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• Josue Guerra

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• Ingeniería de construcción
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• Ciencia

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ÍNDICE

Prese11tació11 ...............................................................................

7

Capítulo 1: Esfuerzo simple .......................................................... Capitulo 2: Deformación simple .......................:...........................

9 39

Marco Liaoos R.. Autor

Capítulo 3: Torsión ....... ............ ............... .................... .................

107

Diseño de ponada: Giovanna Pérez Composición de interiores; Melissa Chau Responsable de edtc.On: Ylsela Ro1as

Capítulo 4: FuerL.a cortante y momento flexionante en vigas ......

139

Capítulo 5: Esfuerzos en vigas.....................................................

211

Capítulo 6: Deformación en vigas................................................

295

Capítulo 7: Vigas estáticamente indeterminadas..........................

387

Capítulo 8: Vigas continuas ..........................................................

45 1

Capítulo 9: Esfuerzos combinados ...............................................

563

Registro de Proyecto Editorial n.• 31501000700532 Hecho el depósrto legal, según ley n.º 26905 B,bhoteca Nac,onal del Porú

Capítulo I O: Vigas reforzadas ......................................................

677

Reg, n.• 2008·04470

Capítulo 11: Columnas ................................................................ .

717

Prohlbtda la reproducción total o parcial de esta obra sin previa autOflzación escr,ta del autor y el editor.

Capítulo 12: Uniones remachadas y soldadas ..............................

753

Impreso en Peru I Printed in Peru

Capítulo 13: Temas especiales .....................................................

807

Pedidos,

Capitulo 14: Comportamiento inelástico ..................................... .

863

Ca"t . . comp1ementana . ................................. .. p1 u lo )51fi : n ormac,on

909

Res,sTENC1Aoe MATERIN.ES • SowclONARIO MARCO u.ANOS R. C

C

Editorial San Marcos EIRL. Editor Jr. Oávalos Usson 135 • Urna

RUC 20260100808 Telefa.x: 331-1522 E-mail· informesOedltoOalsanmarcos.com

Primera edición: 2008 Tirajo: 1000 cJomplares

ISBN 978·9972·38·465·3

.

Av. Inca GarC-Jlaso de la Vega 974, L1m.a. Telofax: 424--6563 E·matl: ven1asOeditoriatsanm.arcos.com Comp0sk:ión, d1agramaci6n e impres,On; Anibal Jesús Pa,edes Galván Av. Las Lomas • 1600 • S.J L.

AUC 10090984344

.

-

11111 Luego:

_ AB

o,-AAB

~

D

En el corte z • z :

8164,966 N o, = 400 X 10-,¡m2

i\

!\

'

'

o, = 20,412 MPa o, so,..,= 100 MPa (cumple) :.

Reemplazando en (1 ):

AB =40000N

z

AC = 48 989,795 N

AC Luego: o,= = 244,949 MPa =>o,> o,,, (no cumple)

A""

=

AC 10 kN AB = 8,165 kN

Reemplazando en (2):

o

!W=11 ,154kN!

104. Calcule, para la armadura de la figura, los esfuerzos producidos en los elementos DF, CE y BD. El área transversal de cada elemento es 1200 mm 2. Indique la tensión (T) o bien la compresión (C).

i

)(3) + 180(3) = O

225x103 N 1200x10.. m'

D.C.L.

l

200

180

=>

FD = -225 kN

•

(C)

1º"' : 187,5 MPa I (C)

l:F,=0 Fo ( i ) + ED + 180-200=0

•m

8

ED = 20 + 225(: )

=>

ED = 200 kN

(T)

=>

EC = 135 kN

(T)

J:FH:, Q

(JEC:

o

¡e

=>

,o-

EC:-FD ( ~ ) Resolución:

EC

F

IM 1 = O FD (

Entonces:

FO

53•

b) o...,= 100 MPa A,,, = 400 mm'

\

z

EC / 1200 X 1()-6 m' =>

1 º•c=112,5MPaj (T)

.z

•

D.C.L. (nudo "D")

08

....-. - o '

!

ARl = 427,2 mm2

rn

I

8

En toda la estructura:

l:FH = 0

I:M• = o(t Dy(6) - 40(9) - 50(12) = O Dy = 160 kN

ª'"

1 1

___.!~~~--1:~'.....:+...-~G

A. O

=

i:Fv O "":., = 90 - 160 f\ -70 kN

C

8m

=

I

F

1 JC

40kN

o

to,

En el corte x-x: •'

-Es(~ )-Fs( "J~3 )- FC = O

-FC = 62,5( )+ 42, 73(

~

~~3 ) =>-

52,5x103 N A.e= 80x10• N/m'

=>

FC = -52,5 kN

(C)

I

A,c = 656,25 mm2

••• • ES '

X

106. Todas las barras de la estructura articulada de la figura tienen una sección de 30 mm por 60 mm. Determine la máxima carga P que puede aplicarse sin que los esfuerzos excedan a los fijados en el prob. 105. 40 kN

50kN

•

-

Resolución: D.C.L.

p

Luego:

e

1 BA =-;PI

(C)

D.C.L. (nudo "A") AB

A,"1-'"--~~...._~5~3·~4T- •O

f·

A,

8,4m

•1'• 3,8m J'~

3BA + 4BC = -5P

X

18

=>

P = 240 kN

P

=275 kN

107. Una columna de hierro fundido (o fundición) soporta una carga axial de compresión de 250 kN. Determinar su diámetro interior si el exterior es de 200 mm y el máximo esfuerzo no debe exceder de 50 MPa.

Resolución:

o m"' = 50 MPa A= P =

o

3(¡BC )+4BC=-5P

3

250x10 N 50x10 6 N/m2

A= 5 x 10..., m2 = 5000 mm'

1t

9BC + 16BC = -20P

2 2 A= -(D 4 eld -DIN. )

25BC = -20P

o.,

=>

(T)

P = 180kN

12 - P = 100 x 18 => 25 Escogemos el menor: 1P = 180 kN j =>

12

Ep

P =oA A= 18 x 10"' m'

En AC:

sA(i )=se(~) 4BA= 3BC

AC

:EF" = O

= 1183,395 mm

=>

!

1t

5000 = -4 (200' - D.,2)

-

-

RE95Tf'1CIA Df ,,,TE/MUS· S ~

108. Calcule el diámetro exterior de un tirante tubular de acero que debe soportar una fuerza de tensión de 500 kN con un esfuerzo máximo de 140 MN/m 2 Suponga que el espesor de las paredes es una décima parte del diámetro exterior.

A= : (40' - 30') = 549.779 mm'

cr

Resolución: cr..... = 140 MN/m2 e = (D•• - D...., )/2 0,10,,. = (O•• -D,,.)/2

36,125x 10 N 549,779 x10-"m'

1

,,

=>o= 65,708 MN/m

11 o. Un tubo de acero se encuentra rígidamente suJeto por un perno de aluminio y por otro de bronce, tal como ·se muestra en la figura. Las cargas axiales se P aplican en los puntos indicados. Calcule el máximo valor de P que no exceda un esfuerzo de 80 MPa en el aluminio, de 150 MPa en el acero o de 100 MPa en el bronce.

º·· = º·· . .

0,8 (1) A =~ = 500x HYN cr 140x10' N/m2

Resolución: A = 3,571 x 10-0 m' = 3571 mm'

A=

,..

¡(D,; - o.:) ...(11) 1 1

I en 11: 3571 =

:

p

lt

4 [D,/- (0,8D,.)'J

4546,738 = 0,36

o...'

=>

..

1

¡o.•

= 112 mm

I

•

!: ¡ 3P l .!

¡ :

:

i

j •

!

!

tm

2m

2.Sm

.

11
P.,=16kN

m2

-·

(T)

N 2P 61 150 x lQ& m 2 - 400 x10 'm' =>

P = 314 159,265D' kN

116. En el dispositivo del tren de aterrizaje descrito en el Prob. 09, los pernos en A y B trabajan a cortante simple y el perno en C a cortante doble. Determine los diámetros necesarios si el esfuerzo cortante admisible es de 50 MN/m2 .

BA

Resolución: D.C.L.

p

1t.D.e

300 x,o• ~ = 314 159,265x 10 D m' it.Dx0,01 3

2

53,1°

.1D = 0,03 m = 30 mm

20

-

RESISTENCIA OE IMTEIIIAUS • SOWCKINAJIIO

BA = 36, 125 kN

1'. = 50x106 -

(C)

N

m•

º··

4x 36,125x 103 N 6 = nx50x10 N /m' I:FV = O Cy: 36, 125 X Sen53,1º - 20

=>

~ y;;

j D0 A = 0,030 m = 30 mm

I

e X = 21,69 kN

e= Jc/+c/

C = 23,441 kN

2x23,441x103 N nx50x106 N/m 2

=>

loe= 0,017 m = 17 mm

'º""

D.C.L. 0,2mm

0,24m

O

I

117. Una polea de 750 mm sometida a la acción de las fuerzas que indica la figura está· +'-'f'---::;¡¡,,=-.,_ o.,11a montada mediante una cuña en un eje de .,.-~='--~ 50 mm de diámetro. Calcule el ancho b de !i la cuña si tiene 75 mm de longitud y el 11! esfuerzo cortante admisible es de 70 MPa.

D,

e:

™·=o P x 0,2 = 30 x 103 x sen60º x 0,24 => P = 31 176,914 N => !P = 31,tn kN

I:F = O

• Oy = 30 x 10' sen60º

Oy = 25,981 kN .

l:F = O 0 ": 30 X 103 + 31,177

O =61 ,177kN

•

8kN

Resolución: 10kN

D.C.L.

A

p

Resolución:

Cy = 8,889 kN

l:FH = 0 Cx = BAcos53, 1°

De=

D=

118. La palanca acodada que representa la figura está e~ equilibrio. (a) Determine el diámetro de la barra AB s1 el esfuerzo normal está limitado a 100 MN/m 2. (b) De· termine el esfuerzo cortante en el pasador situado en o , de 20 mm de diámetro.

'

Entonces:

O = Jo! + o:

:.

IO =

66,465 kN

I

37Smm

a)

37Smm

I:M0 = O (! R(25) = 10(375) - 6(375)

R

P = AB =>

o

A= 857,14 x 1()-6 A = 0,075 X b

b) 1'.o = - - -

m2 !b=11,4mmi

D...,=

4x31176,914 N N nx100x106 2 m

Io,..= 0,02m = 20 mm j

=60 kN

N 60x103 N ,: = 70 x 106 m• = . A

Igualando "A":

/4(AB)A8 ·, o.. = V~

8kN

=>

W.Jcl

2TC(~)

66465,14 N

d0 = 0,02 m

~(0,02)'

2

4

l

'to= 105,782 MPa

j

I

m 119. La masa de la barra homogénea AB mostrada en la figura es 2000 kg. La barra está apoyada mediante un perno en B y mediante una superficie vertical lisa en A. Determine el diámetro del perno más pequeño que puede usarse en B si su esfuerzo cortante está limitado a 60 MPa El detalle del apoyo en B es idéntico al apoyo D mostrado en la figura del problema t18.

Resolución:

D.C.L.

D.C.L. ~

c0

V '

d,.

J::

'

,

"'

/ , N-Poose

e,

B, = 7,35 kN

V 3000N r = = • A, 1154,701x10 'm' b} De la figura:

P-2000 x 9,8

B,

B = Is• ~B'

'

0.02m

A : 0,05 >

d6 -0,0149m

=>

I

120. Dos piezas de madera, de 50 mm de ancho y 20 mm de espesor, están pegadas como indica la figura. (a) Aplicando las p+•-_, ideas que se expresan en la figura 1-4a, . determine la fuerza cortante y el esfuerzo cortante en la unión si P= 6000 N. (b} Generalice el procedimiento para demostrar que el esfuerzo cortante en una sección inclinada un ángulo a respecto a una sección transversal de área A. tiene un valor dado por r - (P/2A)(sen20).

Id•

14,9mmj

_

-

Psene A/cosO

=>

1Te = 2,60 MPa I

p

=> t.=: senecosax( ~) =>

121 Un cuerpo rectangular de madera, de sección transversal de 50 mm x 100 mm, se usa como elemento de compresión, según se muestra en la figura. Determine la fuerza axial máxima P que pueda aplicarse con confianza al cuerpo si el esfuerzo de compresión en la madera está limitado a 20 MN/m 2 y el esfuerzo cortante paralelo a las vetas lo está a 5 MN1m2• Las vetas forman un ángulo de 20º con la horizontal. según se muestra. (Indicación: use los resultados del problema 120.) Resolución:

ºe= 20 x 10' N/m~ Pe= 0 c A Pe= 20 x 10' Nlm· x (100)(50) x 10... m' r, =

P, A sen20 2

:. Pe= 100 kN

'• =

2A sen20

p

20'

100 m,,

119 La rn la barra homogenea AB mostrada en la !gara es 2000 kg La barra está apoyada mediante un

•

perno en B y med ante una supeñ«:ie vertical lisa en A oeterm,ne el diametro det perno más pequeno que puede usarse en 8 s1 su esfuerzo cortante está l1m1tado a 60 MPa El detalle del apoyo en B es ídentoco al apoyo D mostr3do en a figura del problema 118.

"'"'===-=:;; •• D.C.L.

R, • 7,35 kN a

'

B• =735kN

'u

B -20.933 kN

,2•20933 10 N Vn 100 10' Nlm'

.

O.OS 0,02 : 1154.701 cos30 V

3000N A, 1154,701x 10 'm' b) De la r,gura

'"

~'B,+B

0.02m

Va3000N

A,

o

~IV bi

a) V • 6000sen30

19,6 kN

:EF. = o B = A.,.

VISTA FRONTAi.

A A,=coso

i;F, = o

B

V STA lATEIW.

= o(i:

R,(8) - 19.6(3) ,-,

B

DCL

0

Resolución:

IM0

Resoluc16n:

Id,,

0,0149 m

120 Dos piezas de madera, de 50 mm de an· c~o y 20 mm de espesor, están pegadas como md1ca la figura. (a) Aplicando las •dens que se expresan en ta hgura 1·4a, detarm ne !a fuerza cortante y el esfuerzo cortante en la un 6n s, P- 6000 N (b) Genetaltee el proced1m1ento para demoslrar que el esfuerzo cortante en una secc16n 1 , ada ur1 ángulo u respecto a una sec· e n transversa de área A. tiene un va· I r por r (Pl2A)(sen20)

I

p ••--1

_

14.9 mm

I

P,

-A,

X

10 1 m'

I

t,. = 2.60 MPa

~ ,,,= ~sen2e j

Psen6 A/coso

121 Un cuerpo rectangular de madera. de sección transversal de 50 mm x 100 mm. se usa como elemento de compresión. segun se muestra en lu figura Determine la fuerza axial máxi~ ma P que pueda aphcarse con confianza al cuerpo si el esfuerzo de compres•6n en la madera está limitado a 20 MN/m2 y el esfuerzo cortante paralelo a las vetas lo está a 5 MN1m 2 Las vetas forman un ángulo de 20 con la horizontal. segun se muestra. (lndlcacion. use los resollados del problema 120.)

Rosotucl6n: a 20 )( tO' N 1m pe= qc A P 20 • 10" Nlm x (100)(50) x 10• m•

I

. Pe~ 100 kN

,..

100 ...

N Pv = 5 x 10' 2 x 2 x (100)(50) x 10" m2 / sen2(20º) m Pv = n,786 kN :. PH = 113,247 kN

I

:. P = 77,786 kN

De los 3 valores escogemos el menor:

I

124. La junta que se muestra en la figura está sujeta mediante tres remaches de 20 mm de diámetro. Suponiendo que P = 50 kN, determine (a) el esfuerzo cortante en cada remache, (b) el esfuerzo de contacto en P cada placa, y (c) el má)(imo esfuerzo promedio en cada placa. Suponga que la car· ga aplicada P está distribuida igualmente entre los tres remaches.

p

Resolución: 122. Problema ilustrativo. 123. En la figura 1•11 se supone que el remache tiene 20 mm de diámetro y une placas de 100 mm de ancho. (a) Si los esfuerzos admisibles son de 140 MNfm2 para el aplastamiento y 80 MN/m2 para el esfuerzo cortante, determinar el mínimo espesor de cada placa. (b) Según las condiciones especificadas en la parte (a), ¿cuál será el máximo esfuerzo medio de tensión en las placas?

a) t=

P,

n.º remaches

1

50x103 t= ~ - - - -

!:(d)' 4

3(; Jco. 02)' t

1

1--+P.

=

I b'

a>

p

p O -

• -

n.•remaches

1 t.d

X-

I

o,= 33,333 MPa

pb........

'Ü

r+Pb

p 1 o= x--~ c) " n.ºremaches t(a -d)

~del área de contado

Figura 1·11

=> p =

H

2 X

4 (0,02)

80 X 10'

Del esfuerzo de aplastamiento: P• =A,,. 0 0

=> P = (0,02)(t)

X

140

X

106

... ...

Igualando P: t = 8,98 x 104 m = 8,98 mm

=>

1t = 8,98 mm

P = 25 132,741 N

P=2,8x 1o•xt N

!

o = H

p t(a-d)

125. Para la junta traslapada del problema 124 determine la máxima carga P que pueda aplicarse con confianza si el esfuerzo cor· tante en los remaches está limitado a 60 MPa, el esfuerzo de contacto en las placas, a 11 O MPa y el esfuerzo de tensión medio en tas placas, a 140 MPa.

MPa

0 = _ _..;2::;5;..;1.:,:32.::.7.:...4:...:1~Né:--::::--c H 8,98x10"m(0,1 m - 0,02 m) 1

º• =

34,984 MPal

P, = n.• remaches x P, = 3 x

lt

4

lt

4

(d)2 x

(0,02) 2 x 60 x 10'

I······

t

=>

P{

j

,~~: ººº ,~r

Resolución: Del esfuerzo cortante:

b) Del esfuerzo de tensión:

•

3x0,025x(0,13-0,02)

1 º• = 6,061 lt

!

5ox10' o = --,-_;_;...;_,.;..:..,...--.

Resolución: a) Del esfuerzo de corte: P=Axt

I

50 X 103 o = --'--'----'-• 3(0,02)(0,025)

=>

•

= 53,052 MPa

=56,549 kN

J-+P

RESISIENCIA Df "'"'"'11'S • SOI.UCKJNmO

Del esfuerzo de aplastamiento:

Resolución:

P8 = n.º remaches x t. d x cr,

p A) t = A

P8 = 3

X

(0,025)(0,02)

X

110

X

10'

P8 = 165kN

Del esfuerzo de tensión: P• = nº. remaches x t x (a - d) x crN p N = 3 X 0,025 (0,13-0,02) X 140 X 10•

P, = 1155 kN

.. lP = 56:549 kN

De los tres valores escogemos el menor:

J

=>

34x 10 3 N t,,.•• = nx0.186 mx0,16 m

=> t,_.

t,,..,, = 40,994

MPa

= 36,366 MPa

l

3

=> d,. = 0,089 m => d,. = 89 mm

J2P •IC_

o F

d=

2x55x103 nx 7 0xlo•

=t.d

:.

Jd=22mm

I

G

4m 96kN

P/2

cr

=> d=0,022m

=>

t=

p

2.d.cr

t=

55x10' 2 X 0,022x 140 X 106

t = 8,928 x 1O" m

:.

1t = 9 mm !

200kN

96kN

(a) p,.

Resolucíón:

o

D.C.L. 127. Un tomíllo de 22,2 mm de diámetro exterior y 18,6 mm en el fondo de la rosca, su¡eta dos piezas de madera, como se indica en la figura. Se aprieta la tuerca hasta f7!7r.~ ,-l¡--,lo,i,~~ tener un esfuerzo de 34 kN en el tornillo. (a) Calcular el esfuerzo cortante en la cabeza del mismo y en la ros· ~~~~ ca. (b) Determinar también el diámetro exterior de las arandelas si el interior es de 28 mm y el esfuerzo de aplastamiento admisible en la madera es de 6 MPa.

LL~•

j

128. En la figura se muestra el esquema de una armadura y en el croquis (b) el detalle de la unión de las barras, mediante una placa, en el nudo B. ¿ Cuántos remaches de 19 mm de diámetro se necesitan para unir la barra BC a la placa, si los esfuerzos admisibles son t = 70 MPa y = 140 MPa? ¿ Cuántos para la barra BE? ¿ Cuál es el esfuerzo medio de compresión o de tensión en BC YBE?

ª•

7t. t

:(d')

34x103N t.,..,,= nx0,022 mx0,012 m.

4x34 x10 + (0, 028 )' nx6x106

~,• => d =

=1t • D. t

4

Resolucíón:

P/2

A

p B) cr, = - - - - it(dCld 2 - d11'12)

126. En la articulación de la figura 1•1Ob determine el diáme· tro mínimo del perno y el mínímo espesor de cada rama de la horquilla si debe soportar una carga p = 55 kN sin sobrepasar un esfuerzo cortante de 80 MPa ni uno de 140 MPa a compresión.

t=

P = 34 kN

W.PI

.,C..__.\ [ o,. = 18,286 MPa 76,8x10' 4 x 0,013x(2x0,075 - 0,019 - 0,013)

131.oemuestre que el esfuerzo en un cascaron esférico de pared delgada, de diá· metro O y espesor t. sujeto a una pres1on interna p, está dado por o = p0/4t.

