítulo 7

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2. 3.

Se puede juzgar la precisión de una aproximación x para Ax 5 b al calcular la magnitud del vector residual r 5 b 2 Ax mediante cualquier norma. Sin embargo, un residuo pequeño no necesariamente implica que el error en la solución es pequeño. ¿Por qué? ¿Qué se puede hacer para superar este problema? ¿Cuál es el valor real del número de condición de una matriz A dependiente de la norma matricial que se usa para calcularlo? En ese caso, proporcione ejemplos para respaldar su respuesta. ¿Por qué es difícil y/o poco práctico calcular con precisión el número de condición?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.6 1.

El sistema lineal 1 5 x2 = , 2 21 1 1 11 , x1 + x2 = 2 3 84 x1 +

2.

tiene la solución (x1 , x2 )t = (1/6, 1/7)t . a. Resuelva el sistema lineal mediante eliminación gaussiana con aritmética de redondeo de dos dígitos. b. Resuelva el sistema lineal usando el método de gradiente conjugado (C = C −1 = I ) con aritmética de redondeo de dos dígitos. c. ¿Qué método da la mejor respuesta? d. Seleccione C −1 = D −1/2 . ¿Esta elección mejora el método de gradiente conjugado? El sistema lineal 0.1x1 + 0.2x2 = 0.3, 0.2x1 + 113x2 = 113.2,

3.

tiene solución (x1 , x2 )t = (1, 1)t . Repita las instrucciones del ejercicio 1 en este sistema lineal. El sistema lineal 1 x2 + 2 1 1 x1 + x2 + 2 3 1 1 x1 + x2 + 3 4 x1 +

4. 5.

1 5 x3 = , 3 6 1 5 x3 = , 4 12 1 17 x3 = , 5 60

tiene solución (1, −1, 1)t . a. Resuelva el sistema lineal mediante eliminación gaussiana con aritmética de redondeo de tres dígitos. b. Resuelva el sistema lineal usando el método de gradiente conjugado con aritmética de redondeo de tres dígitos. c. ¿El pivoteo mejora la respuesta en a)? d. Repita la parte b) mediante C −1 = D −1/2 . ¿Esto mejora la respuesta en b)? Repita el ejercicio 3 por medio de aritmética de precisión única en una computadora. Realice sólo dos pasos del método de gradiente conjugado con (C = C −1 = I ) en cada uno de los siguientes sistemas lineales. Compare los resultados en las partes b) y c) para los resultados obtenidos en pares b) y c) del ejercicio 1 de la sección 7.3 y el ejercicio 1 de la sección 7.4. a.

b.

3x1 − x2 + x3 = 1,

−x1 + 6x2 + 2x3 = 0,

10

5

x2

= 9,

−x1 + 10x2 − 2x3 = 7,

x1 + 2x2 + 7x3 = 4.

c.

10x1 −

− 2x2 + 10x3 = 6.

6

d.

4

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2

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Conjunto de ejercicios + c.

+

=

10x1 + 5x2

= 6,

5x1 + 10x2 − 4x3

e.

− d.

= 25,

+

=

4x1 + x2 − x3 + x4 = −2, x1 + 4x2 − x3 − x4 = −1,

− 4x2 + 8x3 − x4 = −11,

−x1 − x2 + 5x3 + x4 = 0,

− x3 + 5x4 = −11.

x1 − x2 + x3 + 3x4 = 1.

4x1 + x2 + x3 +

x5 = 6,

f.

4x1 − x2

= 0,

= 6,

−x1 + 4x2 − x3

= 5,

x1 + x2 + 5x3 − x4 − x5 = 6,

− x2 + 4x3

x1 + 3x2 + x3 + x4 x2 − x3 + 4x4 x1

− x3 +

= 6, + 4x5 = 6.

= 0, + 4x4 − x5

= 6,

− x4 + 4x5 − x6 = −2, − x5 +4x6 = 6.

6. 7. 8. 9.

Repita el ejercicio 5 mediante C −1 = D −1/2 . Repita el ejercicio 5 con TOL = 10−3 con la norma l∞. Compare los resultados en las partes b) y c) con los obtenidos en los ejercicios 5 y 7 de la sección 7.3 y el ejercicio 5 de la sección 7.4. Repita el ejercicio 7 mediante C −1 = D −1/2 . Aproxime las soluciones para los siguientes sistemas lineales Ax 5 b dentro de 1025 con la norma l∞. i)

ai, j

 4, cuando j = i y i = 1, 2, . . . , 16,        j = i + 1 y i = 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15,         j = i − 1 y i = 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15, 16, = −1, cuando   j = i + 4 y i = 1, 2, . . . , 12,         j = i − 4 y i = 5, 6, . . . , 16,     0, en otro caso

y b = (1.902207, 1.051143, 1.175689, 3.480083, 0.819600, −0.264419, − 0.412789, 1.175689, 0.913337, −0.150209, −0.264419, 1.051143,

1.966694, 0.913337, 0.819600, 1.902207)t

ii)

ai, j

  4, cuando j = i y i = 1, 2, . . . , 25,         1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14,     j =i +1y i =       16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24,           2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, = −1, cuando j =i −1y i =   17, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25,             j = i + 5 y i = 1, 2, . . . , 20,        j = i − 5 y i = 6, 7, . . . , 25,       0, en otro caso

y b = (1, 0, −1, 0, 2, 1, 0, −1, 0, 2, 1, 0, −1, 0, 2, 1, 0, −1, 0, 2, 1, 0, −1, 0, 2)t

iii)

ai, j

  2i, cuando j = i y i = 1, 2, . . . , 40,      j = i + 1 y i = 1, 2, . . . , 39, = −1, cuando  j = i − 1 y i = 2, 3, . . . , 40,     0, en otro caso

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Capítulo 7 each i = 1, 2, . . . , 40 y bi = 1.5i − 6, for para cada a. Utilice el método de Jacobi. b. Utilice el método Gauss-Siedel. c. Utilice el método SOR con v 5 1.3 en i), v 5 1.2 en ii), y v 5 1.1 en iii). d. Utilice el método de gradiente conjugado y precondicionamiento con C −1 = D −1/2 . 10. Resuelva el sistema lineal en el ejercicio 14b) del conjunto de ejercicios 7.3 con el método de gradiente conjugado con C −1 = I . 11. Si 

4  −1 A1 =   0 0  0  0  O= 0 0

−1 4 −1 0 0 0 0 0

0 0 0 0

 0 0 −1 0  , 4 −1  −1 4  0 0  . 0  0



−1  0 −I =   0 0

0 −1 0 0

 0 0  , y 0  −1

0 0 −1 0

A partir de la matriz A de 16 3 16 en forma particionada 

A1  −I A=  O O

−I A1 −I O

 O O  . −I  A1

O −I A1 −I

Let Si b = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)t .

a. b. c.

Resuelva Ax 5 b usando el método de gradiente conjugado con tolerancia 0.05. Resuelva Ax 5 b usando el método de gradiente conjugado precondicionado con tolerancia C −1 = D −1/2 y tolerancia 0.05. ¿Hay alguna tolerancia para la que los métodos de la parte a) y b) requieran un número diferente de iteraciones?

EJERCICIOS APLICADOS 12. Un cable coaxial está fabricado con un conductor interno de 0.1 pulgadas cuadradas y un conductor externo de 0.5 pulgadas cuadradas. El potencial en un punto en la sección transversal del cable está descrito por la ecuación de Laplace. Suponga que un conductor interno se mantiene a 0 volts y el conductor externo se mantiene a 110 volts. Aproximar el potencial entre los dos conductores requiere resolver el siguiente sistema lineal. (Consulte el ejercicio 5 de la sección 12.1.) 

4

 −1    0    0   −1    0   0    0    0   0    0 0

−1

4

−1

0

0

−1

0

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

0

0

0

−1

0

0

4

0

0

0

4

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

−1

0

0

−1

−1

−1

0

0

0

4

−1

0

0

−1

0

0

4

−1

0

0

4

0

0

0

−1

0

4

0

0

0

0

0

−1

−1

0

0

0

0

4

−1

0

−1

4

−1

0



 0     0    0    0    0    0     −1    0    0    −1 

w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9 w 10 w 11 w 12





                  =                  

220 110 110 220 110 110 110 110 220 110 110 220



         .         

4

Resuelva el sistema lineal usando el método de gradiente conjugado con TOL = 10−2 y C −1 = D −1 . Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

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Conjunto de ejercicios 13. Suponga que un objeto puede estar en alguno de los n 1 1 puntos igualmente espaciados x0 , x1 , . . . , xn . Cuando un objeto se encuentra en la ubicación xi, es igualmente probable que se mueva ya sea hacia xi−1 o xi+1 y no se mueva directamente a cualquier otra ubicación. Considere las probabilidades { Pi }in=0 de que un objeto que comienza en la ubicación xi llegará al extremo izquierdo x0 antes de llegar al extremo derecho xn. Claramente, P0 5 1 y Pn 5 1. Puesto que el objeto se puede mover hacia xi sólo desde xi−1 o xi+1 y lo hace con una probabilidad de 12 para cada una de estas ubicaciones, Pi =

a.

           

d.

para cada i = 1, 2, . . . , n − 1.

Muestre que 

b. c.

1 1 Pi−1 + Pi+1 , 2 2

0 . .... . . . . . . . . . . . 0. .. .. .. .. − 12 1 − 21 . . .. .. .. . .. . 0. . . .− 12 . . 1 . . . . . . . .. . . .. .. .. . . . . .. . . .. .. .. 0 . . . . .. .. . . .. .. . .. −1 .. 1 − 21 . 2 .. .. 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 − 12 1 1

− 12



   P1    P2   .   ..   Pn −1  





    =  

1 2

0 .. . 0



  . 

Resuelva este sistema usando n 5 10, 50 y 100. Cambie las probabilidades de a y 1 2 a para movimiento hacia la izquierda y derecha, respectivamente y derive el sistema lineal de manera similar al de la parte a). Repita la parte b) con α = 31 .

EJERCICIOS TEÓRICOS 14. Utilice las propiedades de transposición dadas en el teorema 6.14 en la página 295 para probar el teorema 7.30. 15. a. Muestre que un conjunto de vectores diferentes de cero ortogonal a A relacionados con una matriz definida positiva es linealmente independiente. b. Muestre que si {v(1) , v(2) , . . . , v(n) } es un conjunto de vectores diferentes a cero ortogonal a A en R y zt v(i) = 0, para cada i = 1, 2, . . . , n, cuando z = 0. 16. Pruebe el teorema 7.33 mediante inducción matemática de acuerdo con lo siguiente: a. Muestre que r(1) , v(1) = 0. b. Suponga que r(k) , v( j) = 0, para cada k ≤ l y j = 1, 2, . . . , k, y muestre que esto implica que r(l+1) , v( j) = 0, para cada j = 1, 2, . . . , l. c. Muestre que r(l +1) , v(l +1) = 0. ˜ Utilíce17. En el ejemplo 3, se encontraron los eigenvalores para la matriz A y la matriz condicionada A. ˜ con la norma l2. los para determinar los números de condición de A y A.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

El método de gradiente conjugado se puede usar para resolver el sistema de ecuaciones lineales Ax 5 b, donde A es una matriz semidefinida positiva simétrica y singular. Sin embargo, el método diverge en ciertas condiciones. ¿Cuáles son? ¿La divergencia se puede evitar? El método de gradiente conjugado se puede usar como método directo o iterativo. Analice cómo se puede utilizar en cada instancia.

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Capítulo 7

PREGUNTAS DE ANÁLISIS (FINAL DEL CAPÍTULO) 1.

2. 3. 4.

PARALUTION es una biblioteca de código abierto para métodos iterativos dispersos con enfoque especial en tecnología multinúcleo y aceleradora como GPU. Proporcione una descripción general de este método. Proporcione una descripción general del kit de herramientas BPKIT. Proporcione una descripción general de la biblioteca SuperLU. Proporcione una descripción general del proyecto CERFACS.

CONCEPTOS CLAVE Bien condicionada Condición de ortogonalidad de A Desigualdad de CauchyBunyakovsky-Schwartz Distancia Distancia entre matrices Eigenvalor Eigenvector Mal condicionada

Matriz convergente Método de Gauss-Siedel Método de gradiente conjugado Método de Jacobi Norma del vector entre vectores Norma euclidiana Norma infinita Norma matricial

Número de condición Polinomio característico Precondicionamiento Radio espectral Refinamiento iterativo Sobre-relajación Stein-Rosenberg Sub-relajación Técnica iterativa SOR Vector residual

REVISIÓN DEL CAPÍTULO En este capítulo estudiamos técnicas iterativas para aproximar la solución de los sistemas lineales. Comenzamos con los métodos de Jacobi y Gauss-Siedel para introducir los métodos iterativos. Ambos requieren una aproximación inicial arbitraria x(0) y generan una sucesión de vectores x(i +1) mediante una ecuación de la forma

x(i+1) = T x(i) + c. Se observó que el método converge si y sólo si el radio espectral de la matriz de iteración ρ(T ) < 1, y mientras el radio espectral sea más pequeño, más rápida será la convergencia. El análisis de vectores residuales de la técnica de Gauss-Siedel condujo al método iterativo SOR, que implica un parámetro v para acelerar la convergencia. Estos métodos iterativos y modificaciones se utilizan ampliamente en la solución de sistemas lineales que surgen en la solución numérica de los problemas de valores en la frontera y ecuaciones diferenciales parciales (consulte los capítulos 11 y 12). A menudo, estos sistemas son muy grandes, en el orden de 10 000 ecuaciones en 10 000 incógnitas y están dispersos con sus entradas diferentes a cero en posiciones predecibles. Los métodos iterativos también son útiles para otros grandes sistemas dispersos y se adaptan fácilmente para uso eficiente en computadoras paralelas. Más información sobre el uso de métodos iterativos para resolver sistemas lineales se pueden encontrar en Varga [Var1], Young [Y], Hageman y Young [HY] y Axelsson [Ax]. Los métodos iterativos para grandes sistemas se analizan en Barrett et al. [Barr], Hackbusch [Hac], Kelley [Kelley] y Saad [Sa2].

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Capítulo 8 CONJUNTO DE EJERCICIOS 8.1 1. 2. 3.

Calcule el polinomio lineal por mínimos cuadrados para los datos del ejemplo 2. Calcule el polinomio por mínimos cuadrados de grado 2 para los datos del ejemplo 1 y compare el error E para los dos polinomios. Encuentre los polinomios por mínimos cuadrados de grados 1, 2 y 3 para los datos en la siguiente tabla. Calcule el error E en cada caso. Grafique los datos y los polinomios. xi yi

4.

1.3 2.21

1.5 2.45

1.9 2.94

2.1 3.18

0 1.0

0.15 1.004

0.31 1.031

0.5 1.117

0.6 1.223

0.75 1.422

Dados los datos: 4.0 102.56

xi yi

6.

1.1 1.96

Encuentre los polinomios por mínimos cuadrados de grados 1, 2 y 3 para los datos en la siguiente tabla. Calcule el error E en cada caso. Grafique los datos y los polinomios. xi yi

5.

1.0 1.84

4.2 113.18

4.5 130.11

4.7 142.05

5.1 167.53

5.5 195.14

5.9 224.87

6.3 256.73

6.8 299.50

7.1 326.72

a. Construya el polinomio por mínimos cuadrados de grado 1 y calcule el error. b. Construya el polinomio por mínimos cuadrados de grado 2 y calcule el error. c. Construya el polinomio por mínimos cuadrados de grado 3 y calcule el error. d. Construya el polinomio por mínimos cuadrados de la forma beax y calcule el error. e. Construya el polinomio por mínimos cuadrados de la forma bxa y calcule el error. Repita el ejercicio 5 para los siguientes datos. xi yi

0.2 0.050446

0.3 0.098426

0.6 0.33277

0.9 0.72660

1.1 1.0972

1.3 1.5697

1.4 1.8487

1.6 2.5015

EJERCICIOS APLICADOS 7.

En el ejemplo principal de este capítulo se describió un experimento para determinar la constante k del resorte en la ley de Hooke: F(l) = k(l − E).

La función F es la fuerza requerida para estirar el resorte l unidades, donde la constante E 5 5.3 pulgadas, es la longitud del resorte sin estirar. a. Suponga que se realizan las medidas de la longitud l, en pulgadas, para pesos aplicados F(l), en libras, de acuerdo con la siguiente tabla. F(l)

l

2 4 6

7.0 9.4 12.3

Encuentre la aproximación por mínimos cuadrados para k.

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Capítulo 8 b.

8.

Se realizan mediciones adicionales, que proporcionan más datos: l

3 5 8 10

8.3 11.3 14.4 15.9

Calcule la nueva aproximación por mínimos cuadrados de k. ¿a) o b) se ajusta mejor a los datos experimentales totales? La siguiente lista contiene calificaciones de tareas escolares y las calificaciones del examen final de 30 estudiantes de análisis numérico. Encuentre la ecuación de la recta por mínimos cuadrados para estos datos y úsela para determinar la calificación de tareas escolares que se requiere en la predicción de las calificaciones mínimas A (90%) y D (60%) en el examen final. Tarea 302 325 285 339 334 322 331 279 316 347 343 290 326 233 254

9.

F(l)

Final

Tarea

Final

45 72 54 54 79 65 99 63 65 99 83 74 76 57 45

323 337 337 304 319 234 337 351 339 343 314 344 185 340 316

83 99 70 62 66 51 53 100 67 83 42 79 59 75 45

La siguiente tabla muestra los promedios de puntos del colegio de 20 especialistas en matemáticas y ciencias computacionales, junto con las calificaciones que recibieron estos estudiantes en la parte de matemáticas de la prueba ACT (Programa de Pruebas de Colegios Americanos) mientras estaban en secundaria. Grafique estos datos y encuentre la ecuación de la recta por mínimos cuadrados para estos datos. Puntuación ACT 28 25 28 27 28 33 28 29 23 27

Promedio Puntuación Promedio de puntos de puntos ACT 3.84 3.21 3.23 3.63 3.75 3.20 3.41 3.38 3.53 2.03

29 28 27 29 21 28 28 26 30 24

3.75 3.65 3.87 3.75 1.66 3.12 2.96 2.92 3.10 2.81

10. El siguiente conjunto de datos, presentado al Subcomité Antimonopolio del Senado, muestra las características comparativas de supervivencia durante un choque de automóviles de diferentes clases. Encuentre la recta por mínimos cuadrados que aproxima estos datos (la tabla muestra el porcentaje de vehículos que participaron en un accidente en los que la lesión más grave fue fatal o seria).

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Conjunto de ejercicios

Peso Porcentaje promedio de presentación

Tipo 1. Regular lujoso doméstico 2. Regular intermediario doméstico 3. Regular económico doméstico 4. Compacto doméstico 5. Compacto extranjero

4800 lb 3700 lb 3400 lb 2800 lb 1900 lb

3.1 4.0 5.2 6.4 9.6

11. Para determinar una relación entre el número de peces y el número de especies de peces en muestras tomadas para una parte de la Gran Barrera de Coral, P. Sale y R. Dybdahl [SD] ajustaron polinomios lineales por mínimos cuadrados al siguiente conjunto de datos, los cuales se recopilaron en muestras durante un periodo de 2 años. Sea x el número de peces en la muestra y y el número de especies en la muestra. x

y

x

y

x

y

13 15 16 21 22 23 25

11 10 11 12 12 13 13

29 30 31 36 40 42 55

12 14 16 17 13 14 22

60 62 64 70 72 100 130

14 21 21 24 17 23 34

Determine el polinomio lineal por mínimos cuadrados para estos datos. 12. Para determinar una relación funcional entre el coeficiente de atenuación y el espesor de una muestra de taconita, V. P. Singh [Si] ajustó un conjunto de datos al utilizar un polinomio lineal por mínimos cuadrados. El siguiente conjunto de datos se toma a partir de una gráfica en ese artículo. Encuentre el polinomio lineal por mínimos cuadrados que se ajusta a estos datos Espesor (cm) 0.040 0.041 0.055 0.056 0.062 0.071 0.071 0.078 0.082 0.090 0.092 0.100 0.105 0.120 0.123 0.130 0.140

Coeficiente de atenuación (dB/cm) 26.5 28.1 25.2 26.0 24.0 25.0 26.4 27.2 25.6 25.0 26.8 24.8 27.0 25.0 27.3 26.9 26.2

13. En un artículo que trata de la eficiencia de la utilización de energía de una larva de polilla esfinge modesta (Pachysphinx modesta), L. Schroeder [Schr1] utilizó los siguientes datos para determinar una relación entre W, el peso vivo de la larva en gramos y R, el consumo de oxígeno de la larva en milímetros/hora. Por razones biológicas, se supone que existe una relación de la forma R 5 bW a entre W y R.

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Capítulo 8 a.

Encuentre el polinomio lineal por mínimos cuadrados mediante ln R = ln b + a ln W .

b.

Calcule el error relacionado con la aproximación en la parte a): 37

(Ri − bWia )2 .

E= i=1

c. d.

Modifique la ecuación logarítmica de mínimos cuadrados en la parte a) al sumar el término cuadrático c (ln Wi )2 y determine el polinomio logarítmico por mínimos cuadrados. Determine la fórmula y calcule el error relacionado con la aproximación en la parte c). W

R

W

R

W

R

W

R

W

R

0.017 0.087 0.174 1.11 1.74 4.09 5.45 5.96

0.154 0.296 0.363 0.531 2.23 3.58 3.52 2.40

0.025 0.111 0.211 0.999 3.02 4.28 4.58 4.68

0.23 0.357 0.366 0.771 2.01 3.28 2.96 5.10

0.020 0.085 0.171 1.29 3.04 4.29 5.30

0.181 0.260 0.334 0.87 3.59 3.40 3.88

0.020 0.119 0.210 1.32 3.34 5.48

0.180 0.299 0.428 1.15 2.83 4.15

0.025 0.233 0.783 1.35 1.69 2.75 4.83 5.53

0.234 0.537 1.47 2.48 1.44 1.84 4.66 6.94

EJERCICIOS TEÓRICOS 14. Muestre que las ecuaciones normales (8.3) que resultan de la aproximación discreta por mínimos cuadrados producen una matriz simétrica y no singular y, por tanto, tienen una solución única. [Sugerencia:Let Si A = (ai j ), donde m i+ j−2

xk

ai j = k=1

y x1 , x2 , . . . , xm son distintos con n < m − 1. Suponga que A es singular y que c = 0 es tal que ctA c = 0. Muestre que el polinomio de enésimo grado cuyos coeficientes son las coordenadas de c tiene más de n raíces y utilícelas para establecer una contradicción.]

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3.

Uno o dos valores atípicos pueden desviar en gran medida los resultados de un análisis de mínimos cuadrados. ¿Por qué sucede esto? ¿Cómo podemos manejar los valores atípicos para garantizar que los resultados del análisis de mínimos cuadrados son válidos? Existen dos tipos diferentes de error de redondeo (de corte y de redondeo) que existe al utilizar una computadora o calculadora. Analice cómo afecta cada uno la aproximación polinomial lineal por mínimos cuadrados.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 8.2 1.

Encuentre la aproximación polinomial lineal por mínimos cuadrados para f (x) en el intervalo indicado si a. c. e.

f(x) = x 2 + 3x + 2, [0, 1]; 1 f (x) = , [1, 3]; x 1 1 f (x) = cos x + sen 2x, [0, 1]; 2 3

b.

f (x) = x 3 , x

[0, 2];

d.

f (x) = e ,

f.

f (x) = x ln x,

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[0, 2]; [1, 3].

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Conjunto de ejercicios 2.

Encuentre la aproximación polinomial lineal por mínimos cuadrados en el intervalo [21, 1] para las siguientes funciones. a. c. e.

3. 4. 5. 6. 7.

f (x) = x 2 − 2x + 3 1 f (x) = x +2 1 1 f (x) = cos x + sen 2x 2 3

b.

f (x) = x 3

d.

f (x) = e x

f.

f (x) = ln(x + 2)

Encuentre la aproximación polinomial por mínimos cuadrados de grado 2 para las funciones y los intervalos en el ejercicio 1. Encuentre la aproximación polinomial por mínimos cuadrados de grado 2 en el intervalo [21, 1] para las funciones en el ejercicio 3. Calcule el error E para las aproximaciones en el ejercicio 3. Calcule el error E para las aproximaciones en el ejercicio 4. Utilice el proceso Gram-Schmidt para construir φ0 (x), φ1 (x), φ2 (x), x), y φ3 (x) para los siguientes intervalos. a. [0, 1] b. [0, 2] c. [1, 3]

8. 9.

Repita el ejercicio 1 con los resultados del ejercicio 7. Obtenga el polinomio de aproximación por mínimos cuadrados de grado 3 para las funciones en el ejercicio 1 por medio de los resultados del ejercicio 7. 10. Repita el ejercicio 3 con los resultados del ejercicio 7. onde {L 0 (x), L 1 (x), L 2 (x), L 3 (x)} 11. Utilice el procedimiento Gram-Schmidt para calcular L1, L2 y L3, donde es un conjunto ortogonal de polinomios en (0, ∞) respecto a las funciones de peso w (x) = e−x y L 0 (x) ≡ 1. Los polinomios obtenidos a partir de este procedimiento reciben el nombre de polinomios de Laguerre. 12. Utilice los polinomios de Laguerre calculados en el ejercicio 11 para calcular los polinomios de mínimos cuadrados de grado 1, 2 y 3 en el intervalo (0, ∞) respecto a la función de peso w(x) = e−x para las siguientes funciones: a.

f (x) = x 2

b.

f (x) = e−x

c.

f (x) = x 3

d.

f (x) = e−2x

EJERCICIOS TEÓRICOS 13. Suponga que {φ0 , φ1 , . . . , φn } es cualquier conjunto linealmente independiente en para cualquier elemento Q ∈ n , existen constantes únicas c0 ,c1 ,... ,cn , tales que

n.

Muestre que

n

Q (x) =

ck φk (x). k=0

14. Muestre que si {φ0 , φ1 , . . . , φn } es un conjunto ortogonal de funciones en [a, b] respecto a la función de peso w, entonces {φ0 , φ1 , . . . , φn } es un conjunto linealmente independiente. 15. Muestre que las ecuaciones normales (8.6) tienen una solución única. [Sugerencia: Muestre que la única solución para la función f (x) ≡ 0 es a j = 0, j = 0, 1, . . . , n. Multiplique la ecuación (8.6) por aj y sume sobre todas las j. Intercambie el signo de la integral y sumatoria para obtener b [P(x)]2 d x = 0. Por lo tanto, P (x) ≡ 0, por lo que a j = 0, for for j = 0, . . . , n. Por lo tanto la matriz para a de coeficientes es no singular y existe una única solución para la ecuación (8.6)].

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3.

Existen dos tipos diferentes de error (de corte y de redondeo) que existen al usar una computadora o calculadora. Analice cómo afecta cada uno la aproximación polinomial por mínimos cuadrados. A través de ortogonalidad, ¿se resuelve el problema de error de redondeo? Analice por lo menos una desventaja de utilizar la aproximación por mínimos cuadrados.

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Capítulo 8

CONJUNTO DE EJERCICIOS 8.3 1.

Utilice los ceros de T˜3 para construir un polinomio de interpolación de grado 2 para las siguientes funciones en el intervalo [21, 1]. a.

2. 3. 4. 5.

c.

7.

b.

f (x) = sen x

c.

f (x) = ln(x + 2) d.

f (x) = x 4

Utilice los ceros de T˜4 para construir un polinomio de interpolación de grado 3 para las funciones en el ejercicio 1. Encuentre una cota para el error máximo de la aproximación en el ejercicio 1 en el intervalo [21, 1]. Repita el ejercicio 3 para las aproximaciones calculadas en el ejercicio 3. Utilice los ceros de T˜3 y transformaciones del intervalo provisto para construir un polinomio de interpolación de grado 2 para las siguientes funciones. a.

6.

f (x) = e x

1 , [1, 3] x 1 1 f (x) = cos x + sen 2x, [0, 1] 2 3 f (x) =

b.

f (x) = e−x ,

d.

f (x) = x ln x,

[0, 2] [1, 3]

Encuentre el sexto polinomio de Maclaurin para x ex y utilice economización de Chebyshev para obtener una aproximación polinomial de menor grado mientras se mantiene el error menor a 0.01 en [21, 1]. Encuentre el sexto polinomio de Maclaurin para sen x y utilice economización de Chebyshev para obtener una aproximación polinomial de menor grado mientras se mantiene el error menor a 0.01 en [21, 1].

EJERCICIOS APLICADOS Los polinomios de Chebyshev Tn(x) son soluciones para las ecuaciones diferenciales (1−x 2 )y y −x y +n 2 y = 0 para n 5 0, 1, 2, . . . . Verifique este hecho para n 5 0, 1, 2, 3. 9. Un hecho interesante es que Tn(x) es igual al determinante de la matriz tridiagonal n por n   x 1 0.. .. .. . . . . . . .0.. . . . .  1 . 2x . 1 . .  . . . . . . . . . . . . . ...   .   . . . . . . . 0 . A =  0. . . . .  . . . . . . . . . . . . .. . . .  . ...  . . .. .  . . . . . . . 1. . . 0 . . . . . . . . ..0.. 1 2x

8.

Verifique este hecho para n 5 1, 2, 3.

EJERCICIOS TEÓRICOS 10. Muestre que para cualquier entero positivo i y j con i > j, se tiene Ti (x)T j (x) = 12 [Ti+ j (x) + Ti− j (x)]. 11. Muestre que para cada polinomio de Chebyshev Tn(x), se tiene 1 −1

[Tn (x)]2 π √ dx = . 2 2 1−x

12. Muestre que para cada n, el polinomio de Chebyshev Tn(x) tiene n ceros diferentes en (21, 1). 13. Muestre que para cada n, la derivada del polinomio de Chebyshev Tn(x) tiene n 2 1 ceros diferentes en (21, 1).

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2.

Al utilizar los ceros de los polinomios de Chebyshev como nodos para interpolación, ¿se introducen o se resuelven problemas de error de redondeo? ¿La economización de Chebyshev se puede utilizar para reducir el grado de un polinomio de aproximación por mínimos cuadrados? Analice los pros y los contras.

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Conjunto de ejercicios

CONJUNTO DE EJERCICIOS 8.4 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7.

Determine todas las aproximaciones de Padé de grado 2 para f (x) = e2x . Compare los resultados en xi = 0.2i, para i = 1,2,3,4,5, con los valores reales f (xi ). Determine todas las aproximaciones de Padé de grado 3 para f (x) = x ln(x +1). Compare los resultados en xi = 0.2i, para i = 1,2,3,4,5, con los valores reales f (xi ). Determine la aproximación de grado 5 con n = 2 y m = 3 para f (x) = e x . Compare los resultados en xi = 0.2i, para i = 1,2,3,4,5, con los del quinto polinomio de Maclaurin. Repita el ejercicio 3 por medio de la aproximación de Padé de grado 5 con n 5 3 y m 5 2. Compare los resultados en cada xi con los calculados en el ejercicio 3. Determine las aproximaciones de Padé de grado 5 con n 5 m 5 3 para f (x) 5 sen x. Compare los resultados en xi = 0.1i, para i = 0, 1, . . . , 5, con los resultados exactos y con los resultados del sexto polinomio de Maclaurin. Determine las aproximaciones de grado 4 con a) n 5 2, m 5 4 y b) n 5 4, m 5 2, para f (x) 5 sen x. Compare los resultados en cada xi con los obtenidos en el ejercicio 5. La tabla 8.10 enumera los resultados de la aproximación de Padé de grado 5 con n 5 3 y m 5 2, el quinto polinomio de Maclaurin y los valores exactos de f (x) = e−x cuando xi = 0.2i, para i = 1,2,3,4,5,. Compare estos resultados con los producidos a partir de las aproximaciones de Padé de grado 5. a.

8.

n = 0, m = 5

b.

c.

n = 1, m = 4

n = 3, m = 2

d.

n = 4, m = 1

Exprese las siguientes funciones racionales en forma de fracción continuada: a. c.

x 2 + 3x + 2 x2 − x + 1 2x 3 − 3x 2 + 4x − 5 x 2 + 2x + 4

b. d.

4x 2 + 3x − 7 2x 3 + x 2 − x + 5 2x 3 + x 2 − x + 3 3x 3 + 2x 2 − x + 1

Encuentre todas las aproximaciones racionales de Chebyshev de grado 2 para f (x) = e−x. ¿Cuál da la mejor aproximación para f (x) = e−x en x 5 0.25, 0.5 y 1? 10. Encuentre todas las aproximaciones racionales de Chebyshev de grado 3 para f (x) 5 cos x. ¿Cuál da la mejor aproximación para f (x) = cos x en x = π/4 y π/3? 11. Encuentre la aproximación racional de Chebyshev de grado 4 con n 5 m 5 2 para f (x) 5 sen x. Compare los resultados en xi = 0.1i, para i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, a partir de esta aproximación con los obtenidos en el ejercicio 5 a través de la aproximación de Padé de grado 6. 12. Encuentre todas las aproximaciones racionales de Chebyshev de grado 5 para f (x) 5 e x. Compare los resultados en xi = 0.2i, para i = 1, 2, 3, 4, 5, con los obtenidos en los ejercicios 3 y 4. 9.

EJERCICIOS APLICADOS 13. Para aproximar con exactitud f (x) 5 e x para su inclusión en una biblioteca matemática, primero restrin√ gimos el dominio de f. Dado un número real x, divídalo entre ln 10 para obtener la relación x = M · ln

√ 10 + s,

√ donde M es un entero y s es un número real que satisface |s | ≤ 12 ln 10. a. Muestre que e x = es · 10 M/2 . b. Construya una aproximación de función racional para e s mediante n 5 m 5 3. Calcule el error √ cuando 0 ≤ |s| ≤ 12 ln 10. c. Diseñe una implementación de e x por medio de los resultados de las partes a) y b) y las aproximaciones √ 1 √ = 0. 8685889638 y 10 = 3.162277660. ln 10

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Capítulo 8 14. Para aproximar con exactitud sen x y cos x para inclusión en una biblioteca matemática, primero restrinja sus dominios. Dado un número real x, divida entre p para obtener la relación |x| = Mπ + s,

a. b. c. d.

donde M es un entero y |s| ≤

π . 2

Muestre que sen x = sgn(x) · (−1) M · sen s. Construya una aproximación racional para sen s por medio de n 5 m 5 4. Calcule el error cuando 0 ≤ |s| ≤ π/2. Diseñe una implementación de x por medio de los resultados de las partes a) y b). Repita la parte c) para cos x mediante el hecho de que cos x = sen(x + π/2).

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3.

En esta sección analizamos la técnica de aproximación de Padé. Compare esta técnica con la de aproximación de Chisholm. ¿Se puede aplicar una técnica de aproximación de Padé a una función armónica de valor complejo en el disco unidad? ¿Qué es la interpolación baricéntrica tipo Padé y cómo se usa en sentido de mínimos cuadrados?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 8.5 1. 2. 3. 4. 5.

Encuentre el polinomio trigonométrico de mínimos cuadrados continuos S2(x) para f (x) 5 x2 en [2π, π]. Encuentre el polinomio trigonométrico de mínimos cuadrados continuos Sn(x) para f (x) 5 x en [2π, π]. Encuentre el polinomio trigonométrico de mínimos cuadrados continuos S3(x) para f (x) 5 ex en [2π, π]. Encuentre el polinomio general trigonométrico de mínimos cuadrados continuos Sn(x) para f (x) 5 ex en [2π, π]. Encuentre el polinomio general trigonométrico de mínimos cuadrados continuos Sn(x) para f (x) =

6.

si − π < x ≤ 0, si 0 < x < π.

Encuentre el polinomio general trigonométrico de mínimos cuadrados continuos Sn(x) para f (x) =

7.

0, 1,

−1, 1,

si −π < x < 0. si 0 ≤ x ≤ π .

Determine el polinomio trigonométrico de mínimos cuadrados discretos Sn(x) en el intervalo [2π, π] para las siguientes funciones, por medio de los valores dados de m y n: a. c.

f (x) = cos 2x, m = 4, n = 2 f (x) = sen x2 + 2 cos x3 , m = 6, n = 3

b. d.

f (x) = cos 3x, m = 4, n = 2 f (x) = x 2 cos x, m = 6, n = 3

8. 9. 4 for 10.

Calcule el error E(Sn) para cada una de las funciones del ejercicio 7. Determine el polinomio trigonométrico de mínimos cuadrados discretos S3(x), por medio de m 5 4 para f (x) = e x cos 2x en el intervalo [2π, π]. Calcule el error E(S3). Repita el ejercicio 9, con m 5 8. Compare los valores de los polinomios de aproximación con los va, for 0 ≤ j≤ 10. ¿Qué aproximación es mejor? lores de f en los puntos ξ j = −π + 0.2 jπ, fpara for 2 ≤ x ≤ 4. Determine los polinomios trigonométricos de míni11. Si f (x) = 2 tan x − sec 2x, for para mos cuadrados discretos Sn(x), usando los valores de n y m como sigue y calcule el error en cada caso. a.

n = 3,

m=6

b.

n = 4,

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m=6

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Conjunto de ejercicios 12. a. Determine el polinomio trigonométrico de mínimos cuadrados discretos S4(x) m = 16, para f para f (x) = x 2 sen x en el intervalo [0, 1]. 1 b. Calcule 0 S 4 (x) d x. 1 c. Compare la integral en la parte b) 0 x 2 sen x d x.

EJERCICIOS APLICADOS 13. La tabla lista los Promedios Industriales Dow Jones de cierre (DJIA) del primer día que abre el mercado para los meses de marzo de 2013 a junio de 2014. Entrada 0

Abril

2

Mayo

3

Junio

5 6

Noviembre

9

a. b. c. d.

Enero

11

Febrero

12

Marzo

13

Abril

14

Mayo

15

Junio

15254

2013

14975

2013

14834

2013

15628

2013

15193

2013

15616

2013

Diciembre

10

14701

2013

Septiembre Octubre

14573

2013

Agosto

8

14090

2013

Julio

7

DJIA

2013

Marzo

1

4

Año

Mes

16009

2014

16441

2014

15373

2014

16168

2014

16559

2014

16533

2014

16744

Construya el polinomio trigonométrico de mínimos cuadrados discretos de grado 4 para los datos anteriores. Aproxime los promedios de cierre el 8 de abril de 2013 y el 8 de abril de 2014 mediante el polinomio construido en la parte a). El cierre en los días provistos en la parte b) fueron 14 613 y 16 256. En general, ¿Qué tan bien cree que este polinomio puede predecir los promedios de cierre? Aproxime el cierre para 17 de junio de 2014. El cierre real fue 166 808. ¿Esta predicción fue útil?

gm 14. La temperatura u(x, t) en una barra de plata de longitud L 5 10 cm, densidad ρ = 10.6 3 , conduccm cal cal tividad térmica K = 1.04 que está literalmente , y calor específico σ = 0.056 cm ∗ deg ∗ s gm ∗ deg aislado y cuyos extremos se mantienen en 0 ◦ C está regida por la ecuación ∂ ∂2 u(x, t) = β 2 u(x, t), ∂t ∂x

0 < x < L,

0 |λ2 | > |λ3 | ≥ · · · ≥ |λn |,

a.

con eigenvectores linealmente independientes v(1) , v(2) , . . . , v(n) . Muestre que si se aplica el método de potencia con un vector inicial x(0) determinado por x(0) =

β2 v(2) +

β3 v(3) + · · · + βn v(n) ,

entonces la sucesión { µ(m) } descrita en el algoritmo 9.1 convergerá en λ2. n βi v(i) , el vector x(0) = (A − λ1 I )x satisface la Muestre que para cualquier vector x = i=1 propiedad determinada en la parte a). c. Obtenga una aproximación para λ2 para las matrices en el ejercicio 1. d. Muestre que este método puede continuar para encontrar λ3 mediante x(0) = (A − λ2 I )(A − λ1 I )x. 25. Muestre que la i-ésima fila de B = A − λ1 v(1) xt es cero, donde λ1 es el mayor valor de A en valor absoluto, v(1) es el eigenvector asociado de A para λ1 y x es el vector definido en la ecuación (9.7). b.

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Conjunto de ejercicios

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2. 3.

El método de potencia se puede usar para encontrar el eigenvalor dominante de una matriz simétrica. El método requiere una aproximación inicial. ¿Cómo se puede seleccionar esta aproximación inicial en la práctica? ¿El método de potencia funciona si el eigenvalor dominante tiene multiplicidad r? En este caso, ¿cuál sería el eigenvector calculado? Describa el método de cociente de Rayleigh. ¿Cómo se compara el error con el método de potencia?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 9.4 1.

2.

Use el método de Householder para transformar las siguientes matrices en forma tridiagonal.     12 10 4 2 −1 −1 8 −5  2 −1  a.  10 b.  −1 4 −5 3 −1 −1 2     1 1 1 4.75 2.25 −0.25 1.25  c.  1 1 0  d.  2.25 4.75 1 0 1 −0.25 1.25 4.75 Use el método de Householder para transformar las siguientes matrices en forma tridiagonal.     4 −1 −1 0 5 −2 −0.5 1.5  −1  −2 4 0 −1  5 1.5 −0.5    a.  b.   −1   0 4 −1 −0.5 1.5 5 −2  0 −1 −1 1.5 −0.5 −2 5 4   8 0.25 0.5 2 −1  0.25 −4 0 1 2     0.5 0 5 0.75 −1 c.     2 1 0.75 5 −0.5  −1 2 −1 −0.5 6  d.

3.

    

2 −1 −1 0 0

−1 3 0 −2 0

−1 0 4 2 1

0 −2 2 8 3

0 0 1 3 9

     

Modifique el algoritmo 9.5 del método de Householder para calcular las matrices similares de Hessenberg superior para las siguientes matrices no simétricas.

a.

c.



2  2 −2  5  0   1 −1

−1 0 1

 3 1  4

−2 4 3 4

−3 2 −5 0

b.  4 −1   2  3

d.



−1  2 3  4  −1   −1 −1

2 3 1 −1 4 −1 −1

 3 −2  −1 −1 0 4 −1

 −1 −1   −1  4

EJERCICIOS APLICADOS 4.

El siguiente sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales de primer orden x1 (t) = 5x1 (t) − x2 (t) + 2x3 (t) + x4 (t) x2 (t) = −x1 (t) + 4x2 (t) x3 (t) = 2x1 (t)

+ 2x4 (t) + 4x3 (t) + x4 (t)

x4 (t) = x1 (t) + 2x2 (t) + x3 (t) + 5x4 (t)

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Capítulo 9 se puede escribir en forma de matriz-vector x (t) = Ax(t), donde 

 x1 (t)  x2 (t)   x(t) =   x3 (t)  y x4 (t)



 5 −1 2 1  −1 4 0 2 . A=  2 0 4 1 1 2 1 5

La construcción de la solución general para el sistema de ecuaciones diferenciales x(t) = c1 eλ1 t v1 + c2 eλ2 t v2 + c3 eλ3 t v3 + c4 eλ4 t v4

requiere los eigenvalores λ1 , λ2 , λ33, ,yy λ4 de A. Para encontrar los eigenvalores de A con el método QR se requiere una matriz tridiagonal simétrica similar a A. Use el método de Householder para encontrar esa matriz.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2.

Al calcular los eigenvalores de matrices simétricas, las transformaciones de Householder colocarán la matriz en forma tridiagonal. ¿Por qué la matriz no se puede diagonalizar por completo con este método? ¿La transformación de Householder preserva el ángulo y la longitud? ¿Por qué sí o por qué no?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 9.5 1.

2.

Aplique dos iteraciones del método QR sin cambio a las siguientes matrices.     2 −1 0 3 1 0 2 −1  a.  −1 b.  1 4 2  0 2 1 0 −1 2     4 −1 0 1 1 0 0  1 2 −1 0  3 −1  c.  −1  d.   0 −1 0 −1 3 1  2 0 0 1 4    −2 1 0 0 0.5 0.25 0 0  1 −3 −1 0   0.25 0.8 0.4 0  e.  f.   0 −1  0 0.4 1 1  0.6 0.1 0 0 1 3 0 0 0.1 1

  

Aplique dos iteraciones del método QR sin cambio a las siguientes matrices. a.

c.

3.





2  −1 0  4  2   0   0 0

−1 −1 −2 2 4 2 0 0

0 2 4 2 0

 0 −2  3 0 0 2 4 2

0 0 0 2 4

b.      

d.



3  1 0      

5 −1 0 0 0

1 4 2

 0 2  3 −1 4.5 0.2 0 0

0 0.2 1 −0.4 0

0 0 −0.4 3 1

0 0 0 1 3

     

Use el algoritmo QR para determinar, dentro de 1025, todos los eigenvalores para las matrices dadas en el ejercicio 1.

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Conjunto de ejercicios 4.

5. 6.

Use el algoritmo QR para determinar, dentro de 1025, todos los eigenvalores de las siguientes matrices     2 −1 0 3 1 0 b.  1 4 2  a.  −1 −1 −2  0 2 3 0 −2 3     4 2 0 0 0 5 −1 0 0 0  2 4 2 0 0   −1 4.5 0.2 0 0         0.2 1 −0.4 0  c.  0 2 4 2 0  d.  0   0 0 2 4 2   0 0 −0.4 3 1  0 0 0 2 4 0 0 0 1 3 Use el método de potencia inversa para determinar, dentro de 1025, todos los eigenvectores para las matrices dadas en el ejercicio 1. Use el método de potencia inversa para determinar, dentro de 1025, todos los eigenvectores para las matrices dadas en el ejercicio 4.

EJERCICIOS APLICADOS 7.

En el ejemplo principal de este capítulo, el sistema lineal Aw = −0.04(ρ/ p)λw se debe resolver para w y λ, con el fin de aproximar los eigenvalores λk del sistema Strum-Liouville. a. Encuentre los cuatro eigenvalores µ1 , . . . , µ4 de la matriz 

2  −1 A=  0 0

8.

0 −1 2 −1

−1 2 −1 0

 0 0   −1  2

dentro de 1025. b. Aproxime los eigenvalores λ1 , . . . , λ4 del sistema en términos de ρ y p. La matriz tridiagonal (m 2 1) 3 (m 2 1) 

     A=     

0 .. .. . . . . . . . . . 0. .. .. .. . .. α .. 1 −. 2α α .. . . . . ... ... .. ... . . ... . ... .. 0. . . 0 .. . ... .. .. . . . . . . . . . . . .. ... . . .. ... . .. ... .. ... .. α ... .. . .. . .. .. .. . 0.............. 0 α 1 − 2α

1 − 2α

α

           

interviene en el método de diferencia regresiva para resolver la ecuación de calor (consulte la sección 12.2). Para la estabilidad del método, necesitamos ρ(A) < 1. Con m 5 11, aproxime los eigenvalores de A para cada uno de los siguientes. a.

9.

α=

1 4

b.

α=

1 2

c.

α=

3 4

¿Cuándo es estable el método? Los eigenvalores de la matriz A en el ejercicio 8 son λi = 1 − 4α sen

πi 2m

2

,

para i = 1, . . . , m − 1.

Compare las aproximaciones en el ejercicio 14 con los eigenvalores reales. De nuevo, ¿cuándo es estable el método? 10. El siguiente sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden x1 (t) = −4x1 (t) − x2 (t) x2 (t)

= −x1 (t) − 4x2 (t) + 2x3

x3 (t)

=

2x2 (t) − 4x3 (t) − x4 (t)

x4 (t) =

−x3 (t) + 4x4 (t)

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Capítulo 9 puede escribirse en forma de matriz-vector x (t) = Ax(t), donde 

 x1 (t)  x2 (t)   x(t) =   x3 (t)  x4 (t)



y

 4 −1 0 0  −1 −4 2 0 , A=  0 2 −4 −1  0 0 −1 −4

para construir la solución general para el sistema de ecuaciones diferenciales, x(t) = c1 eλ1 t v1 + c2 eλ2 t v2 + c3 eλ3 t v3 + c4 eλ4 t v4 ,

donde c1 , c2 ,cc33, ,yyc4 son constantes arbitrarias y λ1 , λ2 , λ33, ,yyλ4 son eigenvalores con los eigenvectores correspondientes x1 , x2 ,xx33, ,yyx4 . a. Use el método QR para encontrar λ1 , . . . , λ4 . b. Use el método de potencia inversa para encontrar x1 , . . . , x4 . c. Forme la solución general de x (t) = Ax(t). d. Encuentre la única solución que satisface x(0) = (2, 1, −1, 3)t .

EJERCICIOS TEÓRICOS 11. a.

Muestre que la matriz de rotación

cos θ − sen θ sen θ cos θ

aplicada al vector x = (x1 , x2 )t tiene el efec-

to geométrico de rotar x un ángulo θ sin cambiar su magnitud respecto a la norma l2. Muestre que la magnitud de x respecto a la norma l∞ se puede cambiar mediante una matriz de rotación. 12. Si P es la matriz de rotación con p ii = p j j = cos θ y pi j = − p ji = sen θ, para j < i. Muestre que para cualquier matriz A n 3 n, b.

(A P) pq

(P A) pq

 a pq , = (cos θ )a pj + (sen θ )a pi ,  (cos θ)a pi − (sen θ)a pj ,  a pq , = (cos θ)a jq − (sen θ)aiq ,  (sen θ)a jq + (cos θ)aiq ,

si q = i, j, si q = j, si q = i. si p = i, j, si p = j, si p = i.

13. Muestre que el producto de una matriz triangular superior (a la izquierda) y una matriz Hessenberg superior produce una matriz Hessenberg superior. 14. Si Pk denota una matriz de rotación de la forma determinada en la ecuación (9.17). a. Muestre que P2t P3t difiere de una matriz triangular superior sólo en la mayoría de las posiciones (2, 1) y (3, 2). b. Suponga que P2t P3t · · · Pkt difiere de una matriz triangular superior sólo en la mayoría de las posit ciones (2, 1), (3, 2), . . . , (k, k −1). Muestre que P2t P3t · · · Pkt Pk+1 difiere de la matriz triangular superior sólo en la mayoría de las posiciones (2, 1), (3, 2), . . . , (k, k − 1), (k + 1, k). c. Muestre que la matriz P2t P3t · · · Pnt es Hessenberg superior. 15. El método de Jacobi para una matriz simétrica A se describe por medio de A1 = A, A2 = P1 A1 P1t

y, en general, Ai+1 = Pi Ai Pit .

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Conjunto de ejercicios La matriz Ai+1 tiende a una matriz diagonal, donde Pi es una matriz de rotación seleccionada para eliminar un elemento grande fuera de la diagonal en Ai. Suponga que a j,k y ak, j se establecerán en 0, donde j = k. Si a j j = akk , entonces 1 2

(Pi ) j j = (Pi )kk = (Pi )k j =

c √

b 1+ √ , 2 c + b2

2(Pi ) j j c2 + b2

= −(Pi ) jk ,

donde c = 2a jk sgn(a j j − akk )

y b = |a j j − akk |

o, si a j j = akk , (Pi ) j j = (Pi )kk =

√

2 2

y (Pi )k j = −(Pi ) jk =

√

2 . 2

Desarrolle un algoritmo para implementar el método de Jacobi al obtener a21 = 0. Entonces, establezca a31 , a32 , a41 , a42 , a43 , . . . , an,1 , . . . , an,n−1 alrededor de cero. Esto se repite hasta que se calcula una matriz Ak con n

n

ai(k)j 

i =1 j =1 j =i

suficientemente pequeña. Entonces, los eigenvalores de A se pueden aproximar mediante las entradas diagonales de Ak. 16. Repita el ejercicio 3 usando el método de Jacobi.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

La descomposición RQ transforma una matriz A en el producto de una matriz triangular superior R (también conocida como triangular derecha) y una matriz ortogonal Q. ¿Cómo difiere esta descomposición de la descomposición QR? La transformación de Householder se puede usar para calcular la transformación QR de una matriz A m 3 n con m ≥ n. ¿La transformación de Householder se puede usar para calcular la transformación RQ?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 9.6 1.

Determine los valores singulares de las siguientes matrices.   2 1 2 1 a. A = 1 0 b. A =  1 1  0 1    2 1 1 1 0  −1  −1 0 1  1    c. A =  d. A =  1 1  0 1 −1 2 −1 1 1 −1

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   

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Capítulo 9 2.

3. 4. 5.

Determine los valores singulares de las siguientes matrices.  −1 1 1 a. A = 1 1 b. A =  1 0    1 −1 0  1   0 1    1  c. A =  d. A =   0   1  1  0 0  1 −1 1

1 0 1 1 1 1 1 0

 0 1  1  1 0   0   0  1

Determine una descomposición en valores singulares para las matrices en el ejercicio 1. Determine una descomposición en valores singulares para las matrices en el ejercicio 2. Sea A la matriz dada en el ejemplo 2. Muestre que (1, 2, 1)t , (1, −1, 1)t , y (−1, 0, 1)t son eigenvectores de At A asociados a los eigenvalores λ1 = 5, λ2 = 2, y λ3 = 1., respectivamente.

EJERCICIOS APLICADOS 6.

Dados los datos xi yi

1.0 1.3

2.0 3.5

3.0 4.2

4.0 5.0

5.0 7.0

Use la técnica de descomposición en valores singulares para determinar el polinomio de mínimos cuadrados de grado 1. b. Use la técnica de descomposición en valores singulares para determinar el polinomio de mínimos cuadrados de grado 2. Dados los datos a.

