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Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli Analisi Matematica — 2a edizione

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 4 4.1 Il limite segue dal teorema del confronto: 0
1 se a0 ≤ 1.

Quindi il limite e` a0 se a0 > 1, 1 altrimenti. c) an+1 = sin(an ), quindi −1 ≤ an ≤ 1 per ogni n ≥ 1. Se a1 = 0, allora an = 0 per ogni n ≥ 1. Se a1 ∈ (0, 1], allora: (I) an ∈ (0, 1] per ogni n ≥ 1 (sappiamo gi`a che an ≤ 1); infatti, per induzione, se an > 0 allora an+1 = sin an > 0; (II) an e` decrescente per n ≥ 1; infatti an+1 − an = sin(an ) − an < 0 se an > 0 (si ricordi la definizione della funzione seno, Appendice 1.A). Per (I) e (II), an → ` ∈ [0, 1] per n → +∞. Per la Proposizione 4.11, ` = sin `, quindi ` = 0. Analogamente, se a1 ∈ [−1, 0), an ∈ [−1, 0) per ogni n ≥ 1 e an e` crescente; quindi il limite ` di an esiste e verifica ` = sin `, ovvero ` = 0. In conclusione, per ogni a0 ∈ R, an → 0 per n → +∞.

Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli Analisi matematica, 2a ed., MacGraw-Hill, 2011

© 2011, McGraw-Hill

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 4

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d) Se a0 = 0, allora (per induzione) an = 0 per ogni n ∈ N. Se a0 > 0, allora (infatti a1 = il limite ` di

0 < an+1 < an

2 3 a0 ∈ an per

per ogni n ∈ N

(0, a0 ), e se an > 0 allora an+1 = n+1 o esiste n+2 an ∈ (0, an )). Perci` n → +∞. Per la Proposizione 4.11, si avrebbe

n+1 an = `, n+2 ma da ci`o non segue il valore del limite. Invece si osserva che ` = lim

n→+∞

n+1 n+1 n n an = · an−1 = an−1 . n+2 n+2 n+1 n+2 Iterando questa osservazione si ottiene an+1 =

1 a0 n+2 (lo studente pu`o facilmente provarlo per induzione). Perci`o an → 0 per n → +∞. an+1 =

e) Anzitutto si osserva che an+1 =

p |1 + an | ≥ 0

per ogni n ≥ 1.

Se esiste finito il limite, `, di an per n → ∞, per la Proposizione 4.11 si ha p √ 1 ` = |1 + `| ⇔ `2 = |1 + `| ⇔ ` = (1 ± 5). 2 √ Quindi esiste una sola soluzione non negativa: ` := (1 + 5)/2. Perci`o, se dimostriamo che il limite esiste finito per ogni a0 > 0, allora an → ` per n → ∞ per ogni a0 ∈ R+ . √ Si osservi che a1 = |1 + a0 | > 1 per ogni a0 ∈ R+ . Si distinguono due casi. (I) 1 < a1 ≤ `. In tal caso si ha √ √ - a2 ≤ `: infatti a2 = 1 + a1 ≤ 1 + ` = `; - 1 < a1 ≤ a2 : infatti x2 − x − 1 ≤ 0 se 1 < x ≤ ` ⇒ a22 = 1 + a1 ≥ a21 ; pertanto 1 < a1 ≤ a2 ≤ `. Procedendo allo stesso modo, per induzione si ottiene che 1 < an ≤ an+1 ≤ ` per ogni n ≥ 1, ovvero an ha un limite finito. (II) a1 ≥ `. Procedendo in modo analogo a (I), si mostra che ` ≤ an+1 ≤ an per ogni n ≥ 1, ovvero an ha limite finito. √ In conclusione, il limite esiste finito e vale ` = (1 + 5)/2.

4.8 Posto i = k − n0 , ovvero k = i + n0 , n X

a0 r = a0 r k

n0

n−n X0

ri

i=0

k=n0

1 − rn−n0 +1 1−r a0 rn0 − a0 rn+1 = . 1−r

= a0 rn0

(per la (4.19))

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4.9 a) La serie e` convergente: k2 e

∞ P

1 1 = 2 (1 + o(1)) 4/3 +k +1 k

per k → +∞

k−2 e` convergente.

k=1

b) La serie e` divergente a +∞: √ e

∞ P

1 k2

+ 3k + 7

=

1 (1 + o(1)) k

per k → +∞

k−1 e` divergente.