Resolución: => 1 o.,.= 12.516 MPa

129. Repetir el problema anterior con remaches de 22 mm de diámetro sin variar los demás datos.

p

Resolución: Del problema anterior: BE = 76,8 kN (C)

=>

ª·

Haciendo equilibrio: P = F BC = 96 kN (T) o, x

Para nuestro caso: d = 0,022 m

1t

D'

xDxt=p xnx

=>

4

En la barra BC: 4x 96x 10' n = = 3,608 2 1t(0,022) x70x10• ' n "b

=

96x103 =5195 ' 0,006x0,022x140x10 6

pD] 4tl

132 Un recipiente cilíndrico a presión está fabricado de placas de acero que tienen un espesor de 20 mm. El diámetro del recipiente es 500 mm y su longitud. 3 m. Determine la máxima presión interna que puede aphcársele s1 el esfuerzo en el acero está limitado a 140 MPa. Si se aumentara la presión interna hasta que el recipiente fallara, bosqueje el tipo de fractura que ocurriría. Resolución:

n, = 4 remaches

n.

f~ L

6 remaches

ara la barra BC se necesitarán 6 remaches 0

96x 10' oc= 6 x0,006 x(2x0,075 -0,022 0,006)

ºoc = 21,858 MPa

En la barra BE: 4x76,80x101

n = _ __;_..:..:;~.c..:...::...__ 2 ' 1t (0,022) x70x 10•

=2 886 '

76,8x10 3 n., = 0,013x0,022x140 108 = 1•918

p.D o= e 2x t

n, = 3 remaches

2xtxoc

o 6

P= 2 x0,02x140x 10 0,5

n"' = 2 remaches

para la barra BE se necesitarán 2 remaches 76,8x10' º"' = 3x0,013x(2 x 0,075 - 0,022-0,013)

:) P=

[ o.. = 17,124 MPa

I

Fa la por junta long111Jd nal

:.

[

.

P= 11 .20MPal

133. Hallar la velocidad periférica límite de un anillo g1ratono de acero s1 el esfuerzo normal admisible es de 140 MN/m2 y la densidad del acero, 7850 kg/m 3 . S1 el radio medio es de 250 mm. ¿a qué velocidad angular se alcanzará un esfuerzo de 200 MN/m2? Resolución:

130. Problema ilustrativo. De. o = p . .,.

=>

v=

l

=>

f140x1 0 V= \ 7850

:. j v = 133,545 mis !

o=pv2

=

o = p(ro . r,)'

De los 2 valores obtenidos escogemos el menor, por lo tanto: 1 O = 412 mm I

200x 1o• 2

7850x0,25

:. l

ro = 638,47 rad/s

134.Un depósito cilíndrico de agua de eje vertical tiene 8 m de diámetro y 12 m de altura. Si ha de llenarse hasta el borde, determinar el mínimo espesor de las placas que lo componen si el esfuerzo está limitado a 40 MPa.

Resoluc/6n:

,36. una tubería que conduce vapor a 3,5 MPa tiene un diámetro ex)erior de 450 mm y un espesor de 10 mm. Se cierra uno de sus extremos mediante una placa atornillada al reborde de este extremo, con interposición de un~ junta o empaquetadura. ¿ Cuántos tornillos de 40 mm de diámetro se necesitan para sujetar la tapa si el esfuerzo admisible es de 80 MPa y tiene un esfuerzo de apriete de 55 MPa? ¿Qué esfuerzo circunferencial se desarrolla en la tubería? ¿Por qué es necesario el apriete inicial de los tornillos de la tapa? ¿Qué sucedería si la presión del vapor hiciera duplicar el esfuerzo de apriete?

Resolución: p=pxgxl kg m p = 1000x9,81, x 12 m 3

m

pxD Oc= 2 XI

s

pxD ..... t = 2 xo,

=

p = 117 720 N/m2

=

117 720x8 t = 2x40x10• t = 11,8 mm

=0,0118 m

d

n

nxD' 4 .p

F=

F

t

= ~ x (0,45 m)' x 3,5 x 10' : .

!

=> 1F

=556,651 kN I

F t= ~

135. En el depósito cilíndrico de la figura 1-16 la resistencia de las juntas longitudinales es de 480 kN y de las transversales, de 200 kN. Si la presión interior ha de ser de 1,5 MN/m 2 , determinar el máximo diámetro que se puede dar al depósito.

•

55x10 x(: x(0,04 m)

O= A A : n . D,.: t - n . d . t

= º"""

Junta circunferencial

=

o

.,.

n,

=9

tornillos

'

A: t(n .D., - n.d)

CIIC..

De la resistencia longitudinal:

p

p

A " -o => t(n . D... - nxd)

2

p = nDl .p 4

480x103

D=2JP'=2 L n,p n x 1,5x10•

n . o.,

=

o,= 0,638 m => o,= 638 mm

2 P, = 2 ooxio• n.p nx1,5x10•

p

--

a. t

=n.d

=>

=o n=

n.O,. d

p

o. t. d

Entonces:

P = (n. D, . t) o,= (n . D, . t) x p.D, => P1 = n.D~ .p 1 41 4

J

2

6

= 8 05

p

Junta longitudinal

o _2 , -

556,651x10

'

Junta circunferencial

Resolucí6n:

L

3

n =

=

o,= 0,412 m = 412 mm

n•

=

nx0,43 0,04

556,651 x 103 aox 10• x o, 01x 0,04

De ambos valores escogemos el mayor

=> n = 16,3n .,.

•

n = 17 tornillos

•

Ise necesitarán 17 tornillos I

-

RéSISTEllCIADl'MATUIIAUS-~ - - - -

0c

o...

p.o... =

5625x103 n = 140x106 D.,, = 450 mm - 2 x 10 mm N 3,5x10• ,x0,43m

Oc= ---....U.'---2x0,01 m

:. J

0 0 = 75.25 MPa

=>

o.,

= 0.43 m

I

•

El apriete inicial permite que tos tomillos permanezcan fijos.

•

Si se duplica el esfuerzo de apriete las pernos fallarían.

137. Un conducto o tubería de presión formado por una placa remachada en espiral tiene 1,5 m de diámetro interior y 1O mm de espesor. El paso de la espiral es de 3 m. La junta, en espiral, consiste en un solape sencillo, sujetado con remaches de 20 mm. Si los esfuerzos admisibles son t = 70 MPa y ob = 140 MPa, determinar el espaciamiento de tos remaches a lo largo de la junta para una presión de 1,25 MPa de acción hidráulica. Se desprecia el efecto del cierre de un extremo de la tubería (esfuerzo longitudinal). ¿Cuál es el esfuerzo circunferencial?

=1,5 m

t = 0,01 m d = 0,02 m

P = 1,25 MPa t = 70 MPa

1,25x1o•x1,5 => 2 x 0.01

00 =

=P.D.,.L p

X

mm

l

F = 7500 kN

3

7500x10'

"· =

=> n =152

n (o. 03)2

70 X 108 X - ' - - - ' - 4

=>

S=

Is = 52,65 mm I

9,424 179

joc= 93,75 MP~ I =>

F = 5625 kN

139. El depósito de la figura se construyó con placa de 1o mm de acero. Calcular los esfuerzos máximos circunferencial y longitudinal que originará una presión interior de 1,2 MPa.

Resolución:

p

70 x 1o•x n(o.o2 4

J'

p :;) n ==- - , - - , . o0 (t.d}

'°'""' · ··-···~-····~~: ::¡' ""'""

F

'

T.A

3 = __5625x10 _;;,_ __:__.,.

n."A

1,25x1o•x2 2x0,01 • f : 1,25 X 1Q• X 2

n=-

n.A

al)=

1s = 36,81

0c =

2n.D

f=1,25x10"x1,5x3

t=-

p

=>

Repetir el problema anterior con un diámetro del conducto de 2 m Y remaches 138 · de 30 mm de diámetro sin modificar los otros datos.

S=--¡;-

= 140 MPa L = 3 m(paso)

P.O

n

s = 9,424 256

=>

00

Oc=2t F

2rt0 s= n

n = 201

7500x 103 179 n., = 140x1o•x(0,01)(0,03) => n.., =

Resolución:

o.,

=>

--

l' .... ' ......1•

n = 256 (B+2n} L 0 c = p 2.t.L .

\2x108 (0,6+0,4) 2x0,01

=> Joc = 60 MPa

Wl=I F• (nr'+ 2.r.8).¡,

CAPÍTULO 2 DEFORMACIÓN SIMPLE

'~--------Lr 201: 202: problemas ilustrativos. B

P=F

(1t . D + 2 . B) . t .

+ BD) . p

o -

(rrx0,4 2 +4x0,6x 0,4)x1,2 x 106

.!....--,-----...!.._;._ _

4(rrx0,4+2x0,6)x0,01

' -

:. o, =

J

o,= 17,862 MPa

I

140.Calcule el mínimo espesor de la placa que forma el depósito del problema anterior, si el esfuerzo admisible es de 40 MN/m2 y ra presión interior vare 1,5 MN/m2. De las ecuaciones halladas en el P-139: ºe=

p(B+D) 2.t =>

t = 0,01875 m = 18,75 mm

También: = (rrxD'+4.B.D).p

'

o(MN/m~

200 -------140 -- ----

•'

• --

• Límite proporcional

o

35 140 =~ 167 667 E= 209,581 x 109 N/m2

E=-= -

I E= 209,581 GPa ] 140x 106 N/m2 x 667x10"' m/m 0,002 m/m x= 419,79 x 106 Nfm2

35

------' o =419,79 MPa !

Para una deformación de 0,002 se supera el limite de proporcionalidad. Si el límite de proporcionalidad hubiera sido 150 MN/m2 se hubiera producido los mismos resultados puesto que la deformación de 0,002 supera, igual que el problema anterior, el límite de proporcionalidad.

204. Una barra prismática de longitud L, sección transversal A y densidad p se sus-

4 (1t.D + 2.B ).t

t = (rrxD' +4.B.D)p 4.o.(rr.D + 2.B)

Resolución:

167 667

t = p(B+D) = 1,5x1o•x(0,6+0,4) 2.o 2x40x106

0

203. Durante una prueba esfuerzo-deformación se ha obtenido que para un esfuerzo de 35 MN/m2 la deformación ha sido de 167 x 1o-e m/m, y para un esfuerzo de 140 MN/m2, de 667 x 10-e m/m. Si el limite de propo¡cionalidad esde200 MNfm2, ¿cuál es el valor del módulo elástico? ¿Cuál es el esfuerzo correspondiente a una deformación unitaria de 0,002? Si el límite de proporcionalidad hubiese sido de 150 MN/m2, ¿se hubiera deducido los mismos resultados? Razonar la respuesta.

(rrx0,42 +4x0,6x0,4)x1,5x108

=>

t -

-

4x40x106.(rrx0,4+2x0,6)

t = 0,0056 m

=> t = 5,6 mm De ambos valores escogemos el mayor, entonces:

1t =

18,75 mmj

pende verticalmente de un extremo. Demostrar que su alargamiento total es 6 = pgl 2/2AE. Uamando M a su masa total, demostrar que también 6 = Mgl.12AE

Resolución: :!:F = o oyCAJ - p . g . A . y = O

RESISTENCIA Dl WITERll,LES • SOI.UCI0'/11/J()

ov =

p.g.A.y

Corte M·M:

A

4pl

1--.-,.

º,=p. g y

¡;- - -

ó=J-1.dy o E

r..¡'

4p

o=

p.g.L' 2E

n.d'

w

Reemplazando:

V=,M:p.L.A

~

~ Lqq.d.

205. Una varilla de acero que tiene una sección constante de 300 mm2 y una longi· tud de 150 m se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga ~e;º kN que pende de su extremo inferior. Si la densidad del acero es 7850 kg1m Y E= 200 x 103 MN/m 2, determinar el alargamiento de ta varilla lnd,cac,ón: aplique el resultado del problema 204. ·

Resolución: ,

0 = p.L

E A

2ox10' 150 300x1o~x200 10'

d = 4,3 mm 1d = 5,05 mm

j

Resolu ción: Debido a la dilatación hay un incremento radial: ).. = 0,25 mm Este incremento es causa del esfuerzo: o. así:

,

+ p.g.L' (J

2E

7850 9.81 < 150 = 0.0543 m 2 200 10'

=> 16= 54,3 mml

06. Un alambre de acero de 1O m de longitud que cuelga verticalmente soporta una carga de 2000 N Determinar el diámetro necesario, despreciando el peso del alambre, s, et esfuerzo no debe exceder de 140 MPa y el alargamiento debe ser inferior a 5 mm Supóngase E 200 GPa.

aR E

... (2)•

N

N

A

n(r;-~')'

-

As1 N = on

(r

r)(r.-~)

... (1)

donde: R = 750 mm " E = 200 GPa

r9 : radio externo "

r,: radio interno

...(3)

Cabe recordar que r - r, = h = 80 mm (ancho) Mas. no existe rozamiento, la fuerza de acción es: F, = ¡i.N ...(4): dondeµ= 0,3 El par necesario es: M = F, x e ...(5): donde e= 10 mm (espesor) De (2): (3);(4) y (5), M

Reso/ucion: 6 = E A . donde: A

2 000

= 2.1--- ....,..,..o.n 140x106 xn

Pero el esfuerzo es provocado por la fuerza N sobre el área de acción:

6 = carga axial+ peso propio

Pl

= 0,00505 m

201. una llanta de acero, de 1o mm de espesor, 80 mm de ancho y de 1500 mm de diámetro inferior, se calienta y luego se monta sobre una rueda de acero de 1500.5 mm de diámetro. Si el coeficiente de fricción estática es 0,30, ¿qué par se requiere para girar la llanta con respecto a la rueda? Desprecie la deforma· c16n de la rueda y use E= 200 GPa.

.

2

Jp

oe los 2 valores escogemos el mayor:

Lq.q.d.

. p.g.L.2 ( A ¡¡ = 2E X A ,' pero M = "

Premult1plicando por A:

o=

d=

d = 0,0043 mm =>

=>

=

2000x10 0,005x nx2oox10•

•

. pero: A ,. o

E 2

2

ó=5,05mm

p

• - p.g

d

- re.E.et'

~

•L (J

u-

-

µ./, (r, + \) (E.n.h.el-µ.)...2.E.n.r.h.e

r ltd"

4

Reemplazando datos: M - (0,3)(0.25x10 J m) (2)( 200 10• :, ;c3.14)(80.10-3m )(0,01 m) => [M = 75,36 kN.mj

208. Una barra de aluminio de sección constan35 15 te de 160 mm 2 soporta unas fuerzas axiales 1cN FL ¿kH )OkH aplicadas en los puntos que indica la figu- ' ra. S1 E= 70 GPa, detenrnnar el alargamien· o.em '- 1.om ·' o.sm'· to o acortamiento total de la barra. (No hay pandeo de este elemento).

f;

E

r--

j

I

••-;_l__]1---•

35 kN +•----.... [_

6

ISkN

6 : {(10 X 103)(0,8) - (5

PAS 35 kN

__.F__..~1----+• Pse = 35 ISkll

15 = 20 kN

30kN

35 kN+•--1..._ _ _L l ._r"" _ _:=J ::::J_,--!JU~•- pCD

103)(1) - (35 X 103) (0,6)) X

=

= -10 kN

3P

j 6 = 3,39 mm 1(alargamiento) 209. Resolver el problema 208 intercambiando las fuerzas aplicadas en sus extre· mos, en el izquierdo la fuerza de 10 kN y en el derecho la de 35 kN.

(7ox10')(16ox1o.. )

-- -

A: 450 mm2 A• 600 rnn,f

3H

1-....

E•B I 1

IS IN

...

...~

•

B

•[._._... :~•

1-P ~•

JP

C

:

O

PAe=-3P

Pac=-3P+P=-2P

3P--·~!..,_.,,.,.....i~~¡;¡p~•.::::;4P;_¡]t="-~Í'.I-D PCD= -3P + P + 4P = 2P A

8

C

6,oca1 = 6Ae + liac + 6cD (-3P)(0.6) (-2P)(\0) (2P){0,8) 2 0,00 (83x 10'){450x10 .. ) + (70x10')(600x10_.) + (200x10'}(300x10_.)

=

Reso/ucf6n:

A: 300 mm2

3P-+jA~~¡~IL~---:¡LL_P_J-1--'-l--'I-+ 2P

1 (70x109 )(16ox10-6)

1

=> [ 6 = 1,61 mm [ (acortamiento)

Resoluci6n:

35 - 15 - 30

6: ((35 X 103)(0,8) + (20 X 103)(1,0) + (-10 X 103)(0,6)) X

X

210. Un tubo de aluminio está unido a una varilla de acero y a otra de bronce, tal como se indica en la figura, y soporta unas fuerzas axiales en las posiciones señaladas. Determinar el valor de p con las siguientes condiciones: la deformación total no ha de exceder de 2 mm, ni las tensiones han de sobrepasar 140 MN/m2 en el acero, 80 MNfm2 en el aluminio ni 120-MN/m2 en el bronce. Se supone que el conjunto está convenientemente anclado para evitar el pandeo y que los módulos de elasticidad son 200 x 103 MNfm2paraelacero; 70x 103MN/m2 para el aluminio y 83 x 103 MN/m 2 para el bronce.

1 30kN

Peo= -35 kN

= 6AB + 6ac + ócD

¡¡ =-1,607 x 1o-3m

Resoluc/6n:

35 kN

Pac =-5 kN

30)~

0,002 = -4,819 X 10-8 p - 4,762 X 10-S p + 2,667 X 10-S p P = 28,927 kN

Del bronce:

o=120x 106=

Del aluminio:

o=80x 106=

3P x o• 450 1

Pti 4,5 m

Iy=

c

2m

o

-

un

bloque prismático de concreto de ~asa M ha de ser suspendido de dos varillas cuyos extremos inferiores están al mismo nivel tal como se indica en la figura. De· term;°nar la relación de las secciones de las varillas, de manera que el bloque no se desnivele.

l:MA=

E•70Gl'il L=8m

Acaro

E=lOOGP•

l•3m

0(i

D.C.L. (fado derecho) SOkN

Dy(4) = 50(2)

o, o,

2m

D, = 25 kN

5m

2m

A.¡(4,5) + T8 (1,5) = O

3m

2

lrv = O

SOkN

\+Dy+T8 =50 ,\ + 25 - 3(Ay) : 50 A,

r

=37,5 kN

e 11

2m )

l 2LA1 º· o

le

B

Mg 3

Mg(3)

Mg(6) 5 =-"'5'--~9~2oox109. A,c 70x10 .A3 ,

Aa,

A

•
Tac_2M - - .g 5 60c = 681

Ea, A.,

-3\

T.,_

A

_ T11 . L•1

T8

m

r...

r.1= 35 M.g

I:Fv = O

D.C.L. (lado izquierdo)

G

">

2,8125 mm

Resolución:

(i

Ay"' -12,5 kN

m

=

IP = 18 kNl

T81 (5) = M . g (3) =>

Ta=

6 = 1,875 mm

pacero=18kN

Reso/uci6n:

™c=O

37,5x10,x3 200x 109 x300x10 ~

1,875 mm

212.

211. Dos barras AS y CD que se suponen absolutamente rígidas están articuladas en A y en D y separadas en C mediante un rodillo, como indica la figura. En ,e, una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50 kN. Determinar el desplazamiento vertical del rodi· llo situado en C.

™ c=O

PL 6= E.A

Pal,m1n,o = 24 kN

2P x _. o=140x 10 6 : =a> Delacero: 300 10 De los 4 valores obtenidos escogemos el menor, por lo tanto:

•

El

RESISTE.,,ctA Of MATERIAUS - S0t.llCIO,'iARKJ

u

213. La barra rig1da AS, sujeta a dos varillas ver·· ticales como se muestra en la figura está u lJ en posición horizontal antes ~e aplicar la carga P. Si P = 50 kN, determine el mov1· L=3m miento vertical de la barra. A=300mm2 E•200GPa

lJ

Alumi"'° l =4m A=500mm'

"""'°

E-70GPa

8

A

2m

3m p

=8,571

..

D.C.l. (Barra AB)

Resolución:

IM.. =o(i

To1 (5) = P(2)

2m

=> Ta1 = 20 kN

=

=

T,1{3) T80(6) => T.t =

3m

p

º• = 2oo x130x0• x10'30ox3x 10.. 2oox 1o' x4 70x10'x500 x 10-< A I Zm

I

15nmTL , :.L. ~ - -

T,o

- - -- 1·

-- -

... '1... ...

1,309 X 10-• P = 0,005 =>

1,5mm 2.286mm 0,786mm

-

l

P = 38,182 kN

-

! IY = 1,814mm j

-

Resolución:

l =2m

p

A• 500 lll1t2

o

E•70GPa

lm

3m

j

215. Una varilla de longitud L y sección circular tiene un diámetro que varía linealmente desde D en un extremo hasta d en el otro. Determinar el alarga· miento que le producirá una fuerza P de tensión.