7.

xi yi

1.0 1.84

1.1 1.96

1.3 2.21

1.5 2.45

1.9 2.94

2.1 3.18

Use la técnica de descomposición en valores singulares para determinar el polinomio de mínimos cuadrados de grado 2. b. Use la técnica de descomposición en valores singulares para determinar el polinomio de mínimos cuadrados de grado 3. Determine una relación entre el número de peces y el número de especies de peces en las muestras tomadas para una parte de la Gran Barrera de Coral, P. Sale y R. Dybdahl [SD] se ajustan a un polinomio lineal de mínimos cuadrados para el siguiente conjunto de datos, recopilados en muestras durante un periodo de dos años. Sea x el número de peces en la muestra y y el número de especies en la muestra. a.

8.

9.

x

y

x

y

x

y

13 15 16 21 22 23 25

11 10 11 12 12 13 13

29 30 31 36 40 42 55

12 14 16 17 13 14 22

60 62 64 70 72 100 130

14 21 21 24 17 23 34

Determine el polinomio lineal de mínimos cuadrados para estos datos. El siguiente conjunto de datos, presentado en el Subcomité Antimonopolio del Senado, muestra las características de supervivencia a choques de automóviles en varias clases. Encuentre el polinomio cuadrático de mínimos cuadrados que aproxima estos datos. (La tabla muestra el porcentaje de vehículos relacionados con accidentes en los que la lesión más grave fue fatal o grave.)

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Conjunto de ejercicios

Tipo 1. Doméstico lujoso regular 2. Doméstico intermedio regular 3. Doméstico económico regular 4. Doméstico compacto 5. Extranjero compacto

Peso Porcentaje de promedio presencia 4800 lb 3700 lb 3400 lb 2800 lb 900 lb

3.1 4.0 5.2 6.4 9.6

EJERCICIOS TEÓRICOS 10. Suponga que A es una matriz m 3 n. Muestre que rango(A) es igual a rango(At). 11. Muestre que nulidad(A) 5 nulidad(At ) si y sólo si A es una matriz cuadrada. 12. Suponga que A tiene la descomposición en valores singulares A 5 U S V t. Determine, con justificación, una descomposición en valores singulares de At. 13. Suponga que A tiene la descomposición en valores singulares A 5 U S V t. Muestre que rango(A) 5 rango(S). 14. Suponga que la matriz A m 3 n tiene la descomposición en valores singulares A 5 U S V t. Exprese la nulidad(A) en términos de rango(S). 15. Suponga que la matriz A n 3 n tiene la descomposición en valores singulares A 5 U S V t. Muestre que existe A21 existe si y sólo si S21 y encuentre la descomposición en valores singulares para A21 cuando existe. 16. La parte ii) del teorema 9.26 establece que nulidad(A) = nulidad(At A). ¿También es cierto que nulidad(A) 5 nulidad(A At )? 17. La parte iii) del teorema 9.26 establece que rango(A) = rango(At A). ¿También es cierto que rango(A) 5 rango(A At )? 18. Muestre que si A es una matriz m 3 n y P es una matriz ortogonal n 3 n, entonces P A tiene los mismos valores singulares que A. 19. Muestre que si A es una matriz no singular n 3 n con valores singulares s1 , s2 , . . . , sn , entonces el número de condición l2 de A es K 2 (A) = (s1 /sn )2 . 20. Use el resultado en el ejercicio 19 para determinar los números de condición de las matrices cuadradas no singulares en los ejercicios 1 y 2.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

3.

Un sistema lineal Ax 5 b con más ecuaciones que incógnitas recibe el nombre de sistema lineal sobredeterminado. ¿Cómo se puede usar la técnica de valor singular para resolver un sistema lineal sobredeterminado cuando existe una solución? La importancia de la descomposición en valores singulares en muchas aplicaciones es que podemos deducir las características más importantes de una matriz m 3 n usanto una matriz que, a menudo, es significativamente más pequeña. Encuentre algunos ejemplos adicionales en los que esta técnica podría ser útil. Proporcione algunos ejemplos sobre cómo se puede utilizar la aproximación por mínimos cuadrados en diferentes disciplinas. Por ejemplo, podemos seleccionar algunas como la ingeniería eléctrica y computacional, la estadística, los negocios o la economía, por nombrar algunas.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS (FINAL DEL CAPÍTULO) 1. 2.

Proporcione una descripción general de la implementación SVD en la biblioteca GSL. Proporcione una descripción general del proyecto Apache Mahout y las implicaciones para implementación SVD.

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Capítulo 9

CONCEPTOS CLAVE Algoritmo QR Círculo Geršgorin Deflación Wielandt Descomposición en valores singulares Matriz de rotación Matriz ortogonal Matriz simétrica

Método de Householder Método de potencia Método de potencia inversa Método de potencia simétrica Métodos de deflación Transformación de Householder

Transformación de similitud Valor singular Valores singulares Vector ortogonal Vector ortonormal

REVISIÓN DEL CAPÍTULO El tema general del capítulo es la aproximación de eigenvalores y eigenvectores. Termina con una técnica para factorizar una matriz arbitraria que requiere estos métodos de aproximación. Los círculos de Geršgorin proporcionan una aproximación cruda para colocar los eigenvalores de una matriz. El método de potencia se puede usar para encontrar el eigenvalor dominante y un eigenvector asociado para una matriz arbitraria A. Si A es simétrica, el método de potencia simétrica provee una convergencia más rápida para el eigenvalor dominante y un eigenvector relacionado. El método de potencia inversa encontrará el eigenvalor más cercano a un valor determinado y un eigenvector asociado. Este método, a menudo, se usa para refinar un eigenvalor y para calcular un eigenvector una vez que se ha encontrado un eigenvalor por alguna otra técnica. Los métodos de deflación, como la deflación de Wielandt, obtienen otros eigenvalores una vez que se conoce el eigenvalor. Estos métodos se usan si sólo se requieren algunos eigenvalores ya que son susceptibles al error de redondeo. El método de potencia inversa debería usarse para mejorar la precisión de los eigenvalores aproximados obtenidos a partir de una técnica de deflación. Los métodos con base en transformaciones de similitud, como el método de Householder, se usan para convertir una matriz simétrica en una matriz similar que es tridiagonal (o Hessenberg superior si la matriz no es simétrica). Posteriormente, técnicas como el método QR se pueden aplicar a la matriz (o Hessenberg superior) para obtener aproximaciones para todos los eigenvalores. Los eigenvectores asociados se pueden encontrar con un método iterativo, como el de potencia inversa, o modificar el método QR para incluir la aproximación de eigenvectores. Nosotros restringimos nuestro estudio a las matrices simétricas y sólo presentamos el método QR para calcular los eigenvalores para el caso simétrico. La descomposición en valores singulares se analiza en la sección 9.6. Se usa para factorizar una matriz m 3 n en la forma U S V t, donde U es una matriz ortogonal m 3 m, V es una matriz ortogonal n 3 n y S es una matriz m 3 n, cuyas únicas entradas diferentes de cero se encuentran a lo largo de la diagonal principal. Esta factorización tiene aplicaciones importantes que incluyen procesamiento de imágenes, compresión de datos y resolución de sistemas lineales sobredeterminados que surgen en las aproximaciones de mínimos cuadrados. La descomposición en valores singulares requiere el cálculo de eigenvalores y eigenvectores, por lo que es adecuado concluir el capítulo con esta técnica. Los libros de Wilkinson [Wil2] y Wilkinson y Reinsch [WR] son clásicos en el estudio de los problemas de eigenvalores. Stewart [Stew2] también es una buena fuente de información sobre el problema general y Parlett [Par] considera el problema simétrico. Un estudio del problema no simétrico se puede encontrar en Saad [Sa1].

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Capítulo 10 CONJUNTO DE EJERCICIOS 10.1 1.

El sistema no lineal −x1 (x1 + 1) + 2x2 = 18,

2.

tiene dos soluciones. a. Aproxime las soluciones gráficamente. b. Use las aproximaciones a partir de la parte a) como aproximaciones iniciales para una iteración de punto fijo adecuada y determine las soluciones dentro de 1025 en la norma l∞. El sistema no lineal x

3.

(x1 − 1)2 + (x2 − 6)2 = 25

2 2

−x

2 1

+ 4x

1

− 2 = 0,

x

2 1

+ 3x

2 2

−4=0

tiene dos soluciones. a. Aproxime las soluciones gráficamente. b. Use las aproximaciones a partir de la parte a) como aproximaciones iniciales para una iteración de punto fijo adecuada y determine las soluciones dentro de 1025 en la norma l∞. El sistema no lineal x12 − 10x1 + x22 + 8 = 0,

x1 x22 + x1 − 10x2 + 8 = 0

se puede transformar en el problema de punto fijo x1 = g1 (x1 , x2 ) =

a.

x12 + x22 + 8 , 10

x2 = g1 (x1 , x2 ) =

x1 x22 + x1 + 8 . 10

Use el teorema 10.6 para mostrar que G = (g 1 , g 2 )t mapea D ⊂ R2 en R2 tiene un punto fijo único en D = { (x1 , x2 )t | 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1.5 }.

4.

b. Aplique la iteración de punto fijo para aproximar la solución dentro de 1025 en la norma l∞. c. ¿El método Gauss-Siedel acelera la convergencia? El sistema no lineal 5x12 − x22 = 0,

x2 − 0.25(sen x1 + cos x2 ) = 0

t

5.

tiene una solución cerca de 14 , 14 . a. Encuentre una función G y un conjunto D en R2 de tal forma que G : D → R2 y G tiene un punto fijo único en D. b. Aplique la iteración del punto fijo para aproximar la solución dentro de 1025 en la norma l∞. c. ¿El método de Gauss-Siedel acelera la convergencia? Use el teorema 10.6 para mostrar que G : D ⊂ R3 → R3 tiene un punto fijo único en D. Aplique la iteración de punto fijo para aproximar la solución dentro de 1025 en la norma l∞. a.

G(x1 , x2 , x3 ) =

cos(x2 x3 ) + 0.5 1 , 3 25 −

1 −x1 x2 10π − 3 e − 20 60

x12 + 0.3125 − 0.03, t

;

D = { (x1 , x2 , x3 )t | −1 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, 3 } b.

G(x1 , x2 , x3 ) =

13 − x22 + 4x3 11 + x3 − x12 22 + x23 , , 15 10 25

D = { (x1 , x2 , x3 )t | 0 ≤ x1 ≤ 1.5, i = 1, 2, 3 }

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;

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Capítulo 10 ={ c.

|

≤

≤

=

}

G(x1 , x2 , x3 ) = (1 − cos(x1 x2 x3 ), 1 − (1 − x1 )1/4 − 0.05x32 + 0.15x3 , x12 + 0.1x22 − 0.01x2 + 1)t ; D = { (x1 , x2 , x3 )t | −0.1 ≤ x1 ≤ 0.1, −0.1 ≤ x2 ≤ 0.3, 0.5 ≤ x3 ≤ 1.1 }

d.

1 1 1 cos(x2 x3 ) + , − 3 6 9

G(x1 , x2 , x3 ) =

−

x12 + sen x3 + 1.06 − 0.1,

1 −x1 x2 10π − 3 e − 20 60

t

;

D = { (x1 , x2 , x3 )t | −1 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, 3 }

6.

Use la iteración de punto fijo para encontrar soluciones para los siguientes sistemas no lineales, precisos dentro de 1025 por medio de la norma l∞. a.

x22 + x22 − x1 = 0

3x12 − x22 = 0,

b.

x12 − x22 − x2 = 0. c.

7. 8.

3x1 x22 − x13 − 1 = 0.

x12 + x2 − 37 = 0,

x12 + 2x22 − x2 − 2x3 = 0,

d.

x1 − x22 − 5 = 0,

x12 − 8x22 + 10x3 = 0,

x1 + x2 + x3 − 3 = 0.

x12 − 1 = 0. 7x2 x3

Use el método Gauss-Siedel para aproximar los puntos fijos en el ejercicio 5 dentro de 1025, por medio de la norma l∞. Repita el ejercicio 6 con el método Gauss-Siedel.

EJERCICIOS APLICADOS 9.

En el ejercicio 6 de la sección 5.9 consideramos el problema de predecir la población de dos especies que compiten por el mismo suministro de comida. En el problema suponemos que las poblaciones podrían predecirse al resolver el sistema de ecuaciones d x1 (t) = x1 (t)(4 − 0.0003x1 (t) − 0.0004x2 (t)) dt y d x2 (t) = x2 (t)(2 − 0.0002x1 (t) − 0.0001x2 (t)). dt

En este ejercicio nos gustaría considerar el problema de determinar las poblaciones de equilibrio de las dos especies. Los criterios matemáticos que deben satisfacerse para lograr que la población esté en equilibrio son que, simultáneamente, d x 1 (t) =0 y dt

d x2 (t) = 0. dt

Esto ocurre cuando la primera especie está extinta y la segunda especie tiene una población de 20 000 o cuando la segunda especie está extinta y la primera especie tiene una población de 13 333. ¿El equilibrio se puede presentar en otra situación? 10. La dinámica de poblaciones de las tres especies competidoras se pueden describir mediante d xi (t) = ri xi (t) 1 − dt

3

αi j x j (t) i=1

para cada i 5 1, 2, 3 donde la población de la i-ésima especie en el tiempo t es xi (t). El índice de crecimiento de la i-ésima especie es ri y αi j mide el grado al que las especies j afectan el índice de crecimiento de la especie i. Suponga que los tres índices de crecimiento es igual a r. Al escalar el tiempo mediante el factor r, podemos realizar efectivamente r 5 1. Además, suponemos que la especie 2 afecta a la 1 de la misma forma en que la 3 afecta a la 2 y que la 1 afecta a la 3. Por lo tanto, α12 = α23 = α31 ,

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Conjunto de ejercicios que permitimos que sea igual a α, y, de igual forma, α21 = α32 = α13 = β. Las poblaciones se pueden escalar de modo que todas las αii = 1. Esto resulta en el sistema de ecuaciones diferenciales x1 (t) = x1 (t) 1 − x1 (t) − αx2 (t) − βx3 (t) , x2 (t) = x2 (t) 1 − x2 (t) − βx1 (t) − αx3 (t) , y x3 (t) = x3 (t) 1 − x3 (t) − αx1 (t) − βx2 (t) .

Si α = 0.3 y β = 0.6, encuentre una solución estable (x1 (t) = x2 (t) = x3 (t) = 0) de las poblaciones escaladas x1 (t), x2 (t), x3 (t) en 0.5 ≤ x1 (t) ≤ 1, 0 ≤ x2 (t) ≤1,1,y 0.5 ≤ x3 (t) ≤ 1.

EJERCICIOS TEÓRICOS 11. Muestre que la función F : R3 → R3 definida por F(x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x3 , x1 cos x2 , x22 + x3 )t

es continua en cada punto de R3. 12. Proporcione un ejemplo de una función F : R2 → R2 que es continua en cada punto de R2, excepto en (1, 0). 13. Muestre que las primeras derivadas parciales en el ejemplo 2 son continuas en D. 14. Muestre que una función F que mapea D ⊂ Rn en Rn es continua en x0 ∈ D precisamente cuando, dado cualquier número ε > 0, un número δ > 0 se puede encontrar con la propiedad de que para cualquier , norma vectorial F(x) − F(x0 ) < ε, siempre que x ∈ D y x − x0 < δ. 15. Sea A una matriz n 3 n y F la función de Rn para Rn definida mediante F(x) 5 Ax. Use el resultado en el ejercicio 14 para mostrar que F es continua en Rn.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

En el capítulo 2 se desarrolló un proceso iterativo para resolver una ecuación f (x) 5 0, al transformar primero la ecuación en la forma de punto fijo x ≡ g(x). En este capítulo se desarrolla un procedimiento similar. ¿El método de Müller se puede transformar de esta manera? En el capítulo 2 se desarrolló un proceso iterativo para resolver una ecuación f (x) 5 0, al transformar primero la ecuación en la forma de punto fijo x ≡ g(x). En este capítulo se desarrolla un procedimiento similar. ¿El método de secante se puede transformar de esta manera?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 10.2 1.

Use el método con x(0) 5 0 para calcular x(2) para cada uno de los siguientes sistemas no lineales. a.

4x12 − 20x1 +

1 2 x + 8 = 0, 4 2

b. 4π − 1 4π

1 x1 x22 + 2x1 − 5x2 + 8 = 0. 2 c.

x1 (1 − x1 ) + 4x2 = 12, 2

2

(x1 − 2) + (2x2 − 3) = 25.

sen(4π x1 x2 ) − 2x2 − x1 = 0, (e2x1 − e) + 4ex22 − 2ex1 = 0. 5x12 − x22 = 0,

d.

x2 − 0.25(sen x1 + cos x2 ) = 0.

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Capítulo 10 2.

Use el método de Newton con x(0) 5 0 para calcular x(2) para cada uno de los siguientes sistemas no lineales. a.

c.

1 = 0, 2 4x12 − 625x22 + 2x2 − 1 = 0, 10π − 3 e−x1 x2 + 20x3 + = 0. 3 2 15x1 + x2 − 4x3 = 13, 3x1 − cos(x2 x3 ) −

x12

x12 + x2 − 37 = 0,

b.

x1 − x22 − 5 = 0, x1 + x2 + x3 − 3 = 0. d.

10x1 − 2x22 + x2 − 2x3 − 5 = 0, 8x22 + 4x32 − 9 = 0,

+ 10x2 − x3 = 11, x23 − 25x3 = −22.

3.

8x2 x3 + 4 = 0.

Use las facilidades de graficación de su CAS o calculadora para aproximar soluciones para los siguientes sistemas no lineales. a.

4x12 − 20x1 +

1 2 x + 8 = 0, 4 2

b. 4π − 1 4π

1 x1 x22 + 2x1 − 5x2 + 8 = 0. 2 c.

x1 (1 − x1 ) + 4x2 = 12,

x2 − 0.25(sen x1 + cos x2 ) = 0.

Use las facilidades de graficación de su CAS o calculadora para aproximar las soluciones para los sistemas no lineales dentro de los límites dados. a.

c.

1 b. = 0, 2 4x12 − 625x22 + 2x2 − 1 = 0, 10π − 3 = 0. e−x1 x2 + 20x3 + 3 −1 ≤ x1 ≤ 1, −1 ≤ x2 ≤ 1, −1 ≤ x3 ≤ 1

x12 + x2 − 37 = 0,

3x1 − cos(x2 x3 ) −

15x1 + x22 − 4x3 = 13,

d.

x1 − x22 − 5 = 0, x1 + x2 + x3 − 3 = 0. −4 ≤ x1 ≤ 8, −2 ≤ x2 ≤ 2, −6 ≤ x3 ≤ 0 10x1 − 2x22 + x2 − 2x3 − 5 = 0,

x12 + 10x2 − x3 = 11,

8x22 + 4x32 − 9 = 0,

x23

− 25x3 = −22. 0 ≤ x1 ≤ 2, 0 ≤ x2 ≤ 2, 0 ≤ x3 ≤ 2 y 0 ≤ x1 ≤ 2, 0 ≤ x2 ≤ 2, −2 ≤ x3 ≤ 0

5. 6. 7.

8x2 x3 + 4 = 0. 0 ≤ x1 ≤ 2, −2 ≤ x2 ≤ 0, 0 ≤ x3 ≤ 2

Use las respuestas obtenidas en el ejercicio 3 como aproximaciones iniciales para el método de Newton. Itere hasta x(k ) − x(k −1) ∞ < 10−6 . Use las respuestas obtenidas en el ejercicio 4 como aproximaciones iniciales para el método de Newton. Itere hasta x(k ) − x(k −1) ∞ < 10−6 . Use el método de Newton para encontrar una solución para los siguientes sistemas no lineales en el dominio determinado. Itere hasta x(k ) − x(k −1) ∞ < 10−6 . 3x12 − x22 = 0,

a.

b.

ln(x12 + x22 ) − sen(x1 x2 ) = ln 2 + ln π,

3x1 x22 − x13 − 1 = 0. (0)

Use x c.

e x1 −x2 + cos(x1 x2 ) = 0.

t

Use x(0) = (2, 2)t .

= (1, 1) .

x13 + x12 x2 − x1 x3 + 6 = 0, e x1 + e x2 − x3 = 0, x22 − 2x1 x3 = 4. Use x(0) = (−1, −2, 1)t .

8.

(e2x1 − e) + 4ex22 − 2ex1 = 0. 5x12 − x22 = 0,

d.

(x1 − 2)2 + (2x2 − 3)2 = 25.

4.

sen(4π x1 x2 ) − 2x2 − x1 = 0,

El sistema no lineal 4x1 − x2 + x3 = x1 x4 ,

d.

6x1 − 2 cos(x2 x3 ) − 1 = 0, 9x2 +

x12 + sen x3 + 1.06 + 0.9 = 0, 60x3 + 3e−x1 x2 + 10π − 3 = 0.

Use x(0) = (0, 0, 0)t .

−x1 + 3x2 − 2x3 = x2 x4 ,

x1 − 2x2 + 3x3 = x3 x4 ,

tiene seis soluciones.

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x12 + x22 + x32 = 1

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Conjunto de ejercicios Muestre que si (x1 , x2 , x3 , x4 )t es una solución, entonces (−x1 , −x2 , −x3 , x4 )t es una solución. Use el método de Newton tres veces para aproximar todas las soluciones. Itere hasta x(k) − x(k−1) ∞ < 10−5 . El sistema no lineal

a. b. 9.

1 = 0, 2 1 x12 − 625x22 − = 0, 4 10π − 3 + 20x3 + = 0, 3

3x1 − cos(x2 x3 ) −

e−x1 x2

tiene una matriz jacobiana singular en la solución. Aplique el método de Newton con x(0) = (1, 1 − 1)t . Note que la convergencia puede ser lenta o podría no presentarse después de un número razonable de iteraciones.

EJERCICIOS APLICADOS 10. La cantidad de presión requerida para hundir un objeto grande y pesado en tierra homogénea y suave que se encuentra sobre tierra de base dura se puede predecir mediante la cantidad de presión requerida para hundir objetos más pequeños en la misma tierra. Específicamente, la cantidad de presión p requerida para hundir una placa circular de radio r a una distancia d en tierra suave, donde la tierra de base dura se encuentra a una distancia D . d debajo de la superficie, se puede aproximar con una ecuación de la forma p = k1 ek2 r + k3 r,

donde k1 ,kk22,, y k3 son constantes, con k2 > 0, dependiendo de d y la consistencia de la tierra, pero no del radio de la placa. (Consulte [Bek], p. 89–94.) a. Encuentre los valores de k1 ,kk22,, y k3 si suponemos que una placa de radio de 1 pulgada requiere una presión de 10 lb/pulgada2 para hundir 1 pie en un campo turbio, una placa con radio de 2 pulgadas requiere una presión de 12 lb/pulgada2 para hundir 1 pie y una placa con radio de 3 pulgadas requiere una presión de 15 lb/pulgada2 para hundir esta distancia (al suponer que el barro es de más de 1 pie de profundidad). b. Use sus cálculos de la parte a) para predecir el tamaño mínimo de una placa circular que se requeriría para sostener una carga de 500 libras en este campo con hundimiento menor a 1 pie. 11. Al calcular la forma de un vertedero de flujo por gravedad que minimizará el tiempo de tránsito de partículas granuladas descargadas, C. Chiarella, W. Charlton y A. W. Roberts [CCR] resolvieron las siguientes ecuaciones con el método de Newton: i)

f n (θ1 , . . . , θ N ) =

ii)

f N (θ1 , . . . , θ N ) =

sen θn +1 (1 − µw vn +1 N i=1

y

a.

vn2 = v02 + 2gn y − 2

b.

w n = − yvn

N i=1

n +1 )

−

senθn (1 − µw n ) = 0, para cada n = 1, 2, . . . , N − 1. vn

tan θi − X = 0, donde y

1 , vi3 cos θi

n j=1

1 , cos θ j

para cada n = 1, 2, . . . , N , y

para cada n = 1, 2, . . . , N .

La constante v0 es la velocidad inicial del material granulado, X es la coordenada x del fin del vertedero, µ es la fuerza de fricción, N es el número de segmentos del vertedero y g 5 32.17ft/s2 es la constante gravitacional. La variable θi es un ángulo en el i-ésimo segmento del vertedero a partir de la vertical, como se muestra en la siguiente figura y vi es la velocidad de la partícula en el i-ésimo segmento del vertedero. Resuelva i) y ii) para θ = (θ1 , . . . , θ N )t con µ = 0, X = 2, y = 0.2, N = 20, y v0 = 0, donde los valores para vn y w n se pueden obtener directamente a partir de a) y b). Itere hasta ||θ (k) − θ (k−1) ||∞ < 10−2 .

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Capítulo 10

(0, 0) x u1 y1 u2

Dy y2

u3 y 12. Un experimento biológico interesante (consulte [Schr2]) se preocupa por la determinación de la temperatura máxima del agua, X M , en la que diferentes especies de hidra pueden sobrevivir sin acortar su expectativa de vida. Un enfoque para la solución de este problema usa un ajuste por mínimos cuadrados de la forma f (x) = y = a/(x − b)c para un conjunto de datos experimentales. Los valores x de los datos se refieren a la temperatura del agua. La constante b es la asíntota de la gráfica de f y, como tal, es una aproximación para X M . 2 n a a. Muestre que seleccionar a, b y c para minimizar i=1 reduce la solución del w i yi − (xi −b) c sistema no lineal n

a = i=1 n

0= i=1 n

0= i=1

b.

n

w i yi (xi − b)c

i=1

w i yi · (xi − b)c w i yi · (xi − b)c

n

1 , (xi − b)2c n

1 − (xi − b)2c+1

i=1 n

ln(xi − b) − (xi − b)2c

i=1

i=1 n

i=1

w i yi · (xi − b)c+1

n

1 , (xi − b)2c

i=1

w i yi ln(xi − b) · (xi − b)c

n

i=1

1 . (xi − b)2c

Resuelva el sistema no lineal para las especies con los siguientes datos. Use los pesos wi 5 ln yi. i

1

2

3

4

yi xi

2.40 31.8

3.80 31.5

4.75 31.2

21.60 30.2

EJERCICIOS TEÓRICOS 13. Muestre que cuando n 5 1, el método de Newton dado por la ecuación (10.9) se reduce al método familiar de Newton dado en la sección 2.3. 14. ¿Qué reduce el método de Newton para el sistema lineal Ax 5 b dado por a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 , .. . an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn ,

donde A es una matriz no singular?

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

A menudo, en el análisis del método de Newton para sistemas no lineales, se podría encontrar la frase “término forzado”. ¿Qué significa eso y por qué es importante?

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Conjunto de ejercicios 2.

3.

El método inexacto de Newton se usa ampliamente para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Se sabe que los términos forzados se deberían seleccionar relativamente grandes al inicio y volverse pequeños durante el proceso de iteración. Analice la forma de realizarlo. ¿El método de Newton para los sistemas no lineales converge para cualquier valor inicial? ¿Por qué sí o por qué no?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 10.3 1.

Use el método de Broyden para calcular x(2) para cada uno de los siguientes sistemas no lineales. a.

4x12 − 20x1 +

1 2 x + 8 = 0, 4 2

b. 4π − 1 4π

1 x1 x22 + 2x1 − 5x2 + 8 = 0. 2 Use x(0) = (0, 0)t .

3x1 x22

−

x13

d.

ln(x12 + x22 ) − sen(x1 x2 ) = ln 2 + ln π, e x1 −x2 + cos(x1 x2 ) = 0.

− 1 = 0.

Use x(0) = (1, 1)t .

2.

Use x(0) = (2, 2)t .

Use el método de Broyden para calcular x(2) para cada uno de los siguientes sistemas no lineales. a.

1 = 0, 2 2 2 4x1 − 625x2 + 2x2 − 1 = 0, 10π − 3 e−x1 x2 + 20x3 + = 0. 3

c.

b.

3x1 − cos(x2 x3 ) −

x12 + x2 − 37 = 0, x1 − x22 − 5 = 0, x1 + x2 + x3 − 3 = 0. Use x(0) = (0, 0, 0)t .

t

(0)

Use x = (0, 0, 0) . x13 + x12 x2 − x1 x3 + 6 = 0,

d.

e x1 + e x2 − x3 = 0,

6x1 − 2 cos(x2 x3 ) − 1 = 0, 9x2 +

x22 − 2x1 x3 = 4.

4.

Use x(0) = (0, 0, 0)t .

Use el método de Broyden para aproximar soluciones de los sistemas no lineales en el ejercicio 1 mediante las siguientes aproximaciones iniciales x(0). a. (0, 0)t b. (0, 0)t c. (1, 1)t d. (2, 2)t Use el método de Broyden para aproximar soluciones de los sistemas no lineales en el ejercicio 2 mediante las siguientes aproximaciones iniciales x(0). a.

5.

x12 + sen x3 + 1.06 + 0.9 = 0, 60x3 + 3e−x1 x2 + 10π − 3 = 0.

Use x(0) = (−1, −2, 1)t .

3.

(1, 1, 1)t

b.

(2, 1, −1)t

c.

(−1, −2, 1)t

d.

(0, 0, 0)t

Use el método de Broyden para aproximar las soluciones de los siguientes sistemas no lineales. Itere hasta x(k) − x(k−1) ∞ < 10−6 . a.

x1 (1 − x1 ) + 4x2 = 12,

c.

15x1 + x22 − 4x3 = 13, x12

5x12 − x22 = 0,

b.

(x1 − 2)2 + (2x2 − 3)2 = 25.

x2 − 0.25(sen x1 + cos x2 ) = 0. d.

10x1 − 2x22 + x2 − 2x3 − 5 = 0, 8x22 + 4x32 − 9 = 0,

+ 10x2 − x3 = 11, x23 − 25x3 = −22.

6.

(e2x1 − e) + 4ex22 − 2ex1 = 0.

Use x(0) = (0, 0)t .

3x12 − x22 = 0,

c.

sen(4π x1 x2 ) − 2x2 − x1 = 0,

8x2 x3 + 4 = 0.

El sistema no lineal 4x1 − x2 + x3 = x1 x4 , −x1 + 3x2 − 2x3 = x2 x4 , x1 − 2x2 + 3x3 = x3 x4 , x12 + x22 + x32 = 1,

tiene seis soluciones.

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Capítulo 10 Muestre que si (x1 , x2 , x3 , x4 )t es una solución, entonces (−x1 , −x2 , −x3 , x4 )t es una solución. Use el método de Broyden tres veces para aproximar cada solución. Itere hasta x(k) − x(k−1) ∞ < 10−5 . El sistema no lineal

a. b. 7.

3x1 − cos(x2 x3 ) −

1 = 0, 2

x12 − 625x22 −

1 = 0, 4

e−x1 x2 + 20x3 +

10π − 3 =0 3

tiene una matriz Jacobiana singular en la solución. Aplique el método de Broyden con x(0) = (1, 1 − 1)t . Observe que la convergencia puede ser lenta y podría no presentarse dentro de un número razonable de iteraciones.

EJERCICIOS APLICADOS 8.

La dinámica de población de tres especies rivales se pueden describir por medio de d xi (t) = ri xi (t) 1 − dt

3

αi j x j (t) i=1

para cada i = 1, 2, 3, donde la población de la i-ésima especie en el tiempo t es xi(t). El índice de crecimiento de la i-ésima especie es ri, y ai j mide el grado en el que la especie j afecta el índice de crecimiento de la especie i. Suponga que los tres índices de crecimiento son iguales a r. Al escalar el tiempo mediante el factor r podemos volver r 5 1 efectivo. Además, suponemos que la especie 2 afecta a la 1, al igual que la 3 afecta a la 2 y la 1 afecta a la 3. Por lo tanto, α12 = α23 = α31 , que establecimos igual a α y, de igual forma, α21 = α32 = α13 = β. Es posible escalar las poblaciones de tal forma que αii = 1. Esto produce el sistema de ecuaciones diferenciales x1 (t) = x1 (t) 1 − x1 (t) − αx2 (t) − βx3 (t) , x2 (t) = x2 (t) 1 − x2 (t) − βx1 (t) − αx3 (t) , y x3 (t) = x3 (t) 1 − x3 (t) − αx1 (t) − βx2 (t) .

9.

Si α = 0.5 y β = 0.25, encuentre una solución estable (x1 (t) = x2 (t) = x3 (t) = 0) en el conjunto {(x1 , x2 , x3 )| 0 ≤ x1 (t) ≤ 1, 0.25 ≤ x2 (t) ≤ 1, 0.25 ≤ x3 (t) ≤ 1} mediante el método de Broyden. El ejercicio 13 de la sección 8.1 abordaba la determinación de una relación de mínimos cuadrados exponenciales de la forma R = bw a para aproximar un conjunto de datos relacionados con el peso y la regla de respiración de las polillas esfinge modestas. En ese ejercicio, el problema se convirtió en una relación log-log y en la parte c) se introdujo un término cuadrático en un intento por mejorar la aproximación. En lugar de convertir el problema, determine las constantes a y b que minimizan n a 2 i=1 (Ri − bw i ) para los datos enumerados en el ejercicio 13 de la sección 8.1. Calcule el error relacionado con esta aproximación y compárelo con el error de las aproximaciones previas para este problema.

EJERCICIOS TEÓRICOS 10. Muestre que si 0 = y ∈ Rn y z ∈ Rn , entonces z = z1 + z2 , donde z1 = (yt z/ y 22 )y es paralela a y y z2 es ortogonal a y. 11. Muestre que si u, v ∈ Rn , entonces det (I + uvt ) = 1 + vt u. 12. a. Use los resultados en el ejercicio 11 para mostrar que si existe A21 y x, y ∈ Rn , entonces existe (A + xyt )−1 si y sólo si yt A−1 x = −1. b. Al multiplicar a la derecha por A + xyt , muestre que cuando yt A−1 x = −1, tenemos (A + xyt )−1 = A−1 −

A−1 xyt A−1 . 1 + yt A−1 x

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Conjunto de ejercicios

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

Las implementaciones modernas de propósito general mejor conocidas de los métodos cuasi-Newton para resolver grandes sistemas no lineales están basadas en las fórmulas de corrección de rango 1 como BGM, BBM, COLUM e ICUM. ¿Cómo se implementan esta fórmulas de corrección? La fórmula Sherman-Morrison describe la solución de A+uvT , cuando ya existe una factorización para A. ¿Qué es la fórmula Sherman-Morrison-Woodbury y cómo se diferencia?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 10.4 1.

Use el método del descenso más rápido con TOL 5 0.05 para aproximar las soluciones de los siguientes sistemas no lineales. 1 b. 3x12 − x22 = 0, a. 4x12 − 20x1 + x22 + 8 = 0, 4 3x1 x22 − x13 − 1 = 0. 1 x1 x22 + 2x1 − 5x2 + 8 = 0. 2 c.

ln(x12 + x22 ) − sen(x1 x2 ) = ln 2 + ln π,

d.

e x1 −x2 + cos(x1 x2 ) = 0.

2.

sen(4π x1 x2 ) − 2x2 − x1 = 0, 4π − 1 4π

(e2x1 − e) + 4ex22 − 2ex1 = 0.

Use el método del descenso más rápido con TOL 5 0.05 para aproximar las soluciones de los siguientes sistemas no lineales. a.

15x1 + x22 − 4x3 = 13,

b.

10x1 − 2x22 + x2 − 2x3 − 5 = 0,

x12 + 10x2 − x3 = 11, x23 c.

3. 4. 5.

8x22 + 4x32 − 9 = 0,

− 25x3 = −22.

8x2 x3 + 4 = 0.

x13 + x12 x2 − x1 x3 + 6 = 0,

d.

x1 + cos(x1 x2 x3 ) − 1 = 0,

e x1 + e x2 − x3 = 0,

(1 − x1 )1/4 + x2 + 0.05x32 − 0.15x3 − 1 = 0,

x22 − 2x1 x3 = 4.

−x12 − 0.1x22 + 0.01x2 + x3 − 1 = 0.

Use los resultados en el ejercicio 1 y el método de Newton para aproximar las soluciones de los sistemas no lineales en el ejercicio 1 dentro de 1026. Use los resultados en el ejercicio 2 y el método de Newton para aproximar las soluciones de los sistemas no lineales en el ejercicio 2 dentro de 1026. Use el método del descenso más rápido para aproximar los mínimos dentro de 0.005 para las siguientes funciones. a.

g(x1 , x2 ) = cos(x1 + x2 ) + sen x1 + cos x2

b.

g(x1 , x2 ) = 100(x12 − x2 )2 + (1 − x1 )2

c.

g(x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2x22 + x32 − 2x1 x2 + 2x1 − 2.5x2 − x3 + 2

d.

g(x1 , x2 , x3 ) = x14 + 2x24 + 3x34 + 1.01

EJERCICIOS APLICADOS 6.

El ejercicio 12 en la sección 10.2 se preocupa por un experimento biológico para determinar la temperatura máxima del agua a la que varias especies de hidra pueden sobrevivir sin acortar su expectativa de vida. En ese ejercicio, el método de Newton se usó para encontrar los valores de a, b y c para minimizar 4

yi ln yi − i=1

a (xi − b)c

2

.

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Capítulo 10 Los datos provistos se dan en la tabla

7.

i

1

2

3

4

yi xi

2.40 31.8

3.80 31.5

4.75 31.2

21.60 30.2

Use el método de descenso más rápido para aproximar a, b y c dentro de 0.05. Conforme las personan envejecen, tienden a preguntarse si vivirán más de lo que durará su dinero. La siguiente tabla representa las posibilidades de que su dinero alcance hasta cierta edad. xi yi

75 100%

80 99%

85 83.3%

90 61.2%

95 41.2%

Los datos están basados en una cuota inversión anual promedio de 1.9%, retiro a los 65 años, devoluciones de 6%, inflación de 2.5% y retiros iniciales de 4% de la cartera, que incrementa de manera anual con la inflación. Suponga que los datos se pueden aproximar mediante una función y = bx a . 5 a. Use el método de descenso más rápido para encontrar a y b que minimiza g(a, b) = i=1 [yi − a 2 − bxi ] . b. Use el método dado en la sección 1.8 en el que la ecuación y = ln b + a ln x adapta los datos a un ajuste lineal. 5 [yi − bxia ]2 ? c. ¿Cuál de las opciones a) o b) da el error más pequeño E = i=1 d. ¿Qué predicen las aproximaciones para los 100 años?

EJERCICIOS TEÓRICOS 8.

a.

Muestre que el polinomio cuadrático P (α) = g1 + h 1 α + h 3 α(α − α2 )

interpola la función h definida en (10.18), h (α) = g x(0) − α∇g(x(0) ) ,

b.

en α = 0, α22, ,yyα3 . Muestre que se presenta un punto crítico P en α0 =

1 2

α2 −

h1 h3

.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

Las modificaciones en el método de descenso más rápido han sugerido que la longitud de paso original conduce a la conducta de convergencia lenta del método. Barzilai y Borwein fueron los primeros en sugerir una longitud de paso nueva. Analice sus resultados. El método de descenso más rápido puede sucumbir a un gran error residual si el problema es vulnerable al ruido, lo cual podría llevar a una solución aproximada incorrecta para el sistema. El método de descenso más rápido modificado no es sensible a los problemas mal planteados. Analice porqué éste es el caso.

CONJUNTO DE EJERCICIOS 10.5 1.

El sistema no lineal f 1 (x1 , x2 ) = x12 − x22 + 2x2 = 0,

f 2 (x1 , x2 ) = 2x1 + x22 − 6 = 0

tiene dos soluciones, (0.625204094, 2.179355825)t y (2.109511920, −1.334532188)t . Use el método de continuación y el método de Euler con N 5 2 para aproximar las soluciones donde a.

x(0) = (0, 0)t

b.

x(0) = (1, 1)t

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c.

x(0) = (3, −2)t

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Conjunto de ejercicios 2. 3.

Repita el ejercicio 1 usando el método de Runge-Kutta de orden 4 con N 5 1. Use el método de continuación y el método de Euler con N 5 2 en los siguientes sistemas no lineales. 1 2 x + 8 = 0, 4 2

a.

4x12 − 20x1 +

c.

1 x1 x22 + 2x1 − 5x2 + 8 = 0. 2 1 3x1 − cos(x2 x3 ) − = 0, 2 4x12 − 625x22 + 2x2 − 1 = 0,

b.

sen(4π x1 x2 ) − 2x2 − x1 = 0,

d.

4π − 1 (e2x1 − e) + 4ex22 − 2ex1 = 0. 4π x12 + x2 − 37 = 0, x1 − x22 − 5 = 0,

x1 + x2 + x3 − 3 = 0. 10π − 3 = 0. 3 Use el método de continuación y el método de Runge-Kutta de orden 4 con N 5 1 en los siguientes sistemas no lineales usando x(0) = 0. ¿Las respuestas aquí son comparables con el método de Newton o son aproximaciones iniciales adecuadas para el método de Newton? e−x1 x2 + 20x3 +

4.

a.

(x1 − 2)2 + (2x2 − 3)2 = 25. Compare con 10.2(5c). c.

5x12 − x22 = 0,

b.

x1 (1 − x1 ) + 4x2 = 12,

x2 − 0.25(sen x1 + cos x2 ) = 0. Compare con 10.2(5d).

15x1 + x22 − 4x3 = 13,

d.

10x1 − 2x22 + x2 − 2x3 − 5 = 0,

x12 + 10x2 − x3 = 11. x23 − 25x3 = −22

8x22 + 4x32 − 9 = 0. 8x2 x3 + 4 = 0

Compare con 10.2(6c).

5.

6. 7. 8. 9.

Compare con 10.2(6d).

Repita el ejercicio 4 usando las aproximaciones iniciales obtenidas de acuerdo con lo siguiente. a. A partir de 10.2(3c) b. A partir de 10.2(3d) c. A partir de 10.2(4c) d. A partir de 10.2(4d) Use el método de continuación y el método Runge-Kutta de orden 4 con N 5 1 en el ejercicio 7 de la sección 10.2. ¿Los resultados son tan buenos como los obtenidos ahí? Repita el ejercicio 5 usando N 5 2. Repita el ejercicio 8 de la sección 10.2 usando el método de continuación y el método de Runge-Kutta de orden 4 con N 5 1. Repita el ejercicio 9 de la sección 10.2 usando el método de continuación y el método de Runge-Kutta de orden 4 con N 5 2.

EJERCICIOS APLICADOS 10. Al calcular la forma de una descarga de un vertedero de flujo por gravedad que minimizará el tiempo de tránsito de las partículas granulares descargadas, C. Chiarella, W. Charlton y A.W. Roberts [CCR] resolvieron las siguientes ecuaciones mediante el método de Newton: sen θn +1 sen θn (1 − µw n +1 ) − (1 − µw n ) = 0, para cada n = 1, 2, . . . , N − 1. vn +1 vn

i)

f n (θ1 , . . . , θ N ) =

ii)

f N (θ1 , . . . , θ N ) =

y

a.

vn2 = v02 + 2gn

y−2

b.

w n = − yvn

N i =1

N i =1

y

1 , vi3 cos θi

tan θi − X = 0, donde n j =1

1 , cos θj

para cada n = 1, 2, . . . , N , y

para cada n = 1, 2, . . . , N .

La constante v0 es la velocidad inicial del material granular, X es la coordenada x del final del vertedero, µ es la fuerza de fricción, N es el número de segmentos del vertedero y g 5 32.17 pies/segundo2 es la constante gravitacional. La variable i es el ángulo del i-ésimo segmento del vertedero a partir de la vertical, como se muestra en la siguiente figura, y vi es la velocidad de partícula en el i-ésimo segmento del vertedero. Resuelva i) y ii) para θ = (θ1 , . . . , θ N )t con µ = 0, X = 2, y = 0.2, N = 20, y v0 = 0, donde los valores para vn y w n se pueden obtener directamente a partir de a) y b). Itere hasta ||θ (k) − θ (k−1) ||∞ < 10−2 .

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Capítulo 10

(0, 0) x u1 y1 u2

Dy y2

u3 y 11. La dinámica de población de las tres especies rivales se puede describir mediante d xi (t) = ri xi (t) 1 − dt

3

αi j x j (t) i=1

para cada i 5 1, 2, 3, donde la población de la i-ésima especie en el tiempo t es xi (t). La velocidad de crecimiento de la i-ésima especie es r i,, yy αi j mide el grado en el que la especie j afecta la velocidad de crecimiento de la especie i. Suponga que las tres velocidades de crecimiento son iguales a r. Al escalar el tiempo mediante el factor r podemos realizar efectivamente r 5 1. También, asumimos que la especie 2 afecta a la 1 de la misma manera en que la 3 afecta a la 2 y la 1 afecta a la 3. Por lo tanto, α12 = α23 = α31 que establecimos igual a α y, de igual forma, α21 = α32 = α13 = β. Las poblaciones se pueden escalar de tal forma que todas las αii 5 1. Esto produce el sistema de ecuaciones diferenciales x1 (t) = x1 (t) 1 − x1 (t) − αx2 (t) − βx3 (t) x2 (t) = x2 (t) 1 − x2 (t) − βx1 (t) − αx3 (t) x3 (t) = x3 (t) 1 − x3 (t) − αx1 (t) − βx2 (t) .

Si α = 0.5 y β = 0.25, encuentre una solución estable (x1 (t) = x2 (t) = x3 (t) = 0) en el conjunto {(x1 , x2 , x3 )| 0 ≤ x1 (t) ≤ 1, 0.25 ≤ x2 (t) ≤ 1, 0.25 ≤ x3 (t) ≤ 1} usando el método de Broyden.

EJERCICIOS TEÓRICOS 12. Muestre que el método de continuación y el método de Euler con N 5 1 dan el mismo resultado que el método de Newton para la primera iteración; es decir, con x(0) = x(0) , también obtenemos x(1) = x(1) . 13. Muestre que la homotopía G (λ, x) = F (x) − e

−λ

F (x(0))

usada en el método de continuación con el método de Euler y h 5 1 también duplica el método de Newton para cualquier x(0); es decir, con x(0) = x(0) , tenemos x(1) = x(1) . 14. Sea que el método de continuación con el método Runge-Kutta de orden 4 se abrevien como CMRK4. Después de completar los ejercicios 4, 5, 6, 7, 8 y 9, responda las siguientes preguntas. a. ¿CMRK4 es comparable con N 5 1 para el método de Newton? Respalde su pregunta con los resultados de ejercicios anteriores. b. ¿CMRK4 con N 5 1 se debería usar como un medio para obtener una aproximación inicial para el método de Newton? Respalde su respuesta con los resultados de ejercicios anteriores. c. Repita la parte a) para CMRK4 con N 5 2. d. Repita la parte b) para CMRK4 con N 5 2.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

Proporcione una descripción general del método GMRES. ¿Cómo difiere de los métodos iterativos descritos en este capítulo?

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Conjunto de ejercicios El texto menciona que el método de continuación se puede usar como método independiente y no requiere un punto inicial particularmente bueno. ¿Cómo se puede usar este método junto con el método de Newton para obtener una mejor aproximación para el conjunto de solución? El texto menciona que el método de continuación se puede usar como método independiente y no requiere un punto inicial particularmente bueno. ¿Cómo se puede usar este método junto con el método de Broyden para obtener una mejor aproximación para el conjunto de solución?

2.

3.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS (FINAL DEL CAPÍTULO) 1. 2.

El paquete Hompack en netlib resuelve un sistema de ecuaciones no lineales al usar varios métodos de homotopía. Analice uno de estos métodos. El método Levenberg-Marquardt es un promedio ponderado del método de Newton y el método de descenso más rápido. Analice con más detalle cómo es posible obtener el peso ponderado y comente la velocidad de convergencia.

CONCEPTOS CLAVE Continuidad Derivada direccional Descenso más rápido Fórmula Sherman-Morrison Función gradiente

Funciones coordenadas Matriz jacobiana Método de Broyden Método de Newton Métodos cuasi-Newton

Métodos de continuación Métodos de homotopía Punto fijo

REVISIÓN DEL CAPÍTULO En este capítulo consideramos las soluciones aproximadas para los sistemas no lineales

f 1 (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, f 2 (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, .. . f n (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0. 0

(0) (0) el método de Newton para sistemas requiere una buena aproximación inicial (x1 , x2 , . . . , . . . , xn(0) )t y genera una sucesión

x(k) = x(k−1) − J (x(k−1) )−1 F(x(k−1) ), la cual converge rápidamente a una solución x si p(0) es suficientemente cercana a p. Sin embargo, el método de Newton requiere evaluar, o aproximar, n2 derivadas parciales y resolver un sistema lineal n 3 n en cada paso. Resolver el sistema lineal requiere O(n3) cálculos. El método de Broyden reduce la cantidad de cálculos en cada paso sin degradar significativamente la velocidad de convergencia. Esta técnica reemplaza la matriz jacobiana J con una matriz Ak−1 cuya inversa está directamente determinada en cada paso. Esto reduce los cálculos aritméticos de O(n3) a O(n2). Además, las únicas evaluaciones de función escalar requeridas son la evaluación de f i, lo cual ahorra n2 funciones escalares por paso. El método de Broyden también requiere una buena aproximación inicial. El método de descenso más rápido se presentó como una manera de obtener buenas aproximaciones iniciales para los métodos de Newton y Broyden. Aunque el descenso más rápido no provee una sucesión que converja rápidamente, no requiere una buena aproximación inicial. El método de descenso más rápido aproxima un mínimo de una función multivariable g. Para nuestra aplicación seleccionamos n

[ f i (x1 , x2 , . . . , xn )]2 .

g(x1 , x2 , . . . , xn ) = i=1

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Capítulo 10

El valor mínimo de g es 0, que se presenta cuando las funciones f i son simultáneamente 0. Los métodos de homotopía y continuación también se usan para los sistemas no lineales y son el tema de la investigación actual (consulte [AG]). En estos métodos, un problema dado F(x) 5 0 está inserto en una familia de problemas de un parámetro que usan un parámetro λ que asume los valores en [0, 1]. El problema original corresponde a λ 5 1, y un problema con una solución conocida corresponde a λ 5 0. Por ejemplo, el conjunto de problemas

G(λ, x) = λF(x) + (1 − λ)(F(x) − F(x0 )) = 0,

para 0 ≤ λ ≤ 1,

con x0 ∈ Rn fija forma una homotopía. Cuando λ 5 0, la solución es x(λ = 0) = x0 . La solución para el problema original corresponde a x(λ = 1). Un método de continuación intenta determinar x(λ = 1) al resolver la sucesión de problemas correspondientes a λ0 = 0 < λ1 < λ2 < · · · < λm = 1. La aproximación inicial a la solución de

λi F(x) + (1 − λi )(F(x) − F(x0 )) = 0 sería la solución, x(λ = λi−1 ), para el problema

λi−1 F(x) + (1 − λi−1 )(F(x) − F(x0 )) = 0. Un tratamiento exhaustivo de los métodos para resolver sistemas no lineales de ecuaciones se puede encontrar en Ortega y Rheinbolt [OR] y en Dennis y Schnabel [DenS]. Desarrollos recientes sobre métodos iterativos se pueden encontrar en Argyros y Szidarovszky [AS] e información sobre el uso de los métodos de continuación está disponible en Allgower y Georg [AG].

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Capítulo 11 CONJUNTO DE EJERCICIOS 11.1 1.

El problema de valor en la frontera y = 4(y − x),

0 ≤ x ≤ 1,

y(0) = 0,

y(1) = 2,

tiene la solución y(x) = e2 (e4 − 1)−1 (e2x − e−2x ) + x. Use el método de disparo lineal para aproximar la solución y compare los resultados con la solución real. a.

2.

Con h = 12 ;

b.

Con h = 14 .

El problema de valor en la frontera y = y + 2y + cos x,

0≤x ≤

π , 2

y(0) = −0.3,

π 2

y

= −0.1

tiene la solución y(x) = − 101 (sen x + 3 cos x). Use el método de disparo lineal para aproximar la solución y compare los resultados con la solución real. a.

3.

4.

π ; 4

b.

Con h =

π . 8

Use el método de disparo lineal para aproximar la solución para los siguientes problemas de valor en la frontera. a.

y = −3y + 2y + 2x + 3,

b.

y = −4x −1 y − 2x −2 y + 2x −2 ln x,

c.

y = −(x + 1)y + 2y + (1 − x 2 )e−x ,

d.

−2

y = x−1y + 3x

y+x

0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 2, y(1) = 1; use h = 0.1.

−1

ln x − 1,

1 ≤ x ≤ 2, y(1) = − 12 , y(2) = ln 2; use h = 0.05. 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = −1, y(1) = 0; use h = 0.1. 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = y(2) = 0; use h = 0.1.

Aunque q(x) , 0 en los siguientes problemas de valor en la frontera, existen soluciones únicas y se dan aquí. Use el algoritmo de disparo lineal para aproximar las soluciones de los siguientes problemas y compare los resultados con las soluciones reales. a. b. c. d.

5.

Con h =

y + y = 0, 0 ≤ x ≤ √ cos x + ( 2 − 1) sen x.

π , 4

y(0) = 1, y( π4 ) = 1; use h =

π ; 20

y + 4y = cos x, 0 ≤ x ≤ π4 , y(0) = 0, y( π4 ) = 0; use h = √ − 13 cos 2x − 62 sen 2x + 31 cos x.

