Stephen J. Chapman - Maquinas Electricas (2006, McGraw-Hill Interamericana)
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Máquinas eléctricas Tercera edición B.
222 CRO
es
621.310.42 Ch22 2000 e.3
MC
awfrankmat@ hotmail. com
Stephen J. C hapman EN T..... ... . ......:.WAS S E S
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MÁQUINAS ELÉCTRICAS TERCERA EDICIÓN
STEPHEN J. CHAPMAN British
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Traducción EDUARDO ROZO CASTILLO Ingeniero electricista Profesor de la Escuela Colombiana de Ingeniería
Revisión técnica JOSÉ
ANÍBAL RAMÍREZ ÁVILA
Ingeniero electricista Profesor y asesor industrial
ZUELA.
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ECNOLOGIA yt
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Santa Fe de Bogotá . Buenos Aires. Caracas . Guatemala • Lisboa • Madrid - México New York. Panamá • San Juan • Santiago de Chile • São Paulo Auckland • Hamburgo . Londres . Milán · Montreal · Nueva Delhi París
San Francisco San Luis • Singapur Sidney Tokio Toronto
CONTENIDO BREVE
1. Introducción a los principios de máquinas 2. Transformadores 61
3. Introducción a la electrónica de potencia 154 4. Fundamentos de máquinas de corriente alterna (ac) 233
5. Generadores sincrónicos 272
6. Motores sincrónicos 351
7. Motores de inducción 387 8. Fundamentos de máquinas de corriente continua (dc) 483
9. Motores y generadores de corriente continua 546
10. Motores monofásicos y motores especiales
653 703 726
Apéndice A Repaso de circuitos trifásicos Apéndice
B
Paso de bobina y devanados distribuidos Apéndice C Teoría de polos
salientes en máquinas sincrónicas Apéndice
D Tablas de constantes y factores de conversión
748 conve
759
Índice 761
CONTENIDO
1.
Introducción a los principios de máquinas 1-1 Máquinas eléctricas, transformadores y la vida diaria 1-2 Nota referente a las unidades 1-3 Movimiento rotatorio, ley de Newton y
relaciones de potencia 1-4 El campo magnético 1-5 Ley de Faraday: voltaje inducido por un campo magnético variable 1-6 Producción de fuerza inducida en un alambre 1 -7 Voltaje inducido
en un conductor que se mueve
en un campo magnético 1-8 Ejemplo sencillo de máquina lineal de corriente continua 1-9 Resumen 2.
Transformadores 2-1 Por qué son importantes los transformadores en la vida moderna 2-2 Tipos y construcción de transformadores 2-3 El transformador ideal 2- 4 Teoría de operación de transformadores monofásicos reales 2-5 Circuito equivalente de un transformador 2 -6 Sistema de
medida por unidad 2-7 Regulación de voltaje y eficiencia del transformador 2-8 Tomas (taps) y regulación de voltaje en el
transformador 2-9 El autotransformador 2-10 Transformadores trifásicos 2-11 Transformación trifásica utilizando dos transformadores 2-12 Valores nominales y problemas relacionados con los transformadores 2-13 Transformadores para instrumentos 2-14 Resumen 108 109 117 12 7 134
98 142 144
CONTENIDO
3. Introducción a la electrónica de potencia 3-1 Componentes de electrónica de potencia 3-2 Circuitos básicos de
rectificación 3-3 Circuitos de pulsos 3-4 Variación de voltaje mediante control de fase AC 3 -5 Control de potencia DC a DC: recortadores 3-6 Inversores 3-7
Cicloconvertidores 3-8 Problemas de armónicas 3-9 Resumen 154 154 164 172 1 80 188 196
209
219 225 233 233 241 251 254
Fundamentos de máquinas de corriente alterna 4-1 Espira sencilla en un
campo magnético uniforme 4-2 El campo magnético rotacional 4-3 Fuerza
magnetomotriz y distribución de flujo en máquinas AC 4-4 Voltaje
inducido en máquinas AC 4 -5 Par inducido en una máquina AC 4-6 Aislamiento del devanado en una máquina de corriente alterna 4-7 Flujo de potencia y pérdidas en máquinas de corriente alterna 4-8 Regulación de voltaje y regulación de velocidad 4-9 Resumen 261 265 265 267 269 Y
272 272 277 2 77 278 284 Y Y
Generadores sincrónicos
5-1 Construcción de generadores sincrónicos 5-2 Velocidad de rotación de un
generador sincrónico 5-3 Voltaje interno g enerado por un generador sincrónico 5-4 Circuito equivalente de un generador sincrónico 5-5 Diagrama fasorial de un generador sincrónico 5-6 Potencia y par en los generadores sincrónicos 5-7 Medición de los parámetros del modelo de generador sincrónico 5-8 El generador sincrónico operando solo 5-9 Operación en paralelo de
generadores AC 5-10 Transitorios en los generadores sincrónicos 5-11 Valores nominales en los generadores sincrónicos 5-12 Resumen
285 288 293 305 324 332 341 6. Motores sincrónicos
6-1 Principios básicos de operación de motores 6-2 Operación de estado estacionario del motor sincrónico 6-3 Arranque de motores sincrónicos 6-4 Generadores sincrónicos y motores sincrónicos 6-5 Valores nominales en los motores sincrónicos 6-6 Resumen
351 351 355 370
378
378 379
xii CONTENIDO
387 38 7 391 396 402 4 10 426
7. M otores de inducción
7-1 Construcción del motor de inducción 7-2 Conceptos básicos sobre motores de inducción 7-3 Circuito equivalente de un motor de inducción 7-4 Potencia y par en los motores de inducción 7-5 Características par-velocidad del motor de inducción 7-6 Variaciones en las características par-velocidad del motor de inducción 7 -7 Tendencias en el diseño de motores de inducción 7-8 Arranque de motores de inducción 7-9 Control de velocidad en motores de inducción 7-10 Controladores de estado sólido para motor de inducción 7-11 Determinación de los parámetros del circuito equivalente 7- 12 El generador de inducción 7 -13 Valores nominales en motores de inducción 7-14 Resumen 436 439 445 454 459 470 475 476 8. 483 483
495
Fundamentos de máquinas de corriente directa
8-1 Una espira sencilla que rota entre caras polares curvas 8-2 Conmutación en una máquina DC sencilla de cuatro espiras 8-3 Construcción del sistema de
conmutación y del inducido
en las máquinas DC reales 8-4 Problemas de conmutación en las máquinas reales
8-5 Ecuaciones de voltaje interno generado y par inducido en las máquinas DC reales 8-6 Construcción de las máquinas DC 8-7 Flujo de
potencia y pérdidas en máquinas DC 8-8 Resumen 498 514 525
532 537 540 546 546 548
575
549 551
576 584
Motores y generadores DC 9-1 Introducción a los motores DC 9-2 Circuito equivalente del motor DC 9-3 Curva
de magnetización de una máquina DC 9.4 Motores DC con excitación separada
y motores DC en derivación 9-5 Motor DC de imán permanente 9-6 Motor
DC serie 9-7 Motor DC compuesto . 9-8 Arrancadores para motores DC 9-9 Sistema Ward-Leonard y controladores de velocidad de estado sólido 9-10 Cálculos de eficiencia del motor DC 9-11 Introducción a los generadores DC 9-12 Generador de excitación separada 9-13 Generador DC en derivación 9-14 Generador DC serie 9-15 Generador DC compuesto acumulativo 590 5 98
611 613
615 622 628 630 UCU
xiii CONTENID O
9-16 Generador DC compuesto diferencial 9-17 Resumen
636 640
653
653
65 7
665
10. Motores monofásicos y motores especiales 10-1 El motor universal 10-2 Introducción a los motores de inducción monofásicos 10-3 Arranque de motores monofásicos de inducción 10-4 Control de velocidad en motores de inducción monofásicos 10-5 Circuito modelo de un motor monofásico de inducción 10-6 Otros tipos de motores 10-7 Resumen
675
678 686 699 703
703 706
Apéndice A Repaso de circuitos trifásicos
A-1 Generación de voltajes y corrientes trifásicas A-2 Voltajes y corrientes en un circuito trifásico A-3 Relaciones de potencia en circuitos trifásicos A4 Análisis de sistemas trifásicos balanceados A-5 Utilización del triángulo de potencias
710
714 722
Apéndice B Paso de bobina y devanados distribuidos B-1 Efecto del paso de bobina en las máquinas AC B-2 Devanados distribuidos en máquinas de corriente alterna B-3 Resumen 726 726 736
745 748
Apéndice C Teoría de polos salientes en máquinas sincrónicas C-1 Desarrollo del circuito equivalente de un generador sincrónico
de polos salientes C-2 Ecuaciones de par y de potencia de la
máquina de polos salientes 748 755
Apéndice D Tablas de constantes y factores de conversión 759
Índice 761
XIV
CAPÍTULO
INTRODUCCIÓN A LOS
PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
1-1
MÁQUINAS ELÉCTRICAS,
TRANSFORMADORES, Y L A VIDA DIARIA Una máquina eléctrica es un dispositivo que puede convertir energia mecánica en energía eléc trica o energía eléctrica en energía mecánica. Cuando este dispositivo es utilizado para convertir energía mecánica en energía eléctrica, se denomina generador, cuando convierte energía eléctri c a en energía mecánica, se llama motor. Puesto que puede convertir energía eléctrica en mecánica o viceversa una máquina eléctrica puede utilizarse como generador o como motor. Casi todos los motores y generadores útiles convierten la energía de una a otra forma a través de la acción de campos magnéticos. En este libro sólo se consideran las máquinas que utilizan campos
magnéticos para tales conversiones.
Otro aparato relacionado con los motores y los generadores es el transformador. Un trans
form ador es un dispositivo que convierte energía eléctrica de corriente alterna de cierto nivel de voltaje en energía eléctrica de corriente alterna de otro nivel de voltaje. Puesto que los transfor madores operan sobre los mismos principios que los generadores y los motores, dependiendo de la acción de un campo magnético para llevar a cabo el cambio del nivel de voltaje, se estudian junto con aquellos. Estos tres tipos de dispositivos eléctricos se encuentran en cualquier campo de la vida cotidiana moderna. En el hogar, los motores eléctricos hacen funcionar enfriadores, congelado res, aspiradoras, ventiladores, equipos de aire acondicionado, licuadoras y otros muchos apara tos similares. En los talleres, los motores suministran la fuerza motriz para casi todas las herramientas. En consecuencia, los generadores son necesarios para suministrar la energía a todos estos motores.
