Superficies Paramétricas

Título: Área de una superficie parametrizada Autores: Fernández Ordas, Dayelly Mostacero Carrera, Zeida Quiroz Nomberto,

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Título: Área de una superficie parametrizada Autores: Fernández Ordas, Dayelly Mostacero Carrera, Zeida Quiroz Nomberto, Andrea Reluz Rojas, Evelyn Vercelli Nájera, Enzho Resumen: En el presente informe, presentamos teoría y algunos ejemplos acerca de área de una superficie parametrizada, recopilados de los autores más conocidos en nuestra pequeña realidad. Introducción: Desarrollo: Sean x, y, z funciones en u, v, continuas en dominio D del plano u, v. Al conjunto de puntos (x, y, z) dado por: r (u, v) = x (u, v) i + y (u, v) j + z (u, v) k Se llama superficie paramétrica. Las ecuaciones: x = x(u, v) y = (u, v) z= (u, v) Son las ecuaciones paramétricas de la superficie

Representación Paramétrica de una Superficie

Hallar ecuaciones paramétricas para las superficies En los ejemplos anteriores se pedía identificar la superficie dada por una ecuación paramétrica. Ahora el problema es inverso, es decir dada la ecuación de una superficie se tiene que encontrar las ecuaciones paramétricas un caso sencillo es cada una superficie es dad en forma explicita z = f(x, y) su representación paramétrica es: ⃗⃗ r⃗(x, y) = xi⃗ + yj⃗ + f(x, y)k

Vectores normales y planos tangentes Sea S una superficie paramétrica dado por: ⃗⃗ ⃗r⃗(u, 𝑣) = x(u, 𝑣)i⃗ + y(u, 𝑣)j⃗ + z(u, 𝑣)k Sobre una región abierta D en la que x, y, z tiene derivadas parciales continuas, las derivadas parciales de ⃗r⃗ con respecto a u, v se define así: ∂x(u, v) ∂y(u, v) ∂z(u, v) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ru = ∂u ⃗i + ∂u ⃗j + ∂u ⃗⃗ k;

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑣 =

𝜕𝑥(u, 𝑣) 𝜕𝑦(u, 𝑣) 𝜕𝑧(u, 𝑣) ⃗⃗ ⃗i + ⃗j + k 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣

Cada una de estas derivadas parciales es una función vectorial interpretada geométricamente en términos de vectores tangentes, es decir: si 𝑣 ≠ 𝑣0 se mantiene constantes, entonces ⃗⃗⃗𝑟(u, 𝑣) es una función vectorial de un único parámetro y define una curva 𝐶1 en la superficie S El vector tangente a C1 en el punto (x(u0 , v0 ), y(u0 , v0 ), z(u0 , v0 ) viene dada por: ⃗⃗⃗⃗⃗ rv (u0 , v0 ) =

∂x(u0 , v0 ) ∂y(u0 , v0 ) ∂z(u0 , v0 ) ⃗⃗ ⃗i + ⃗j + k ∂u ∂u ∂u

En forma análoga si 𝑢 = 𝑢0 se mantiene constante ⃗⃗⃗𝑟(u, 𝑣) es una función vectorial de un único parámetro que describe una curva 𝐶2 en la superficie S. El vector tangente a (x(u0 , v0 ), y(u0 , v0 ), z(u0 , v0 )) viene dado por: ⃗⃗⃗⃗⃗ rv (u0 , v0 ) =

S

en

∂x(u0 , v0 ) ∂y(u0 , v0 ) ∂z(u0 , v0 ) ⃗⃗ ⃗i + ⃗j + k ∂v ∂v ∂v

el

punto:

