DuocUC Programa de Matemática MAT 200 Álgebra SOLUCIONES GUIA RESUMEN PRUEBA Nº3 1) Resuelva los siguientes problemas
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MAT 200 Álgebra
SOLUCIONES GUIA RESUMEN PRUEBA Nº3
1) Resuelva los siguientes problemas de Progresiones Aritméticas: a) En la Progresión Aritmética: Podemos saber que:
9; 13; 17;..... . Determine la suma de los 3.000 primeros términos.
d = 17 − 13 = 13 − 9 = 4
;
a=9
Por lo tanto lo que piden es la suma de los 3.000 primeros términos, utilizando la fórmula:
Sn =
n 2
⋅ [2 ⋅ a + (n − 1) ⋅ d ] → S 3.000 =
3.000 2
⋅ [2 ⋅ 9 + (3.000 − 1) ⋅ 4] = 18.021.000
Respuesta: La suma de los 3.000 primeros términos es 18.021.000.
b)
En el primer año de negocios un hombre ganó 5.000 dólares y en el último ganó 19.000 dólares. Si cada año ganó 2.000 dólares más que en el año anterior. ¿Cuántos años tuvo el negocio y cuánto ganó en total durante esos años? Primer año ganó : US$ 5.000 Segundo año ganó: US$ 7.000 Tercer año ganó : US$ 9.000 . . Último año ganó : US$ 19.000
.000 P.A. → 5 { a
1
Donde: 1º)
; 7{ .000 ; 9{ .000 ;............; 19 1 2.000 3 a a a 2 3 n
d = 9.000 − 7.000 = 7.000 − 5.000 = 2.000
;
a = 5.000
a = a + (n − 1) ⋅ d → 5.000 + (n − 1) ⋅ 2.000 = 19.000 n
5.000 + 2.000n − 2.000 = 19.000 2.000n = 16.000 n=8 2º)
Sn =
n 2
⋅ [2 ⋅ a + (n − 1) ⋅ d ] → S8 =
8 2
⋅ [2 ⋅ 5.000 + (8 − 1) ⋅ 2.000] = 96.000
Respuesta: Tuvo el negocio 8 años y ganó en total US$ 96.000.
1
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c) Considere una Progresión Aritmética de primer término 11 y el término de lugar 132 es 404. Determine el término de lugar 40 y la suma de los 58 primeros términos. Sabemos que:
a = 11
;
a
132
= 404
Para obtener el valor de la diferencia constante “ d ”, utilizamos la fórmula:
a = a + (n − 1) ⋅ d → a = 11 + (132 − 1) ⋅ d = 404 n 132 11 + 131 ⋅ d = 404 131 ⋅ d = 393 d =3 Por lo tanto lo que piden es
a
40
1º)
a = a + (n − 1) ⋅ d → a
2º)
Sn =
n
n 2
y
40
S
58
, esto es:
= 11 + (40 − 1) ⋅ 3 = 128
⋅ [2 ⋅ a + (n − 1) ⋅ d ] → S 58 =
58 2
⋅ [2 ⋅ 11 + (58 − 1) ⋅ 3] = 5.597
Respuesta: El término de lugar 40 es 128 y la suma de los primeros 58 términos es 5.597.
d) Una persona debe pagar una deuda en 32 semanas, pagando $50 la primera semana, $80 la segunda semana, $110 la tercera semana y así sucesivamente. Determine el pago de la semana 20 y el valor total de la deuda. Primera semana pagó Segunda semana pagó Tercera semana pagó . . . .
: $ 50 : $ 80 : $ 110
P.A. → 50 {
; 80 { ; 110 { ;............; {? a a a a 1
Donde:
2
3
32
d = 110 − 80 = 80 − 50 = 30
;
a = 50
2
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1º)
a = a + (n − 1) ⋅ d → a
2º)
Sn =
n
n 2
20
= 50 + (20 − 1) ⋅ 30 = 620
⋅ [2 ⋅ a + (n − 1) ⋅ d ] → S 32 =
32 2
⋅ [2 ⋅ 50 + (32 − 1) ⋅ 30] = 16.480
Respuesta: El pago de la semana 20 fue de $620 y el valor total de la deuda es de $16.480.
2) Resuelva los siguientes problemas de Progresiones Geométricas:
a) La razón de una Progresión Geométrica es 5 y el quinto término es Calcule los tres primeros términos de la progresión.
1.875 .