¿Por qué son tan comunes los motores y generadores eléctricos? La respuesta es muy simple: la energía eléctrica es una fuente de energía limpia y eficiente, fácil de controlar y transmi tir a largas distancias. Un motor eléctrico no requiere ventilación ni combustible constantes, a diferencia de los motores de combustión interna; por esta razón, es el adecuado en ambientes donde no son deseables los residuos contaminantes de la combustión. Además, la energía calorífica o la energía mecánica
pueden ser convertidas en energía eléctrica en sitios lejanos y ésta puede ser transmitida a largas distancias hasta cualquier hogar, oficina o fábrica donde se
CAPÍTULO 1
requiera. Los transformadores ayudan a este proceso reduciendo las pérdidas de energía entre el sitio de generación de energía eléctrica y el de utilización de ésta.
12 NOTA REFERENTE A LAS UNIDADES El estudio y diseño de las máquinas eléctricas se encuentran entre las áreas más antiguas de la ingeniería eléctrica. Su estudio comienza a finales del siglo diecinueve. En ese entonces las unidades eléctricas comenzaron a estandarizarse internacionalmente y llegaron a ser utilizadas por los ingenieros de todo el mundo. Volt, ampere, ohm, watt y unidades similares del sistema métrico de unidades han sido utilizadas para describir las cantidades eléctricas en las máquinas. En los países de habla inglesa, las cantidades mecánicas han sido medidas durante mucho
tiempo con el sistema inglés de unidades (pulgadas, pies, libras, etc.) Esta práctica se siguió en el estudio de máquinas. Por esa razón, durante muchos años las cantidades eléctricas y mecánicas se han medido con diferentes sistemas de unidades. En 1954 fue adoptado como norma internacional un sistema de unidades basado en el sistema métrico. Este sistema se conoce como Sistem a Inter nacional (SI ) y ha sido acogido en la mayor parte del mundo. Estados Unidos es prácticamente el único país que se ha mantenido en el sistema inglés ya que incluso Gran Bretaña y Canadá adoptaron el SI.
Las unidades del sistema internacional serán norma en los Estados Unidos con el tiempo, y las corporaciones internacionales harán uso de ellas en el futuro. Sin embargo, debido a que mucha gente ha crecido utilizando las unidades del sistema inglés, éste permanecerá en uso durante un buen tiempo. En la actualidad los estudiantes de ingeniería en los Estados Unidos deben estar familiarizados con ambos sistemas de unidades puesto que deberán utilizar ambos d urante sus vidas profesionales. Por lo anterior, este libro incluye ejercicios y ejemplos que utilizan unidades de ambos sistemas. El énfasis en los ejemplos se hace sobre las unidades
del ŞI, pero los viejos sistemas no se descartan por completo.
13 MOVIMIENTO ROTATORIO, LEY DE NEWTON Y RELACIONES DE POTENCIA
Casi todas las máquinas eléctricas rotan sobre un eje llamado eje de la máquina. Debido a la naturaleza rotatoria de la máquina, es importante tener un conocimiento básico del movimiento rotatorio. Esta sección contiene un breve repaso de los conceptos de distancia, velocidad, acele ración, ley de Newton y potencia, aplicados a las máquinas rotatorias. Para un análisis más detallado de los conceptos de dinámica rotatoria, veúnse l as referencias 1, 364.
En general, se requiere un vector tridimensional para describir la rotación de un objeto en el espacio. Sin embargo, dado que las máquinas giran sobre un eje fijo, su rotación queda restringi da a una dimensión angular. Con relación a un extremo del eje de la máquina, la dirección de r otación puede ser descrita ya sea en sen t ido de las manecillas del reloj (CW ) o en sentido contrario a las manecillas del reloj (CCW). Para los propósitos de este volumen, un ángulo de rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj será positivo y en sentido de las manecillas INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
del reloj, se asumirá negativo. Para la rotación sobre un eje fijo, todos los conceptos de esta sección se reducen a magnitudes escalares.
Enseguida se definen los conceptos importantes del movimiento rotatorio y se relacionan con la idea correspondiente en el movimiento rectilíneo. Posición angular 0 La posición angular de un objeto es el ángulo en que se sitúa, medido desde algún punto arbitrario de referencia. La posición angular se mide en radianes o grados;
corresponde al con cepto de distancia en el movimiento rectilíneo.
Velocidad angular w La velocidad angular es la tasa de cambio de la posición angular con respecto al tiempo. Es positiva si la rotación es contraria a la dirección de las manecillas del reloj.
La velocidad angular corresponde al concepto de velocidad lineal. Así como la velocidad lineal unidimensional está definida por la ecuación
(1-1) la velocidad angular se define mediante la ecuación
w = do (1-2) Si las unidades de la posición angular están en radianes, la velocidad angular se mide en radianes por segundo. Tratándose de máquinas eléctricas normales, los ingenieros utilizan con frecuencia unida des diferentes de radianes por segundo para describir la velocidad del eje. En general, la veloci dad angular se expresa en revoluciones por segundo o revoluciones por minuto. Puesto que la velocidad angular es un concepto tan importante en el estudio de las máquinas, es costumbre utilizar diferentes símbolos para la velocidad cuando se expresa en unidades diferentes, lo cual permite minimizar cualquier posible confusión en cuanto a las unidades. Los siguientes símbolos se utilizan en este libro para describir la velocidad angular;
fe n,
velocidad angular expresada en radianes por segundo
velocidad angular expresada en revoluciones por segundo v elocidad angular expresada en revoluciones por minuto
En estos símbolos el subíndice m i ndica una cantidad mecánica en contraposición a una cantidad eléctrica. Si no existe posibilidad alguna de confusión entre las cantidades mecánica y eléctrica, se omite el subíndice. CAPÍTULO 1
Estas medidas de velocidad del eje se relacionan entre sí mediante las siguientes ecuaciones:
Nm = 60fm (1-3a) (1-31)
Aceleración ángular a
La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular con respecto al tiempo. Es positiva si la velocidad angular se
incrementa en sentido algebraico. La aceleración angular corresponde a la aceleración en el movimiento rectilíneo. Así como la aceleración lineal unidimensional está definida por la ecuación (1-4) la aceleración angular se define mediante la ecuación
(1-5) Si las unidades de la velocidad angular están en radianes por segundo, la aceleración angular se mide en radianes por segundo cuadrado.
Par T En el movimiento rectilineo, una fuerza aplicada sobre un objeto ocasiona un cambio de veloci dad en éste. Si no se ejerce una fuerza neta sobre el objeto, su velocidad permanece constante.
Cuanto mayor sea la fuerza aplicada al objeto, más rápidamente cambiará su velocidad. En el movimiento rotatorio, existe un concepto similar. Cuando un objeto rota, su velocidad permanece constante a menos que se ejerza un par s obre él. Cuanto mayor sea el par aplicado al objeto, más rápidamente cambiará su velocidad angular. ¿Qué es par? El par puede llamarse con poca exactitud la “fuerza de torsión” aplicada al objeto. Este concepto es fácil de entender. Imagine un cilindro que rota libremente alrededor de su eje. Și se aplica una fuerza al cilindro, de manera que la línea de acción pase por el eje del cilindro (figura 1-1a), el cilindro no rotará. Sin embargo, si la misma fuerza se aplica de modo que su línea de acción pase a la derecha del eje del cilindro (figura 1-1b), el cilindro tenderá a rotar en dirección contraria a las manecillas del reloj. El par o acción de torsión sobre el cilindro depende de: 1) la magnitud de la
fuerza aplicada y 2) la distancia entre el eje de rotación y la línea de acción de l a fuerza. El par sobre un objeto se define como el producto de la fuerza aplicada al objeto por la distancia mínima entre la línea de acción de la fuerza y el eje de rotación del objeto. Si r es un IK Jn
INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
vector que apunta desde el eje de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza y si F es la fuerza aplicada, el par puede ser descrito como T = (fuerza aplicada) (distancia perpendicular)
= (F) (r sen ) -r F s en o (1-6)
donde es el ángulo entre el vector r y el vector F. La dirección del par tendrá el sentido de las manecillas del reloj si tiende a causar la rotación en sentido de las manecillas del
reloj y en sentido contrario a las manecillas del reloj, si tiende a causar la
rotación en este sentido (figura 1-2).
Las unidades del par son newton/m etro en las unidades del SI y libra/pie en el sistema inglés.
Ley de rotación de Newton La ley de' Newton en cuanto a objetos que se mueven en línea recta describe la relación entre la fuerza aplicada a un objeto y su aceleración resultante. Esta relación está dada por la ecuación F = ma
(1-7)
T = 0 El par es cero Par en sentido opuesto a las manecillas del reloj
Figura 1-1 a) Una fuerza aplicada a un cilindro de modo que pase por su eje de rotación T = 0. b) Una fuerza aplicada a un cilindro de manera que su línea de acción no pase por el eje de rotación. Aquí T va en sentido opuesto a las manecillas del reloj.
CAPÍTULO 1
donde F = fuerza neta aplicada al objeto m = masa del objeto a = aceleración resultante
En unidades SI, la fuerza se mide en newton, la masa en kilogramos y la aceleración en metros por segundo cuadrado. En el sistema inglés, la fuerza se mide en libras, la masa en slugs y la acelera ción en pies por segundo
cuadrado.