B X

dy

L L•

y

p

•• ••

..• .... - .....La--

•

•• ••

o

D.C.L. (barra CD)

=o(.+

Toe(6) = P(3) => Toe = P/2

2x y

P(2) ] [ P/2(2) ] = 0,005 2 70 x 10' x500x10-' + 200x 109 x300 x 10-< [

1..11~ ciª1······ 1·

214. la~ batras r!gidas AB Y CD mostradas en la figura estan apoyadas mediante pernos en A Y en C,_ Y mediante las varillas mostradas. º?termine la máxima fuerza p que pueda aplicarse como se muestra si el moví· miento vertical de las barras está limitado a 5 _mm. Desprecie los pesos de lodos los miembros.

l:Mc

2x

lm

=> lx=0,314mm

Resolución:

-~-

t=:::---

2 . 6,, + l\c. = 0,005

6a = 2,286 mm

. . . ... .. .

0,786 mm x 5m = 2m

A,

6••1 =Y

2JC +y= 5 mm

oA = 1,5 mm =>

2(:)

3m

3m

Ta1 = p

A'---t----_JB

1:.Fv O

6,, =

r..._

v,,,. =oCt

T..._

r,.. 3m

3m

e, p

De la relación de triángulos:

~= ~ = ~ Y l0

l4

6 = rto E_ • dy Jt. E A

=>

X=

O.y

lo

A

l o= -D

Lo

d

m

MARCO i.LA•IOS

Jt)C.

Donde:

A=

4

=>

vanllas de aluminio AB Y BC articuladas ~n A y e a so211 [)OS . ·c1os como indica la figura, están unidas en B meportes ng1 • s·I 1as van-. rtan la carga p = 20 kN Sopo sador Y diante un pa ~, .,,_, "A n una sección de 400 mm2 y E= 70 x 1u-M,..,m-,I Has ....,ne de cada una Y e t ml·nar las deformaciones 1otales deer · BC ·• desplazamiento horizontal y vertical del punto . ons1 dérese « = 30° Y = 30º.

D A -- n • ' 2.y' 4 L:0

Reemplazando:

A

Lo3m

e

4P.~2 ¡,to

¡¡ =

n.E.D

¡¡ = 4P.~ 1t.E.D

2

Ld

y . y

[t.o-Lg] lo.~

c

6 = 4P.Lt2 r-1 ]Lo

d

2

n.E.0

=>

y Lo

¡¡ _ 4P.L¡¡ .!;_ 2 •

n.E.D

Ld

Resolución: D.C.l.

¡¡

BA

4P.L IFH=O

rt.E D.d

216. Una varilla delgada de longitud L y sección recta constante A, situado en un plano horizontal, experimenta una rotación alrededor de un eje vertical que pasa por uno de sus extremos. Llamando r a la densidad y ,~ a la velocidad angular, demostrar que el alargamiento total de la varilla viene por poo2 L3/3E.

BAcos30º + BCcos30º = O

B

[BC =-BA [

P-20kN

BC

I:Fv = O BAsen30º - BCsen30º = P

Resolución: w

I:F=m.aR

BA~;) _ (-BA)(;) = p

:.

1BA =

PI "

1BC

=-PI

F =A.dx p.ol.x

I•

F = A . 002 • p . x . dx

X

Desplazamiento de "B": A

¡¡ =

J.' F.x .dx O

E.A

0 _ J.' (A.w' .p.x.dx) o

E.A

20x1d'x3 ÓaA = 70x109 x400x10..

X

68A: 2,143 X 10--3 m

l.q.q.d.

-

IIDI 2ox 1o•x2 _ 6 ec- 70 x 1o• x 4oox10-< llec = 1,429 x 1o-3 m

m

BA sen45º - BC sen30º = P aA(1)-sc(;)=P

¡n 6.

a

3

= dsc sec60º + ll, tan60º = 26ec +

../3 ll,

6BA =OO + OP

30

1 ... (1) ...(11)

00 = 6. sec30º

o

(3 ( -..¡ 2 sc

lJ2) 2 -2

BC =P => BC=-0,732P BA=0,897P

6y= m + n

ºv 1ºv

=>

0,897(20x 10 )(3) 6BA = 2oox 10• x 400 x 10...

=>

6BA=0,673x 10-3m

(alargamiento)

=>

Oec = 1,046 x 10-:i m

(acortamiento)

3

o,732(2ox10 )(2) llac = 70x109 x 400 x 10-< Desplazamiento de "B":

A

2

00= 736x

...(a) B

m ~

a y p en 11: 6 ;

../3 + 2 6x

De 111 y 1:

j 6. = 0.412 mm

= 6BA

=>

1 268A = lly +

./3 6x

···-~

.·

•• ••••••• "'&; 1

... (111) ºv=m+n

I

j 6Y = 3,571 mm

I

6v = 26ec +

218. Resolver el problema 217 si la varilla AB es de acero, de E = 200 x 103 MN/m2• a= 45º y a= 30º, sin modificar los demás datos. Reso/ucl6n: D.C.L.

~ - ..!!.... 6y-6¡¡A ' 6y --

º•• 72

../3 6,

~

º~µ

donde µ = 6.'12

...(11)

De (1) y (11): •

8A

l:FH=O BAcos45º

=-BCcos30º

BA=

g

BC

Tenemos: 6,

=

º·~

3

a

6,;;w

... (1)

=> 16, = 0,476 mm 1

(alargamiento)

[ 6x = 0,933 mm J

(acortamiento)

..

RESISTENC1J, DE MATf!W.fS • SO/.IJCIONl,f¡(()

219. Una barra de sección circular que varía linealmente desde un diámetro O en un extremo hasta otro menor d en el opuesto, se suspende verticalmente de su extremo más ancho. Si la densidad del material es p , determinar el alargamiento debido a su peso propio. Aplicar el resultado a la determinación del alarga. miento de un sólido de forma cónica suspendido de su base.

oonde:

Vz -V - cono Y -Vcono •

Resolucl6n:

2 [·.2 (D-d) ] _ 11t.l!: d.L V,=31t Y L2 Y 3 4 (0-d)

1

D

~

D

j A,· y- j 1t(sf )x

V,=

4

•

• •Z

• .. ... .A.

A

~

p

L

...(~)

L y

•• w.• • • ••

..

(~) en (a):

X

'71

De la relación:

o - pg[ cJ3L3 ] y - 3 y y2(D-d)3

x - x+L => !d= xD+L => xD-xd=dL => x= d.L d/2- D/2 (D-d)

z = d/2

yx

=>

z=

~(º=i!) 2dl=>

Z=

Pero:

O= _eQJx•L[

y(D-d) 2L

3E

Corte A ·A: G

2

l\:.ei!fy

.,-Az

'u.u.u ® '-F=.;:;..-,t:y= 4P . u Enci2

l

a, e, =

E(-1J o,)

Pero:

p =

6y=Ey·d

6 = 4Pd2 Y

rcEd

•

\)

6 = 4Pu Y

nEd

223. Un bloque rectangular de aluminio tiene 100 mm de longitud según la dirección X, 75 mm de ancho según la dirección Y y 50 mm de grueso en la dirección Z. Está sometido a tres fuerzas según tres direcciones. Una fuerza de tensión uní· formemente distribuida de 200 kN en la dirección X y fuerzas de compresión uníformemente distribuidas qe 160 y 220 kN según las direcciones Y y Z, res·

3

220 x 10 N = 29, 33 MPa (-) 2 (75 x 1OO)x 10-6 m

_

L......l... y

1

=> -

u = P,

ez (7ox109 )(75 x50)x10-6 1/3

100mm . L

1•

•1

75mm

'l' 50 mm

1,2o m 10 mm 111• •I

Resolución:

A

·-·-.- --·. ·-·-. ----·-·-·.

F= P · A

•

•

•

Lv

F=P·

nd2

4

2 (1 2) F = 1,5 x 106 x 1t ' => F = 1696,46 kN

4

. . ) u= 1 (a,·um1mo 3 E=70x109Pa

=> 1P, = 409,973 kN I

224. un tambor cilíndrico de acero construido de plac~ ~º~~:da tde ~~;;:~:~~ ~~ diámetro interior de 1,20 m. Calcular el aumento e '. me ro . una presión interior de 1,5 MPa. Suponga que la relación de Po1sson es 0,30 Y E= 200 GPa.

distribuida en la dirección X produciría la misma deformación transversal en la dirección Z que las cargas dadas.

/ / t.y

e, = -5,200 x 1o-'

e,.E.A

pectivamente. Si u=~ y E= 70 GPa, determinar qué carga total uniformemente

P, = 200 kN (tensión) PY = 160 kN (compresión) P, = 220 kN (compresión)

=

o

t =-u._!.

•

6=tl

6, = e, · d

E

=

t, = 2,5 X 1Q-6

6, = 2,5 x 1o-6 x 1200 mm = 3 x 1o-3 mm ..

1

1

6, = 0,003 mmJ

M1,11co Li.1.,os 225. Un tubo de acero de 50 mm de diámetro y 2 mm de espesor e.nca¡a perfectame¡¡. te y sin holgura en un orificio absolutamente rígido e indeformable. Determinar El esfuerzo circunferencial en el tubo cuando se le apltca una fuerza axial de com. presión de 10 kN. El coeficiente v = 0,30 y E= 200x109 Nfm2. Despreciar la posibiltdad de pandeo en las paredes del tubo.

a=

_ P.D 20

a

=

2uP t q = - 2(1-u)t+d

=> =>

ºv = 1527,887 kPa

lºe=

1909,859 kPa

I

q= -

226. Un tubo de bronce de 150 mm de longitud, cerrado en sus extremos, tiene 80 mm de diámetro y 3 mm de espesor. Se introduce sin holgura en un orificio de 80 mm de diámetro realizado en un bloque absolutamente rígido e indeforma· ble y se somete a una presión interior de 4 MNfm 2• Con los valores v y 2 E = 83 x 103 MNfm . determinar el esfuerzo circunferencial en el tubo.

=

Resolución: E

f

01

2> q = -42 105,28 Nfm2 :. q = ~.042 MNfm 2(1-1f3)x 0,02 + 0,1 -qd

=2t

=>

ª• =

232. Una barra de acero de 50 mm de diámetro y 2 m de longitud se envuelve con un cascarón de hierro fundido de 5 mm de espesor. Calcular la fuerza de compresión que es preciso aplicar para producir un acortamiento de 1 mm en la longitud de 2 m de la barra compuesta. Para el acero, E= 200x109 Nfm2, y para el hierro fundido, E= 100 x 109 Nfm2. p

¡¡ = Pl = 20,106> it(0,05)

~x X'\lEy) E

(

t =-1(40>

E

X

~

6

Cfy V-

Resolución:

X

..

RESJSTENCIA lit IMIEIIIALES • ~

2

=>

F=20,106kN

=>

6y = 7,229 X 10~

l - " Ey=48,193x 10·6 =>

Smm

•• •' '

-·--·-··· ---··-----: --------o y = 4 x106 Nfm2

L=2m

-

RESISTENCIA /Jf I.CATERIAUS •

4ii

s-

la fuerza P de compresión, será la suma de las fuerzas que soporta 1 • acero y el tubo de hierro: e nucleo de P=P8 +Ph

P.= fuerza que soporta el núcleo de acero P h: fuerza que soporta el tubo de hierro Como ambos tienen una compresión de 1 mm así·¡¡ = 6 = 1 mm - o 00 Por lo tanto: · · • h - , 1m

6 _ P•. l _

ª- E

A

-

•· ª

P8 (2m) (

(2oox109 N/m2 ) ¡)(0,05)2

=> P3 :196,35kN

'

º• =~= ~ · =85,7x106 Pa 0,07 0,07

=> En la ecuación (1): A1 X 85,7 x 106 + {A-A0 )

= O 001 m

X

4

P• (2m)

E .A - ( = 0,001 m 9 2 ( ) • • 1oox10 N/m ) : (o.o6•-o,o5 2)

=(196,35 + 43, 19) kN =239,54 kN ...

233. Una columna de c_oncreto armado de 250 mm de diámetro se diseña para sopor· lar una fuerza axial de compresión de 400 kN. Si el esfuerzo admisible en el concreto es de 6 MPa Y en el acero de 120 MPa, determinar la sección de refuer· zo de acero que se necesitará. Ec = 14 GPa y E = 200 GPa. 8

Resolución:

P=400kN

y:

Equilibrio en el eje P8 +Pc=P

o: A.cr. + (A- A0 )oc = P

A. x 85,7 x 103 + (0,0491 -A.) x 6 x 103 = 400 Aa = 1,322 x

lo-3 m 2

A a Ea

... (1)

ª•

o

=>

200x10• = 14 x;o•

Oc Ea =Ec =>

crc =0,07cr....(2)

De la ecuación (2); cuando O = -11dm.. a ºa . crc= o,o7 0 !dm = 0,07 x 120 x 1()6 Pa

2

j

Resolución:

P=1200kN

º•

º•

AcEc

:. 1A.= 1322 mm

234.Una columna de madera de sección 250 x 250 mm se refuerza mediante placas de acero de 250 mm de ancho y espesor t, en sus cuatro caras laterales. Determinar el espesor de las placas de manera que el conjunto pueda soportar una carga axial de 120 kN sin que se excedan los esfuerzos admisibles de 8 MN/m 2 en la madera y de 140 MN/m2 en el acero. los módulos elásticos son Em = 10 x 103 MN/m2 y E.= 200 x 103 MN/m 2.

--L-L y

...(1)

Compatibilidad de deformaciones: 68 = 6m

Compatibilidad de deformaciones: 6• = 6c

Pa l = P., l

106: 400 X 103

Equilibrio en el eje Y: P m + Pa = P ó : ~ crm+ A 8 = P

A~ ava +A~ cvc= p

o

X

4

=> Ph=43.19kN ... (2) Así: P

6

donde: 1t n 2 A= -0 = -x0,252 = 0,0491 m 2

...(1)

6i, = P" .l _

Esto quiere decir que el primero que llega a su esfuerzo admisible es el concreto. Por lo que:

=>

Om

_

Oa

10x109

-

200x109

º• = 20crm

...(2)

Si: o 8 =o:d"' = 140x106 Pa

=> o ,n = cr. 20

•

=> Om=7X106 Pa o...,, Cu

o

24

~ :. ~

237. Los extremos inferiores de las barras de la figura están

ºº" = 0,90.

º• =

6=(º:"°' L.)-(º~ le., )·L~ O m

6 = (140x10 x 0,24 ) - ( 70 x 10 x0,16) 2oo x 109 12ox109

o, x 0,24 m - o¡;.x 0,16 m 2oo x 1o"Pa - 12o x 1o•Pa

·.

ll, =6 +6'} 6 = ll -6 6eu = 6. • Cu

6

~; = 77,S x 10 Pa 0

en el mismo nivel antes de colgar de ellas un bloque rígido de masa 18 Mg. Las barras de acero tienen una sección de 600 mm 2 y E = 200 GN/m2. La barra de bronce tiene una sección de 900 mm2 y E= 83 GNlm2. Determi· nar el esfuerzo en las tres barras.

e

j

j ..,"

~

e ~

•

j

•

• 18 t.1g

e

-"

-

'*' Resolución:

Reso/uc/6n: Aluminio: barra A Acero: barra B

Bronco{l,. • 900mm'

.......

"":

'

1,6m

A

,Om

e,

Lo• 1,0m

A,

mm'

e.,

.... M•1S Mg•1STN •

'

1

Compatibilidad de deformación:

= =

= cr"'L., E. E.,

=

Aa

L,.

La

AA LA

º• =ºtw =¡¡

®

®

®

do X 1,0 _ di), X 1,6

'

A,

a=b

cr.L.

-...

1

b

2oox10• - B3 x10•

cr.,. = 0,26cr8

1 6-6.

·-

Equilibrio en el eje Y: 2P,. + P 6 = P 2AAcr,+A¡¡cr =P => 2x(120x1o-6)crA+(2400x10-6)cr6 =400x103 ... (1)

...( 1)

6

Equilibrio en el eje Y: 2Pª + pb< 2x

º• A. + dt,, Ai,. = M

=

=M

Compatibilidad de deformaciones:

2cra'"a li + O' 26 cra"'br 11 -- M

cr L Barra (A): 6 = • •

cr.((2 x 600 x 1o-6 m 2) + (0,26 x 900 x 10-6 m2))

=18 x 1()3 kg x 9,81

E,

=O 0 _ Oel...s Ee o

=>

'ºª = 123,1 MPa I En (1):

º• ºª 0,1 1ox10• - 2oox10• = 250

1ºtw =32,0 MPa I De (1)

2 38. La plataforma rígida de la figura tiene una masa despr9.ciable Y descansa sobre dos barras de aluminio, cada una de 250,00 mm de longitud. ~a barra central es de acero y tiene una longiud de 2 49,90 mm. Calcule el esfuerzo en la ~arra de acero una vez que la carga central p a~ 40~ kN se haya aplicado. Cada barra de minio tiene un área de 120 mm2 y un móduIo E de 70 GPa La b . área d 24 . arra de acero tiene un 2 e OO mm Y un módulo E de 200 GPa.

·i E ~

:;;:

.2

j

y (2):

lo,=

D

·;:;;:

... (2)

56,39 x 106 Paj =>

10 = 6

161,03 x 108 Pa j

239. Tres barras de acero, de secciones iguales de 100 x 25 mm, han de unirse mediante pasadores rígidos de 20 mm de diámetro que las atravesarán por unos orificios realizados en los extremos de las barras. La distancia entre centros de orificios es de 10 m en las dos barras laterales o exteriores, pero es 1,25 mm más corta en la barra central. Determinar el esfuerzo cortante en los pasadores despreciando la deformación local en los orificios.

-

RESISIENCIA Of MATE/MI.ES - SOI.IJCIONAlllO

•

Resolución:

2 240 . como indica la figura, tres alambres de acero de 30 mm de sección cada uno soportan una carga de masa M. Las longitudes iniciales de los alambres son 19,994 m, 19,997 m y 20,000 m. (a) ¿Cuál es el esfuerzo en el alambre más largo, si M = 600 kg? (b) Si M = 200 kg, determinar el esfuerzo en el alambre más corto. Emplee E= 200 GN/m 2.

L= 10m

.

A

.•

B

1 •

'

1 ,

.ó • 1

• • •

. e 1,

•

1

p.

º•

1 •

•

..

1 •

.

•

~

.•

• p•

•

I•

•I

25mm

E =200 • 109 Pa

1 d)

1

-.......

••

Resolución:

• 1

6a

'

100mm

A

• 11

(1) (2)

(1ITT:2)(3) L, L,

~

L,

ll

(3)

v._ ------.-- ..,. 61 ••• •

(20mm

• 6j•

- - - - - - - - - - . . . . . . . . J • • ~ . . . . . . . . ..

M

Equilibrio en el eje Y: 2PA = p

6

=>

... ( 1)

Compatibilidad de deformaciones: Equilibrio en el e¡e Y: P 1 + P 2 + P3 = M Del gráfico: 6A + 58 = 6

... (2)

E6 (JA:

l = 8,33 X 1QS Pa => 3

A=25x 100=2500mm2 =>

Area del orificio:

o

, :.

Como: 6 = -PL

EA

De (1) y (2):

P

Oa =

2E6

L = 16,67 x 10s Pa 3

61 +62 +63 = M ( -

=>

61 = 63 + (~ - L1)

... (2)

º2 = 63 + (~ - Li>

...(3) ML

,

= 20,83x1Q3 N Ao 314,16x1o·•m•

Ao=314,16mm2

... (1)

Compatibilidad de deformaciones:

PA=oAA => PA=20,83kN

n 2 Ao=-D 4

l)

EA

De (1), (2) y (3): ¡¡3 1.

-

= EA

'

-[(L3 -l1)+(l2 - L1)]

...(')

3

Para: M = 600 kg = 600 x 9,81 N = 5886 N 3

t - PA

:.

1t = 66,2 MP~ 1

0

_

5,886x10 Nx20 m _( 6 x,o 2 2 (2oox10• N/m )x30x10~m

U3 -

:. 63 = 9,54 x 1Q-3 m = 9,54 mm

3

3

+Sx io-3)

-

RESISTENCV. Of MATERIAi.ES •

MARCO LJA/iOS

Reemplazando en las ecuaciones (2) y (3): ¡¡1 = 6,54 mm 62 = 3,54 mm > O

E

=>

Como: o= 6L

·'*'

Resolución:

o.&m

Io = 95,4 MPaj Io = 65,4 MPaj Io = 35,4 MPa I 1

1,2m

Acero (a)

···------------- ......... ---- ············

All.mtnoo(.11)

2

T.

3

t.

•

ii

SouiaoNAtro

li!a'¡¡¡¡¡¡¡¡i,=¡¡----'-!