π ; 20

solución real y(x) = solución real y(x) =

y = −4x −1 y − 2x −2 y + 2x −2 ln x, 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = 12 , y(2) = ln 2; use h = 0.05; solución real y(x) = 4x −1 − 2x −2 + ln x − 3/2. y = 2y − y + xe x − x, 0 ≤ x ≤ 2, y(0) = 0, y(2) = −4; use h = 0.2; solución real y(x) = 16 x 3 e x − 53 xe x + 2e x − x − 2.

Use el algoritmo de disparo lineal para aproximar la solución y 5 e210x al problema de valor en la frontera y = 100y, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 1, y(1) = e−10 . Use h = 0.1 y 0.05.

EJERCICIOS APLICADOS 6.

Sea que u representa el potencial electrostático entre dos esferas de metal concéntricas de radios R1 y R2 (R1 , R2). El potencial de la esfera interna se mantiene constante en V1 volts y el potencial de la esfera externa es 0 volts. El potencial en la región entre las dos esferas está regido por la ecuación de Laplace, la cual, en esta aplicación particular, se reduce a d 2u 2 du + = 0, dr 2 r dr

R1 ≤ r ≤ R2 ,

u(R1 ) = V1 ,

Suponga R1 5 2 in., R2 5 4 in., y V1 5 110 volts.

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u(R2 ) = 0.

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Capítulo 11 a. b.

Aproxime u(3) usando el algoritmo de disparo lineal. Compare los resultados de la parte a) con el potencial real u(3), donde u(r ) =

V1 R1 r

R2 − r R2 − R1

.

EJERCICIOS TEÓRICOS 7.

8. 9.

Escriba los problemas de valor inicial de segundo orden (11.3) y (11.4) como sistemas de primer orden y deduzca las ecuaciones necesarias para resolver los sistemas usando el método Runge-Kutta de cuarto orden para los sistemas. Muestre que, de acuerdo con la hipótesis del corolario 11.2, si y2 es la solución para y = p(x)y + q(x)y y y2 (a) = y2 (b) = 0, entonces y2 ≡ 0. Considere el problema de valor en la frontera y + y = 0,

0 ≤ x ≤ b,

y(0) = 0,

y(b) = B.

Encuentre valores para b y B, de tal forma que el problema de valor en la frontera a. No tenga solución b. Tenga una solución exacta c. Tenga infinitas soluciones 10. Intente aplicar el ejercicio 9 al problema del valor en la frontera y − y = 0,

0 ≤ x ≤ b,

y(0) = 0,

y(b) = B.

¿Qué sucede? ¿Cómo se relacionan ambos problemas con el corolario 11.2?

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1.

2.

3. 4.

¿Por qué un solucionador de valor en la frontera con base en el método de disparo usando un método Runge-Kutta continuo con control de defecto para resolver el problema de valor inicial relacionado podría tener un mejor desempeño que el método de disparo lineal? El disparo múltiple es una de las técnicas numéricas que más se usan para resolver los problemas BVODE. Los algoritmos paralelos son algoritmos que se pueden ejecutar de manera simultánea uno a la vez en diferentes dispositivos de procesamiento y, a continuación, combinarse de nuevo al final para obtener un resultado. ¿Tiene sentido usar un algoritmo numérico paralelo para BVODE con base en disparo múltiple? ¿Por qué deberían verificarse las condiciones del teorema 11.1 que garantiza la existencia de una solución para un BVP antes de aplicar cualquier esquema numérico? ¿Los métodos de disparo lineal son estales? ¿Por qué sí o por qué no?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 11.2 1.

Use el algoritmo de disparo no lineal con h 5 0.5 para aproximar la solución al problema de valor en la frontera y = −(y )2 − y + ln x,

2.

1 ≤ x ≤ 2,

y(1) = 0,

y(2) = ln 2.

Compare sus resultados con la solución real y 5 ln x. Use el algoritmo de disparo no lineal con h 5 0.25 para aproximar la solución al problema de valor en la frontera y = 2y 3 ,

−1 ≤x ≤0,

y(−1) =

1 , 2

Compare sus resultados con la solución real y(x) = 1/(x + 3).

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y(0) =

1 . 3

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Conjunto de ejercicios

3.

Compare sus resultados con la solución real y(x) = 1/(x + 3). Use el método de disparo no lineal con TOL 5 1024 para aproximar la solución de los siguientes problemas de valor en la frontera. Se proporciona la solución real para comparar sus resultados. a. b. c. d.

4.

y = −e−2y , 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = 0, y(2) = ln 2; use N = 10; solución real y(x) = ln x. y = y cos x − y ln y, 0 ≤ x ≤ π2 , y(0) = 1, y π2 = e; use N = 10; solución real y(x) = esen x . √ y = − 2(y )3 + y 2 y sec x, π4 ≤ x ≤ π3 , y π4 = 2−1/4 , y π3 = 21 4 12; use N = 5; √ solución real y(x) = sen x. y = 12 1 − (y )2 − y sen x , 0 ≤ x ≤ π , y(0) = 2, y(π ) = 2; use N = 20; solución real y(x) = 2 + sen x.

Use el método de disparo no lineal con TOL 5 1024 para aproximar la solución de los siguientes problemas de valor en la frontera. Se proporciona la solución real para comparar sus resultados. a. b. c. d.

y = y 3 − yy , 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = 12 , y(2) = 13 ; use h = 0.1; solución real y(x) = (x +1)−1 . y = 2y 3 − 6y − 2x 3 , 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = 2, y(2) = 25 ; use h = 0.1; solución real y(x) = x + x −1 . y = y + 2(y − ln x)3 − x −1 , 2 ≤ x ≤ 3, y(2) = 12 + ln 2, y(3) = 31 + ln 3; use h = 0.1; solución real y(x) = x −1 + ln x. y = 2(y )2 x −3 − 9y 2 x −5 + 4x, 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = 0, y(2) = ln 256; use h = 0.05; solución real y(x) = x 3 ln x.

EJERCICIOS APLICADOS 5.

La ecuación Van der Pol, y − µ(y 2 − 1)y + y = 0,

µ > 0,

rige el flujo de corriente en un tubo de vacío con tres elementos internos. Si µ= 21 , y(0) = 0, y y(2) = 1. Aproxime la solución y(t) para t = 0.2i, donde 1 ≤ i ≤ 9.

EJERCICIOS TEÓRICOS 6.

a. b.

Modifique el algoritmo 11.2 para incluir el método de secante en lugar del método de Newton. Use t0 = (β − α)/(b − a) y t1 = t0 + (β − y(b, t0 ))/(b − a). Repita el ejercicio 4a) y 4c) usando el algoritmo de secante derivado en la parte (a) y compare el número de iteraciones requeridas para los dos métodos.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS 1. 2. 3.

¿Tiene sentido combinar el método explícito de Euler con el método de Newton para resolver los problemas no lineales de valor en la frontera en dos puntos? Se desarrolló un método de disparo modificado que combinaba el método de disparo simple con el de un método de disparo múltiple. ¿Cuáles son las ventajas (desventajas) de ese tipo de enfoque? ¿Los métodos de disparo no lineal son estables? ¿Por qué sí o por qué no?

CONJUNTO DE EJERCICIOS 11.3 1.

El problema de valor en la frontera y = 4(y − x),

0 ≤ x ≤ 1,

y(0) = 0,

y(1) = 2,

tiene la solución y(x) = e2 (e4 − 1)−1 (e2x − e−2x ) + x. Use el método de diferencia finita lineal para aproximar la solución y compare los resultados con la solución real.

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Capítulo 11

2.

a.

Con h = 12 ;

c.

Use la extrapolación para aproximar y(1/2).

b.

Con h = 14 .

El problema de valor en la frontera y = y + 2y + cos x,

0≤x ≤

π 2

y(0) = −0.3,

,

y

π 2

= −0.1,

tiene la solución y(x) = − 101 (sen x + 3 cos x). Use el método de diferencia finita lineal para aproximar la solución y compare los resultados con la solución real.

3.

Con h =

c.

Use la extrapolación para aproximar y(π/4).

b. c. d.

y y y y

π . 8

= −3y + 2y + 2x + 3, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 2, y(1) = 1; use h = 0.1. = −4x −1 y + 2x −2 y − 2x −2 ln x, 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = − 21 , y(2) = ln 2; use h = 0.05. = −(x + 1)y + 2y + (1 − x 2 )e−x , 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = −1, y(1) = 0; use h = 0.1. = x −1 y + 3x −2 y + x −1 ln x − 1, 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = y(2) = 0; use h = 0.1.

π y + y = 0, 0 ≤ x ≤ π4 , y(0) = 1, y( π4 ) = 1; use h = 20 ; solución real y(x) = √ cos x + 2 − 1 sen x. π y + 4y = cos x, 0 ≤ x ≤ π4 , y(0) = 0, y( π4 ) = 0; use h = 20 ; solución real y(x) = √ 1 2 1 − 3 cos 2x − 6 sen 2x + 3 cos x. y = −4x −1 y − 2x −2 y + 2x −2 ln x, y(1) = 12 , y(2) = ln 2; use h = 0.05; solución real y(x) = 4x −1 − 2x −2 + ln x − 3/2. y = 2y − y + xe x − x, 0 ≤ x ≤ 2, y(0) = 0, y(2) = −4; use h = 0.2; solución real y(x) = 16 x 3 e x − 53 xe x + 2e x − x − 2.

Use el algoritmo de diferencia finita lineal para aproximar la solución y = e−10x para el problema de valor en la frontera y = 100y,

6.

Con h =

A pesar de que q(x) , 0 en los siguientes problemas de valor en la frontera, existen y se proporcionan soluciones únicas. Use el algoritmo de diferencia finita lineal para aproximar las soluciones y compare los resultados con las soluciones reales. a.

5.

b.

Use el algoritmo de diferencia finita lineal para aproximar la solución para los siguientes problemas de valor en la frontera. a. b. c. d.

4.

π ; 4

a.

0 ≤ x ≤ 1,

y(0) = 1,

y(1) = e−10 .

Use h 5 0.1 y 0.05. ¿Puede explicar las consecuencias? Repita el ejercicio 3a) y b) usando la extrapolación analizada en el ejemplo 2.

EJERCICIOS APLICADOS 7.

El ejemplo principal de este capítulo abordaba la deflexión de una viga con extremos soportados sujetos a carga uniforme. El problema de valor en la frontera que rige esta situación física es S qx d 2w w+ (x − l), = dx2 EI 2E I

0 < x < l,

con condiciones de frontera w(0) 5 0 y w(l) 5 0. Suponga que la viga es de acero tipo W10 con las siguientes características: longitud l 5 120 pulgadas, intensidad de una carga uniforme q 5 100 libras/pie, módulo de elasticidad E 5 3.0 3 107 libras/pulgada2, tensión en extremos S 5 1 000 libras, y momento central de inercia I 5 625 pulgadas4. a. Aproxime la deflexión w (x) de la viga cada 6 pulgadas. b. La relación real está provista por w(x) = c1 eax + c2 e−ax + b(x − l)x + c, dondec1c1==7 7.7042537 × donde 7042537× 1010,4c, c2 = 7.9207462 ×104 , a = 2.3094010 ×10−4 , b = −4.1666666× donde 5 5 1 5625×1010 . .¿El error máximo se encuentra en el intervalo dentro de 0.2 pul10233,,3y, yc c= −1.5625 gadas?

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Conjunto de ejercicios

8.

c. La ley de estado requiere que max 0 f (0) = 0 cuando x > 0. Por tanto, para x ≥ 0, tenemos x ≥ sen x, y | sen x| = sen x ≤ x = |x|. b. Cuando x < 0, tenemos −x > 0. Puesto que sen x es una función impar, el hecho de que (por la parte a)) sen (−x) ≤ (−x) implica que | sen x| = − sen x ≤ −x = |x|. Como consecuencia, para todos los números reales x, tenemos | sen x| ≤ |x|. 29. a. El número 12 ( f (x1 ) + f (x2 )) es el promedio de f (x1 ) y f (x2 ), por lo que se encuentra entre estos dos valores de f . Mediante el teorema de valor intermedio 1.11, existe un número ξ entre x1 y x2 con 1 1 1 ( f (x1 ) + f (x2 )) = f (x1 ) + f (x2 ). 2 2 2

f (ξ ) =

b. Si m = mín{ f (x1 ), f (x2 )} y M = máx{ f (x1 ), f (x2 )}. Entonces m ≤ f (x1 ) ≤ M y m ≤ f (x2 ) ≤ M, por lo que c1 m ≤ c1 f (x1 ) ≤ c1 M

y

c2 m ≤ c2 f (x2 ) ≤ c2 M.

Por lo tanto, (c1 + c2 )m ≤ c1 f (x1 ) + c2 f (x2 ) ≤ (c1 + c2 )M y m≤

c1 f (x1 ) + c2 f (x2 ) ≤ M. c1 + c2

Por el teorema de valor intermedio 1.11 aplicado al intervalo con extremos x1 y x2 , existe un número ξ entre x1 y x2 para el que f (ξ ) =

c1 f (x1 ) + c2 f (x2 ) . c1 + c2

c. Si f (x) = x 2 + 1, x1 = 0, x2 = 1, c1 = 2, y c2 = −1. Entonces para todos los valores de x, f (x) > 0

pero

c1 f (x1 ) + c2 f (x2 ) 2(1) − 1(2) = 0. = c1 + c 2 2−1

Conjunto de ejercicios 1.2 1. a. b. c. d.

Error absoluto

Error relativo

0.001264 7.346 × 10−6 2.818 × 10−4 2.136 × 10−4

4.025 × 10−4 2.338 × 10−6 1.037 × 10−4 1.510 × 10−4

3. Los intervalos más grandes son a. (149.85,150.15)

b. (899.1, 900.9)

5. Los cálculos y sus errores son: a. ii) 1.13 iii) ambos 1.13 3 a. i) (i)17/15 17/15 (ii) 1.13 (iii) 1.13 (iv) b. i) 4/15 ii) 0.266 iii) 0.266 c. i) 139/660 ii) 0.211 iii) 0.210 d. i) 301/660 ii) 0.455 iii) 0.456

c. (1498.5, 1501.5) 23 10 3iv) ambos 3 3 10 iv) ambos 2.5 3 1023 iv) 2 3 10−3, 3 3 1023 iv) 2 3 1023, 1 3 1024

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d. (89.91,90.09)

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Respuestas a ejercicios seleccionados

7. a. b. c. d. 9. a. b. c. d. 11. a. b.

Aproximación

Error absoluto

Error relativo

1.80 −15.1 0.286 23.9

0.154 0.0546 2.86 × 10−4 0.058

0.0786 3.60 × 10−3 10−3 2.42 × 10−3

Aproximación

Error absoluto

Error relativo

3.55 −15.2 0.284 23.8

1.60 0.054 0.00171 0.158

0.817 0.0029 0.00600 0.659 × 10−2

Aproximación

Error absoluto

Error relativo

3.14557613 3.14162103

3.983 × 10−3 2.838 × 10−5

1.268 × 10−3 9.032 × 10−6

sen x x−x cos x x+x sen x x−sen x = límx→0 −x = límx→0 − sensen = límx→0 −2 coscos = −2 13. a. límx→0 x cos x−sen x 1−cos x x x b. −1.941 x (1 − 21 x 2 ) − ( x − 61 x 3 ) = −2 c. x − ( x − 16 x 3 ) d. El error relativo en la parte b) es 0.029. El error relativo en la parte c) es 0.00050.

15. a. b. c. d.

x1

Error absoluto

Error relativo

x2

Error absoluto

Error relativo

92.26 0.005421 10.98 −0.001149

0.01542 1.264 × 10−6 6.875 × 10−3 7.566 × 10−8

1.672 × 10 2.333 × 10−4 6.257 × 10−4 6.584 × 10−5

0.005419 −92.26 0.001149 −10.98

6.273 × 10 4.580 × 10−3 7.566 × 10−8 6.875 × 10−3

1.157 × 10−4 4.965 × 10−5 6.584 × 10−5 6.257 × 10−4

−4

Aproximación para x1 Error absoluto

17. a. b. c. d.

92.24 0.005417 10.98 −0.001149

0.004580 2.736 × 10−6 6.875 × 10−3 7.566 × 10−8

Error relativo a. b. c. d.

4.965 × 10−5 5.048 × 10−4 6.257 × 10−4 6.584 × 10−5

−7

Aproximación para x2 Error absoluto 0.005418 2.373 × 10−6 −92.25 5.420 × 10−3 0.001149 7.566 × 10−8 −10.98 6.875 × 10−3

Error relativo 4.377 × 10−4 5.875 × 10−5 6.584 × 10−5 6.257 × 10−4

19. Los números máquina son equivalentes a a. 3224 b. −3224 c. 1.32421875 d. 1.3242187500000002220446049250313080847263336181640625 21. b. La primera fórmula da −0.00658, y la segunda fórmula da −0.0100. El valor verdadero con tres dígitos es −0.0116. 23. Las soluciones aproximadas para los sistemas son a. x = 2.451, y = −1.635 b. x = 507.7, y = 82.00 25. a. En forma anidada, tenemos f (x) = (((1.01e x − 4.62)e x − 3.11)e x + 12.2)e x − 1.99. b. −6.79 c. −7.07 27. a. m = 17 b. m m(m − 1) · · · (m − k − 1)(m − k)! m! = = k k!(m − k)! k!(m − k)! = c. m = 181707

m k

m−1 k−1

···

m−k−1 1 d. 2 597 000; error real 1960; error relativo 7.541 × 10−4 .

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R3

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R4

Respuestas a ejercicios seleccionados

29. a. El error real es | f |, y el error relativo es | f | · | f (x0 )|−1 , donde el número ξ está entre x0 y x0 + . −5 −6 −6 −6 b. i) 1.4 × 10 ; 5.1 × 10 ii) 2.7 × 10 ; 3.2 × 10 c. i) 1.2; 5.1 × 10−5 ii) 4.2 × 10−5 ; 7.8 × 10−5

Conjunto de ejercicios 1.3 Las sumas aproximadas son 1.53 y 1.54, respectivamente. El valor real es 1.549. El error de redondeo significativo se presenta antes con el primer método. b. Las sumas aproximadas son 1.16 y 1.19, respectivamente. El valor real es 1.197. El error de redondeo significativo se presenta antes con el primer método. a. 2000 términos b. 20 000 000 000 términos 3 términos Las velocidades de convergencia son:

1. a. 2. 3. 5. 7.

a. O h 2 b. O h 9. a. Si F h = L + O h p , existe una constante k > 0 tal que

c. O h 2

d. O h

F h − L| ≤ kh p , Para h suficientemente pequeña h > 0. Si 0 < q < p y 0 < h < 1, entonces h q > h p . Por lo tanto, kh p < kh q , por lo que y

|F(h) − L| ≤ kh q

F(h) = L + O (h q ).

b. Para varias potencias de h, tenemos las entradas en la siguiente tabla h

h2

h3

h4

0.5 0.1 0.01 0.001

0.25 0.01 0.0001 10−6

0.125 0.001 0.00001 10−9

0.0625 0.0001 10−8 10−12

La velocidad de convergencia más rápida es O h 4 . 11. Puesto que lím xn = lím xn+1 = x

n→∞

n→∞

y

xn+1 = 1 +

1 , xn

tenemos x =1+

1 , x

por lo que x 2 − x − 1 = 0.

La fórmula cuadrática implica que x=

√ 1 1+ 5 . 2

Este número recibe el nombre de número áureo. Con frecuencia aparece en matemáticas y ciencias. N xi . Esto guarda un paso ya que la inicialización es SU M = x1 en lugar de SU M = 0 . Se pueden presentar 13. SU M = i=1 problemas si N = 0. 15. a) n(n + 1)/2 multiplicaciones; (n + 2)(n − 1)/2 sumas. n

b)

i

ai i=1

bj j=1

requiere n multiplicaciones; (n + 2)(n − 1)/2 sumas.

Conjunto de ejercicios 2.1 1. p3 = 0.625 3. El método de bisección da: a. p7 = 0.5859

b. p8 = 3.002

c. p7 = 3.419

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Respuestas a ejercicios seleccionados

R5

5. El método de bisección da: a. p17 = 0.641182 b. p17 = 0.257530 c. Para el intervalo [−3, −2], tenemos p17 = −2.191307, y para el intervalo [ −1, 0], tenemos p17 = −0.798164. d. Para el intervalo [0.2, 0.3], tenemos p14 = 0.297528, y para el intervalo [1.2, 1.3], tenemos p14 = 1.256622. y 7. a.

y = f (x)

2

y=x

1

1

2

x

b. Al utilizar [1. 5, 2] en la parte a) se obtiene p16 = 1.89550018. 9. a. y y = cos (e x 2) 2

y = ex

1

2

x

1 1 b. p17 = 1.00762177 11. a. 2

b. −2

d. 1

c. −1

La raíz cúbica de 25 es aproximadamente p14 = 2.92401, usando [2, 3]. La profundidad del agua es 0.838 pies. Una cota es n ≥ 14, y p14 = 1.32477. Puesto que lím n→∞ ( pn − pn−1 ) = límn→∞ 1/n = 0, la diferencia en los términos se acerca a cero. Sin embargo, pn es el enésimo término de la serie armónica divergente, por lo que lím n→∞ pn = ∞. 21. Puesto que −1 < a < 0 y 2 < b < 3, tenemos 1 < a + b < 3 o 1/2 < 1/2(a + b) < 3/2 en todos los casos. Además,

13. 15. 17. 19.

f (x) < 0,

para − 1 < x < 0 y

f (x) > 0,

para 0 < x < 1 y

1 < x < 2; 2 < x < 3.

Por lo tanto, a1 = a, f (a1 ) < 0, b1 = b, y f (b1 ) > 0. a. Puesto que a + b < 2, tenemos p1 = a+b y 1/2 < p1 < 1. Por lo tanto, f ( p1 ) > 0. Por lo tanto, a2 = a1 = a y b2 = p1 . 2 El único cero de f en [a2 , b2 ] es p = 0, por lo que la convergencia sería en 0. b. Puesto que a + b > 2, tenemos p1 = a+b y 1 < p1 < 3/2. Por lo tanto, f ( p1 ) < 0. Por lo tanto, a2 = p1 y b2 = b1 = b. 2 El único cero de f en [a2 , b2 ] es p = 2, por lo que la convergencia sería en 2. c. Puesto que a + b = 2, tenemos p1 = a+b = 1 y f ( p1 ) = 0. Por lo tanto, un cero de f se ha encontrado en la primera iteración. 2 La convergencia sería en p = 1.

Conjunto de ejercicios 2.2 1. Para el valor de x bajo consideración, tenemos a. x = 3 + x − 2x 2 1/4 ⇔ x 4 = 3 + x − 2x 2 ⇔ f  x = 0 x + 3 − x 4 1/2 b. x = ⇔ 2x 2 = x + 3 − x 4 ⇔ f  x = 0 2

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R6

Respuestas a ejercicios seleccionados x + 3 1/2 ⇔ x 2 (x 2 + 2) = x + 3 ⇔ f (x) = 0 x2 + 2 3x 4 + 2x 2 + 3 d. x = ⇔ 4x 4 + 4x 2 − x = 3x 4 + 2x 2 + 3 ⇔ f (x) = 0 4x 3 + 4x − 1 c. x =

Resuelva para 2x, a continuación divida entre 2. p1 5 0.5625, p2 5 0.58898926, p2 5 0.60216264, p4 5 0.60917204 Resuelva para x3, divida entre x2. p1 5 0, p2 indefinida. Resuelva para x3, divida entre x, a continuación tome la raíz cuadrada positiva. p1 5 0, p2 indefinida. Resuelva para x3, a continuación tome la raíz cuadrada negativa. p1 5 0, p2 5 21, p3 5 21.4422496, p4 5 21.57197274. Las partes a) y b) parecen prometedoras. 5. El orden en la velocidad descendente de convergencia es b), d), a). La sucesión en c) no converge. 3. a. b. c. d.

7. Con g(x) = (3x 2 + 3)1/4 y p0 = 1, p6 = 1.94332 es exacta dentro de 0.01. 9. Puesto que g (x) = 14 cos x2 , g es continua y g existe en [0, 2π ]. Además, g (x) = 0 solamente cuando x = π , de tal forma que g(0) = g(2π ) = π ≤ g(x) =≤ g(π ) = π + 12 y |g (x)| ≤ 41 , para 0 ≤ x ≤ 2π . El teorema 2.3 implica que existe un solo punto p fijo en [0, 2π ]. Con k = 14 y p0 = π , tenemos p1 = π + 12 . El corolario 2.5 implica que | pn − p| ≤

2 kn | p 1 − p0 | = 1−k 3

Para que la cota sea menor a 0.1, necesitamos n ≥ 4. Sin embargo, p3 √ 11. Para p0 = 1.0 y g(x) = 0.5(x + x3 ), tenemos 3 ≈ p4 = 1.73205. 13. a. Con [0, 1] y p0 = 0, tenemos p9 = 0.257531. b. c. Con [0.25, 1] y p0 = 0.25, tenemos p14 = 0.909999. d. e. Con [0.3, 0.6] y p0 = 0.3, tenemos p48 = 0.448059. f. 15. Para g x  = 2x 2 − 10 cos x  3x , tenemos lo siguiente: p0 = 3 ⇒ p8 = 3.16193;

1 4

n

.

= 3.626996 es exacta dentro de 0.01. Con [2.5, 3.0] y p0 = 2.5, tenemos p17 = 2.690650. Con [0.3, 0.7] y p0 = 0.3, tenemos p39 = 0.469625. Con [0, 1] y p0 = 0, tenemos p6 = 0.704812.

p0 = −3 ⇒ p8 = −3.16193.

Para g x  = arccos −0.1x 2 ), tenemos lo siguiente: p0 = 1 ⇒ p11 = 1.96882;

p0 = −1 ⇒ p11 = −1.96882.

17. Con g(x) = π1 arcsen − x2 + 2, tenemos p5 = 1.683855. 19. Puesto que g es continua en p y |g ( p)| > 1, al permitir que = |g ( p)| − 1 existe un número δ > 0 tal que |g (x) − g ( p)| < |g ( p)| − 1 siempre que 0 < |x − p| < δ. Por lo tanto, para cualquier x que satisfaga 0 < |x − p| < δ, tenemos |g (x)| ≥ |g ( p)| − |g (x) − g ( p)| > |g ( p)| − (|g ( p)| − 1) = 1. Si p0 se selecciona de tal forma que 0 < | p − p0 | < δ, por el teorema de valor medio tenemos que | p1 − p| = |g( p0 ) − g( p)| = |g (ξ )|| p0 − p|, para algunos ξ entre p0 y p. Por lo tanto, 0 < | p − ξ | < δ so | p1 − p| = |g (ξ )|| p0 − p| > | p0 − p|. √ 21. Uno de muchos ejemplos es g(x) = 2x − 1 en 12 , 1 . √ 23. a. Suponga que x0 > 2. Entonces, √ √ √ 2 = g (ξ ) x0 − 2 , x1 − 2 = g(x0 ) − g donde

√

2 < ξ < x. Por lo tanto, x1 −

√

2 > 0 y x1 > x1 =

y

√

√ 2. Además,

√ x0 + 2 1 1 x0 x0 + < +√ = 2 x0 2 2 2

2 < x1 < x0 . Mediante un argumento inductivo, √ 2 < xm+1 < xm < . . . < x0 .

Por lo tanto, {xm } es una sucesión decreciente, acotada inferiormente y debe converger.

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Respuestas a ejercicios seleccionados Suponga que p = lím m→∞ xm . Entonces 1 1 p 1 p xm−1 + = + . Por lo tanto, p = + , 2 xm−1 2 p 2 p √ √ √ lo cual implica que p = ± 2. Ya que xm > 2 para todas las m, tenemos lím m→∞ xm = 2. b. Tenemos √ √ 0 < (x0 − 2)2 = x02 − 2x0 2 + 2, √ √ de tal forma que 2 x0 2 < x02 + 2 y 2 < x20 + x10 = x1 . √ √ c. Caso 1: 0 < x0 < 2, lo cual implica que 2 < x1 mediante la parte b). Por lo tanto, √ √ 0 < x0 < 2 < xm+1 < xm < . . . < x1 y lím xm = 2. p = lím

m→∞

m→∞

√ √ √ Caso 2: x0 = √2, lo cual implica que xm = 2 para todas las m y lím m→∞√xm = 2. Caso 3: x0 > 2, lo cual, mediante la parte a), implica que lím m→∞ xm = 2. 25. Reemplace la segunda oración en la demostración con “Puesto que g satisface una condición de Lipschitz en [a, b] con una constante de Lipschitz L < 1, tenemos, para cada n, | pn − p| = |g( pn−1 ) − g( p)| ≤ L| pn−1 − p|.” El resto de la prueba es igual, con k reemplazada por L.

Conjunto de ejercicios 2.3 1. p2 = 2.60714 3. a. 2.45454 b. 2.44444 5. a. Para p0 = 2, tenemos p5 = 2.69065. b. Para p0 = −3, tenemos p3 = −2.87939. c. Para p0 = 0, tenemos p4 = 0.73909. d. Para p0 = 0, tenemos p3 = 0.96434. 7. Usando los extremos de los intervalos como p0 y p1 , tenemos: a. p11 = 2.69065 b. p7 = −2.87939 c. p6 = 0.73909 d. p5 = 0.96433 9. Usando los extremos de los intervalos como p0 y p1 , tenemos: a. p16 = 2.69060 b. p6 = −2.87938 c. p7 = 0.73908 d. p6 = 0.96433 11. a. El método de Newton con p0 = 1.5 da p3 = 1.51213455. El método de la secante con p0 = 1 y p1 = 2 da p10 = 1.51213455. El método de posición falsa con p0 = 1 y p1 = 2 da p17 = 1.51212954. b. El método de Newton con p0 = 0.5 da p5 = 0.976773017. El método de la secante con p0 = 0 y p1 = 1 da p5 = 10.976773017. El método de posición falsa con p0 = 0 y p1 = 1 da p5 = 0.976772976. 13. a. Para p0 = −1 y p1 = 0, tenemos p17 = −0.04065850, y para p0 = 0 y p1 = 1, tenemos p9 = 0.9623984. b. Para p0 = −1 y p1 = 0, tenemos p5 = −0.04065929, y para p0 = 0 y p1 = 1, tenemos p12 = −0.04065929. c. Para p0 = −0.5, tenemos p5 = −0.04065929, y para p0 = 0.5, tenemos p21 = 0.9623989. 15. a. p0 = −10, p11 = −4.30624527 b. p0 = −5, p5 = −4.30624527 c. p0 = −3, p5 = 0.824498585 d. p0 = −1, p4 = −0.824498585 e. p0 = 0, p1 no se puede calcular, ya que f (0) = 0 f. p0 = 1, p4 = 0.824498585 g. p0 = 3, p5 = −0.824498585 h. p0 = 5, p5 = 4.30624527 i. p0 = 10, p11 = 4.30624527 17. Para f (x) = ln(x 2 + 1) − e0.4x cos π x, tenemos las siguientes raíces. a. Para p0 = −0.5, p3 = −0.4341431. b. Para p0 = 0.5, p3 = 0.4506567. Para p0 = 1.5, p3 = 1.7447381. Para p0 = 2.5, p5 = 2.2383198. Para p0 = 3.5, p4 = 3.7090412. c. La aproximación inicial n − 0.5 es bastante razonable. d. Para p0 = 24.5, p2 = 24.4998870.

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R7

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R8

Respuestas a ejercicios seleccionados

Para p0 = 1, p5 = 0.589755. El punto tiene las coordenadas (0.589755, 0.347811). Los dos números son aproximadamente 6.512849 y 13.487151. El deudor puede pagar máximo 8.10 %. Tenemos PL = 265816, c = −0.75658125, y k = 0.045017502. La población de 1980 es P(30) = 222 248 320 y la población de 2010 es P(60) = 252 967030. 27. Por medio de p0 = 0.5 y p1 = 0.9, el método de la secante da p5 = 0.842. 29. a. Tenemos, aproximadamente, 19. 21. 23. 25.

A = 17.74,

B = 87.21,

C = 9.66,

y

E = 47.47

Con estos valores, tenemos A sen α cos α + B sen 2 α − C cos α − E sen α = 0.02. b. El método de Newton da α ≈ 33.2◦ . 31. La ecuación de la recta tangente es y − f ( pn−1 ) = f ( pn−1 )(x − pn−1 ). Para completar este problema, establezca y = 0 y resuelva para x = pn .

Conjunto de ejercicios 2.4 1. a. Para p0 = 0.5, tenemos p13 = 0.567135. b. Para p0 = −1.5, tenemos p23 = −1.414325. c. Para p0 = 0.5, tenemos p22 = 0.641166. d. Para p0 = −0.5, tenemos p23 = −0.183274. 3. El método modificado de Newton en la ecuación (2.11) provee lo siguiente: a. Para p0 = 0.5, tenemos p3 = 0.567143. b. Para p0 = −1.5, tenemos p2 = −1.414158. d. Para p0 = −0.5, tenemos p5 = −0.183319. c. Para p0 = 0.5, tenemos p3 = 0.641274. 5. El método de Newton con p0 = −0.5 da p13 = −0.169607. El método de Newton modificado en la ecuación (2.11) con p0 = −0.5 da p 11 = −0.169607. 7. a. Para k > 0, lím

n→∞

| pn+1 − 0| = lím n→∞ | pn − 0|

por lo que la convergencia es lineal. b. Necesitamos tener N > 10m/k . 9. Los ejemplos comunes son n a. pn = 10−3 11. Esto sigue al hecho de que lím

n→∞

b−a 2n+1 b−a 2n

1 (n+1)k 1 nk

= lím

n→∞

n n+1

b. pn = 10−α =

k

= 1,

n

1 . 2 n −1)/2

− p| (3 13. Si ||ppn+1 3 = 0.75 y | p0 − p| = 0.5, entonces | pn − p| = (0.75) n − p| Para tener | pn − p| ≤ 10−8 se requiere que n ≥ 3.

n

| p0 − p|3 .

Conjunto de ejercicios 2.5 1. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. pˆ 0 pˆ 1 pˆ 2 pˆ 3 pˆ 4 pˆ 5

a

b

c

d

0.258684 0.257613 0.257536 0.257531 0.257530 0.257530

0.907859 0.909568 0.909917 0.909989 0.910004 0.910007

0.548101 0.547915 0.547847 0.547823 0.547814 0.547810

0.731385 0.736087 0.737653 0.738469 0.738798 0.738958

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Respuestas a ejercicios seleccionados

R9

3. p0(1) = 0.826427 5. p1(0) = 1.5 7. Para g(x) =

1+

1 x

y p0(0) = 1, tenemos p0(3) = 1.32472.

9. Para g(x) = 0.5(x + x3 ) y p0(0) = 0.5, tenemos p0(4) = 1.73205. 11. a. Para g(x) = 2 − e x + x 2 /3 y p0(0) = 0, tenemos p0(3) = 0.257530.

b. Para g(x) = 0.5(sen x + cos x) y p0(0) = 0, tenemos p0(4 = 0.704812. c. Con p0(0) = 0.25, p0(4) = 0.910007572.

d. Con p0(0) = 0.3, p0(4) = 0.469621923. 13. El método

2

de Aitkens da: b. pˆ 2 = 0.0363

a. pˆ 10 = 0.045 15. Tenemos

| pn+1 − p + p − pn | pn+1 − p | pn+1 − pn | = = −1 , | pn − p| | pn − p| pn − p por lo que

lím

n→∞

pn+1 − p | pn+1 − pn | = lím − 1 = 1. n→∞ | pn − p| pn − p

1 eξ x n+1 , donde ξ está entre 0 y 1. 17. a. Sugerencia: Primero mostramos que pn − p = − (n+1)!

b. n

pn

pˆ n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 2.5 2.6 2.7083 2.716 2.71805 2.7182539 2.7182787 2.7182815 2.7182818

3 2.75 2.72 2.71875 2.7183 2.7182870 2.7182823 2.7182818 2.7182818

Conjunto de ejercicios 2.6 1. a. Para p0 = 1, tenemos p22 = 2.69065. b. Para p0 = 1, tenemos p5 = 0.53209; para p0 = −1, tenemos p3 = −0.65270; y para p0 = −3, tenemos p3 = −2.87939. c. Para p0 = 1, tenemos p5 = 1.32472.

d. Para p0 = 1, tenemos p4 = 1.12412; y para p0 = 0, tenemos p8 = −0.87605.

e. Para p0 = 0, tenemos p6 = −0.47006; para p0 = −1, tenemos p4 = −0.88533; y para p0 = −3, tenemos p4 = −2.64561. f. Para p0 = 0, tenemos p10 = 1.49819.

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R 10

Respuestas a ejercicios seleccionados

3. La siguiente tabla lista la aproximación inicial y las raíces. Raíces aproximadas

Raíces conjugadas complejas

p0

p1

p2

a

−1 0

0 1

1 2

p7 = −0.34532 − 1.31873i p6 = 2.69065

b

0 1 −2

1 2 −3

2 3 −2.5

p6 = 0.53209 p9 = −0.65270 p4 = −2.87939

c

0 −2

1 −1

2 0

p5 = 1.32472 p7 = −0.66236 − 0.56228i

0 2 −2

1 3 0

2 4 −1

p5 = 1.12412 p12 = −0.12403 + 1.74096i p5 = −0.87605

e

0 1 −1

1 0 −2

2 −0.5 −3

f

0 −1 1

1 −2 0

2 −3 −1

d

−0.34532 + 1.31873i

−0.66236 + 0.56228i −0.12403 − 1.74096i

p10 = −0.88533 p5 = −0.47006 p5 = −2.64561 p6 = 1.49819 p10 = −0.51363 − 1.09156i p8 = 0.26454 − 1.32837i

−0.51363 + 1.09156i 0.26454 + 1.32837i

5. a. Las raíces son 1.244, 8.847 y −1.091, y los puntos críticos son 0 y 6. b. Las raíces son 0.5798, 1.521, 2.332, y −2.432 y los puntos críticos son 1, 2.001 y −1.5. 7. Todos los métodos encuentran la solución 0.23235. 9. El material mínimo es aproximadamente 573.64895 cm2 .

Conjunto de ejercicios 3.1 1. a. P1  x  = −0.148878x + 1; P2 (x) = −0.452592x 2 − 0.0131009x + 1; P1 (0.45) = 0.933005; | f (0.45) − P1 (0.45)| = 0.032558; P2 (0.45) = 0.902455; | f (0.45) − P2 (0.45)| = 0.002008 b. P1 (x) = 0.467251x + 1; P2 (x) = −0.0780026x 2 + 0.490652x + 1; P1 (0.45) = 1.210263; | f (0.45) − P1 (0.45)| = 0.006104; P2 (0.45) = 1.204998; | f (0.45) − P2 (0.45)| = 0.000839 c. P1 (x) = 0.874548x; P2 (x) = −0.268961x 2 + 0.955236x; P1 (0.45) = 0.393546; | f (0.45) − P1 (0.45)| = 0.0212983; P2 (0.45) = 0.375392; | f (0.45) − P2 (0.45)| = 0.003828 d. P1 (x) = 1.031121x; P2 (x) = 0.615092x 2 + 0.846593x; P1 (0.45) = 0.464004; | f (0.45) − P1 (0.45)| = 0.019051; P2 (0.45) = 0.505523; | f (0.45) − P2 (0.45)| = 0.022468 3. a.

f (ξ ) (0.45 2

− 0)(0.45 − 0.6) ≤ 0.135;

b.

f (ξ ) (0.45 2

− 0)(0.45 − 0.6) ≤ 0.03375;

c.

f (ξ ) (0.45 2

− 0)(0.45 − 0.6) ≤ 0.135;

d.

f

 0.45 − 0)(0.45 − 0.6)

2

f (ξ ) (0.45 6

− 0)(0.45 − 0.6)(0.45 − 0.9) ≤ 0.00397

f (ξ ) (0.45 6

f

− 0)(0.45 − 0.6)(0.45 − 0.9) ≤ 0.001898

 0.45 − 0)(0.45 − 0.6)(0.45 − 0.9) ≤ 0.010125 f  0.45 − 0)(0.45 − 0.6)(0.45 − 0.9) ≤ 0.151

6

≤ 0.06779;

6

5. a.

b. n

x0 , x1 , . . . , xn

Pn (8.4)

n

x0 , x1 , . . . , xn

Pn (−1/3)

1 2 3

8.3, 8.6 8.3, 8.6, 8.7 8.3, 8.6, 8.7, 8.1

17.87833 17.87716 17.87714

1 2 3

−0.5, −0.25 −0.5, −0.25, 0.0 −0.5, −0.25, 0.0, −0.75

0.21504167 0.16988889 0.17451852

n

x0 , x1 , . . . , xn

Pn (0.25)

n

x0 , x1 , . . . , xn

Pn (0.9)

1 2 3

0.2, 0.3 0.2, 0.3, 0.4 0.2, 0.3, 0.4, 0.1

−0.13869287 −0.13259734 −0.13277477

1 2 3

0.8, 1.0 0.8, 1.0, 0.7 0.8, 1.0, 0.7, 0.6

0.44086280 0.43841352 0.44198500

c.

d.

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Respuestas a ejercicios seleccionados 7. a.

R 11

b. n

Error real

Cota de error

n

Error real

Cota de error

1 2

1.180 × 10−3 1.367 × 10−5

1.200 × 10−3 1.452 × 10−5

1 2

4.052 × 10−2 4.630 × 10−3

4.515 × 10−2 4.630 × 10−3

n

Error real

Cota de error

n

Error real

Cota de error

1 2

5.921 × 10−3 1.746 × 10−4

6.097 × 10−3 1.813 × 10−4

1 2

2.730 × 10−3 5.179 × 10−3

1.408 × 10−2 9.222 × 10−3

c.

d.

9. y = 4.25 11. Tenemos f (1.09) ≈ 0.2826. El error real es 4.3 × 10−5 , y una cota de error es 7.4 × 10−6 . La discrepancia se debe al hecho de que los datos están determinados solamente para cuatro lugares decimales y sólo se utiliza aritmética de cuatro dígitos. 13. a. P2 (x) = −11.22388889x 2 + 3.810500000x + 1, y una cota de error es 0.11371294. b. P2 (x) = −0.1306344167x 2 + 0.8969979335x − 0.63249693, y una cota de error es 9.45762 × 10−4 . c. P3 (x) = 0.1970056667x 3 − 1.06259055x 2 + 2.532453189x − 1.666868305, y una cota de error es 10 −4 . d. P3 (x) = −0.07932x 3 − 0.545506x 2 + 1.0065992x + 1, y una cota de error es 1.591376 × 10−3 . 15. a. 1.32436 b. 2.18350 c. 1.15277, 2.01191 d. Las partes a) y b) son mejores debido al espaciamiento de los nodos. 17. La longitud de paso más grande posible es 0.004291932, por lo que 0.004 sería una selección razonable. 19. a. El polinomio de interpolación es P5  x  = −0.00252225x 5 + 0.286629x 4 − 10.7938x 3 + 157.312x 2 + 1642.75x + 179323. El año 1960 corresponde a x = 0, por lo que los resultados son:

AÑO x P5 (x) Censo de Estados Unidos

1950

1975

2014

2020

−10 192 539 150 697

15 215526 215 973 (E ST.)

54 306 211 317 298(E ST.)

60 266 161 341 000(E ST.)

b. Con base en el valor de 1950, no pondremos mucha confianza en los valores para 1975, 2014 y 2020. Sin embargo, el valor de 1975 es cercano a la población calculada, pero el valor de 2014 no es muy bueno. El valor 2020 es poco realista. 21. Puesto que g j + 21 h = 0, máx |g x | = máx |g  j h |, g

j+

1 h 2

, |g(( j + 1)h)|

= máx 0,

h2 , 4

luego |g(x)| ≤ h 2 /4. 23. a. (i) B3 (x) = x

(ii) B3 (x) = 1

d. n ≥ 250 000

Conjunto de ejercicios 3.2 1. Las aproximaciones son iguales a las del ejercicio 5 en la sección 3.1. √ √ 3. a. Tenemos 3 ≈ P4 1/2 = 1.7083. b. Tenemos 3 ≈ P4 (3) = 1.690607. c. El error absoluto en la parte a) es aproximadamente 0.0237 y el error absoluto en la parte b) es 0.0414, por lo que la parte a) es más exacta. 5. P2 = f (0.5) = 4 7. P0,1,2,3 (2.5) = 2.875 9. La aproximación incorrecta es − f (2)/6 + 2 f (1)/3 + 2/3 + 2 f (−1)/3 − f (−2)/6 y la aproximación correcta es − f (2)/6 + 2 f (1)/3 + 2 f (−1)/3 − f (−2)/6, por lo que la aproximación incorrecta es 2 /3 más grande. 11. Los primeros 10 términos de la sucesión son 0.038462, 0.333671, 0.116605, −0.371760, −0.0548919, 0.605935, 0.190249, −0.513353, −0.0668173, y 0.448335. √ Puesto que f (1 + 10) = 0.0545716, la sucesión no parece converger.

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R 12

Respuestas a ejercicios seleccionados

13. Modifique el algoritmo 3.1 de acuerdo con lo siguiente: ENTRADA números y0 , y1 , . . . , yn ; valores x0 , x1 , . . . , xn como la primera columna Q 0,0 , Q 1,0 , . . . , Q n,0 de Q. SALIDA la tabla Q con Q n,n que se aproxima a f −1 (0). PASO 1 Para i = 1, 2, . . . , n para j = 1, 2, . . . , i determine Q i, j =

yi Q i−1, j−1 − yi− j Q i, j−1 . yi − yi− j

Conjunto de ejercicios 3.3 1. a. P1 !x " = 16.9441 + 3.1041(x − 8.1); P1 (8.4) = 17.87533; P2 (x) = P1 (x) + 0.06(x − 8.1)(x − 8.3); P2 (8.4) = 17.87713; P3 (x) = P2 (x) − 0.00208333(x − 8.1)(x − 8.3)(x − 8.6); P3 (8.4) = 17.87714 b. P1 (x) = −0.1769446 + 1.9069687(x − 0.6); P1 (0.9) = 0.395146; P2 (x) = P1 (x) + 0.959224(x − 0.6)(x − 0.7); P2 (0.9) = 0.4526995; P3 (x) = P2 (x) − 1.785741(x − 0.6)(x − 0.7)(x − 0.8#; P3 $0.9) = 0.4419850 3. En las siguientes ecuaciones, tenemos s = h1 (x − x0 ). a. P1 (s) = −0.718125 − 0.0470625s; P1 − 31 = −0.006625 P2 (s) = P1 (s) + 0.312625s(s − 1)/2; P2 − 31 = 0.1803056 P3 (s) = P2 (s) + 0.09375s(s − 1)(s − 2)/6; P3 − 31 = 0.1745185 b. P1 (s) = −0.62049958 + 0.3365129s; P1 (0.25) = −0.1157302 P2 (s) = P1 (s) − 0.04592527s(s − 1)/2; P2 (0.25) = −0.1329522 P3 (s) = P2 (s) − 0.00283891s(s − 1)(s − 2)/6; P3 (0.25) = −0.1327748 5. En las siguientes ecuaciones, tenemos s = h1 (x − xn ).

7. 9. 11. 13. 15. 17.

a. P1 (s) = 1.101 + 0.7660625s; f (− 13 ) ≈ P1 (− 43 ) = 0.07958333; P2 (s) = P1 (s) + 0.406375s(s + 1)/2; f (− 31 ) ≈ P2 (− 34 ) = 0.1698889; P3 (s) = P2 (s) + 0.09375s(s + 1)(s + 2)/6; f (− 13 ) ≈ P3 (− 43 ) = 0.1745185 b. P1 (s) = 0.2484244 + 0.2418235s; f (0.25) ≈ P1 (−1.5) = −0.1143108 P2 (s) = P1 (s) − 0.04876419s(s + 1)/2; f (0.25) ≈ P2 (−1.5) = −0.1325973 P3 (s) = P2 (s) − 0.00283891s(s + 1)(s + 2)/6; f (0.25) ≈ P3 (−1.5) = −0.1327748 a. P3 (x) = 5.3 − 33(x + 0.1) + 129.83(x + 0.1)x − 556.6(x + 0.1)x(x − 0.2) b. P4 (x) = P3 (x) + 2730.243387(x + 0.1)x(x − 0.2)(x − 0.3) a. f (0.05) ≈ 1.05126 b. f (0.65) ≈ 1.91555 c. f (0.43) ≈ 1.53725 2 El coeficiente de x es 3.5. La aproximación para f (0.3) debería incrementarse por 5.9375. 2 P(10) = 1140 ¯ a. El polinomio de interpolación es P5 (x) = 179323 + 2397.4x − 3.695x(x − 10) + 0.0983x(x − 10)(x − 20) + 0.0344042x(x − 10)(x − 20)(x − 30) − 0.00252225x(x − 10)(x − 20)(x − 30)(x − 40), donde x = 0 corresponde a 1960. P5 (−10) P5 (15) P5 (54) P5 (60)

= = = =

192 539 215 526 306 215 266 165

aproxima la población en 1950. aproxima la población en 1975. aproxima la población en 2014. aproxima la población en 2020.

b. Con base en el valor de 1950, no daríamos mucho crédito a las aproximaciones de 1975, 2014 y 2020. A pesar de que 1975 y 2014 no son malos, 2020 parece poco realista. 19. 3 f (x0 ) = −6, 4 f (x0 ) = 5 f (x0 ) = 0, por lo que el polinomio interpolante tiene grado 3. 21. Puesto que f [x2 ] = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x1 − x0 ) + a2 (x2 − x0 )(x2 − x1 ), a2 =

f [x0 , x1 ] f [x2 ] − f [x0 ] − . (x2 − x0 )(x2 − x1 ) (x2 − x1 )

Esto se simplifica en f [x0 , x1 , x2 ].

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Respuestas a ejercicios seleccionados

R 13

˜ ˆ 23. Sea P(x) = f [xi0 ] + nk=1 f [xi0 , . . . , xik ](x − xi0 ) · · · (x − xik ) y P(x) = f [x0 ] + nk=1 f [x0 , . . . , xk ](x − x0 ) · · · (x − xk ). ˜ ˆ El polinimio P(x) interpola f (x) en los nodos xi0 , . . . , xin , y los polinomios P(x) interpola f (x) en los nodos x0 , . . . , xn . ˜ ˆ Puesto que ambos conjuntos de nodos son iguales y el polinomio de interpolación es único, tenemos P(x) El coeficiente = P(x). ˆ ˜ es f [x0 , . . . , xn ]. Por lo tanto, de x n en P(x) es f [xi0 , . . . , xin ], y el coeficiente de x n en P(x) f [xi0 , . . . , xin ] = f [x0 , . . . , xn ].

Conjunto de ejercicios 3.4 1. Los coeficientes de los polinomios en forma de diferencia dividida están dados en las siguientes tablas. Por ejemplo, el polinomio en la parte a) es H3 % x & = 17.56492 + 3.116256(x − 8.3) + 0.05948(x − 8.3)2 − 0.00202222(x − 8.3)2 (x − 8.6). a

b

c

d

17.56492 3.116256 0.05948 −0.00202222

0.22363362 2.1691753 0.01558225 −3.2177925

−0.02475 0.751 2.751 1 0 0

−0.62049958 3.5850208 −2.1989182 −0.490447 0.037205 0.040475 −0.0025277777 0.0029629628

3. La siguiente tabla muestra las aproximaciones. Aproximación

Real

x

para f (x)

f (x)

Error

a

8.4

17.877144

17.877146

2.33 × 10−6

b

0.9

0.44392477

0.44359244

3.3323 × 10−4

c

− 31

0.1745185

0.17451852

1.85 × 10−8

d

0.25

−0.1327719

−0.13277189

5.42 × 10−9

5. a. Tenemos sen 0.34 ≈ H5 (0.34) = 0.33349. b. La fórmula proporciona una cota de error de 3.05 × 10−14 , pero el error real es 2.91 × 10−6 . La discrepancia se debe al hecho de que los datos sólo están provistos por cinco lugares decimales. c. Tenemos sen 0.34 ≈ H7 (0.34) = 0.33350. A pesar de que la cota de error ahora es 5.4 × 10−20 , la inexactitud de los datos provistos domina los cálculos. Este resultado es realmente menos exacto que la aproximación en la parte b), puesto que sen 0.34 = 0.333487. 7. H3 (1.25) = 1.169080403 con una cota de error de 4.81 × 10−5 , y H5 (1.25) = 1.169016064 con una cota de error de 4.43 × 10−4 . 9. H3 (1.25) = 1.169080403 con una cota de error de 4.81 × 10−5 , y H5 (1.25) = 1.169016064 con una cota de error de 4.43 × 10−4 . 11. a. Suponga que P(x) es otro polinomio con P (xk ) = f (xk ) y P (xk ) = f (xk ), para k = 0, . . . , n, y que el grado de P(x) es máximo 2n + 1. Haga D(x) = H2n+1 (x) − P(x). Entonces D(x) es un polinomio de grado máximo 2n + 1 con D (xk ) = 0, y D (xk ) = 0, para cada k = 0, 1, . . . , n. Por lo tanto, D tiene ceros de multiplicidad 2 en cada xk y D(x) = (x − x0 )2 . . . (x − xn )2 Q(x). Por lo tanto, D(x) debe ser de grado 2n o más, lo cual sería una contradicción, o Q(x) ≡ 0 implica que D(x) ≡ 0. Por lo tanto, P(x) ≡ H2n+1 (x).