Una ecuación semejante describe la relación entre el par aplicado a un objeto y su acelera ción angular resultante. Esta relación, llamada ley de rotación de Newton, está dada por la ecuación T = Ja (1-8)
donde 7 es el par neto aplicado, expresado en newton/metro o libra/pie, y a e s la aceleración angular resultante expresada en radianes por segundo
cuadrado. El término J, que sirve el mismo propósito de la masa del objeto en el movimiento lineal, representa el momen t o de inercia del objeto y se mide en kilogramos/metro cuadrado o slu g/pi e cuadrado. El cálculo del momento de inercia de un objeto está fuera del alcance de este libro. Puede verse información al respecto en las referencias 1 ó 3 al final de este capítulo.
r sen (1809-0) = r sen 8 — — — —
| 180°-0
T = (distancia perpendicular) (fuerza) T = (r sen 8) F, e n sentido opuesto a las manecillas del reloj
Figura 1-2 O btención de la ecuación del par en un objeto. INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
Trabajo W En el movimiento lineal, el trabajo se define como la aplicación de una fuerza a través de una distancia, y se expresa mediante la ecuación
W = {F dr (1-9) donde se supone que la fuerza es colineal con la dirección del movimiento. Para el caso especial.
de una fuerza constante aplicada en forma colineal con la dirección del movimiento, esta ecuación se transforma en W = Fr
(1-10)
En el sistema ȘI, la unidad de medidad del trabajo es el joule, y la libra/pie en el sistema inglés. En el movimiento rotatorio, trabajo es la aplicación de un para través de un ángulo. E n este caso la ecuación es
Wdo
(1-11 ) y si el par es constante, W = (1-12)
Potencia P La potencia es la razón de cambio del trabajo o el incremento en el trabajo por unidad de tiempo. La ecuación de potencia es P - dw p=
(1-13) dt
Se mide generalmente en joules por segundo (watts), pero también puede medirse en libra/pie por segundo o en caballos de fuerza (HP). Aplicando esta definición y suponiendo que la fuerza es constante y colineal con la direc c ión del movimiento, la potencia está dada por
pa rty Fir) = f (d) = FV P=dW
(1-1 4) (1-14)
Así mismo, si el par es constante, en el movimiento rotatorio la potencia está dada por
P = TW (1-15) CAPÍTULO 1
La ecuación (1-15) es muy importante en el estudio de las máquinas eléctricas porque decribe la p otencia mecánica aplicada al eje de un motor o un generador.
La ecuación (1-15) es la relación correcta entre la potencia, el par y la velocidad, si la potencia está medida en watts, el par en newton/me tro y la velocidad en
radianes por segundo. Si se utilizan otras unidades para medir cualquiera de las cantidades indicadas, debe introducirse una constante en la ecuación como factor de conversión. Es
todavía común en los Estados Unidos medir el par en libra/pie, la velocidad en revoluciones por minuto y la potencia en watts (W) caballos de fuerza (HP). Si se emplean los factores de conversión adecuados en cada término, la ecuación (1-15) se convierte en 7(lb.pie) n (r/min) P ( watts) = 7.04
(1-16) (1-17) T(Ib.pie) n (r/min) P (caballos de
fuerza)= -
5252 donde
el par se mide en libra/pie y la velocidad en revoluciones por minuto.
1-4 EL CAMPO MAGNÉTICO Como se indicó antes, los campos magnéticos son el mecanismo fundamental
para convertir la energía de ca en energía de cc, o viceversa, en motores, generadores y transformadores. Existen cuatro principios básicos que describen cómo se utilizan los campos magnéticos en estos aparatos: 1. Un conductor que porta corriente produce un campo magnético a su alrededor. 2. Un
campo magnético variable con el tiempo induce un voltaje en una bobina de alambre si pasa a través de ésta (ésta es la base del funciona miento del tra nsfo rmador). 3. Un conductor que porta corriente en presencia de un campo magnético experimenta una fuerza inducida sobre él (ésta es la base del fun cionamie nto del motor). 4. Un conductor eléctrico que se mueva en presencia de un campo magnético tendrá un voltaje inducido en él (ésta es la base del funcionamient o del generador).
Esta sección describe y trata sobre la producción de un campo magnético por un conductor que porta corriente, mientras que las secciones posteriores de este capítulo explican los otros tres principios. Producción de un campo magnético La ley básica que gobierna la producción de un campo magnético por una corriente es la ley de Ampère:
H. dI = Imet 11-18)
INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
donde H es la intensidad de campo magnético producida por la corriente de En unidades del SI, I se mide en amperes y H, en amperes-vuelta por metro. Para entender mejor el significado de esta ecuación, es de gran ayuda aplicarla al sencillo ejemplo de la figura 1-3, que muestra un núcleo rectangular con un devanado de N vueltas de alambre enrollado sobre una de las ramas del núcleo. Si el núcleo es de hierro o algunos metales similares (llamados materiales ferromagnétic os), casi
todo el campo magnético producido por la corriente permanecerá dentro del núcleo, de modo que el camino de integración en la ley de Ampère es la longitud media del núcleo l. La corriente que pasa por el camino de integración le s entonces Ni, puesto que la bobina de alambre corta dicho camino N veces mientras porta la corriente i. La ley de Ampère se expresa entonces
Hl. = Ni
(1-19)
donde H es la magnitud del vector de intensidad de campo magnético H. De esta manera, la magnitud de intensidad de campo magnético en el núcleo debido a la corriente aplicada es
H = (1-20) La intensidad de campo magnético H es, de alguna manera, una medida del "esfuerzo" de una corriente por establecer un campo magnético. La potencia del campo magnético producido en el núcleo depende también del material de éste. La relación entre la intensidad de campo magnético H y la densidad de flujo magnético resultante B producida dentro del material está d ada por B = uH
(1-21)
N vueltas
Sección transversal
Longitud media
Figura 1-3 Un núcleo magnético sencillo.
CAPÍTUL O
1
donde H = intensidad de campo magnético
u = p ermeabilidad magnética del material B = densidad de flujo magnético resultante
La densidad de flujo magnético real producida en una sección del material está dada enton ces por el producto de d os términos: H que representa el esfuerzo de la corriente por establecer un campo magnético de que representa la facilidad relativa para establecer un campo magnético en un material dado
La intensidad de campo magnético se mide en ampere-vuelta por metro, la permeabilidad en henrys por metro y la densidad de flujo resultante en webers por metro cuadrado, conocido como teslas (T).
La permeabilidad del espacio libre se denomina m, y su valor es Mo = 4 7 1 X 10-7 H/m
(1-22)
La permeabilidad de cualquier material comparada con la permeabilidad del espacio libre se deno mina permeabilidad relativa:
th en yo u
(1-23) La permeabilidad relativa es una medida útil para comparar la capacidad de magnetización de los materiales. Por ejemplo, los aceros utilizados en las máquinas
modernas tienen permeabilidades relativas de 2000 a 6000 o más. Esto significa que, para una cantidad de corriente dada, en la sección de acero, habrá entre 2000 y 6000 veces más flujo que en la sección correspondiente en el aire. (La permeabilidad del aire es la misma que la del espacio libre.) Los metales que forman los núcleos de un
transformador o de un motor cumplen un papel de extrema importancia para incrementar y concentrar el flujo magnético en el aparato. Debido a que la permeabilidad del hierro es mucho mayor que la del aire, la mayor parte del flujo en un núcleo de hierro, como el que aparece en la figura 1-3, permanece dentro del núcleo en l ugar de viajar a través del aire circundante, cuya
permeabilidad es mucho más baja. La pequeña cantidad de flujo disperso que abandona el núcleo de hierro es muy importante para determinar el flujo ligado entre bobinas
y las autoinductancias de las bobinas en transformadores y motores.
En un núcleo como el mostrado en la figura 1-3, la magnitud de la densidad de flujo está dada por (1-24) D = UH - UNi
Y el flujo total en cierta área está dado por
$= BedA (1-25a)
10
INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
donde dA es la diferencial del área. Si el vector de densidad de flujo es perpendicular a un plano de área A y si la densidad de flujo es constante en toda el área, la ecuación se reduce a
0= B A
(1-256) De esta forma el flujo total en el núcleo de la figura 1-3, producido por la corriente i e n el d evanado, es 0 = BA = UMA
(1-26)
donde A es el área de la sección transversal del núcleo.
Circuitos magnéticos En la ecuación (1-26) se observa que la corriente en una bobina de alambre conductor enrollado alrededor de un núcleo produce un flujo magnético en éste. Esto es, en
cierta forma, análogo al voltaje que produce un flujo de corriente en el circuito eléctrico. Es posible definir un circuito magnético” cuyo comportamiento sea gobernado por ecuaciones análogas a aquellas estableci das para un circuito eléctrico. Con frecuencia, el modelo de circuito magnético del comportamien to magnético se utiliza en el diseño de máquinas y transformadores eléctricos para simplificar el proceso de diseño que, de otro modo, sería muy complejo.
En un circuito eléctrico sencillo como el de la figura 1-4a, la fuente de voltaje V genera una corriente I a lo largo de la resistencia R. La relación entre estas cantidades está dada por la ley de Ohm: V = IR
En el circuito eléctrico, el voltaje o fuerza electromotriz genera el flujo de corriente. Por analogía, la cantidad correspondiente en el circuito magnético se denomina fuerza magnetomotriz (mmf). La fuerza magnetomotriz de un circuito magnético es igual ai flujo efectivo de corriente aplicado al núcleo: F= N i (1 -27)
donde Fe s el símbolo de la fuerza magnetomotriz, medida en amperes-vuelta.
En el circuito magnético, al igual que la fuente de voltaje en el circuito eléctrico, la fuerza magnetomotriz tiene una polaridad asociada a ella. El ter minal p ositivo d e
la fuente mmf es el terminal de donde sale el flujo y el te rminal negativo es el terminal por donde el flujo retorna a la fuente. La polaridad de la fuerza magnetomotriz de una bobina de alambre puede ser determinada mediante la
regla de la mano derecha modificada; si la curvatura de los dedos de la mano derecha apunta en la dirección del flujo de corriente de la bobina, el dedo pulgar apuntará en la dirección positiva de la fuerza magnetomotriz (véas e figura 1-5). 11
CAPÍTULO 1
F = Ni < R 11 EL
Figura 1-4 a) Ci rcuito eléctrico sencillo. 1) C ircuito magnético análogo para el núcleo del transformador.