(lij-fijado

(lll)~lnal

(1) Anles de lijar

Para: M = 200 kg = 1962 N En la ecuación (' ): 63 = -8,2 x 1o-4 m

•

~· --===:"-'!'

De (111):

Pero este valor es incoherente. Lo que realmente sucede es que el cable (3) no se deforma: 63 = O

Lrl,

(1)

I

(2)

(3)

(1)

... ·1¡,,·.. .... .

(2)

'í;~~~ l~~;1;1.;~m::l •I¡¡,;. 1

(3)

. . . . . ¡ . . . .. .... .

Pero: 6~+6.,=.6

-· --- .. -- ... . -- -- .. ----- --......... -(l., - L,) + d2

o,+ ª2 = A

=>

...(2)

=> &~=.6-6_..

...(')

...( 1)

P 1 + P2 = M M

... (1)

0,6m

. . . . . . ºlº6° .. .

Del gráfico: d, = Por equilibrio:

6, _ 6~, -0,6 -1,2

, 0.6

ML o,+ 62 = EA

... (2)

Además:

m•1.,__...:,1.20=m:......+ o

Con:(~ - L1) = 3 x 10'°"3m; M = 1962 N Se resuelven (1) y (2):,--- -- -- --,,--. 6 1= 4,77 mm => J cr, = 61 (E/L) = 47,7 x 106 Paj 62 = 1,77mm

=> Jcr2 =62 (E/L)= 17,7x 106Paj

241 El con¡unto de la figura consiste de una barra rígida AB, de masa despreciable, articulada en O mediante un perro y lija a las varillas de aluminio y de acero. En la configuración moslrada, la ba· rra AE está en posición horizonlal y hay un claro .6 = 4 mm entre la punta inferior de la varilla de aluminio y su articulación en D. Calcule el esfuer· zo en la varilla de acero cuando la punta inferior de la varilla de aluminio se articula en el apoyo D.

~0~,6~mt:=~1;1.~m~?

A R =96,99 kN => PAB = R2 - (P 1 + P2) = - 96,99 kN (Compresión)

De (11) se obseNa:

Pac=R2 -P2 =+23,01 kN Pco A¡ + 73,01 kN

= =

(Tracción) (Tracción)

Dividiendo a cada fuerza por su respectiva área:

... (1) laAB = 40,41 MPaj

6-~ E

Pco=R,

... (')

B

R,•

.,.

P,s • Ri- (P1•1'2)

e::) J\e =R,-P,

Resolución:

,.

SOWCIONARIQ

...(2)

(Compresión)

I

(Tracción)

laco= 121,70MPaj

(Tracción)

fac =

19, 18 MPa

Wii

El

RESISTENCIA Of MATEIIIAIES • SowcJCN:.R/0

247. Resolver el problema anterior sí los muros ceden, separándose 0,60 mm, al aplicar las fuerzas dadas.

600

,,,.,_j_,oo mm+300""'

--

ll= (P - Pe) 0

-.

(1)=(2):(P - Pe)-

A• 2400 rrrn2 A: 1200 m~ A: 600 lfWr!

E= 83 GP& E• 70GPa

Resolucl6n:

=> R, = 38,59 kN (compresión)

p

= -Ee D a

p=l Ea E.+ E..., )p= ( 2002ºº+ 70 )x 4 MPa I

Reemplazando en la ecuación(') del problema anterior: R = 131 ,41 kN 2 COMO: R, + R2 = P, + p2

D

EAJ

E• 200GP,

... (2)

... (1)

EAJ

P,

·-

e

:.

IPe

=2,96 MPa!

Además:

También : PAB = R2- (P 1 + P2) = -38,59 kN Pee= R2 - P2 =81 ,41 kN Peo= R2 = 131,41 kN

I oAB = -16,08 MPaj

(Compresión) (Tracción) (Tracción)

loec = +67,84 MPaj

o loc0 = 219,02 MPaj

248. Un tubo de acero de 2,5 mm de espesor ajusta exactamente dentro de otro de aluminio del mismo espesor. Si el diámetro de contacto es de 100 mm, determi· nar la presión de contacto y los esfuerzos circunferenciales si se somete el tubo de aluminio a una presión exterior de P = 4 MN/m2. E,= 200 x 109 N/m2, y EAI = 70 x 109 N/m2. Resolución:

ltttt!ffl

PO: presión proyectada

Por equilibrio de fuerzas en el eje y: P.D.L = 2o x t x L =>

l.

o=

PO 2

t

6

p

P) D ( 4 - 2,96)x10 x 0,1 x 2,Sx o-3 Aluminio:o..., = { - c x = 1 2 D

il. Acero:

21

2,96x106 x 0,1 x 2,S x 10-3

.. ¡o..., = 20,8MPa!

!º• = 59,2 MPa !

º• =Pe 21 = 2

249. En el problema anterior determinar la presión. de contacto Y los esfuerzos circunferenciales en et caso que inicialmente exista una holgura radial d? una centésima de milímetro entre ambos tubos, antes de aphcar la pres,on de 4 MN/m2 en el tubo de aluminio. Resolución:

- ( ~)-26 =>

Pe -

o(..!...+.. !. _) Ea

EA,

-

-

Reemplazando valores:

P=4x106Pa D=0,1 m ;6.= 10--Sm E0 200 x 109 Pa E.,= 70 x 109 Pa

2m

251. Según se muestra en la figura, una viga rígida de masa despreciable está articulada en O y sujeta mediante dos vañllas de diferentes longitudes; pero por Jo demás, idénticas. Determine la carga en cada vañlla si P = 30 kN.

=

Pe= -0,22 x 106 Pa

L= t,5

p

L•2m

e

Resolución:

Esto no es lógico: :. Pe= O Y no se generan esfuerzos en el tubo de acero.

2m

2m

1,5 m

En cambio en el tubo de aluminio, el esfuerzo será:

o ºA1

= PO =4 MPax 2t

0,1 2x2,5x 10-3

.·. ,o., =80 MPal _ .

250. La figura representa un tornillo de acero que sujeta, mediante unas arandelas y tuerca. un tubo o manguito de bronce. El paso del tornillo es de 0,80 mm, la sección recta del tubo de bronce es de 900 mm2 y la del tornillo de acero es de 450 mm 2 . Se aprieta la tuerca hasta conseguir en el manguito de bronce un esfuerzo de compresión de 30 MN/m2. Determinar el esfuerzo si a continuación se Je da a la tuerca una vuelta más. ¿Cuántas vueltas habrá que dar ahora en sentido contraño para reducir tal esfuerzo a cero?

L•1,5m___._

P=30kN

l= 800mm

2m

1,5 m

De la semejanza de 65:

Resolución: Sabemos que:

MN

30 2

6= ~ E

=>

6=

~

3

Op :6A

x800 mm GPa

Óp

4

" - =6e 7

= 0,29 mm

Si le damos una vuelta: :::;:)

6 = 0,29 + 0,8 = 1,09 mm

6E

O=-

L

=>

1,09x83 GPa o=----0,Smm

=> 1o

=113, 1 MPa I

El

. . 1,09 numero de vueltas necesario para que o = o es: 0, = 1,37 vueltas 8

16 -FA_ -Fa 21

En (a):

=>

16 7 -Fe +-Fa =30 21 4

1,Sm

!Fa = 11,94 kN! IFA = 9, 10 kNj

-

RESISTENCIA Di W.llRIAUS • Sot.lJCJONAIIO

252. Una viga rígida de masa desprecia· ble está articulada en un extremo y suspendida de dos varillas. La viga está inicialmente en posición horizontal y en seguida se aplica la carga P. Calcule el movimiento vertical de la carga si P = 120 kN.

Resolución:

A=600 mm'

Aluminio A• 900 IIV'l'

E•200GPa

E•70 GP

Aoelo

L•4m L•3m Df;=:;3=m=:;r;=:2;m=:;i;=1=m:;t p

2

b,,,i,= 120 MN/m

1

2

6...=70MN/m

A•900nvn2 E•200GPa

'

A•800mm E=83GPa

L=3m

Acero

e,=

o

A

B

e

••

• 1•

• ,.

2m

3m

B

2m

3m

1

lm

~=IOGPa L1 cJm

2m

B P•120kN 1m

..

EMA=º =>

...

...( 1)

2Fa+5Fc=6P

F9 x 3 m 6 a = (900 mm2 ).(200 GPa) 6

c= (aoo mm2 ).(a3 GPa)

Op -( ?Ple + 40Pl e 30 E8 A8 30 E8 A8

}! 3

2 - f'smáx. º=e = 120 MN/m = 12O MPaA

47 x 120 kNx3 m

47PL8

90 EeA6 = 90x 70 GPa x 900 mm2 F

Bmáx.

3

li = 2,984x10-3 kNm P

GN.mm 2

[ lip = 2,984 mm

253. Una barra rígida, de masa despreciable, está articulada en un extremo y suspendida de una varilla de acero y una de bronce, según se muestra en la figura. ¿ Cuánto vale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de 120 MN/m2 ni uno en el bronce de 70 MN/m2?

j

-

Ae900nwn2

E• 200GPa

E= 83 Gl'a l :2m

L=3m

2m

2 106 N = 120 x 6 2x900mm 10 mm

FcmAx cr = 70 MPa = - mAx.c A BRlnco A='900nvri1

3m

lm p

F Cmáx.

F

= 108 kN

F

= 56 kN

Bmáx.

•

106 N 2 = 70x x 800 mm 106 mm2

Cmáx.

Os 2 1is _ Fe x 3x800x 83 líe =5 = 6c - 300x200xFcx2 Fe =

f's = -120

-

Fe

163

12 º x 56 = 41,22 163

En(l): 6P = 2x 41,22 + 5x 56

C 1 I

m

10

~_._]lie---JJ¡¡.

p -t

As• 900,,.,,,. Aluminio

A

3m

A

L=2m

Resolución:

A,•600mm 2 200 GPa L,=4m

Wfl

=

~máx = 60,4 kN

I

m 254. la figura representa la sección esquemática de un bal· eón. la carga total, uniformemente repartida es de 600 kN y está soportada por tres varillas de la misma sección y el mismo material. Determinar la parte de la carga que soporta cada varilla. Se supone al suelo colgante como perfectamente rígido, y téngase en cuenta que no queda necesariamente horizontal.

e

8 8m

sm 4m 3m

·t•

255

Tres varillas. situadas en un mismo plano, soportan c~n¡un· 1 mente una fuerza de 1o KN como se indica en la figura. tupornendo que antes de aplicar la_ carga ninguna de las tres estaba ni floja ni tensa. determinar las tensiones quf aparecen en cada una. Para el acero, E0 = 200 x 109 N/m . y para el bronce, E,, 83 x 109 N/m2.

=

3m •

'º~

Resolucl6n: Resolución:

e

8

A

6m

Sm F,

3m

6m

Fa 2m

4m

!

s.

s,

Fe

A

p

10 kN

Jm

600 kN

F,. +F8 +Fc =600kN

... (1) I•

3m

3FA=F8 +3Fc ~ = 6"+6c

2

=>

68

6,

s,

=6... +26c

.,.

lm 'I •

óa

2m

A

p = S 2 + 2s 1.cos30º ..1

P = S2 +,/3s,

lit

3

3(6F8 ) = SF,. + 2 x (6Fc) 18F8 =SF,. + 12Fc 12F,. = 4Fa + 12Fc

... (C 1

=>

4] S =P ,/3+...1..[ E E1 3

1

1

i S, = 2,02 kN 1

"

i S2 = 6,497 kN I

MAIIC() l.u.•,'OS

FIESJSTCIICIA l)f MAJf/llAlES • $1JWC1()NA/11{J

256. Tres barras AB, AC y AD se articulan en A para soportar juntas una carga P = 20 kN como se indica en la figura. El desplazamiento horizontal del punto A está iml)e. dido por una corta varilla horizontal AE que se supone infinitamente rígida. Determinar los esfuerzos en cada barra y la tuerza total en AE. Para la barra de 2 acero, A = 200 mm y E = 200 GPa, y para cada una de las barras de aluminio A = 400 mm 2 y E = 70 GPa. .

Por equilibrio:

IFv = O => 20 = S 2 + S 1.cos30º + S:J.cos45° Sabemos que:

ºS

e Aoero

8

A•200mm2

20 = 2 21

o

E=200GPa

l =3m Alu,:ninlo A•400mm 2 E=70GPa

E

s, = A, . 0 1 1

+ ./3 S, + 2 . 2

3

s, =8,73kN s 2 = 9,17 kN

=>

S 3 = 13,095 kN

=>

=>

.J2 S, 2

lo, =2182N/¿m j ¡o2 = 4585 N/cm2 j 1o = 3275 N/cm 2 ! 2

3

:i:.FH = 0 P=20kN

SAE

'

+ s,.sen30º = S3.sen45°

=>

I

SAE = 4,89 kNI

Resoluci6n:

s,

s,

6:i = o2sen45° 62 = ./26:i

6i ·= 62 sen60º

ª1. .. a ~ ~ 'S" 'Jtl.

.

2

1

257.Con los mismos datos del problema anterior, calcular el máximo valor P si los esfuerzos admisibles son de 40 MPa en el aluminio y de 120 MPa en el acero.

Resoluc/6n:

p

62 = 736,

·..•~ '200nvn'

B

•

>'.

D

E•200GPa

Alumno

ª•;120 ...

A;: 400 rrvn"

l•3m

s,

6, =

E1.A1

•

E1.A1

62 = S2 l2 = S2,l2 E2,A2 E2,A2

6:i =

45•

s, t1 = s,.f:i sec 30º

S3 l3 = S 3 ../2.t2 E3.A 3 E 1.A1

E=70GPa ª•;.&OMP,

S,

A . •

s, 3. s, 21 - =- , - = S3

2

S2

p

20

s,

21

S2

20

-=:i:.Fy

=o P=

s, .cos30º + S2 + S3.cos45º

.. 2 S3 = 3 .s,

S2 =

20

21

262, Una varilla de acero anclada entre dos muros rígidos, queda sometida a una

./3 20 +-S ./2 P -S1-+-S 2 21 1 3 1

=>

2 tensión de 5000 N a 20 •c. SI el es tuerzo admisible es de 130 MN/m , hallar el diámetro mínimo de la varilla para que no se sobrepase aquél al descender ta temperatura hasta -20 Suponga ex= 11,7 µm/(m .ºC) y E = 200 GPa.

P = 2,29 s,

•c.

.S1

:!i_

P=~ .J2 7 S2 +S2 20. 2 S2 +

2· 10

Resolución: =>

P = 2,404S2

,11:::;::::=.:::;:;;¡i-!

S,= o, A,= 40 MPa x 400 mm2 =40Pa x 400m2 S1 = 16 000 N = 16 kN P

Sz = º2 · A2 = 120 MPa x 200 mm2

=5000 N;

r

rrlJ2

A=4

To =20ºC º•"" = 130 MN/m2 T1 = -20 ºC ex= 11,7 µm/mºC E=200GPa

= 120 x 200 Pa x m2 S 2 = 24 kN

p = 2,29 x 16 kN => 1p = 36,64 kN! 258; 259; 260: problemas ilustrativos. 261. Una varilla de acero de 150 mm2 de sección . . • esta su¡eta en sus extremos a dos puntos fijos, estando estirada con un 1 esfuerzo en la varilla a _ .c . A q ~ .uerza total de 5000 N a 2o•c. Calcular el 20 ex= 11,7 µm/(m .ºC) y E= ~ uN/~~peratura se anulará el esfuerzo? 200 109

º• T1 = 40,64 ºC

t.T =

=

-

RESISTENCIA DE MATERIJilS - $0UiCJ()fW/K)

PL =ex' 'T AE ..,,

-

cr - = CXAT

E

cr=11.7 µm x25,64 °Cx200 GPa m•c

=>

lcr = 60 MPa I

-

265- Un aro de bronce de 20 mm de espesor cuyo diámetro interior es de 600 mm se coloca perfectamente ajustado sobre otro de acero de 15 mm de espesor, a una temperatura común de 130 ºC. El ancho, igual para los dos, es de 100 mm. Determinar la presión de contacto entre ambos aros cuando la temperatura descienda hasta 20 ºC. Despreciar el hecho que el aro interior pueda abollarse por pandeo. E = 200 GPa y ex= 11,7 µm/(m .°C). Eb = 83 GPa y a= 19 µm/(m .°C). 8

264. Una llanta de a~ero de 1O mm de espesor y 75 mm de ancho se coloca sobre una rueda motnz de locomotora, de 1,8 m de diámetro, calentándola a 90 •e temperatura a la c.ual encaja perfectamente sobre la rueda, que está a 20 •e' Determ,n~r la presión de contacto entre ambas ruedas al descender Ja tempera: tura -~omun a 20 ºC. Despreciar la deformación de la rueda producida por la pres1on de contacto. ex= 11,7 µm/(m.°C) y E= 200 x 109 N/m~.

Resolución: Del gráfico:

Bronce

Resolución:

'

\•

1

l ••

,

a=11,7 µm mºC

./

•

E=200GPa

r-

Disco de acero: r, = 307,5 mm (radio medio) h, = 15 mm (espesor} a,= 11,7x10"41rC E8 =200GPa .M = 130ºC-20ºC = 110ºC

1,8 m

61.=exl.AT

... (1)

Ó= PL

... (2)

AE (1)=(2):

ol -=aUT E

Datos: Disco de bronce: rb = 310 mm (radio medio) hb = 20 mm (espesor} a,,= 19x1Cr' 1rc Eb=83GPa

Al haber un decremento de temperatura, los aros se contraen, obviamente el disco de bronce reduce sus medidas mucho más que el disco de acero; por Jo tanto, se produce una presión "P"que contrae el disco interior y a su vez dilata el exterior. Primero hallamos la diferencia de longitudes al contraerse, para ello suponemos que se encuentran separados: El decremento de longitud de la circunferencia del aro de bronce es: 211 r a,, Al= 2n(310)(19x10~)(110) mm= (2n)(0,6479) mm. 0

=>

o = exEAT

Entonces: 163,8 MPa = p = 163,8 MPa X ~

=> 0 = 163,8 MPa

~ t

=> 1p = 1,82 MPa I

El decremento de longitud de la circunferencia del aro de acero es: 2n r, ex, Al= 2n(307,5)(11,7x10-')(110) mm = (211)(0,3957525) mm Entonces la "interferencia" de longitudes es: (211) (0,6479) - (2n)(0,3957525) = (211)(0,2517475) mm Y la "interferencia" de radios es: (2n)(0,25;;475) mm = 0, 251745 mm

•

.,. lall:lll

RESISTENCIA llf M41ERAUS •

Asimismo, las longitudes que la presión "P" contrayendo el disco interior y d ilatando el disco exterior debe coincidir con la "interferencia" de los radios hallados. En el interior de un cilindro delgado, el incremento (o decremento) de la longitud radial por efecto de una presión interna ·p· viene dado por

.....,_

P: presión donde: r: radio h:espesor

------·----· . ........ . .. .. ..l'f ... . lit.. t>to

Luego tenemos que la suma de las variaciones radiales es: Pr2 p 2 ---:•:...+ E rh• = 0,2517475 mm E.,hb • a

t.L,,.,...... - 6i,.0000 =

P.I.

... (1)

ó'-aoero

µm µmm ól =19 -x250mmx6T=4750 ºC xóT brooce mºC

Colocando los valores:

p(

SOWCIONARJO

J

3102 (307,5)2 o 2517 75 1 4 mm => P = 2,8156 MN/m 2 (83)(20) + (200)(15) = '

266. A una temperatura de 20 ºC se cO,oca una plancha rígida que tiene una masa de 55 Mg sobre dos varillas de bronce y una de acero, oomo se indica en la figura. ¿A qué temperatura quedará descargada la varilla de acero? Datos: acero: A= 6000 mm 2, E = 200x109 N/m 2 y a= 11,7 µm/(m.ºC). Bronce (cada una): A = 6000 mm2, E= 83 x 109 N/m 2 y a= 19,0 µm/(m.ºC).

j

~

e ~ 1

--

[M)x250mm ., = 2 =0,135 mm ronce 6000 mm 2 x83x109 N/m2

l

55Mg

1

µm µmm •u.Lacero = 117-x300mmx.1.T=3510 ºC x.1.T • mºC

2SO mm

!