k=1

c) La serie e` convergente: 2

sin e

∞ P

! 1 1 = 2 (1 + o(1)) k k

per k → +∞

k−2 e` convergente.

k=1

d) La serie e` convergente: ! 1 5 5k2 − 1 tg = 2 (1 + o(1)) 3 k k +1 k e5

∞ P

per k → +∞

k−2 e` convergente.

k=1

e) La serie e` convergente: log(k + 1) − log k log(1 + 1/k) 1 = = 2 (1 + o(1)) √ 2k(1 + o(1)) 2k 4k2 + 3 e

1 2

∞ P

per k → +∞

k−2 e` convergente.

k=1

f) La serie e` divergente a +∞: (k2 + 1)e1/k − k2 (k2 + 1)(1 + (1/k)(1 + o(1))) − k2 = = 1+o(1) → 1 √ k(1 + o(1)) k− 1+k

per k → +∞.

4.10 a) Per k → +∞, si ha ak :=

! 1 1 1 1/k 1 b be − 2 = b 1 + (1 + o(1)) − 2 = b − 2 + (1 + o(1)) , k k k k k

quindi

|b − 2|k−1 (1 + o(1)) se b , 2 2k−2 (1 + o(1)) se b = 2. ∞ P −2 e` divergente e k convergente, la serie converge se e solo se (

ak =

Poich´e b = 2.

∞ P k=1

k−1

k=1

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b) Se (b + 3)2 ≤ 1, ovvero se −4 ≤ b ≤ −2, si ha 0
1, allora (b+3) → +∞ per k → +∞ e quindi la serie e` k2 +11 divergente a +∞ (la condizione necessaria e` violata e la serie e` a termini positivi). c) Se |9 − b2 | ≥ 1, si ha k3 |9 − b2 |4k

2

/(k+7)

= k3 |9 − b2 |4k(1+o(1)) → +∞

per k → +∞

e la serie e` divergente a +∞ (la condizione necessaria e` violata e la serie e` a termini positivi). √ √ Se invece |9 − b2 | < 1, ovvero se 8 < |b| < 10, allora k3 |9 − b2 |4k(1+o(1)) = o(1/kα )

per k → +∞

per ogni α > 0. Scegliendo un valore di α > 1, si ottiene dal teorema del confronto che la serie e` convergente. d) Si ha  1/ tg(1/k)  k(1+o(1)) ak := log(1 + b2 ) − log b2 = log(1 + 1/b2 )

per k → +∞.

Se log(1 + 1/b2 ) ≥ 1, ovvero se b2 ≤ 1/(e − 1), allora ak non e` infinitesimo per √ ` k → +∞ e la serie e divergente a +∞. Altrimenti, se b < −1/ e − 1 oppure √ b > 1/ e − 1, si ha ak = o(1/k2 ) per k → +∞ e la serie e` convergente.

4.11 a) Per k → +∞,    k1−α/3 (1 + o(1)) se α > 1    k+1  √3 −1 2/3 ak := √3 = ( 2) k (1 + o(1)) se α = 1   kα + k + 1   k2/3 (1 + o(1)) se α < 1, quindi la serie e` convergente se e solo se 1 − α/3 < −1, ovvero se e solo se α > 6. b) Per k → +∞ si ha √ k4 + k + 1 − k2 (k4 + k + 1) − k4 1 + o(1) = = √ , 2α+3 2α+3 4 2 log k 2k log2α+3 k ( k + k + 1 + k ) log k quindi, per la (4.37), la serie converge se e solo se 2α + 3 > 1, ovvero se e solo se α > −1.

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4.12 a) Posto ak := ak+1 = ak

k! kk−1

(k+1)! (k+1)k k! kk−1

> 0, si ha k k+1

=

!k−1

1

1

= e(k−1) log(1− k+1 ) = e−(k−1)· k+1 (1+o(1)) = e−1+o(1) →

1 0, ak+1 = ak

ek+1 (k+1)! ek k!

=

e →0 k+1

per k → +∞,

quindi, per la (4.38), la serie e` convergente.   2k2 +2 k c) Posto ak := 3k2 log 2k > 0, 2 +1 √k

ak = 3k2 log 1 +

! 1 3 → >1 2 2 2k + 1

per k → +∞,

quindi, per la (4.39), la serie e` divergente. d) Posto ak :=

k2 4k 2k +5k

> 0, si ha ak < bk :=

e

bk+1 k+1 = bk k

!2

k2 4k 5k

4 4 → 0, √ √ ak+1 = (2k + 1)(2k + 2)2k k−(k+1) k+1 . ak

Si osservi che √ k3 − (k + 1)3 −3 k = (1 + o(1)) k k − (k + 1) k + 1 = √ √ 2 k k + (k + 1) k + 1 √

√

per k → +∞,

quindi ak+1 /ak → 0 per k → +∞ e la serie e` convergente.