Vector normal a una superficie paramétrica suave: Sea S una superficie paramétrica suave 𝑟⃗⃗ (𝑢, 𝑣) = 𝑥(𝑢, 𝑣)𝑖 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝑗 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝑘⃗ definida sobre una región abierta D del plano UV. Sea (𝑢0 , 𝑣0 ) un punto de D, un vector normal en el punto (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑍0 ) = (𝑥(𝑢0 , 𝑣0 )𝑖 + 𝑦(𝑢0 , 𝑣0 )𝑗 + 𝑧(𝑢0 , 𝑣0 )𝑘⃗), viene dado por:

⃗𝑵 ⃗ = (𝑟⃗⃗ 𝑢 (𝑢0 , 𝑣0 )𝑥 𝑟⃗⃗ 𝑣 (𝑢0 , 𝑣0 ) =

𝑖

𝑗

𝑘⃗

𝜕𝑥 || 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣

𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣

𝜕𝑧 | 𝜕𝑢| 𝜕𝑧 𝜕𝑣

Ejemplo: Hallar una ecuación del plano tangente a la superficie 𝑟⃗⃗ (𝑢, 𝑣) = 2 𝑢 cos 𝑣 𝑖 + + 3 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑣 𝑗 + 𝑢2 𝑘⃗ en el punto (0,6,4).

Solución: 𝜋

El punto del plano UV que se aplica en el punto (x, y, z) = (0,6,4) es ( u, v ) = ( 2, 2 ) la derivada parcial de 𝑟⃗⃗ es:

⃗⃗ 𝑟𝑢 𝑣) = 2 cos 𝑣 𝑖⃗ + 3 𝑠𝑒𝑛𝑣 𝑗⃗ + 2 𝑢 𝑘 ⃗⃗⃗⃗(𝑢, { 0 ⃗⃗ 𝑟𝑣 𝑣) = −2 u cos 𝑣 𝑖⃗ + 3 𝑠𝑒𝑛𝑣 𝑗⃗ + 0 𝑘 ⃗⃗⃗⃗(𝑢,

𝜋

𝑟𝑢 (2, ) = (0,3,4) ⃗⃗⃗⃗ 2

𝜋

0

⃗𝑟⃗⃗𝑣 (2, ) = ( −4, 0,0) 2

{

0

𝑖⃗ 𝑗⃗ 𝑘⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝑵 𝑟𝑥 𝑥 ⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑦 = | 0 3 4| = (0, −16,12) = −4 (0,4, −3) −4 0 0

⃗ (𝑥 − 0, 𝑦 − 6, 𝑧 − 4) = 0 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: P: ⃗𝑵 𝑷: (0,4, −3) (𝑥, 𝑦 − 6, 𝑧 − 4) = 0 P: 4y – 3z = 12

Área de Superficie: Caso 1: Sea S es una superficie paramétrica uniforme definida por: 𝑟⃗⃗ (𝑢, 𝑣) = 𝑥(𝑢, 𝑣)𝑖 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝑗 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝑘⃗

(u,v)∈𝐷

Y S es cubierta sólo una vez cuando ( u, v ) varía en todo el dominio D, entonces el área de la superficie de S es: 𝒐

𝑨 = ∬ ‖⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒖 𝒙 ⃗⃗⃗⃗‖ 𝒓𝒗 𝒅𝑨 = 𝑫

Ejemplo: Identificar y hacer un esbozo de la gráfica de la superficie paramétrica S dado por: 𝑟⃗⃗ (𝑢, 𝑣) = 3 cos 𝑢 𝑖 + + 3 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑗 + 𝑣 𝑘⃗

0

0

𝑨 = ∬ 𝑑𝑆 = ∬ ‖⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑢 𝑥 ⃗⃗⃗⃗‖ 𝑟𝑣 𝑑𝐴 = 𝑆

𝐷

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:

𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ⃗⃗ 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ⃗⃗ ⃗𝑟⃗⃗𝑣 = 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘 { 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝑟𝑢 = ⃗⃗⃗⃗