En un circuito eléctrico el voltaje aplicado ocasiona un flujo de corriente l. En forma similar, en un circuito magnético, la fuerza magnetomotriz
aplicada ocasiona un flujoo. La relación entre voltaje y corriente en un
circuito eléctrico está dada por la ley de Ohm (V=IR) ; en forma semejan te, la relación entre la fuerza magnetomotriz y el flujo es
= OR
(1-28)
donde F = fuerza magnetomotriz del circuito 0 = flujo del circuito R = reluctancia del circuito
La reluctancia d e un circuito magnético es el homólogo de la resistencia del circuito eléctrico y se mide en amperes-vuelta por weber. Existe también un análogo magnético de la conductancia. Así como la conductancia en el circuito eléctrico es el inverso de su resistencia, la permeancia P de un circuito magnético es el inverso de su reluctancia: (1-29)
La relación entre la fuerza magnetomotriz y el flujo puede ser expresada como O = FP (1-30)
En ciertas circunstancias, es más fácil trabajar con la permeancia del circuito magnético que con su reluctancia.
12 INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
Figura 1-5 Determinación de la polaridad de una fuente de fuerza magnetomotriz en un circuito
magnético.
¿C uál es la reluctancia del núcleo de la figura 1-3? En este núcleo el flujo está dado por la ecuación (1-26): = B4 = UNA
(1-26)
(1-31) Comparando la ecuación (1-31) con la ecuación (1-28), se observa que la reluctancia del núcleo es
R
(1-32)
En un circuito magnético, las reluctancias obedecen las mismas reglas que las resistencias en un circuito eléctrico. La reluctancia equivalente de un número de reluctancias en serie es la suma de las reluctancias individuales:
Reg = R1 + R2 + Rz +... (1-33)
13 CAPÍTUL O 1
De la misma forma, las reluctancias en paralelo se combinan de acuerdo con la ecuación
1 =1+1+1 Re g
Ri R2 R3
+.. . (1-34)
Las permeancias en serie y en paralelo obedecen las mismas reglas que las conductancias eléc tricas.
Los cálculos de flujo en el núcleo, obtenidos utilizando los conceptos del circuito magnéti
co, son siempre aproximaciones (en el mejor de los casos su aproximación está dentro del 5% del valor real). Existe un buen número de razones para esta inexactitud:
1. El concepto de circuito magnético supone que el flujo está confinado dentro del
núcleo, lo
cual no es cierto. La permeabilidad de un núcleo ferromagnético es de 2000 a 6000 veces la del aire, pero una pequeña fracción del flujo escapa del núcleo al
aire circundante de baja permeabilidad. Este flujo que sale del núcleo se denomina flujo disperso y es de gran impor tancia en el diseño de las máquinas eléctricas. 2. En el cálculo de la reluctancia se
supone cierta longitud media y una sección transversal del
núcleo. Asumir esto no es muy adecuado, especialmente en los ángulos de los núcleos. 3 . En los materiales ferromagnéticos, la permeabilidad varía con la cantidad de flujo presente
desde antes en el material. Este efecto de no linealidad, descrito en detalle más adelante, añade otra fuente de error al análisis del circuito
magnético puesto que las reluctancias utilizadas en el cálculo del circuito
magnético dependen de la permeabilidad del material, Si hay entrehierros en el camino del flujo en el núcleo, la sección transversal efectiva del entrehierro será mayor que la sección transversal del núcleo en cada lado del entrehierro. La
4.
sección extra efectiva se debe al “efecto marginal" (fringing effect) d el campo magnético en el entrehierro (figura 1-6).
Es posible eliminar parcialmente estas fuentes internas de error utilizando una longitud de recorrido media y una sección transversal "corregidas” o “efectivas en lugar de la longitud física y del área reales obtenidas en los cálculos.
Aunque existen muchas limitaciones inherentes al concepto de circuito magnético, éste es aún la herramienta más útil disponible para el cálculo de los flujos en el diseño práctico de las máquinas. Efectuar el cálculo exacto utilizando las ecuaciones de Maxwell es muy difícil, y no se r equiere puesto que con el método
aproximado se obtienen resultados satisfactorios.
Los siguientes ejemplos ilustran los cálculos básicos de circuitos magnéticos. Observe
que en estos ejemplos, las respuestas están dadas con tres cifras significativas,
Ejemplo 1-1 En la figura 1-7a s e observa un núcleo ferromagnético. Tres lados de este núcleo son de anchura uniforme, mientras que el cuarto es un poco más delgado. La profundidad del núcleo (hacia dentro de la página) es 10 cm, y las demás dimensiones
se muestran en la figura. Hay una bobina de 200 vueltas enrollada sobre el lado
izquicrdo del núcleo. Si la permeabilidad relativa u, es 2500, ¿qué cantidad de flujo producirá una corriente de 1 A en la bobina?
14
INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
Figura 1-6 Efecto marginal (fringing effect) de un campo magnético en u n entrehierro. Nótese el incremento de la sección transversal del entrehierro comparada con la sección
transversal del metal,
Solución. S e presentan dos soluciones a este ejercicio: una a mano y la otra utilizando el programa MATLAB, las cuales conducen a la misma respuesta.
Tres lados del núcleo tienen las mismas secciones transversales mientras que el cuarto lado tiene un área diferente. Entonces se puede dividir el núcleo en dos regiones: 1) la correspondiente al lado más delgado y 2) los otros tres lados en conjunto. El circuito magnético correspondiente a este núcleo se muestra en la figura 1-7b.
La longitud media de la región 1 es 45 cm y el área transversal, 10 x 10 = 100 cm. De esta forma, la reluctancia de esta región es
3. . (1-32)
MA, MMA, 0.45 m 5
(2500)(47 x 10-7X(0.01 m2) = 14,300 A vuelta/Wb
La longitud media de la región 2 es 130 cm y el área de la sección transversal, es 15 x 10 = 150 cm . De esta forma, la reluctancia de esta región es (1-32)
Re - Min - Miss = (2500)(474 x 10)(0.015 m?) 1.3 m
= 27,600 A- vuelta/Wb
15
CAPITULO 1
15 cm
30 cm
---**-10 cm --
--
15 cm
-
--
DN= 200 vueltas 30 cin
-
15 cm
---
-15 cm—
30 cm
pe 10 cm
F(= NI) (
Figura 1-7 a) El núcleo ferromagnético del ejemplo 1-1. h)
Circuito magnético correspondiente a a.
16 INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
Por tanto, la reluctancia total del núcleo es
Reg = R1 + R2
= 14,300 A vuelta/Wb + 27,600 A vuelta/Wb = 41,900 A vuelta/ Wb La fuerza magnetomotriz total es
F = Ni = (200 vueltas)(1.0 A) = 200 A . vuelta El flujo total en el núcleo está dado por 200 A . vueltas 1 4 1,900 A · vuelta/Wb = 0.0048 Wb
Este cálculo puede hacerse utilizando una copia del texto del MATLAB, si se desea. Se muestra una simple transcripción: Archivo M:ex1_1.m
Archivo M para calcular el flujo en el ejemplo 1-1. 11 = 0.45; %
Longitud de region 1 12 - 1.3; % Longitud de region 2 = 0.01; % Área de región 1 a 2 = 0.015; Área de region 2 ur = 2500; % Permeabilidad relativa 40 = 4*pi*1E-7; % Permeabilidad del espacio libre n = 200; % Número de vueltas sobre el núcleo i = 1; % Corriente en amperes
% Calcule la primera reluctancia rl = 11 / (ur * O * al); disp (['r1 = ' nun2str (rl)]);
% Calcule la segunda reluctancia r2 = 12 / (ur * u * a2); disp (['r2
= ' num2str (12)]);
% Calcule la reluctancia total rtot = rl + r2; % Calcule la fnmn Emin = n* i;
Finalmente, obtenga el flujo en el núcleo flujo = fmmrtoti 17 CAPITULO 1
Muestre el resultado disp (['flujo - ' num2str (flujo)]);
Cuando se ejecuta el programa, sus resultados son: » ex1_1 ri = 14323.9449
บก
Flujo = 0.004772 LT
Este programa produce la misma respuesta encontrada mediante los cálculos manuales. Ejemplo 1-2 La figura 1-8a m uestra un núcleo ferromagnético cuya longitud media es 40 cm. Hay un pequeño entrehierro de 0.05 cm en la estructura del núcleo. La sección transversal del núcleo es 12 cm-, la permeabilidad relativa del núcleo es 4000 y la bobina de alambre en el núcleo tiene 400 vueltas. Suponga que el efecto marginal en el entrehierro incrementa la sección transversal efectiva del entrehierro en un 5%. Dada esta información, encuentre a) la reluctancia total del camino del flujo (hierro más entrehierro) y b) la corriente requerida para producir una densidad de flujo de 0.5 Ten el entrehierro.
Solución. E l circuito magnético correspondiente a este núcleo se muestra en la
figura 1-8b. a) La reluctancia del núcleo es (1-32)
Ri=4 = 1 A; M,MDA, 0.45 m =
(2500)(47 x 10-7)(0.01 m2) = 14,300 A vuelta/Wb
El área efectiva del entrehierro es 1.05 x 12 cm = 12.6 cm", por tanto la reluctancia del entrehierro es
Ra - Moto (1-32) 0.0005 m (477 x 10-7X(0.00126 m) = 316,000 A. vuelta/Wb
Entonces, la reluctancia total en el camino del flujo es
Rey = R e + RA
= 66,300 A. vuelta /Wb + 316,000 A vuelta/W b = 382,300 A. vuelta /Wb
El entrehierro contribuye con la mayor cantidad de reluctancia a pesar de que su longitud es 800 veces menor que la del núcleo. 18 INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
N = 400 vueltas
0.05 cm
A = 12 cm le = 40 cm
Nc ( Reluctancia del núcleo) F ( = Ni ) + TH
< R (Reluctancia del entrehierro)
b)
Figura 1-8 a) Núcleo ferromagnético del ejemplo 1-2. h) C ircuito magnético correspondiente a a.
b) L a ecuación (1-28) establece que F = OR (1-28)
Puesto que el flujo o = BA y F = N i, esta ecuación se transforma en Ni = BAR entonces
i = BAR BAR N
(0.5 Ty(0.00126 m2)(382,300 A . vuelta /Wb) 400 vueltas = 0.602 A
Puesto que se requería el flujo en el entrehie rro, e l área efectiva de éste fue utilizada en la ecuación 19
CAPITUL O1
Ejemplo 1-3 La figura 1-9a muestra un rotor y un estator sencillos de un motor dc. La longitud media del recorrido del flujo en el estator es 50 cm, y su sección transversal es 12 cm2. La longitud media correspon diente al rotor es 5 cm y su sección transversal también es 12 cmo. Cada entrehierro entre el rotor y el e stator tiene un ancho de 0.05 cm y su sección transversal (incluido el efecto marginal) es 14 cm. El hierro
del núcleo tiene una permeabilidad relativa de 2000, y hay 200 vueltas alrededor del núcleo. Si la corriente en el alambre se ajusta a 1 A, ¿cuál será la densidad de flujo resultante en el entrehierro?
