• Author / Uploaded
• Mauricio Leyton Otarola

Citation preview

Calculo II Integrales Indefinidas Sustitución Trigonométrica

2012 Matías Cabrera Cancino

Sustitución trigonométrica

Introducción Como ya sabemos varias técnicas de integración como, por sustitución, integración por parte, y potencias de las funciones trigonométricas . Ahora conoceremos otra nueva técnica, las “sustituciones trigonométricas” que sirve para resolver integrales “mas entretenidas”, cuyo integrando contenga radicales. El propósito de estas sustituciones, es eliminar los radicales y eso se consigue con Pitágoras.

Tener en mente “siempre” estas identidades trigonométricas:

Sustitución Trigonométrica

Profesor: Claudio del Pino 1

Calculo II Integrales Indefinidas Sustitución Trigonométrica

2012 Matías Cabrera Cancino

Aplicación del triangulo rectángulo Si vemos el formulario oficial de integrales indefinidas encontraremos esto en el punto 7:

Si observamos, nos damos cuenta que todas estas integrales tienen un radical ( ), el cual complica la integral. La pregunta es. ¿Cómo se resuelven estas integrales?, ¿Cómo puedo eliminar el radical?

1.0 Ejemplo: Si a > 0, hacemos u=a*sin(α), donde (-π/2 ≤ α ≤ π/2). Entonces:

Sustitución Trigonométrica

Profesor: Claudio del Pino 2

Calculo II Integrales Indefinidas Sustitución Trigonométrica

2012 Matías Cabrera Cancino

Sustitución trigonométrica: 1.- En integrales que contienen

, hacer la sustitución:

x=a*sin(α) Así

= a*cos(α), donde

a x

(-π/2 ≤ α ≤ π/2)

α

Notar que:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.-En integrales que contienen

, hacer la sustitución:

x=a*tan(α) Así

= a*sec(α), donde (-π/2 < α < π/2)

x α

Notar que:

a

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.- En integrales que contienen

, hacer la sustitución:

x=a*sec(α) Así

=a*tan(α), donde

x

(0 ≤ α < π/2) o (π/2 < α ≤ π) α

Notar que: a

Nota: las restricciones sobre α, asegura que la función sustituida es inyectiva. Sustitución Trigonométrica

Profesor: Claudio del Pino 3

Calculo II Integrales Indefinidas Sustitución Trigonométrica

2012 Matías Cabrera Cancino

1.2 Ejercicio: Resolver esta integral: Entonces tenemos:

3x

2

α

La integral queda:

=

Luego, recordamos el cambio de variable

->

y también Recordar la identidad: sin (2α)=2sin (α) cos (α) Podemos concluir :

Sustitución Trigonométrica

Profesor: Claudio del Pino 4

Calculo II Integrales Indefinidas Sustitución Trigonométrica

2012 Matías Cabrera Cancino

1.3 Ejercicio: Resolver:

Sea

2x θ 1

La integral queda:

->

Recordando que: También: Por lo tanto no queda:

1.4 Ejercicio: Resolver:

x

Nota: la integral se ve difícil, pero la clave es saber que tipo de sustitución es, en este caso

θ

con a=

Sea:

Sustitución Trigonométrica

Profesor: Claudio del Pino 5

Calculo II Integrales Indefinidas Sustitución Trigonométrica

2012 Matías Cabrera Cancino

La integral queda:

Recordemos que:

-->

También:

Por lo tanto queda :

O bien =

Sustitución Trigonométrica

Profesor: Claudio del Pino 6

Calculo II Integrales Indefinidas Sustitución Trigonométrica

2012 Matías Cabrera Cancino

Ejercicios propuestos 1.

2.

3.

4.

5.

Respuestas: 1.

2.

3.

4.

+C

5.

Desafío

1.-

2.-

Sustitución Trigonométrica

Profesor: Claudio del Pino 7