Reemplazando en (1):

= · ·;;---=

50 mm ---------

1

t--

(4750- 3510). µmm .1.T = 0, 135 mm

·e

.1.T= 108,87ºC =>

T= 108,87ºC+20ºC :. [ T:129ºC

Resolución: 65Mg

-- " Bronce

Acero

1

Bronce

1

A=6000mm2 Acero E = 200 x 1o9 N/m 2 ,a= 11,7 µm/mºC A =6000mm 2 Bronce E - 83x 109 N/m2 a = 19,0 ¡tm/mºC

267. A una temperatura de 20 ºC hay un claro t.= 0,2 mm entre el extremo inferior de la barra de bronce Y la losa rígida suspendida de las dos barras de acero, según se muestra en la figura. Despreciando la masa de la losa, determine el esfuerzo en cada barra cuando la temperatura del conjunto se eleva a 100 ºC. Para la barra de bronce, A= 600 mm 2, E = 83 x 109 Nfm2 y a =18,9 µm/(m.°C). Para cada barra de acero, A= 400 mm 2, E = 200 x 109 N/m 2 y a= 11,7 µm/(m.ºC).

j

j

I

j

• 1

1

800mm

Resolución:

~t

A=600 mm 2

A=400 mm2

Bronce E = 83x1 09 N/m2

=t -

lo • pero: &, =o:,

. L, . Al

y

A~=Uz· ~· Al

... (1)

t>Lr = At(o:,.L,+o:z .~)

Acero E= 2oox109 N/m 2

o:=18,9µm/m•c

o: = 11,7µm/m•c

Acero AL= o:.L.AT µm AL= 11,7 m •c x 800 mm x 80 •e=> AL =0,75 mm =ó.r

... (2)

6p = °'r

~=Sr AE

F 1,562

! 185,6 kN

lOrrrn -tJ,,!

" ª'""'"''º = 1200 mm2

:

1 •

....,=====t.. ·-~

185,6 kN " bfonoe = 1800 mm2

...

MN

C,brnGO

= 103, 13 2

m

Alum.

µm/(m.ºC).

Para los tornillos:

Bronce A= 1800 mm2, E = 83 x109 N/m2, y a= 19,0 µm/(m ºC). Cada tornillo, A = 500 mm2, E = 200 x 109 N/m2, y o:= 11,7 ¡tm/(m·ºC)

Resolución:

y l: Bronce

•

=> F' = 93,6 kN

...... ' MJminio

F

........ lll,

r:::::} ...f_ &, t>lo

o.,.__

93,6 kN - 500 mm2

..

MN

---

•

1

•

ÓJA ,r

&ro

1 11"

a,.

Ac

a,.

--:-"-25:..,0:..:..1.:..:0:..:._ __,.. 6 T - ;: - EAc·AAc (/16

16

=2it'(20)(60x106)(0,104) /16 · 19'= 1,67 MWI 3

-

R,stSTEJ,CIA DE IMlfJIW.ES. $()'.000,VARI!)

306. Hallar la longitud de una varilla de bronce de 2 mm de diámetro para que pueda torcerse dos vueltas completas sin sobrepasar el esfuerzo cortante admisible de 70 MPa. Use G = 35 GPa.

Resolución: L= 69G

(2 x 10-3)(4n)(35 x 1o') L=

2Lmax

=>

6 2X(70X10)

1· L =

6,28 mj ·

307. Un gran árbol de transmisión para la hélice de un barco tiene que transmitir 4,5 MW a 3 r/s sin que el esfuerzo cortante exceda de 50 MN/m2 y sin que et ángulo de torsión sea superior a un grado en una longitud de 25 diámetros. Determinar el diámetro más apropiado si G = 83 GN/m•.

Aplicando la ecuación T = g> , tenemos:

T=

16T 16(0,75/n) nd3 = ÍÍd1 s; 50

=>

1000

1200

1000

•

0 G0 2

3

800-T=O => T2 = 800 T,

d;,, 0,289 m

G---1--+1@1--+1(?

m Además: e= 32TL = 32(0,75/n)x10•(0,25¡ s...E.... => d;;:o 143 9 nd"G nd"83x10 180 ' :. [ d

800N.m

&-4·

2nf

=4,5 I (21t x 3) =o, 75/n (0,238) MN.m

Luego:

Resolución:

E,~_...¡~-+¡...:..-+--tl-;---1--t+'1 1 2 3 A B e o

Resolución:

T

309_ un árbol de acero de diámetro constante e igual a 60 mm está cargado mediante pares aplicados a engranes montados sobre él, según se muestra en la figura. Usando un módulo G = 83 GN!m', calcule el ángulo de torsión del engrane D con respecto al A.

G

=289 mm ¡

308. Demostrar que un árbol hueco de sección circular, cuyo diámetro interior sea la mitad del eX1erior, tiene una resistencia a la torsión que es igual a

~

que tiene un árbol macizo del mismo diámetro exterior. Resolución: Para el árbol hueco: (1) 16TD = 16TD

de la

800 - 1000 - T, =O=> T, = -200

0 GE:'

800-1000-1200-T,=O=>T,=1000

1000

800

(+)

(•) 1

!-l

D.M. Torsor

1

200

{tH=

n(D' el') Para el árbol macizo:

(JI)

TM

n(~o•)

16T = 1t03

0,,.= _]__ JG E(TL)

Para un mismo material, tenemos: 1

0 = OIA

[800(3) + (-200X3J + 1000(2)1

..!:.(60X 10-3¡4 (83 X

109 )

32

De (1) y (11): :.

es incorrecto.

¡e.,. = 0,0359 rad !

-

DI 310.Determinar el máximo momento torsionante que puede soportar un árbol hueco de sección de 100 mm y 70 mm de diámetro exterior e interior respectivamente, sin que se sobrepase un esfuerzo cortante de 60 x 1O" N/ri,i y sin que la deformación sea superior a medio grado por metro de longitud. USe G = 83 x 10" N/m•.

. d alambre de acero de 5 mm de diámetro 312. Una transmisión flex,ble.const~ eeu;ncaja tan ajustado que se produce un par Determinar la máxima longitud que encerrado en un tubo 11uoa en e qu torsor resistente por fricción de 2 N. ~~~ exceder de 140 MPa. ¿Cuál será el ede tener si el esfuerzo cortante no ~~gulo total de torsión? Use G = 83 GPa.

Resolución:

J : .!!.(o l' -O Ol•):

Sabemos que:

32 '

Resolución: 32

Del diagrama:

60X10 (~7,599X10-6) 1. T = t.,., C= 0,05

=>

2. T : JG~ = ( ~7,599>

:. ¡

T"'"

~

Aplicando las ecuaciones del esfuerzo tenemos: 16T(O, 1) 16TD t": n(D'-d')= n(0,1'-0,07'):S70 => T:S9,4kN.m =>

T :S 4, 71 kN.m

Sí tomamos un diferencial de longitud:

Tenemos: .-.

8,952 kN.~

311. Un árbol de transmisión de acero consta de una parte hueca de 2 m de longitud y diámetros de 100 mm y 70 mm, y otra parte maciza de 70 mm de diámetro y 1,5 m d~ longitud. Determinar et máximo momento torsionante que puede soportar son que el esfuerzo sobrepase el valor de 70 MN/m2, ni el ángulo total de torsión supere el valor de 2,5° en la longitud total de 3,5 m. Use G = 83 GNhn2• Resolución:

16T 16T 3 "t.,= nD = n(0,07)3 :S 70

~rario.

ta;t

6

J

t

=

itc!3

Para el giro tenemos: m,L2

dx

T

16(m,L)

t = 16(2 x L~ :S 140 x106 n(0,005)

O= 2JG =

( (•}- .••••••.. ·(•}) T

=>

L:S1,72m

...

L=1 ,72m

rª

¡L Tdx - ¡L m,xdx = m, fL xdx JG o

2

[e= o,58 =33,3º

I

Jo d0 = Jo JG - Jo JG

2(1, 72)

2(83x109 l(i tomando el mayor: 1 d = 52 mm I

d 2: 0,052 m

315. A un eje de sección constante y 5 m de longitud que gira. a 2_ r/s se te aplica 70 kW a través de un engrane situado a 2 m del extremo 1zqu1e~do, e~ donde se absorben 20 kW y a 1,5 m de este, los otros 20 kW. (a) D1mens1onar et árbol si el esfuerzo cortante no ha de exceder de 60 MNfm'. (b) S1 el e¡e tiene 500Nm

314. Un árbol de acero se encuentra cargado según se muestra en la figura. Usando un módulo G = 83 GN/m2 , calcule el diámetro requerido del árbol si el esfuerzo cortante está limitado a 60 MNrm• y et ángulo de rotación en el extremo libre no debe exceder de 4.º

1000N.m

.,, ') .

un diámetro de 100 mm, determinar et ángulo total de torsión de un extremo al otro. Use G = 83 GN/m'. Resolución: A

2m

3m

1,5 m

1,5 m

2m

I

Resoluci6n T

500 N.m

Calculando los T, = ?

1000N m

3

_ 30x10 = 7,5kN.m To - 2n(2) Tl

3

T = 20x 10 = .§.kN.m = T. 8 2n(2) Tl e

~'----H~~~

Oet equilibrio tenemos que T = 500 N.m. Tramo AB: T..

3

T = 70x10 = 17,5 kN.m Del equilibrio calculamos: 211(2) 1t

16T 16(500) 06 t..,= n(Í3 = ¡¡cf $60X1

= T = 500 N.m

=> d 2: 0,035 m

Hacemos el diagrama de momento tors1onante:

o

Tramo BC:

B 1

t= oc

Toc= 1000 N.m

16(1000)

Tld3

60 106 SX

=>

Para calcular los giros, haremos et diagrama de momento torsionante para ver cómo es el giro en la barra. A

~~>

1

~

B

l

C

(-) 1000

1

OM

d 2: 0,044 m

(+) horario (-) antihorario :. todos giran an!lhorano

}

'

(-)

(kN m) ' - - - - ~

-"

12,5

(a)

(-)

-"

7,5

Para dimensionar tenemos que: toe > tco 3

16(~)x10 :.t..,=1~= na· d 2: 0,0696 m

1t

nd3

=>

6

s60x10

1d = 69,6 mm I

-

RESISTfHC1A DE MA'l/llAIES - SOLW T8

T8 = 1894,3 y T•

AQ= Tdx JxG

Luego:

Integrando obtenemos:

=

32 TAc

'tec.,,o

= -

J

=

=28,5 MN/m' !

1

'

1105,7x 0,25

~(oos)' 32

=> lt-..

'

I t_,. = 45, 1 MN/m' 1

75 l'MI dilffl.

318. Un árbol compuesto está constituido con tres materiales diferentes y sujeto a dos pares aplicados según se ilustra en la figura. (a) Calcule el máximo esfuerzo cortante desarrollado en cada material. (b) Calcule el ángulo de rotación del extre· mo libre del árbol. Use los siguientes valores: G,J.. = 28 GN/m2, G" = 83 GN/m' y G., = 35 1,;N/m2•

319. En el árbol de la figura, firmemente empotrado en sus extremos, la porción AB tiene 75 mm de diámetro y es de bronce, con t s 60 MN/m 2 y G = 35 GN/m2• La porción BC es de acero, de 50 mm de diámetro, T s 80 MNlm' y G 83 GN/m'. Si a 2 m y b 1,5 m, determinar el par torsor máximo T que puede aplicarse en el punto B de unión de las dos partes.

=

3m

Resolución:

2m

1.,51'1

=

•

•

A

=

Resolución: liberamos A, luego:

a)

Construimos el diagrama de momento torsor:

+

TAAx2

2.5 kN m

4

(•)

~x0,075 x35

"""""

aox 10 6 x!:.(0.05)4 > 32 >1,96kN. 0025 m

:. T

'tac ::::

T

e

ac. =

1500x0,0375 4

J ac

!:.(o 075 32 '

= !1s,11MN/m2 j

)

T...,=-1,6Tec

""''º -

=>

•

320. En el problema anterior determine la relación de longitudes b/a que debe existir para que el acero y el bronce trabajen al máximo esfuerzo posible. ¿ Qué par torsor T es necesario para ello?

Resolución:

+ 196,35

Bronce:

~,. b)

---T._,

1500x0,0375

- "i.,. -

..!.(0,075') 32

l

= 10,11 MN/m'!

_ Tal Lat _

0al -

Acero:

'

y

Io,,=

-1,19•

mm ;

o = 50 mm

t

.... =

.

60 MN/m 2 •

: t""" = 80 MN/m' ;

60 x106 x!:.(o,075)' t 8 =-= 32 =497kN e 0,0375 ·

- JaL Gal !:.(o 1)4 x28x 109

=> ¡e..,_= -0,67º1

= 75

'tJ

2500x3 32

4970,1

Bronce: O

Calculamos los giros por tramos:

1

.•• (1)

OOx 1cf x !:.(o,075}' 32

~(o,os)'x83

L....-~->_ _,f t

= 0

Tecx1,5

0o x1 0• x !:.(o,05)' TA = 32 = 1 96 kN 0,025 '

G = 35 GN/m 2 G =83 GN/m2

-

''" ( - 4970,l)(a) 2

T

+

(0,075)' x 35

(1963,S)(b)

=O

a

4

'2(0,05) x 83

= r. + r. = 4970,1

+ 1963,s

322. Un par torsor T se aplica, como indica la figura, a un árbol macizo con extremos empotrados. Demostrar que los momentos torsionantes en los empotramientos son T, = Tb/L y T2 = Ta/L. ¿ Variarían estos valores si el árbol fuera hueco?

b => - = 1,19

I T=6,93kN.m

!

Resolución: Equilibrio: T, - T + T2 = O T,+T, =T Sabemos que:

321. Un árbol compuesto, que consta de un segmento de aluminio y uno de acero, está sometido a dos momentos de torsión como se muestra en ta figura. Calcule el máximo valor admisible de T de acuerdo con las siguientes condiciones: t .., s 100 MPa, t .. :?: 70 MPa, y el ángulo de rotación del extremo libre, limitado a 12°. Use los valores G.. 83 GPa y G., = 28 GPa.

"

G.., = 83 GPa

t ,. =

1t

75mm

=28 GPa

O= 12°

aluminio

1 = 81 487,33T s 100 x 10"

32(0,05)4

Ór

50mm 8allO

b T 2 -+ T 2 = T

b

r; =a

T1

T,

.----- -+__,_(•,_)_,I T, ... (11) 1

(-)

(-)

aT

=>

(-)

T,' - - -- -- '

bT

~ l.q.q.d.

~ l . q.q.d.

T,= T - T,= T - T = T

t

No variarían estos valores si el árbol es hueco.

2T

1

b + a_T ,-ª

=> T

ZT

1,5 m

3T

1 •·

T

2m

=> T S 1227,2

t

•.. (1)

_ (- T,)a r ,(b) _ T, 0 - JG + JP - 0 =>

a

G,.

G--l-le

De (1) y (11): 1,5m

2m

Resolución:

2T(0,025)

_

" 211 -

=

t'° S 100 MPa t., s 70 MPa

l

1

= 37tT(0,0375,) = 36 216, 59T S 70 X 10"

323. Un árbol de 100 mm de diámetro y 3 m de longitud, con los eX1remos empotrados. se somete a un par torsor de 4 kN.m aplicado a 1 m del extremo izquierdo y a otro del mismo sentido de 16 kN .m a 2 m de ese extremo. Determinar el esfuerzo cortante máximo en cada porción del árbol. Indicación: aplicar el método de superposición con la resolución del problema anterior.

Resolución:

32 (0,075)

=> T s 1932,8 3 2 6= !T(l;) + T< > = 1,2789 x 1o-' T s 12• x ~ 4 9 83 X10 X -(0,05)' 28 X 10 x ~(0075) 180 32 32' ~ T s 1637,3 T""' = 1227.2 1

:.1

a,

•

To

RESIS1fNCV, 0€ MATER«US-So,.~ - - - -

.---

-12 (+)

l

tmax

(-)

~--(-)--1

Tm•,c 12x103 0,05 = J = n 4 32 (O, 1)

Dibujando el diagrama de momento torsor:

528

228 (+)

1

(+)

4

1

'

8

(-)

324. Un árbol se compone de tres porciones AC, CD y 08 soldadas entre sí y el conjunto firmemente empotrado en sus extremos y cargado como indica la figura. Para el acero G 83 GN / m'. para el aluminio G 28 GN/m' y para el bronce G = 35 GN/m'. Determinar la tensión cortante máxima en cada material.

=

=

Te= 300 N.m (\

.

A ~

To=700 N.m (\

e Aluminio o .

Me/O

'

25mmdiám. 2m

50mmdiám. l,Sm

B

tM:iefO

=

t Alurllir'iio

528x0,0125 7t ' 32(0,025)

=

228x0,025 Jt

32(0,05)

Bronce

,,; '25 nvn diám.

'

472 0,0125 11 )' 32(0,025

1m

Resolución:

=>

lt".- -172,1 MN/m' I .

...

.

=> 1t

,m•~ = 9,3

=> 1 t •

..,...= 153,8 MN/m 21

MN/m'I

325. Los dos árboles de acero mos-

Equilibrio

trados en la figura, cada uno con un extremo empotrado en un apoyo rígido, tiene sendas bridas rígidamente sujetas a sus extremos libres. Los e¡es es-

HT,=T, T,

G

T,

T~

0 0 0

e,eT,-Tc f!:T,sT,-Tc-To

Compatibilidad de deformaciones (giros) A

e

l

t

A

6

rr

180 n - 30 rad

(+T )(1) rr rr (0.05) , G + rr (0,04 )' G = 30 32 32 :. T = 1200 N.m 1200(0,02) => J t = 95,5 MN/m'! t= lt )' 32(0.04 T,(2)

,,,, T -528

,:: ... .. ... ..

""'

l

_,._H ----..

'I

"

, . -U,,., +1--,S

~.:1

.. . tán atornillados uno al otro en 50 " " ' J sus bridas. Sin em bardgo. ~x,s- _ , 1.te una desahneac16n e 6 en ,. , ,. 2 la localización de los barrenos de los tornillos, según se ilustra en la figura. Calcule el máximo esfuerzo cortante en cada árbol una vez que los ejes se hayan atornillado uno al otro. Use un valor de G = 83 GN/m' y desprecie la deformación de tornillos y bn~as.

0-6

l5

2T,+(T,-300){1,5) (T, 300-700)(1)_ 83 l6X28 t 35 - 0

--- -~-"-

Resolución:

0 8 =0c + 0 0 +0 8 =0 A

472

Sabemos que:

ltfl 326. Un acoplamiento por medio de bridas tiene 8 pernos de 20 mm de diámetro, equidistantemente espaciados en un círculo de 300 mm de diámetro. Determine el par torsor que puede trasmitir si el esfuerzo cortante admisible en los pernos es de 40 MN/m2•

Resolución:

Un acoplamiento por medio de bridas tiene 6 p~rnos 8 32 ·de 10 mm situados en una circunferencia de 300 mm de diámetro y cuatro pernos del mismo dtá· metro, en otro círculo concéntrico de 200 mm de diámetro, como se índica en la figura. ¿Que par torsor puede trasmitir sin que el esfuerzo cortante exceda de 60 MPa en los pernos?

11 2 = -lt(0,02)' Sabemos que: A=-d

4

Resolución:

4

Figura 3.7

P = At = 12 566,37 N

o ,= 300 mm

T = PRn = P(0/2)n = (12 566,37)(0,3/2)(8)

=>

1T = 15,08 kN.m I

=> R, = 150 mm

d, = d, = 10 mm 0 2 =200mm => R2 =100mm

327. Un acoplamiento por medio de bridas conecta un árbol de 90 mm de diámetro y otro hueco de diámetros exterior e interior de 100 y 90 mm, respectivamente. Sí el esfuerzo cortante admisible es de 60 MN/m•, determinar el número de pernos de 1O mm que se necesitarían, dispuestos en una circunferencia de 200 mm de diámetro, para que el acoplamiento sea igualmente resistente que el más débil de los árboles.

Además: T = P,R,n, + P,R,n,;

P, p 2 P, 150 _ 1 R, = R, =r.= 100 - ' 5 7l

T: 60 x 10' X : (0,01)' X 0,15 X 6 + 40 X 10' X ¡(0,01)2 X 0,1

I

T = 5,5 kN.m

X

4

I

Resolución: 329 Primero calculamos el momento torsor admisible: t

t

,--

,--

5 T(0,04 ) = 6986,2T S 60 x 1O" í

t :!: 2,8 mm :.

¡1 =3 mm I

338. Un tubo de 3 mm de espesor tiene una for· ma ellptica, como se indica en la figura. Hallar el momento torsionante que produci· rá en él un esfuerzo cortante de 60 MNlm'. 150nvn

Resolución: Del gráfico tenemos A

Sabemos que:

T

1t

NO

p

r = 2A(O)+A(150) 150 3A = =50mm ,

X

T = 5937 N.m

' 1

Determinamos el centro de . giro que está sobre el eje:

J=A _1t J = .:dx2 1

1()8

2

751Ml

Resolución:

3

X

=178 MN/m

=11 a b =11

(º-y15 yÁo'075)= 2

8,84 x 10'3

~----,

Además: T = t(2A.t) = 60 x 106 x 2 x 8,84 x 10--' x 0,003 339. Un tubo de 3 mm de espesor tiene la for· ma y dimensiones que se indican en la figura. Calcular el esfuerzo cortante si se Je aplica un momento torsionante de 700 N.m y el valor de a es 75 mm.