Solución. Para determinar la densidad de flujo en el entrehierro, es necesario calcular primero la fuerza magnetomotriz aplicada al núcleo y la reluctancia total en el recorrido del flujo. Con esta información se puede encontrar el flujo total en el núcleo. Finalmente, conociendo la sección transver sal del entrehierro, se puede calcular la densidad de flujo. La reluctancia del estator es
R, = Me, MO AS - (2000X(477 x 10-7)(0.0012 m2) =
0.5 m
166,000 A. vuelta/W b
La reluctancia del rotor es
MMA , 0.0 5 m (2000)(47 x 10-7)(0.0012 m2) =
16,600 A.
vuelta/Wb La reluctancia del entrehierro es
Ra = w, tot MrMoA, 0.0005 m (1)(47
x 10-7)(0.0014 m2) = 284,000 A.vuelta/Wb El circuito magnético correspondiente a esta máquina se muestra en la figura 1-96. La reluctancia total del camino del flujo es
Reg = R; + Rai + A, + Ral = 166,000 + 284,000 + 16,600 + 284,000 A .vuelta /W b = 751,000 A . vuelta/Wb
La fuerza magnetomotriz neta aplicada al núcleo es F=N i = (2 00 vueltas)(1.0 A) = 200 A -vuelta 20
INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
-
A = 12 cm N-200 vueltas
-1,= 5 cm L = 0.05 cm
la = 50 cm -
SR Reluctancia estatórica
ww www
ra, Reluctancia del entrehierro !
F( = Ni) R, Reluctancia rotórica
Play Reluctancia del entrehierro 2
Figura 1-9 a) Diagrama simplificado de un rotor y un estator de motor de cc. b) Circuito magnético correspondiente a a.
El flujo total en el núcleo es 200 A . vuelta R 751,000 A. vuelta/Wb =
0.00266 Wb
Finalmente, la densidad de flujo en el entrehierro del motor es D-_ 0.000266 Wb A 0.0014 m2 = 0.19 T
21 CAPÍTUL O 1
Comportamiento magnético de los materiales ferromagnéticos Al comienzo de esta sección, la permeabilidad magnética se definió mediante la ecuación
B = uH
(1-21)
Se indicó que la permeabilidad magnética de los materiales ferromagnéticos es muy alta, hasta
6000 veces la permeabilidad del espacio libre. En esa discusión y en los ejemplos que la siguieron, se supuso que la permeabilidad era constante, independiente de la fuerza magnetomotriz aplicada al material. Aunque la permeabilid ad es constante en el espacio libre, no lo e s en el hierro y en otros materiales ferromagnéticos.
Para ilustrar el comportamiento de la permeabilidad magnética en un material ferromagnético, se aplica una corriente directa al núcleo mostrado en la figura 1-3, comenzando en cero amperes e incrementándola lentamente hasta la máxima corriente posible.
Cuando se representa el flujo produc ido en el núcle o contra la fuerza magnetomotriz que lo produce, se obtiene u na gráfica como la de la figura 1-10a, la cual se denomina curva de
saturac ión o curva de magnetización. A l comienzo, un pequeño incremento en la fuerza
magnetomotriz produce un gran incremento en el flujo resultante. Después de cierto punto, aunque se incremente mucho la fuerza magnetomotriz, los incrementos en el flujo
serán cada vez más pequeños. Finalmente, el incremento de la fuerza magnetomotriz
casi no produce cambio en el flujo. La región de esta figura en la cual la curva se aplana se llama región de saturación, y s e dice que el núcleo está saturado. La región en la cual el núcleo cambia con rapidez se llama región no satura da d e la curva, y el núcleo no está s aturado. La región de transición entre las regiones no saturada y saturada se denomina a veces "rodilla" de la curva. Note que el flujo producido en el núcleo varía linealmente con la fuerza magnetomotriz aplicada en la región no saturada y se
aproxima a un valor constante, indepen diente de la fuerza magnetomotriz en la región saturada.
Otro diagrama estrechamente relacionado con el anterior se muestra en la figura 1-105. La figura 1-10b representa la densidad del flujo magnético B c ontra la intensidad de campo magné tico H. De las ecuaciones (1-20)y(1-25b),
H = 1 = BA
(1-20)
(1-25b)
es fácil deducir que la intensida d de campo magnét ic o es direct ame nte proporcional a la fuer za magnetomotriz, y que la densidad de f lujo magnético es directamente proporcional al flujo para un núcleo dado. Por tanto, la relación entre By Hes semejante a la relación entre el flujo y la fuerza magnetomotriz. La pendiente de la curva de densidad de flujo contra intensidad de campo magné tico para cualquier valor de H,
en la figura 1-105 e s por definición la permeabilidad del núcleo a dicha intensidad de campo magnético. La curva muestra que la permeabilidad es grande y relati vamente constante en la región no saturada, y que decrece de manera gradual hasta un valor muy bajo cuando el núcleo se encuentra saturado.
La figura 1-10c es la curva de magnetización de una pieza típica de acero mostrada más en detalle, y cuya intensidad de campo magnético está dada en una escala logarítmica. Sólo cuando
22
INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
la intensidad de campo magnético se expresa con logaritmos, la región de saturación de la curva puede detallarse en la gráfica.
La ventaja de utilizar núcleos de material ferromagnético en máquinas eléctricas y transfor madores radica en que al aplicarles cierta fuerza magnetomotriz se obtiene un flujo mayor que el obtenido en el aire. Sin embargo, si el flujo resultante debe ser proporcional o aproximadamente proporcional a la fuerza magnetomotriz aplicada, el núcleo debe ser operado dentro de la región no saturada de la curva de magnetización.
Puesto que los generadores y motores reales dependen del flujo magnético para producir el voltaje y el par, se diseñan para producir el máximo flujo posible. Como resultado, la mayoría de las máquinas reales operan cerca del punto
de rodilla de la curva de magnetización y, en sus núcleos, el flujo no está linealmente relacionado con la fuerza magnetomotriz que lo produce. Esta no linealidad se tiene en cuenta en las muchas conductas particulares de las máquinas que se explicarán en los próximos capítulos. El MATLAB se utilizará para resolver ejercicios que impli quen conducta no lineal de máquinas reales.
Ejemplo 1-4 Encuentre la permeabilidad relativa del material ferromagnético típico cuya curva de magnetización se muestra en la figura 1-10c cuando H = 50, H = 100, H - 500 y H = 1000 A. vuelta /m.
Solución. La permeabilidad de un material está dada por
y la permeabilidad relativa está dada por
.
(1-23) M Ho
Entonces, es fácil determinar la permeabilidad para cualquier intensidad de campo magnético. a) Cuando H = 50 A . vuelta/m, B = 0 .28 T, entonces
_B__ 0.28 T
50 A . vuelta/m
= 0.0056 H/m
= 4460
0.0056 H/m 477
x 10-7 H/m
b) Cuando H = 1 00 A . vuelta/m, B=0.72 T, entonces
0.72 T
- = 0.0072 H/m 100 A .vuelta'm
0.0072 H/m
- = 5730 47 x 10-7 H/m
. 23
23 CAPÍTULO 1
0, Wb B, T +
F, A. vuelta H, A .Vuelta/m
Densidad de flujo, T
10 20 5000 30 40 50 100 200 300 500 1000 2000 Intensidad de campo magnético H, A . vuelta/m
Figura 1-10 a) Curva de magnetización con cc para un núcleo
feitomagnético. b) Curva de magnetización en términos de densidad de flujo e intensidad de campo magnético. c) Curva de magnetización detallada para una pieza típica de acero.
24 INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
7000
6000
5000
u, a dimensional 3000
2000
1000
20 30 40 50 100 200 300 500 .000 Intensidad de campo inagnético H , A. vuelta/m
Figura 1-10 (contin uación) d) Dibujo de la permeabilidad relativa u, en función de la intensidad de campo H para una pieza típica de acero.
c) Cuando H = 5 00 A . vuelta/m, B = 1.40 T, entonces
.. B_ _1.40 T
- = 0.0028 H/m 500 A .vuelta/m
_
they = U melo
= 2230
0.0028 H/m 47
x 10-7 H/m
d) Cuando H = 1000 A . vuelta/m, B = 1.51 T, entonces 1.51 T 1000 vuelta/m = 0.00151 H/m
... M ee r lle - M o 0.00151 H/m = 1
= 1200 477 x 10-7 H/m ** 25 CAPITULO 1
Nótese que cuando la intensidad de campo magnético se incrementa, la permeabilidad pri mero se incrementa y luego comienza a decrecer. La permeabilidad relativa del material como función de la intensidad de campo magnético se
muestra en la figura 1-10d. Esta figura es la típica de todos los materiales
ferromagnéticos. De la curva de u, c ontra H, p uede observarse con claridad que
el haber supuesto como constante la permeabilidad relativa en los ejemplos 1-1 al 3 es válido únicamente en un rango no muy amplio de valores de intensidad de campo (o de fuerzas magnetomotrices).