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R 14

Respuestas a ejercicios seleccionados

b. Primero observe que la fórmula de error se mantiene si x = xk para cualquier selección de ξ. Sea x = xk , para k = 0, . . . , n, y defina g(t) = f (t) − H2n+1 (t) −

(t − x0 )2 . . . (t − xn )2 [ f (x) − H2n+1 (x)] . (x − x0 )2 . . . (x − xn )2

Observe que g(xk ) = 0, para k = 0, . . . , n, y g(x) = 0. Por lo tanto, g tiene n + 2 ceros distintos en [a, b]. Por el teorema de Rolle, g tiene n + 1 ceros distintos ξ0 , . . . , ξn , los cuales se encuentran entre los números x0 , . . . , xn , x. Además, g (xk ) = 0, para k = 0, . . . , n, por lo que g tiene 2 n + 2 ceros distintos ξ0 , . . . , ξn , x0 , . . . , xn . Puesto que g es 2n + 1 veces diferenciable, el teorema de Rolle generalizado implica que existe un número ξ en [a, b] con g (2n+2) (ξ ) = 0. Pero, g (2n+2) (t) = f (2n+2) (t) −

d 2n+2 [ f (x) − H2n+1 (x)] · (2n + 2)! H2n+1 (t) − dt 2n+2 (x − x0 )2 · · · (x − xn )2

y 0 = g (2n+2) (ξ ) = f (2n+2) (ξ ) −

(2n + 2)![ f (x) − H2n+1 (x)] . (x − x0 )2 · · · (x − xn )2

La fórmula de error se sigue.

Conjunto de ejercicios 3.5 1. S(x) = x en [0, 2]. 3. Las ecuaciones de los splines cúbicos respectivos son S(x) = Si (x) = ai + bi (x − xi ) + ci (x − xi )2 + di (x − xi )3 , para x en [xi , xi+1 ], donde los coeficientes están determinados en las siguientes tablas. b.

a. i

ai

bi

ci

di

i

0 17.564920 3.13410000 0.00000000 0.00000000 c.

ai

bi

ci

di

0 0.22363362 2.17229175 0.00000000 0.00000000 d.

i

ai

bi

ci

di

0 −0.02475000 1.03237500 0.00000000 6.50200000 1 0.33493750 2.25150000 4.87650000 −6.50200000

i

ai

bi

ci

di

0 −0.62049958 3.45508693 0.00000000 −8.9957933 1 −0.28398668 3.18521313 −2.69873800 −0.94630333 2 0.00660095 2.61707643 −2.98262900 9.9420966

5. Las siguientes tablas muestran las aproximaciones. Aproximación

Real

Aproximación

Real

x

para f (x)

f (x)

Error

x

para f (x)

f (x)

a

8.4

17.87833

17.877146

1.1840 × 10−3

a

8.4

3.134100

3.128232 5.86829 × 10−3

b

0.9

0.4408628

0.44359244 2.7296 × 10−3

b

0.9

2.172292

2.204367

0.0320747

c

− 13

0.1774144

0.17451852 2.8959 × 10−3

c

− 13

1.574208

1.668000

0.093792

d

0.25

−0.1315912

−0.13277189 1.1807 × 10−3

d

0.25

2.908242

2.907061 1.18057 × 10−3

7. Las ecuaciones de los splines cúbicos condicionados respectivos son s(x) = si (x) = ai + bi (x − xi ) + ci (x − xi )2 + di (x − xi )3 , para x en [xi , xi+1 ], donde los coeficientes están determinados en las siguientes tablas.

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Error

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Respuestas a ejercicios seleccionados a.

b. i

ai

bi

ci

di

i

0 17.564920 3.116256 0.0608667 −0.00202222

ai

bi

ci

di

0 0.22363362 2.1691753 0.65914075 −3.2177925

c.

d. i

ai

bi

ci

di

i

0 −0.02475000 0.75100000 2.5010000 1.0000000 1 0.33493750 2.18900000 3.2510000 1.0000000 9.

Aproximación

Real

x

para f (x)

f (x)

a

8.4

17.877152

17.877146 5.910 × 10−6

b

0.9

0.4439248

c

− 31

0.17451852

ai

bi

ci

di

0 −0.62049958 3.5850208 −2.1498407 −0.49077413 1 −0.28398668 3.1403294 −2.2970730 −0.47458360 2 0.006600950 2.6666773 −2.4394481 −0.44980146 Aproximación

Real

x

para f (x)

f (x)

a

8.4

3.128369

3.128232 1.373 × 10−4

0.44359244 3.323 × 10−4

b

0.9

2.204470

2.204367 1.0296 × 10−4

0.17451852

c

− 31

1.668000

1.668000

d

0.25

2.908242

2.907061 1.18057 × 10−3

Error

0

d 0.25 −0.13277221 −0.13277189 3.19 × 10−7

11. b = −1, c = −3, d = 1 13. a = 4, b = 4, c = −1, d = 31 15. La aproximación lineal por tramos para f está determinada por F 'x * =

20'e0.1 − 1)x + 1, para x en [0, 0.05] 20(e0.2 − e0.1 )x + 2e0.1 − e0.2 , para x en (0.05, 1].

Tenemos 0.1

0.1

F(x) d x = 0.1107936

0

y 0

f (x) d x = 0.1107014.

17. La ecuación del spline es S(x) = Si (x) = ai + bi (x − xi ) + ci (x − xi )2 + di (x − xi )3 , para x en [xi , xi+1 ], donde los coeficientes están determinados en la siguiente tabla. xi

ai

bi

ci

di

0 0.25 0.5 0.75

1.0 0.7071068 0.0 −0.7071068

−0.7573593 −2.0 −3.242641 −2.0

0.0 −4.970563 0.0 4.970563

−6.627417 6.627417 6.627417 −6.627417

1 0

R 15

S(x)d x = 0.000000, S (0.5) = −3.24264, y S (0.5) = 0.0

19. La ecuación del spline es s(x) = si (x) = ai + bi (x − xi ) + ci (x − xi )2 + di (x − xi )3 , para x en [xi , xi+1 ], donde los coeficientes están determinados en la siguiente tabla.

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Error

0

lOMoARcPSD|5123985

R 16

Respuestas a ejercicios seleccionados

xi

ai

bi

ci

di

0 0.25 0.5 0.75

1.0 0.7071068 0.0 −0.7071068

0.0 −2.216388 −3.134447 −2.216388

−5.193321 −3.672233 0.0 3.672233

2.028118 4.896310 4.896310 2.028118

1 0

s(x) d x = 0.000000, s (0.5) = −3.13445, y s (0.5) = 0.0

21. a. En [0, 0.05], tenemos s(x) = 1.000000 + 1.999999x + 1.998302x 2 + 1.401310x 3, y en (0.05, 0.1], tenemos s(x) = 1.105170 + 2.210340(x − 0.05) + 2.208498(x − 0.05)2 + 1.548758(x − 0.05)3 . b.

0.1 0

s(x) d x = 0.110701

c. 1.6 × 10−7

d. En [0, 0.05], tenemos S(x) = 1 + 2.04811x + 22.12184x 3 , y en (0.05, 0.1], tenemos S(x) = 1.105171 + 2.214028(x − 0.05) + 3.318277(x − 0.05)2 − 22.12184(x − 0.05)3 . S(0.02) = 1.041139 y S(0.02) = 1.040811.

23. El spline tiene la ecuación

s(x) = si (x) = ai + bi (x − xi ) + ci (x − xi )2 + di (x − xi )3 , para x en [xi , xi+1 ], donde los coeficientes están dados en la siguiente tabla. xi

ai

bi

ci

0 3 5 8

0 225 383 623

75 76.9779 80.4071 77.9978

di 0.219764 −0.153761 −0.177237 0.0799115

−0.659292 1.31858 0.396018 −1.19912

El spline predice una posición de s(10) = 774.84 pies y una velocidad de s (10) = 74.16 pies/seg. Para maximizar la velocidad, encontramos el único punto crítico de s (x), y comparamos los valores de s(x) en este punto y en los extremos. Encontramos que máx s (x) = s (5.7448) = 80.7 pies/seg = 55.02 mi/h. La velocidad 55 mi/h se excedió primero en aproximadamente 5.5 s. 25. La ecuación del spline es S(x) = Si (x) = ai + bi (x − xi ) + ci (x − xi )2 + di (x − xi )3 , para x en [xi , xi+1 ], donde los coeficientes están determinados en la siguiente tabla. Muestra 1

Muestra 2

xi

ai

bi

ci

di

ai

bi

ci

di

0 6 10 13 17 20

6.67 17.33 42.67 37.33 30.10 29.31

−0.44687 6.2237 2.1104 −3.1406 −0.70021 −0.05069

0 1.1118 −2.1401 0.38974 0.22036 −0.00386

0.06176 −0.27099 0.28109 −0.01411 −0.02491 0.00016

6.67 16.11 18.89 15.00 10.56 9.44

1.6629 1.3943 −0.52442 −1.5365 −0.64732 −0.19955

0 −0.04477 −0.43490 0.09756 0.12473 0.02453

−0.00249 −0.03251 0.05916 0.00226 −0.01113 −0.00102

27. Los tres splines condicionados tienen ecuaciones de la forma si (x) = ai + bi (x − xi ) + ci (x − xi )2 + di (x − xi )3 , para x en [xi , xi+1 ], donde los valores de los coeficientes están determinados en las siguientes tablas.

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Respuestas a ejercicios seleccionados Spline 1 i

xi

0 1 1 2 2 5 3 6 4 7 5 8 6 10 7 13 8 17

ai = f (xi ) 3.0 3.7 3.9 4.2 5.7 6.6 7.1 6.7 4.5

bi 1.0 0.447 −0.074 1.016 1.409 0.547 0.048 −0.339

ci

di

f (xi )

−0.347 −0.049 −0.206 0.027 0.033 0.342 1.058 −0.575 −0.665 0.156 −0.196 0.024 −0.053 −0.003 −0.076 0.006

1.0

R 17

Spline 2 i

xi

ai = f (xi )

0 17 1 20 2 23 3 24 4 25 5 27 6 27.7

4.5 7.0 6.1 5.6 5.8 5.2 4.1

bi

ci

di

f (xi )

3.0 −1.101 −0.126 −0.198 0.035 −0.023 −0.609 −0.172 0.280 −0.111 0.669 −0.357 0.154 −0.403 0.088 −0.401 0.126 −2.568

3.0

−4.0

−0.67 Spline 3 i

xi

ai = f (xi )

0 1 2 3

27.7 28 29 30

4.1 4.3 4.1 3.0

bi

ci

di

f (xi )

0.330 0.661 −0.765

2.262 −1.157 −0.269

−3.800 0.296 −0.065

0.33

−1.5

29. Sea f + x , = a + bx + cx 2 + d x 3 . Claramente, f satisface las propiedades a), c), d) y e) de la definición 3.10 y f se interpola a sí misma para cualquier selección de x0 , . . . , xn . Ya que ii) de la propiedad f) en la definición 3.10 se mantiene, f debe ser su propio spline cúbico condicionado. Sin embargo, f (x) = 2c + 6d x puede ser cero sólo en x = −c/3d. Por lo tanto, la parte i) de la propiedad f) en la definición 3.10 no se puede mantener en dos valores x0 y xn . Por lo que f no puede ser un spline cúbico natural. 31. Inserte lo siguiente antes del paso 7 en el algoritmo 3.4 y el paso 8 en el algoritmo 3.5: Para j = 0, 1, . . . , n − 1 determine l1 = b j ; (Observe que l 1 = s (x j ).) l2 = 2c j ; (Observe que l 2 = s (x j ).) SALIDA (l1 , l2 ) Determine l1 = bn−1 + 2cn−1 h n−1 + 3dn−1 h 2n−1 ;(Observe que l 1 = s (xn ).) l2 = 2cn−1 + 6dn−1 h n−1 ;(Note that l2 = s (xn ).) SALIDA (l1 , l2 ). 33. Tenemos | f (x) − F(x)| ≤

M máx |x j+1 − x j |2 , 8 0≤ j≤n−1

donde M = máxa≤x≤b | f (x)|. Las cotas de error para el ejercicio 15 están en [0, 0.1], | f (x) − F(x)| ≤ 1.53 × 10−3 , y 0.1

0.1

F(x) d x − 0

35. S(x) =

e2x d x ≤ 1.53 × 10−4 .

0

2x − x 2 , 0≤x ≤1 2 1 + (x − 1) , 1 ≤ x ≤ 2

Conjunto de ejercicios 3.6 1. a. b. c. d.

x -t . = −10t 3 + 14t 2 + t, y -t . = −2t 3 + 3t 2 + t x -t . = −10t 3 + 14.5t 2 + 0.5t, y(t) = −3t 3 + 4.5t 2 + 0.5t x(t) = −10t 3 + 14t 2 + t, y(t) = −4t 3 + 5t 2 + t x(t) = −10t 3 + 13t 2 + 2t, y(t) = 2t

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R 18

Respuestas a ejercicios seleccionados

3. a. x(t) = −11.5t 3 + 15t 2 + 1.5t + 1, y(t) = −4.25t 3 + 4.5t 2 + 0.75t + 1 b. x(t) = −6.25t 3 + 10.5t 2 + 0.75t + 1, y(t) = −3.5t 3 + 3t 2 + 1.5t + 1 c. Para t entre (0, 0) y (4, 6), tenemos x(t) = −5t 3 + 7.5t 2 + 1.5t,

y(t) = −13.5t 3 + 18t 2 + 1.5t,

y para t entre (4, 6) y (6, 1), tenemos x(t) = −5.5t 3 + 6t 2 + 1.5t + 4,

y(t) = 4t 3 − 6t 2 − 3t + 6.

d. Para t entre (0, 0) y (2, 1), tenemos x(t) = −5.5t 3 + 6t 2 + 1.5t,

y(t) = −0.5t 3 + 1.5t,

y para t entre (2, 1) y (4, 0), tenemos x(t) = −4t 3 + 3t 2 + 3t + 2,

y(t) = −t 3 + 1,

y para t entre (4, 0) y (6, −1), tenemos x(t) = −8.5t 3 + 13.5t 2 − 3t + 4,

y(t) = −3.25t 3 + 5.25t 2 − 3t.

5. a. Al utilizar diferencias divididas hacia adelante obtenemos la siguiente tabla. 0 0 1 1

u0 u0 u3 u3

3(u 1 − u 0 ) u3 − u0 3(u 3 − u 2 )

u 3 − 3u 1 + 2u 0 2u 3 − 3u 2 + u 0

u 3 − 3u 2 + 3u 1 − u 0

Por lo tanto, u(t) = u 0 + 3(u 1 − u 0 )t + (u 3 − 3u 1 + 2u 0 0t 2 + 1u 3 − 3u 2 + 3u 1 − u 0 0t 2 1t − 10 = u 0 + 31u 1 − u 0 0t + 1−6u 1 + 3u 0 + 3u 2 0t 2 + 1u 3 − 3u 2 + 3u 1 − u 0 0t 3 .

De igual forma, v(t) = v0 + 3(v1 − v0 )t + (3v2 − 6v1 + 3v0 )t 2 + (v3 − 3v2 + 3v1 − v0 )t 3 . b. Al utilizar la fórmula para polinomios de Bernstein obtenemos u(t) = u 0 (1 − t)3 + 3u 1 t (1 − t)2 + 3u 2 t 2 (1 − t) + u 3 t 3 = u 0 + 3(u 1 − u 0 )t + (3u 2 − 6u 1 + 3u 0 )t 2 + (u 3 − 3u 2 + 3u 1 − u 0 )t 3 . De igual forma, v(t) = v0 (1 − t)3 + 3v1 + (1 − t)2 + 3v2 t 2 (1 − t) + v0 t 3 = v0 + 3(v1 − v0 )t + (3v2 − 6v1 + 3v0 )t 2 + (v3 − 3v2 + 3v1 − v0 )t 3 .

Conjunto de ejercicios 4.1 1. A partir de la fórmula de diferencias hacia adelante-hacia atrás (4.1), tenemos las siguientes aproximaciones: a. f 20.5) ≈ 0.8520, f (0.6) ≈ 0.8520, f (0.7) ≈ 0.7960 b. f (0.0) ≈ 3.7070, f (0.2) ≈ 3.1520, f (0.4) ≈ 3.1520 3. a. x

Error real

Cota de error

0.5 0.6 0.7

0.0255 0.0267 0.0312

0.0282 0.0282 0.0322

b. x

Error real

Cota de error

0.0 0.2 0.4

0.2930 0.2694 0.2602

0.3000 0.2779 0.2779

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Respuestas a ejercicios seleccionados

R 19

5. Para los puntos extremos de las tablas, utilizamos la fórmula (4.4). Las otras aproximaciones provienen de la fórmula (4.5). a. f (1.1) ≈ 17.769705, f (1.2) ≈ 22.193635, f (1.3) ≈ 27.107350, f (1.4) ≈ 32.150850 b. f (8.1) ≈ 3.092050, f (8.3) ≈ 3.116150, f (8.5) ≈ 3.139975, f (8.7) ≈ 3.163525 c. f (2.9) ≈ 5.101375, f (3.0) ≈ 6.654785, f (3.1) ≈ 8.216330, f (3.2) ≈ 9.786010 d. f (2.0) ≈ 0.13533150, f (2.1) ≈ −0.09989550, f (2.2) ≈ −0.3298960, f (2.3) ≈ −0.5546700 7. a.

c.

x

Error real

Cota de error

1.1 1.2 1.3 1.4

0.280322 0.147282 0.179874 0.378444

0.359033 0.179517 0.219262 0.438524

x

Error real

Cota de error

8.1 8.3 8.5 8.7

0.00018594 0.00010551 9.116 × 10−5 0.00020197

b.

x

Error real

Cota de error

2.9 3.0 3.1 3.2

0.011956 0.0049251 0.0004765 0.0013745

0.0180988 0.00904938 0.00493920 0.00987840

x

Error real

Cota de error

2.0 2.1 2.2 2.3

0.00252235 0.00142882 0.00204851 0.00437954

0.00410304 0.00205152 0.00260034 0.00520068

d.

0.000020322 0.000010161 0.000009677 0.000019355

9. Las aproximaciones y las fórmulas utilizadas son: a. f (2.1) ≈ 3.899344 a partir de (4.7), f (2.2) ≈ 2.876876 a partir de (4.7), f (2.3) ≈ 2.249704 a partir de (4.6), f (2.4) ≈ 1.837756 a partir de (4.6), f (2.5) ≈ 1.544210 a partir de (4.7), f (2.6) ≈ 1.355496 a partir de (4.7) b. f (−3.0) ≈ −5.877358 a partir de (4.7), f (−2.8) ≈ −5.468933 a partir de (4.7), f (−2.6) ≈ −5.059884 a partir de (4.6), f (−2.4) ≈ −4.650223 a partir de (4.6), f (−2.2) ≈ −4.239911 a partir de (4.7), f (−2.0) ≈ −3.828853 a partir de (4.7) 11. a. x

Error real

Cota de error

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

0.0242312 0.0105138 0.0029352 0.0013262 0.0138323 0.0064225

0.109271 0.0386885 0.0182120 0.00644808 0.109271 0.0386885

13. f 334 ≈

1 [ 12

b. x

Error real

Cota de error

− 3.0 −2.8 −2.6 −2.4 −2.2 −2.0

1.55 × 10−5 1.32 × 10−5 7.95 × 10−7 6.79 × 10−7 1.28 × 10−5 7.96 × 10−6

6.33 × 10−7 6.76 × 10−7 1.05 × 10−7 1.13 × 10−7 6.76 × 10−7 6.76 × 10−7

f 314 − 8 f 324 + 8 f 344 − f 354] = 0.21062, con una cota de error dada por máx

1≤x≤5

23 | f (5) (x)|h 4 ≤ = 0.76. 30 30

15. A partir de la fórmula de diferencias hacia adelante–hacia atrás (4.1), tenemos las siguientes aproximaciones: a. f (0.5) ≈ 0.852, f (0.6) ≈ 0.852, f (0.7) ≈ 0.7960 b. f (0.0) ≈ 3.707, f (0.2) ≈ 3.153, f (0.4) ≈ 3.153 17. Para los extremos de las tablas, usamos la fórmula (47). Las otras aproximaciones provienen de la fórmula (4.6). f (2.2) ≈ 2.896, f (2.3) ≈ 2.249, f (2.4) ≈ 1.836, f (2.5) ≈ 1.550, f (2.6) ≈ 1.348 a. f (2.1) ≈ 3.884, f (−2.8) ≈ −5.467, f (−2.6) ≈ −5.059, f (−2.4) ≈ −4.650, f (−2.2) ≈ −4.208, b. f (−3.0) ≈ −5.883, f (−2.0) ≈ −3.875 19. La aproximación es −4.8 × 10−9 . f (0.5) = 0. La cota de error es 0.35874. El método es muy exacto ya que la función es simétrica alrededor de x = 0.5. 21. a. f (0.2) ≈ −0.1951027 b. f (1.0) ≈ −1.541415 c. f (0.6) ≈ −0.6824175

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R 20

Respuestas a ejercicios seleccionados

23. Las fórmulas de tres puntos da los resultados en la siguiente tabla. Tiempo

0

3

5

8

10

13

Velocidad

79

82.4

74.2

76.8

69.4

71.2

25. f (0.4) ≈ −0.4249840 y f (0.8) ≈ −1.032772. 27. Al final, las aproximaciones se convierten en cero porque el numerador se convierte en cero. √ √ 29. Puesto √ que e (h) = −ε/ h 2 + h M/3, tenemos e (h) = 0 si y sólo si h = 3 3ε/M. Además, e (h) < 0 si h < 3 3ε/M y e (h) > 0 √ si h > 3 3ε/M, por lo que el mínimo absoluto para e(h) se presenta en h = 3 3ε/M.

Conjunto de ejercicios 4.2 1. a. f (1) ≈ 1.0000109

b. f (0) ≈ 2.0000000

c. f (1.05) ≈ 2.2751459

d. f (2.3) ≈ −19.646799

3. a. f (1) ≈ 1.001

b. f (0) ≈ 1.999

c. f (1.05) ≈ 2.283

d. f (2.3) ≈ −19.61

5.

π 0

sen x d x ≈ 1.999999

7. Con h = 0.1, la fórmula (4.6) se convierte en f (2) ≈

1 1.8e1.8 − 8 1.9e1.9 + 8(2.1)e2.1 − 2.2e2.2 = 22.166995. 1.2

Con h = 0.05, la fórmula (4.6) se convierte en f (2) ≈ 9. Sea N2 (h) = N

h 3

+

1 1.9e1.9 − 8 1.95e1.95 + 8(2.05)e2.05 − 2.1e2.1 = 22.167157. 0.6

N ( h3 )−N (h) 2

h 3

y N3 (h) = N2

11. Sea N (h) = (1 + h)1/ h , N2 (h) = 2N

h 2

N2 ( h3 )−N2 (h) 8

+

+ 31 (N2

h 2

− N (h), N3 (h) = N2

. Entonces N3 (h) es una O(h 3 ) aproximación a M. h 2

a. N (0.04) = 2.665836331, N (0.02) = 2.691588029, N (0.01) = 2.704813829

− N2 (h)).

b. N2 (0.04) = 2.717339727, N2 (0.02) = 2.718039629. The O(h 3 ) la aproximación es N3 (0.04) = 2.718272931. c. Sí, puesto que los errores parecen proporcionales para h para N (h), a h 2 para N2 (h), y a h 3 para N3 (h).

13. a. Tenemos

P0,1 (x) =

x − h 2 N1 h2 4

−

h 2

h2

+

h2 4

x−

h2

N1 (h)

−

,

h2

por lo que P0,1 (0) =

4N1

h 2

− N1 (h) . 3

16N2

h 2

− N2 (h) . 15

4

De igual forma, P1,2 (0) =

4N1

h 4

− N1 3

h 2

.

b. Tenemos

P0,2 (x) =

x − h 4 N2 h4 16

−

h 2

h4

x− +

h4 16

h4

−

N2 (h) h4

,

por lo que P0,2 (0) =

16

15. c. 8

16

32

64

128

256

512

pk

4 √ 2 2

3.0614675

3.1214452

3.1365485

3.1403312

3.1412723

3.1415138

3.1415729

Pk

4

3.3137085

3.1825979

3.1517249

3.144184

3.1422236

3.1417504

3.1416321

k

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Respuestas a ejercicios seleccionados d. Los valores de pk y Pk provistos en las siguientes tablas, junto con los resultados de extrapolación: Para pk , tenemos: 2.8284271 3.0614675 3.1214452 3.1365485 3.1403312

3.1391476 3.1414377 3.1415829 3.1415921

3.1415904 3.1415926 3.1415927

3.1415927 3.1415927

3.1415927

3.1424910 3.1416032 3.1415928

3.1415891 3.1415926

3.1415927

Para Pk , tenemos: 4 3.3137085 3.1825979 3.1517249 3.1441184

3.0849447 3.1388943 3.1414339 3.1415829

Conjunto de ejercicios 4.3 1. La regla trapezoidal da las siguientes aproximaciones. a. 0.265625 b. −0.2678571 e. −0.8666667 f. −0.1777643 3. Los errores se muestran en las tablas.

a b c d e f g h

Error real

Cota de error

0.071875 7.943 × 10−4 0.0358147 0.0233369 0.1326975 9.443 × 10−4 0.0663431 1.554631

0.125 9.718 × 10−4 0.0396972 0.1666667 0.5617284 1.0707 × 10−3 0.0807455 2.298827

5. La regla de Simpson da las siguientes aproximaciones. a. 0.1940104 b. −0.2670635 e. −0.7391053 f. −0.1768216 7. Los errores se muestran en las tablas. Error real a b c d e f g h

2.604 × 10−4 7.14 × 10−7 1.406 × 10−5 1.7989 × 10−3 5.1361 × 10−3 1.549 × 10−6 3.6381 × 10−4 4.9322 × 10−3

c. 0.228074 g. 0.2180895

d. 0.1839397 h. 4.1432597

c. 0.1922453 g. 0.1513826

d. 0.16240168 h. 2.5836964

c. 0.1743309 g. 0.1180292

d. 0.1516327 h. 1.8039148

Cota de error 2.6042 × 10−4 9.92 × 10−7 2.170 × 10−5 4.1667 × 10−4 0.063280 2.095 × 10−6 4.1507 × 10−4 0.1302826

9. La regla de punto medio da las siguientes aproximaciones. a. 0.1582031 b. −0.2666667 f. −0.1768200 e. −0.6753247

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R 21

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R 22

Respuestas a ejercicios seleccionados

11. Los errores se muestran en las tablas.

a b c d e f g h

Error real

Cota de error

0.0355469 3.961 × 10−4 0.0179285 8.9701 × 10−3 0.0564448 4.698 × 10−4 0.0337172 0.7847138

0.0625 4.859 × 10−4 0.0198486 0.0833333 0.2808642 5.353 × 10−4 0.0403728 1.1494136

13. f (1) = 12 15. Las siguientes aproximaciones se obtienen a partir de las fórmulas (4.23) hasta la fórmula (4.30), respectivamente. a. 0.1024404, 0.1024598, 0.1024598, 0.1024598, 0.1024695, 0.1024663, 0.1024598, y 0.1024598 b. 0.7853982, 0.7853982, 0.7853982, 0.7853982, 0.7853982, 0.7853982, 0.7853982, y 0.7853982 c. 1.497171, 1.477536, 1.477529, 1.477523, 1.467719, 1.470981, 1.477512, y 1.477515 d. 4.950000, 2.740909, 2.563393, 2.385700, 1.636364, 1.767857, 2.074893, y 2.116379 17.

19. 21. 23. 25.

i

ti

wi

y 5ti 6

(4.23) 5.43476

(4.24) 5.03420

(4.26) 5.03292

(4.27) 4.83393

(4.29) 5.03180

El grado de precisión es tres. c0 = 13 , c1 = 34 , c2 = 13 c0 = 14 , c1 = 43 , x1 = 23 da grado de precisión 2. Si E 5 x k 6 = 0, para todas las k = 0, 1, . . . , n y E(x n+1 ) = 0, entonces con pn+1 (x) = x n+1 , tenemos un polinomio de grado n + 1 para el cual E( pn+1 (x)) = 0. Sea p(x) = an x n + · · · + a1 x + a0 cualquier polinomio de grado menor a o igual a n. Entonces, E( p(x)) = an E(x n ) + · · · + a1 E(x) + a0 E(1) = 0. En cambio, si E( p(x)) = 0 para todos los polinomios de grado menor a o igual a n, sigue que E(x k ) = 0, para todas k = 0, 1, . . . , n. Sea pn+1 (x) = an+1 x n+1 + · · · + a0 un polinomio de grado n 1 1 para el cual E( pn+1 (x)) = 0. Puesto que an+1 = 0, tenemos x n+1 =

1 an n a0 pn+1 (x) − x − ··· − . an+1 an+1 an+1

Entonces E(x n+1 ) =

an a0 1 1 E( pn+1 (x)) − E(x n ) − · · · − E(1) = E( pn+1 (x)) = 0. an+1 an+1 an+1 an+1

Por lo tanto, la fórmula de cuadratura tiene el grado de precisión n. la fórmula para n par en el teorema 4.3 da 27. Con x−1 = a, x2 = b, y h = b−a 3 1

x2 x−1

f (x) d x =

i=0

ai f (xi ) +

h 3 f (ξ ) 2!

2 −1

t (t − 1) dt.

Por lo que, x2

a0 =

x−1

x2

L 0 (x) d x =

x2

a1 =

x−1

x−1 x2

L 1 (x) d x =

x−1

(x − x1 ) (x − x1 )2 dx = (x0 − x1 ) 2(x0 − x1 ) 2

(x − x0 ) (x − x0 ) dx = (x1 − x0 ) 2(x1 − x0 )

x2 x−1

=

3 h, 2

=

3 h, 2

x2 x−1

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Respuestas a ejercicios seleccionados

R 23

y h 3 f (ξ ) 2

2

h 3 f (ξ ) 1 3 1 2 t − t 2 3 2

(t 2 − t) dt =

−1

2

= −1

3h 3 f (ξ ). 4

La fórmula se convierte en x2

f (x) d x = x−1

3h 3h 3 [ f (x0 ) + f (x1 )] + f (ξ ). 2 4

Conjunto de ejercicios 4.4 1. Las aproximaciones de la regla trapezoidal compuesta son: a. 0.639900 b. 31.3653 c. 0.784241 d. −6.42872 e. −13.5760 f. 0.476977 g. 0.605498 h. 0.970926 3. Las aproximaciones de la regla trapezoidal compuesta son: a. 0.6363098 b. 22.477713 c. 0.7853980 d. −6.274868 e. −14.18334 f. 0.4777547 g. 0.6043941 h. 0.9610554 5. Las aproximaciones de la regla de punto medio compuesta son: a. 0.633096 b. 11.1568 c. 0.786700 d. −6.11274 e. −14.9985 f. 0.478751 g. 0.602961 h. 0.947868 7. a. 3.15947567 b. 3.10933713 c. 3.00906003 9. α = 1.5 11. a. La regla trapezoidal compuesta requiere h < 0.000922295 y n ≥ 2168. b. La regla de Simpson compuesta requiere h < 0.037658 y n ≥ 54. c. La regla de punto medio compuesta requiere h < 0.00065216 y n ≥ 3066. 13. a. La regla trapezoidal compuesta requiere h < 0.04382 y n ≥ 46. La aproximación es 0 .405471. b. La regla de Simpson compuesta requiere h < 0.44267 y n ≥ 6. La aproximación es 0.405466. c. La regla de punto medio compuesta requiere h < 0.03098 y n ≥ 64. La aproximación es 0.405460. 15. a. Puesto que los límites derecho e izquierdo en 0.1 y 0.2 para f, f y f son iguales, las funciones son continuas en [0, 0.3]. Sin embargo,   0 ≤ x ≤ 0.1 6, f (x) = 12, 0.1 < x ≤ 0.2   12, 0.2 < x ≤ 0.3

17. 19. 21. 23.

es discontinua en x = 0.1. b. Tenemos 0.302506 con una cota de error de 1.9 × 10−4 . c. Tenemos 0.302425, y el valor real de la integral es la misma. La longitud es aproximadamente 15.8655. La regla de Simpson compuesta con h = 0.25 da 2.61972 s. La longitud es aproximadamente 58.47082, usando n = 100 en la regla de Simpson compuesta. Para mostrar que la suma n/2

f (4) (ξ j )2h j=1

es una suma de Reimann, sea yi = x2i , para i = 0, 1, . . . n2 . Entonces n/2

n/2

f (4) (ξ j j=1

yi = yi+1 − yi = 2h y yi−1 ≤ ξi ≤ yi . Por lo tanto, f (4) (ξ j )2h

yj = j=1

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R 24

Respuestas a ejercicios seleccionados

es una suma de Reimann para E( f ) = −

h5 90

b a

f (4) (x)d x. Por lo tanto,

n/2

f (4) (ξ j ) = − j=1

h4 180

n/2

f (4) (ξ j )2h ≈ − j=1

h4 180

b

f (4) (x) d x = − a

h4 f (b) − f (a) . 180

25. a. La regla trapezoidal compuesta: Con h = 0.0069669, el error estimado es 2.541 × 10−5 . b. La regla de Simpson compuesta: Con h = 0.132749, el error estimado es 3.252 × 10−5 . c. La regla de punto medio compuesta: Con h = 0.0049263, el error estimado es 2.541 × 10−5 .

Conjunto de ejercicios 4.5 1. La integración de Romberg da R3,3 de acuerdo con lo siguiente: a. 0.1922593 b. 0.1606105 c. −0.1768200 d. 0.08875677 e. 2.5879685 f. −0.7341567 g. 0.6362135 h. 0.6426970 3. La integración de Romberg da R4,4 de acuerdo con lo siguiente: a. 0.1922594 b. 0.1606028 c. −0.1768200 d. 0.08875528 e. 2.5886272 f. −0.7339728 g. 0.6362134 h. 0.6426991 5. La integración de Romberg da: a. 0.19225936 con n = 4 b. 0.16060279 con n = 5 c. −0.17682002 con n = 4 d. 0.088755284 con n = 5 e. 2.5886286 con n = 6 f. −0.73396918 con n = 6 g. 0.63621335 con n = 4 h. 0.64269908 con n = 5 7. R33 = 11.5246 9. f (2.5) ≈ 0.43459 11. R31 = 5 13. La integración de Romberg da: a. 62.4373714, 57.2885616, 56.4437507, 56.2630547, y 56.2187727 produce una predicción de 56.2. b. 55.5722917, 56.2014707, 56.2055989, y 56.2040624 produce una predicción de 56.20. c. 58.3626837, 59.0773207, 59.2688746, 59.3175220, 59.3297316, y 59.3327870 produce una predicción de 59.330. d. 58.4220930, 58.4707174, 58.4704791 y 58.4704691 produce una predicción de 58.47047. e. Considere la gráfica de la función. 15. R10,10 = 58.47046901 17. Tenemos 4Rk,1 − Rk−1,1 3   2k−2 1 f (a + (i − 1/2))h k−1 ) , Rk−1,1 + 2h k−1 = 3 i=1

Rk,2 =

=

1 h k−1 ( f (a) + f (b)) + h k−1 3 2

2k−2 −1 i=1

a partir de (4.35),

f (a + i h k−1 )

2k−2

+ 2h k−1

i=1

f (a + (i − 1/2)h k−1 ) ,

a partir de (4.34) con k − 1 en lugar de k,

 2k−2 −1 1 h k ( f (a) + f (b)) + 2h k f (a + 2i h k ) + 4h k = 3 i=1 =

h 3

M−1

f (a) + f (b) + 2

i=1

2k−2

i=1

f (a + (2i − 1)h)

M

f (a + 2i h) + 4

i=1



f (a + (2i − 1)h) ,

donde h = h k y M = 2k−2 .

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Respuestas a ejercicios seleccionados 19. De la ecuación (4.35) se sigue   2k−1 −1 hk  Rk,1 = f (a) + f (b) + 2 f (a + i h k ) 2 i=1   2k−1 −1 i hk  f (a + h k−1 ) = f (a) + f (b) + 2 2 2 i=1   2k−2 2k−1 −1 hk  f (a + i h k−1 ) + 2 f (a + (i − 1/2)h k−1 ) = f (a) + f (b) + 2 2 i=1 i=1     2k−2 2k−2 −1  1  h k−1  = f 7a 8 + f 7 b 8 + 2 f 7a + i h k−1 8 + h k−1 f 7a + 7i − 1928h k−1 8  2 2 i=1 i=1   2k−2 1 = Rk−1,1 + h k−1 f 7a + 7i − 1/28h k−1 8 . 2 i=1

Conjunto de ejercicios 4.6 1. La regla de Simpson da: a. S(1, 1.5) = 0.19224530, S(1, 1.25) = 0.039372434, S(1.25, 1.5) = 0.15288602, y el valor real es 0.19225935. b. S(0, 1) = 0.16240168, S(0, 0.5) = 0.028861071, S(0.5, 1) = 0.13186140, y el valor real es 0.16060279. c. S(0, 0.35) = −0.17682156, S(0, 0.175) = −0.087724382, S(0.175, 0.35) = −0.089095736, y el valor real es −0.17682002. d. S(0, π4 ) = 0.087995669, S(0, π8 ) = 0.0058315797, S( π8 , π4 ) = 0.082877624, y el valor real es 0.088755285. 3. La cuadratura adaptable da: a. 0.19226 b. 0.16072 c. −0.17682 d. 0.088709 5. La cuadratura adaptable da: a. 108.555281 7. Regla de Simpson a b

b. −1724.966983

c. −15.306308

Evaluación del número

Error

57 83

6.3 × 10−6 9.6 × 10−6

−0.21515695 0.95135226

d. −18.945949

Regla de Simpson −0.21515062 0.95134257

Evaluación del número

Error

229 217

1.0 × 10−8 1.1 × 10−7

9. La cuadratura adaptable da 2

sen 0.1

1 d x ≈ 1.1454 x

2

y

cos 0.1

1 d x ≈ 0.67378. x

2π

11. 0 u(t) dt ≈ 0.00001 13. Tenemos, para h = b − a, T (a, b) − T

a,

a+b 2

−T

a+b ,b 2

≈

h3 f (µ) 16

y b

f (x) d x − T a

a,

a+b 2

−T

a+b ,b 2

≈

h3 f (µ) . 48

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R 25

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R 26

Respuestas a ejercicios seleccionados

Por lo tanto, b

f (x) d x − T a

a,

a+b 2

a+b ,b 2

−T

≈

1 T (a, b) − T 3

a,

a+b 2

−T

a+b ,b 2

Conjunto de ejercicios 4.7 1. La cuadratura gaussiana da: a. 0.1922687 b. 0.1594104 3. La cuadratura gaussiana con n = 3 de: a. 0.1922594 b. 0.1605954

c. −0.1768190 c. −0.1768200

5. La cuadratura gaussiana da: a. 0.1922594 b. 0.1606028 c. −0.1768200 7. La cuadratura gaussiana con n = 5 da: a. 0.1922594 b. 0.1606028 c. −0.1768200 9. La aproximación es 3.743713701 con error absoluto 0.2226462. 11. a = 1, b = 1, c = 31 , d = − 13 13. Los polinomios de Legendre P2 (x) y P3 (x) están determinados por P2 (x) =

1 3x 2 − 1 2

por lo que sus raíces se verifican fácilmente. Para n = 2,

1

c1 =

−1

y

P3 (x) =

d. 0.08926302 d. 0.08875385 d. 0.08875529 d. 0.08875528

1 5x 3 − 3x , 2

x + 0.5773502692 dx = 1 1.1547005

y 1

c2 = Para n = 3,

1

c1 =

−1 1

c2 =

−1

−1

x − 0.5773502692 d x = 1. −1.1547005

5 x(x + 0.7745966692) dx = , 1.2 9 8 (x + 0.7745966692)(x − 0.7745966692) dx = , −0.6 9

y 1

c3 =

−1

x(x − 0.7745966692) 5 dx = . 1.2 9

Conjunto de ejercicios 4.8 1. El algoritmo 4.4. con n = m = 4 da: a. 0.3115733 b. 0.2552526 c. 16.50864 d. 1.476684 3. El algoritmo 4.5 con n = m = 2 da: a. 0.3115733 b. 0.2552446 c. 16.50863 d. 1.488875 5. El algoritmo 4.4 con n = 4 y m = 8, n = 8 y m = 4 y n = m = 6 da: a. 0.5119875, 0.5118533, 0.5118722 b. 1.718857, 1.718220, 1.718385 c. 1.001953, 1.000122, 1.000386 d. 0.7838542, 0.7833659, 0.7834362 e. −1.985611, −1.999182, −1.997353 f. 2.004596, 2.000879, 2.000980 g. 0.3084277, 0.3084562, 0.3084323 h. −22.61612, −19.85408, −20.14117

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.

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Respuestas a ejercicios seleccionados 7. El algoritmo 4.5 con n = m = 3, n = 3 y m = 4, n = 4 y m = 3 y n = m = 4 da: a. 0.5118655, 0.5118445, 0.5118655, 0.5118445, 2.1 × 10−5 , 1.3 × 10−7 , 2.1 × 10−5 , 1.3 × 10−7 b. 1.718163, 1.718302, 1.718139, 1.718277, 1.2 × 10−4 , 2.0 × 10−5 , 1.4 × 10−4 , 4.8 × 10−6 c. 1.000000, 1.000000, 1.0000000, 1.000000, 0, 0, 0, 0 d. 0.7833333, 0.7833333, 0.7833333, 0.7833333, 0, 0, 0, 0 e. −1.991878, −2.000124, −1.991878, −2.000124, 8.1 × 10−3 , 1.2 × 10−4 , 8.1 × 10−3 , 1.2 × 10−4 f. 2.001494, 2.000080, 2.001388, 1.999984, 1.5 × 10−3 , 8 × 10−5 , 1.4 × 10−3 , 1.6 × 10−5 g. 0.3084151, 0.3084145, 0.3084246, 0.3084245, 10−5 , 5.5 × 10−7 , 1.1 × 10−5 , 6.4 × 10−7 h. −12.74790, −21.21539, −11.83624, −20.30373, 7.0, 1.5, 7.9, 0.564 9. El algoritmo 4.4 con n = m = 14 da 0.1479103 y el algoritmo 4.5 con n = m = 4 da 0.1506823. 11. El algoritmo 4.6 con n = m = p = 2 da el primer valor listado. 1 c. 0.08641975, 14 b. 0.08429784, 121 a. 5.204036, e(e0.5 − 1)(e − 1)2 1 1 2 1 2 d. 0.09722222, 12 e. 7.103932, 2 + 2 π f. 1.428074, 2 (e + 1) − e 13. El algoritmo 4.6 con n = m = p = 4 da el primer valor listado. El segundo proviene del algoritmo 4.6 con n = m = p = 5. a. 5.206447 b. 0.08333333 c. 0.07142857 15. La aproximación 20.41887 requiere 125 evaluaciones funcionales. 17. La aproximación para el centro de masa es (x, y), donde x = 0.3806333 y y = 0.3822558. 19. El área es aproximadamente 1.0402528.

Conjunto de ejercicios 4.9 1. La regla de Simpson compuesta da: a. 0.5284163 b. 4.266654 3. La regla de Simpson compuesta da: a. 0.4112649 b. 0.2440679 5. La velocidad de escape es aproximadamente 6.9450 mi/s. ∞

7. a. 0

c. 0.4329748

d. 0.8802210

c. 0.05501681

d. 0.2903746

e−x f :x < d x ≈ 0.8535534 f (0.5857864) + 0.1464466 f (3.4142136)

∞

e−x f (x) d x ≈ 0.7110930 f (0.4157746) + 0.2785177 f (2.2942804) + 0.0103893 f (6.2899451)

b. 0

9. n = 2: 2.9865139 n = 3: 2.9958198

Conjunto de ejercicios 5.1 1. a. Puesto que f (t, y) = y cos t, tenemos

∂f ∂y

=t, y) = cos t, y

f satisface una condición de Lipschitz en y con L = 1 en

D = {(t, y)|0 ≤ t ≤ 1, −∞ < y < ∞}. Además, f es continua en D, por lo que existe una única solución, que es y(t) = esen t . b. Puesto que f (t, y) = 2t y + t 2 et , tenemos ∂∂ yf = 2t , y f satisface una condición de Lipschitz en y con L = 2 en D = {(t, y)|1 ≤ t ≤ 2, −∞ < y < ∞}. Además, f es continua en D, por lo que existe una única solución, que es y(t) = t 2 (et − e). c. Puesto que f (t, y > = − 2t y + t 2 et , tenemos ∂∂ yf = − 2t , y f satisface una condición de Lipschitz en y con L = 2 en D = {(t, y)|1 ≤ t ≤ 2, −∞ < y < ∞}. Además, f es continua en D, por lo que existe una solución única, que es √ y(t) = (t 4 et − 4t 3 et + 12t 2 et − 24tet + 24et + ( 2 − 9)e)/t 2 .

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R 27

lOMoARcPSD|5123985

R 28

Respuestas a ejercicios seleccionados 4t 3 y , 1+t 4

d. Puesto que f (t, y) =

tenemos

∂f ∂y

4t 3 , 1+t 4

=

y f satisface una condición de Lipschitz en y con L = 2 en

D = {(t, y)|0 ≤ t ≤ 1, −∞ < y < ∞}. Además, f es continua en D, por lo que existe una solución única, que es y(t) = 1 + t 4 . 3. a. La constante de Lipschitz L = 1; es un problema bien planteado. b. La constante de Lipschitz L = 1; es un problema bien planteado. c. La constante de Lipschitz L = 1; es un problema bien planteado. d. La función f no satisface una condición de Lipschitz, por lo que el teorema 5.6 no se puede utilizar. 5. a. Al derivar y 3 t + yt = 2 obtenemos 3 y 2 y t + y 3 + y t + y = 0. Al resolver para y obtenemos la ecuación diferencial original y al hacer t = 1 y y = 1 verificamos la condición inicial. Para aproximar y(2), use el método de Newton para resolver la ecuación y 3 + y − 1 = 0. Esto proporciona y(2) ≈ 0.6823278. b. Al derivar y sen t + t 2 e y + 2y − 1 = 0 obtenemos y sen t + y cos t + 2te y + t 2 e y y + 2y = 0. Al resolver para y obtenemos la ecuación diferencial original y haciendo t = 1 y y = 0 verificamos la condición inicial. Para aproximar y(2), use el método de Newton para resolver la ecuación (2 + sen 2)y + 4e y − 1 = 0. Esto proporciona y(2) ≈ −0.4946599. 1) 1) 1) 1) 1) = (y(t22 −y por lo que (y(y−y = (t(t−t . Si λ = (t(t−t , entonces 7. Permita que el punto (t, y) esté en la recta. Entonces (y−y (t−t1 ) −t1 ) 2 −y1 ) 2 −t1 ) 2 −t1 ) 1) 1) 1) , entonces y = (1 − λ)y1 + λy2 . Por lo que la selección λ = (t(t−t = (y(y−y t = (1 − λ)t1 + λt2 . De igual forma, λ = (y(y−y 2 −y1 ) 2 −t1 ) 2 −y1 ) es el valor de λ necesario para colocar (t, y) = ((1 − λ)t1 + λt2 , (1 − λ)y1 + λy2 ) en la recta. 9. Si (t1 , y1 ) y (t2 , y2 ) está en D, con a ≤ t1 ≤ b, a ≤ t2 ≤ b, −∞ < y1 < ∞, y −∞ < y2 < ∞. Para 0 ≤ λ ≤ 1, tenemos (1 − λ)a ≤ (1 − λ)t1 ≤ (1 − λ)b y λa ≤ λt2 ≤ λb. Por lo tanto, a = (1 − λ)a + λa ≤ (1 − λ)t1 + λt2 ≤ (1 − λ)b + λb = b. Además −∞ < (1 − λ)y1 + λy2 < ∞, por lo que D es convexa.

Conjunto de ejercicios 5.2 1. El método de Euler proporciona las aproximaciones en la siguientes tablas. a.

b. i

ti

wi

y(ti )

i

ti

wi

y(ti )

1 2

0.500 1.000

0.0000000 1.1204223

0.2836165 3.2190993

1 2

2.500 3.000

2.0000000 2.6250000

1.8333333 2.5000000

i

ti

wi

y(ti )

i

ti

wi

y(ti )

1 2 3 4

1.250 1.500 1.750 2.000

2.7500000 3.5500000 4.3916667 5.2690476

2.7789294 3.6081977 4.4793276 5.3862944

1 2 3 4

0.250 0.500 0.750 1.000

1.2500000 1.6398053 2.0242547 2.2364573

1.3291498 1.7304898 2.0414720 2.1179795

c.

d.

3. a.

b. t

Error real

Cota del error

t

Error real

Cota del error

0.5 1.0

0.2836165 2.0986771

11.3938 42.3654

2.5 3.0

0.166667 0.125000

0.429570 1.59726

t

Error real

0.25 0.50 0.75 1.00

0.0791498 0.0906844 0.0172174 0.118478

c.

d. t

Error real

Cota del error

1.25 1.50 1.75 2.00

0.0289294 0.0581977 0.0876610 0.117247

0.0355032 0.0810902 0.139625 0.214785

Para la parte d), la fórmula de la cota de error (5.10) no se puede aplicar ya que L = 0.

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Respuestas a ejercicios seleccionados 5. El método de Euler proporciona las aproximaciones en las siguientes tablas. b.

a. i

ti

wi

y(ti )

i

ti

wi

y(ti )

2 4 6 8 10

1.200 1.400 1.600 1.800 2.000

1.0082645 1.0385147 1.0784611 1.1232621 1.1706516

1.0149523 1.0475339 1.0884327 1.1336536 1.1812322

2 4 6 8 10

1.400 1.800 2.200 2.600 3.000

0.4388889 1.0520380 1.8842608 3.0028372 4.5142774

0.4896817 1.1994386 2.2135018 3.6784753 5.8741000

i

ti

wi

y(ti )

i

ti

wi

y(ti )

2 4 6 8 10

0.400 0.800 1.200 1.600 2.000

−1.6080000 −1.3017370 −1.1274909 −1.0491191 −1.0181518

−1.6200510 −1.3359632 −1.1663454 −1.0783314 −1.0359724

2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.1083333 0.1620833 0.3455208 0.6213802 0.9803451

0.1626265 0.2051118 0.3765957 0.6461052 1.0022460

c.

d.

7. Los errores reales para las aproximaciones en el ejercicio 3 están en las siguientes tablas. a. b. t

Error real

t

Error real

1.2 1.5 1.7 2.0

0.0066879 0.0095942 0.0102229 0.0105806

1.4 2.0 2.4 3.0

0.0507928 0.2240306 0.4742818 1.3598226

c.

d. t

Error real

t

Error real

0.4 1.0 1.4 2.0

0.0120510 0.0391546 0.0349030 0.0178206

0.2 0.5 0.7 1.0

0.0542931 0.0363200 0.0273054 0.0219009

9. El método de Euler proporciona las aproximaciones en la siguiente tabla. a. i

ti

wi

y(ti )

1 5 6 9 10

1.1 1.5 1.6 1.9 2.0

0.271828 3.18744 4.62080 11.7480 15.3982

0.345920 3.96767 5.70296 14.3231 18.6831

b. La interpolación lineal da las aproximaciones en la siguiente tabla. t

Aproximación

y(t)

Error

1.04 1.55 1.97

0.108731 3.90412 14.3031

0.119986 4.78864 17.2793

0.01126 0.8845 2.976

c. h < 0.00064

Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

R 29

lOMoARcPSD|5123985

R 30

Respuestas a ejercicios seleccionados

11. a. El método de Euler produce la siguiente aproximación para y(5) = 5.00674.

wN b. h =

h = 0.2

h = 0.1

h = 0.05

5.00377

5.00515

5.00592

√ 2 × 10−6 ≈ 0.0014142.

13. a. 1.021957 = y(1.25) ≈ 1.014978, 1.164390 = y(1.93? ≈ 1.153902 b. 1.924962 = y(2.1) ≈ 1.660756, 4.394170 = y(2.75) ≈ 3.526160

c. −1.138277 = y(1.3) ≈ −1.103618, −1.041267 = y(1.93) ≈ −1.022283 d. 0.3140018 = y(0.54) ≈ 0.2828333, 0.8866318 = y(0.94) ≈ 0.8665521 15. a. h = 10−n/2 b. El error mínimo es 10 −n/2 (e − 1) + 5e10−n−1 . c. t

w(h = 0.1)

w(h = 0.01)

y(t)

Error (n = 8)

0.5 1.0

0.40951 0.65132

0.39499 0.63397

0.39347 0.63212

1.5 × 10−4 3.1 × 10−4

17. b. w 50 = 0.10430 ≈ p(50) c. Puesto que p(t) = 1 − 0.99e−0.002t , p(50) = 0.10421.