=> [T = 3,18 kN.mJ

\rrffi ''

a

ltJI

Mm:o/.v.\ P = 2000

=>'t= 121 x 2000=2314 N

Para un anillo de espesor dp, tenemos: T=

t...,.= 121

=> p s 2,75 kN

m = 2R/d = 2(80)120 = 8

=> 4m = 32

16PR(4m-1 0,615) La expresión 3 • 1O es: t""' = nd 4m _ + m 4

3

)(75x10">' ns 1oo x10.., Además: 6 64PR'n _ 64(2, 75 x10 = Gd' 83 x10 9 (20x10 ")' => ns 17,9

•

-

lkll

346.Determinar el esfuerzo cortante máximo en un resorte de bronce fosforado de diámetro medio de 200 mm y formado por 24 vueltas de varilla de 20 mm de diámetro cuando se estira una longitud de 100 mm. Apfi. car (3· 1 O) con O= 42 GN/m 2.

º

Resolucl6n: Sabemos que: t =

de acero colocados en serie, como indica la figu348. Dos resort~e; una carga P. El resorte superior tien.e 12 espiras ra, so~I de 25 mm de diámetro con un radio medio de 1~v!~ aEl inferior tiene 10 espiras de varilla de 20 mrtm die · . d' d 75 mm Si el esfuerzo co an e ·d MN/m' determi· diámetro con radio me 1 e no debe exceder en ninguno de e11 os e 200 . ( ·. O) con nar p y et alargamiento total del con¡unto. Aplicar 3 .1 lente G = 83 GN/m'. Calcular la constan)e del resorte equ1va dividiendo la carga entre el alargamiento.

3 3 64PR n = 64P(100 X 10-,) 24 S 00x -o 1 10 Gd' (42x10 9 )(20 x 10.,)'

=>

PS437,5N

Resolucl6n: Además:

t

p

= 16PR( 4m-1 + 0,615) "'"' 00 3 4m-4 m

Resorte superior: n, 12 d, 25 mm R, = 100 mm => m, = 8

= =

D 200 = 10 Donde: m = d= 20 't

= 16(437,5)(100x 10 ..) ( 4 X10-1 + 0,615 ) => "'" 1t(20x 10 .,) 3 4 x 10-4 10

't.,.. = 131,9 MPal . .

347.Un embrague está accionado por seis resortes helicoidales dispuestos simétricamente. Cada resorte tiene doce espiras de alambre de acero de 1O mm de diámetro y un diámetro exterior de 50 mm. Determinar la fuerza que hay que ejercer contra la placa del embrague para comprimir los resortes una longitud de 40 mm. ¿Cuál será el esfuerzo cortante máximo en ellos? Aplicar (3·9) con G = 83 GN/m 2•

Resolución: 64PR 3n Sabemos que: ó = Gd '

Además: 't

mb

p

=

.......... O.C.L.

En el resorte superior: 16PR ( 4m-1 + 0,615 ) t= ncf 4m-4 m t = 38 590P S 200

=>

=7,5 y G =83 GN/m

p

}

=>

t

= 16P(0,101 { 4(8) - 1 + º·!15 n(0,025) 4(8) - 4

s 5, 18 kN

=>

óGd' P=...c..:64R3n

4m - 4

16P(0,075){ 4(7,5)-1 + 0,615 } => - n(o.02)3 4(7,5) - 4 7,5

t _

•

t

= 57 170,9P S 200 => P S 3,5 kN

:. 1 p""' = 3,5 kN I

m

Para calcular el alargamiento total: ó, = ó, + 0, Donde: m = 2R/d = 200/20 = 10

2

En el resorte inferior:

= 16P3R ( 4m - 1 + -O_ c;.,:•6__1..:.5 ) 1td

Resorte inferior: n2 = 10 d2 = 20 mm R, = 75 mm => m t """ 200 MN/m2

¡¡ - 64PR~n1 - 64(3,5)(0,1)3(12~ = 0,0829 m

=> 4m = 40

''t.,., = 16(437,5)(0, 1)( 40 - 1 + 0,615) n:(0,02) 3 40-4 10

=>

Gd:

- (83x10 6 )(0,025)

= 0,0711 m 6, = 64PR~n2 -- 64(3,5)(0,075)3(10) • 4 Gd~

(83x1o6 ) (0.02)

o,= 0,154 m

=>

3 k = p = 3,5x10 o 0,154

=>

16,= (15,4 cm) 1 [ k = 22,7 kN/m

Aplicando:

I

Reemplazando tos datos tenemos:

349. Una carga P está soportada por dos resortes helicoidales colocados concéntricamente uno dentro de otro, como se observa en la figura. El interior tiene 30 espiras de alambre de 20 mm de diámetro sobre un radio medio de 150 mm y el exterior, 20 espiras de alambre de 30 mm con un radio medio de 200 mm. Determinar la carga máxima P que pueden soportar, de manera que no se sobrepase el esfuerzo cortante admisible de 140 MPa en cada resorte. Aplicar (3·9) con G = 83 GPa. Inicialmente los dos resortes tienen sus extremos superiores al mismo nivel.

ti

= 16(0,238P)(0,075)[1+ 0,02 it(0,02)3 4(0,075)

t II

= 16(0,762P)(0,1)[1 + (03)] => it(0,03)3 4 0,1

4

42(0,02)

fP,

Aplicando:

=

!'

P, = 0,79 kN

PE = 4,21 kN

= 7,5; m. = 6,67

16PR( 4m-1 + 0,615) nc:!3 4m -4 m

Reemplazando, tenemos:

ft~

(0,03)4

Calculando: m,

=>

... (1) 16(790)(0,075)[4(7,5) - 1 + 01615]= , MPa 45 1 t, = n(0,02)3 4(7,5}-4 7,5

P¡(o,15)3(30) _ Pe(o.2)3(20) -

83(0,03}'

-

R = 6,33 P,

Reempla:i:ando tenemos:

(0.02)'

:15451PS 140 => P s 9,06kN

3 3 64P¡ (0,075) (30) _ 64PE (0, 1) (20)

!..[

P=P,+P,;

ft~

t 11

Resolución: Aplicando 6, = 6•, tenemos:

E=>

= 12 121,24P S 140

350.Si el resorte interior del problema anteñor es de bronce fosforado con G = 42 GN/m•, calcular et esfuerzo cortante máximo en cada resorte oon P = 5 kN. Aplicar (3-1 O).

!

1-

't,

:. 1P""" = 9,06 kN I

P,

fPe

J =>

=> P s 11,55 kN

Resolución: Tenemos 2 resortes concéntricos esto quiere decir que ambos tendrán la mis· ma deformación 6. El sistema es equivalente A:

Del equilibrio tenemos que: P = P, + P• Además: 3 6- 6 ~P¡R, n, = ~PERinE

d)

= 16PR( nct3 1+ 4R

t

=>

'

1

= 3,2036

=>

P,

=0,238P

t

_ E -

16(4210)(0,1)( 4(6,67) - 1 + 0,615] = 97,23 MPa ff(Q,03)3 4(6,67)-4 6,67

:.jt, = 45,1 MPaj

;

jt, = 97,23 MPaj

'

-

RESISlfNCJA ()f MATE/IIN.,S. $():(CON;IJIJ()

351. Una placa rígida se apoya en el resorte central, ver figura, que es 20 mm más largo que los dos resortes laterales, simétricamente co· locados. Cada uno de estos laterales tiene 18 espiras de alambre de 10 mm sobre un diámetro medio de 100 mm. El resorte cen· tral tiene 24 espiras de alambre de 20 mm y diámetro med,o de 150 mm. Si se aplica una carga P = 5 kN en la placa, determinar el esfuerzo cortante máximo en cada resorte. Aphcar (3·9) con G "' 83 GN/m•.

1

1 352. Resolver el problema 351 si los resortes laterales son de bro.nce fosforado pa~a el que G = 42 GN/m2• ¿Se puede predecir el efecto cuahta)1vo de este cambio en los esfuerzos?

o=

O _ 64(5)(0,075)3 (24) X103 (

)(

= 0,24 m > 20 mm

)•

83x109 0,02

I

=> lt = 170 MPa '-·_e----'·

20mm

Resoluc/6n: Primeramente, veremos si para la carga P deforma más o menos: 20 mm c-

_ 16(3347,48)(0,075)[ 1+ 0,02 ] te n(0,02)3 4(0,075)

,,~,

Entonces, actúa todo el sistema:

Reso/ucí6n: G, = 42 GN/m 2 ; Ge= 83 GPa sr. tos laterales resisten en la proporción (42183) veces del anterior. Reemplazando en la ecuación (') del problema anterior: 9,64Pe - 17,35P, = 2000 9,64(5000 - 2P,) - 17,35P, = 2000 P, = 1711 N Pe= 1578 N t = 16(1578)(0,075)(1+ 0,02 ] e n(0,02)3 4(0,075)

=>

l tc= 80MPa .

353. Una barra rígida articulada en un extremo pende de dos resortes idénticos, como se observa en la f1gu· ra. Cada uno de ellos tiene 20 espiras de alambre de 10 mm con diámetro medio de 150 mm. Determi· nar el esfuerzo cortante máximo en los resortes apli· cando (3·9). Desprecie la masa de la barra rígida. Equilibrio: !:Fv = O

=>

2P, + Pe = P = 5000 • o02 +u, • "e='

Compatibilidad de deformacio'n·. 3

Aplicando ¡¡ = •

Resolución: Dibujando el diagrama de deformación: D.C.L.

64PR n Gd4 3

Tenemos:

... (•)

64Pc (0,075) 24 9

83x10 (0,02}'

X --+

3

-

64PL(0,05) 18 83x109 (0,01)'

=002 '

ry

- - · · · · .. cr······u········'D

o

6,

4,88Pc - 17,35P, = 2000 4,88(5000 - 2P,)- 17,35P, = 2000 27,11P,

=22 400

P, = 826,26 N Pe = 3347,48 N

1-2m ...... 2m+2m 10 l(g

''

' 10kg

Del equilibrio: ver D.C.L. °0'I:M0 =0: P,(2)+P2 (4) - 10(6)=0 P, + 2P2 = 30

... (1)

-

IQI De la compatibilidad de deformaciones:

61 6 . Por seme¡anza: - =- ? 2 4

=>

6 = 26, 2

Del equilibrio: P, +2P2=3P De las deformaciones P2 = 2P,

... (2)

. 64PR3n en (2): Aphcando 6 = Gd' 3

De (1) y (2) tenemos:

3

64(P2)R n = [64(P,)R n] 2 Gd• Gd'

=>

P2 = 2P,

=30

t

=>

P,= 6 kg y P

2

=12 kg

t= 16PR( 1+~) 1td3 4R

,t2=

{

P2 = 6P/5

2

= 16(6P/5)(0,08)[1+ 0,01 3

1t(0,01)

P s 277N(28,3 kg)

Para calcular el esfuerzo constante máximo, aplicamos:

t 1=

P1 =3P/5

Podemos apreciar que el resorte (2) está más cargado que el resorte (1 ), por tanto:

... (3)

De (1) y (3) tenemos: P,+2(2P,)

... (1) ...(2)

4(0,08)

Js 140 x 10s

:. ¡Pm4, =28,3 kgl

355. Como se indica en la figura, un bloque rígido de so kg pende de tres resortes cuyos eX1remos inferiores, inicialmente, están al mismo nivel. Cada resorte de acero tiene 24 espiras de alambre de 1O mm de diámetro sobre un diámetro medio de 100 mm y G 83 GN/m 2• El resorte de bronce tiene 48 espiras de alambre de 20 mm y diámetro medio de 150 mm, con G 42 GN/m'. Deler· minar el esfuerzo cortante máximo en cada resorte aplicando (3·9).

16

5 (~) (0,~? )(1+ (o.o; ))x9,81 = 23,2 MN/m 2 1t 0,01 4 o.o 5

16(12)(0,075)[ 0,01 ] 2 1+ ( ) x9,81=46,5 MN/m 3 1t(0,01) 4 0,075

=

:. 1t.,., = 46,5 MN/m•j

=

354. Si cada resorte del problema anterior tiene 16 espiras de alambre de 1O mm sobre 160 mm de diámetro medio, determinar la carga máxima P para que el esfuerzo no exceda de 140 MN/m2 en ningún resorte. Use la ecuación (3·9).

Resolución: Cada resorte de '"'2m~2m+2m

Resolución: Dibujando el D.C.L.:

IO~g

~- -·· ····••t1••··· ··· ·1]··········-··q

'

..

¡¡,

..' ..

Aphcando el equilibrio en el D.C.L.:

Acero

Bronce fosforado

Aplicando compatibilidad de deformaciones por semejanza, tenemos: 62 - 6, - 03 - 6, 1 3

=>

63 = 362 - 26,

FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE EN VIGAS

. . 64PR 3n Aplicando. 6 = Gcf' en (3), tenemos: 64P3 (0,075)3(4g)2 64(0,05)3(24) • = (3P2 - 2P) 1 42(0,02) 83(0,01)4 P3 = 3,6P2

2,4P1

-

CAPÍTULO 4

...(3)

... (4)

De (1), (2) y (4) se obtiene lo siguiente:

Escribir las distribuciones de momentos flexionantes y fuerza cortante en las vigas de los problemas siguientes. Trazar también sus diagramas, marcando los valores en todos los puntos de discontinuidad, y en los de fuerza cortante nula. Despreciar el peso propio de las vigas. 401 y 402: problemas ilustrativos.

P, = 14,8 kg (145 N) P,= 15,3 kg (150 N) P3= 19,9 kg (195 N)

403. Viga cargada como se indica en la figura:

Para determinar los esfuerzos cortantes en cada resorte aplicamos:

Resolución: t=

16PR( .., 1+- d ) no· 4R

Para el acero: T

_

acero., -

t_,,,.2 =

•

J

16(145)(0,05)[ 0,01 n(0,01)° 1+ 4(0,05) = 38,77 MN/m• 6m

R,

40,1 MN/m2

(1) Calculamos las reacciones, aplicando las ecuaciones de equilibrio.

Para el bronce: t

"'°""'_

J

16(195)(0.075)[ 0,02 2 3 1+ -99 n(o.02)3 4(0.075) - ' MN/m

,· l ••eero = 40,1 MN/m2 1

A

1~ = 9,93 MN/m2 I

+) :!:M• = O: - 50(2) + R,(6) - 20(7) = O

=>

R2 = 40 kN

+I

=>

R, =30kN

l:F,=0: R,-50+R2 -20=0

(11) En los cortes calculamos las fuerzas internas. Corte 1 - 1: x = {0;2} +)r.M,=0:M-30x=0=>

M=30xJM=0,x = 0 \M=60, x=2

+f l:F,=0: 30-V=O

V:30,cte.

=>

~~

Al rMl

30kN=R,~

-

1111

RESISTENCIA DE MATE/fAUS - SOI.UC10NARI()

Corte 2 - 2: x = (2;6) 2 50kN (x-2)

+ ):EM,=0: M+SO(x-2)-30x=O => M=100-20x M,

2

= 60 kN.m ;

l

M,_. = -20 kN.m

t :EFv: 30 - 50 - V = O => V = -20, cte.

1 M

'~

'

(11) En ios cortes, calcuiamos ias fuerzas internas: Corte 1 - 1: x = (0;2}

+)

:EM,_, M)1

=O: M + 10(x) =O => M =- 10x

0--

·1 MX • 2 = - 20 kN.m

O

X

+I 1:Fv = O: - 10 - V= O => V= -10 kN (cte.) Corte 3 - 3: x = (6;7}

1

+ ):EM, = O: M + 50(x - 2) - 40(x - 6) - 30x = O

2

Corte 2 - 2:

M = 20x - 140

M' •

=-20 , M.. , =O

+)

I:M,

x = (2;5)

10~

,= O: M + 1O(x) -

6(x - 2) = O

1 =::;====\j¡~

=> M =- 4x-12

+I 1:Fv = O: 30 - 50 + 40 - V = O => V= 20, cte.

6kN

MX•2 = - 20 ·1 MX• • = - 32 kN.m

(111) Dibujamos los diagramas:

j V00 =20kNj

+t I:FV = O

(-) A

B

(+J

«>:..

I

J' 2m

404. Víga cargada como se indica en la figura.

Al

l ••

Resolución: IOkN 2m 3m 2 =:: 1 ,---1·1'--·~___¡_.

Ai

!r

1 B

._9 3¡

2'

40 kN.m3 ,

R1 (1)

:-10 +6-V =O=> V =-4 kN (cte.)

OFC

Corte 3 - 3: x

+)

= (5;7}

:EM._. = O:

M + 1O(x) - 6(x - 2) - 40 = O 3"'

·1 ·

\)

40kH.,.,

2,n

·1 j

=> M

o

= -4x + 28 X

M)(. 5 = 8 kN.m ; M•• 1 = O kN.m

..1

+ t :i:Fv

=o: -1 o + 6 - V = o

=> V

= - 4 kN (cte.)

(111) Dibujamos los diagramas:

I' ..:..:.::m~.,

21

F

-20

ªJ

'r-

•( X

.

1 +J) 1

Meo = 20(X-140) kNml ; X= {6;7}

t (x-2) •I

C:_

X

t

D

R2

Calculamos las reacciones:

+) 1:M8 = O: 10(2) - 40 + R2(5) = O

=>

R, = 4 kN

+1 :EFv = O: -10 + R, + R, = O

=>

R,

=6 kN

JMco = (- 4x + 28)!;

(+) A

B

x = (5;7)

e

(-) 1-6 kN l-1--------...:..4k:.:.:.N_

o __,,

(+)

-8kN.m'-........

(-)

_____ ,\ -32kN.m

M

NEN

REsisrmaA l)f IMlfíflaS. SO..IICIONNII()

405. Viga cargada como se indica en la figura.

Corte 2 · 2; x = (2;10) IOIN.m

AJ======tc

+'j tM2_. = o: M + (lOx)(x/2) + 30(x - 2) - 74x = O M = 60 + 44x - 5x2

J o - - - 10m - - - - i

R,

1---1

t

10 =0

M, . ,., = 156,8 kN.m

Resolución: 30kN

30kN

M,. 2 = 128kN.m; M,

+I rFv = o: 74 - 30 10 lcN/m

(x- 2)

•I

1ox - v = o

=> V= 44 - 10x

2m B

V,.. =24 ;

Vp10 =-56kN

V= 44 - 10x = 0

X= 4,4

=>

=>

X= (2;10)

t . - - - 10m ----+!

(111) Dibujamos los diagramas:

R,

54

Nota: para cargas distribuidas. Es equivalente solo para calcular reacciones.

q

(+) 74

LJ!::::S~~:::::::::::J 56kN

DFC (-)

L (1)

¡

< >

t

L

Calculamos las reacciones:

X •4,4

24 /

qL

iiiiii

V•O

DMF

t

(+)

+j tM, = O: A2 (10) - (10 x 10)(10/2) - 30(2) = O => A,= 56 kN

I

2

20kN

r!c 20 kN/m

j

A•• -2-~.t~~--4~m,---~JD

Corte 1 • 1, x = (0;2)

m

+'j ™,-, =O: M + (10x)(x/2) - 74(x) = O

Resolución: 20 kN

M = 74x- 5x2 =0; M

'" 2

+¡tFv=0:74-lOx-V :O

40kN

74 kN L--,--...¡ =>

V=74-10x

v,., = 54 kN

V= 0 => X= 74/10 = 7, 4 => '/¡

,,20ldfll.2 A

.' 2m

X=

(0:2)

2m

•'

= 128kN.m X

V,. 0 = 74 kN;

40kN

!1

(JI) Calculamos los momentos y cortantes en los cortes indicados:

0

r

Mee= - 5x + 44x + 601: X= (2;10)

406. Viga cargada como se indica en la ligura.

'

~

~m

0

+ f l:Fv = O: A, - 30 - (10 x 10) + A2 = O => A,= 74,.kN

M

1

(-)

B

'r. .,

•2

.,

D

4m

R,

R,

R,

,,~, (1) Calculamos las reacciones:

(III) Dibujamos los diagramas:

+) l:M0 = O: 40(2) - R,(4) + 20(6) + (20 x 6)(612) = O => R, = 140 kN +I !Fv = O: -20 + R, - 20(6) - 40 + R2 = O

(•) DFC

=> R = 40 kN 2

-"°

ao~

{-) +-10

b

H~ DMf

60

(•)

"'

+I !Fv = O: R, - (30(2)]+R, = O

=>

R, = 36 kN

R, = 24 kN

(11) Calculamos los momentos Y cortantes en los cortes: Corte 1 • 1: x

Corte 3 · 3: x = (4;6)

+} LM,

+) l:M:1-3 = O: -M + 40(6 - x) - 20(6 - X)(6 - X)/2 = O

.. =

M ,

40; M •

'

=O kN.m

+I !Fv= O: V-20(6-x) +40= O V=-20x+80 V, ., =OkN; V,. 8 =-40kN V = 0 = -20x + 80 =>

X

= 4; X= ( 4;6)

1

=(0;2)

= O: M - 24X = O

=> M = 24x

Mi t O - O · M•••• = 48 kN.m -,

M = -10x2 + 80x - 120

+! !Fv = O: 24 - V= O => (6-x)/2

Corte 2 • 2: x = (2;4)

~20(6-x)

+)

M~

::::::J (6-x)

40 kN

D

R2

Sm

!~

X

=>

.

.