En el siguiente ejemplo, se supone que la permeabilidad relativa no es constante. En cam bio, la relación entre By H se da en una gráfica, Ejemplo 1-5 Un núcleo magnético cuadrado tiene una longitud media de 55 cm y una sección
transversal de 150 cm?. Una bobina de 200 vueltas de alambre está enrollada en una de las columnas del núcleo. El núcleo está hecho de un material cuya curva de
magnetización se muestra en la figura 1-10c. a) ¿Cuánta corriente se requiere para producir un flujo de 0.012 Wh en el núcleo? b) ¿Cuál es la permeabilidad relativa del núcleo para esa corriente? c) ¿Cuál es su reluctancia? Solución a) La densidad de flujo requerida en el núcleo es
B = = 1.012 W► = 0.8T B A= 0.015 m2 =W. De la figura 1-10c, la intensidad de campo magnético requerida es H = 115A .vuelta/m De la ecuación (1-20), la fuerza magnetomotriz necesaria para producir esta intensidad de campo es F = Ni = HIC
= (115A • vuelta/m)(0.55 m) = 63.25 A . vuelta
entonces la corriente requerida es F 63.25 A .vucita - 0.316 A 200 vueltas
b) L a permeabilidad del núcleo para esta corriente es = 0.00696 H/m
H
Por tanto, la permeabilidad relativa es -
0.8T 115 A .vuelta/m
= 5540
1H o
0.00696 H/m
holi ng
0.00696 H/m 41
x 10-7H/m
c) La reluctancia del núcleo es F 63.25 A · vuelta – 5270 A .vuelta/Wb 0.012 Wb
26
INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
Pérdidas de energía en un núcleo ferromagnético En vez de aplicar una corriente continua a los devanados dispuestos sobre el núcleo, se aplica una corriente alterna para observar qué ocurre. D icha corriente se muestra en la figura 1-11a. Suponga que el flujo inicial en el núcleo es
cero. Cuando se incrementa la corriente por primera vez, el flujo en el núcleo sigue la trayectoria ab, dibujada en la figura 1-115. Ésta es básicamente la curva de saturación mostrada en la figura 1-10. Sin embargo, cuando la corriente decrece, el f lujo representado en la curva sigue una trayector ia diferente de la segu id a cuando la corri en te iba en aumento .C uando la corriente va decreciendo, el flujo en el núcleo sigue la trayectoria bcd y, m ás tarde, cuando la corriente se incrementa de nuevo, el flujo sigue la trayectoria deb. N ótese que la cantidad de flujo presente en el núcleo depende no sólo de la cantidad de corriente aplicada a los devanados del núcleo, sino también de la historia previa del flujo presente en el núcleo. Esta dependencia de la historia previa del flujo y el seguir una trayectoria diferente en la curva, se denomina histéresis . La trayectoria bcdeb descrita en la figura 1-11b, que representa la variación de la corriente aplicada, se denomina curva o lazo de histéresis.
70 (OB) ---
Flujo residual
+ F(OH) Fuerza magnetomotriz coercitiva F.
Figura 1-11 Curva o lazo de histéresis trazado por el flujo en un núcleo cuando se le aplica la corriente (1).
CAPITULO 1
Nótese que si primero se aplica al núcleo una fuerza magnetomotriz intensa y luego deja
de aplicarse, la trayectoria del flujo en el núcleo será abc. C uando se suspende la
fuerza magnetomotriz, el flujo no lle ga a cero ya que permanece cierto flujo en el núcleo, denominado flujo r esi dual (o flujo remanente), el cual es la causa de los imanes permanentes. Para que el flujo llegue a cero, se debe aplicar al núcleo, en dirección opuesta, cierta fuerza magnetomotriz llamada fuerza magnetomotriz coercitiva F. ¿Por qué ocurre la histéresis? Para entender el comportamiento de los
materiales ferromag néticos es necesario conocer algo de su estructura. Los átomos del hierro y de materiales simila res (cobalto, níquel y algunas de sus aleaciones) tienden a tener sus campos magnéticos fuertemente alineados entre sí. Dentro del metal hay unas pequeñas regiones llamadas domi ni os, en las que todos los átomos se alinean con sus campos magnéticos apuntando en una misma dirección, de modo que el dominio actúa dentro del material como un pequeño imán permanente. Una pieza de hierro no manifiesta polaridad magnética definida porque los dominios se encuen tran dispuestos al azar en la estructura del material. La figura 1-12 representa un ejemplo de la estructura de los dominios en un trozo de hierro.
Cuando se aplica un campo magnético externo a este trozo de hierro, los dominios orienta dos en dirección del campo exterior crecen a expensas de los dominios orientados en otras direcciones debido a que los átomos de sus vecindades cambian físicamente su orientación con el campo aplicado. Los átomos extras alineados con el campo incrementan el flujo magnético en el hierro, lo cual causa el alineamiento de más átomos que incrementan la intensidad del campo magnético. Este efecto de
realimentación positiva es la causa de que el hierro adquiera una permeabilidad mayor que el aire,
A medida que el campo magnético externo se fortalece, dominios completos alineados en otras direcciones se orientan como una unidad para alinearse con el campo.
F- 111-12 1x11 --x-111 UTELIERE DAVID TITI
Figura 1-12 a) Dominios magnéticos orientados al azar. b ) Dominios magnéticos alineados en presencia de un campo magnético externo.
28 INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
Por último, cuando casi todos los átomos y dominios en el hierro se han alineado con el campo
externo, el incremento de la fuerza magnetomotriz puede ocasionar tan sólo un aumento de flujo igual al que ocurriría en el espacio libre (cuando todos los dominios se encuentran alinea dos, no habrá más realimentación para reforzar el campo). En este momento, el hierro estará saturado c on el flujo. Ésta es la situación mostrada en la región saturada de la curva de magnetización en la figura 1-10.
La histéresis se produce porque cuando el campo magnético exterior se suprime, los domi nios no se ubican de nuevo al azar, ¿Por qué los dominios permanecen alineados? Porque los átomos requieren energía para recuperar su anterior posición. La energía para el alineamiento original fue provista por el campo magnético exterior, cuando el campo magnético exterior se s uprime, no hay fuente alguna que ayude a que los dominios regresen a sus posiciones. El trozo de hierro es ahora un imán permanente.
Una vez que los dominios se alinean, algunos de ellos permanecerán alineados hasta que se les aplique alguna fuente de energía externa para cambiar su orientación. Ejemplos de fuentes externas de energía que pueden cambiar los límites entre los
dominios o su alineamiento son la fuerza magnetomotriz aplicada en otras direcciones, un fuerte choque mecánico y el calor. Cual quiera de estos eventos
puede suministrar energía a los dominios para cambiar sus alineamientos (por esta razón un imán permanente puede perder su magnetismo si se deja caer, se golpea o se calienta).
El hecho de que cambiar la posición de los dominios requiere energía origina cierto tipo de pérdidas de energía en todas las máquinas y transformadores. Las pérdidas por histéresis en el núcleo de hierro corresponden a la energía requerida para reorientar los dominios durante cada ciclo de corriente altera aplicada al núcleo. Se puede demostrar que el área encerrada comprendida en la c urva de histéresis
formada al aplicar corriente alterna es directamente proporcional a la energía perdida en un ciclo dado de corriente alterna. Cuanto menores sean las
variaciones de la fuerza magnetomotriz aplicada al núcleo, el área de la curva de histéresis será menor y serán más pequeñas las pérdidas resultantes. La figura 1-13 muestra este hecho.
En este momento debe mencionarse otro tipo de pérdidas, causadas también por la varia ción del flujo en el núcleo: las pérdidas por corrientes parásitas, las cuales se explicarán poste riormente cuando se haya introducido la ley de Faraday. Las pérdidas por histéresis y las pérdidas por corrientes parásitas ocasionan calentamiento en los
núcleos y se deben tener en cuenta en el diseño de cualquier máquina o transformador. Puesto que estas pérdidas ocurren dentro del metal del núcleo, se agrupan en el nombre de pérdidas en el núcleo. 1-5
LEY DE FARADAY: VOLTAJE INDUCIDO POR UN CAMPO
MAGNÉTICO VARIABLE
Hasta aquí la atención se ha concentrado en la producción de un campo magnético y sus propie dades. Ahora, se examinará cómo un campo magnético puede afectar sus alrededores.
El primer gran efecto que debe considerarse es la ley de Faraday, base del funcionamiento del transformador. La ley de Faraday establece que si un flujo atraviesa una espira de alambre conductor, se inducirá en ésta un voltaje directamente proporcional a la tasa de cambio d el flujo con
respecto al tiempo, lo cual se expresa
mediante la ecuación
29 CAPÍTU LO 1
(O B)
+ * (o H) Área o de pérdidas por histéresis
Figura 1-13 Efecto del tamaño de las variaciones de la fuerza magnetomotriz en
la magnitud de las pérdidas por histéresis.
end = do (1-35)
donde eo es el voltaje inducido en la espira y o e s el flujo que atraviesa la espira. Si u na bobina tiene Ne spiras y el mismo flujo circula en todas, el voltaje inducido en toda la bobina estará dado por
lind = -n do (1 -36)
donde e = voltaje inducido en la bobina N = número de vueltas de alambre en la bobina
= flujo que circula en la bobina El signo menos en la ecuación es una expresión de la ley de Len z, la cual establece que la dirección del voltaje inducido en la bobina es tal que si los
extremos de ésta estuvieran en cortocircuito, se produciría en ella una corriente que generaría un flujo opuesto a l cambio del flujo inicial. Puesto que el voltaje
inducido se opone al cambio que lo causa, se incluye un signo menos en la ecuación (1-36). Para entender con claridad este concepto, observe la figura 1-14. Si e l flujo mostrado en la figura se incremen ta, e l voltaje que se forma en la bobina tenderá a crear un flujo que se opone a ese incremento. Una corriente
que fluya como se muestra en la figura 1-14b 30 INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
producirá ese flujo opuesto al incremento, y por ello el voltaje formado en la bobina debe tener la polaridad adecuada para dirigir esta corriente hacia el circuito externo. Entonces, el voltaje deberá concentrarse con la polaridad indicada en la figura. Puesto que la polaridad del voltaje puede deducirse del análisis físico, el signo menos
de las ecuaciones (1-35) y (1-36) se omite frecuente mente, y será omitido en el resto del libro. Al utilizar la ecuación (1-36) en la práctica, se presenta una dificultad mayor puesto que la ecuación establece que hay exactamente la misma cantidad de flujo en cada espira de la bobina. Por desgracia, esto no es
verdad debido al flujo que se dispersa en los alrededores de la bobina. Si las espiras están estrechamente ligadas, de modo que la mayor parte del flujo que circula en una espira también circula en las demás, la ecuación (1-36) dará respuestas válidas. Pero si la dispersión es significativa o si se requiere la máxima exactitud, se necesitará una expresión diferente que no s uponga tal hecho. La magnitud del voltaje en la i-ésima espira de la bobina está dada siempre por
d(0) Cind -
(1-37) di
Si hay N espiras en la bobina, el voltaje total en ésta es
eind -
(1-38) (1-39)
=() (1-40) Vi1
Dirección requerida de i
+
N vueltas
Dirección del flujo opuesto o creciente
Figura 1-14 Significado de la ley de Lenz.. a) Una bobina encierra un flujo
magnético creciente. b) Determinación de la polaridad del voltaje resultante.