Nota: Para el caso de una superficie dada por la ecuación z = f ( x , y ) cuya parametrización es la función vectorial 𝑟⃗⃗ (𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑘⃗ Definida: Sobre la región R del plano XY de donde: 𝑟⃗⃗ 𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑘⃗ 𝑟⃗⃗ 𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑗 + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑘⃗

Sobre la región R del plano XY de donde 𝑟𝑥 ⃗⃗⃗⃗(x,y)= 𝑖⃗ + 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑘⃗⃗ 𝑟𝑦 𝑦) = 𝑗⃗ + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑘⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗(𝑥, 𝑖⃗ 𝑗⃗ Se observa que: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒙 x ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒚 = |1 0 0 1

𝑘⃗⃗ 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)| = (−𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) − 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦). 1) 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)

⃗⃗⃗⃗⃗𝒙 𝒙 ⃗⃗⃗⃗⃗‖ 𝒓𝒚 = √1 + 𝑓𝑥2 (𝑥, 𝑦) + 𝑓𝑦2 (𝑥, 𝑦) ; de donde el área de superficie S es: ‖𝒓 0

0

𝐴(𝑆) = ∬ ‖𝑟⃗⃗⃗⃗𝑥 𝑥 ⃗⃗⃗⃗‖𝑑𝐴 𝑟𝑦 = ∬ √1 + (𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦))2 + (𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦))2 𝑑𝐴 𝑅

𝑅

Ejemplo. - Hallar el área de la esfera unitaria dada por la ecuación siguiente: 𝑟⃗(𝑢, 𝑣) = 𝑠𝑒𝑛𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑖⃗ + 𝑠𝑒𝑛𝑢. 𝑠𝑒𝑛𝑣 𝑗⃗ + 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑘⃗⃗ , donde el dominio D está dado por: 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝜋 , 0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋

Solución Calculando las derivadas parciales de 𝑟⃗(𝑢, 𝑣) : ⃗⃗ 𝑟⃗⃗⃗⃗(𝑢, 𝑣) = 𝑐𝑜𝑠𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑣𝑖⃗ + 𝑐𝑜𝑠𝑢. 𝑠𝑒𝑛𝑣𝑗⃗ − 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑘 𝑢 { 0 ⃗⃗ ⃗𝑟⃗⃗(𝑢, 𝑣) = −𝑠𝑒𝑛𝑢. 𝑠𝑒𝑛𝑣𝑖⃗ + 𝑠𝑒𝑛𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑣𝑗⃗ − 0𝑘 𝑣 El producto vectorial de estos dos vectores es:

𝑖⃗ 𝑟𝑥 𝑥 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑦 = | 𝑐𝑜𝑠𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑣 −𝑠𝑒𝑛𝑢. 𝑠𝑒𝑛𝑣

𝑗⃗ 𝑐𝑜𝑠𝑢. 𝑠𝑒𝑛𝑣 𝑠𝑒𝑛𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑣

𝑘⃗⃗ −𝑠𝑒𝑛𝑢| 0

= 𝑠𝑒𝑛2 𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑖⃗ +𝑠𝑒𝑛2 𝑢. 𝑠𝑒𝑛𝑣 𝑗⃗ + 𝑠𝑒𝑛𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑘⃗⃗

‖𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑣 = √𝑠𝑒𝑛4 𝑢. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑟 + 𝑠𝑒𝑛4 𝑢. 𝑠𝑒𝑛2 𝑣 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑢. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑢 𝑢 𝑥 ⃗⃗⃗⃗‖

= √𝑠𝑒𝑛4 𝑢(𝑐𝑜𝑠2 𝑣 + 𝑠𝑒𝑛2𝑣) + 𝑠𝑒𝑛2 𝑢 . 𝑐𝑜𝑠2 𝑢 = √𝑠𝑒𝑛4𝑢 + 𝑠𝑒𝑛2𝑢. 𝑐𝑜𝑠2 𝑢 = √𝑠𝑒𝑛2 𝑢(𝑠𝑒𝑛2 𝑢 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑢) = 𝑠𝑒𝑛𝑢 , sen u>0 para 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝜋 0