SOLUCIÓN: Podemos saber que:
R=5
;
a = 1.875 5
Por lo tanto lo que nos piden lo calcularemos, de la siguiente manera: 1º)
a = a ⋅ R n − 1 → a ⋅ (5)5 − 1 = 1.875 n
2º) P.G. →
a ⋅ 625 = 1.875 → a = 3
3{ ; 15 { ; 75 { ; ........ a a a 1
2
3
RESPUESTA: Los 3 primeros términos de la P.G. son;
3, 15, 75 .
b) Cuatro personas se reparten una cantidad de dinero, que obtuvieron de premio en el Kino, donde cada persona recibirá 4 veces lo que recibirá la anterior. Si la tercera persona recibió $3.200. ¿Cuál fue la suma repartida? SOLUCIÓN: Podemos saber que:
R=4
;
a = 3.200 3
Por lo tanto lo que nos piden lo calcularemos, de la siguiente manera: 1º)
a = a ⋅ R n − 1 → a ⋅ (4 )3 − 1 = 3.200 n
3
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2º)
S =
a ⋅ 16 = 3.200 → a = 200
(
)
a ⋅ Rn − 1
n
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R −1
→ S =
(
) = 51.000 = 17.000
200 ⋅ 4 4 − 1
4
(4 − 1)
3
RESPUESTA: La suma repartida fue de $17.000.
3) Calcule las siguientes sumatorias:
60
a)
∑
k =1
k 3 + 9 − 3k
SOLUCIÓN:
60
60 60 60 k 3 + 9 − 3k = ∑ k3 + ∑ 9 − 3⋅ ∑ k k =1 k =1 k =1
∑
k =1
60 ⋅ (60 + 1)2 2
=
45
b)
∑
k =1
4
+ 9 ⋅ 60 − 3 ⋅
60 ⋅ (60 + 1)
k 3 + 8
SOLUCIÓN:
45
∑
k =1
45 45 k 3 + 8 = ∑ k3 + ∑ 8 k =1 k =1
45 ⋅ (45 + 1)2 2
=
4
+ 8 ⋅ 45 = 1.071.585
4
2
= 3.343.950
DuocUC Programa de Matemática 102 2 c) 3k − 3 k = 40
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∑
SOLUCIÓN:
102
∑
k = 40
2 102 2 39 2 3k − = ∑ 3k − − ∑ 3k − 3 k =1 3 k =1 3 102
102
k =1
k =1 3
= 3⋅ ∑ k − ∑ = 3⋅
2
102 ⋅ (102 + 1) 2
39
39
k =1
k =1 3
− 3⋅ ∑ k + ∑
− 102 ⋅
2 3
− 3⋅
2 39 ⋅ (39 + 1) 2
+ 39 ⋅
2 3
= 13.377
52
d)
k 2 + 5k ∑ k =8
SOLUCIÓN:
(
)
(
)
7 52 52 2 52 7 7 2 2 2 k 2 + 5k = k + 5 k − k + 5 k = k + 5 ⋅ k − k − 5 ⋅ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑k k =1 k =1 k =1 k =1 k =1 k =1 k =8 52
∑
=
52 ⋅ (52 + 1) ⋅ (2 ⋅ 52 + 1) 52 ⋅ (52 + 1) 7 ⋅ (7 + 1) ⋅ (2 ⋅ 7 + 1) 7 ⋅ (7 + 1) + 5⋅ − −5⋅ = 54.840 6 2 6 2
4) Considere la sucesión
k x
k
1 4,5
7
Calcule:
{ xk }cuyos términos están definidos en la siguiente tabla:
∑
k =2
2 2,1
3 1,2
4 3,4
5 1,6
(xk )
2
SOLUCIÓN:
5
6 2,5
7 6,2
8 1,8
9 5,1
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7
∑
k =2
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(xk ) = (x2 ) 2 + (x3 ) 2 + (x4 ) 2 + (x5 ) 2 + (x6 ) 2 + (x7 ) 2 2
= (2,1) 2 + (1,2 ) 2 + (3,4 ) 2 + (1,6 ) 2 + (2,5) 2 + (6,2 ) 2 = 64,66 5) Resuelva en los reales las siguientes ecuaciones: a)
log 2 (3x + 10) = 6 SOLUCIÓN:
log 2 (3 x +10 ) = 6 ⇔ 2 6 = 3x + 10 3 x +10 = 64 ⇔ x =
54 ⇒ x =18 3
RESPUESTA: La solución de la ecuación es x = 18 .
b)
log3 ( x + 2) + log 3 (2 x − 3) = 2 SOLUCIÓN:
log 3 (( x + 2 )⋅(2 x − 3)) = 2 ⇔ 32 = ( x + 2 ) ⋅ (2 x − 3) 2 x 2 − 3x + 4 x − 6 = 9 2
2 x + x − 15 = 0 a=2 b =1
→x=
− (1) ±
c = −15
x =
− 1 + 11
1
4
RESPUESTA: La solución de la ecuación es
6) Determine el valor de
(1)2 − 4 ⋅ (2) ⋅ (− 15) − 1 ± = 2 ⋅ (2 )
n , si: 6
=
x=5. 2
10 4
=
5 2
∧
x = 2
1 + 120 4
− 1 − 11 4
=
=
− 12 4
− 1 ± 11 4
= −3
=
DuocUC Programa de Matemática a)
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3,6 = (2,5)3 n SOLUCIÓN:
3,6 = ( 2,5 )3n / log
log 3,6 = 3n ⋅ log 2,5 n=
log 3,6 = 0,465985 ( apróx.) 3 ⋅ log 2,5
RESPUESTA: El valor de
b)
n
es 0,465985.