M, 2 = -80 ; M, , = 40 kN.m

(111) Dibujamos los diagramas de momento flector y fuerza cortante:

(1) Calculamos las reacciones: (1.')

Sistema equivalente solo para el cálculo de las reacciones.

70

I

10

50

(+)

I·

30•2 = 60kN ' 1•

1

'

1

1

Af R,

3

15•4 ; 60kN

•••

·I

(-)

1

, / : (1.•¡

1

•

2

Je ~

2.61

I

M.náx = 83,33 kN.m

I

-

DI

409. Ménsula cargada como se indica en la figura.

~ A

' wNh

t

Resolución:

wN/m

Al

la

1~ 11

1.

21

El cálculo de las reacciones en

e~

t

l

el

21

U2

'Is

l.12

Resolución:

.f

c es opcional. l

(1) Cálculo de las fuerzas en los cortes:

(1) Calculamos las fuerzas en el corte 1 - 1: x = (O; L)

Corte 1 - 1 ; x = (O ;L/2)

!Í l:M, _, M,

0

, Por seme¡anza:

= O: M + [w(x)] (x/2) = O=> M = - wx'/2

=0;

M

' • l/2

•t l:Fv = O: -w(x) -

410.Ménsula cargada con la carga 1riangular que indica la figura.

xW,

W

X

=L

=> w, = w L

=-wl'/4

!Í :rM,.,

V = O => V= -wx

=O: M + [ ( w ~ ) R, = 10 kN

(11) Calculamos las tuerzas en el corte 1-1: x = (o,L}

• + I:M,, = O: ::'.:'.!:(Lx)- wL' -[w( 12 3 L

O

l~,~·-,~~.., . .~·-2~~+,fc ~3

R

::J

J

(11) Cálculo de las fuerzas cortantes y momento flexionante en cortes:

(L - x) (L - x) 2 3 M -0

Corte 1 - 1: x = (0;2}

!f 1:M, _, = O: M w,= r M = 10X = +20 kN.m

+f I:Fv= O: 10-V =0 =>

wl2 M ll l - = - -

Corte 2 - 2: x = (2;6} !f :i:M2 _ 2 = O: M - 10x + (10(x - 2)(x - 2)/2] = O

3

M =-5x2 +30x-20 M,. 2 = +20 kN.m

..

M • = - 20 kN.m

OfC (+)

wx' V=--wx 2L

(-¡-~=-,---~ (-) wl.

V,., =O

I

¡v. ,=

V = 10 kN (cte.)

(2.')

-~I OMF

(-) (+)

~ ~

2

¿

3

• ll--("'x_-""2)'-1•I 1---'2=--+1 10kN/m

10--I

,..,

A!=•====~~f0M

+f I:Fv= O: 10 -[10(x-2)]-V = O X 10 V =-10x +30 V••? = 1o·• V•• a = - 30 kN V=0=-10x+30 => x=3 => MNI( :Ml l • .=25 ..

-

, ..1, (1) Calculamos las reacciones:

Corte 3·3: x = (6;8}

:f ™•·•=O: -

M - [10(8 - x)(8 - x)/2] = M=-5x2 +80x-320

...

M,., = -20 kN.m; M

o

:} l:M• = O: 25 - 50 (4,5) + R2(5) = O

8-x

R2 =40kN

•t

=O

R, = 10 kN

•t l:Fv = O: V -

[10(8 - x)] = O V= -10x + 80 V, .e = +20;

(11) Calculamos las fuerzas en los cortes:

v,.. = O kN

Corte 1·1: x = (0;1)

(111) Dibujamos los diagramas. 10

l:Fv=O:R,-50+R2 =0

20

•t EFv=O: 10-V:O

=> V= 10 kN (cte.)

:} :!:M1 _ 1 =O; M - 10x = O

=> M = 10x

M,

OFC (•) (-)

••

.'

=O; M,

0

1

= 10 kN.m

•

x=3

Corte 2·2: x =(1; 2)

I

Mmáx = 25 kN.m

(20)

(20)

25 kN.m

•t EF :O: 10-V=O

=>

:} l:M2

=> M= 10x-25

V

M,

2

= O: M +25 -10x

V= 10 kN (cte.)

= - 15 kN.m ; M,. 2 = - 5 kN .m

1

) llVM

,Jt-,--x~x-2

Corte 3-3: x = (2; 5)

•t 413. ':iga con la carga indicada en la figura.

Resoluci6n:

••

' 2,Sm

A•

~

¡ fi t

25kN.m 1, 2,

, ••• 1 R, m m

.r.

:-Equivalente ficticio

1

3, 10~

3: 3m

iº

'*' R,

.. 4:

2m

¡E ..¡

v, •• =10kN;

v ,., =-20kN

V=0=-10x+30

=>

:f l:M3

3

x =3m

M,.

2

=-5; M,. , = - 20 kN.m

M....,= M,. 3 =0

10

=:::¡::::=::====tJ~M

t.

10kN

= O: M + [10(x - 2)(x - 2)/2] + 25 - 10x = O

M=-5x2 +30x-45

2 •I

•

25 ~N.m

V= - 10X + 30

•I

10 (x-2)~·

:!:Fv=O: 10-10(x-2)-V:O

X

•

-

-~i-i

R¡s,srr,;c,,. DE MA1fN V= -10x + 70 v, •• = 20; V,.,= O kN •

~ EM,_, = O: - M - (10(7 - x)(7 -

x)/2]

= O 10(7-,~:

M,

5

~ ( 7- X)

:0bd~:

M = - 5x' + 70x - 245

= - 20 kN.m ; M, . 7 = O

I•

(111) Dibujando los diagramas:

2x

Corte 1-1: x={0;2)

7-x

·f

•t EF,=0:-2x-V=0

=>

V=-2x

~ EM, . ,

=>

M = - x'

= O:

M + 2x(x/2)

=

M •• O O ; M • • 2

OFC

F2 = 2(x - 2)

R2:40

(-)

= 2x -

x' 2 -

.--F,

2kNhn I

4

'--

4 kN

'

t

V,.,= - 4 kN; 20

~ EM24

(i1.o¡

414. Ménsula con la carga indicada en la figura.

,.....,,.2""_,......,..---r1 Is A

e,

8 2m

mim

1

4 kN

(2-x)

V, • = - 16,5 kN I

=O: 4 + F,

t!:=2=kN/=m=!==;:J¡skN/m I• 2m , f' 3m ..¡

3

+ F2

(x - 2) 2

+M

=O

M = - x3/6 + 2x - 20/3 M,

2

=- 4 kN.m ;

1M, • =- 17,5 kN.m I

3m

(-4)

•

Resolución:

(x-2)

(3')

ti

(-)

DMF

(+)

---(17,5)

(-)

w, :2+(x;2),3

/

m( l t===:~~M

x'

(+) 10

l¡~M

F,

V= - - -2 2 (-)

/2

1

2x + 2

2

20

OMF

2\.

1

X

•t EFv=0:-4-F -F,-V=0

15

2

Corte 2-2: x = {2; 5)

20"\.

x:3

X

~

=- 4 kN.m

F, = (x - 2)(x - 2)/2 =

• 10 (+)

1 1

:x

-

-~ti

415. Ménsula con la carga indicada en la figura.

r:~

fil

Alt::===:::;:=ªícHiiñ===~c 2m

3m

Resolución:

Resoluc/6n: 11

Al

.•' •1

I• 2m

8 IIN/rn

.l~kN

:

'2

3m

L

R,

••2

e

Calculamos R,:

•I

!;)

:i:M,

=O: T(U3) - R,(L) = o R, = wU6

Calculamos las tuerzas en los cortes: Corte 1 • 1: x = (0;2}

+t Lf'v =O: -

8x - V = O => V, 0 =0; V, 2 =-16kN

V= - 8x X

M,. 0 = 0 ; M,_ 2 =-16kN

..

~

8x

(X-2)

8x + 20 - V = O

..

=> V

=20 - 8x

X

L wx "'F o· ~ "-v-·5 - - 2L

X

2

•I

8kN!m

Corte 2 · 2: x " (2;5}

..

_,.,

20kN

,

2

+t

!;) :EM,_, =O: M + (8X)(x/2) = O => M =- 4x2

+t l:Fv = O : -

Calculamos las fuerzas en el corte 1 - 1, x = (O;L):

BM

wx ' wl V =-- + - => 2L

6

¡

-V= O

,

wl

v,.0" 5 V ,.,

X

3

wl 3

=--

X

1

l•l< - - - - - " - - - - - - - . •I i

V .=+4kN ; M .=-20 kN ,

wx'Xx3 )- (wL) +t :EM,., = O: M + (2l 6 X -O -

!;) :EM2 _ 2 = O: M + 8x (x/2) - 20(x - 2) = O

j M = ( - 4x 2+20x - 40) kN.m j

wL

416. Viga con la carga triangular que indica la figura.

t. R,

L

wS2J

.fR2

T wl'

M -

= M ,=,;:: ' "1j 9~3

RESISTENCIA OE "41ERIAllS. S0t.1X:JONN1J()

417. Viga con la carga triangular que indica en la figura.

~ f'

U2

R,

Resolución:

•I

418 _Voladizo O ménsula cargada como indica

51 V= - 5x V • -o =O ·' V• 2 = - 10 kN

Corte 1·1: x =(O; L/2)

wx '

wL

L

4

• t I:Fv=O: - - - - V = O =o V = - - + 4

60kN.m 2,

Calculamos las fuerzas en los cortes:

Calculamos las fuerzas en el corte 1•1 hasta el cenlro del tramo y luego por tratarse de una estructura con simetría de cargas y geometría. El DFC es antisimétrico y el DMF es simétrico.

wl wx '

..

5kNm

L

,+ :;.J

w - WX-2wx , _ _. x---wx' (U2) L --· f=l=:=:::=::=f l 0M wl

wl

v... = 4 . v, .,, = o

.,

M• • o = O·1 M• , = - 10kN.m

,-.~ ••

T l----'x'----1 !;ÍEM • - 1 =O·M =O 3 + ( wx • L 'X!3 )- ~(x) 4

I:M1- 1 = M + (Sx)(x/2) = O => M = - 2,Sx'

Corte 2 · 2: x = (2;4)

+f tFv = o: - lO _ v = o => 2

1) : O; M = - 10x+ 10 -- - 10 kN • m·• M• .. = -30 kN.m

¿-(2.')

M•• 0 = O ;

M,.v, =

wl2

12

1

•I •

x- 2

i

!f tM,_, =0: M + 10(x M•

(•)

10,. 1

V= - 10 kN (cte.)

1

SkHhn

14

1 X

•I

IBM •I

Corte 3-3: x = (4;5)

(•)

OFC (-)

1 1

H

1

1

(·)

1 1

~

·~ (•) ~l~~,·

wl

T

•f

rf'y = O: - 1O - V = O => V

=-1 O kN

!;Í tM3 _ 3 = O: M-60 + 10(x - 1) = O M = -10x + 70 M, . , = 30 kN.m; M, 5 20 kN.m

=

(x-1)

10:· 1

5~

1

•I

-

V

(t)

DFC (-)

r

;1º

~

DMF

=)

-,o, f

(-)

=·J

= O: 12(5 - x) - M = O

M~fji==

1 (5-x)

..

12

=24 kN.m; M , =O kN.m

20 kN/m Af!=====#11====~a~!:=:;:*;===:;.c[0M

=24 kN.m

+fl:Fv=O:V+ 12=0

M=60-12x

3•2· 30 ........ ;+----¡

(111) Dibujando los diagramas:

2m

R,

V

18

(IJ Cálculo de las reacciones:

!) I:M, = O: 30(3) - A,(5) = O => A, = 18

OFC

(+) X

30 +~=O => A2 = 12 kN

12

12

(11) Cálculo de las fuerzas en los cortes:

Corte 1·1: x = {0;3)

(1.")

24kN.m +fI:Fv:18- ~Ox -V=O

...

V, a= 18 ;V .=-12 kN

=>

10 2 V=18--x 3

X

Corte 2-2: x = {3; 5)

!Í !M2

Resolución:

18

9

M..., = M,

2

~=·~t~M

M +(~x•X; ) -18x=O

M = - 10 x > + 18x M,

+f I:Fv = O: A, -

10 2 • -x-· 3 . •

30

(-)rL- -==º~1!:!l!J:::J(:[JJt+f:_=._L

20

X

V =0 = 18- 10 x 2 => X= 2,32 = ( 3 -,15 3 5 !ÍI:M,_,=0:

M

• 3

27,89kN.m

M...,= 15 kN.m; M,.. = 30 kN.m

420. Una carga distribuida con un total de 60 kN, soportada por una reacción uniforme como indica la figura.

:.

t tt ttt t tt tt t t

M"""= M,.. = 30 kN.m

(111) Dibujando los diagramas:

Resolucí6n:

-15 60

=15

OFC L....--L+,-,--..::...,,..-.J-:-)h--(- .-••7,·

60kN

4 ..__,-,.....,.~":"'':---:-:~

t l 1.1 l 1 l

1'

r't t t t r·r 2m

(kN)

tf t

4m

' ... ,

30 kN.m

w

OMF (l

(2.')

w = 7,5 kN/m

V = O=> V= 7,5x

!f !M, _, = O; M M,. 0 =0; M,

2

~.,.,·

-..l..~·

421. Determinar las distribuciones de fuerza cortante y mo· mento tlexionante en la barra curva de la figura: (a) en el caso de que la fuerza P sea vertical como está indicado, y (b) en el caso de que sea horizontal y dirigida hacia la izquierda.

=15 kN

O = O; V ll • 2

(+)

Comentario: esta estructura es simétrica en geometría y carga, por lo cual el OFC es antisimétrico y el OMF simétrico.

Corte 1 • 1: x=(0;2)

Vll •

(+)

(2.')

(11) Calculamos las fuerzas en los cortes (notar que es simétrico).

+t !Fv = O: 7,5 X -

X

(+)

(1) Calculamos w, para que la viga esté en equilibrio. +I ! Fv = O: - 60 + w(8) = O

..

1

,.1•

(7,5 x)(x/2) = O => M = 3, 75 x2

.. ..: e o

Resolución:

= 15 kN.m

p

Calculamos las fuerzas en el corte 1 · 1: 9 = (0;1t/2) 2

Corte 2 • 2: x = (2;4)

+t l:F11 = O: 7,5 x -

15(x - 2) - V= O V = -7,Sx + 30

=>

V,

!f r M,

2:

15

Corte 1 • 1: 15

1 11.7•5'"'- 111J J I fr)M

15kN ; V,.24 =OkN , = O: M + (15(x - 2)(x - 2)/2) - (7,5x)(x/2) = O

M = - 3,75x' + 30x - 30

(X - 2)

'""

+

-

p

tF•. = O: - V - Pcos o=

o

/ /1

~:/

lv= -Pcoso l

X

R

!J

!M, _, = O: M + P(Rsen 0) = O

I= M

-PRsen e

j

Rsen0

-

-

RESISTENCIA Of MAIEIKfS. SOWCIONNIIO

(11) Cálculo de las fuerzas: Dibujamos los diagramas: Corte 1 -,1: (tramo AB); 9 = (

'

0;i)

'~J

r[ ___ªt+ '.p.

l;F, = O: V -(P/2)sene = o V=

DFC b)

p

2 sena

z} 1:M = O: M -

DMF

M=

Calculamos las fuer:zas en el corte 1•1:

P/2

(P/2)[(R(1 - cos 9)1 = O PR

2

r'\M

l

~1-S 9)

(1-cosO)

x';

f: M, ' 'v-J:..

Corte 2-2: (tramo BC); e = (;:1t)

§

1

9 ,,

N

tF, = O: V +

"' !"}; 1

p

2

cos(e -

p

"-------

lt

2

,.......,_,1

) =o

(O -!!12) ;,'

2

En el corte 1-1: +

IV= - Psene

!l

z) ™=O:

!

M =..

PR

2

:R[1-sen(e - i)]-M=O •

(1+cose)

tM, . 1 = O: M + P(R - Reos 0) = o I M = - PR(1 - cos 0) 1

422. Determinar las distribuciones de V y M en el arco semicircular de la figura si (a) la fuerza P es vertical como se indica, y (b) si es horizontal y hacía la izquierda, pero aplicada en el mismo punto.

e

A

DfC

............ ,•• ......... . PRIZ

p

Resoluci6n: •1

(a)

•

\R

_!4 ___

(1) Cálculo de las reacciones, por ser simétñco:

p

OMF - - - ~ ~ - - - '

o

R, = R2 = 2

tR,

tR,

(b)

/

+----

V =- sen9

.... l:F,, =0 :-V-Psen0 =0

/

-

L~·2

ilifl

RES1SrENCJA DE MAT!JIWES - Sou~

•

30kN

(1) Cálculo de las reacciones:

!Í :EM, =O =>

P(R) - R,(2R)

=O

R2 = P/2

+t

30 kN

Para el tramo BC: e=(;;

11)

=o·. v +Psen( e - ::)P cos( e - ::)= o 2 2 2 p

1 1

V = Pcosa+

2

sen9

p

V , = - ; V._., = P 2

!f EM, = o: -30(2) - 24(5) + R2{6) = O +t 1:Fv = O: -R, - 30 - 24 + 30 = O

{O - n/2)

§:~' 1, ~

R

~'e____ +..}

-

Jf

!Í :EM = O:

V, =R,= 24kN t,v• ·• = (área)...., = O V - V -30=-6kN

R,

DFC

=24 kN

.-.

[

A

e- •

-6

OMF

M, = O

2

R, =30kN

Dibujando el diagrama de cortante: P

ti.vr,.c = (área)..,.. = O V - V - 24 = -30 kN

PR

24 kN

Cálculo de las reacciones:

1

M = PRsen e -

J

tR1

M

..,

3m

A~~i=~l~p . B CR2t

-P + r2 = O => r, = p

(11) En el tramo AB las fuerzas son iguales a 222(a).

:EF '

l

Resolución:

:EFv= O => R, - R2 = O => R, = P/2

..:!:. 1:FH = O =>

2m

425_Viga cargada como indica la figura:

•MA8 -- (área)COl18fll•= (+24)(2) = 48

u

(l+cos 9)

PR M , = - ; M.., = O 2

•·,

423, 424: problemas ilustrativos Sin escribir las expresiones de momento flexionante y fuerza cortante, trazar los diagramas correspondientes a las vigas de los problemas siguientes. Dar los valores numéricos en todos los puntos de discontinuidad y en los de fuerza cortante nula.

ti.Mee = {área)-

= (- 6)(3) = - 18

426 Viga en voladizo, sobre la que actúan dos fuer. zas y un par como indica la figura.

Resolución: SOkNl 60kN.m

e

O

b::;::::::;======~ ·~ A

30kN 1m

1m

2m

°

d

30

1º

Cortante:

J

V,. =-50 kN -20

1 -50 1

AV,..=0= óVBC Ve= -50 + 30 = -20 kN

M,. = 0 => A M,..

=MA + AM,.. = - 10 kN.m

A Me """ = (+ 14)(1,4)/2 = 9,8 => M"""= Me + óMc:,...,. = 4 + 9,8 = 13,8 kN.m ó M0

-

= (-6)(0,6)12 = -1 ,8 => M0 = M.,,., + 6M..., 0 = 13,8-1,8 = 12 kN.m

:, I

M...... = 13,8kN.m

DFC

A Mee = (-50)(1) = - 50

M8

óMec = (+14)(1) = +14 => Me = M8 + óMac = -10+14 = 4 kN .m

Flexionante: ó M,.. = (-50)(1) = - 50 kN.m M8 =-50+60:10

=(-10)(1) =-1 0 =>

I

60 kN

1m

10

Me= M9 + A M,,,, = 10 - 50 = - 40

"'

OMF

A Meo= (- 20)(2) = - 40

1

428. Viga cargada como se muestra en la figura:

l

30kN

5kNlm

1.

4m

Mo=Me+ AMco=-40-40=-80

L 1m 1m! 10kNhn

Resolucl6n:

!}

20 + R, = O

R2 = 6 kN VA= -10 kN

l A

v; = v; + 24 = -10 + 24 = 14 óV8 ·C =O·•

B

f lO~ 4

I

R, • ~4kN

~

O

.

2m

••

i

,!==:;;=======~==:::lo

!:f

2m

t:.V,.

!•I •f(+I

8=

(-1

(-1 1,4

~

-6

14

13,8

30""

Cortanla (kN)

25,....,

""'"°

Ve = V8 + óVec=-25- 15 = -40 M,. =0

(i

R,

• R2•6kN

• 14

(kNI

l:Me = -R,(4) + 60(3) + 20(2) - 30(2) = O =>

•t I:Fv=0:40-60-20+R -30=0

,·

R,

A Ve.o= (-10)(2) = -20 kN

t:iV.,..:O;V,= v .;- 6NK

•I

30kN

2

-10

VD= v e- +ó Vo.o= 14-20 = - 6 kN

2m

E;

R,

óV•. 8 =0 V9 =-10kN

2m

Rt

20kN , 3m .............. ¡

1:Me = O: 10(6) - R,(5) + 20(3) = O 10kN R, = 24 kN

•t 1:Fv = O: -10 + 24 -

J

1.

