• Author / Uploaded
• Hugo Rodríguez Cuervo

Citation preview

Superficies Alabeadas y sus desarrollos aproximados 1. Introducción: qué es la geometría descriptiva. La Geometría Descriptiva es la ciencia de representación gráfica, sobre superficies bidimensionales, de los problemas del espacio donde intervengan, puntos, líneas y planos. También se conoce como Método Monge, en honor al hombre que la organizó y desarrolló: Gaspar Monge(1746-1818) finales del siglo XVII. 1 Esta ciencia cumple dos objetivos principales: el primero es facilitar el método para representar sobre un papel que posee dos dimensiones longitud y latitud; todos los cuerpos de la naturaleza, que tienen tres dimensiones, longitud, latitud y profundidad. El segundo objetivo es dar, por medio de una precisa descripción, la forma de los cuerpos y deducir todas las verdades que resultan de esas formas o de sus posiciones respectivas. 2 Los elementos de la geometría descriptiva son la recta, el punto, la línea y el plano.

El desarrollo de las superficies El desarrollo de una superficie es la figura plana que se obtiene al desdoblar su superficie total en un plano; cada línea de un desarrollo muestra la longitud real de la línea correspondiente en la superficie del cuerpo 3. Si no se puede realizar este procedimiento, se diría entonces que la superficie no es desarrollable. Las superficies regladas: superficies desarrollables y superficies alabeadas. Cuando una recta se desplaza de acuerdo a ciertas leyes se puede aceptar que engendra una superficie, la recta de llama generatriz. Consideramos que una superficie será reglada. Siempre que pueda generarse con una recta en ciertos estados de movimiento, independientemente de que la misma superficie pudiera engendrarse por aluna curva bajo otras condiciones de movimiento. 1 (Correa, 2013) 2 ibid 3 (Wellman, 1987)

Toda superficie que no pueda generarse por una recta en movimiento será considerada como no reglada. Según sean las leyes que gobiernan el desplazamiento de la recta generatriz así serán los diversos tipos de las superficies regladas. Existen diversos tipos de superficies regladas, entre ellas la más simple: el plano. Lo que las hace variar son las leyes que gobiernan el desplazamiento de la recta generatriz. Existen dos grandes grupos, las superficies desarrollables y las alabeadas. -Superficies desarrollables. Puede lograrse su desarrollo procediendo análogamente al de los poliedros 4, puesto que ambas pueden considerarse constituidas por múltiples caras planas. Es una característica típica de las superficies regladas desarrollables es que dos posiciones consecutivas cualesquiera de su generatriz recta cumplen con la condición principal de concurrencia en un punto, o de paralelismo entre sí. La generatriz se obliga a pasar por un mismo punto fijo; o bien, a desplazarse siempre paralela a sí misma. Debido a esto cada par de elementos rectilíneos consecutivos están colocados en el mismo plano. Dos ejemplos de estas superficies son las superficies cónicas y las cilíndricas. -Superficies alabeadas Una superficie alabeada contiene sus puntos no coplanares. Esto quiere decir que no se encuentran en el mismo plano, a diferencia de las anteriores. Dos posiciones consecutivas cualesquiera de su generatriz recta se cruzan en el espacio; no son paralelas ni concurrentes. Debido a esto, no pueden ser desarrolladas.

Como su nombre lo indica, pueden extenderse en un solo plano sin que se produzca en ellas rotura o deformación en sus elementos geométricos y su desarrollo es muy similar a la de los poliedros, que están construidos por caras planas, de manera que cada pareja e ellas presentará en común una recta, su intersección, la cual puede servir para que una cara gire hasta coincidir con el plano de la otra. Si tal operación se repite adecuadamente finalmente encontraremos el conjunto repartido en un solo plano, el de la cara elegida arbitrariamente. Entonces se podría decir que la superficie del poliedro ha sido desarrollada. (Betancourt, 1969) 4