Conjunto de ejercicios 5.3 1. a. ti

wi

y @ti A

0.50 1.00

0.12500000 2.02323897

0.28361652 3.21909932

ti

wi

y @ti A

1.25 1.50 1.75 2.00

2.78125000 3.61250000 4.48541667 5.39404762

2.77892944 3.60819766 4.47932763 5.38629436

c.

3. a. ti

wi

y @ti A

0.50 1.00

0.25781250 3.05529474

0.28361652 3.21909932

c.

b. ti

wi

y @ti A

2.50 3.00

1.75000000 2.42578125

1.83333333 2.50000000

ti

wi

y @ti A

0.25 0.50 0.75 1.00

1.34375000 1.77218707 2.11067606 2.20164395

1.32914981 1.73048976 2.04147203 2.11797955

d.

b. ti

wi

y(ti )

2.50 3.00

1.81250000 2.48591644

1.83333333 2.50000000

d. ti

wi

y(ti )

ti

wi

y(ti )

1.25 1.50 1.75 2.00

2.77897135 3.60826562 4.47941561 5.38639966

2.77892944 3.60819766 4.47932763 5.38629436

0.25 0.50 0.75 1.00

1.32893880 1.72966730 2.03993417 2.11598847

1.32914981 1.73048976 2.04147203 2.11797955

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Respuestas a ejercicios seleccionados 5. a.

R 31

b. i

ti

Orden 2 wi

1 2

1.1 1.2

1.214999 1.465250

y(ti )

i

ti

Orden 2 wi

y(ti )

1.215886 1.467570

1 2

0.5 1.0

0.5000000 1.076858

0.5158868 1.091818

c.

d. i

ti

Orden 2 wi

1 2 3 4

1.5 2.0 2.5 3.0

−2.000000 −1.777776 −1.585732 −1.458882

y(ti )

i

ti

Orden 2 wi

y(ti )

−1.500000 −1.333333 −1.250000 −1.200000

1 2 3 4

0.25 0.50 0.75 1.0

1.093750 1.312319 1.538468 1.720480

1.087088 1.289805 1.513490 1.701870

7. a.

b. i

ti

Orden 4 wi

1 2

1.1 1.2

1.215883 1.467561

y(ti )

i

ti

Orden 4 wi

y(ti )

1.215886 1.467570

1 2

0.5 1.0

0.5156250 1.091267

0.5158868 1.091818

c.

d. i

ti

Orden 4 wi

1 2 3 4

1.5 2.0 2.5 3.0

−2.000000 −1.679012 −1.484493 −1.374440

y(ti )

i

ti

Orden 4 wi

y(ti )

−1.500000 −1.333333 −1.250000 −1.200000

1 2 3 4

0.25 0.50 0.75 1.0

1.086426 1.288245 1.512576 1.701494

1.087088 1.289805 1.513490 1.701870

9. a. El método de Taylor de orden dos proporciona los resultados en la siguiente tabla. i

ti

wi

y(ti )

1 5 6 9 10

1.1 1.5 1.6 1.9 2.0

0.3397852 3.910985 5.643081 14.15268 18.46999

0.3459199 3.967666 5.720962 14.32308 18.68310

b. La interpolación lineal proporciona y(1.04) ≈ 0.1359139, y(1.55) ≈ 4.777033, y y(1.97) ≈ 17.17480. Los valores reales son y(1.04) = 0.1199875, y(1.55) = 4.788635, y y(1.97) = 17.27930. c. El método de Taylor de orden cuatro proporciona los resultados en la siguiente tabla. i

ti

wi

1 5 6 9 10

1.1 1.5 1.6 1.9 2.0

0.3459127 3.967603 5.720875 14.32290 18.68287

d. La interpolación cúbica de Hermite proporciona y(1.04) ≈ 0.1199704, y(1.55) ≈ 4.788527, y y(1.97) ≈ 17.27904.

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R 32

Respuestas a ejercicios seleccionados

11. El método de Taylor de orden dos da lo siguiente: ti

wi

y(ti )

5 10 15 20

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5146389 1.249305 2.152599 2.095185

13. a. Índice = 2 gal/min. Un incremento de 10 galones requiere 5 minutos. b. 49.75556 libras de sal

Conjunto de ejercicios 5.4 1. a. t

Euler modificado

y Bt C

0.5 1.0

0.5602111 5.3014898

0.2836165 3.2190993

c. t

Euler modificado

y Bt C

1.25 1.50 1.75 2.00

2.7750000 3.6008333 4.4688294 5.3728586

2.7789294 3.6081977 4.4793276 5.3862944

3. a.

b. t

Euler modificado

y Bt C

2.5 3.0

1.8125000 2.4815531

1.8333333 2.5000000

d. t

Euler modificado

y Bt C

0.25 0.50 0.75 1.00

1.3199027 1.7070300 2.0053560 2.0770789

1.3291498 1.7304898 2.0414720 2.1179795

b. ti

Euler modificado wi

y Bti C

ti

Euler modificado wi

y(ti )

1.2 1.5 1.7 2.0

1.0147137 1.0669093 1.1102751 1.1808345

1.0149523 1.0672624 1.1106551 1.1812322

1.4 2.0 2.4 3.0

0.4850495 1.6384229 2.8250651 5.7075699

0.4896817 1.6612818 2.8765514 5.8741000

c.

d. ti

Euler modificado wi

y(ti )

ti

Euler modificado wi

y(ti )

0.4 1.0 1.4 2.0

−1.6229206 −1.2442903 −1.1200763 −1.0391938

−1.6200510 −1.2384058 −1.1146484 −1.0359724

0.2 0.5 0.7 1.0

0.1742708 0.2878200 0.5088359 1.0096377

0.1626265 0.2773617 0.5000658 1.0022460

5. a.

b. t

Punto medio

y(t)

t

Punto medio

y(t)

0.5 1.0

0.2646250 3.1300023

0.2836165 3.2190993

2.5 3.0

1.7812500 2.4550638

1.8333333 2.5000000

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Respuestas a ejercicios seleccionados c.

d. t

Punto medio

y(t)

t

Punto medio

y(t)

1.25 1.50 1.75 2.00

2.7777778 3.6060606 4.4763015 5.3824398

2.7789294 3.6081977 4.4793276 5.3862944

0.25 0.50 0.75 1.00

1.3337962 1.7422854 2.0596374 2.1385560

1.3291498 1.7304898 2.0414720 2.1179795

7. a.

b. ti

Punto medio wi

y(ti )

ti

Punto medio wi

y(ti )

1.2 1.5 1.7 2.0

1.0153257 1.0677427 1.1111478 1.1817275

1.0149523 1.0672624 1.1106551 1.1812322

1.4 2.0 2.4 3.0

0.4861770 1.6438889 2.8364357 5.7386475

0.4896817 1.6612818 2.8765514 5.8741000

c.

d. ti

Punto medio wi

y(ti )

ti

Punto medio wi

y(ti )

0.4 1.0 1.4 2.0

−1.6192966 −1.2402470 −1.1175165 −1.0382227

−1.6200510 −1.2384058 −1.1146484 −1.0359724

0.2 0.5 0.7 1.0

0.1722396 0.2848046 0.5056268 1.0063347

0.1626265 0.2773617 0.5000658 1.0022460

ti

Heun wi

y(ti )

ti

Heun wi

y(ti )

0.50 1.00

0.2710885 3.1327255

0.2836165 3.2190993

2.50 3.00

1.8464828 2.5094123

1.8333333 2.5000000

9. a.

b.

c.

d. ti

Heun wi

y(ti )

ti

Heun wi

y(ti )

1.25 1.50 1.75 2.00

2.7788462 3.6080529 4.4791319 5.3860533

2.7789294 3.6081977 4.4793276 5.3862944

0.25 0.50 0.75 1.00

1.3295717 1.7310350 2.0417476 2.1176975

1.3291498 1.7304898 2.0414720 2.1179795

11. a.

b. ti

Heun wi

y(ti )

ti

Heun wi

y(ti )

1.2 1.5 1.7 2.0

1.0149305 1.0672363 1.1106289 1.1812064

1.0149523 1.0672624 1.1106551 1.1812322

1.4 2.0 2.4 3.0

0.4895074 1.6602954 2.8741491 5.8652189

0.4896817 1.6612818 2.8765514 5.8741000

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R 33

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R 34

Respuestas a ejercicios seleccionados

c.

d. ti

Heun wi

y(ti )

ti

Heun wi

y(ti )

0.4 1.0 1.4 2.0

−1.6201023 −1.2383500 −1.1144745 −1.0357989

−1.6200510 −1.2384058 −1.1146484 −1.0359724

0.2 0.5 0.7 1.0

0.1614497 0.2765100 0.4994538 1.0018114

0.1626265 0.2773617 0.5000658 1.0022460

ti

Runge-Kutta wi

y(ti )

0.5 1.0

0.2969975 3.3143118

0.2836165 3.2190993

13. a.

b.

c.

ti

Runge-Kutta wi

y(ti )

2.5 3.0

1.8333234 2.4999712

1.8333333 2.5000000

d. ti

Runge-Kutta wi

y(ti )

ti

Runge-Kutta wi

y(ti )

1.25 1.50 1.75 2.00

2.7789095 3.6081647 4.4792846 5.3862426

2.7789294 3.6081977 4.4793276 5.3862944

0.25 0.50 0.75 1.00

1.3291650 1.7305336 2.0415436 2.1180636

1.3291498 1.7304898 2.0414720 2.1179795

15. a.

b. ti

Runge-Kutta wi

y(ti )

ti

Runge-Kutta wi

y(ti )

1.2 1.5 1.7 2.0

1.0149520 1.0672620 1.1106547 1.1812319

1.0149523 1.0672624 1.1106551 1.1812322

1.4 2.0 2.4 3.0

0.4896842 1.6612651 2.8764941 5.8738386

0.4896817 1.6612818 2.8765514 5.8741000

c.

d. ti

Runge-Kutta wi

y(ti )

ti

Runge-Kutta wi

y(ti )

0.4 1.0 1.4 2.0

−1.6200576 −1.2384307 −1.1146769 −1.0359922

−1.6200510 −1.2384058 −1.1146484 −1.0359724

0.2 0.5 0.7 1.0

0.1627655 0.2774767 0.5001579 1.0023207

0.1626265 0.2773617 0.5000658 1.0022460

17. a. 1.0221167 ≈ y(1.25) = 1.0219569, 1.1640347 ≈ y(1.93) = 1.1643901 b. 1.9086500 ≈ y(2.1) = 1.9249616, 4.3105913 ≈ y(2.75) = 4.3941697 c. −1.1461434 ≈ y(1.3) = −1.1382768, −1.0454854 ≈ y(1.93) = −1.0412665 d. 0.3271470 ≈ y(0.54) = 0.3140018, 0.8967073 ≈ y(0.94) = 0.8866318

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Respuestas a ejercicios seleccionados 19. a. 1.0227863 ≈ y(1.25) = 1.0219569, 1.1649247 ≈ y(1.93) = 1.1643901 b. 1.91513749 ≈ y(2.1) = 1.9249616, 4.3312939 ≈ y(2.75) = 4.3941697 c. −1.1432070 ≈ y(1.3) = −1.1382768, −1.0443743 ≈ y(1.93) = −1.0412665 d. 0.3240839 ≈ y(0.54) = 0.3140018, 0.8934152 ≈ y(0.94) = 0.8866318 21. a. 1.02235985 ≈ y(1.25) = 1.0219569, 1.16440371 ≈ y(1.93) = 1.1643901 b. 1.88084805 ≈ y(2.1) = 1.9249616, 4.40842612 ≈ y(2.75) = 4.3941697 c. −1.14034696 ≈ y(1.3) = −1.1382768, −1.04182026 ≈ y(1.93) = −1.0412665 d. 0.31625699 ≈ y(0.54) = 0.3140018, 0.88866134 ≈ y(0.94) = 0.8866318 23. a. 1.0223826 ≈ y(1.25) = 1.0219569, 1.1644292 ≈ y(1.93) = 1.1643901 b. 1.9373672 ≈ y(2.1) = 1.9249616, 4.4134745 ≈ y(2.75) = 4.3941697 c. −1.1405252 ≈ y(1.3) = −1.1382768, −1.0420211 ≈ y(1.93) = −1.0412665 d. 0.31716526 ≈ y(0.54) = 0.3140018, 0.88919730 ≈ y(0.94) = 0.8866318 25. a. 1.0219569 = y(1.25) ≈ 1.0219550, 1.1643902 = y(1.93) ≈ 1.1643898 b. 1.9249617 = y(2.10) ≈ 1.9249217, 4.3941697 = y(2.75) ≈ 4.3939943 c. −1.138268 = y(1.3) ≈ −1.1383036, −1.0412666 = y(1.93) ≈ −1.0412862 d. 0.31400184 = y(0.54) ≈ 0.31410579, 0.88663176 = y(0.94) ≈ 0.88670653 27. En 0.2 s, tenemos aproximadamente 2099 unidades de KOH. 29. Con f (t, y) = −y + t + 1, tenemos w i + h f ti +

h h , w i + f (ti , w i ) 2 2

=w i 1 − h +

h2 2

+ ti h −

h2 2

+h

h2 2

+ h.

y wi +

h [ f (ti , w i ) + f (ti+1 , w i + h f (ti , w i ))] 2 =w i 1 − h +

h2 2

+ ti h −

31. Las constantes adecuadas son α1 = δ1 = α2 = δ2 = γ2 = γ3 = γ4 = γ5 = γ6 = γ7 =

1 2

y

α3 = δ3 = 1.

Conjunto de ejercicios 5.5 1. El algoritmo de Runge-Kutta-Fehlberg proporciona los resultados en las siguientes tablas. a.

b. i

ti

wi

hi

yi

i

ti

wi

hi

yi

1 3 5 7

0.2093900 0.5610469 0.8387744 1.0000000

0.0298184 0.4016438 1.5894061 3.2190497

0.2093900 0.1777496 0.1280905 0.0486737

0.0298337 0.4016860 1.5894600 3.2190993

1 2 3 4

2.2500000 2.5000000 2.7500000 3.0000000

1.4499988 1.8333332 2.1785718 2.5000005

0.2500000 0.2500000 0.2500000 0.2500000

1.4500000 1.8333333 2.1785714 2.5000000

i

ti

wi

hi

yi

i

ti

wi

hi

yi

1 2 3 4

1.2500000 1.5000000 1.7500000 2.0000000

2.7789299 3.6081985 4.4793288 5.3862958

0.2500000 0.2500000 0.2500000 0.2500000

2.7789294 3.6081977 4.4793276 5.3862944

1 2 3 4

0.2500000 0.5000000 0.7500000 1.0000000

1.3291478 1.7304857 2.0414669 2.1179750

0.2500000 0.2500000 0.2500000 0.2500000

1.3291498 1.7304898 2.0414720 2.1179795

c.

d.

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R 35

lOMoARcPSD|5123985

R 36

Respuestas a ejercicios seleccionados

3. El algoritmo de Runge-Kutta-Fehlberg proporciona los resultados en las siguientes tablas. a.

b. i

ti

wi

hi

yi

i

ti

wi

hi

yi

1 5 7 11

1.1101946 1.7470584 2.3994350 4.0000000

1.0051237 1.1213948 1.2795396 1.6762393

0.1101946 0.2180472 0.3707934 0.1014853

1.0051237 1.1213947 1.2795395 1.6762391

4 7 10 16 21

1.5482238 1.8847226 2.1846024 2.6972462 3.0000000

0.7234123 1.3851234 2.1673514 4.1297939 5.8741059

0.1256486 0.1073571 0.0965027 0.0778628 0.0195070

0.7234119 1.3851226 2.1673499 4.1297904 5.8741000

i

ti

wi

hi

yi

i

ti

wi

hi

yi

1 5 9 13 17 23

0.1633541 0.7585763 1.1930325 1.6229351 2.1074733 3.0000000

−1.8380836 −1.3597623 −1.1684827 −1.0749509 −1.0291158 −1.0049450

0.1633541 0.1266248 0.1048224 0.1107510 0.1288897 0.1264618

−1.8380836 −1.3597624 −1.1684830 −1.0749511 −1.0291161 −1.0049452

1 3 5 8

0.3986051 0.9703970 1.5672905 2.0000000

0.3108201 0.2221189 0.1133085 0.0543454

0.3986051 0.2866710 0.3042087 0.0902302

0.3108199 0.2221186 0.1133082 0.0543455

c.

d.

5. a. El número de infecciosos es y(30) ≈ 80295.7. b. El valor del límite para el número de infecciones para este modelo es lím t→∞ y(t) = 100,000. 7. En los pasos 3 y 6 se deben usar en las ecuaciones nuevas. Ahora se debe utilizar el paso 4

R=

1 1 125 1 12 3 125 43 K1 − K3 + K4 − K5 − K6 + K7 + K8 , − h 160 17952 144 1955 44 11592 616

y en el paso 8 debemos cambiar a δ = 0.871(TOL/R)1/5 . Al repetir el ejercicio 3 con el método de Runge-Kutta-Fehlberg obtenemos los resultados en las siguientes tablas. a.

b. i

ti

wi

hi

yi

i

ti

wi

hi

yi

1 3 5 7

1.42087564 2.28874724 3.28874724 4.00000000

1.05149775 1.25203709 1.50135401 1.67622922

0.42087564 0.50000000 0.50000000 0.21125276

1.05150868 1.25204675 1.50136369 1.67623914

1 4 7 11

1.27377960 1.93610139 2.48318866 3.00000000

0.31440170 1.50471956 3.19129592 5.87411325

0.27377960 0.20716801 0.17192536 0.05925262

0.31440111 1.50471717 3.19129017 5.87409998

i

ti

wi

hi

yi

i

ti

wi

hi

yi

1 5 9 14

0.50000000 1.26573379 1.99742532 3.00000000

−1.53788271 −1.14736319 −1.03615509 −1.00494544

0.50000000 0.17746598 0.19229794 0.10525374

−1.53788284 −1.14736283 −1.03615478 −1.00494525

1 2 4 6

0.50000000 1.00000000 1.74337091 2.00000000

0.29875168 0.21662609 0.08624885 0.05434531

0.50000000 0.50000000 0.27203938 0.03454832

0.29875178 0.21662642 0.08624932 0.05434551

c.

d.

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lOMoARcPSD|5123985

Respuestas a ejercicios seleccionados

Conjunto de ejercicios 5.6 1.

Los métodos de Adams-Bashforth proporcionan los resultados en las siguientes tablas. a. t Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5 y(t) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0268128 0.1200522 0.4153551 1.1462844 2.8241683

0.0268128 0.1507778 0.4613866 1.2512447 3.0360680

0.0268128 0.1507778 0.4960196 1.2961260 3.1461400

0.0268128 0.1507778 0.4960196 1.3308570 3.1854002

0.0268128 0.1507778 0.4960196 1.3308570 3.2190993

t

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5

y(t)

2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

1.3666667 1.6750000 1.9632431 2.2323184 2.4884512

1.3666667 1.6857143 1.9794407 2.2488759 2.5051340

1.3666667 1.6857143 1.9750000 2.2423065 2.4980306

1.3666667 1.6857143 1.9750000 2.2444444 2.5011406

1.3666667 1.6857143 1.9750000 2.2444444 2.5000000

t

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5

y(t)

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

2.6187859 3.2734823 3.9567107 4.6647738 5.3949416

2.6187859 3.2710611 3.9514231 4.6569191 5.3848058

2.6187859 3.2710611 3.9520058 4.6582078 5.3866452

2.6187859 3.2710611 3.9520058 4.6580160 5.3862177

2.6187859 3.2710611 3.9520058 4.6580160 5.3862944

t

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5

y(t)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.2529306 1.5986417 1.9386951 2.1766821 2.2369407

1.2529306 1.5712255 1.8827238 2.0844122 2.1115540

1.2529306 1.5712255 1.8750869 2.0698063 2.0998117

1.2529306 1.5712255 1.8750869 2.0789180 2.1180642

1.2529306 1.5712255 1.8750869 2.0789180 2.1179795

b.

c.

d.

3.

Los métodos de Adams-Bashforth proporcionan los resultados en las siguientes tablas. a. t

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5

y Dt E

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

1.0161982 1.0497665 1.0910204 1.1363845 1.1840272

1.0149520 1.0468730 1.0875837 1.1327465 1.1803057

1.0149520 1.0477278 1.0887567 1.1340093 1.1815967

1.0149520 1.0475336 1.0883045 1.1334967 1.1810689

1.0149523 1.0475339 1.0884327 1.1336536 1.1812322

t

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5

y Dt E

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0

0.4867550 1.1856931 2.1753785 3.5849181 5.6491203

0.4896842 1.1982110 2.2079987 3.6617484 5.8268008

0.4896842 1.1990422 2.2117448 3.6733266 5.8589944

0.4896842 1.1994320 2.2134792 3.6777236 5.8706101

0.4896817 1.1994386 2.2135018 3.6784753 5.8741000

b.

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R 37

lOMoARcPSD|5123985

R 38

Respuestas a ejercicios seleccionados

c. t

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5

y(t)

0.5 1.0 1.5 2.0

−1.5357010 −1.2374093 −1.0952910 −1.0366643

−1.5381988 −1.2389605 −1.0950952 −1.0359996

−1.5379372 −1.2383734 −1.0947925 −1.0359497

−1.5378676 −1.2383693 −1.0948481 −1.0359760

−1.5378828 −1.2384058 −1.0948517 −1.0359724

d. t

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5

y(t)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.1739041 0.2144877 0.3822803 0.6491272 1.0037415

0.1627655 0.2026399 0.3747011 0.6452640 1.0020894

0.1627655 0.2066057 0.3787680 0.6487176 1.0064121

0.1627655 0.2052405 0.3765206 0.6471458 1.0073348

0.1626265 0.2051118 0.3765957 0.6461052 1.0022460

5. Los métodos de Adams-Moulton proporcionan los resultados en las siguientes tablas. a. ti

Paso 2

Paso 3

Paso 4

y Fti G

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0268128 0.1533627 0.5030068 1.3463142 3.2512866

0.0268128 0.1507778 0.4979042 1.3357923 3.2298092

0.0268128 0.1507778 0.4960196 1.3322919 3.2227484

0.0268128 0.1507778 0.4960196 1.3308570 3.2190993

ti

Paso 2

Paso 3

Paso 4

y Fti G

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

2.6187859 3.2711394 3.9521454 4.6582064 5.3865293

2.6187859 3.2710611 3.9519886 4.6579866 5.3862558

2.6187859 3.2710611 3.9520058 4.6580211 5.3863027

2.6187859 3.2710611 3.9520058 4.6580160 5.3862944

ti

Paso 2

Paso 3

Paso 4

y Fti G

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.2529306 1.5700866 1.8738414 2.0787117 2.1196912

1.2529306 1.5712255 1.8757546 2.0803067 2.1199024

1.2529306 1.5712255 1.8750869 2.0789471 2.1178679

1.2529306 1.5712255 1.8750869 2.0789180 2.1179795

c.

d.

7. a.

b. ti

wi

y Fti G

ti

wi

y(ti )

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0269059 0.1510468 0.4966479 1.3408657 3.2450881

0.0268128 0.1507778 0.4960196 1.3308570 3.2190993

2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

1.3666610 1.6857079 1.9749941 2.2446995 2.5003083

1.3666667 1.6857143 1.9750000 2.2444444 2.5000000

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lOMoARcPSD|5123985

Respuestas a ejercicios seleccionados c.

d. ti

wi

y(ti )

ti

wi

y(ti )

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

2.6187787 3.2710491 3.9519900 4.6579968 5.3862715

2.6187859 3.2710611 3.9520058 4.6580160 5.3862944

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.2529350 1.5712383 1.8751097 2.0796618 2.1192575

1.2529306 1.5712255 1.8750869 2.0789180 2.1179795

9. El algoritmo indicador-corrector de cuarto orden proporciona los resultados en las siguientes tablas. b. a. t w y(t) t w y(t) 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

1.0149520 1.0475227 1.0884141 1.1336331 1.1812112

1.0149523 1.0475339 1.0884327 1.1336536 1.1812322

c.

1.4 1.8 2.2 2.6 3.0

0.4896842 1.1994245 2.2134701 3.6784144 5.8739518

0.4896817 1.1994386 2.2135018 3.6784753 5.8741000

d. t

w

y(t)

t

w

y(t)

0.5 1.0 1.5 2.0

−1.5378788 −1.2384134 −1.0948609 −1.0359757

−1.5378828 −1.2384058 −1.0948517 −1.0359724

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.1627655 0.2048557 0.3762804 0.6458949 1.0021372

0.1626265 0.2051118 0.3765957 0.6461052 1.0022460

11. El método indicador-corrector de Milne-Simpson proporciona los resultados en las siguientes tablas. a. b. i

ti

wi

y Hti I

i

ti

wi

y(ti )

2 5 7 10

1.2 1.5 1.7 2.0

1.01495200 1.06725997 1.11065221 1.18122584

1.01495231 1.06726235 1.11065505 1.18123222

2 5 7 10

1.4 2.0 2.4 3.0

0.48968417 1.66126150 2.87648763 5.87375555

0.48968166 1.66128176 2.87655142 5.87409998

c.

d. i

ti

wi

y(ti )

i

ti

wi

y(ti )

5 10 15 20

0.5 1.0 1.5 2.0

−1.53788255 −1.23840789 −1.09485532 −1.03597247

−1.53788284 −1.23840584 −1.09485175 −1.03597242

2 5 7 10

0.2 0.5 0.7 1.0

0.16276546 0.27741080 0.50008713 1.00215439

0.16262648 0.27736167 0.50006579 1.00224598

13. a. Con h = 0.01, el método Adams-Moulton de tres pasos da los valores en la siguiente tabla. i

ti

wi

10 20

0.1 0.2

1.317218 1.784511

b. El método de Newton reducirá el número de iteraciones por paso desde tres a dos, al usar el criterio de paso |w i(k) − w i(k−1) | ≤ 10−6 .

Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

R 39

lOMoARcPSD|5123985

R 40

Respuestas a ejercicios seleccionados

15. El nuevo algoritmo proporciona los resultados en las siguientes tablas. a. ti

w i ( p = 2)

w i ( p = 3)

w i ( p = 4)

y(ti )

1.2 1.5 1.7 2.0

1.0149520 1.0672499 1.1106394 1.1812154

1.0149520 1.0672499 1.1106394 1.1812154

1.0149520 1.0672499 1.1106394 1.1812154

1.0149523 1.0672624 1.1106551 1.1812322

b. ti

w i ( p = 2)

w i ( p = 3)

w i ( p = 4)

y(ti )

1.4 2.0 2.4 3.0

0.4896842 1.6613427 2.8767835 5.8754422

0.4896842 1.6613509 2.8768112 5.8756045

0.4896842 1.6613517 2.8768140 5.8756224

0.4896817 1.6612818 2.8765514 5.8741000

c. ti

w i ( p = 2)

w i ( p = 3)

w i ( p = 4)

y(ti )

0.4 1.0 1.4 2.0

−1.6200494 −1.2384104 −1.1146533 −1.0359139

−1.6200494 −1.2384105 −1.1146536 −1.0359740

−1.6200494 −1.2384105 −1.1146536 −1.0359740

−1.6200510 −1.2384058 −1.1146484 −1.0359724

d. ti

w i ( p = 2)

w i ( p = 3)

w i ( p = 4)

y(ti )

0.2 0.5 0.7 1.0

0.1627655 0.2774037 0.5000772 1.0022473

0.1627655 0.2773333 0.5000259 1.0022273

0.1627655 0.2773468 0.5000356 1.0022311

0.1626265 0.2773617 0.5000658 1.0022460

17. A través de la notación y = y Jti K, f = f Jti , y Jti KK, f t = f t Jti , y Jti KK, etc., tenemos y + hf +

h2 h3 ft + f f y K + J 2 6

f tt + f t f y + 2 f f yt + f f y2 + f 2 f yy

=y + ah f + bh f − h L f t + f f y M +

h2 2

f tt + f t f y + 2 f f yt + f f y2 + f 2 f yy

+ ch f − 2h L f t + f f y M + 2h 2 f tt + f t f y + 2 f f yt + f f y2 + f 2 f yy Por lo tanto, a + b + c = 1,

−b − 2c =

1 , 2

y

1 1 b + 2c = . 2 6

Este sistema tiene la solución a=

23 , 12

b=−

16 , 12

y

c=

5 . 12

Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

.

lOMoARcPSD|5123985

Respuestas a ejercicios seleccionados 19. Tenemos ti+1

f (t, y(t))dt

y(ti+1 ) − y(ti−1 ) = ti−1

h h 5 (4) f (ξ, y(ξ )). = [ f (ti−1 , y(ti−1 )) + 4 f (ti , y(ti )) + f (ti+1 , y(ti+1 ))] − 3 90 Esto conduce a la ecuación de diferencias w i+1 = w i−1 +

h [ f (ti−1 , w i−1 ) + 4 f (ti , w i ) + f (ti+1 , w i+1 )] , 3

con error de truncamiento local τi+1 (h) =

−h 4 y (5) (ξ ) . 90

21. Las entradas son generadas al evaluar las siguientes integrales: 1

k = 0 :(−1)k 0 1

k = 1 :(−1)k 0 1

k = 2 :(−1)k 0 1

k = 3 :(−1)k 0 1

k = 4 :(−1)k 0 1

k = 5 :(−1)k 0

1

−s k

ds =

−s k

ds = −

−s k

ds =

−s k

ds = −

−s k

ds =

−s k

ds = −

ds = 1, 0 1

−s ds = 0 1

0

5 s(s + 1) ds = , 2 12 1 0

1 0

1 , 2

−s(s + 1)(s + 2) 3 ds = , 6 8

s(s + 1)(s + 2)(s + 3) 251 ds = , 24 720 1

− 0

y

s(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4) 95 ds = . 120 288

Conjunto de ejercicios 5.7 1. El algoritmo indicador-corrector de longitud de paso variable de Adams da los resultados en las siguientes tablas. a. i

ti

wi

hi

yi

1 5 12 17 22 26

0.04275596 0.22491460 0.60214994 0.81943926 0.99830392 1.00000000

0.00096891 0.03529441 0.50174348 1.45544317 3.19605697 3.21912776

0.04275596 0.05389076 0.05389076 0.04345786 0.03577293 0.00042395

0.00096887 0.03529359 0.50171761 1.45541453 3.19602842 3.21909932

i

ti

wi

hi

yi

1 5 9 13 17

2.06250000 2.31250000 2.62471924 2.99915773 3.00000000

1.12132350 1.55059834 2.00923157 2.49895243 2.50000535

0.06250000 0.06250000 0.09360962 0.09360962 0.00021057

1.12132353 1.55059524 2.00922829 2.49894707 2.50000000

b.

Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

R 41

lOMoARcPSD|5123985

R 42

Respuestas a ejercicios seleccionados c. i

ti

wi

hi

yi

1 4 8 12

1.06250000 1.25000000 1.85102559 2.00000000

2.18941363 2.77892931 4.84179835 5.38629105

0.06250000 0.06250000 0.15025640 0.03724360

2.18941366 2.77892944 4.84180141 5.38629436

i

ti

wi

hi

yi

1 5 10 13 16

0.06250000 0.31250000 0.62500000 0.81250000 1.00000000

1.06817960 1.42861668 1.90768386 2.08668486 2.11800208

0.06250000 0.06250000 0.06250000 0.06250000 0.06250000

1.06817960 1.42861361 1.90767015 2.08666541 2.11797955

d.

3. Las siguientes tablas muestran los resultados representativos del algoritmo indicador-corrector de longitud de paso variable de Adams. a. i

ti

wi

hi

yi

5 15 25 35 45 52 57

1.10431651 1.31294952 1.59408142 2.00846205 2.66272188 3.40193112 4.00000000

1.00463041 1.03196889 1.08714711 1.18327922 1.34525123 1.52940900 1.67623887

0.02086330 0.02086330 0.03122028 0.04824992 0.07278716 0.11107035 0.12174963

1.00463045 1.03196898 1.08714722 1.18327937 1.34525143 1.52940924 1.67623914

i

ti

wi

hi

yi

5 15 25 35 45 55 61

1.18519603 1.55558810 1.92598016 2.29637222 2.65452689 2.94341188 3.00000000

0.20333499 0.73586642 1.48072467 2.51764797 3.92602442 5.50206466 5.87410206

0.03703921 0.03703921 0.03703921 0.03703921 0.03092051 0.02584049 0.00122679

0.20333497 0.73586631 1.48072442 2.51764743 3.92602332 5.50206279 5.87409998

i

ti

wi

hi

yi

5 17 27 41 51 61

0.16854008 0.64833341 1.06742915 1.75380240 2.50124702 3.00000000

−1.83303780 −1.42945306 −1.21150951 −1.05819340 −1.01335240 −1.00494507

0.03370802 0.05253230 0.04190957 0.06681937 0.07474446 0.01257155

−1.83303783 −1.42945304 −1.21150932 −1.05819325 −1.01335258 −1.00494525

i

ti

wi

hi

yi

5 15 20 25 29 33

0.28548652 0.85645955 1.35101725 1.66282314 1.91226786 2.00000000

0.32153668 0.24281066 0.15096743 0.09815109 0.06418555 0.05434530

0.05709730 0.05709730 0.09891154 0.06236118 0.06236118 0.02193303

0.32153674 0.24281095 0.15096772 0.09815137 0.06418579 0.05434551

b.

c.

d.

Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

lOMoARcPSD|5123985

Respuestas a ejercicios seleccionados 5. La corriente después de 2 segundos es aproximadamente i(2) = 8.693 amperes. 7. La población después de 5 años es 56 751.

Conjunto de ejercicios 5.8 1. El algoritmo de extrapolación proporciona los resultados en las siguientes tablas. b.

a. i

ti

wi

h

k

yi

i

ti

wi

h

k

yi

1 2 3 4

0.25 0.50 0.75 1.00

0.04543132 0.28361684 1.05257634 3.21909944

0.25 0.25 0.25 0.25

3 3 4 4

0.04543123 0.28361652 1.05257615 3.21909932

1 2 3 4

2.25 2.50 2.75 3.00

1.44999987 1.83333321 2.17857133 2.49999993

0.25 0.25 0.25 0.25

3 3 3 3

1.45000000 1.83333333 2.17857143 2.50000000

i

ti

wi

h

k

yi

i

ti

wi

h

k

yi

1 2 3 4

1.25 1.50 1.75 2.00

2.77892942 3.60819763 4.47932759 5.38629431

0.25 0.25 0.25 0.25

3 3 3 3

2.77892944 3.60819766 4.47932763 5.38629436

1 2 3 4

0.25 0.50 0.75 1.00

1.32914981 1.73048976 2.04147203 2.11797954

0.25 0.25 0.25 0.25

3 3 3 3

1.32914981 1.73048976 2.04147203 2.11797955

c.

d.

3. El algoritmo de extrapolación proporciona los resultados en las siguientes tablas. b.

a. i

ti

wi

h

k

yi

i

ti

wi

h

k

yi

1 2 3 4 5 6

1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00

1.06726237 1.18123223 1.30460372 1.42951608 1.55364771 1.67623915

0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50

4 3 3 3 3 3

1.06726235 1.18123222 1.30460371 1.42951607 1.55364770 1.67623914

1 2 3 4

1.50 2.00 2.50 3.00

0.64387537 1.66128182 3.25801550 5.87410027

0.50 0.50 0.50 0.50

4 5 5 5

0.64387533 1.66128176 3.25801536 5.87409998

i

ti

wi

h

k

yi

i

ti

wi

h

k

yi

1 2 3 4 5 6

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

−1.53788284 −1.23840584 −1.09485175 −1.03597242 −1.01338570 −1.00494526

0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50

4 5 5 5 5 4

−1.53788284 −1.23840584 −1.09485175 −1.03597242 −1.01338570 −1.00494525

1 2 3 4

0.50 1.00 1.50 2.00

0.29875177 0.21662642 0.12458565 0.05434552

0.50 0.50 0.50 0.50

4 4 4 4

0.29875178 0.21662642 0.12458565 0.05434551

c.

d.

5. La extrapolación predice las coordenadas de captura que son (100, 145.59). Las coordenadas reales son (100, 145.59). Todas las coordenadas están en pies.

Conjunto de ejercicios 5.9 1. El algoritmo Runge-Kutta de sistemas da los resultados en las siguientes tablas. a. ti

w 1i

u 1i

w 2i

u 2i

0.200 0.400 0.600 0.800 1.000

2.12036583 4.44122776 9.73913329 22.67655977 55.66118088

2.12500839 4.46511961 9.83235869 23.00263945 56.73748265

1.50699185 3.24224021 8.16341700 21.34352778 56.03050296

1.51158743 3.26598528 8.25629549 21.66887674 57.10536209

Descargado por Bryyan Rea ([email protected])

R 43

lOMoARcPSD|5123985

R 44

Respuestas a ejercicios seleccionados b. ti

w 1i

u 1i

w 2i

u 2i

0.500 1.000 1.500 2.000

0.95671390 1.30654440 1.34416716 1.14332436

0.95672798 1.30655930 1.34418117 1.14333672

−1.08381950 −0.83295364 −0.56980329 −0.36936318

−1.08383310 −0.83296776 −0.56981634 −0.36937457

c. ti

w 1i

u 1i

w 2i

u 2i

w 3i

u 3i

0.5 1.0 1.5 2.0

0.70787076 −0.33691753 −2.41332734 −5.89479008

0.70828683 −0.33650854 −2.41345688 −5.89590551

−1.24988663 −3.01764179 −5.40523279 −8.70970537

−1.25056425 −3.01945051 −5.40844686 −8.71450036

0.39884862 −0.29932294 −0.92346873 −1.32051165

0.39815702 −0.30116868 −0.92675778 −1.32544426

d. ti

w 1i

u 1i

w 2i

u 2i

w 3i

u 3i

0.2 0.5 0.7 1.0

1.38165297 1.90753116 2.25503524 2.83211921

1.38165325 1.90753184 2.25503620 2.83212056

1.00800000 1.12500000 1.34300000 2.00000000

1.00800000 1.12500000 1.34000000 2.00000000

−0.61833075 −0.09090565 0.26343971 0.88212058

−0.61833075 −0.09090566 0.26343970 0.88212056

3. El algoritmo de Runge-Kutta de sistemas da los resultados en las siguientes tablas. a. b. ti

w 1i

yi

ti

w 1i

yi

0.200 0.500 0.700 1.000

0.00015352 0.00742968 0.03299617 0.17132224

0.00015350 0.00743027 0.03299805 0.17132880

1.200 1.500 1.700 2.000

0.96152437 0.77796897 0.59373369 0.27258237

0.96152583 0.77797237 0.59373830 0.27258872

c.

d. ti

w 1i

yi

ti

w 1i

w 2i

1.000 2.000 3.000

3.73162695 11.31424573 34.04395688

3.73170445 11.31452924 34.04517155

1.200 1.500 1.700 2.000

0.27273759 1.08849079 2.04353207 4.36156675

0.27273791 1.08849259 2.04353642 4.36157780

5. El número predicho de presas, x1i , y los predadores, x2i , están dados en la siguiente tabla. i

ti

x1i

x2i

10 20 30 40

1.0 2.0 3.0 4.0

4393 288 32 25

1512 3175 2042 1258

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Respuestas a ejercicios seleccionados

R 45

7. Las aproximaciones para los problemas de péndulo en movimiento están dados en la siguiente tabla. a. b. ti

θ

ti

θ

1.0 2.0

−0.365903 −0.0150563

1.0 2.0

−0.338253 −0.0862680

9. El método indicador-corrector de cuarto orden de Adams para sistemas aplicado a los problemas en el ejercicio 1 proporcionan los resultados en las siguientes tablas. a. ti

w 1i

u 1i

w 2i

u 2i

0.200 0.400 0.600 0.800 1.000

2.12036583 4.44122776 9.73913329 22.52673210 54.81242211

2.12500839 4.46511961 9.83235869 23.00263945 56.73748265

1.50699185 3.24224021 8.16341700 21.20273983 55.20490157

1.51158743 3.26598528 8.25629549 21.66887674 57.10536209

b. ti

w 1i

u 1i

w 2i

u 2i

0.500 1.000 1.500 2.000

0.95675505 1.30659995 1.34420613 1.14334795

0.95672798 1.30655930 1.34418117 1.14333672

−1.08385916 −0.83300571 −0.56983853 −0.36938396

−1.08383310 −0.83296776 −0.56981634 −0.36937457

c. ti

w 1i

u 1i

w 2i

u 2i

w 3i

u 3i

0.5 1.0 1.5 2.0

0.70787076 −0.33691753 −2.41332734 −5.88968402

0.70828683 −0.33650854 −2.41345688 −5.89590551

−1.24988663 −3.01764179 −5.40523279 −8.72213325

−1.25056425 −3.01945051 −5.40844686 −8.71450036

0.39884862 −0.29932294 −0.92346873 −1.32972524

0.39815702 −0.30116868 −0.92675778 −1.32544426

d. ti

w 1i

u 1i

w 2i

u 2i

w 3i

u 3i

0.2 0.5 0.7 1.0

1.38165297 1.90752882 2.25503040 2.83211032

1.38165325 1.90753184 2.25503620 2.83212056

1.00800000 1.12500000 1.34300000 2.00000000

1.00800000 1.12500000 1.34300000 2.00000000

−0.61833075 −0.09090527 0.26344040 0.88212163

−0.61833075 −0.09090566 0.26343970 0.88212056

Conjunto de ejercicios 5.10 1. Si L es la constante de Lipschitz para φ . Entonces u i+1 − vi+1 = u i − vi + h[φ(ti , u i , h) − φ(ti , vi , h)], por lo que |u i+1 − vi+1 | ≤ (1 + h L)|u i − vi | ≤ (1 + h L)i+1 |u 0 − v0 |

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R 46

Respuestas a ejercicios seleccionados

3. Mediante el ejercicio 32 en la sección 5.4, tenemos φ(t, w, h) =

1 1 1 1 f (t, w) + f t + h, w + h f (t, w) 6 3 2 2 +

1 1 1 1 1 f t + h, w + h f t + h, w + h f (t, w) 3 2 2 2 2

+

1 1 1 1 1 f t + h, w + h f t + h, w + h f t + h, w + h f (t, w) 6 2 2 2 2

,

por lo que φ(t, w, 0) =

1 1 1 1 f (t, w) + f (t, w) + f (t, w) + f (t, w) = f (t, w). 6 3 3 6

5. a. El error de truncamiento local es τi+1 = 14 h 3 y (4) (ξi ), para algunas ξ , donde ti−2 < ξi < ti+1 . b. El método es consistente, pero inestable y no convergente. 7. El método es inestable.

Conjunto de ejercicios 5.11 1. El método de Euler da los resultados en las siguientes tablas. a.

b. ti

wi

yi

ti

wi

yi

0.200 0.500 0.700 1.000

0.027182818 0.000027183 0.000000272 0.000000000

0.449328964 0.030197383 0.004991594 0.000335463

0.200 0.500 0.700 1.000

0.373333333 −0.093333333 0.146666667 1.333333333

0.046105213 0.250015133 0.490000277 1.000000001

c.

d. ti

wi

yi

ti

wi

yi

0.500 1.000 1.500 2.000

16.47925 256.7930 4096.142 65523.12

0.479470939 0.841470987 0.997494987 0.909297427

0.200 0.500 0.700 1.000

6.128259 −378.2574 −6052.063 387332.0

1.000000001 1.000000000 1.000000000 1.000000000

3. El método de cuarto orden de Runge-Kutta proporciona los resultados en las siguientes tablas. b.

a. ti

wi

yi

ti

wi

yi

0.200 0.500 0.700 1.000

0.45881186 0.03181595 0.00537013 0.00037239

0.44932896 0.03019738 0.00499159 0.00033546

0.200 0.500 0.700 1.000

0.07925926 0.25386145 0.49265127 1.00250560

0.04610521 0.25001513 0.49000028 1.00000000

c.

d. ti

wi

yi

ti

wi

yi

0.500 1.000 1.500 2.000

188.3082 35296.68 6632737 1246413200

0.47947094 0.84147099 0.99749499 0.90929743

0.200 0.500 0.700 1.000

−215.7459 −555750.0 −104435653 −269031268010

1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000

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Respuestas a ejercicios seleccionados 5. El algoritmo indicador-corrector de cuarto orden de Adams da los resultados en las siguientes tablas. b.

a. ti

wi

yi

ti

wi

yi

0.200 0.500 0.700 1.000

0.4588119 −0.0112813 0.0013734 0.0023604

0.4493290 0.0301974 0.0049916 0.0003355

0.200 0.500 0.700 1.000

0.0792593 0.1554027 0.5507445 0.7278557

0.0461052 0.2500151 0.4900003 1.0000000

ti

wi

yi

ti

wi

yi

.500 1.000 1.500 2.000

188.3082 38932.03 9073607 2115741299

0.4794709 0.8414710 0.9974950 0.9092974

0.200 0.500 0.700 1.000

−215.7459 −682637.0 −159172736 −566751172258

1.000000001 1.000000000 1.000000000 1.000000000

c.

d.

7. El algoritmo trapezoidal proporciona los resultados en las siguientes tablas. a. b. ti

wi

k

yi

ti

wi

k

yi

0.200 0.500 0.700 1.000

0.39109643 0.02134361 0.00307084 0.00016759

2 2 2 2

0.44932896 0.03019738 0.00499159 0.00033546

0.200 0.500 0.700 1.000

0.04000000 0.25000000 0.49000000 1.00000000

2 2 2 2

0.04610521 0.25001513 0.49000028 1.00000000

c.

d. ti

wi

k

yi

ti

wi

k

yi

0.500 1.000 1.500 2.000

0.66291133 0.87506346 1.00366141 0.91053267

2 2 2 2

0.47947094 0.84147099 0.99749499 0.90929743

0.200 0.500 0.700 1.000

−1.07568307 −0.97868360 −0.99046408 −1.00284456

4 4 3 3

1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000

9. a. ti

w 1i

u 1i

w 2i

u 2i

0.100 0.200 0.300 0.400 0.500

−96.33011 −28226.32 −8214056 −2390290586 −695574560790

0.66987648 0.67915383 0.69387881 0.71354670 0.73768711

193.6651 56453.66 16428113 4780581173 1391149121600

−0.33491554 −0.33957692 −0.34693941 −0.35677335 −0.36884355

b. ti

w 1i

u 1i

w 2i

u 2i

0.100 0.200 0.300 0.400 0.500

0.61095960 0.66873489 0.69203679 0.71322103 0.73762953

0.66987648 0.67915383 0.69387881 0.71354670 0.73768711

−0.21708179 −0.31873903 −0.34325535 −0.35612202 −0.36872840

−0.33491554 −0.33957692 −0.34693941 −0.35677335 −0.36884355

11. El método de Euler hacia atrás aplicado a y = λy da w i+1 =

wi , 1 − hλ

por lo que Q(hλ) =

1 . 1 − hλ

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R 47

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R 48

Respuestas a ejercicios seleccionados

13. Las siguientes tablas listan los resultados del método de Euler hacia atrás aplicado a los problemas en el ejercicio 2. a.

b. i

ti

wi

k

yi

i

ti

wi

k

yi

2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.67216224 1.69987544 1.92400672 2.28233119 2.75757631

2 2 2 2 2

1.58928220 1.62715998 1.87190587 2.24385657 2.72501978

2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.87957046 0.56989261 0.64247315 0.81061829 1.00265457

2 2 2 2 2

0.56787944 0.44978707 0.60673795 0.80091188 1.00012341

c.

d. i

ti

wi

k

yi

i

ti

wi

k

yi

1 3 5 7

1.25 1.75 2.25 2.75

0.55006309 0.19753128 0.09060118 0.04900207

2 2 2 2

0.51199999 0.18658892 0.08779150 0.04808415

1 3 5 7

0.25 0.75 1.25 1.75

0.79711852 0.72203841 0.31248267 −0.17796016

2 2 2 2

0.96217447 0.73168856 0.31532236 −0.17824606

Conjunto de ejercicios 6.1 1. a. Rectas de intersección con solución x1 = x2 = 1. b. Una recta, por lo que existe un número infinito de soluciones con x2 = 32 − 12 x1 . c. Una recta, por lo que existe un número infinito de soluciones con x2 = − 12 x1 . d. Rectas de intersección con solución x1 = 27 y x2 = − 11 . 7 b. x1 = 1.1, x2 = −1.1, x3 = 2.9 3. a. x1 = 1.0, x2 = −0.98, x3 = 2.9 5. La eliminación gaussiana proporciona las siguientes soluciones. a. x1 = 1.1875, x2 = 1.8125, x3 = 0.875 con un intercambio de fila requerido b. x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1 sin intercambio requerido c. x1 = 1.5, x2 = 2, x3 = −1.2, x4 = 3 sin intercambio requerido d. Sin solución única. 7. La eliminación gaussiana con aritmética de precisión única da las siguientes soluciones: a. x1 = −227.0769, x2 = 476.9231, x3 = −177.6923; b. x1 = 1.001291, x2 = 1, x3 = 1.00155; c. x1 = −0.03174600, x2 = 0.5952377, x3 = −2.380951, x4 = 2.777777; d. x1 = 1.918129, x2 = 1.964912, x3 = −0.9883041, x4 = −3.192982, x5 = −1.134503. 9. a. Cuando α = −1/3, no existe solución. b. Cuando α = 1/3, existe un número infinito de soluciones con x1 = x2 + 1.5, y x2 es arbitraria. c. Si α = ±1/3, entonces la solución única es x1 =

3 2(1 + 3α)

y

x2 =

−3 . 2(1 + 3α)

11. a. Existe suficiente comida para satisfacer el consumo diario promedio. b. Podríamos sumar 200 especies 1 o 150 especies 2 o 100 especies 3 o 100 especies 4. c. Al suponer que no se seleccionó ninguno de los incrementos indicados en la parte b), las especies 2 podrían aumentar 650 o las especies 3 podrían aumentar 150 o las especies 4 podrían aumentar 150. d. Al suponer que no se seleccionó ninguno de los incrementos indicados en las partes b) y c), las especies 3 podrían aumentar 150 o las especies 4 podrían aumentar 150.

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Respuestas a ejercicios seleccionados

R 49

13. Suponga que x1 , . . . , xn es una solución del sistema lineal (6.1). a. El nuevo sistema se convierte en E 1 :a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 .. . E i :λai1 x1 + λai2 x2 + · · · + λain xn = λbi .. . E n :an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn . Claramente, x1 , . . . , xn satisface este sistema. En cambio, si x1∗ , . . . , xn∗ satisface el sistema nuevo, al dividir E i entre λ muestra que x1∗ , . . . , xn∗ también satisface (6.1). b. El nuevo sistema se convierte en E 1 :a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 .. . E i :(ai1 + λa j1 )x1 + (ai2 + λa j2 )x2 + · · · + (ain + λa jn )xn = bi + λb j .. . E n :an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn . Claramente, x1 , . . . , xn satisface todo, menos la posibilidad en la iésima ecuación. Al multiplicar E j por λ obtenemos λa j1 x1 + λa j2 x2 + · · · + λa jn xn = λb j , que se puede restar de E i en los resultados del sistema nuevo en el sistema (6.1). Por lo tanto, x1 , . . . , xn satisface el sistema nuevo. En cambio, si x1∗ , . . . , xn∗ es una solución para el sistema nuevo, entonces todo pero menos E i de (6.1) está satisfecho por x1∗ , . . . , xn∗ . Al multiplicar E j del sistema nuevo por −λ obtenemos −λa j1 x1∗ − λa j2 x2∗ − · · · − λa jn xn∗ = −λb j . Sumar esto a E i en el sistema nuevo produce E i de (6.1). Por lo tanto, x1∗ , . . . , xn∗ es una solución de (6.1). c. El sistema nuevo y el sistema antiguo tienen que satisfacer el mismo conjunto de ecuaciones. Por lo tanto, tienen el mismo conjunto de soluciones. 15. El método Gauss-Jordan da los siguientes resultados. a. x1 = 0.98, x2 = −0.98, x3 = 2.9

b. x1 = 1.1, x2 = −1.0, x3 = 2.9

17. b. Los resultados de este ejercicio se muestran en la siguiente tabla. (Las abreviaturas M/D y A/S se utilizan para multiplicaciones/divisiones y sumas/restas, respectivamente.) Eliminación gaussiana

Gauss-Jordan

n

M/D

A/S

M/D

A/S

3 10 50 100

17 430 44150 343300

11 375 42875 338250

21 595 64975 509950

12 495 62475 499950

19. El método híbrido de eliminación gaussiana-Gauss-Jordan da los siguientes resultados. a. x1 = 1.0, x2 = −0.98, x3 = 2.9

b. x1 = 1.0, x2 = −1.0, x3 = 2.9

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R 50

Respuestas a ejercicios seleccionados

Conjunto de ejercicios 6.2 1. a. ninguno

b. intercambio de filas 2 y 3.

3. a. Intercambio de filas 1 y 2.

c. ninguno

d. intercambio de filas 1 y 2.

b. Intercambio de filas 1 y 3.

c. Intercambio de filas 1 y 2, después intercambio de filas 2 y 3. d. Intercambio de filas 1 y 2. 5. a. Intercambio de filas 1 y 3, después intercambio de filas 2 y 3. b. Intercambio de filas 2 y 3. c. Intercambio de filas 2 y 3.

d. Intercambio de filas 1 y 3, después intercambio de filas 2 y 3.