0

2𝜋

𝜋

𝐴 = ∬ ‖⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑢 𝑥 ⃗⃗⃗⃗‖ 𝑟𝑣 𝑑𝐴 = ∬ 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 = ∫ (∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑢)𝑑𝑣 = 4𝜋𝑢2 𝐷

𝐷

0

0

Ejemplo. – Hallar el área de una superficie del toro dado por la ecuación: 𝑟⃗(𝑢, 𝑣) = (2 + 𝑐𝑜𝑠𝑢)𝑐𝑜𝑠𝑣𝑖⃗ + (2 + 𝑐𝑜𝑠𝑢)𝑠𝑒𝑛𝑣𝑗⃗ + 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑘⃗⃗ , donde el dominio D viene determinado por 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋 y 0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋.

Solución Calculando sus derivadas parciales de 𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑣 𝑢 , ⃗⃗⃗⃗. ⃗⃗ 𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑢 = −𝑠𝑒𝑛𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑣𝑖⃗ − 𝑠𝑒𝑛𝑢. 𝑠𝑒𝑛𝑣𝑗⃗ + 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑘 𝑟𝑣 = −(2 + 𝑐𝑜𝑠𝑢)𝑠𝑒𝑛𝑣𝑖⃗ + (2 + 𝑐𝑜𝑠𝑢)𝑐𝑜𝑠𝑣𝑗⃗ + 0𝑘⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

El producto vectorial de estos vectores es:

𝑖⃗ 𝑗⃗ 𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑥 𝑟 ⃗⃗⃗⃗ = | −𝑠𝑒𝑛𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑣 −𝑠𝑒𝑛𝑢. 𝑠𝑒𝑛𝑣 𝑢 𝑣 −(2 + 𝑐𝑜𝑠𝑢) (2 + 𝑐𝑜𝑠𝑢)𝑐𝑜𝑠𝑣

𝑘⃗⃗ 𝑐𝑜𝑠𝑢| 0

‖𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑣 = (2 + 𝑐𝑜𝑠𝑢)√𝑐𝑜𝑠 2 𝑣. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑢 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑣. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑢 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑢 = 2 + 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑢 𝑥 ⃗⃗⃗⃗‖

2𝜋

2𝜋

𝐴 ∬‖𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑣 = ∫ (∫ (2 + 𝑐𝑜𝑠𝑢)𝑑𝑢)𝑑𝑣 = ∫ 𝑢 𝑥 ⃗⃗⃗⃗‖𝑑𝐴 0

𝐷

2𝜋

2𝜋

0

(2𝑢 + 𝑠𝑒𝑛𝑣)|

0

0

2𝜋

𝑑𝑣 = ∫ 4𝜋 𝑑𝑣 = 8𝜋 2 0

Conclusión: -

Las superficies parametrizadas están R3, dimensional. Se necesita de u,v para poder integrar una superficie. Una superficie es el recorrido de A a B, donde A es un subconjunto de R2 y B es un subconjunto de R3.

De la siguiente forma: 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑥 (𝑢, 𝑣) + 𝑦 (𝑢, 𝑣) + 𝑧 (𝑢, 𝑣) -

Sea S es una superficie paramétrica uniforme definida por:

𝑟⃗⃗ (𝑢, 𝑣) = 𝑥(𝑢, 𝑣)𝑖 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝑗 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝑘⃗

(u,v)∈𝐷

Y S es cubierta sólo una vez cuando ( u, v ) varía en todo el dominio D, entonces el área de la superficie de S es: 𝒐

𝑨 = ∬ ‖⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒖 𝒙 ⃗⃗⃗⃗‖ 𝒓𝒗 𝒅𝑨 = 𝑫

Bibliografía:

Espinoza, Ed. “Análisis Vectorial III” eduk.Peru2012. Lima – Perú Larson. “Análsis Matemático”