4.13 a) La serie e` convergente: ! 5k2 − 1 1 tg = k−2 (1 + o(1)) k k3 + 1 e la serie

∞ P

per k → ∞

k−2 e` convergente.

k=1

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b) La serie e` convergente: log(1 − 2k + k3 ) − log(k3 − k) = log

k3 − 2k + 1 k−1 = log 1 − 3 k3 − k k −k

= k−2 (1 + o(1)) e la serie

∞ P

!

per k → ∞

k−2 e` convergente.

k=1

c) La serie e` a termini di segno costante definitivamente per k → +∞: ! ! ! ! k2 1 k 1 − 1 log = − 2 (1 + o(1)) · log k − cos k k+1 k+1 2k
1 = − 2 (1 + o(1)) · log k + o(1) 2k log k = − 2 (1 + o(1)) per k → +∞. 2k ∞ P

Perci`o la convergenza della serie segue da quella della serie osservi che (log k)/(2k2 ) = o(k−3/2 ) per k → +∞). d) Posto ak :=



k+1 2k+1

ak = e

 √k √

(log k)/(2k2 ) (si

k=2

> 0, si ha

k log( 21 (1+o(1)))

= e−

√ k(log 2+o(1))

= o(k−2 )

per k → +∞,

quindi la serie e` convergente. e) Si ha √ √ π − arctg k3 + 1 = arctg(1/ k3 + 1) = k−3/2 (1 + o(1)) 2

per k → +∞,

quindi la serie e` convergente. f) Poich´e (1 + sin(kπ/2)) vale 1 se k e` pari e (1 + sin(kπ/2)) ≥ 0 se k e` dispari, posto m = 2k si ottiene ∞ ∞ X 1 + sin(kπ/2) X 2 ≥ , k m m=1 k=1 quindi la serie e` divergente. g) Si ha

1 1 1 + o(1) = ,
= 2 2 2k log k k log(1 + k ) k log k + o(1)

quindi, per la (4.37), la serie e` divergente.

4.14 a) Posto ak :=

1 − sin(1/k) 1 + o(1) = √4 > 0, √4 k k

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∞ P

quindi

ak e` divergente, ovvero

k=1

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∞ P

(−1)k ak non converge assolutamente.

k=1

√4 √4 D’altra parte, bk := 1/ k e ck := sin(1/k)/ k sono positivi, decrescenti e infinites∞ ∞ P P imi per k → +∞. Per il criterio di Leibniz (−1)k bk e (−1)k ck sono convergenti. Essendo ak = bk − ck , anche

∞ P

k=1

k=1

k

(−1) ak risulta convergente.

k=1

b) Poich´e

log(1 + k2 ) 2 log k = (1 + o(1)) > 0, k k ∞ ∞ P P per la (4.37) ak e` divergente, ovvero (−1)k ak non converge assolutamente. ak =

k=1

k=1

Poich´e log(1 + (k + 1)2 ) log(1 + k2 ) − k+1 k k log(k2 + 2k + 2) − (k + 1) log(k2 + 1) = k(k + 1) ! ! 1 2k + 1 = k log 1 + 2 − log(1 + k2 ) k(k + 1) k +1   1 = 1 + o(1) − log(1 + k2 ) < 0 definitivamente per k → +∞, k(k + 1)

ak+1 − ak =

ak > 0 e` definitivamente decrescente e infinitesimo per k → +∞, quindi, per il ∞ P criterio di Leibniz, (−1)k ak e` convergente. k=1

c) Posto ak := ∞ P

arctg(k2 − 8) π/2 − arctg(1/(k2 − 8)) π/2(1 + o(1)) = = √ √ √ k k k

ak e` divergente, ovvero

k=1

∞ P

per k → +∞,

(−1)k ak non converge assolutamente.

k=1

√ √ D’altra parte, bk := π/(2 k) e ck := arctg(1/(k2 − 8))/ k sono positivi, decrescenti ∞ ∞ P P e infinitesimi per k → +∞. Per il criterio di Leibniz (−1)k bk e (−1)k ck sono convergenti. Essendo ak = bk − ck , anche

∞ P

k=1

k=1

k

(−1) ak risulta convergente.

k=1

d) sin(πk/2) = 0 se k e` pari; quindi, posto k = 2m + 1, la serie pu`o essere scritta come ∞ X (−1)m am , m=0

dove am := arctg

1 + o(1) 2m + 1 = > 0. (2m + 1)3 + 1 4m2

Per il criterio del confronto asintotico la serie

∞ P

am e` convergente, ovvero

m=0

∞ P

(−1)m am

m=o

e` assolutamente (e quindi anche semplicemente) convergente.