7. a. Intercambio de filas 1 y 2, y columnas 1 y 3, después intercambio de filas 2 y 3, después intercambio de columnas 2 y 3. b. Intercambio de filas 1 y 2, y columnas 1 y 3, después intercambio de filas 2 y 3. c. Intercambio de filas 1 y 2, y columnas 1 y 3, después intercambio de filas 2 y 3. d. Intercambio de filas 1 y 2, y columnas 1 y 2, después intercambio de filas 2 y 3, después intercambio de columnas 2 y 3. 9. La eliminación gaussiana con aritmética de corte de tres dígitos da los resultados. a. x1 = 30.0, x2 = 0.990

b. x1 = 0.00, x2 = 10.0, x3 = 0.142

c. x1 = 0.206, x2 = 0.0154, x3 = −0.0156, x4 = −0.716

d. x1 = 0.828, x2 = −3.32, x3 = 0.153, x4 = 4.91

11. La eliminación gaussiana con aritmética de redondeo de tres dígitos da los siguientes resultados. a. x1 = −10.0, x2 = 1.01 b. x1 = 0.00, x2 = 10.0, x3 = 0.143 c. x1 = 0.185, x2 = 0.0103, x3 = −0.0200, x4 = −1.12

d. x1 = 0.799, x2 = −3.12, x3 = 0.151, x4 = 4.56

13. La eliminación gaussiana con pivoteo parcial y aritmética de corte de tres dígitos da los siguientes resultados. a. x1 = 10.0, x2 = 1.00 b. x1 = −0.163, x2 = 9.98, x3 = 0.142 c. x1 = 0.177, x2 = −0.0072, x3 = −0.0208, x4 = −1.18

d. x1 = 0.777, x2 = −3.10, x3 = 0.161, x4 = 4.50

15. La eliminación gaussiana con pivoteo parcial y aritmética de redondeo de tres dígitos da los siguientes resultados. a. x1 = 10.0, x2 = 1.00 b. x1 = 0.00, x2 = 10.0, x3 = 0.143 c. x1 = 0.178, x2 = 0.0127, x3 = −0.0204, x4 = −1.16

d. x1 = 0.845, x2 = −3.37, x3 = 0.182, x4 = 5.07

17. La eliminación gaussiana con pivoteo parcial y aritmética de corte de tres dígitos da los siguientes resultados. a. x1 = 10.0, x2 = 1.00 b. x1 = −0.163, x2 = 9.98, x3 = 0.142 c. x1 = 0.171, x2 = 0.0102, x3 = −0.0217, x4 = −1.27

d. x1 = 0.687, x2 = −2.66, x3 = 0.117, x4 = 3.59

19. La eliminación gaussiana con pivoteo parcial escalado y aritmética de redondeo de tres dígitos da los siguientes resultados. a. x1 = 10.0, x2 = 1.00 b. x1 = 0.00, x2 = 10.0, x3 = 0.143 c. x1 = 0.180, x2 = 0.0128, x3 = −0.0200, x4 = −1.13

d. x1 = 0.783, x2 = −3.12, x3 = 0.147, x4 = 4.53

21. a. x1 = 9.98, x2 = 1.00 c. x1 = 0.161, x2 = 0.0125, x3 = −0.0232, x4 = −1.42

b. x1 = 0.0724, x2 = 10.0, x3 = 0.0952 d. x1 = 0.719, x2 = −2.86, x3 = 0.146, x4 = 4.00

23. a. x1 = 10.0, x2 = 1.00 c. x1 = 0.179, x2 = 0.0127, x3 = −0.0203, x4 = −1.15

d. x1 = 0.874, x2 = −3.49, x3 = 0.192, x4 = 5.33

b. x1 = 0.00, x2 = 10.0, x3 = 0.143

25. b. i 1 = 2.43478 amps, i 2 = 4.53846 amps, i 3 = −0.23077 amps c. i 1 = 23.0 amps, i 2 = 6.54 amps, i 3 = 2.97 amps d. Real (c) i 1 = 9.53 amps, i 2 = 6.56 amps, i 3 = 2.97 amps. Con pivoteo i 1 = 9.52 amps, i 2 = 6.55 amps, i 3 = 2.97 amps.

Conjunto de ejercicios 6.3 4 1. a.

b. −18

−4 3. a.

1



0

10 15

b.

0 11

4

−8

6

13

−12

4



   c.   3  7  −1  c.   3 −6

0

d. 5

−3

4

 −11   −4

−7



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

7

−2

 d.   −14 6

−16 1



 7   1

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R 51

Respuestas a ejercicios seleccionados



5. a. La matriz es singular.

− 41

 b. 

5 8 1 8

1 4 1 −8 − 58

1 4 − 3  14  3  28 − 12



1 4 1 −8 3 8



c. La matriz es singular.

d.

0

0

0

1 7 11 −7

0

1

−1

0   0

1



1

7. Las soluciones de los sistemas lineales obtenidas en las partes a) y b) son, de izquierda a derecha, x1 = 3, x2 = −6, x3 = −2, x4 = −1 y x1 = x2 = x3 = x4 = 1 9. No, ya que los productos Ai j B jk , para 1 ≤ i, j, k ≤ 2, no se puede formar. Lo siguiente son las condiciones necesarias y suficientes: a. El número de columnas de A es igual al número de filas de B. b. El número de líneas verticales de A es igual al número de líneas horizontales de B. c. La colocación de las líneas verticales de A es idéntica a la colocación de las líneas horizontales de B.     0 2 0 1 0 0 11. a. A2 =  0 0 3 , A3 = 0 1 0 , A4 = A, A5 = A2 , A6 = I, . . . 1 0 0 1 0 0 6 b. Año 1 Año 2 Año 3

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

6000 6000 6000

36000 3000 2000

12000 18000 1000

6000 6000 6000

c. A−1

0 = 0 

1 6

2 0 0

 0 3 . 0

La entrada i, j es el número de escarabajos de edad i, necesario para producir un escarabajo de edad j. ˜ yA ˆ son inversas de A. Entonces A A ˜ =A ˜ A = I y AA ˆ =A ˆ A = I . Por lo tanto, 13. a. Suponga que A ˜ = AI ˜ = A(A ˜ A) ˆ = (A ˜ A) A ˆ = IA ˆ = A. ˆ A b. (AB)(B −1 A−1 ) = A(B B −1 )A−1 = AI A−1 = A A−1 = I y (B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 I B = B −1 B = I , por lo que (AB)−1 = B −1 A−1 ya que existe una sola inversa. c. Puesto que A−1 A = A A−1 = I , sigue a A−1 que es no singular. Puesto que la inversa es única, tenemos (A−1 )−1 = A. 15. a. Tenemos      7 4 4 0 2(x0 − x1 ) + α0 + α1 2(x0 − x1 ) + 3α0 + 3α1 −6 −3 −6 0 3(x1 − x0 ) − α1 − 2α0  3(x1 − x0 ) − 3α1 − 6α0    =   0    0 3 0  α0 3α0 0 0 0 1 x0 x0 −1

− 43

− 43

 2  b. B = A−1 =   0

7 3

2

0

1 3



 0 0   0

0 0 0 1 17. Las respuestas son iguales a las del ejercicio 5.

Conjunto de ejercicios 6.4 1. Los determinantes de las matrices son: a. −8 b. 14 3. Las respuestas son iguales a las del ejercicio 1.

c. 0

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d. 3

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R 52

Respuestas a ejercicios seleccionados

5. α = − 32 y α = 2 7. α = −5 9. a. x¯ = x1 + i x 2 = r eiα , donde r = x12 + x22 , α = tan−1 xx12 . Por lo que, cos θ − sen θ x1 x cos θ − x2 sen θ = 1 . Por lo que, Rθ x¯ = sen θ cos θ x1 sen θ + x2 cos θ x2 i(α+θ) y¯ = r e = r (cos(α + θ ) + i sen(α + θ )) = (x1 cos θ − x2 sen θ) + i(x2 cos θ − x1 sen θ) = y1 + i y2 . Por lo que, y¯ = R0 x¯ cos θ − sen θ b. Rθ−1 = = R−θ sen θ cos θ √ √ 1 1 3−1 3+1 2√ −π x ¯ = c. R π6 x¯ = 2√ y R 6 3 + 21 3 − 21

d. det Rθ = det Rθ−1 = 1 11. a. detA = 0 b. Si det A = 0, el sistema tendría una única solución (0, 0, 0, 0)t lo cual no tiene sentido en el contexto c. x1 = 21 x4 , x2 = x4 , x3 = 12 x4 , x4 es cualquier entero positivo impar. 13. Sea     a11 a12 a13 a21 a22 a23 ˜ = a11 a12 a13  . A = a21 a22 a23  y A a31 a32 a33 a31 a32 a33 Expandiendo a lo largo de las terceras filas obtenemos a12 a22

det A =a31 det

a13 a − a32 det 11 a23 a21

a13 a + a33 det 11 a23 a21

a12 a22

=a31 (a12 a23 − a13 a22 ) − a32 (a11 a23 − a13 a21 ) + a33 (a11 a22 − a12 a21 ) y ˜ =a31 det a22 det A a12

a23 a − a32 det 21 a13 a11

a23 a + a33 det 21 a13 a11

a22 a12

=a31 (a13 a22 − a12 a23 ) − a32 (a13 a21 − a11 a23 ) + a33 (a12 a21 − a11 a22 ) = − det A. Los otros dos casos son similares. 15. a. La solución es x1 = 0, x2 = 10, y x3 = 26. b. Tenemos D1 = −1, D2 = 3, D3 = 7, y D = 0, y no hay soluciones. c. Tenemos D1 = D2 = D3 = D = 0, y existen infinitas soluciones. d. La regla de Cramer requiere 39 multiplicaciones/divisiones y 20 sumas/restas.

Conjunto de ejercicios 6.5 1. a. x1 = −3,  1   3. a. P = 0 0 1 5. a. L = 1.5 1.5  

x2 = 3, x3 = 1  0 0  0 1  1 0 0 1 1



0

1

0

 b. P =  1 0

0 0

 0  1

  0 2 0 y U =  0 1 0

1 b. L = −2.106719 3.067193



0 1 1.197756

−1 4.5 0 

 1 7.5 −4

 0 1.012 0 y U =  0 1 0

b. x1 = 12 , x2  1  0 c. P =  0  0

−2.132 −0.3955257 0

= − 92 , x3 =  0 0 0  0 1 0  1 0 0  0 0 1

7 2

 3.104 −0.4737443 −8.939141

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



0

0

1

0

 0 d. P =  0  1

1 0 0

0 0 0

 0  1  0

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Respuestas a ejercicios seleccionados 1 0.5  c. L =  0 1  

0 1 −2 −1.33333

1  −1.849190  d. L =  −0.4596433 2.768661

0 0 1 2

  0 2  0  y U = 0 0 0 1 0

0 1 −0.2501219 −0.3079435

0 1.5 0 0

0 0 1 −5.352283

0 0 0.5 0  0 0  0 1

 0 0  0 1

y 2.175600  0 U =  0 0 

7. a. b. c. d. 9. a.

11. a.

b. 13. a. b. c. d.

4.023099 13.43947 0 0

−2.173199 −4.018660 −0.8929510 0

 5.196700 10.80698  5.091692 12.03614

= 1, x2 = 2, x3 = −1 = 1, x2 = 1, x3 = 1 = 1.5, x2 = 2, x3 = −1.199998, x4 = 3 = 2.939851, x2 = 0.07067770, x3 = 5.677735, x4 = 4.379812         0 1 0 1 0 0 1 1 −1 1 0 0 1 0 0 1 2 −1 1 0  0 2 3 6 b. P t LU = 0 0 1 2 1 0 0 −5 P t LU = 1 0 0 0 5 0 0 1 0 − 21 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 4 2    1  0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 1 1 1  1 0 0 0  0 1  0 0 8 4 2  La población inicial debe ser    0 A = P LU =       1  0 0 1 0  0 2 −1 0 −2 1 0  0 1 1 − 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −4 1 4 N200,200,200,200Ot La población inicial debe ser N200,400,800,−300Ot . La entrada negativa muestra que la población 1 año después nunca puede ser 100 hembras de cada edad. Para calcular P t LU requiere 31 n 3 − 31 n multiplicaciones/divisiones y 13 n 3 − 21 n 2 + 16 n sumas/restas. Si P˜ se obtiene a partir de P mediante un simple intercambio de filas, entonces det P˜ = − det P. Por lo tanto, si P˜ se obtiene a partir de P por k intercambios, tenemos det P˜ = N−1Ok det P. Sólo se necesitan n − 1 multiplicaciones, además de las operaciones en la parte a). Tenemos det A = −741. Para factorizar y calcular det A se requieren 75 multiplicaciones/divisiones y 55 sumas/restas. x1 x1 x1 x1

Conjunto de ejercicios 6.6 1. a. La única matriz simétrica es a). b. Todas son no singulares. c. Las matrices a) y b) son estricta y diagonalmente dominantes. d. La única matriz definida positiva es a). 3. a.     1 0 0 2 0 0  1    1 0 0 32 0  , D= L= − 2    0 − 23 1 0 0 43 b. 

1.0

 0.25 L= 0.25  0.25

0.0

0.0

1.0 −0.45454545 0.27272727

0.0 1.0 0.076923077

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0.0



 0.0 , 0.0  1.0

R 53

lOMoARcPSD|5123985

R 54

Respuestas a ejercicios seleccionados



4.0

0.0

0.0

 0.0 D= 0.0  0.0

2.75 0.0 0.0

0.0 1.1818182 0.0



0.0

 0.0    0.0  1.5384615

c. 

1.0

  0.25 L= −0.25  0.0 

4.0  0.0 D= 0.0  0.0



0.0

0.0

0.0

1.0 −0.27272727 0.0

0.0 1.0 0.44

 0.0 , 0.0  1.0

0.0

0.0

0.0

2.75 0.0 0.0

0.0 4.5454545 0.0



 0.0   0.0   3.12

d. 

1.0

  0.33333333 L=  0.16666667  −0.16666667 

6.0

 0.0 D= 0.0  0.0

0.0

0.0

1.0 0.2 0.1

0.0 1.0 −0.24324324

0.0

0.0

3.3333333 0.0 0.0

0.0 3.7 0.0

0.0

 0.0  0.0 , 0.0  1.0 

  0.0   0.0  2.5810811

5. El algoritmo de Cholesky da los siguientes resultados.    2 1.414213 0 0 0.5  1.224743 0 a. L = −0.7071069 b. L =  0.5 0 −0.8164972 1.154699 0.5   2 0 0 0  0.5  1.658311 0 0   c. L =   −0.5 −0.4522671 2.132006 0 0 0 0.9380833 1.766351   2.449489 0 0 0  0.8164966 1.825741  0 0  d. L =   0.4082483 0.3651483  1.923538 0 −0.4082483 0.1825741 −0.4678876 1.606574

0 1.658311 −0.7537785 0.4522671

0 0 1.087113 0.08362442

 0  0   0 1.240346

7. El algoritmo modificado de factorización da los siguientes resultados. a. x1 = 1, x2 = −1, x3 = 0 b. x1 = 0.2, x2 = −0.2, x3 = −0.2, x4 = 0.25 c. x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1, x4 = 2 d. x1 = −0.8586387, x2 = 2.418848, x3 = −0.9581152, x4 = −1.272251 9. El algoritmo modificado de Cholesky proporciona los siguientes resultados. a. x1 = 1, x2 = −1, x3 = 0 b. x1 = 0.2, x2 = −0.2, x3 = −0.2, x4 = 0.25 c. x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1, x4 = 2 d. x1 = −0.85863874, x2 = 2.4188482, x3 = −0.95811518, x4 = −1.2722513

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Respuestas a ejercicios seleccionados 11. El algoritmo de factorización de Crout proporciona los siguientes resultados. a. x1 = 0.5, x2 = 0.5, x3 = 1

b. x1 = −0.9999995, x2 = 1.999999, x3 = 1

c. x1 = 1, x2 = −1, x3 = 0 d. x1 = −0.09357798, x2 = 1.587156, x3 = −1.167431, x4 = 0.5412844 13. Tenemos xi = 1, para cada i = 1, . . . , 10. 15. Solo la matriz en d) es definida positiva. 17. −2 < α
1, |β| < 1 c. β = 1

d. α > 32 , β = 1

23. i 1 = 0.6785047,

i 2 = 0.4214953, i 3 = 0.2570093, 1 0 25. a. No, por ejemplo, considere . 0 1

i 4 = 0.1542056,

i 5 = 0.1028037

b. Sí, puesto que A = At . c. Sí, puesto que xt (A + B)x = xt Ax + xt Bx. d. Sí, puesto que xt A2 x = xt At Ax = (Ax)t (Ax) ≥ 0, Y puesto que A es no singular, la igualdad se mantiene sólo si x = 0 . 1 0 10 0 e. No, por ejemplo, considere A = y B= . 0 1 0 10 1.0 0.2 . 0.1 1.0 29. El algoritmo de factorización de Crout se puede reescribir de acuerdo con lo siguiente: Paso 1 Determine l1 = a1 ; u 1 = c1 /l1 . Paso 2 Para i = 2, . . . , n − 1 determine li = ai − bi u i−1 ; u i = ci /li . Paso 3 Determine ln = an − bn u n−1 . Paso 4 Determine z 1 = d1 /l1 . Paso 5 Para i = 2, . . . , n determine z i = (di − bi z i−1 )/li . Paso 6 Determine xn = z n . Paso 7 Para i = n − 1, . . . , determine xi = z i − u i xi+1 . Paso 8 SALIDA (x1 , . . . , xn ); PARE. 31. El algoritmo de factorización de Crout requiere 5n − 4 multiplicaciones/divisiones y 3n − 3 sumas/restas.

27. Un ejemplo es A =

Conjunto de ejercicios 7.1 1. a. Tenemos ||x||∞ = 4 y ||x||2 = 5.220153.

b. Tenemos ||x||∞ = 4 y ||x||2 = 5.477226.

c. Tenemos ||x||∞ = 2k y ||x||2 = (1 + 4k )1/2 .

d. Tenemos ||x||∞ = 4/(k + 1) y ||x||2 = (16/(k + 1)2 + 4/k 4 + k 4 e−2k )1/2 .

3. a. Tenemos lím k→∞ x(k) = (0, 0, 0)t .

b. Tenemos lím k→∞ x(k) = (0, 1, 3)t .

c. Tenemos lím k→∞ x(k) = (0, 0, 21 )t .

d. Tenemos lím k→∞ x(k) = (1, −1, 1)t .

5. Las normas l∞ son las siguientes: a. 25 b. 16 7. a. Tenemos ||x − xˆ ||∞ = 8.57 × 10

−4

c. 4 y ||Axˆ − b||∞ = 2.06 × 10 . −4

b. Tenemos ||x − xˆ ||∞ = 0.90 y ||Axˆ − b||∞ = 0.27. c. Tenemos ||x − xˆ ||∞ = 0.5 y ||Axˆ − b||∞ = 0.3.

d. Tenemos ||x − xˆ ||∞ = 6.55 × 10−2 , y ||Axˆ − b||∞ = 0.32.

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d. 12

R 55

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R 56

Respuestas a ejercicios seleccionados

9. a. Puesto que x 1 = mantiene. Además,

n i=1

|xi | ≥ 0 con igualdad sólo si xi = 0 para todas las i, propiedades i) y ii) en la definición 7.1 se n

n

αx

1

i=1

n

|xi | = |α x 1 ,

|α xi | = |α|

|αxi | =

=

i=1

i=1

por lo que la propiedad iii) se mantiene. Finalmente, n

x+y

1

=

n

|xi + yi | ≤ i=1

n

(|xi | + |yi |) = i=1

por lo que la propiedad iv) también se mantiene. b. (1a) 8.5 (1b) 10 (1c) | sin k| + | cos k| + ek c. Tenemos x

=

i=1

x

|yi

1

y 1,

i=1

(1d) 4/(k + 1) + 2/k 2 + k 2 e−k

2

n 2 1

n

|xi | +

= (|x1 | + |x2 | + · · · + |xn |)2

|xi | i=1

n

≥ |x1 |2 + |x2 |2 + · · · + |xn |2 =

i=1

x 22 .

|xi |2

Por lo tanto, x 1 x 2. 1 1 1 0 11. Si A = yB = . Entonces AB ∞ = 2, pero A ∞ B ∞ = 1. 0 1 1 1 13. b. Tenemos √ 5a. A F = 326 √ 5b. A F = 326 5c. A F = 4 √ 5d. A F = 148. 15. Que x 0 se sigue fácilmente. Que x 0 si y sólo si x = 0 se sigue de la definición de definida positiva. Además, αxt S(αx)

αx

1 2

= α 2 xt Sx

1 2

= |α| xt Sx

1 2

= |α x .

A partir de la factorización de Cholesky, si S = L L t . Entonces, xt Sy = xt L L t y = L t x ≤

Lt x

t

1/2

Lt y

1/2

Lt x

= xt L L t x

t

Lt y

yt L L t y

1/2

t

Lt y

1/2

= xt Sx

1/2

yt Sy

1/2

.

Por lo tanto, x+y

2

= (x + y)t S (x + y) = xt Sx + yt Sx + xt Sy + yt Sy ≤ xt Sx + 2 xt Sx

1/2

= xt Sx + 2 x y

yt Sy

1/2

+ yt Sy

yt Sy = ( x

1/2

y )2 .

Esto demuestra las propiedades ( i) – (iv) de la definición 7.1. 17. No es difícil mostrar que ( i) se mantiene. Si A 0, entonces Ax 0 para todos los vectores x con x 1. Usando x = (0, . . . , 0, 1)t sucesivamente implica que cada columna de A es cero. x = (1, 0, . . . , 0)t , x = (0, 1, 0, . . . , 0)t , . . . , y 0 si y sólo si A = 0. Además, Por lo tanto, A αA A+B

máx (α Ax) x

1

máx (A + B)x x

1

α| máx Ax x

1

máx ( Ax x

1

α

A ,

Bx ),

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Respuestas a ejercicios seleccionados

R 57

por lo que ||A + B|| ≤ máx Ax 1

x

máx Bx x

A

1

B

y máx (AB)x

AB

x

máx A(Bx) .

1

1

x

Por lo tanto, ||AB|| ≤ máx A 1

x

A máx Bx

Bx

x

A

1

B .

19. Primero observe que el lado derecho de la desigualdad no cambia si se reemplaza x por cualquier vector xˆ con |xi | = |xˆ i | para cada i = 1, 2, . . . n. Entonces seleccione el nuevo vector xˆ de tal forma que xˆ i yi ≥ 0 para cada i, y aplique la desigualdad a xˆ y y.

Conjunto de ejercicios 7.2 1. a. El eigenvalor λ1 = 3 tiene el eigenvector x1 = (1, −1)t , y el eigenvalor λ2 = 1 tiene el eigenvector x2 = (1, 1)t . b. El eigenvalor λ1 = x = 1,

√ 1− 5 2

t

√ 1+ 5 2

tiene el eigenvector x = 1,

√ 1+ 5 2

t

, y el eigenvalor λ2 =

√ 1− 5 2

tiene el eigenvector

.

c. El eigenvalor λ1 = 12 tiene el eigenvector x1 = (1, 1)t , y el eigenvalor λ2 = − 12 tiene el eigenvector x2 = (1, −1)t . d. El eigenvalor λ1 = λ2 = 3 tiene el eigenvector x1 = (0, 0, 1)t y x2 = (1, 1, 0)t , y el eigenvalor λ3 = 1 tiene un eigenvalor x3 = (−1, 1, 0)t . e. El eigenvalor λ1 = 7 tiene el eigenvector x1 = (1, 4, 4)t , el eigenvalor λ2 = 3 tiene el eigenvector x2 = (1, 2, 0)t , y el eigenvalor λ3 = −1 tiene el eigenvector x3 = (1, 0, 0)t . f. El eigenvalor λ1 = 5 tiene el eigenvector x1 = (1, 2, 1)t , y el eigenvalor λ2 = λ3 = 1 tiene el eigenvector x2 = (−1, 0, 1)t y x3 = (−1, 1, 0)t . √ √ √ √ 3. a. Los eigenvalores λ1 = 2 + 2 i y λ2 = 2 − 2 i tienen los eigenvectores x1 = (− 2 i, 1)t y x2 = ( 2 i, 1)t . √ √ √ b. Los eigenvalores λ1 = (3 + 7 i PQ2 y λ2 = (3 − 7 i PQ2 tienen los eigenvectores x1 = ((1 − 7 i PQ2, 1)t y √ x2 = ((1 + 7 i PQ2, 1).

5. 7. 9. 11.

√

a. 3 b. 1+2 5 Sólo la matriz en 1 c) es convergente. a. 3 b. 1.618034 Puesto que

c.

1 2

c. 0.5

Ak1 =

1 2k −1 2k+1

d. 3

e. 7

f. 5

d. 3

e. 8.224257

f. 5.203527

0 1 lím Ak1 = 1 2−k , tenemos k→∞ 2

0 . 0

Además, Ak2



=

2−k

0

16k 2k−1

2−k



 , por lo que

lím Ak2 =

k→∞

0 0

0 . 0

13. a. Tenemos el eigenvalor real λ = 1 con el eigenvector x = (6, 3, 1)t . b. Seleccione cualquier múltiplo del vector (6, 3, 1)t . 15. Si A es una matriz n × n. Al expandir a lo largo de la primera fila obtenemos el polinomio característico n

p(λ) = det(A − λI ) = (a11 − λ)M11 +

(−1) j+1 a1 j M1 j . j=2

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R 58

Respuestas a ejercicios seleccionados

Los determinantes M1 j tienen la forma 

M1 j

a21

  a31   ..  .  a j−1,1  = det   a j,1 a j+1,1   .  ..    an1

a22 − λ

···

a2, j−1

a2, j+1

···

a2n

a32 .. .

··· .. . ··· ··· ··· .. . ···

a3, j−1 .. . a j−1, j−1 − λ a j, j−1 a j+1, j−1 .. . an, j−1

a3, j+1 .. . a j−1, j+1 a j, j+1 a j+1, j+1 − λ .. . an, j+1

··· .. . ··· ··· ··· .. . ···

a3n .. .

a j−1,2 a j,2 a j+1,2 .. . an2



      a j−1,n   a j,n  , a j+1,n   ..  .    ann − λ

para j = 2, . . . , n. Observe que cada M1 j tiene n − 2 entradas de la forma aii − λ. Por lo tanto, p(λ) = det(A − λI ) = (a11 − λ)M11 + {términos de grado n − 2 o menos}. Puesto que 

M11

a22 − λ

  a  32  . = det   ..   ..  . an2

a23 a33 − λ .. .

···

··· .. . .. . .. . ···

··· ..

.

..

. an,n−1

a2n .. . .. . an−1,n ann − λ

         

tiene la misma forma que det (A − λI ), el mismo argumento se puede aplicar repetidamente para determinar p(λ) = (a11 − λ)(a22 − λ) · · · (ann − λ) + {términos de grado n − 2 o menos en λ}. Por lo tanto, p(λ) es un polinomio de grado n. 17. a. det(A − λI ) = det((A − λI )t ) = det(At − λI ) b. Si Ax = λx, entonces A2 x = λAx = λ2 x y, por medio de inducción Ak x = λk x. c. Si Ax = λx y A−1 existe, entonces x = λA−1 x. Mediante el ejercicio 16 (b), λ = 0, por lo que λ1 x = A−1 x. d. Puesto que A−1 x = λ1 x, tenemos (A−1 )2 x = λ1 A−1 x = λ12 x. La inducción matemática da (A−1 )k x =

1 x. λk

e. Si Ax = λx, entonces q(A)x = q0 x + q1 Ax + · · · + qk Ak x = q0 x + q1 λx + · · · + qk λk x = q(λ)x. f. Si A − α I es no singular. Puesto que Ax = λx, (A − α I )x = Ax − α I x = λx − αx = (λ − α)x. Por lo tanto, 1 x = (A − α I )−1 x. λ−α 19. Para A=

1 0

1 1

y B=

1 1

0 , 1

Tenemos ρ(A) = ρ(B) = 1 y ρ( A + B) = 3.

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Respuestas a ejercicios seleccionados

Conjunto de ejercicios 7.3 1. Dos iteraciones del método de Jacobi proporcionan los siguientes resultados. a. (0.1428571, −0.3571429, 0.4285714)t b. (0.97, 0.91, 0.74)t t c. (−0.65, 1.65, −0.4, −2.475) d. (1.325, −1.6, 1.6, 1.675, 2.425)t 3. Dos iteraciones del método de Gauss-Seidel proporcionan los siguientes resultados. b. x(2) = (0.979, 0.9495, 0.7899)t a. x(2) = (0.1111111, −0.2222222, 0.6190476)t (2) t c. x = (−0.5, 2.64, −0.336875, −2.267375) d. x(2) = (1.189063, −1.521354, 1.862396, 1.882526, 2.255645)t 5. El algoritmo de Jacobi da los siguientes resultados. b. x(6) = (0.9957250, 0.9577750, 0.7914500)t a. x(8) = (0.0351008, −0.2366338, 0.6581273)t c. x(21) = (−0.7971058, 2.7951707, −0.2593958, −2.2517930)t d. x(12) = (0.7870883, −1.003036, 1.866048, 1.912449, 1.985707)t 7. El algoritmo de Gauss-Seidel da los siguientes resultados. b. x(4) = (0.9957475, 0.9578738, 0.7915748)t a. x(6) = (0.03535107, −0.2367886, 0.6577590)t (10) t c. x = (−0.7973091, 2.794982, −0.2589884, −2.251798) d. x(7) = (0.7866825, −1.002719, 1.866283, 1.912562, 1.989790)t 9. a.   1 − 21 0 2 5 T j = −1 0 −1  y det (λI − T j ) = λ3 + x. 4 1 1 0 2 2

√

√

Por lo tanto, los eigenvalores de T j son 0 y ± 25 i, por lo que ρ(T j ) = 25 > 1. b. x(25) = (−20.827873, 2.0000000, −22.827873)t c.   1 − 21 0 2 1   Tg = 0 − 12 − 21  y det (λI− Tg ) = λ λ + 2 0 0 − 12

2

.

Por lo tanto, los eigenvalores de Tg son 0, −1/2, y −1/2; por lo que ρ(Tg ) = 1/2. d. x(23) = (1.0000023, 1.9999975, −1.0000001)t está dentro de 10−5 en la norma l∞ . 11. a. A no es estricta y diagonalmente dominante. b.   0 0 1 0.75  y ρ(Tg ) = 0.625. Tg = 0 0 0 0 −0.625 c. Con x(0) = (0, 0, 0)t , x(13) = (0.89751310, −0.80186518, 0.7015543)t d. ρ(Tg ) = 1.375. Puesto que Tg no es convergente, el método Gauss-Seidel no convergerá. 13. Los resultados de este ejercicio se listan en el ejercicio 9 del Conjunto de ejercicios 7.4, donde se proporcionan los resultados adicionales para un método presentado en la sección 7.4. 15. a. Las ecuaciones se reordenaron de tal forma que aii = 0 para i = 1, 2, . . . , 8. b. i). F1 ≈ −0.00265 F2 ≈ −6339.745 F3 ≈ −3660.255 f 1 ≈ −8965.753 f 2 ≈ 6339.748 f 3 ≈ 10000 f 4 ≈ −7320.507 f 5 ≈ 6339.748 El método iterativo de Jacobi requería 57 iteraciones.

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R 59

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R 60

Respuestas a ejercicios seleccionados

ii). F1 ≈ −0.003621 F2 ≈ −6339.745 F3 ≈ −3660.253 f 1 ≈ −8965.756 f 2 ≈ 6339.745 f 3 ≈ 10000 f 4 ≈ −7320.509 f 5 ≈ 6339.747 El método de Gauss-Seidel requería 30 iteraciones. 17. La matriz T j = (tik ) tiene entradas dadas por  0, i = k para 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ k ≤ n aik tik = − , i = k para 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ k ≤ n. aii Puesto que A es estricta y diagonalmente dominante, n

Tj

∞

= máx

1≤i≤n

aik < 1. aii

k=1 k =i

19. a. Puesto que A es definida positiva, aii > 0 para 1 ≤ i ≤ n, y A es simétrica. Por lo tanto, A se puede reescribir como A = D − L − L t , donde D es diagonal con dii > 0 y L es triangular inferior. La diagonal de la matriz triangular inferior D − L tiene las entradas positivas d11 = a11 , d22 = a22 R S S S R dnn = ann , por lo que T D − L U−1 existe. b. Puesto que A es simétrica, P t = A − Tgt ATg

t

= At − Tgt At Tg = A − Tgt ATg = P.

Por lo tanto, P es simétrica. c. Tg = T D − L U−1 L t , por lo que

d.

T D − L UTg = L t = D − L − D + L + L t = T D − L U − T D − L − L t U = T D − L U − A. Puesto que T D − L U−1 existe, tenemos Tg = I − T D − L U−1 A. Puesto que Q = T D − L U−1 A, tenemos Tg = I − Q. Observe que Q −1 existe. Mediante la definición de P tenemos P =A − Tgt ATg = A − I − T D − L U−1 A

t

A I − T D − L U−1 A

=A − [I − Q]t A[I − Q] = A − I − Q t AT I − Q U =A − A − Q t A

T I − QU = A −

A − Q t A − AQ + Q t AQ

=Q t A + AQ − Q t AQ = Q t A + Q t =Q t AQ −1 + Q t

−1

−1

AQ − AQ

A − A Q.

e. Puesto que AQ −1 = A A−1 T D − L U = D − L

y

Qt

−1

A = D − Lt R

tenemos AQ −1 + Q t

−1

A − A = D − L + D − L t − D − L − L t = D.

Por lo tanto, P = Q t AQ −1 + Q t

−1

A − A Q = Q t D Q.

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Respuestas a ejercicios seleccionados

R 61

Por lo que, para x ∈ Rn , tenemos xt Px = xt Q t D Qx = (Qx)t D(Qx). Puesto que D es una matriz diagonal positiva (Qx)t D(Qx) ≥ 0 a menos que Qx = 0. Sin embargo, Q es no singular, por lo que Qx = 0 si y sólo si x = 0. Por lo tanto, P es definida positiva f. Si λ es un eigenvalor de Tg con el eigenvector x = 0. Siempre que xt Px > 0, xt A − Tgt ATg x > 0

y

xt Ax − xt Tgt ATg x > 0. Puesto que Tg x = λx, tenemos xt Tgt = λxt , por lo que 1 − λ2 xt Ax = xt Ax − λ2 xt Ax > 0. Puesto que A es definida positiva, 1 − λ2 > 0, y λ2 < 1. Por lo tanto, |λ| < 1. g. Para cualquier eigenvalor λ de Tg , tenemos |λ| < 1. Esto implica ρ(Tg ) < 1 y Tg es convergente.

Conjunto de ejercicios 7.4 1. Dos iteraciones del método SOR dan los siguientes resultados. a. (−0.0173714, −0.1829986, 0.6680503)t

b. (0.9876790, 0.9784935, 0.7899328)t

c. (−0.71885, 2.818822, −0.2809726, −2.235422)t d. (1.079675, −1.260654, 2.042489, 1.995373, 2.049536)t 3. Dos iteraciones del método SOR con ω = 1.3 dan los siguientes resultados. a. x(2) = (−0.1040103, −0.1331814, 0.6774997)t

b. x(2) = (0.957073, 0.9903875, 0.7206569)t

c. x(2) = (−1.23695, 3.228752, −0.1523888, −2.041266)t d. x(2) = (0.7064258, −0.4103876, 2.417063, 2.251955, 1.061507)t 5. El algoritmo SOR da los siguientes resultados. a. x(11) = (0.03544356, −0.23718333, 0.65788317)t

b. x(7) = (0.9958341, 0.9579041, 0.7915756)t

c. x(8) = (−0.7976009, 2.795288, −0.2588293, −2.251768)t d. x(10) = (0.7866310, −1.002807, 1.866530, 1.912645, 1.989792)t 7. Las matrices tridiagonales están en las partes b) y c). (9b): Para ω = 1.012823 tenemos x(4) = (0.9957846, 0.9578935, 0.7915788)t . (9c): Para ω = 1.153499 tenemos x(7) = (−0.7977651, 2.795343, −0.2588021, −2.251760)t .

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R 62

Respuestas a ejercicios seleccionados

9.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28 x29 x30 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37 x38 x39 x40 x41 x42 x43 x44 x45 x46 x47 x48 x49 x50 x51

Jacobi 33 iteraciones

Gauss-Seidel 8 iteraciones

SOR (ω = 1.2) 13 iteraciones

1.53873501 0.73142167 0.10797136 0.17328530 0.04055865 0.08525019 0.16645040 0.12198156 0.10125265 0.09045966 0.07203172 0.07026597 0.06875835 0.06324659 0.05971510 0.05571199 0.05187851 0.04924911 0.04678213 0.04448679 0.04246924 0.04053818 0.03877273 0.03718190 0.03570858 0.03435107 0.03309542 0.03192212 0.03083007 0.02980997 0.02885510 0.02795937 0.02711787 0.02632478 0.02557705 0.02487017 0.02420147 0.02356750 0.02296603 0.02239424 0.02185033 0.02133203 0.02083782 0.02036585 0.01991483 0.01948325 0.01907002 0.01867387 0.01829386 0.71792896 0.01757833

1.53873270 0.73141966 0.10796931 0.17328340 0.04055595 0.08524787 0.16644711 0.12197878 0.10124911 0.09045662 0.07202785 0.07026266 0.06875421 0.06324307 0.05971083 0.05570834 0.05187416 0.04924537 0.04677776 0.04448303 0.04246493 0.04053444 0.03876852 0.03717822 0.03570451 0.03434748 0.03309152 0.03191866 0.03082637 0.02980666 0.02885160 0.02795621 0.02711458 0.02632179 0.02557397 0.02486733 0.02419858 0.02356482 0.02296333 0.02239171 0.02184781 0.02132965 0.02083545 0.02036360 0.01991261 0.01948113 0.01906793 0.01867187 0.01829190 0.01792707 0.01757648

1.53873549 0.73142226 0.10797063 0.17328480 0.04055737 0.08524925 0.16644868 0.12198026 0.10125043 0.09045793 0.07202912 0.07026392 0.06875546 0.06324429 0.05971200 0.05570949 0.05187529 0.04924648 0.04677885 0.04448409 0.04246597 0.04053546 0.03876952 0.03717920 0.03570548 0.03434844 0.03309246 0.03191958 0.03082727 0.02980755 0.02885248 0.02795707 0.02711543 0.02632262 0.02557479 0.02486814 0.02419938 0.02356560 0.02296410 0.02239247 0.02184855 0.02133038 0.02083615 0.02036429 0.01991324 0.01948175 0.01906846 0.01867239 0.01829233 0.01792749 0.01757683

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lOMoARcPSD|5123985

Respuestas a ejercicios seleccionados

x52 x53 x54 x55 x56 x57 x58 x59 x60 x61 x62 x63 x64 x65 x66 x67 x68 x69 x70 x71 x72 x73 x74 x75 x76 x77 x78 x79 x80

Jacobi 33 iteraciones

Gauss-Seidel 8 iteraciones

SOR (ω = 1.2) 13 iteraciones

0.01724113 0.01691660 0.01660406 0.01630279 0.01601230 0.01573198 0.01546129 0.01519990 0.01494704 0.01470181 0.01446510 0.01423556 0.01401350 0.01380328 0.01359448 0.01338495 0.01318840 0.01297174 0.01278663 0.01270328 0.01252719 0.01237700 0.01221009 0.01129043 0.01114138 0.01217337 0.01201771 0.01542910 0.01523810

0.01723933 0.01691487 0.01660237 0.01630127 0.01601082 0.01573087 0.01546020 0.01519909 0.01494626 0.01470085 0.01446417 0.01423437 0.01401233 0.01380234 0.01359356 0.01338434 0.01318780 0.01297109 0.01278598 0.01270263 0.01252656 0.01237656 0.01220965 0.01129009 0.01114104 0.01217312 0.01201746 0.01542896 0.01523796

0.01723968 0.01691517 0.01660267 0.01630146 0.01601101 0.01573077 0.01546010 0.01519878 0.01494595 0.01470077 0.01446409 0.01423461 0.01401256 0.01380242 0.01359363 0.01338418 0.01318765 0.01297107 0.01278597 0.01270271 0.01252663 0.01237654 0.01220963 0.01129008 0.01114102 0.01217313 0.01201746 0.01542896 0.01523796

11. a. Tenemos P0 = 1, por lo que la ecuación P1 = 12 P0 + 12 P2 da P1 − 12 P2 = 12 . Ya que Pi = 12 Pi−1 + 12 Pi+1 , tenemos − 21 Pi−1 + Pi + 12 Pi+1 = 0, para i = 1, . . . , n − 2. Finalmente, puesto que Pn = 0 y Pn−1 = 12 Pi−2 + 12 Pn , tenemos − 21 Pn−2 + Pi−1 = 0. Esto proporciona el sistema lineal. b. El vector solución es (0.90906840, 0.81814162, 0.72722042, 0.63630504, 0.54539520, 0.45449021, 0.36358911, 0.18179385, 0.27269073, 0.90897290)t por medio de 62 iteraciones con w = 1.25 y una tolerancia de 10 −5 en la norma l∞ . Para n = 10. c. Las ecuaciones son Pi = α Pi−1 + (1 − α)Pi+1 para i = 1, . . . , n − 1 y el sistema lineal se convierte en      0 .. .. .. . . . . . . . . .0 . . . . . . . 0. α . . ...   P1 .. .  0 −α   . P . 1 −(1 − α) . 2 . . ...      . ..   .  . ... ..... ..  0.   ..   ..  . . . . −α 1 . . . ... ...     .. . . . .  ... . ... ... .. .  .  .  = . ... ... ... ...     .   . . 0 . . . . ... ... ... ...  ..   .   ..  ... ... ...  ...     . . .  . ... .. .   ..   ..  ...  ..   −α 1 −(1 − α) .  . ...  .  .. . 0 P n−1 0 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 −α 1 

1

−(1 − α)

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R 63

lOMoARcPSD|5123985

R 64

Respuestas a ejercicios seleccionados

d. El vector solución es (0.49973968, 0.24961354, 0.1245773, 0.62031557, 0.30770075, 0.15140201, 0.73256883, 0.14651284, 0.34186112, 0.48838809)t por medio de 21 iteraciones con w = 1.25 y una tolerancia de 10 −5 en la norma l∞ para n = 10.

13. Si λ1 , . . . , λn son los eigenvalores de Tω . Entonces n

λi = det Tω = det (D − ωL)−1 [(1 − ω)D + ωU ] i=1

= det(D − ωL)−1 det((1 − ω)D + ωU ) = det D −1 det((1 − ω)D) 1 (a11 a22 . . . ann )

=

(1 − ω)n a11 a22 . . . ann )

= (1 − ω)n .

Por lo tanto, ρ(Tω ) = máx |λi | ≥ |ω − 1|, 1≤i≤n

y |ω − 1| < 1 si y sólo si 0 < ω < 2.

Conjunto de ejercicios 7.5 1. Los números de condición || · ||∞ son: a. 50

b. 241.37

c. 600 002

d. 339 866

3. x − xˆ a b c d

K ∞ (A) b − Axˆ

∞

8.571429 × 10−4 0.1 0.04 20

∞/

A

∞

1.238095 × 10−2 3.832060 0.8 1.152440 × 105

5. La eliminación gaussiana y el refinamiento iterativo da los siguientes resultados. a. i) (−10.0, 1.01)t , ii) (10.0, 1.00)t b. i) (12.0, 0.499, −1.98)t , ii) (1.00, 0.500, −1.00)t

c. i) (0.185, 0.0103, −0.0200, −1.12)t , ii) (0.177, 0.0127, −0.0207, −1.18)t

d. i) (0.799, −3.12, 0.151, 4.56)t , ii) (0.758, −3.00, 0.159, 4.30)t

7. La matriz está mal condicionada ya que K ∞ = 60002. Tenemos x˜ = (−1.0000, 2.0000)t . 9. a. K ∞ H (4) = 28375 b. K ∞ H (5) = 943656 c. La solución real x = (−124, 1560, −3960, 2660)t ; La solución aproximada x˜ = (−124.2, 1563.8, −3971.8, 2668.8)t ; x − x˜ K ∞ (A) 1 − K ∞ (A)

δA ∞ A ∞

δb ∞ δA ∞ + b ∞ A ∞

=

∞

= 11.8;

28375 1 − 28375

6.6×10−6 2.083

x−˜x ∞ x ∞

0+

= 0.09987.

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= 0.02980; 6.6 × 10−6 2.083

lOMoARcPSD|5123985

Respuestas a ejercicios seleccionados 11. Para cualquier vector x, tenemos

x

Sea x = 0 de tal forma que x

A−1 Ax ≤ A−1

tal que

Ax ,

x . A−1

Ax

1 y Bx = 0. Entonces (A − B)x

x A−1

Ax

y 1

(A − B)x ≥ A Puesto que x

A−1

A

=

1 . K (A)

1, (A − B)x

A−B

x

y

A−B

A−B 1 . ≥ A K (A)

Conjunto de ejercicios 7.6 1. a. V0.18, 0.13)t b. (0.19, 0.10)t c. La eliminación gaussiana da la mejor respuesta ya que v(2) = (0, 0)t en el método de gradiente conjugado.

d. (0.13, 0.21)t . No existe mejora, aunque v(2) = 0.

3. a. (1.00, −1.00, 1.00)t

b. (0.827, 0.0453, −0.0357)t

c. El pivoteo parcial y el pivoteo parcial escalado también da (1.00, −1.00, 1.00)t .

d. (0.776, 0.238, −0.185)t ; El residuo de (3b) es (−0.0004, −0.0038, 0.0037)t , y el residuo de la parte (3d) es (0.0022, −0.0038,0.0024)t . Al parecer, no hay mucha mejora, si es que hay alguna. El error de redondeo es más prevalente debido al incremento en el número de multiplicaciones de la matriz. 5. a. x(2) = (0.1535933456, −0.1697932117, 0.5901172091)t , r(2) b. x(2) = (0.9993129510, 0.9642734456, 0.7784266575)t , r(2)

∞

∞

= 0.221.

= 0.144.

c. x(2) = (−0.7290954114, 2.515782452, −0.6788904058, −2.331943982)t , r(2) (2)

d. x

= (−0.7071108901, −0.0954748881, −0.3441074093, 0.5256091497) , r t

∞ (2)

= 2.2. ∞

= 0.39.

e. x(2) = (0.5335968381, 0.9367588935, 1.339920949, 1.743083004, 1.743083004)t , r(2) f. x

(2)

7. a. x

(3)

= (0.06185567013, −0.1958762887, 0.6185567010) , r t

b. x(3) = (0.9957894738, 0.9578947369, 0.7915789474)t , r(3)

(3) ∞

∞

∞

= 0.4 × 10 .

= 0.1 × 10−9 .

∞

d. x(4) = (−0.7534246575, 0.04109589039, −0.2808219179, 0.6917808219)t , r(4) e. x

= 1.3.

(2)

−9

c. x(4) = (−0.7976470579, 2.795294120, −0.2588235305, −2.251764706)t , r(4) (5)

∞

= (0.35714286, 1.42857143, 0.35714286, 1.57142857, 0.28571429, 1.57142857) , r t

= 0.39 × 10−7 . ∞

= 0.11 × 10−9 .

= (0.4516129032, 0.7096774197, 1.677419355, 1.741935483, 1.806451613) , r(5) t

∞

= 0.2 × 10−9 .

f. x(2) = (0.35714286, 1.42857143, 0.35714286, 1.57142857, 0.28571429, 1.57142857)t , r(2)

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= 0.

∞

= 0.

R 65

lOMoARcPSD|5123985

R 66

Respuestas a ejercicios seleccionados

9. a. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16

b. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25

Jacobi 49 iteraciones

Gauus-Seidel 28 iteraciones

SOR (ω = 1.3) 13 iteraciones

Gradiente conjugado 9 iteraciones

0.93406183 0.97473885 1.10688692 1.42346150 0.85931331 0.80688119 0.85367746 1.10688692 0.87672774 0.80424512 0.80688119 0.97473885 0.93003466 0.87672774 0.85931331 0.93406183

0.93406917 0.97475285 1.10690302 1.42347226 0.85932730 0.80690725 0.85370564 1.10690579 0.87674384 0.80427330 0.80691173 0.97475850 0.93004542 0.87674661 0.85933296 0.93407462

0.93407584 0.97476180 1.10691093 1.42347591 0.85933633 0.80691961 0.85371536 1.10691075 0.87675177 0.80428301 0.80691989 0.97476265 0.93004899 0.87675155 0.85933709 0.93407672

0.93407713 0.97476363 1.10691243 1.42347699 0.85933790 0.80692197 0.85372011 1.10691250 0.87675250 0.80428524 0.80692252 0.97476392 0.93004987 0.87675298 0.85933979 0.93407768

Jacobi 60 iteraciones

Gauss-Seidel 35 iteraciones

0.39668038 0.07175540 −0.23080396 0.24549277 0.83405412 0.51497606 0.12116003 −0.24044414 0.37873579 1.09073364 0.54207872 0.13838259 −0.23083868 0.41919067 1.15015953 0.51497606 0.12116003 −0.24044414 0.37873579 1.09073364 0.39668038 0.07175540 −0.23080396 0.24549277 0.83405412

0.39668651 0.07176830 −0.23078609 0.24550989 0.83406516 0.51498897 0.12118683 −0.24040991 0.37876891 1.09075392 0.54209658 0.13841682 −0.23079452 0.41923122 1.15018477 0.51499318 0.12119315 −0.24040359 0.37877365 1.09075629 0.39669142 0.07177567 −0.23077872 0.24551542 0.83406793

SOR (ω = 1.2) 23 iteraciones 0.39668915 0.07177348 −0.23077981 0.24551535 0.83406823 0.51499414 0.12119625 −0.24039898 0.37877812 1.09075899 0.54210286 0.13842774 −0.23078224 0.41924136 1.15019025 0.51499864 0.12120236 −0.24039345 0.37878188 1.09076069 0.39669449 0.07178074 −0.23077323 0.24551982 0.83407025

Gradiente conjugado 11 iteraciones 0.39669775 0.07178516 −0.23076923 0.24552253 0.83407148 0.51500583 0.12121212 −0.24038462 0.37878788 1.09076341 0.54211344 0.13844211 −0.23076923 0.41925019 1.15019425 0.51500583 0.12121212 −0.24038462 0.37878788 1.09076341 0.39669775 0.07178516 −0.23076923 0.24552253 0.83407148

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Respuestas a ejercicios seleccionados

c. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28 x29 x30 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37 x38 x39 x40

Jacobi 15 iteraciones

Gauss-Seidel 9 iteraciones

−3.07611424 −1.65223176 −0.53282391 −0.04471548 0.17509673 0.29568226 0.37309012 0.42757934 0.46817927 0.49964748 0.52477026 0.54529835 0.56239007 0.57684345 0.58922662 0.59995522 0.60934045 0.61761997 0.62497846 0.63156161 0.63748588 0.64284553 0.64771764 0.65216585 0.65624320 0.65999423 0.66345660 0.66666242 0.66963919 0.67241061 0.67499722 0.67741692 0.67968535 0.68181628 0.68382184 0.68571278 0.68749864 0.68918652 0.69067718 0.68363346

−3.07611739 −1.65223563 −0.53282528 −0.04471608 0.17509661 0.29568223 0.37309011 0.42757934 0.46817927 0.49964748 0.52477026 0.54529835 0.56239007 0.57684345 0.58922662 0.59995522 0.60934045 0.61761997 0.62497846 0.63156161 0.63748588 0.64284553 0.64771764 0.65216585 0.65624320 0.65999423 0.66345660 0.66666242 0.66963919 0.67241061 0.67499722 0.67741692 0.67968535 0.68181628 0.68382184 0.68571278 0.68749864 0.68918652 0.69067718 0.68363346

SOR (ω = 1.1) 8 iteraciones −3.07611796 −1.65223579 −0.53282531 −0.04471609 0.17509661 0.29568223 0.37309011 0.42757934 0.46817927 0.49964748 0.52477026 0.54529835 0.56239007 0.57684345 0.58922662 0.59995522 0.60934045 0.61761997 0.62497846 0.63156161 0.63748588 0.64284553 0.64771764 0.65216585 0.65624320 0.65999423 0.66345660 0.66666242 0.66963919 0.67241061 0.67499722 0.67741691 0.67968535 0.68181628 0.68382184 0.68571278 0.68749864 0.68918652 0.69067718 0.68363346

Gradiente Conjugado 8 iteraciones −3.07611794 −1.65223582 −0.53282528 −0.04471604 0.17509661 0.29568218 0.37309011 0.42757927 0.46817927 0.49964748 0.52477027 0.54529836 0.56239009 0.57684347 0.58922664 0.59995523 0.60934045 0.61761998 0.62497847 0.63156161 0.63748588 0.64284553 0.64771764 0.65216585 0.65624320 0.65999422 0.66345660 0.66666242 0.66963919 0.67241060 0.67499721 0.67741691 0.67968535 0.68181628 0.68382184 0.68571278 0.68749864 0.68918652 0.69067717 0.68363349

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R 67

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R 68

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11. a. Solución 2.55613420 4.09171393 4.60840390 3.64309950 5.13950533 7.19697808 7.68140405 5.93227784 5.81798997 5.85447806 5.94202521 4.42152959 3.32211695 4.49411604 4.80968966 3.81108707

Residuo 0.00668246 −0.00533953 −0.01739814 −0.03171624 0.01308093 −0.02081095 −0.04593118 0.01692180 0.04414047 0.03319707 −0.00099947 −0.00072826 0.02363822 0.00982052 0.00846967 −0.01312902

Esto converge en 6 iteraciones con tolerancia 5.00 × 10−2 en la norma l∞ y r(6)

∞

= 0.046.

b. Solución

Residuo

2.55613420 4.09171393 4.60840390 3.64309950 5.13950533 7.19697808 7.68140405 5.93227784 5.81798996 5.85447805 5.94202521 4.42152959 3.32211694 4.49411603 4.80968966 3.81108707

0.00668246 −0.00533953 −0.01739814 −0.03171624 0.01308093 −0.02081095 −0.04593118 0.01692180 0.04414047 0.03319706 −0.00099947 −0.00072826 0.02363822 0.00982052 0.00846967 −0.01312902

Esto converge en 6 iteraciones con tolerancia 5.00 × 10−2 en la norma l∞ y r(6)

c. Todas las tolerancias conducen a las mismas especificaciones de convergencia.