31 CAPÍTULO 1
El término entre paréntesis en la ecuación (1-40) se denomina fluj o concatenado (o flujo ligado) de la bobina en términos de este flujo, la ley de Faraday puede rescribirse como
(141)
donde (142)
El flujo concatenado se mide en webers-vuelta. La ley de Faraday es la propiedad fundamental de los campos magnéticos que intervienen en la operación de los transformadores. El efecto de la ley de
Lenz se emplea para predecir la polaridad de los voltajes inducidos en los devanados del transformador.
La ley de Faraday también explica las pérdidas debidas a las corrientes parásitas antes mencionadas. Un flujo variable en el tiempo induce voltaje dentro de un núcleo ferromagnético de la misma forma que lo haría en un alambre conductor enrollado
alrededor del mismo núcleo. Estos voltajes causan flujos de corrientes que circulan en el núcleo, similares a los remolinos que se observan desde la orilla de un río; por esta razón reciben también el nombre de corrientes de remolino. Estas corrientes parásitas disipan energía puesto que fluyen en un medio resistivo (el hierro del núcleo), la energía disipada se convierte en calor en el núcleo.
La cantidad de energía perdida debida a las corrientes parásitas es proporcional a la distan cia de los caminos recorridos dentro del núcleo. Por esta razón, se acostumbra cortar el núcleo ferromagnético que va a estar sujeto al flujo alterno en pequeñas tiras o láminas, y c onstruirlo con ellas. Para limitar al mínimo los recorridos de las corrientes parásitas, se utilizan resinas aislantes entre las diferentes láminas. Debido a que las capas aislantes son extremadamente delgadas, su efecto sobre las propiedades magnéticas del núcleo es muy pequeño.
Ejemplo 1-6 La figura 1-15 muestra una bobina enrollada alrededor de un núcleo de
hierro. Si el flujo en el núcleo está dado por la ecuación 0= 0.05 sen 377tW b
y si hay 100 espiras en el núcleo, ¿cuánto voltaje se producirá en los terminales de la bobina? ¿Cuál será la polaridad del voltaje durante el tiempo en que el flujo se incrementa en la dirección mostrada en la figura? S uponga que todo el flujo magnético permanece dentro del núcleo (esto es, el flujo disperso es ccro). Solu ción. Por la misma razón antes indicada, mientras se incrementa el flujo en la dirección de referencia, la dirección del voltaje debe ser de positivo a negativo, como se mucstra en la figura 1-15. La magnitud del voltaje está dada por
32
INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
Cind = Nath
= (100 vueltas ) (0.05 sen 3771) = 1885 cos 3771 O alternativamente
lind = 1885 sen (377: + 90°)
1-6 PRODUCCIÓN DE FUERZA INDUCIDA EN UN ALAMBRE Un segundo efecto importante de un campo magnético sobre sus alrededores es el que induce una fuerza sobre un alambre conductor que porta corriente y se encuentra dentro del campo. El concepto básico involucrado se ilustra en la figura 1-16, que muestra un conductor dentro de un campo magnético uniforme de densidad de flujo B, y que apunta hacia dentro de la página. El conductor mide l metros y porta una
corriente de i amperes. La fuerza inducida sobre el conductor está dada por F = i( l x B) (1-43)
Dirección requerida de i
N = 100 vueltas
Flujo opuesto -
Ø = 0.05 sen 377t Wb
Figura 1-15 Núcleo del ejemplo 1-6. Determinación de la polaridad del voltaje en los terminales.
CAPÍTULO 1
donde į = magnitud de la corriente en el alambre
1 = longitud del alambre, con la dirección de 1 definida como la dirección del flujo de corriente B = vector de densidad de flujo magnético
La dirección de la fuerza está dada por la regla de la mano derecha: si el dedo índice de
la mano derecha apunta en la dirección del vector l y el dedo del corazón apunta en la dirección del vector de densidad de campo B, entonces el dedo pulgar apuntará en dirección de la fuerza resultante sobre el alambre. La magnitud de esta fuerza está dada por la ecuación F=ilB s e n o (1-44)
donde 0 es el ángulo comprendido entre el alambre y el vector de densidad de flujo. Ejemplo 1-7 La figura 1-16 muestra un alambre que porta corriente en presencia de un campo magnético. La densidad de slujo del campo es 0.25 T, dirigida hacia
dentro de la página. Si el alambre tiene 1.0 m de longitud y porta una corriente de 0.5 A en dirección de arriba abajo de la página, ¿cuál es la magnitud y dirección de la fuerza
inducida sobre el alambre?
Solución. La dirección de la fuerza está dada por la regla de la mano derecha, justamente hacia la derecha. La magnitud está dada por (1-44)
F = il B sen o =(0.5 A)(1.0m) (0.25 T) sen 90°=0.125 N Entonces
F = 0.125 N, dirigida hacia la derecha
X X
X XB
Figura 1-16 Un alambre que porta corriente en presencia de un campo magnético. 34
INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
La inducción de una fuerza en un alambre conductor que porta corriente en presencia de un campo magnético es la base de la acción motriz. Casi todo tipo de motor se basa en este principio básico para las fuerzas y pares que lo mueven. 1-7
VOLTAJE INDUCIDO EN UN CONDUCTOR QUE
SE MUEVE EN UN CAMPO MAGNÉTICO Hay una tercera forma importante de interacción entre un campo magnético y su alrededor. Si un alambre conductor orientado de manera adecuada se desplaza a través de un campo magnético, se induce un voltaje en aquél. Esta idea se ilustra en la figura 1-17. El voltaje inducido en el alambre está dado por ein d
(V x B) (1-45 )
donde v - velocidad del alambre B = vector de densidad de flujo I = longitud del conductor
en el campo magnético
El vector I apunta en la dirección del alambre hacia el extremo que forma el ángulo más pequeño con respecto al vector v B. El voltaje en el alambre se inducirá de modo que su extremo positivo esté en la dirección del vector v x B. Los siguientes ejemplos ilustran este concepto.
Ejemplo 1-8 La figura 1-17 muestra un conductor que se mueve a una velocidad de 5.0 m/s hacia la derecha, en presencia de un campo magnético. La densidad de flujo es 0.5 T dirigida hacia la página y la longitud del alambre es 1.0 m, orientada como se muestra. ¿Cuáles son la magnitud y polaridad del voltaje inducido resultante?
X X + 1x x В +++
Y XB
x
x x
x + V
x
{ x x Figura 1-17 Un conductor que se mueve en presencia de un campo magnético.
35
CAPÍTULO 1
Solución. La cantidad v x B es ascendente. Entonces, el voltaje del conductor será positivo en la parte superior del alambre. La d irección del vector l es ascendente, de modo que forma el menor ángulo con el vector v x B. Puesto que y es perpendicular a B y como v B es paralelo a I, la magnitud del voltajc inducido se reduce a
(1-45) eind = (V x B)1 find = (vB sen 90°) 1 cos 0° = vB/ = (5.0 m/s)(0.5 T)(1.0 m) = 2.5 V
Por tanto el voltaje inducido es 2.5 V, positivo en la parte superior del alambre.
2215 rii
Ejemplo 1-9 La figura 1-18 muestra un conductor que se mueve a una velocidad de 10 m/s hacia la derecha en un campo magnético. La densidad de flujo magnético es 0.5 T, hacia fuera de la página, y el alambre tiene 1.0 m de longitud, orientado como se muestra. ¿Cuál es la magnitud y la polaridad del vollaje inducido resultante?
Solución. La dirección de la cantidad y x B es descendente. El alambre no está orientado en una línea vertical; en consecuencia, escoja la dirección del
como se muestra en la figura, de modo que forme el ángulo mínimo posible con la dirección de v x B. El voltaje es positivo en la parte inferior del alambre. La magnitud del voltaje es (1-45) Eind = (V x B). 1 find = (vB s en 909) I cos 30° = (10.0 m/s)(0.5 T)(1.0 m) cos 30° = 4.33 V
La inducción de voltaje en un alambre conductor que se mueve dentro de un campo magné tico es el fundamento de la operación de todo tipo de generador. Por esta razón, se le llama acci ón g enerat riz . NYTT
1-8 EJEMPLO SENCILLO DE MÁQUINA LINEAL DE CORRIENTE CONTINUA DP
La máquina lineal de corriente continu a e s la versión más sencilla y fácil de entender de una máquina de, ya que opera con los mismos principios y
exhibe la misma conducta que los genera dores y los motores reales. Por ello sirve como un buen punto de partida en el estudio de las máquinas eléctricas. La figura 1-19 muestra una máquina lineal dc, que consta de una batería y una resistencia
das a través de un interruptor a un par de rieles lisos, sin rozamiento. En el lecho de esta 0 TO
36
INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
Cleverd
300
++ +
.+ x B .
Figura 1-18 El conductor del ejemplo 1-9. "vía férrea” hay un campo magnético constante de densidad uniforme, dirigido hacia dentro de la página. Sobre la pista así formada, se dispone una barra de metal.
