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• Jhonatan Quiroz

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soluciones unidad 3 1. Encuentre las longitudes de onda más largas y más cortas en las series de d1 para el hidrógeno. ¿En qué región del espectro electromagnético está cada serie? Datos del problema: d1 = Serie de Paschen Solucion: La formula de Rydberg para el atomo de hidrogeno esta dada por: 1 1 1 = 𝑅( 2 − 2 ) 𝜆 𝑛1 𝑛2 Donde la R es la constante de Rydberg = 1.097 ∗ 107 𝑚−1 Para la seie de paschen n’=3 La longitud de onda mas grande para esta serie se obtiene sustituyendo n=4: 1 1 1 = 1.097 ∗ 10−7 ( 2 − 2 ) = 1.097 ∗ 107 (0.0486)𝑚 𝜆 3 4 𝜆 max = 1875 ∗ 10−9 𝑚 = 1875𝑛𝑚 La longitud de onda más corta se obtiene colocando n = infinito: 1 1 1 1 = 1.097 ∗ 10−7 ( 2 − ) = 1.097 ∗ 107 ( − 0) 𝑚 2 𝜆 3 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 9 𝜆 min =

1.097 ∗ 107 = 8.204 ∗ 10−7 𝑚 = 820.4 ∗ 10−9 𝑚 = 820.4 𝑛𝑚 9

Esta serie no es válida en la región infrarroja del espectro electromagnético. 2. Determine λm, la longitud de onda en el máximo de la distribución de Planck, y la frecuencia f correspondiente, a una temperatura d1 K. Datos del problema: d1 = 4005 Kelvin Solucion: Utilizando la ley de desplazamiento de viena: 𝜆𝑚𝑎𝑥𝑇 = 2.98 ∗ 10−3 𝑚𝐾 Donde T = 4005K 2.989 ∗ 10−3 𝜆 max = 𝑚𝐾 𝑇 2.989 ∗ 10−3 𝜆 max = 𝑚𝐾 4005𝐾 𝜆 max = 7.235 ∗ 10−7 𝑚 = 723.5𝑛𝑚 𝑐

3∗108

La frecuencia 𝑓 = 𝜆max = 723.5∗10−9 = 4.14 ∗ 1014 𝐻𝑧

3. Un electrón atrapado en un pozo cuadrado de profundidad infinita tiene una energía de estado fundamental E= d1 eV. a) ¿Cuál es la longitud de onda más larga del fotón que puede emitir un estado excitado de este sistema? b) ¿Cuál es el ancho del pozo? Datos del problema: d1 = 846 electronVolts Solucion: a. La energía de un electron en el estado n de un cuadrado infinito esta dado por: 𝑛 2 ℎ2 𝜋 2 𝐸𝑛 = 2𝑚𝐿2 𝑛 = 2 (𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜). 𝑛 = 1 (𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙) 𝜋 2 𝜆2 𝐸1 = = 846 𝑒𝑉 2𝑚𝐿2 𝜋 2 𝜆2 𝐸2 = 4 ∗ = 3384 𝑒𝑉 2𝑚𝐿2 𝐸2 − 𝐸1 = 3384 − 846 = 2538 𝑒𝑉 Usando: 𝐸 = ℎ𝑣 ℎ𝑐 𝐸= 𝜆 108 𝑚 (6.626 ∗ 10−34 𝐽𝑆) (3 ∗ 𝑠 ) 2538 𝑒𝑉 = 𝜆 108 𝑚 (6.626 ∗ 10−34 𝐽𝑆) (3 ∗ ) 𝑠 𝜆= 2538 𝑒𝑉 108 𝑚 𝑠 ) 2538 ∗ 1602 ∗ 10−19 𝐽 = 4.89 ∗ 10−10 𝑚 = 0.489 ∗ 10−9 𝑚 = 0.489𝑛𝑚

(6.626 ∗ 10−34 𝐽𝑆) (3 ∗ 𝜆= 𝜆 = 4.888 ∗ 10−3 ∗ 10−7 𝜋 2 𝜆2

b. Usando 𝐸1 = 2𝑚𝐿2 Donde L es el ancho de la longitud de onda encontrada Y m es la masa del electrón. (3.14)(6.582 ∗ 10−16 𝑒𝑉𝑠) 1 𝐿 = 𝜋ℎ√ = = 2.108 ∗ 10−11 𝑚 2𝑚𝐸1 √2 (0.611𝑀𝑒𝑉 ) (846𝑒𝑉) 𝑐2

4. Un electrón con una energía cinética inicial d1 eV encuentra una barrera de d2 eV de altura. ¿Cuál es la probabilidad de que realice tunelamiento, si el ancho de la barrera es d3 nm? Datos del problema: d1 = 0.89 d2 = 0.8 d3 = 0.6 Solucion: La probabilidad de tunelamiento esta dada por: 𝑇 ≅ 𝑒 −2𝐾𝐿 2𝑚(𝑈𝑜𝐸) 𝐾=√ ℏ2 𝐸 = 0.80𝑒𝑉 𝑉𝑜 = 0.89𝑒𝑉 𝐿 = 0.6𝑛𝑀 2 ∗ 9.1 ∗ 10−31 ∗ 0.09 ∗ 16 ∗ 10−19 𝐾=√ (1.05)2 ∗ 10−68 𝐾 = √2.38 ∗ 1018 = 1.54 ∗ 109 𝑚 9

−9

𝑇 = 𝑒 −(2∗1.54∗10 ∗0.6∗10 ) = 𝑒 1.848 = 0.16 5. Un electrón de d1 eV de energía cinética inicial encuentra una barrera de altura U0 y ancho de d2 nm. ¿Cuál es el coeficiente de transmisión si a) U0 = d3 eV. Datos del problema: d1 = 0.37 d2 = 0.15 d3 = 0.9 Solucion: 1. El coeficiene de transmission esta dado por: 𝑇=

Donde Vo=0.9 eV E = 0.37 eV L = 0.15mm

1 𝑉𝑜 2 1+ 𝑙 4𝐸(𝑉𝑜 − 𝐸) sin2 ( √2(𝑈𝑜 − 𝐸)) ℏ

𝑇=

1 1 = = 0.74 −9 (0.9)2 0.15 ∗ 10 1 + 1.03 sin2 (0.56) −25 ) 1+ sin2 ( ∗ 3.93 ∗ 10 4 ∗ 0.37 ∗ 0.53 1.05 ∗ 10−34