∞

= 0.046.

13. a. Tenemos P0 = 1, por lo que la ecuación P1 = 12 P0 + 12 P2 da P1 − 12 P2 = 21 . Puesto que Pi = 12 Pi−1 + 21 Pi+1 , tenemos − 12 Pi−1 + Pi + 21 Pi+1 = 0, para i = 1, . . . , n − 2. Finalmente, ya que Pn = 0 y Pn−1 = 12 Pi−2 + 21 Pn , tenemos − 21 Pn−2 + Pi−1 = 0. Esto provee el sistema lineal que contiene una matriz definida positiva A. b. Para n = 10, el vector solución es (0.909009091, 0.81818182, 0.72727273, 0, 63636364, 0.54545455, 0.45454545, 0.36363636, 0.27272727, 0.18181818, 0.09090909)t al usar 10 iteraciones con C −1 = I y una tolerancia de 10 −5 en la norma l∞ . c. La matriz resultante no es definida positiva y el método falla.

d. El método falla. 15. a. Sea {v(1) , . . . , v(n) } es un conjunto de vectores A-ortogonales diferentes de cero para la matriz definida positiva simétrica A. Entonces, v(i) , Av( j) 0, si i = j. Suponga que c1 v(1) + c2 v(2) + · · · + cn v(n) = 0,

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R 69

donde no todas las ci son cero. Suponga que k es el entero más pequeño para el que ck = 0. Entonces ck v(k) + ck+1 v(k+1) + · · · + cn v(n) = 0. Resolvemos para v(k) para obtener v(k) = −

cn ck+1 (k+1) v − · · · − v(n) . ck ck

Al multiplicar por A obtenemos AvWk X = −

ck+1 Wk+1X cn Av − · · · − AvWn X , ck ck

por lo que

YvWkX Zt AvWkX = − cck+1 YvWkX Zt AvWk+1X − · · · − ccn Yv(k)t )Av(n) k

k

ck+1 (k) v , Av(k+1) =− ck cn ck+1 · 0 − ··· − · 0. =− ck ck

cn (k) v , Av(n) ck

Puesto que A es definida positiva, v(k) = 0, que es una contradicción. Por lo tanto, todas las ci deben ser cero y {v(1) , . . . , v(n) } es linealmente independiente. b. Sea {v(1) , . . . , v(n) } un conjunto de vectores A-ortogonales diferentes de cero para la matriz definida positiva simétrica A y si z es ortogonal para v(i) , para cada i = 1, . . . , n. Desde la parte a), el conjunto {v(1) , . . . v(n) } es linealmente independiente, por lo que existe un conjunto de constantes β1 , . . . [ \n con n

βi v(i) .

z= i=1

Por lo tanto, n

n

z, z

βi zt v(i) =

zt z = i=1

βi · 0 = 0, i=1

y el teorema 7.30, parte v), implica que z = 0. 17. Si A es una matriz definida positiva cuyos eigenvalores son 0 < λ1 ≤ · · · ≤ λn , entonces ||A||2 = λn y ||A−1 ||2 = K 2 (A) = λn /λ1 . Para la matriz A en el ejemplo 3, tenemos K 2 (A) =

1 , λ1

por lo que

700.031 λ5 = 12265.2, = λ1 0.0570737

Y la matriz AH tiene K 2 (AH ) =

1.88052 λ5 = = 12.0261. λ1 0.156370

Conjunto de ejercicios 8.1 1. El polinomio de mínimos cuadrados lineales es 1.70784x + 0.89968. 3. Los polinomios de mínimos cuadrados con sus errores son, respectivamente, 0.6208950 + 1.219621x, con E = 2.719 × 10−5 ; 0.5965807 + 1.253293x − 0.01085343x 2 , con E = 1.801 × 10−5 ; y 0.6290193 + 1.185010x + 0.03533252x 2 − 0.01004723x 3 , con E = 1.741 × 10−5 . 5. a. El polinomio de mínimos cuadrados lineal es 72.0845x − 194.138, con error 329. b. El polinomio de mínimos cuadrados de grado dos es 6.61821x 2 − 1.14352x + 1.23556, con error 1.44 × 10−3 . c. El polinomio de mínimos cuadrados de grado tres es −0.0136742x 3 + 6.84557x 2 − 2.37919x + 3.42904, con error 5.27 × 10−4 .

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R 70

7. 9. 11. 13.

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d. La aproximación de mínimos cuadrados de la forma beax es 24.2588e0.372382x , con error 418. e. La aproximación de mínimos cuadrados de la forma bx a es 6.23903x 2.01954 , con error 0.00703. a. k = 0.8996, E(k) = 0.295 b. k = 0.9052, E(k) = 0.128. La parte b) se ajusta mejor a los datos experimentales totales. La línea de mínimos cuadrados para el promedio de punto es 0.101 (puntuación ACT) + 0.487. El polinomio de mínimos cuadrados lineales provee y ≈ 0.17952x + 8.2084. a. ln R = ln 1.304 + 0.5756 ln W b. E = 25.25 c. ln R = ln 1.051 + 0.7006 ln W + 0.06695(ln W )2

d. E =

37 i=1

Ri − bWia ec(ln Wi )

2

2

= 20.30

Conjunto de ejercicios 8.2 1. Las aproximaciones de mínimos cuadrados lineales son: a. P1 (x) = 1.833333 + 4x b. P1 (x) = −1.600003 + 3.600003x c. P1 (x) = 1.140981 − 0.2958375x d. P1 (x) = 0.1945267 + 3.000001x e. P1 (x) = 0.6109245 + 0.09167105x f. P1 (x) = −1.861455 + 1.666667x 3. Las aproximaciones de mínimos cuadrados de grado dos son: a. P2 (x) = 2.000002 + 2.999991x + 1.000009x 2 b. P2 (x) = 0.4000163 − 2.400054x + 3.000028x 2 2 c. P2 (x) = 1.723551 − 0.9313682x + 0.1588827x d. P2 (x) = 1.167179 + 0.08204442x + 1.458979x 2 2 e. P2 (x) = 0.4880058 + 0.8291830x − 0.7375119x f. P2 (x) = −0.9089523 + 0.6275723x + 0.2597736x 2 5. a. 0.3427 × 10−9 b. 0.0457142 c. 0.000358354 d. 0.0106445 e. 0.0000134621 f. 0.0000967795 7. El proceso Gram-Schmidt produce los siguientes conjuntos de polinomios: a. φ0 (x) = 1, φ1 (x) = x − 0.5, φ2 (x) = x 2 − x + 16 , y φ3 (x) = x 3 − 1.5x 2 + 0.6x − 0.05 b. φ0 (x) = 1, φ1 (x) = x − 1, φ2 (x) = x 2 − 2x + 23 , y φ3 (x) = x 3 − 3x 2 + 12 x − 52 5 11 c. φ0 (x) = 1, φ1 (x) = x − 2, φ2 (x) = x 2 − 4x + 3 , y φ3 (x) = x 3 − 6x 2 + 11.4x − 6.8 9. Los polinomios de mínimos cuadrados de grado dos son: a. P2 (x) = 3.833333φ0 (x) + 4φ1 (x) + 0.9999998φ2 (x) b. P2 (x) = 2φ0 (x) + 3.6φ1 (x) + 3φ2 (x) + φ3 (x) c. P2 (x) = 0.5493061φ0 (x) − 0.2958369φ1 (x) + 0.1588785φ2 (x) + 0.013771507φ3 (x) d. P2 (x) = 3.194528φ0 (x) + 3φ1 (x) + 1.458960φ2 (x) + 0.4787957φ3 (x) e. P2 (x) = 0.6567600φ0 (x) + 0.09167105φ1 (x) − 0.73751218φ2 (x) − 0.18769253φ3 (x) f. P2 (x) = 1.471878φ0 (x) + 1.666667φ1 (x) + 0.2597705φ2 (x) + 0.059387393φ3 (x) 11. Los polinomios de Laguerre son L 1 (x) = x − 1, L 2 (x) = x 2 − 4x + 2 y L 3 (x) = x 3 − 9x 2 + 18x − 6. 13. Si {φ0 (x), φ1 (x), . . . , φn (x)} es un conjunto linealmente independiente de polinomios en n . Para cada i = 0, 1, . . . , n, si φi (x) = nk=0 bki x k . Sea Q(x) = nk=0 ak x k ∈ n . Queremos encontrar constantes c0 , . . . , cn tales que n

Q(x) =

ci φi (x). i=0

Esta ecuación se vuelve n

n

n

ak x k = k=0

bki x k

ci i=0

,

k=0

por lo que n

n

n

ak x k = k=0

n

ci bki k=0

xk,

i=0

n

n

k=0

i=0

ak x k =

y k=0

bki ci

Pero {1, x, . . . , x n } es linealmente independiente, por lo que, para cada k = 0, . . . , n, tenemos n

bki ci = ak , i=0

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xk.

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R 71

lo cual se expande hacia el sistema lineal 

b01 b11   .  ..  b  n1

b02 b12 .. . bn2

 b0n b1n   ..  .   bnn  

··· ··· ···

Este sistema lineal debe tener una solución única {c0 , c1 , . . . , cn }, c0 , c1 , . . . , cn , para el que   b01 · · · b0n  .. ..   . .  bn1

bnn

···

    c0 a0 c1  a1       .  =  . .  ..   ..  cn

an

de lo contrario existe un conjunto no trivial de constantes     c0 0  ..   ..  =  .  . . 0

cn

Por lo tanto, n

0x k = 0,

c0 φ0 (x) + c1 φ1 (x) + · · · + cn φn (x) = k=0

lo cual contradice la independencia lineal del conjunto {φ0 , . . . , φn }. Por lo tanto, existe un conjunto único de constantes {c0 , ,. . . , cn } para el que Q(x) = c0 φ0 (x) + c1 φ1 (x) + · · · + cn φn (x). 15. Las ecuaciones normales son n

b

b

x j+k d x =

ak a

k=0

a

x j f ] x ^d x,

para cada j = 0, 1, . . . , n.

Sea b

x j+k d x,

b jk =

para cada

j = 0, . . . , n,

y k = 0, . . . , n,

a

y sea B = (b jk ). Además, sea b

a = (a0 , . . . , an )t

y

t

b

g=

x n f (x) d x

f (x)d x, . . . , a

.

a

Entonces las ecuaciones normales producen el sistema lineal Ba = g. Para mostrar que las ecuaciones normales tienen una solución única, es suficiente demostrar que si f ≡ 0 entonces a = 0. Si f ≡ 0, entonces n

k=0

n

b

ak a

x j+k d x = 0,

para j = 0, . . . , n,

b

y

x j+k d x = 0,

a j ak

para j = 0, . . . , n,

a

k=0

Y al sumar a j obtenemos n

n

b

x j+k d x = 0.

a j ak j=0 k=0

a

Por lo tanto, b

n

n

b

a

aj x j a

j=0 k=0

2

n

a j x j ak x k d x = 0 y

d x = 0.

j=0

b

Defina P(x) = a0 + a1 x + · · · + an x n . Entonces a [P(x)]2 d x = 0 y P(x) ≡ 0. Esto implica que a0 = a1 = · · · = an = 0, para a = 0. Por lo tanto, la matriz B es no singular y las ecuaciones normales tienen una única solución.

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R 72

Respuestas a ejercicios seleccionados

Conjunto de ejercicios 8.3 1. Los polinomios interpolantes de grado dos son: a. P2 (x) = 2.377443 + 1.590534(x − 0.8660254) + 0.5320418(x − 0.8660254)x

b. P2 (x) = 0.7617600 + 0.8796047(x − 0.8660254)

c. P2 (x) = 1.052926 + 0.4154370(x − 0.8660254) − 0.1384262x(x − 0.8660254)

d. P2 (x) = 0.5625 + 0.649519(x − 0.8660254) + 0.75x(x − 0.8660254)

3. Las cotas para los errores máximos de los polinomios en el ejercicio 1 son: a. 0.1132617 b. 0.04166667 c. 0.08333333 5. Los ceros de T˜3 producen los siguientes polinomios interpolantes de grado dos.

d. 1.000000

a. P2 (x) = 0.3489153 − 0.1744576(x − 2.866025) + 0.1538462(x − 2.866025)(x − 2)

b. P2 (x) = 0.1547375 − 0.2461152(x − 1.866025) + 0.1957273(x − 1.866025)(x − 1)

c. P2 (x) = 0.6166200 − 0.2370869(x − 0.9330127) − 0.7427732(x − 0.9330127)(x − 0.5)

d. P2 (x) = 3.0177125 + 1.883800(x − 2.866025) + 0.2584625(x − 2.866025)(x − 2) 7. El polinomio cúbico

383 x 384

9. a. n = 1 : det T1 = x b. n = 2 : detT2 = det 

−

5 3 x 32

x 1

1 2x

x c. n = 3: detT3 = det 1 0

1 2x 1

aproxima a sen x con error por lo menos de 7.19 × 10−4 .

= 2x 2 − 1  0 1  = x det 2x

2x 1

1 2x

− det

1 0

1 2x

= x(4x 2 − 1) − 2x = 4x 3 − 3x

11. El cambio de variable x = cos θ produce 1 −1

T 2 (x) √n dx = 1 − x2

1 −1

[cos(n arccos x)]2 √ dx = 1 − x2

π 0

(cos(nθ))2 d x =

π . 2

13. En el texto se mostró (consulte la ecuación 8.13) que los ceros de Tn (x) se presentan en xk = cos(kπ/n) para k = 1, . . . , n − 1. Puesto que x0 = cos(0) = 1, xn = cos(π ) = −1, todos los valores del coseno se encuentran en el intervalo [−1, 1] sólo falta demostrar que los ceros son distintos. Esto sigue al hecho de que para cada k = 1, . . . , n − 1, tenemos xk en el intervalo (0, π) y en este intervalo Dx cos(x) = − sen x < 0. Por consiguiente, Tn (x) es uno a uno en (0, π ), y estos n − 1 ceros de Tn (x) son distintos.

Conjunto de ejercicios 8.4 1. Las aproximaciones de Padé de grado dos para f _ x ` = e2x son: n = 2, m = 0 : r2,0 (x) = 1 + 2x + 2x 2 n = 1, m = 1 : r1,1 (x) = (1 + x)/(1 − x) n = 0, m = 2 : r0,2 (x) = (1 − 2x + 2x 2 )−1

i

xi

f (xi )

r2,0 (xi )

r1,1 (xi )

r0,2 (xi )

1 2 3 4 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.4918 2.2255 3.3201 4.9530 7.3891

1.4800 2.1200 2.9200 3.8800 5.0000

1.5000 2.3333 4.0000 9.0000 indefinido

1.4706 1.9231 1.9231 1.4706 1.0000

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Respuestas a ejercicios seleccionados 3. r2,3 (x) = (1 + 25 x +

1 2 x )/(1 20

− 35 x +

3 2 x 20

−

1 3 x ) 60

i

xi

f (xi )

r2,3 (xi )

1 2 3 4 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.22140276 1.49182470 1.82211880 2.22554093 2.71828183

1.22140277 1.49182561 1.82213210 2.22563652 2.71875000

5. r3,3 (x) = (x −

7 3 x )/(1 60

+

1 2 x ) 20

i

xi

f (xi )

Polinomio de MacLaurin de grado 6

0 1 2 3 4 5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.00000000 0.09983342 0.19866933 0.29552021 0.38941834 0.47942554

0.00000000 0.09966675 0.19733600 0.29102025 0.37875200 0.45859375

r3,3 (xi ) 0.00000000 0.09938640 0.19709571 0.29246305 0.38483660 0.47357724

7. Las aproximaciones de Padé de grado cinco son: a. r0,5 (x) = (1 + x + 12 x 2 + 61 x 3 + c. r3,2 (x) = (1 − 35 x +

3 2 x 20

−

1 4 x 24

1 3 x )/(1 60

+ +

1 x 5 )−1 120 2 1 2 x + 20 x ) 5

b. r1,4 (x) = (1 − 51 x)/(1 + 45 x +

d. r4,1 (x) = (1 − 54 x +

3 2 x 10

−

3 2 1 3 1 x + 15 x + 120 x 4) 10 1 3 1 x + 120 x 4 )/(1 + 51 x) 15

i

xi

f (xi )

r0,5 (xi )

r1,4 (xi )

r2,3 (xi )

r4,1 (xi )

1 2 3 4 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.81873075 0.67032005 0.54881164 0.44932896 0.36787944

0.81873081 0.67032276 0.54883296 0.44941181 0.36809816

0.81873074 0.67031942 0.54880635 0.44930678 0.36781609

0.81873075 0.67031963 0.54880763 0.44930966 0.36781609

0.81873077 0.67032099 0.54882143 0.44937931 0.36805556

9. r T2,0 (x) = (1.266066T0 (x) − 1.130318T1 (x) + 0.2714953T2 (x))/T0 (x) r T1,1 (x) = (0.9945705T0 (x) − 0.4569046T1 (x))/(T0 (x) + 0.48038745T1 (x)) r T0,2 (x) = 0.7940220T0 (x)/(T0 (x) + 0.8778575T1 (x) + 0.1774266T2 (x)) i

xi

f (xi )

r T2,0 (xi )

r T1,1 (xi )

r T0,2 (xi )

1 2 3

0.25 0.50 1.00

0.77880078 0.60653066 0.36787944

0.74592811 0.56515935 0.40724330

0.78595377 0.61774075 0.36319269

0.74610974 0.58807059 0.38633199

11. r T2,2 (x) =

0.91747T1 (x) T0 (x) + 0.088914T2 (x)

i

xi

f (xi )

r T2,2 (xi )

0 1 2 3 4

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40

0.00000000 0.09983342 0.19866933 0.29552021 0.38941834

0.00000000 0.09093843 0.18028797 0.26808992 0.35438412

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R 73

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R 74

Respuestas a ejercicios seleccionados

13. a. e x = e M ln

√ 10+s

= e M ln

b. es ≈ 1 + 21 s +

1 2 s 10

√ 10 s

+

M

M

e = eln 10 2 es = 10 2 es

1 3 s 120

/ 1 − 12 s +

1 2 s 10

−

1 3 s 120

, con |error| ≤ 3.75 × 10−7 .

c. Set M = redondeo (0.8685889638x), s = x − M/(0.8685889638), y ˆf = 1 + 1 s + 1 s 2 + 1 s 3 / 1 − 1 s + 1 s 2 − 1 s 3 . Entonces f = (3.16227766) M ˆf . 2 10 120 2 10 120

Conjunto de ejercicios 8.5 1. S2 (x) =

π2 3

− 4 cos x + cos 2x

3. S3 (x) = 3.676078 − 3.676078 cos x + 1.470431 cos 2x − 0.7352156 cos 3x + 3.676078 sen x − 2.940862 sen 2x 5. Sn (x) =

1 2

+

1 π

n−1 1−(−1)k k=1 k

sen kx

7. Los polinomios de mínimos cuadrados trigonométricos son: a. S2 (x) = cos 2x b. S2 (x) = 0 c. S3 (x) = 1.566453 + 0.5886815 cos x − 0.2700642 cos 2x + 0.2175679 cos 3x + 0.8341640 sen x − 0.3097866 sen 2x d. S3 (x) = −2.046326 + 3.883872 cos x − 2.320482 cos 2x + 0.7310818 cos 3x 9. El polinomio de mínimos cuadrados trigonométricos es S3 (x) = −0.4968929 + 0.2391965 cos x + 1.515393 cos 2x + 0.2391965 cos 3x − 1.150649 sen x, con error E(S3 ) = 7.271197. 11. Los polinomios de mínimos cuadrados trigonométricos y sus errores son a. S3 (x) = −0.08676065 − 1.446416 cos π(x − 3) − 1.617554 cos 2π(x − 3) + 3.980729 cos 3π(x − 3) − 2.154320 sen π(x − 3) + 3.907451 sen 2π(x − 3) con E(S3 ) = 210.90453 b. S3 (x) = −0.0867607 − 1.446416 cos π(x − 3) − 1.617554 cos 2π(x − 3) + 3.980729 cos 3π(x − 3) − 2.354088 cos 4π(x − 3) − 2.154320 sen π(x − 3) + 3.907451 sen 2π(x − 3) − 1.166181 sen 3π(x − 3) con E(S4 ) = 169.4943 4 8 π t − 4π) + 274.6943 cos( 25 π t − 6π) − 210.75 cos( 15 πt − 13. a. T4 (x) = 15543.19 + 141.1964 cos( 152 π t − π) − 203.4015 cos( 15 2 4 4π) + 716.5316 sen( 15 πt − π) − 286.7289 sen( 15 π t − 2π) + 453.1107 sen( 52 π t − 3π)

b. El 8 de abril de 2013 corresponde a t = 1.27 con P4 (1.27) = 14374, y el 8 de abril de 2014 corresponde a t = 13.27 con P4 (13.27) = 16906 c. |14374 − 14613| = 239 y |16906 − 16256| = 650. Al parecer, no aproxima correctamente un error relativo de aproximadamente 3 por ciento. d. El 17 de junio de 2014 corresponde a t = 15.57 con P4 (15.57) = 14298. Puesto que el cierre real era 16 808, la aproximación estaba muy lejos. 15. Si f (−x) = − f (x). La integral

0 −a

f (x) d x bajo el cambio de variable t = −x se transforma a

0

a

f (−t) dt =

−

a

f (−t) dt = − 0

a

a

f (t) dt = − 0

f (x) d x. 0

Por lo tanto,

0

a

f (x) d x = −a

a

−a

a

f (x) d x = −

f (x) d x + 0

a

f (x) d x = 0.

f (x) d x + 0

0

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Respuestas a ejercicios seleccionados

R 75

17. Las siguientes integraciones establecen la ortogonalidad. π −π π −π π −π

[φ0 (x)]2 d x =

π

[φn+k (x)]2 d x =

−π

1 2

φn+k (x)φ0 (x) d x =

1 2

π

π −π

−π

−π

φk (x)φ0 (x) d x =

−π

π

π

[φk (x)]2 d x =

π

−π

1 2

d x = π,

(cos kx)2 d x =

−π

−π

1 sen kx 2k

sen kx d x =

−1 cos kx 2k

π

π

φk (x)φ j (x) d x =

π

−π

cos kx cos j xd x =

1 2

sen kx sen j x d x =

1 2

cos kx sen j x d x =

1 2

π

−π

φn+k (x)φn+ j (x) d x =

−π

dx = π −

π −π

1 sen 2kx 4k

= π,

π −π

= π,

π

cos kx d x =

π

−π

1 1 − cos 2kx 2 2

π

(sen kx)2 d x =

−π

1 1 1 + cos 2kx d x = π + sen 2kx 2 2 4k

π

−π

= 0,

π −π

=

−1 [cos kπ − cos(−kπ)] = 0, 2k

π −π

[cos(k + j)x + cos(k − j)x] d x = 0,

π −π

[cos(k − j)x − cos(k + j)x] d x = 0,

y π −π

π

φk (x)φn+ j (x) d x =

−π

π −π

[sen(k + j)x − sen(k − j)x] d x = 0.

19. Los pasos son casi idénticos a aquellos para determinar las constantes bk excepto por el término constante adicional a0 en la serie de coseno. En este caso, 0=

∂E =2 ∂a0

2m−1

2m−1

j=0

[y j − Sn (x j )](−1/2) =

j=0

2m−1

yj −

j=0

a0 + an cos nx j + 2

n−1

k=1

(ak cos kx j + bk sen kx j ) ,

La ortogonalidad implica que sólo el término constante permanece en la segunda suma y tenemos 2m−1

0=

j=0

yj −

a0 (2m), 2

lo cual implica que

a0 =

1 m

2m−1

yj. j=0

Conjunto de ejercicios 8.6 1. Los polinomios interpolantes trigonométricos son: a. S2 (x) = −12.33701 + 4.934802 cos x − 2.467401 cos 2x + 4.934802 sen x b. S2 (x) = −6.168503 + 9.869604 cos x − 3.701102 cos 2x + 4.934802 sen x c. S2 (x) = 1.570796 − 1.570796 cos x d. S2 (x) = −0.5 − 0.5 cos 2x + sen x 3. El algoritmo de la transformada rápida de Fourier provee los siguientes polinomios trigonométricos. a. S4 (x) = −11.10331 + 2.467401 cos x − 2.467401 cos 2x + 2.467401 cos 3x − 1.233701 cos 4x + 5.956833 sen x − 2.467401 sen 2x + 1.022030 sen 3x b. S4 (x) = 1.570796 − 1.340759 cos x − 0.2300378 cos 3x c. S4 (x) = −0.1264264 + 0.2602724 cos x − 0.3011140 cos 2x + 1.121372 cos 3x + 0.04589648 cos 4x − 0.1022190 sen x + 0.2754062 sen 2x − 2.052955 sen 3x d. S4 (x) = −0.1526819 + 0.04754278 cos x + 0.6862114 cos 2x − 1.216913 cos 3x + 1.176143 cos 4x − 0.8179387 sen x + 0.1802450 sen 2x + 0.2753402 sen 3x

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R 76

Respuestas a ejercicios seleccionados

5. a. b. c. d.

Aproximación

Real

−69.76415 9.869602 −0.7943605 −0.9593287

−62.01255 9.869604 −0.2739383 −0.9557781

7. Los términos b j son todos cero. Los términos a j son los siguientes: a0 a4 a8 a12 a16 a20 a24 a28 a32 a36 a40 a44 a48 a52 a56 a60

= −4.0008033 = −0.3030271 = −0.0663172 = −0.0291807 = −0.0166380 = −0.0109189 = −0.0078430 = −0.0060069 = −0.0048308 = −0.0040398 = −0.0034903 = −0.0031015 = −0.0028256 = −0.0026333 = −0.0025066 = −0.0024345

a1 a5 a9 a13 a17 a21 a25 a29 a33 a37 a41 a45 a49 a53 a57 a61

= 3.7906715 = 0.1813613 = 0.0520612 = 0.0249129 = 0.0148174 = 0.0099801 = 0.0072984 = 0.0056650 = 0.0046040 = 0.0038837 = 0.0033803 = 0.0030233 = 0.0027705 = 0.0025960 = 0.0024837 = 0.0024242

a2 a6 a10 a14 a18 a22 a26 a30 a34 a38 a42 a46 a50 a54 a58 a62

= −2.2230259 = −0.1216231 = −0.0420333 = −0.0215458 = −0.0132962 = −0.0091683 = −0.0068167 = −0.0053578 = −0.0043981 = −0.0037409 = −0.0032793 = −0.0029516 = −0.0027203 = −0.0025626 = −0.0024642 = −0.0024169

a3 a7 a11 a15 a19 a23 a27 a31 a35 a39 a43 a47 a51 a55 a59 a63

= 0.6258042 = 0.0876136 = 0.0347040 = 0.0188421 = 0.0120123 = 0.0084617 = 0.0063887 = 0.0050810 = 0.0042107 = 0.0036102 = 0.0031866 = 0.0028858 = 0.0026747 = 0.0025328 = 0.0024478 = 0.0024125

9. a. El polinomio interpolante trigonométrico es S(x) = 31086.25 − 240.25 cos(π x − 8π) + 141.0809 cos( π8 x − π) − 203.4989 cos( π4 x − 2π) + 274.6464 cos( 3π x − 3π) − 2 2 8 π 7π 210.75 cos( 2 x − 4π) + 104.2019 cos( 5π8 x − 5π) − 155.7601 cos( 3π x − 6π) + 243.0707 cos( x − 7π) + 4 8 716.5795 sen( π8 x − π) − 286.6405 sen( π4 x − 2π) + 453.2262 sen( 3π x − 3π) + 22.5 sen( π2 x − 4π) + 138.9449 sen( 5π x− 8 8 5π) − 223.8905 sen( 3π x − 6π) − 194.2018 sen( 7π x − 7π) 4 8 b. El 8 de abril de 2013 corresponde a x = 1.27 con S(1.27) = 14721, y el 8 de abril de 2014 corresponde a x = 13.27 con S(13.27) = 16323 c. |14613 − 14721| = 108 con error relativo 0.00734 y |16256 − 16323| = 67 con error relativo 0.00412. Las aproximaciones no son tan malas. d. El 17 de junio de 2014 corresponde a x = 15.57 con S(15.57) = 15073. El cierre real era 16808 por lo que la aproximación no era tan buena. 11. A partir de la ecuación (8.28), 2m−1

yje

ck = j=0

πi jk m

2m−1

2m−1

yj ζk

y j (ζ ) jk =

= j=0

j

.

j=0

Por lo tanto,  ck = 1, ζ k , ζ 2k , . . . , ζ (2m−1)k

t

   

y0 y1 .. . y2m−1



  , 

y el resultado sigue.

Conjunto de ejercicios 9.1 t (2) t 1. a. Los eigenvalores y los eigenvectores son λ = 2, v(1) 1 = (1, 0, 0) ; λ = 1, v2 = (0, 2, 1) ; y (3) t λ3 = −1, v = (−1, 1, 1) . El conjunto es linealmente independiente.

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R 77

b. Los eigenvalores y los eigenvectores son λ1 = 2, v(1) = (0, 1, 0)t ; λ2 = 3, v(2) = (1, 0, 1)t ; y λ3 = 1, v(3) = (1, 0, −1)t . El conjunto es linealmente independiente. √ √ c. Los eigenvalores asociados son λ1 = 1, v(1) = (0, −1, 1)t ; λ2 = 1 + 2, v(2) = ( 2, 1, 1)t ; y √ (3)y los eigenvectores √ λ3 = 1 − 2, v = (− 2, 1, 1)t ; el conjunto es linealmente independiente. d. Los eigenvalores y los eigenvectores asociados son λ1 = λ2 = 2, v(1) = v(2) = (1, 0, 0)t ; λ3 = 3 con v(3) = (0, 1, 1)t . Sólo existen 2 eigenvectores linealmente independientes. 3. a. Los tres eigenvalores están dentro de {λ| |λ| ≤ 2} ∪ {λ| |λ − 2| ≤ 2} por lo que ρ(A) ≤ 4. b. Los tres eigenvalores están dentro de {λ| |λ − 4| ≤ 2} por lo que ρ(A) ≤ 6. c. Los tres eigenvalores reales satisfacen 0 ≤ λ ≤ 6 por lo que ρ(A) ≤ 6. d. Los tres eigenvalores reales satisfacen 1.25 ≤ λ ≤ 8.25 por lo que 1.25 ≤ ρ(A) ≤ 8.25. 5. Los vectores son linealmente dependientes ya que −2v1 + 7v2 − 3v3 = 0. 1 −2 c1 0 1 −2 7. a. i) 0 = c1 (1, 1)t + c2 (−2, 1)t implica que = . Pero det = 3 = 0, de modo que por el 1 1 0 1 1 c2 teorema 6.7, tenemos c1 = c2 = 0. t ii) {(1, 3/2)t√ }. √1) , (−3/2, √ √ t iii) {( 2/2, 2/2) , (− 2/2, 2/2)t }. b. i) El determinante de esta matriz es −2 = 0, por lo que {(1, 1, 0)t , (1, 0, 1)t , (0, 1, 1)t } que es un conjunto linealmente independiente. t t t , (1/2, −1/2, ii) {(1, √1, 0) √ √1) , (−2/3, √ 2/3, √ 2/3) } √ √ √ iii) {( 2/2, 2/2, 0)t , ( 6/6, − 6/6, 6/3)t , (− 3/3, 3/3, 3/3)t } c. i) Si 0 = c1 (1, 1, 1, 1)t + c2 (0, 2, 2, 2)t + c3 (1, 0, 0, 1)t , entonces tenemos (E 1 ) : c1 + c3 = 0,

(E 2 ) : c1 + 2c2 = 0,

(E 3 ) : c1 + 2c2 = 0,

(E 4 ) : c1 + 2c2 + c3 = 0.

Restar (E 3 ) de (E 4 ) implica que c3 = 0. Por lo tanto, a partir de (E 1 ), tenemos c1 = 0, y a partir de (E 2 ), tenemos c2 = 0. Los vectores son linealmente independientes. t ii) {(1, 1, 1, 1)t , (−3/2, 1/2, 1/2, −1/3, √ −1/3, 2/3)t } √ √ 1/2) √ , (0, √ √ √ iii) {(1/2, 1/2, 1/2, 1/2)t , (− 3/2, 3/6, 3/6, 3/6)t , (0, − 6/6, − 6/6, 6/3)t } d. i) Si A es la matriz cuyas columnas son los vectores v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , entonces det A = 60 = 0, por lo que los vectores son linealmente independientes. t t t ii) {(2, 1, 0, −1)t , (1, 0, −1)t , (−2/7, √2, 3, 2, 3) √ , (2, −1, √ 0, −1, 0) √ , (0, 0, √ √ 2, −1,√ √ 3/7,t 2/7, −1, 2/7) } t iii) {(√ 30/15, √ 30/15, √ 30/10, √30/15, √ 30/10) , (√ 6/3, − √ 6/6, 0, − √6/6, 0) ,√ √ √ (0, 0, 2/2, 0, − 2/2)t , ( 7/7, 2 7/7, − 7/7, 0, − 7/7)t , (− 70/35, 3 70/70, 70/35, − 70/10, 70/35)t } 9. a. Sea µ un eigenvalor de A. Puesto que A es simétrica, µ es real y el teorema 9.13 0 ≤ µ ≤ 4. Los eigenvalores de A − 4I son de la forma µ − 4. Por tanto, ρ( A − 4I ) = máx|µ − 4| = máx(4 − µ) = 4 − mínµ = 4 − λ = |λ − 4|. b. Los eigenvalores de A − 4I son −3.618034, −2.618034, −1.381966, y −0.381966, por lo que ρ(A − 4I ) = 3.618034 y λ = 0.381966. Un eigenvalor es (0.618034, 1, 1, 0.618034)t . c. Como en la parte a), 0 ≤ µ ≤ 6, por lo que |λ − 6| = ρ(B − 6I ). d. Los eigenvalores de B − 6I son −5.2360673, −4, −2, y −0.76393202, por lo que ρ(B − 6I ) = 5.2360673 y λ = 0.7639327. Un eigenvector es (0.61803395, 1, 1, 0.6180395)t . 11. Si c1 v1 + · · · + ck vk = 0, entonces para cualquier j, con 1 ≤ j ≤ k, tenemos c1 vtj v1 + · · · + ck vtj vk = 0 . Pero la ortogonalidad da ci vtj vi = 0, para i = j, por lo que c j vtj v j = 0, y puesto que vtj v j = 0, tenemos c j = 0. n 13. Puesto que {vi }i=1 es linealmente independiente en Rn , existen números c1 , . . . , cn con x = c1 v1 + · · · + cn vn . Por lo tanto, para cualquier k, con 1 ≤ k ≤ n, vtk x = c1 vtk v1 + · · · + cn vtk vn = ck vtk vk = ck . 15. Una matriz estricta y diagonalmente dominante tiene todos sus elementos diagonales más grandes que la suma de las magnitudes de todos los otros elementos y sus filas. Por consiguiente, la magnitud del centro de cada círculo de Geršgorin excede la magnitud del radio del círculo. Por lo tanto, ningún círculo incluye el origen. Así, 0 no puede ser el eigenvalor de la matriz y la matriz no singular.

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R 78

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Conjunto de ejercicios 9.2 1. En cada instancia, compararemos el polinomio característico de A, denotado p(A) con el de B, denotado p(B). Estos deben concordar si las matrices son similares. b. p(A) = x 2 − 5x + 6 = x 2 − 6x + 6 = p(B). a. p(A) = x 2 − 4x + 3 = x 2 − 2x − 3 = p(B). 3 2 3 2 c. p(A) = x − 4x + 5x − 2 = x − 4x + 5x − 6 = p(B). d. p(A) = x 3 − 5x 2 + 12x − 11 = x 3 − 4x 2 + 4x + 11 = p(B). 3. En cada caso, tenemos A3 = (P D P (−1) )(P D P (−1) )(P D P (−1) ) = P D 3 P (−1) .  9    7 − 85 8 0 0 5 5 26 14 − 1 9  5 5 2  a. b. c.  54 − 35 d.  0 8 0  5  19 0 −8 − 21 5 5 6 2 4 0 0 8 − − 5

5

5

5. Todas son diagonalizables con P y D, de acuerdo con lo siguiente. −1 14 5 0 1 −1 1 0 y D= b. P = yD= a. P = 0 0 1 1 0 3 1 1     1 −1 0 3 0 0 0 1 y D= 0 1 0  c. P =  0 1 1 0 0 0 1 √ √  √    1+ 2 0√ 0 2 − 2 0 d. P =  1 1 −1  y D =  0 1− 2 0  1 1 1 0 0 1 7. Todas las matrices, excepto d), tienen 3 eigenvectores linealmente independientes. La matriz en la parte d) sólo tiene 2 eigenvectores linealmente independientes. Una selección para P en cada caso es √ √       −1 0 1 0 −1 1 0 2 − 2 0 0  b.  1 c.  −1 a.  1 2 0  1 1  1 1 0 0 1 1 1 1 1 9. Sólo las matrices en las partes a) y c) son definidas positivas.   √ √ √ √   2 2 − 22 3 0 0 0 − 22 1 0 2 √ √  2  a. Q = y D= 0 y D= 0 2 0  c. Q =  √0 1 2 2 0 3 √ 2 2 2 2 0 0 1 0 2 2

11. En cada caso, la matriz falla en tener 3 eigenvectores linealmente independientes. a. det(A) = 12, por lo que A es no singular b. det(A) = −1, por lo que A es no singular c. det(A) = 12, por lo que A es no singular d. det(A) = 1, por lo que A es no singular 13. La matriz A tiene un eigenvalor de multiplicidad 1 en λ1 = 3 con eigenvector s1 = (0, 1, 1)t , y un eigenvalor de multiplicidad 2 en λ2 = 2 con eigenvectores linealmente independientes s2 = (1, 1, 0)t y s3 = (−2, 0, 1)t . Sea S1 = {s1 , s2 , s3 }, S2 = {s2 , s1 , s3 }, y S3 = {s2 , s3 , s1 }. Entonces A = S1−1 D1 S1 = S2−1 D2 S2 = S3−1 D3 S3 , por lo que A es similar a D1 , D2 y D3 . 15. a. Los eigenvalores y eigenvectores asociados son λ1 = 5.307857563, (0.59020967, 0.51643129, 0.62044441)t ; λ2 = −0.4213112993, (0.77264234, −0.13876278, −0.61949069)t ; λ3 = −0.1365462647, (0.23382978, −0.84501102, 0.48091581)t . b. A es definida no positiva porque λ2 < 0 y λ3 < 0. 17. Puesto que A es similar a B y B es similar a C, existen matrices invertibles S y T con A = S −1 B S y B = T −1 C T . Por lo tanto, A es similar a C porque A = S −1 B S = S −1 (T −1 C T )S = (S −1 T −1 )C(T S) = (T S)−1 C(T S). 19. a. Sean las columnas de Q denotadas por los vectores q1 , q2 , . . . , qn , los cuales también son las filas de Q t . Puesto que Q es ortogonal, (qi )t · q j es cero cuando i = j y 1 cuando i = j. Pero la entrada i j de Q t Q is (qi )t · q j para cada i y j, por lo que Q t Q = I . Por lo tanto, Q t = Q −1 . b. Después de la parte i), tenemos Q t Q = I , por lo que (Qx)t (Qy) = (xt Q t )(Qy) = xt (Q t Q)y = xt (I )y = xt y. c. Esto se sigue de la parte ii) con x reemplazando a y ya que entonces ||Qx||22 = (Qx)t (Qx) = xt x = ||x||22 .

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Conjunto de ejercicios 9.3 1. Los eigenvalores aproximados y los eigenvectores aproximados son: a. µ(3) = 3.666667, x(3) = (0.9772727, 0.9318182, 1)t b. µ(3) = 2.000000, x(3) = (1, 1, 0.5)t c. µ(3) = 5.000000, x(3) = (−0.2578947, 1, −0.2842105)t d. µ(3) = 5.038462, x(3) = (1, 0.2213741, 0.3893130, 0.4045802)t 3. Los eigenvalores aproximados y los eigenvectores aproximados son: a. µ(3) = 1.027730, x(3) = (−0.1889082, 1, −0.7833622)t b. µ(3) = −0.4166667, x(3) = (1, −0.75, −0.6666667)t c. µ(3) = 17.64493, x(3) = (−0.3805794, −0.09079132, 1)t d. µ(3) = 1.378684, x(3) = (−0.3690277, −0.2522880, 0.2077438, 1)t 5. Los eigenvalores aproximados y los eigenvectores aproximados son: a. µ(3) = 3.959538, x(3) = (0.5816124, 0.5545606, 0.5951383)t b. µ(3) = 2.0000000, x(3) = (−0.6666667, −0.6666667, −0.3333333)t c. µ(3) = 7.189567, x(3) = (0.5995308, 0.7367472, 0.3126762)t d. µ(3) = 6.037037, x(3) = (0.5073714, 0.4878571, −0.6634857, −0.2536857)t 7. Los eigenvalores aproximados y los eigenvectores aproximados son: a. λ1 ≈µ(9) = 3.999908, x(9) = (0.9999943, 0.9999828, 1)t b. λ1 ≈µ(13) = 2.414214, x(13) = (1, 0.7071429, 0.7070707)t c. λ1 ≈µ(9) = 5.124749, x(9) = (−0.2424476, 1, −0.3199733)t d. λ1 ≈µ(24) = 5.235861, x(24) = (1, 0.6178361, 0.1181667, 0.4999220)t 9. a. µ(9) = 1.00001523 con x(9) = (−0.19999391, 1, −0.79999087)t b. µ(12) = −0.41421356 con x(12) = (1, −0.70709184, −0.707121720)t c. El método no converge en 25 iteraciones. Sin embargo, la convergencia se presenta con µ(42) = 1.63663642 con x(42) = (−0.57068151, 0.3633658, 1)t d. µ(9) = 1.38195929 con x(9) = (−0.38194003, −0.23610068, 0.23601909, 1)t 11. Los eigenvalores aproximados y los eigenvectores aproximados son: a. µ(8) = 4.0000000, x(8) = (0.5773547, 0.5773282, 0.5773679)t b. µ(13) = 2.414214, x(13) = (−0.7071068, −0.5000255, −0.4999745)t c. µ(16) = 7.223663, x(16) = (0.6247845, 0.7204271, 0.3010466)t d. µ(20) = 7.086130, x(20) = (0.3325999, 0.2671862, −0.7590108, −0.4918246)t 13. Los eigenvalores aproximados y los eigenvectores aproximados son:: a. λ2 ≈µ(1) = 1.000000, x(1) = (−2.999908, 2.999908, 0)t b. λ2 ≈µ(1) = 1.000000, x(1) = (0, −1.414214, 1.414214)t c. λ2 ≈µ(6) = 1.636734, x(6) = (1.783218, −1.135350, −3.124733)t d. λ2 ≈µ(10) = 3.618177, x(10) = (0.7236390, −1.170573, 1.170675, −0.2763374)t 15. Los eigenvalores aproximados y los eigenvectores aproximados son: a. µ(8) = 4.000001, x(8) = (0.9999773, 0.99993134, 1)t b. El método falla debido a la división por cero. c. µ(7) = 5.124890, x(7) = (−0.2425938, 1, −0.3196351)t d. µ(15) = 5.236112, x(15) = (1, 0.6125369, 0.1217216, 0.4978318)t 17. a. Tenemos |λ| ≤ 6 para todos los eigenvalores λ. b. El eigenvalor y el eigenvector aproximados son µ(133) = 0.69766854, x(133) = (1, 0.7166727, 0.2568099, 0.04601217)t . c. El polinomio característico es P(λ) = λ4 − 14 λ − 161 , y los eigenvalores son λ1 = 0.6976684972, λ2 = −0.2301775942 + 0.56965884i, λ3 = −0.2301775942 − 0.56965884i, y λ4 = −0.237313308. d. La población de escarabajos se debería aproximar a cero ya que A es convergente.

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R 79

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R 80

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19. El uso del método de potencia inversa con x(0) = (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1)t y q = 0 da los siguientes resultados: a. µ(49) = 1.0201926, por lo que ρ(A−1 ) ≈ 1/µ(49) = 0.9802071; b. µ(30) = 1.0404568, por lo que ρ(A−1 ) ≈ 1/µ(30) = 0.9611163; c. µ(22) = 1.0606974, por lo que ρ(A−1 ) ≈ 1/µ(22) = 0.9427760. El método parece estable para todas α en [14 , 43 ]. 21. La formación de A−1 B y el uso del método de potencia con x(0) = (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1)t proveen los siguientes resultados: a. El radio espectral es aproximadamente µ(46) = 0.9800021. b. El radio espectral es aproximadamente µ(25) = 0.9603543. c. El radio espectral es aproximadamente µ(18) = 0.9410754. 23. Los eigenvalores aproximados y los eigenvectores aproximados son: a. µ(2) = 1.000000, x(2) = (0.1542373, −0.7715828, 0.6171474)t b. µ(13) = 1.000000, x(13) = (0.00007432, −0.7070723, 0.7071413)t c. µ(14) = 4.961699, x(14) = (−0.4814472, 0.05180473, 0.8749428)t d. µ(17) = 4.428007, x(17) = (0.7194230, 0.4231908, 0.1153589, 0.5385466)t 25. Puesto que xt =

1 λ1 vi(1)

(ai1 , ai2 , . . . , ain ),

la i-ésima fila de B es (ai1 , ai2 , . . . , ain ) −

λ1 λ1 vi(1)

vi(1) ai1 , vi(1) ai2 , . . . , vi(1) ain = 0.

Conjunto de ejercicios 9.4 1. El método de Householder produce las siguientes matrices tridiagonales.     12.00000 −10.77033 0.0 2.0000000 1.414214 0.0 3.862069 5.344828 1.000000 0.0 a. −10.77033 b. 1.414214 0.0 5.344828 7.137931 0.0 0.0 3.0     1.0000000 −1.414214 0.0 4.750000 −2.263846 0.0 1.000000 0.0  4.475610 −1.219512 c. −1.414214 d. −2.263846 0.0 0.0 1.000000 0.0 −1.219512 5.024390 3. El método de Householder produce las siguientes matrices superiores de Hessenberg.     2.0000000 2.8284271 1.4142136 −1.0000000 −3.0655513 0.0000000 a. −2.8284271 1.0000000 2.0000000 b. −3.6055513 −0.23076923 3.1538462 0.0000000 2.0000000 3.0000000 0.0000000 0.15384615 2.2307692   5.0000000 4.9497475 −1.4320780 −1.5649769 −1.4142136 −2.0000000 −2.4855515 1.8226448   c.  0.0000000 −5.4313902 −1.4237288 −2.6486542 0.0000000 0.0000000 1.5939865 5.4237288   4.0000000 1.7320508 0.0000000 0.0000000 1.7320508 2.3333333 0.23570226 0.40824829  d.  0.0000000 −0.47140452 4.6666667 −0.57735027 0.0000000 0.0000000 0.0000000 5.0000000

Conjunto de ejercicios 9.5 1. Dos iteraciones del método QR sin procedimiento de cambio producen las siguientes matrices.    3.142857 −0.559397 0.0 4.549020 1.206958 3b 3 a a b −0.187848 a. A = −0.559397 2.248447 b. A = 1.206958 3.519688 0.0 −0.187848 0.608696 0.0 0.000725

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 0.0 0.000725  −0.068708

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c. A

(3)

d. A(3)

e. A(3)

f. A(3)

R 81

 4.592920 −0.472934 0.0 3.108760 −0.232083 = −0.472934 0.0 −0.232083 1.298319   3.071429 0.855352 0.0 0.0 0.855352 3.314192 −1.161046 0.0   =  0.0 −1.161046 3.331770 0.268898 0.0 0.0 0.268898 0.282609   −3.607843 0.612882 0.0 0.0  0.612882. −1.395227 −1.111027 0.0   =  0 −1.111027 3.133919 0.346353 0.0 0.0 0.346353 0.869151   1.013260 0.279065 0.0 0.0 0.279065 0.696255 0.107448 0.0   =  0.0 0.107448 0.843061 0.310832 0.0 0.0 0.310832 0.317424 

3. Las matrices en el ejercicio 1 tienen los siguientes eigenvalores, exactos dentro de 10 −5 . a. 3.414214, 2.000000, 0.58578644

b. −0.06870782, 5.346462, 2.722246

c. 1.267949, 4.732051, 3.000000

d. 4.745281, 3.177283, 1.822717, 0.2547188

e. 3.438803, 0.8275517, −1.488068, −3.778287

f. 0.9948440, 1.189091, 0.5238224, 0.1922421

5. Las matrices en el ejercicio 1 tienen los siguientes eigenvalores, exactos dentro de 10 −5 . a. (−0.7071067, 1, −0.7071067)t , (1, 0, −1)t , (0.7071068, 1, 0.7071068)t b. (0.1741299, −0.5343539, 1)t , (0.4261735, 1, 0.4601443)t , (1, −0.2777544, −0.3225491)t c. (0.2679492, 0.7320508, 1)t , (1, −0.7320508, 0.2679492)t , (1, 1, −1)t d. (−0.08029447, −0.3007254, 0.7452812, 1)t , (0.4592880, 1, −0.7179949, 0.8727118)t , (0.8727118, 0.7179949, 1, −0.4592880)t (1, −0.7452812, −0.3007254, 0.08029447)t e. (−0.01289861, −0.07015299, 0.4388026, 1)t , (−0.1018060, −0.2878618, 1, −0.4603102)t , (1, 0.5119322, 0.2259932, −0.05035423)t (−0.5623391, 1, 0.2159474, −0.03185871)t f. (−0.1520150, −0.3008950, −0.05155956, 1)t , (0.3627966, 1, 0.7459807, 0.3945081)t , (1, 0.09528962, −0.6907921, 0.1450703)t , (0.8029403, −0.9884448, 1, −0.1237995)t 7. a. Dentro de 10 −5 , los eigenvalores son 2.618034, 3.618034, 1.381966, y 0.3819660. b. En términos de p y ρ los eigenvalores son −65.45085 p/ρ, −90.45085 p/ρ, −34.54915 p/ρ, y −9.549150 p/ρ. 9. Los eigenvalores reales son los siguientes: a. Cuando α = 1/4, tenemos 0 .97974649, 0.92062677, 0.82743037, 0.70770751, 0.57115742, 0.42884258, 0.29229249, 0.17256963, 0.07937323, y 0 .02025351. b. Cuando α = 1/2, tenemos 0 .95949297, 0.84125353, 0.65486073, 0.41541501, 0.14231484, −0.14231484, −0.41541501, −0.65486073, −0.84125353, y −0.95949297. c. Cuando α = 3/4, tenemos 0 .93923946, 0.76188030, 0.48229110, 0.12312252, −0.28652774, −0.71347226, −1.12312252, −1.48229110, −1.76188030, y −1.93923946. El método parece ser estable para α ≤ 21 .

11. a. Sea

P= y y = Px. Muestre que x y1 + i y2 = r ei(α+θ) .

2

cos θ − sen θ sen θ cos θ

y 2 . Use la relación x1 + i x2 = r eiα , donde r

x

2

y α = tan−1 (x2 /x1 ) y

b. Sea x = (1, 0)t y θ = π/4. 13. Sea C = R Q, donde R es triangular superior y Q es Hessenberg superior. Entonces ci j = nk=1 rik qk j . Puesto que R es una matriz triangular superior, rik = 0 si k < i. Puesto que, c i j = nk=i rik qk j . Puesto que Q es una matriz Hessenberg superior qk j = 0 si j+1 k > j + 1. Por lo tanto, ci j = k=i rik qk j . La suma es cero si i > j + 1. Por lo tanto, ci j = 0 si i ≥ j + 2. Esto significa que C es una matriz Hessenberg superior.

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R 82

Respuestas a ejercicios seleccionados

15.