102 ⋅ (5,2 )2 n = 183,6 SOLUCIÓN:
( 5,2 )2n = 183,6
/ log 102 2n ⋅ log 5,2 = log 1,8 n=
log1,8 = 0,178262 ( apróx.) 2 ⋅ log 5,2
RESPUESTA: El valor de
n
es 0,178262.
7) Dados los siguientes números complejos:
z = 2 − 3i
;
1
z = 1 + 5i
z = 5 + 6i
;
2
3
Determine: a)
z +z 3
2
SOLUCIÓN:
z + z = 5 + 6i + 1 + 5i = 6 + 11i 3
b)
2 ⋅ z − 3z 1
SOLUCIÓN:
2
2
2 ⋅ z − 3 z = 2 ⋅ (2 − 3i ) − 3 ⋅ (1 + 5i ) = 4 − 6i − 3 − 15i = 1 − 21i 1
2
7
DuocUC Programa de Matemática c)
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z −z 3
1
SOLUCIÓN:
z −z 3
d)
z − 2⋅z 3
1
1
)
+ 9 2 = 90 = 3 10
z − 2 ⋅ z = 5 + 6i − 2 ⋅ (1 + 5i ) = 3 − 4i = 3 + 4i 3
z ⋅z
2
2
SOLUCIÓN:
e)
(3
= 5 + 6i − (2 − 3i ) = 3 + 9i =
2
2
SOLUCIÓN:
z ⋅ z = (2 − 3i ) ⋅ (1 + 5i ) = 2 + 10i − 3i − 15i = 2 + 7i + 15 = 17 + 7i 2
1
f)
2
z ÷z 2
1
SOLUCIÓN:
2 ( 2 + 3i ) 2 + 3i + 10i + 15i z ÷z = ⋅ = 2 2 1 2 2 − 3i (2 + 3i ) 2 − (3i )
1 + 5i
8)
=
2 + 13i − 15 4 − 9i
2
=
− 13 + 13i 4+9
= −1 + i
Usando tablas de verdad, clasifique las siguientes proposiciones en Tautología, Contradicción o Contingencia. a)
( p ∨ q ) ⇒ (q ⇔ p ) (1)
(2)
p
q
p∨q
q⇔ p
(1) ⇒ ( 2)
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
RESPUESTA: La proposición es una CONTINGENCIA.
8
DuocUC Programa de Matemática b)
MAT 200 Álgebra
(p ⇒ q) ⇔ ( p ∧ q) (1)
(2)
p∧q
(1) ⇔ ( 2)
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
p
q
V
q
p⇒ q
V
F
V
F
F F
RESPUESTA: La proposición es una CONTRADICCIÓN.
c)
(
q⇒ p∧r
) (1)
(2)
p
q
r
r
p∧r
(1) ⇒ ( 2)
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
RESPUESTA: La proposición es una CONTINGENCIA.
9
DuocUC Programa de Matemática d)
MAT 200 Álgebra
( p ∧ q) ⇒ ( p ∨ q) (1)
(2)
p
q
p∧q
p∨q
(1) ⇒ ( 2)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
RESPUESTA: La proposición es una TAUTOLOGÍA.
9) Sean
p
y
q
proposiciones. Si
p∧q
es Verdadera, determine el valor de verdad de:
(p ∨ q)∧ ( p ⇒ q) SOLUCIÓN:
p ∧ q : Verdadera
Esto nos permite saber el valor de verdad de tenemos que:
p :V
(p ∨ q)∧ ( p ⇒ q)
;
(F ∨ F ) ∧ (F ⇒ V ) F ∧V F
10
q :V
p
y
q , por lo que
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p
10) Sean
y
q
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proposiciones. Si
p⇒q
es falsa, determine el valor de verdad de:
( p ⇒ q ) ⇔ (q ∨ p ) SOLUCIÓN:
p ⇒ q : Falsa
Esto nos permite saber el valor de verdad de
p :V
tenemos que:
;
p
y
q , por lo que
q:F
( p ⇒ q ) ⇔ (q ∨ p )
(F ⇒ F ) ⇔ (V ∨ V ) V ⇔V V
11) Sean
p
y
q
proposiciones. Si
q⇒ p
es falsa, determine el valor de verdad de:
( p ⇒ q) ∨ (p ∧ q) SOLUCIÓN:
q ⇒ p : Falsa
Esto nos permite saber el valor de verdad de tenemos que:
q :V
;
( p ⇒ q) ∨ (p ∧ q) (V ⇒ V ) ∨ (V ∧ F ) V∨F V
11
p:F
p
y
q , por lo que