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4.15 a) Per k → +∞,   1 1 − xe1/k 1 − x 1 + k (1 + o(1)) 1 − x x(1 + o(1)) = = + . k k k k2 Perci`o, per il criterio del confronto asintotico, la serie converge se e solo se x = 1. b) Si ha 1/k (x + 1)k |x + 1| → |x + 1| per k → +∞, = √k 2 2 k + 3k + 1 k + 3k + 1 quindi, per il criterio della radice, la serie converge assolutamente (e quindi semplicemente) se |x + 1| < 1, ovvero se −2 < x < 0. Se x = −2 o x = 0, allora (x + 1)k 1 1 = 2 (1 + o(1)) per k → +∞, = 2 2 k + 3k + 1 k + 3k + 1 k quindi, per il criterio del confronto asintotico, la serie converge assolutamente (e quindi semplicemente). Se infine |x + 1| > 1, i termini della serie non sono infinitesimi per k → +∞ e la serie non converge. c) La serie e` a termini positivi, quindi converge assolutamente se e solo se converge. Si ha !1/k !1/k ke xk k x =e → e x per k → +∞, k+1 k+1 quindi, per il criterio della radice, la serie converge per x < 0 e non converge per x > 0. Se x = 0, i termini della serie non sono infinitesimi per k → +∞ e la serie e` divergente. d) Per k → +∞, √

 2 3/2   k ) se x , 0 1+k (1 + o(1))/(x √ =  2 2 (1 + o(1))/ k 1+k+x k se x = 0, quindi la serie converge se e solo se x , 0. e) Si ha 1/k (sin x2 )k 2 → | sin x | √ 1+k

per k → +∞.

Perci`o, per il criterio √ della radice, la serie converge assolutamente, √e quindi semplicemente, se x , ± π/2 + nπ. Se sin(x2 ) = −1, ovvero se x = ± π/2 + nπ per qualche n ∈ N dispari, per il criterio di Leibniz la serie converge. Se sin(x2 ) = 1, √ ovvero se x = ± π/2 + nπ per qualche n ∈ N pari, la serie e` divergente. f) Si ha 1/k k k (sin x) → | sin x| per k → +∞. k2 + 3 Perci`o, per il criterio della radice, la serie converge assolutamente, e quindi semplicemente, se x , (2n + 1)π/2. Se sin x = −1, ovvero se x = (2n + 1)π/2 per qualche n ∈ Z dispari, per il criterio di Leibniz la serie converge. Se sin x = 1, ovvero se x = (2n + 1)π/2 per qualche n ∈ Z pari, la serie e` divergente.

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4.16 Se x = 4 tutti i termini sono uguali a 0 e la serie converge banalmente (la somma vale 0). Nel seguito assumiamo x , 4. Si ha 1/k (x − 4)4 (2 sin x)k √ → |2 sin x| per k → +∞. k Perci`o la serie converge assolutamente, e quindi semplicemente, se −π/6 + nπ < x < π/6 + nπ per qualche n ∈ Z. Se | sin x| > 1/2, ovvero se π/6 + nπ < x < 5π/6 + nπ per qualche n ∈ Z, i termini della serie non vanno a zero per k → +∞ e la serie non converge semplicemente n´e assolutamente. Se sin x = 1/2, ovvero se x = π/6 + 2nπ oppure x = 5π/6 + 2nπ per qualche n ∈ Z, la serie e` a termini positivi: (x − 4)4

∞ X 1 √ k k=1

e` divergente a +∞.

(D4.2)

Se infine sin x = −1/2, ovvero se x = −π/6 + 2nπ/ oppure x = −5π/6 + 2nπ per qualche n ∈ Z, allora per il criterio di Leibniz la serie converge semplicemente, mentre per (D4.2) la serie non converge assolutamente.

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