¿Cómo se comporta tan extraño dispositivo? Su comportamiento puede ser determinado por la aplicación de cuatro ecuaciones básicas a la máquina. Estas ecuaciones son 1. La ecuación de la fuerza sobre un alambre conductor en presencia de un campo magnético: Frill x B)
(1-43)
donde F = fuerza sobre el alambre i = magnitud de la corriente en el alambre I = longitud del alambre; la dirección del está definida por el flujo de corriente B = vector de densidad de flujo magnético 2. La ecuación para el voltaje inducido en un alambre conductor que se mueve en un campo
magnético:
Cinc = (v x B). 1 (1-45) donde fi nns voltaje inducido en el conductor V = velocidad del alambre B = vector de densidad de flujo magnético i = longitud del conductor en el campo magnético
37
CAPÍTULO 1
Interruptor
Campo magnético dirigido al interior de la página
x x
ind
Figura 1-19 Máquina lincal dc. El campo magnético apunta hacia la página.
3. La ley de voltajes de Kirchhoff para esta máquina. De la figura 1-19 esta ley establece que
V8- iR - e ind = 0) Vg = lind + iR=0 (1-46)
4. La ley de Newton para la barra que se mueve sobre la vía: (1-7 ) Frer = ma Ahora se explorará la conducta fundamental de esta máquina de sencilla utilizando estas cuatro herramientas:
Arranque de la máquina dc lineal La figura 1-20 muestra la máquina dc lineal en condiciones de arranque. Para ponerla en marcha, simplemente se cierra el interruptor. Ahora fluye corriente en la barra, la cual está dada por la ley de voltaje de Kirchhoff: V2 - Eind (1-47)
Puesto que la barra se encuentra inicialmente en reposo, e =0, entonces i
=V /R. La corriente fluye hacia abajo a través de la barra y los rieles. Pero según la ecuación (1-43), una corriente que fluye en un conductor que se encuentra dentro de un campo magnético induce una fuerza en el conductor. Debido a la geometría de la máquina esta fuerza es F =i lB hacia la derecha
(1-48) ind
38 INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
1=0
i = (0) int Y
Figura 1-20 Arranque de una máquina de lineal.
Entonces, la barra se acelerará hacia la derecha (por la ley de Newton). Sin embargo, al incrementar la velocidad de la barra se induce un voltaje en ella. El voltaje está dado por la ecuación (1-45), que de acuerdo con la geometría,
se reduce a
Ce = vBl positivo hacia arriba (1-49)
IN1
El voltaje reduce la corriente que fluye en la barra puesto que, según la ley de voltaje de Kirchhoff
it = Vo – eind * (1-47) R
En tanto se incremente en la corriente i d ecrece. El resultado de esta acción es que la barra alcanzará una velocidad constante de estado estacionario donde la fuerza neta sobre la barra es cero. Esto ocurrirá cuando e haya alcanzado un valor tal que iguale al voltaje V . En este momento, la barra se moverá a una velocidad dada por Vo = Pi nd = Vss B l
(1-50) La barra continuará deslizándose a esta velocidad de vacío (sin carga) a menos que alguna fuerza exterior la altere. En la figura 1-21 se muestran la velocidad y, el voltaje inducido e la corriente i y la fuerza inducida F. c uando el motor está en marcha.
Para resumir, en el arranque el comportamiento de la máquina dc lineal es: 1. El cierre del interruptor produce un flujo de corriente į = V IR. 2 . El flujo de
corriente produce una fuerza en la barra, dada por F-ilB.
* N. del T. La precisión en los términos llevaría a decir que esta expresión es una combinación de la tey de Kirchhoff, citada por el autor, y la ley de ohm. 39 CAPÍTULO 1
l'ind (1) +
Find ()
Figura 1-21 Máquina lineal dc en el arranque. a) Velocidad vir) como función del tiempo. b) Voltaje inducido en (1). c) Corriente i(l). d) Fuerza inducida Fi (1).
3. La barra acelera hacia la derecha induciéndose en ella un voltaje end a medida que se incrementa su velocidad. 4. El voltaje inducido reduce la corriente que fluye por la barra i=( V. - 1 )/R. 5 . La fuerza inducida entonces decrece (F= i IB) h asta
hacerse F = 0. En este momento
ein = V i= 0, y la barra se mueve a velocidad de vacío, constante Vos = V./BI.
Éste es el comportamiento observado en los motores reales durante el arranque.
La máquina de lineal como motor
Suponga que la máquina lineal opera inicialmente en estado estacionario de vacío como el descri to anteriormente. ¿Qué ocurrirá a esta máquina si se le aplica
una carga externa? Para responder, examine la figura 1-22. Aquí, se aplica una
fuerza F. a la barra en dirección opuesta al movimien to. Puesto que la
barra se encontraba al comienzo en estado estacionario, la aplicación de esta fuerza F originará una fuerza neta sobre la barra en dirección opuesta a la del movimiento * cu
Carga
40
INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
(F =F -F). El efecto de esta fuerza será disminuir la velocidad del movimiento de la barra, Pero, tan pronto como la barra comienza a disminuir su velocidad, el voltaje inducido en ella cae (e =V|B l). Como el voltaje inducido decrece, el flujo de corriente en la barra se incrementa: 1721
it = Yr – Eindd (1-47) R
Entonces, la fuerza inducida también se incrementa F = if IB. E l resultado total de esta cadena de eventos es que la fuerza inducida crece
hasta que se hace igual y opuesta a la fuerza de la carga, y la barra de nuevo
viajará en estado estacionario, pero a una velocidad inferior. En la figura
1-23 se muestran la velocidad v, el voltaje inducido en la corriente i, y la fuerza inducida F. cuando se coloca carga a la barra.
Ahora hay una fuerza inducida en la dirección del movimiento de la barra, y la potencia eléctrica se convierte en potencia mecánica para mantener la barra en movimiento. La potencia que está siendo convertida es Pco ny = find i = Fi nd V
(1-51)
La barra consume una cantidad de potencia eléctrica igual a e , remplazada por potencia mecá nica igual a Fm v. Puesto que la potencia es convertida de eléctrica en mecánica, esta barra está funcionando como un notor . Para resumir este comportamiento
2. URSUL
1. Al aplicar una fuerza Fra en dirección opuesta al movimiento resulta una fuerza neta opues ta a la dirección del movimiento. La aceleración resultante a = F / 11 es negativa, de modo que la barra disminuye la
velocidad (v). 3. El voltaje eind = V | Bl c ae, entonces i = (V. - eind /R se incrementa, 4. La fuerza inducida Fi = -IB se incrementa a una velocidad menor v hasta ind
id
Una cantidad de potencia eléctrica igual a ei se convierte en potencia mecánica igual a Find V, y la máquina opera como un motor,
carga mind
x x Figura 1-22 La máquina lineal de conjo motor. 41
CAPÍTULO 1
v (D)
I
lind (0) +
i(1 )
Find (0) 4 Fe arga
Figura 1-23 Máquina lineal de operando en condiciones de vacío y luego cargada como
motor. a) V elocidad v(1) como función del tiempo; b) Voltaje inducido e(t); c) Corriente i(f); d) Fuerza inducida F (1).
Un motor dc real se comporta de manera análoga cuando se carga: cuando se coloca una carga en su eje, el motor comienza a disminuir su velocidad, con lo cual se reduce su voltaje interno y se incrementa el flujo de corriente. Este incremento del flujo de corriente incrementa el par inducido, que igualará al par de carga del motor a una nueva velocidad más baja. Note que la potencia eléctrica convertida en potencia mecánica por este motor lineal está dada por la ecuación P = Fv. La potencia eléctrica convertida en
potencia mecánica en un motor real que gira está dada por la ecuación Pco ny = Tind (1-52) donde el par inducido es el análogo rotacional de la fuerza inducida Fiy la velocidad angular w es el análogo rotacional de la velocidad lineal y. . 42
INTRODUCCIÓN A LOS PRINCIPIOS DE MÁQUINAS
La máquina lineal de como generador
Suponga que la máquina lineal está de nuevo operando en condiciones de vacío en estado estacionario. Observe q ué ocurre al aplicar una fuerza en la dirección del movimiento. La figura 1-24 muestra la máquina lineal con una fuerza aplicada F en la dirección del movimiento. Ahora, la fuerza aplicada hará que la barra se acelere en la dirección del movimiento, y la velocidad y de la barra se incrementará.
Cuando la velocidad se incrementa, e = vf B aumenta y será mayor que el voltaje de la batería. Cuando > V, la corriente se invierte, y está dada por la ecuación
į–L ind - VB (1-53) R
Puesto que esta corriente fluye ahora hacia arriba de la barra, en ésta se induce una fuerza dada por F =ilB hacia la izquierda (1-54)
La dirección de la fuerza inducida está dada por la regla de la mano derecha. Esta fuerza inducida se opone a la fuerza aplicada sobre la barra.
Finalmente, la fuerza inducida será igual y opuesta a la fuerza aplicada, y la barra se moverá a una velocidad mayor que antes. Note que la batería está cargando. La máquina lineal actúa ahora como generador, convirtiendo potencia mecánica Fi ven potencia eléctrica e mi. Para resumir este comportamiento: ៧
nela
1. Si se aplica una fuerza F., en la dirección del movimiento, F., está en la dirección del
movimiento. 2. Si la aceleración a-Fi/me s positiva, la velocidad de la barra aumenta (v1). 3. Si el voltaje ein = V IB se incrementa, tanto i = (eind 1-VX/R también
La fuerza inducida Find = if IB se incrementa a una velocidad mayor v hasta que Find } = se incrementa. 4.
| Fcargal 5. Al convertir una cantidad de potencia mecánica igual a FineV en potencia eléctrica eingi la máquina opera como generador.
x x xв und apl
x x x Figura 1-24 Máquina lineal de coino generador.
43 .
... · ---· ... -... ---- -. ...
CAPÍTULO 1
Un generador real se comporta de esta forma: al aplicar un par al eje en l a dirección d el movi mie nto, la velocidad del eje se incrementa, el voltaje interno se aumenta, y fluye corriente desde el generador hacia la carga. La cantidad de potencia mecánica convertida en potencia eléctrica en el generador rotacional real está dada por la ecuación (1-52):
P con tine (1-52) Es interesante observar el hecho de que la misma máquina opera como motor y como gene rador. L a única diferencia entre las dos opciones es que la fuerza externa aplicada está en la dirección del movimiento (generador) o en la dirección contraria al movimiento (motor). En elec tricidad, cuando e, > Vla máquina actúa como
generador y, cuando e