ENTRADA: dimensión n, matriz A = (ai j ), tolerancia TOL, número máximo de iteraciones N . SALIDA:

eigenvalores λ1 , . . . , λn de A o un mensaje que indica que se superó el número de iteraciones. Determine FLAG = 1; k1 = 1. Mientras (FLAG = 1) haga los pasos 3–10 Paso 3 Para i = 2, . . . , n haga los pasos 4–8. Paso 4 Para j = 1, . . . , i − 1 haga los pasos 5–8. Paso 5 Si aii = a j j entonces determine√ CO = 0.5 2; SI = CO si no determine b = |aii − a j j |; c = 2ai j sign(aii − a j j );

Paso 1 Paso 2

2

SI = 0.5c/ C O c + b

Paso 7

Paso 8 Determine

s=

Paso 10

Paso 11

1

2 2

n i=1

n j=1 j =i

|ai j |.

Si s < TOL

entonces para i = 1, . . . , n determine λi = aii ; SALIDA (λ1 , . . . , λn ); determine FLAG = 0. si no determine k1 = k1 + 1; si k1 > N entonces determine FLAG = 0.

Si k1 > N entonces SALIDA (‘Se excedió el número máximo de iteraciones’); PARE.

Conjunto de ejercicios 9.6 1. a. s1 = 1 +

√

2, s2 = −1 +

√

2

b. s1 = 2.676243, s2 = 0.9152717

c. s1 = 3.162278, s2 = 2 3. a.

.

Para k = 1, . . . , n si (k = i) y (k = j) entonces determine x = ak, j ; y = ak,i ; ak, j = CO ·x+ SI ·y; ak,i = CO ·y+ SI ·x; x = a j,k ; y = ai,k ; a j,k = CO ·x+ SI ·y; ai,k = CO ·y− SI ·x. determine x = a j, j ; y = ai,i ; a j, j = CO · CO ·x + 2· SI ·C O · a j,i + SI · SI ·y; ai,i = SI · SI ·x − 2· SI · CO ·ai, j + CO · CO ·y. Determine ai, j = 0; a j,i = 0.

Paso 6

Paso 9

1 2

1 2

CO = 0.5 1 + b/ c2 + b2

d. s1 = 2.645751, s2 = 1, s3 = 1 U=

−0.923880 −0.3826831

Vt =

−0.923880 −0.382683

−0.382683 0.923880

,

S=

2.414214 0

0 0.414214

−0.382683 0.923880

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,

;

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Respuestas a ejercicios seleccionados

0.8247362 U =  0.5216090 0.2184817 

b.

0.8112422 −0.5847103

Vt =

−0.632456  0.316228  U = −0.316228 −0.632456 Vt =

d.

−1 0

2.676243 0 S= 0

 0 0.9152717  , 0



0.5847103 0.8112422



c.

 0.4082483 −0.8164966  , 0.4082483

−0.3913356 0.2475023 0.8863403

R 83

−0.500000 −0.500000 −0.500000 0.500000

−0.5 0.5 0.5 0.5

 0.3162278 0.6324555  , −0.6324555  0.3162278

3.162278  0  S= 0 0

 0 2  , 0  0

 −0.377964 0.377964  , −0.377964  0.755929 

2.645751  0 S=  0 0

0 1 0 0



0 −1 0.707107 0.707107 0 0



−0.436436  0.436436 U =  −0.436436 −0.654654  −0.577350 0 Vt =  0.816497

0.408248 −0.408248 −0.816497 0

−0.577350 0.707107 −0.408248



 0 0  , 1  0

0.577350 0.707107  0.408248

5. Para la matriz A en el ejemplo 2, tenemos

1 At A =  0 1

0 1 0



0 1 1

0 1 0



1   1   0  

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

1 0 1 0 0



  2  = 1   1

1 4 1

 1 1  2

Por lo que At Ac1,2,1dt = c5,10,5dt = 5c1,2,1dt , At Ac1,−1,1dt = c2,−2,2dt = 2c1,−1,1dt , y At Ac−1,0,1dt = c−1,0,1dt . 7. a. Utilice los valores tabulados para construir 

   b=   

y0 y1 y2 y3 y4 y5





      =      

1.84 1.96 2.21 2.45 2.94 3.18



   ,   



   y A=   

1 1 1 1 1 1

x0 x1 x2 x3 x4 x5

x02 x12 x22 x32 x42 x52





      =      

1 1 1 1 1 1

1.0 1.1 1.3 1.5 1.9 2.1

1.0 1.21 1.69 2.25 3.61 4.41



   .   

La matriz A tiene la descomposición de valor singular A = U S V t , donde 

−0.203339 −0.231651 −0.294632 −0.366088 −0.534426 −0.631309



7.844127 0 0 0 0

   U =   

  S =  

 0.554024 0.055615 −0.177253 −0.560167 0.185618 0.165198 0.510822 0.612553   −0.337742 −0.711511 −0.353683 0.177288  , −0.576499 0.642950 −0.264204 −0.085730   −0.200202 −0.214678 0.628127 −0.433808  0.414851 0.062426 −0.343809 0.289864  0    0 −0.288298 −0.475702 −0.831018  t  −0.768392 −0.402924 0.070094  0.497218  . , y V =  0 0.571365 −0.781895 0.249363 0

−0.550828 −0.498430 −0.369258 −0.20758 0.213281 0.472467 0 1.223790 0 0 0

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R 84

Respuestas a ejercicios seleccionados Por lo que, 

   c = Utb =    

−5.955009 −1.185591 −0.044985 −0.003732 −0.000493 −0.001963



   ,   

y las componentes de z son z1 =

c1 −5.955009 = −0.759168, = s1 7.844127

z2 =

c2 −1.185591 = −0.968786, = s2 1.223790

y z3 =

−0.044985 c3 = −0.641784. = s3 0.070094

Esto provee los coeficientes de mínimos cuadrados en P2 (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 como    a0 0.596581  a1  = x = V z =  1.253293  . −0.010853 a2 

El error de mínimos cuadrados por medio de estos valores usa los últimos tres componentes de c y es ||Ax − b||2 =

c42 + c52 + c62 =

b. Use los valores tabulados para construir     y0 1.84  y1   1.96       y2   2.21  =  b=  y3   2.45  ,      y4   2.94  3.18 y5

(−0.003732)2 + (−0.000493)2 + (−0.001963)2 = 0.004244.



y

   A=   

1 1 1 1 1 1

x0 x1 x2 x3 x4 x5

x02 x12 x22 x32 x42 x52

x03 x13 x23 x33 x43 x53





      =      

1 1 1 1 1 1

1.0 1.1 1.3 1.5 1.9 2.1

1.0 1.21 1.69 2.25 3.61 4.41

1.0 1.331 2.197 3.375 6.859 9.261



   .   

La matriz A tiene la descomposición de valor singular A = U S V t , donde 

−0.116086 −0.143614 −0.212441 −0.301963 −0.554303 −0.722727

−0.514623 −0.503586 −0.448121 −0.339923 0.074101 0.399642



14.506808 0 0 0 0

0 2.084909 0 0 0

   U =   

  S =  

0.569113 0.266325 −0.238475 −0.549619 −0.306350 0.390359 0 0 0.198760 0 0

−0.437866 0.184510 0.48499 0.038581 −0.636776 0.363368  0  0  , 0  0.868328  0

−0.381082 0.535306 0.180600 −0.573591 0.417792 −0.179026

y 

−0.141391  −0.639122 t V =   0.660862 −0.367142

−0.246373 −0.566437 −0.174510 0.766807

−0.449207 −0.295547 −0.667840 −0.514640

 −0.847067 0.428163  . 0.294610  0.111173

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0.246672 0.578144 −0.655247 0.400867 −0.115640 0.038548



   ,   

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Respuestas a ejercicios seleccionados

R 85

Por lo que, 

   c = Utb =    

−5.632309 −2.268376 0.036241 0.005717 −0.000845 −0.004086



   ,   

y las componentes de z son z1 =

c1 −5.632309 = = −0.388253, s1 14.506808

z3 =

0.036241 c3 = 0.182336, = s3 0.198760

z2 =

y z4 =

c2 −2.268376 = = −1.087998, s2 2.084909 c4 0.005717 = 0.65843. = s4 0.868328

Esto provee los coeficientes de mínimos cuadrados en P2 (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 como     a0 0.629019  a1   1.185010       a2  = x = V z =  0.035333  . −0.010047 a3 El error de mínimos cuadrados por medio de estos valores usa los dos componentes de c y es ||Ax − b||2 =

c52 + c62 =

(−0.000845)2 + (−0.004086)2 = 0.004172.

9. P2 (x) = 19.691025 − 0.0065112585x + 6.3494753 × 10−7 x 2 . El error de mínimos cuadrados es 0.42690171. 11. Sea A una matriz m × n. El teorema 9.25 implica que Rango(A) = Rango(At ), por lo que Nulidad(A) = n − Rango(A) y Nulidad(At ) = m − Rango(At ) = m − Rango (A). Por lo que, Nulidad (A) = Nulidad (At ) si y sólo si n = m. 13. Rango (S) es el número de entradas diferentes de cero en la diagonal de S. Esto corresponde al número de eigenvalores diferentes a cero (multiplicidades de conteo) de At A. Por lo que Rango (S) = Rango (At A), y por la parte ii) del teorema 9.26 es igual a Rango(A). 15. Puesto que U −1 = U t y V −1 = V t existen ambos A = U SV t implica que A−1 = (U SV t )−1 = V S −1 U t si y sólo si existe S −1 . 17. Sí. Por medio del teorema 9.25 tenemos Rango(At A) = Rango((At A)t ) = Rango (A At ). Al aplicar la parte iii) del teorema 9.26 obtenemos Rango (A At ) = Rango (At A) = Rango(A). √ 19. Si la matriz A n × n tiene los valores singulares s1 ≥ s2 ≥ · · · ≥ sn > 0, entonces ||A||2 = ρ(At A) = s1 . Además, los valores singulares de A−1 son s1n ≥ · · · ≥ s12 ≥ s11 > 0, por lo que ||A−1 ||2 = s12 = s1n . Por lo tanto, K 2 (A) = ||A||2 · ||A−1 ||2 = s1 /sn . n

Conjunto de ejercicios 10.1 1. Las soluciones están cerca de e−1.5, 10.5) y (2, 11). a. Las gráficas se muestran en la figura siguiente.

x2 x1(x1+1)+2x2 = 18

12 8 4 4

(x1 1)2+(x2 6)2 = 25 4

8

x1

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R 86

Respuestas a ejercicios seleccionados

b. Use G1 (x) = −0.5 +

2x2 − 17.75, 6 +

25 − (x1 − 1)2

G2 (x) = −0.5 −

2x2 − 17.75, 6 +

25 − (x1 − 1)2

t

y

3. 5.

7.

9. 11. 13. 15.

t

.

Para G1 (x) con x(0) = (2, 11)t , tenemos x(9) = (1.5469466, 10.969994)t , y para G2 (x) con x(0) = (−1.5, 10.5), tenemos x(34) = (−2.000003, 9.999996)t . b. Con x(0) = (0, 0)t y tolerancia 10 −5 , tenemos x(13) = (0.9999973, 0.9999973)t . c. Con x(0) = (0, 0)t y tolerancia 10 −5 , tenemos x(11) = (0.9999984, 0.9999991)t . a. Con x(0) = (1, 1, 1)t , tenemos x(5) = (5.0000000, 0.0000000, −0.5235988)t . b. Con x(0) = (1, 1, 1)t , tenemos x(9) = (1.0364011, 1.0857072, 0.93119113)t . c. Con x(0) = (0, 0, 0.5)t , tenemos x(5) = (0.00000000, 0.09999999, 1.0000000)t . d. Con x(0) = (0, 0, 0)t , tenemos x(5) = (0.49814471, −0.19960600, −0.52882595)t . a. Con x(0) = (1, 1, 1)t , tenemos x(3) = (0.5000000, 0, −0.5235988)t . b. Con x(0) = (1, 1, 1)t , tenemos x(4) = (1.036400, 1.085707, 0.9311914)t . c. Con x(0) = (0, 0, 0)t , tenemos x(3) = (0, 0.1000000, 1.0000000)t . d. Con x(0) = (0, 0, 0)t , tenemos x(4) = (0.4981447, −0.1996059, −0.5288260)t . Una solución estable se presenta cuando x1 = 8000 y x2 = 4000. Use el teorema 10.5. Use el teorema 10.5 para cada una de las derivadas parciales. En esta situación tenemos, para cualquier norma de matriz, ||F(x) − F(x0 )|| = || Ax − Ax0 || = || A(x − x0 )|| ≤ || A|| · ||x − x0 ||. Los resultados se siguen al seleccionar δ = ε/||A||, siempre que ||A|| = 0. Cuando ||A|| = 0, δ se puede seleccionar de manera arbitraria porque A es la matriz cero.

Conjunto de ejercicios 10.2 x(2) = (0.4958936, 1.983423)t b. x(2) = (−0.5131616, −0.01837622)t x(2) = (−23.942626, 7.6086797)t d. x(1) No se puede calcular ya que J (0) es singular. b. (−0.35, 0.05)t , (0.2, −0.45)t , (0.4, −0.5)t y (1, −0.3)t (0.5, 0.2)t y (1.1, 6.1)t t t (−1, 3.5) , (2.5, 4) d. (0.11, 0.27)t (0) t (3) t (0) (3) Con x = (0.5, 2) , x = (0.5, 2) . Con x = (1.1, 6.1), x = (1.0967197, 6.0409329)t . Con x(0) = (−0.35, 0.05)t , x(3) = (−0.37369822, 0.056266490t . Con x(0) = (0.2, −0.45)t , x(4) = (0.14783924, −0.43617762)t . Con x(0) = (0.4, −0.5)t , x(3) = (0.40809566, −0.49262939)t . Con x(0) = (1, −0.3)t , x(4) = (1.0330715, −0.27996184)t . c. Con x(0) = (−1, 3.5)t , x(1) = (−1, 3.5)t y x(0) = (2.5, 4)t , x(3) = (2.546947, 3.984998)t . d. Con x(0) = (0.11, 0.27)t , x(6) = (0.1212419, 0.2711051)t . b. x(6) = (1.772454, 1.772454)t 7. a. x(5) = (0.5000000, 0.8660254)t (5) t c. x = (−1.456043, −1.664230, 0.4224934) d. x(4) = (0.4981447, −0.1996059, −0.5288260)t (0) t −6 (20) 9. Con x = (1, 1 − 1) y TOL = 10 , tenemos x = (0.5, 9.5 × 10−7 , −0.5235988)t . 11. Con θi(0) = 1, para cada i = 1, 2, . . . , 20, se obtienen los siguientes resultados. 1. a. c. 3. a. c. 5. a. b.

i

1

2

3

4

5

6

θi(5)

0.14062

0.19954

0.24522

0.28413

0.31878

0.35045

i

7

8

9

10

11

12

13

θi(5)

0.37990

0.40763

0.43398

0.45920

0.48348

0.50697

0.52980

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Respuestas a ejercicios seleccionados

i

14

15

16

17

18

19

20

θi(5)

0.55205

0.57382

0.59516

0.61615

0.63683

0.65726

0.67746

R 87

13. Cuando la dimensión n es 1, F(x) es una función de un componente f (x) = f 1 (x), y el vector x sólo tiene una componente x1 = x. En este caso, la matriz JacobinaJ (x) se reduce a la matriz 1 × 1 ∂∂ xf11 (x) = f (x) = f (x). Por lo tanto, la ecuación vector x(k) = x(k−1) − J (x(k−1) )−1 F(x(k−1) ) se convierte en la ecuación escalar xk = xk−1 − f (xk−1 )−1 f (xk−1 ) = xk−1 −

f (xk−1 ) . f (xk−1 )

Conjunto de ejercicios 10.3 1. a. x(2) = (0.4777920, 1.927557)t

b. x(2) = (−0.3250070, −0.1386967)t

c. x(2) = (0.52293721, 0.82434906)t 3. a. x

(8)

d. x(2) = (1.77949990, 1.74339606)t

= (0.5, 2)

b. x(9) = (−0.3736982, 0.05626649)t

t

c. x(9) = (0.5, 0.8660254)t 5. a. Con x

(0)

d. x(8) = (1.772454, 1.772454)t

= (2.5, 4) , tenemos x t

(3)

= (2.546947, 3.984998) . t

b. Con x(0) = (0.11, 0.27)t , tenemos x(4) = (0.1212419, 0.2711052)t . c. Con x(0) = (1, 1, 1)t , tenemos x(3) = (1.036401, 1.085707, 0.9311914)t . d. Con x(0) = (1, −1, 1)t , tenemos x(8) = (0.9, −1, 0.5)t ; y con x(0) = (1, 1, −1)t , tenemos x(8) = (0.5, 1, −0.5)t . 7. Con x(0) = (1, 1 − 1)t , tenemos x(56) = (0.5000591, 0.01057235, −0.5224818)t . 9. Con x(0) = (0.75, 1.25)t , tenemos x(4) = (0.7501948, 1.184712)t . Por lo tanto, a = 0.7501948, b = 1.184712, y el error es 19.796. 11. Sea λ un eigenvalor de M = I + uvt con eigenvector x = 0. Entonces λx = Mx = I + uvt x = x + vt x u. Por lo tanto, (λ − 1)x = vt x u. Si λ = 1, entonces vt x = 0. Por lo que, λ = 1 es un eigenvalor de M con multiplicidad n − 1 y eigenvectores x(1) , . . . , x(n−1) , donde vt x( j) = 0, para j = 1, . . . , n − 1. Suponga que λ = 1 implica que x y u son paralelas. Suponga que x = αu. Entonces (λ − 1)αu = vt (αu) u. Entonces, α(λ − 1)u = α vt u u, lo cual implica que λ − 1 = vt u o λ = 1 + vt u. Por lo tanto, M n tiene eigenvalores λi , 1 ≤ i ≤ n, donde λi = 1, para i = 1, . . . , n − 1, y λn = 1 + vt u. Puesto que det M = i=1 λi , tenemos det M = 1 + vt u.

Conjunto de ejercicios 10.4 1. a. Con x(0) = (0, 0)t , tenemos x(11) = (0.4943541, 1.948040)t . b. Con x(0) = (1, 1)t , tenemos x(2) = (0.4970073, 0.8644143)t . c. Con x(0) = (2, 2)t , tenemos x(1) = (1.736083, 1.804428)t . d. Con x(0) = (0, 0)t , tenemos x(2) = (−0.3610092, 0.05788368)t . 3. a. x(3) = (0.5, 2)t c. x

(4)

b. x(3) = (0.5, 0.8660254)t

= (1.772454, 1.772454)

d. x(3) = (−0.3736982, 0.05626649)t

t

5. a. Con x(0) = (0, 0)t , g(3.3231994, 0.11633359) = −0.14331228 en dos iteraciones. b. Con x(0) = (0, 0)t , g(0.43030383, 0.18006958) = 0.32714638 en 38 iteraciones. c. Con x(0) = (0, 0, 0)t , g(−0.66340113, 0.31453697, 0.50007629) = 0.69215167 en cinco iteraciones. d. Con x(0) = (0.5, 0.5, 0.5)t , g(−0.03338762, 0.00401587, −0.00093451) = 1.01000124 en tres iteraciones. 7. a. b = 1.5120985, a = 0.87739838 c. La parte b) lo hace.

b. b = 21.014867, a = −3.7673246 d. La parte a) predice 86% y la parte b) predice 39%.

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R 88

Respuestas a ejercicios seleccionados

Conjunto de ejercicios 10.5 1. a. (3, −2.25)t b. (0.42105263, 2.6184211)t c. (2.173110, −1.3627731)t 3. Al utilizar x(0) = 0 en todas las partes obtenemos: b. (−0.41342613, 0.096669468)t a. (0.44006047, 1.8279835)t t c. (0.49858909, 0.24999091, −0.52067978) d. (6.1935484, 18.532258, −21.725806)t t t 5. a. Con x(0) = (−1, 3.5) el resultado es (−1, 3.5) . Con x(0) = (2.5, 4)t el resultado es (−1, 3.5)t . b. Con x(0) = (0.11, 0.27)t el resultado es (0.12124195, 0.27110516)t . c. Con x(0) = (1, 1, 1)t el resultado es (1.03640047, 1.08570655, 0.93119144)t . d. Con x(0) = (1, −1, 1)t el resultado es (0.90016074, −1.00238008, 0.496610937)t . Con x(0) = (1, 1, −1)t el resultado es (0.50104035, 1.00238008, −0.49661093)t . 7. a. Con x(0) = (−1, 3.5)t el resultado es (−1, 3.5)t . Con x(0) = (2.5, 4)t el resultado es (2.5469465, 3.9849975)t . b. Con x(0) = (0.11, 0.27)t el resultado es (0.12124191, 0.27110516)t . c. Con x(0) = (1, 1, 1)t el resultado es (1.03640047, 1.08570655, 0.93119144)t . d. Con x(0) = (1, −1, 1)t el resultado es (0.90015964, −1.00021826, 0.49968944)t . Con x(0) = (1, 1, −1)t el resultado es (0.5009653, 1.00021826, −0.49968944)t . 9. (0.50024553, 0.078230039, −0.52156996)t 11. Con x(0) = (0.75, 0.5, 0.75)t , x(2) = (0.52629469, 0.52635099, 0.52621592)t 13. Para cada λ, tenemos 0 = G(λ, x(λ)) = F(x(λ)) − e−λ F(x(0)), por lo que 0=

∂ F(x(λ)) dx + e−λ F(x(0)) = J (x(λ))x (λ) + e−λ F(x(0)) ∂x dλ

y J (x(λ))x (λ) = −e−λ F(x(0)) = −F(x(0)). Por lo tanto, x (λ) = −J (x(λ))−1 F(x(0)). Con N = 1, tenemos h = 1 por lo tanto x(1) = x(0) − J (x(0))−1 F(x(0)). Sin embargo, el método de Newton da x(1) = x(0) − J (x(0) )−1 F(x(0) ). Puesto que x(0) = x(0) , tenemos x(1) = x(1) .

Conjunto de ejercicios 11.1 1. El algoritmo de disparo lineal proporciona los resultados en las siguientes tablas. b. a. i xi w 1i y(xi ) i xi 1

0.5

0.82432432

0.82402714

1 2 3

0.25 0.50 0.75

w 1i

y(xi )

0.3937095 0.8240948 1.337160

0.3936767 0.8240271 1.337086

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Respuestas a ejercicios seleccionados

R 89

3. El algoritmo de disparo lineal proporciona los resultados en las siguientes tablas. a.

b. i

xi

w 1i

y(xi )

i

xi

w 1i

y(xi )

3 6 9

0.3 0.6 0.9

0.7833204 0.6023521 0.8568906

0.7831923 0.6022801 0.8568760

5 10 15

1.25 1.50 1.75

0.1676179 0.4581901 0.6077718

0.1676243 0.4581935 0.6077740

i

xi

w 1i

y(xi )

i

xi

w 1i

y(xi )

3 6 9

0.3 0.6 0.9

−0.5185754 −0.2195271 −0.0406577

−0.5185728 −0.2195247 −0.0406570

3 6 9

1.3 1.6 1.9

0.0655336 0.0774590 0.0305619

0.06553420 0.07745947 0.03056208

c.

d.

5. El algoritmo de disparo lineal con h = 0.05 proporciona los siguientes resultados. i

xi

w 1i

6 10 16

0.3 0.5 0.8

0.04990547 0.00673795 0.00033755

El algoritmo de disparo lineal con h = 0.1 proporciona los siguientes resultados. i

xi

w 1i

3 5 8

0.3 0.5 0.8

0.05273437 0.00741571 0.00038976

7. Para la ecuación (11.3), sea u 1 (x) = y y u 2 (x) = y . Entonces u 1 (x) = u 2 (x),

a ≤ x ≤ b,

u 1 (a) = α

y u 2 (x) = p(x)u 2 (x) + q(x)u 1 (x) + r (x),

a ≤ x ≤ b,

u 2 (a) = 0.

Para la ecuación (11.4), sea v1 (x) = y y v2 (x) = y . Entonces v1 (x) = v2 (x),

a ≤ x ≤ b,

v1 (a) = 0

y v2 (x) = p(x)v2 (x) + q(x)v1 (x),

a ≤ x ≤ b,

v2 (a) = 1.

Usando la notación u 1,i = u 1 (xi ), u 2,i = u 2 (xi ), v1,i = v1 (xi ), y v2,i = v2 (xi ) nos dirige hacia las ecuaciones en el paso 4 del algoritmo 11.1. 9. a. No hay soluciones si b es un entero múltiplo de π y B = 0. b. La única solución existe siempre que b no sea un entero múltiplo de π . c. Existe un número infinito de soluciones si b es un entero múltiplo de π y B = 0.

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R 90

Respuestas a ejercicios seleccionados

Conjunto de ejercicios 11.2 1. El algoritmo de disparo no lineal provee w 1 = 0.405505 ≈ ln 1.5 = 0.405465. 3. El algoritmo de disparo no lineal provee los resultados en las siguientes tablas. a.

b. i

xi

w 1i

y(xi )

w 2i

i

xi

w 1i

y(xi )

w 2i

2 4 6 8

1.20000000 1.40000000 1.60000000 1.80000000

0.18232094 0.33647129 0.47000243 0.58778522

0.18232156 0.33647224 0.47000363 0.58778666

0.83333370 0.71428547 0.62499939 0.55555468

2 4 6 8

0.31415927 0.62831853 0.94247780 1.25663706

1.36209813 1.80002060 2.24572329 2.58845757

1.36208552 1.79999746 2.24569937 2.58844295

1.29545926 1.45626846 1.32001776 0.79988757

Convergencia en 4 iteraciones t = 1.0000017.

Convergencia en 4 iteraciones t = 1.0000301.

c.

d. i

xi

w 1i

y(xi )

w 2i

i

xi

w 1i

1 2 3 4

0.83775804 0.89011792 0.94247780 0.99483767

0.86205941 0.88156057 0.89945618 0.91579268

0.86205848 0.88155882 0.89945372 0.91578959

0.38811718 0.35695076 0.32675844 0.29737141

4 8 12 16

0.62831853 1.25663706 1.88495559 2.51327412

2.58784539 2.95114591 2.95115520 2.58787536

Convergencia en 3 iteraciones t = 0.42046725.

y(xi )

w 2i

2.58778525 0.80908243 2.95105652 0.30904693 2.95105652 −0.30901625 2.58778525 −0.80904433

Convergencia en 6 iteraciones t = 1.0001253.

5. i

xi

w 1i

w 2i

3 5 8

0.6 1.0 1.6

0.71682963 1.00884285 1.13844628

0.92122169 0.53467944 −0.11915193

Conjunto de ejercicios 11.3 1. El algoritmo de diferencia finita lineal provee los siguientes resultados. a. i

xi

w 1i

y f xi g

1

0.5

0.83333333

0.82402714

b. i

xi

w 1i

y f xi g

1 2 3

0.25 0.5 0.75

0.39512472 0.82653061 1.33956916

0.39367669 0.82402714 1.33708613

4f0.82653061g − 0.83333333 = 0.82426304 3 3. El algoritmo de diferencia finita lineal provee los resultados en las siguientes tablas. c.

a. i

xi

wi

y f xi g

2 5 7

0.2 0.5 0.7

1.018096 0.5942743 0.6514520

1.0221404 0.59713617 0.65290384

i

xi

w 1i

y f xi g

3 6 9

0.3 0.6 0.9

−0.5183084 −0.2192657 −0.0405748

−0.5185728 −0.2195247 −0.04065697

c.

b. i

xi

wi

y f xi g

5 10 15

1.25 1.50 1.75

0.16797186 0.45842388 0.60787334

0.16762427 0.45819349 0.60777401

i

xi

w 1i

y f xi g

3 6 9

1.3 1.6 1.9

0.0654387 0.0773936 0.0305465

0.0655342 0.0774595 0.0305621

d.

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Respuestas a ejercicios seleccionados

R 91

5. El algoritmo de diferencia finita lineal provee los resultados en las siguientes tablas. i

xi

w i (h = 0.1)

i

xi

w i (h = 0.05)

3 6 9

0.3 0.6 0.9

0.05572807 0.00310518 0.00016516

6 12 18

0.3 0.6 0.9

0.05132396 0.00263406 0.00013340

7. a. Las deflexiones aproximadas se muestran en la siguiente tabla. i

xi

w 1i

5 10 15

30 60 90

0.0102808 0.0144277 0.0102808

b. Sí. c. Sí. La deflexión máxima se presenta en x = 60. La solución exacta se encuentra dentro de la tolerancia, pero la aproximación no. 9. Primero, tenemos h hL p(xi ) ≤ < 1, 2 2 por lo que −1−

h h p(xi ) = 1 + p(xi ) y 2 2

−1+

h h p(xi ) = 1 − p(xi ). 2 2

Por lo tanto, −1−

h h p(xi ) + − 1 + p(xi ) = 2 ≤ 2 + h 2 q(xi ), 2 2

para 2 ≤ i ≤ N − 1. Puesto que −1+

h p(x1 ) < 2 ≤ 2 + h 2 q(x1 ) 2

y

−1−

h p(x N ) < 2 ≤ 2 + h 2 q(x N ), 2

El teorema 6.31 implica que el sistema lineal (11.19) tiene una solución única.

Conjunto de ejercicios 11.4 1. El algoritmo de diferencias finitas no lineal proporciona los siguientes resultados. i

xi

wi

y h xi i

1

1.5

0.4067967

0.4054651

3. El algoritmo de diferencia finita no lineal proporciona los resultados en las siguientes tablas. a. i

xi

wi

y h xi i

2 4 6 8

1.20000000 1.40000000 1.60000000 1.80000000

0.18220299 0.33632929 0.46988413 0.58771808

0.18232156 0.33647224 0.47000363 0.58778666

Convergencia en 3 iteraciones

b. i

xi

wi

y h xi i

2 4 6 8

0.31415927 0.62831853 0.94247780 1.25663706

1.36244080 1.80138559 2.24819259 2.59083695

1.36208552 1.79999746 2.24569937 2.58844295

Convergencia en 3 iteraciones

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R 92

Respuestas a ejercicios seleccionados

c.

d. i

xi

wi

y(xi )

i

xi

wi

y(xi )

1 2 3 4

0.83775804 0.89011792 0.94247780 0.99483767

0.86205907 0.88155964 0.89945447 0.91579005

0.86205848 0.88155882 0.89945372 0.91578959

4 8 12 16

0.62831853 1.25663706 1.88495559 2.51327412

2.58932301 2.95378037 2.95378037 2.58932301

2.58778525 2.95105652 2.95105652 2.58778525

Convergencia en 2 iteraciones

Convergencia en 4 iteraciones

5. b. Para (4a) xi

w i (h = 0.2)

w i (h = 0.1)

w i (h = 0.05)

E X T1,i

E X T2,i

E X T3,i

1.2 1.4 1.6 1.8

0.45458862 0.41672067 0.38466137 0.35716943

0.45455753 0.41668202 0.38462855 0.35715045

0.45454935 0.41667179 0.38461984 0.35714542

0.45454717 0.41666914 0.38461761 0.35714412

0.45454662 0.41666838 0.38461694 0.35714374

0.45454659 0.41666833 0.38461689 0.35714372

Para (4c) xi

w i (h = 0.2)

w i (h = 0.1)

w i (h = 0.05)

E X T1,i

E X T2,i

E X T3,i

1.2 1.4 1.6 1.8

2.0340273 2.1148732 2.2253630 2.3557284

2.0335158 2.1144386 2.2250937 2.3556001

2.0333796 2.1143243 2.2250236 2.3555668

2.0333453 2.1142937 2.2250039 2.3555573

2.0333342 2.1142863 2.2250003 2.3555556

2.0333334 2.1142858 2.2250000 2.3355556

7. La matriz jacobina J = (ai, j ) es tridiagonal con entradas determinadas en (11.21). Por lo que, a1,1 =2 + h 2 f y

x1 , w 1 ,

1 (w 2 − α) , 2h

a1,2 = − 1 +

h fy 2

x1 , w 1 ,

1 (w 2 − α) , 2h

ai,i−1 = − 1 −

h fy 2

xi , w i ,

1 (w i+1 − w i−1 ) , 2h

ai,i =2 + h 2 f y

xi , w i ,

1 (w i+1 − w i−1 ) , 2h 1 (w i+1 − w i−1 ) , 2h

ai,i+1 = − 1 +

h fy 2

xi , w i ,

a N ,N −1 = − 1 −

h fy 2

xN , w N ,

a N ,N =2 + h 2 f y

xN , w N ,

para 2 ≤ i ≤ N − 1 para 2 ≤ i ≤ N − 1 para 2 ≤ i ≤ N − 1

1 (β − w N −1 ) , 2h

1 (β − w N −1 ) . 2h

Por lo tanto, |ai,i | ≥ 2 + h 2 δ, para i = 1, . . . , N . Puesto que | f y (x, y, y )| ≤ L y h < 2/L, h hL f y (x, y, y ) ≤ < 1. 2 2 Por lo que, |a1,2 | = − 1 +

h fy 2

x1 , w 1 ,

1 (w 2 − α) 2h

< 2 < |a1,1 |,

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Respuestas a ejercicios seleccionados |ai,i−1 | + |ai,i+1 | = − ai,i−1 − ai,i+1 =1 +

h fy 2

xi , w i ,

1 h (w i+1 − w i−1 ) + 1 − f y 2h 2

xi , w i ,

1 (w i+1 − w i−1 ) 2h

= 2 ≤ |ai,i |, y |a N ,N −1 | = −a N ,N −1 = 1 +

h fy 2

xN , w N ,

1 (β − w N −1 ) 2h

< 2 < |a N ,N |.

Por el teorema 6.31, la matriz J es no singular.

Conjunto de ejercicios 11.5 1. El algoritmo lineal por tramos proporciona φ(x) = −0.07713274φ1 (x) − 0.07442678φ2 (x). Los valores reales son y(x1 ) = −0.07988545 y y(x2 ) = −0.07712903. 3. El algoritmo lineal por tramos provee los resultados en las siguientes tablas. b. a. i xi φ(xi ) y(xi ) i xi φ(xi ) y(xi ) 3 6 9

0.3 0.6 0.9

−0.212333 −0.241333 −0.090333

−0.21 −0.24 −0.09

c.

3 6 9

0.3 0.6 0.9

0.1815138 0.1805502 0.05936468

0.1814273 0.1804753 0.05934303

i

xi

φ(xi )

y(xi )

5 10 15

0.25 0.50 0.75

−0.1846134 −0.2737099 −0.2285169

−0.1845204 −0.2735857 −0.2284204

d. i

xi

φ(xi )

y(xi )

5 10 15

0.25 0.50 0.75

−0.3585989 −0.5348383 −0.4510165

−0.3585641 −0.5347803 −0.4509614

5. El algoritmo de spline cúbico proporciona los resultados en las siguientes tablas. i

xi

φ(xi )

yi

1 2 3

0.25 0.5 0.75

−0.1875 −0.25 −0.1875

−0.1875 −0.25 −0.1875

7. El algoritmo lineal por tramos proporciona los resultados en la siguiente tabla. i

xi

φ(xi )

w(xi )

4 8 10 16

24 48 60 96

0.00071265 0.0011427 0.00119991 0.00071265

0.0007 0.0011 0.0012 0.0007

9. Con z(x) = y(x) − βx − α(1 − x), tenemos z(0) = y(0) − α = α − α = 0 y

z(1) = y(1) − β = β − β = 0.

Además, z (x) = y (x) − β + α. Por lo tanto, y(x) = z(x) + βx + α(1 − x)

y

y (x) = z (x) + β − α.

Al sustituir para y y y en la ecuación diferencial obtenemos −

d ( p(x)z + p(x)(β − α)) + q(x)(z + βx + α(1 − x)) = f (x). dx

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R 93

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R 94

Respuestas a ejercicios seleccionados

Simplificando obtenemos la ecuación diferencial −

d ( p(x)z ) + q(x)z = f (x) + (β − α) p (x) − [βx + α(1 − x)]q(x). dx

11. El algoritmo de spline cúbico proporciona los resultados en la siguiente tabla.

xi

φi (x)

y(xi )

0.3 0.5 0.9

1.0408183 1.1065307 1.3065697

1.0408182 1.1065301 1.3065697

n

13. Si i=1

n

ci φi (x) = 0, para 0 ≤ x ≤ 1, entonces para cualquier j, tenemos

Pero

φi (x j ) =

i=1

ci φi (x j ) = 0.

0 i = j, 1 i = j,

por lo que c j φ j (x j ) = c j = 0. Por lo tanto, las funciones son linealmente independientes. 15. Sea c = (c1 , . . . , cn )t cualquier vector y sea φ(x) = n

n

ct Ac =

n j=1

c j φ j (x). Entonces

n

i+1

ai j ci c j = i=1 j=1 n

ai j ci c j i=1 j=i−1

1

= 0

i=1 1

+ 0

{ p(x)ci φi (x)ci−1 φi−1 (x) + q(x)ci φi (x)ci−1 φi−1 (x)} d x p(x)ci2 [φi (x)]2 + q(x)ci2 [φi (x)]2 d x

1

+ 0 1

=

{ p(x)ci φi (x)ci+1 φi+1 (x) + q(x)ci φi (x)ci+1 φi+1 (x)} d x p(x)[φ (x)]2 + q(x)[φ(x)]2 d x.

0

Por lo que, ct Ac ≥ 0 con igualdad si y sólo si c = 0. Puesto que A también es simétrica, A es definida positiva.

Conjunto de ejercicios 12.1 1. El algoritmo de diferencias finitas de la ecuación de Poisson provee los siguientes resultados. i

j

xi

yj

w i, j

u(xi , y j )

1 1 1

1 2 3

0.5 0.5 0.5

0.5 1.0 1.5

0.0 0.25 1.0

0 0.25 1

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Respuestas a ejercicios seleccionados

R 95

3. El algoritmo de diferencias finitas de la ecuación de Poisson provee los siguientes resultados a. 30 iteraciones requeridas: b. 29 iteraciones requeridas: i

j

xi

yj

w i, j

u(xi , y j )

i

j

xi

2 2 4 4

2 4 2 4

0.4 0.4 0.8 0.8

0.4 0.8 0.4 0.8

0.1599988 0.3199988 0.3199995 0.6399996

0.16 0.32 0.32 0.64

2 2 4 4

1 3 1 3

1.256637 1.256637 2.513274 2.513274

c. 126 iteraciones requeridas:

yj

w i, j

0.3141593 0.2951855 0.2938926 0.9424778 0.1830822 0.1816356 0.3141593 −0.7721948 −0.7694209 0.9424778 −0.4785169 −0.4755283

d. 127 iteraciones requeridas:

i

j

xi

yj

w i, j

u(xi , y j )

i

j

xi

yj

w i, j

u(xi , y j )

4 4 8 8

3 7 3 7

0.8 0.8 1.6 1.6

0.3 0.7 0.3 0.7

1.2714468 1.7509414 1.6167917 3.0659184

1.2712492 1.7506725 1.6160744 3.0648542

2 4 6 8

2 4 6 8

1.2 1.4 1.6 1.8

1.2 1.4 1.6 1.8

0.5251533 1.3190830 2.4065150 3.8088995

0.5250861 1.3189712 2.4064186 3.8088576

5. El potencial aproximado en algunos puntos comunes provee los siguientes resultados. i

j

xi

yj

w i, j

1 2 4

4 1 2

0.1 0.2 0.4

0.4 0.1 0.2

88 66 66

7. Para incorporar el método SOR, realice los siguientes cambios al algoritmo 12.1:

Paso 1 Determine h = (b − a)/n; k = (d − c)/m; ω = 4/ 2 +

4 − (cos π/m)2 − (cos π/n)2 ;

ω0 = 1 − w; En cada paso 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, y 16 después determine . . . Inserte determine E = w α,β − z; si (|E| > NORM) entonces determine NORM = |E|; determine w α,β = ω0 E + z. donde α y β dependen del paso que se modifica.

Conjunto de ejercicios 12.2 1. El algoritmo de diferencias hacia atrás de la ecuación de calor provee los siguientes resultados. a. i j xi tj wi j u jxi ,t j k 1 2 3 1 2 3

1 1 1 2 2 2

0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5

0.05 0.05 0.05 0.1 0.1 0.1

0.632952 0.895129 0.632952 0.566574 0.801256 0.566574

0.652037 0.883937 0.625037 0.552493 0.781344 0.552493

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u(xi , y j )

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R 96

Respuestas a ejercicios seleccionados

3. El algoritmo de Crank-Nicholson provee los siguientes resultados. a. i

j

xi

tj

wi j

u(xi , t j )

1 2 3 1 2 3

1 1 1 2 2 2

0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5

0.05 0.05 0.05 0.1 0.1 0.1

0.628848 0.889326 0.628848 0.559251 0.790901 0.559252

0.652037 0.883937 0.625037 0.552493 0.781344 0.552493

5. El algoritmo de diferencias hacia adelante provee los siguientes resultados. a. Para h = 0.4 y k = 0.1: i

j

xi

tj

wi j

u(xi , t j )

2 3 4

5 5 5

0.8 1.2 1.6

0.5 0.5 0.5

3.035630 −3.035630 1.876122

0 0 0

Para h = 0.4 y k = 0.05: i

j

xi

tj

wi j

u(xi , t j )

2 3 4

10 10 10

0.8 1.2 1.6

0.5 0.5 0.5

0 0 0

0 0 0

b. Para h =

π 10

y k = 0.05:

i

j

xi

tj

wi j

u(xi , t j )

3 6 9

10 10 10

0.94247780 1.88495559 2.82743339

0.5 0.5 0.5

0.4926589 0.5791553 0.1881790

0.4906936 0.5768449 0.1874283

7. a. Para h = 0.4 y k = 0.1: i

j

xi

tj

w i, j

u(xi , t j )

2 3 4

5 5 5

0.8 1.2 1.6

0.5 0.5 0.5

−0.00258 0.00258 −0.00159

0 0 0

Para h = 0.4 y k = 0.05: i

j

xi

tj

w i, j

u(xi , t j )

2 3 4

10 10 10

0.8 1.2 1.6

0.5 0.5 0.5

−4.93 × 10−4 4.93 × 10−4 −3.05 × 10−4

0 0 0

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Respuestas a ejercicios seleccionados b. Para h =

R 97

y k = 0.05:

π 10

i

j

xi

tj

w i, j

u(xi , t j )

3 6 9

10 10 10

0.94247780 1.88495559 2.82743339

0.5 0.5 0.5

0.4986092 0.5861503 0.1904518

0.4906936 0.5768449 0.1874283

9. El algoritmo de Crank-Nicholson provee los siguientes resultados. a. Para h = 0.4 y k = 0.1: i

j

xi

tj

wi j

u(xi , t j )

2 3 4

5 5 5

0.8 1.2 1.6

0.5 0.5 0.5

8.2 × 10−7 −8.2 × 10−7 5.1 × 10−7

0 0 0

Para h = 0.4 y k = 0.05: i

j

xi

tj

wi j

2 3 4

10 10 10

0.8 1.2 1.6

0.5 0.5 0.5

−2.6 × 10 2.6 × 10−6 −1.6 × 10−6

π 10

b. Para h =

u(xi , t j ) 0 0 0

−6

y k = 0.05:

i

j

xi

tj

wi j

u(xi , t j )

3 6 9

10 10 10

0.94247780 1.88495559 2.82743339

0.5 0.5 0.5

0.4926589 0.5791553 0.1881790

0.4906936 0.5768449 0.1874283

11. a. El uso de h = 0.4 y k = 0.1 conduce a resultados sin sentido. Al usar h = 0.4 y k = 0.05 de nuevo obtenemos respuestas sin sentido. Al determinar h = 0.4 y k = 0.005 se produce lo siguiente: i

j

xi

tj

wi j

1 2 3 4

100 100 100 100

0.4 0.8 1.2 1.6

0.5 0.5 0.5 0.5

−165.405 267.613 −267.613 165.405

i

j

xi

tj

w(xi j )

3 6 9

10 10 10

0.94247780 1.8849556 2.8274334

0.5 0.5 0.5

0.46783396 0.54995267 0.17871220

b.

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R 98

Respuestas a ejercicios seleccionados

13. a. La temperatura aproximada en algunos puntos comunes se proporciona en la tabla. i

j

ri

tj

w i, j

1 2 3 4

20 20 20 20

0.6 0.7 0.8 0.9

10 10 10 10

137.6753 245.9678 340.2862 424.1537

b. La tensión es aproximadamente I = 1242.537. 15. Tenemos a11 v1(i) + a12 v2(i) = (1 − 2λ) sen

iπ 2πi + λ sen m m

y µi v1(i) = 1 − 4λ sen = 2 sen

iπ 2m

2

sen

iπ iπ = 1 − 4λ sen m 2m

iπ iπ iπ cos − 8λ sen 2m 2m 2m

3

cos

2

2 sen

iπ iπ cos 2m 2m

iπ . 2m

Sin embargo, (1 − 2λ) sen

iπ 2πi iπ iπ iπ iπ + λ sen =2(1 − 2λ) sen cos + 2λ sen cos m m 2m 2m m m iπ iπ =2(1 − 2λ) sen cos 2m 2m + 2λ 2 sen =2 sen

iπ iπ cos 2m 2m

1 − 2 sen

2

iπ 2m

iπ iπ iπ iπ cos − 8λ cos sen 2m 2m 2m 2m

3

.

Por lo tanto, a11 v1(i) + a12 v2(i) = µi v1(i) . Además, (i) (i) a j, j−1 v (i) j−1 + a j, j v j + a j, j+1 v j+1 =λ sen

i( j − 1)π i jπ i( j + 1)π + (1 − 2λ) sen + λ sen m m m

=λ sen

i jπ iπ iπ i jπ cos − sen cos m m m m

+ λ sen

+ (1 − 2λ) sen

iπ iπ i jπ i jπ cos + sen cos m m m m

= sen

i jπ i jπ iπ i jπ − 2λ sen + 2λ sen cos m m m m

= sen

i jπ i jπ + 2λ sen m m

cos

iπ −1 m

y µi v (i) j = 1 − 4λ sen = 1 + 2λ cos

iπ 2m

2

iπ −1 m

sen

i jπ = 1 − 4λ m

sen

1 1 iπ − cos 2 2 m

i jπ , m

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sen

i jπ m

i jπ m

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Respuestas a ejercicios seleccionados por lo que (i) (i) (i) a j, j−1 v (i) j−1 + a j, j v j + a j, j+1 v j = µi v j .

De igual forma, (i) (i) (i) am−2,m−1 vm−2 + am−1,m−1 vm−1 = µi vm−1 ,

Por lo que Av(i) = µi v(i) . 17. Para modificar el algoritmo 12.2, modifique lo siguiente: Paso 7 Determine t = jk; z 1 = (w 1 + k F(h))/l1 .

Paso 8 Para i = 2, . . . , m − 1 determine z i = (w i + k F(i h) + λz i−1 )/li . Para modificar el algoritmo 12.3, modifique lo siguiente: Paso 7 Determine t = jk; z 1 = (1 − λ)w 1 +

λ w 2 + k F(h) 2

l1 .

Paso 8 Para i = 2, . . . , m − 1 Determine z i = (1 − λ)w i +

λ (w i+1 + w i−1 + z i−1 ) + k F(i h) 2

19. Para modificar el algoritmo 12.2, modifique lo siguiente: Paso 7 Determine t = jk; w 0 = φ(t); z 1 = (w 1 + λw 0 )/l1 . w m = ψ(t). Paso 8 Para i = 2, . . . , m − 2 determine z i = (w i + λz i−1 )/li ; Determine z m−1 = (w m−1 + λw m + λz m−2 )/lm−1 . Paso 11 SALIDA (t); Para i = 0, . . . , m determine x = i h; SALIDA (x, w i ). Para modificar el algoritmo 12.3, modifique lo siguiente: Paso 1 Determine h = l/m; k = T /N ; λ = α 2 k/ h 2 ; w m = ψ(0); w 0 = φ(0). Paso 7 Determine t = jk; z 1 = (1 − λ)w 1 + λ2 w 2 + λ2 0 + λ2 φ(t) /l1 ; w 0 = φ(t). Paso 8 Para i = 2, . . . , m − 2 determine z i = (1 − λ)w i + λ2 (w i+1 + w i−1 + z i−1 ) /li ; Determine z m−1 = (1 − λ)w m−1 + λ2 (w m + w m−2 + z m−2 + ψ(t)) /lm−1 ; w m = ψ(t).

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li .

R 99

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R 100 Respuestas a ejercicios seleccionados SALIDA (t); Para i = 0, . . . , m determine x = i h; SALIDA (x, w i ).

Paso 11

Conjunto de ejercicios 12.3 1. El algoritmo de diferencias finitas de la ecuación de onda provee los siguientes resultados. i

j

xi

tj

wi j

u(xi , t j )

2 3 4

4 4 4

0.25 0.50 0.75

1.0 1.0 1.0

−0.7071068 −1.0000000 −0.7071068

−0.7071068 −1.0000000 −0.7071068

3. El algoritmo de diferencias finitas de la ecuación de onda con h = i

j

xi

tj

wi j

u(xi , t j )

2 5 8

10 10 10

π 5 π 2 4π 5

0.5 0.5 0.5

0.5163933 0.8785407 0.5163933

0.5158301 0.8775826 0.5158301

El algoritmo de diferencias finitas de la ecuación de onda con h = i

j

xi

tj

wi j

4 10 16

5 5 5

π 5 π 2 4π 5

0.5 0.5 0.5

0.5159163 0.8777292 0.5159163

El algoritmo de diferencias finitas de la ecuación de onda con h = i

j

xi

tj

wi j

4 10 16

10 10 10

π 5 π 2 4π 5

0.5 0.5 0.5

0.5159602 0.8778039 0.5159602

π 10

y k = 0.05 provee los siguientes resultados.

π 20

y k = 0.1 provee los siguientes resultados.

π 20

y k = 0.05 provee los siguientes resultados.

5. El algoritmo de diferencias finitas de la ecuación de onda provee los siguientes resultados. i

j

xi

tj

wi j

u(xi , t j )

2 5 8

3 3 3

0.2 0.5 0.8

0.3 0.3 0.3

0.6729902 0 −0.6729902

0.61061587 0 −0.61061587

7. a. La presión del aire para la tubería abierta es p(0.5, 0.5) ≈ 0.9 y p(0.5, 1.0) ≈ 2.7. b. La presión del aire para la tubería cerrada es p(0.5, 0.5) ≈ 0.9 y p(0.5, 1.0) ≈ 0.9187927.

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Respuestas a ejercicios seleccionados R 101

Conjunto de ejercicios 12.4 1. Con E 1 = (0.25, 0.75), E 2 = (0, 1), E 3 = (0.5, 0.5), y E 4 = (0, 0.5), las funciones de base son φ1 (x, y) =

4x −2 + 4y

en T1 en T2 ,

φ2 (x, y) =

−1 − 2x + 2y 0

φ3 (x, y) =

0 1 + 2x − 2y

en T1 en T2 ,

φ4 (x, y) =

2 − 2x − 2y 2 − 2x − 2y

en T1 en T2 ,

en T1 en T2 ,

y γ1 = 0.323825, γ2 = 0, γ3 = 1.0000, y γ4 = 0. 3. El algoritmo de elementos finitos con K = 8, N = 8, M = 32, n = 9, m = 25, y N L = 0 provee los siguientes resultados, donde el etiquetado se muestra en el siguiente diagrama.

10

10

11

9 15

23 26

1

14 17 16 30 18 21

16

17

18

29 32

9

20 23

15

6

7 31

14

27 8

8

19 22

3

3

5

13 25

4

5

6

7

13

24 2

4

12

2

1 28

19

12 11

22

20

21 24

25

γ1 = 0.511023 γ2 = 0.720476 γ3 = 0.507899 γ4 = 0.720476 γ5 = 1.01885 γ6 = 0.720476 γ7 = 0.507896 γ8 = 0.720476 γ9 = 0.511023 γi = 0

10 ≤ i ≤ 25

u(0.125, 0.125) ≈ 0.614187 u(0.125, 0.25) ≈ 0.690343 u(0.25, 0.125) ≈ 0.690343 u(0.25, 0.25) ≈ 0.720476

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R 102 Respuestas a ejercicios seleccionados 5. El algoritmo de elementos finitos con K = 0, N = 12, M = 32, n = 20, m = 27, y N L = 14 provee los siguientes resultados, donde el etiquetado se muestra en el diagrama.

8 10

T3

T1 T13

11

T5

21 T21 1

22 T22

T27

T14

12

T6

2

γ2 = 19.87372

T28

T15

13

γ1 = 21.40335

23 T23

T7

3

24 T24

T29

T16

14

T8

4

T30

T17

15

25 T25 5

26 T26

T31

6

27 T32

7

T2

9 T18 T19 T20 T9 T10 T11 T12 T22 16 17 18 19 20

γ8 = 24.19855 γ15 = 20.23334 γ22 = 15

γ9 = 24.16799 γ16 = 20.50056 γ23 = 15

γ3 = 19.10019 γ10 = 27.55237 γ17 = 21.35070 γ24 = 15 γ4 = 18.85895 γ11 = 25.11508 γ18 = 22.84663 γ25 = 15 γ5 = 19.08533 γ12 = 22.92824 γ19 = 24.98178 γ26 = 15 γ6 = 19.84115 γ13 = 21.39741 γ20 = 27.41907 γ27 = 15 γ7 = 21.34694 γ14 = 20.52179 γ21 = 15 u(1, 0) ≈ 22.92824

u

u(4, 0) ≈ 22.84663 √ 5 3 ≈ 18.85895 , 2 2

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