Como ejemplo de la generación de una superficie reglada alabeada recurriré al ejemplo de Betancourt5: Se pueden suponer las dos rectas A y B que se cruzan y que están fijas en el espacio. Tales rectas son las directrices de la superficie que se engendra haciendo mover a la generatriz G de modo que siempre se apoye en ellas. Si, como se dijo, las dos directrices A y B son dos rectas que se cruzan, no determinarán ningún plano; entonces la recta G, generatriz, al desplazarse apoyándose siempre en ellas no podrá generar un plano; se trata de una superficie reglada alabeada. Dos posiciones consecutivas cualquiera de la generatriz G se cruzan. Para calcular la intersección de una superficie alabeada como un plano se unen los puntos de intersección de las generatrices con el plano secante.La intersección de cualquier superficie alabeada con otra se obtiene calculando las intersecciones de las generatrices de las dos. 6 Existe otra posibilidad de formación a partir de estas condiciones; en caso de que la directriz G se desplace de manera paralela a un plano fijo P (al cual no son paralelas ninguna de las rectas directrices), la superficie reglada alabeada que se genera es una7 Según Wellman, Las superficies alabeadas y las de doble curvatura, a pesar de no contener superficies ni líneas rectas o planas pueden ser aproximadamente desarrolladas, con una exactitud que es suficiente para muchos propósitos prácticos. (Wellman, 1987)

Desarrollo de paraboloide hiperbólico. Los paraboloides hiperbólicos pueden ser desarrollados en dos modos distintos: el primero como superficie anticlástica a partir de “dos sistemas de líneas rectas hn e in, cada sistema paralelo a un plano director y ambos planos formando un ángulo arbitrario ω.” “Las líneas rectas hn que [se] intersecan a ambas directrices, siendo al mismo tiempo paralelas a un

5 (Betancourt, 1969) 6 (Gulias, 2010) 7 (Betancourt, 1969)

plano xOz llamado plano director, definen la superficie. Se les denomina el primer sistema de generatrices.” 8 El segundo sistema de generatrices in son rectas paralelas a un segundo plano director yOz, el cual, a su vez, también es paralelo a las directrices HOD y ABC. Seguidamente, también con el eje z vertical, se puede representar a los paraboloides hiperbólicos como una superficie sinclástica de traslación generados por una parábola principal que se mueve paralelamente a si misma, a lo largo de otra parábola principal invertida. “Por consiguiente la superficie tiene dos sistemas de generatrices parabólicas. Cada sistema está compuesto por parábolas idénticas, situadas en planos paralelos.” 9

8 (Faber, 1970) 9 (Faber, 1970)

Conclusiones: Es claro que los conocimientos geométricos y matemáticos han avanzado más rápidamente en lo que respecta a sus aplicaciones en procedimientos constructivos, y este es el caso de las superficies alabeadas. Sólo as superficies regladas alabeadas encuentran una aplicación muy extendida en la construcción de cubiertas, tejados, ajustes de tuberías, engranajes, torres de refrigeración de centrales nucleares, engranajes hiperbólicos para ajustar ruedas cuyos ejes se cruzan, etc. 10 Las demás no son aplicables a la realidad, sin embargo, el hecho de que existan en la dimensión teórica no les resta importancia, nuestro entendimiento abstracto el universo se enriquece, un universo tan basto que podemos seguir encontrando nuevos elementos y nuevas formas de interpretar lo que los cálculos tienen para decirnos. Panofsky cuestiona el hecho de que llamemos “realidad” a lo que vemos, ya que esta impresión se constituye a partir de nuestra percepción sensorial, cuando la abstracción nos lleva mucho más allá de nuestros límites psico-fisiológicos. 11

10 (Gulias, 2010) 11 (Panofsky, 1999)

Fuentes de consulta: Betancourt, J. (1969). Elementos de la Geometría Descriptiva. México. Correa, J. (2013). Biblioteca virtual de la Facultad de Arquitectura UNAM. Recuperado el 25 de julio de 2015, de Fundamentos de Geometría Descriptiva : http://sistemaucem.edu.mx/bibliotecavirtual/oferta/licenciaturas/arquitec tura/LARQ210/fundamentos_de_geometria_descriptiva.pdf Faber, C. (1970). Las estructuras de Candela . Méxco: Editorial Continental . Gulias, M. (5 de julio de 2010). Superficies Regladas Alabeadas . Recuperado el 25 de julio de 2015, de http://superficies-regladasalabeadas.blogspot.mx/ Panofsky, E. (1999). La Perspectiva Como "Forma Simbólica". México: Tuquets. Wellman, B. (1987). Geometría Descriptiva. Barcelona: Editorial Reverté.