Cálculo de las reaociones:

.t.

2m

10kN

427 · Viga cargada como indica la figura:

l

~

4, M,.. = (40 + 35) x 1/2 = 37,5

Momenlo

(+)

(+)

lftxionante (tNm)

37.5kN.m

~

kN.m

111

ltil 20kN

429. Viga cargada como se indica en la figura.

¡20 kN.:ml

=

1 1

10 kNlm

d

=

Cálculo de la posición para V O => x 1,6 m MA = O, ti.MAe = (área)conante = (-40)(2)/2 = -40 kN.m, Me = -40 kN.m ti.Mee = (36)(1) = 36; Me =Me+ AMec = -40 + 36 = -4 AMex = (16)(1,6)/2 = 12.8; Mx = Me +AMex =-4+ 12,8 = 8,8 AMxo = (-24)(2,4/2)=28,8; Mo = Mx + AMxo =8,8-28,8 = -20

Resolución:

20 kN/m

I•

..• ••

l

l

-4

•

10 kNlm

1

'

o

e

8

+8,8

,__. •

20kN

40kN

A

60kN !r1m

1,6

~

R,

't· •

2m 1m

4m

2m

Cálculo de las reacciones:

!) ™o= O: 40(6)- R,(5) + 20(4) + 60(1) = O

•f

-20

E

:!:F,= O: - 40 + 76 - 20 - 60 + R2 =>

=>

R, = 76 kN

430. En la viga mostrada en la figura determine P para que el momento sobre cada apoyo sea igual al momento a la mitad del claro.

p

p

l

l SkN/m

R,

v.=o. AV MJ = (-20)(2) = -40 kN; Va =VA+ AV MJ = O+(-40) = -40 kN/m Va=Va+R1 =-40+76 = 36;AVee=O => Ve=Va = 36

Resolución:

Vo = Vó +R2 = -24+ 44 = 20; ti.Voe = (-10)(2) = -20 => Ve= Vo + AVoe = 0 •

Cortante (kN)

lis X

'""40

-~--

5\8): 40 \N

l

R 1 = R 2 = P+20 (simétrico)

l

•

•

•

~

5 kNlm

VA =-P, AVAe =(-5)(1)=-5, Va =-P-5

A ):::~B ;:::::==::;:=====:;:::;~ D E 'e

Ve = Vé + R1 = 15, ti.Vee = (-5)(3) = - 15

36 (•l

p

p

Cálculo de las reacciones: Vc=Vc-20=36-20 = 16; AVeo=(-10)(4)=-40 => Vó = Vc+ti.Veo =-24

lm

6m

lm

R,= 44 kN

A,

R,

Ve = Va +AVee = 15-15=0

o

24

-P

p

5

:----. 1

1

ltfl

RESISIENCIA Of MA!flll4US • SOOXIONN1IO

óMec = (15)(3)/2 = 22,5; Me= -P + 20

V~= v¿ +ó.Vco= -10-120 = -130 kN

M 6 + Mc=O: - P -2,5-P+20=0 => P:8,75

v; = Vo + R, = -130 + 200 = 70 => t,.VOE = (-10)(3) = -30

--'

Momento flexionan te

=> v. =V¿ +ó.VDI' = 70 - 30 = 40

-P-1,5 = -11,25

'\

-P + 20 = 11,25

70

,"

\

\

'(•'

20kN/m

7m

SOkN

M• = O => t,.M,.,, = (+ 70 + 50)(2/2) = 120; M8 = M• + t,.M,.,, = 120 kN.m 3m

"

20•4=80kN 1 1

t.Moc = (O - 10)(1/2) =-5; Me= M8 + 6Mec = 120 - 5 = 115 kN.m t,.Mco = (-10-130)(4/2) = -280; M0 = M0 + 6Mco = 115 - 280 = -165 t,.MOE = (70 + 40)(3/2) = 165; M, = M0 + t,.MOE = -165 + 165 = O

40kN

l

20kNlm

e

-.1 i

10(10) = 100

2 (a) Reacciones

!Í .l:M0

1

4

E

·f ~ I•

-165

Momento nexionante (kN.m)

10kN/m

B

-130

(c) Momento flexionante

10 kNlm

R,

'--..

40kN

2m 11 mi

Resolución:

40

70

50

~

Cortante (kN)

50kN

431. Viga cargada y apoyada como indica la figura.

+120 +115

30 kN/m

3

•I

432. Una carga distribuida está sostenida por_ dos car· gas repartidas como se muestra en la figura.

3m

ff f f f W¡kN/m

= O: -R,(7) + 50(5) + (100 + 80)(2) - 40(3) = O => R = 70 kN 1

+f tFv=O: 70-50-100-80+ R,-40=0 => R =200kN

Resolución:

2

(b) Cortante v.= R, =70 => ó.V,.,, =(-10)(2)=-20; v;=v. + ó.V,,,= 70-20 = 50 kN V; = V; -50= 50-50 = 0=> ó.Voc= (-10)(1) = -10, Ve= Vá +óV,., = -10 kN Vi, =Vc=-10 => t,.Vc0 =(-10-20)(4) =-120

ifil

(30)(5)=150: ' '

~l At f t f t B 3m

•

30kN/m 5m

~ w1 kN/m •

: 3w

l~ e

2m O

t•Í f

w2 kN/m • sm

:zw,

1 .____;__;.,__~~:;:__~...¡.~ ...1,

3m

2m

¡llllllJili} 5m WZ ICNfm

-

-

(a} Reacciones:

(b) Cortante

!Í IM, = O: (3W,)(7,5) + 150(3,5) = O => w, = 70/3 ~ 23,3 kN/m •t .EFv = O: 70 - 150 + 2w, = O => w, = 40 kN/m

V,= R, = 20 => A VAB = O => V8 = V,+ A V"" = 20 + O = 20 kN V~= V;, =20 => A Voc= O => Vc= V; + A Voc== 20 + 0=20kN

(b) Cortante: Vc= Vc+ R,= 20+30 = 50 => A Vcr, =0 --+ V0 = Vc +A V00 =50 + 0 = 50kN V•= O, AV,.. = (70/3)(3) = 70 => V;,= V• + AV,.,,= O + 70 = 70

v; = Va = 70, AV..,, =(-30)(5) =-150 => Vc= V;+ AV..,,= 70-150 :

¡

+20

- 80

Cortante

(+)

AVa, = (40)(2) = 80 => V~= v¿+ AVco = -80 + 80 = O

V¿= Ve = 80, X=

7

(e) Momento flexionante

150(5} = 3 •

2,33m M, = O => A MAD = (20)(2) = 40, M;

Cortante (kN)

"'""-Jf-',_--~~--,-.h

433. Viga como voladiio cargada por una fuer· ia Y un par, como se muestra en la figura.

lktso/ución:

M~ = Me= - 100 => A M00= 50(2)=100 => M0 = M~ +t,. Mco= - 100 + 100= OkN.m

1

r

2m

ªª ,.

1~

2m

•l•

e

·ÍR,

2m

(a) Reacciones: equilibrio

!Í ™e=O: -R,(5} + 200 - 50(2) = O => R, =20 kN

•t EFV = O: 20 + R, -

50 = O => R, = 30 kN

3m

·k

,.._

7

(-)

160

1

2m

•I 301 R, = 66 kN

435. Viga cargada como se muestra en la figura.

' (b) Cortante

, ttttd

t R,

l:Fv=0:-30+66-60+A2 =0 => A,=24kN I•

Resolución:

2m

•I•

wl v;=v.+ t..V,.=-30+0=-30kN

20kN!

~ J40kN 1 10 kN/m l E F At:===f::;8===:c;=::;o:;:::::1;;:t:;:;tt;:;t:;::itJ

v; = v; +A,= -30 + 66 = 36, t. vec = (-20)(3) = -60 => Vé = V; + t,. Voc = -24 kN Ve =Ve= -24, t. Veo= O=> V0 = Ve +t.Vco=24 +O= -24 kN

R, 2m

v; =Vo= -24, t. VCE; =O=> v.= -24 kN

1•

2m

•f• •1• • I• 1 m 1m

t •

;2 m

•I

•

2wkN a) Reacciones

Cortante

Cálculo de y: 36 Y= (3) = 1,8 m 60

(kN)

c) Momento flexionante

!Í l:M8

= O: -20(2) - 40(3) + 2w(S) = O

+f l:F, = O: A, -

40 - 20 - 40 + 2(16) = O

=> w = 16 kN/m => A,= 68 kN

b) Cortante

M• = O, t. M.. = (-30)(1) = -30, M~ = M• + t. M.., = O - 30 = -30 kN.m

V,=0, t.V,.= (-10)(2) =-20 => V~= V, +t.V.. =0-20=-20 kN

M: = M~ = -30, t. M.,. = (36)(1,8/2) = 32,4 , M~= -30 + 32,4 = 2,4 kN.m

v: = V~+ A, =-20 + 68 = 48, t,. Vec= (-10)(2) =-20 => V~= 48-20 = 28 kN

M.,,., = Mr = 2,4,

vt = V~ - 20 = 28 - 20 = 8 , t. Vco = O => V~ = 8 + O = 8 kN

t.M,c = (-24)(1,2/2) =-14,4, M~= 2.4-14,4 =-12 kN.m

Mi= M~ = - 12, t. Meo= (-24)(1) = -24 => M~ = -12 - 24 = -36 kN.m

vi=v~-40=8-40=-32, t.VOE=O => V~ = Vi+ t,.V.. =-32+0=-32kN

Mg = M~ + 60 = -36 + 60 = 24, t. MOE = (-24)(1) = -24--+ Me= - 24 = O kN.m

Vt = V~=-32, AV.,=(16)(2)=32 => V,= v;+ AV.,=-32+32=0kN

Momento RelOOllante (kN.m)

:~

+24'\.., l

....:

Cortante (kN)

A, = 40 kN

a) Cortante

M• = -40, ó M.a= O => M0 = M• + ó M... = -40 + O = 40 kN.m

v .= O, t:,. v ... = (-15)(1) =-15 =>V~= v.+ t:,. V,,,= O- 15 = -15 kN

6 Moc=(-20)(1) = -20 => Me = M0 + /:,. Moc = -40 - 20 = -60 kN.m

t:,. Mc,.=(-20 - 50)(212)=-70 => M0 = Me+ t:,. Mco=-60 -70=-130 kN .m /:,. MDE=(-50)(1) = -50 => Me=M0 + /:,. Moe = - 130 - 50 = - 180 kN.m

v:=v~+A,=-15+40=25,óVoc=(-15)(3)=-45 => V~ = 25-45 = -20kN v g = V~=-20 kN, ó Vco=(-15)(2) =-30=> V0 =Vt+A Veo= -20 - 30=-50 kN

Momento flexionante - - - -......-..,....----...---, (kN.m) ( ) ( .) ( ) ( )

:

-40

-40 -601---......._

.

1

Cálculo de y: ?

1'

1

y=

-180

438. Una viga en voladizo apuntada y cargada r-------kNilft---,f--,--,15 como se muestra en la figura consiste de dos segmentos unidos por un perno liso ~ en el que el momento flexionante es nulo. l+-1-m,+..--=-3-m--1-l+---:-2m-"""

"'==;;:::====~===

Reso/uc/6n:

y

25 5 (3) = = 1,67m 45 3

•

-130

R1

,'--50

b) Momento flexionante M•':'º· 6 M,,,=(-15)(112)= -7,5 => M8 = M• + 6 M..., = O - 7,5 = -7,5 kN.m 6 Me,,= (25)(5/3)/2 = 20,83 => M,=M8+ 6 M.,,, = -7,5 + 20,83 = 13,33 kN.m óM,c = (-20)(4/3)/2 = - 13,33 => Me= M, + AM,c = O kN.m /:,. Meo= (-20-50)(2/2)= -70 => M0 = Me + ó Meo = O - 70 = -70 kN.m

Momento flexionante (kN.m)

15 kN/m

..,.......,.-,1---~\--~,;:::----, -13.33

lm

3m

2m

• :,_70 •• •

RESISTENCIA ot MATEl«4llS -

Sowc1&,-

• 439. Una viga apoyada en tres puntos como se muestra en la figura consiste en dos seg· mentos unidos en un perno liso en el que el momento flexionante es nulo.

+42 Miculación 1 m 1m 1

I

j,

.¡.

4m

~

20....

~

6m

R2

R,

+2

\+32 Cálculo de y:

(+) (+)

(+) ( )

( -38

-

+32

32 y = (32+48) (4) =1,6m

y

Resolución:

20•2=40

e) Momento flexionante:

1

M• = O;

: 40kN

t

Al20

¡

kNl~l

lR,

1

n e

O E

4m

t.. Moe = (32)(1) = 32

: 80

~· f ' '

IM~ = O: R,(5) - 80(3) = O

o1

IF~

=O:

V0 -

E

v.

80 + 48 = O

1

FfR,

1

1

_ Momento Flex1onanie (kNm)

[Mmáx = 57,6 kN.m!

57,6

V0 : 32 kN

!Í

40

IF~= O: (-32)(1) + 40(2) + 40(3) - R,(4) = O

' 40kN '' '

A,= 42 kN

+t

t.. Moe =O+ 32 = 32 kN.m

t.. MVF = (-48)(2,4)/2 = -67,6 => M, = M., + t.. M.,, = O kN.m

A,= 48 kN

+t

=> M, = M0 +

t.. MEY = (32)(1,6)/2 = 25,6 => M.,=M,+ t.. MEY = 32 + 25,6 = 57,6 kN.m

6m

a) Cálculo de las reacciones

!Í

t.. M..., = O + 44 = 44 kN .m

t.. Meo= (32)(1) = 32 => M0 = Me + t.. Meo= -32 + 32 = O kN.m

FlR,

R2

=> M8 = MA +

t.. Moc = (-38)(2) = -76 => Me= M8 + t.. Moc = 44 - 76 = - 32 kN.m

20kN/m ,

Cl

B

t.. M,.. = (42 + 2)(2)/2 = 44

IF~ = O: 42 - 40 - 40 + R2

-

32 = O

Al

R2 : 70kN

'

t

B

lR,

e

1

lR, O

b) Cortante

V• = A, = 42,

!v.

440. Un marco ABCD , con esquinas rígidas en B y C, sostiene la carga concentrada P como se muestra en la figura. (Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para cada una de las tres partes del marco).

Resolución:

t.. V,.= (-20)(2) = -40 => V~=

t,. V,.= 42 - 40 = 2 kN

a) Cortante

v: = V~=-40:-38, t..Vac=O => V~ = V:+ t..Vac=-38kN V~= V~+ A,= -38 + 70 = 32,

t.. Veo = O=> V~= V~+ t.. Veo = 32 kN

V. = p • t,.VBA = O, VA = V. + t,.VBA = p Ve= -P, t..V00 = O, V0 =Ve+ to.Veo= -P

V~=V~:V0 :32kf\l, t.. Voe=O => V~=V~ + 6 Voe=32 kN Vt : V~= 32 kN,

t.. V,,= (-20)(4) = -80 =>

v; = v :

+

t.. V,,= -48 kN •

C

C'

L

2

L p

8

L

2

A

-

11:il

_'.J

b) Momento flexionante

. _ I_ , - ,

PL

M,, = - 2 , AM"" = (+P)(lJ2) = PU2 "'M - M8 + 11.M .-

Me =

~~ íl

+P

~

PL

2 , AMco = (-P)(L) = -PL

PL

M• = O; AMAD= 2(--6) = -12; Mt' = M0 + 11.M,e = 0 - 12 = -12 kN.m

M 22 M~·• - M; ' 6 = -18 kN.m; AM..c, = 2(-2) = -4, Me,_, = M'•' e +,.~ oc= Mt =M~' + 28 = -22 + 28 = 6 , 6 Meo= 3(-2) = -6, Me= Me + 11.Mco = O

-P

u

- - PL + PL - O 2 2 -

""-

c) Momentos

DA: ~

-1

1

PL

= MD = -2 -PL- -2

-2

6

1 :. , M..,.,. •8

¡;¡¡_ PL

Me

OMF (l X= ./3

Momento: M1 =O : tJ.M , _ , = 32( wl 6 x~ .,¡3 )= ~ 9.,¡3

Momento flexionante: 2

01,lf (iH.m)

wl2

wL X L M, =O: tJ.M,_v., = 31( 4 2 ) = wl 24

:. M""' = + 9../3

:. Mm._ 443. Viga sometida a la acción de la carga triangular, como indica la figura.

(•)

wl2

=24

wWm

~1

1

445. Viga cargada como indica la figura. 40kl6'm

Resolución:

+!}.---

Por equilibrio y simetría:

R, = R,

wl

••

wl

4 X 40: 160

• •

wl

l.12

• •

V2

=- 4wl

Momento flexionante: 2

M = 0 . tJ.M = 2( wl X !:)= wl ' . ' "' 3 4 2 12 · Mm" =

12

\: 1m I

-,-40 _.... ~-m--,I , m

(+) :

•

A 2m

_wl'

l

2m

e

ao kN/m

o

Cálculo de reacciones: !} ™ • =O: 120(1) + 160(6)-R,(6) = O => R, = 1BOkN

•t Además el DMF debe ser simétrico.

e

«?::Jl

R1

12

wl2

2m

t(8Q)(3): 120

I• 2 m • :)

4 : tJ.V, _v.,=--¡-

= wL V e,, = v•-• = O:, ó V~-2 = - 4, L/2

Resolución:

fR,

(+)

=4

V, = R, = ,_, o Vt.n

2m

!Fv =O : R, + R2 - 160 - 120 = O => R2 : 100kN

80kN.m

1m

3m

R2

3m

R,

-

•

Mw;ow,;os

El

RESISTENCIA Di IIATERIAIES - SOtJ.JctoNNro

Fuerza cortante:

30kWm ~ml1m1

446. Viga en voladizo, cargada como se muestra en la figura.

v, = O, t.V,,. = - 40(2) = - 80

20kN

v.=v,+ t.V.,.=0-80=-80

Va = V8 + R, = 100

Resoluc/6n:

•

3m

t>Vec = 40(2) = 80

1 (30)(3) = 45

ve= v;+ AVec = 20

2

t.Vco= O=> V0 : Ve= 20 t.VOF.=

1

2 (-80)(3) = -120

1m

""' ;

1 30 kN/~ kN

~ml1m B C O

/,.

=> v.= VD+ t.VOF.= 20- 120 =-100

1'

•I•

3m

, ¡,

1m

Im

El10M

•I

Cálculo de x: 1(80 )r 3 f>Vox= 2 x}'x)=20=>x 2 = =>x=1,224m 3 2 Momento flexionante: 1 M, = O: t.M..., = 2 (-80)(2) = -80; M8 = M, + AM..., = -80 kN.m 1 AMec = 2 (100 + 20)(2) = 120; Me= M, + t.Mec = 40 kN.m t.Mco = (20)(1) = 20; M0 =Me+ t.Mco = 60 kN.m

2 t.M0 , =

3 (1,224)(20) =

t.M,e = [; (3)(120)-

16,82, M, = M0 + t.M x = 76,32 kN.m 0

~ (1, 224)(2o)J-(3-1,224)(20) = -76,32 kN.m

Cálculo de las reacciones:

- 45

(+)

•t

l:FX =0: V-45-20=0 V= 65 kN

!J

l:MD = O: 20(1) + 45(3) - M = O M = 155 kN.m

~ l·l??,

DFC (l Ve= V0 + llVec = O Cálculo de w: EF. = O : 5w - 80 - 2(50) = O W= 36 kN/m

•t

Momento flexionante: De la ecuación que genera el momento !lector respecto a una variable ·x· genérica: por ser simétrico. Graficando solo hasta el punto medio

·c·

,411IJJ}roA: . . ·~4:r1 re -

WJ-90kNlm

(+)

DFC

(kNl

_ 11

Fuerza cortante: V• = O AV,,,= v:= V0

1

2 -

(36)(1) = 18 kN => V0 = 18 kN

(+) OMF

(kN.m)¡.¡

50 = 18 - 50 = -32 kN

e,.v ec = (36 - 10)(2) = 32 kN=> ve=

=> resto antisimétrico

o

(+)

LI·,

,_,

/ 1 /1 -V

-

M~WNOS Momento flexionante: M. = O

t.M..., =i(18)(1)

~ 6 kN.m

AM.. = -(A, -A, -A,)= -(144 - 18 - 81) = -45 M8

=> M8 = 6 kN.m

1 t.Mec = 2 (-32)(2) = -32 kN.m => Me = -26 kN.m => resto simétrico

451. Viga cargada como se muestra en la figura.

~_;;s] 3m f 3m

Jmf 3m

R,

R2

Resolución:

(.~.«?:4 le c f

3m' R1

f

3m

1

3

=-45 kN.m

Simétrico => R, - R2 =

M0 = M8 + t.Mec = -45 + 9 = -36 kN.m

OFC

(+)

• 11,

+9 ~,

~

I

J (+) \

"'""---- 1-

- 36

- 45

(+)

IM.,,, = - 45 kN.mJ

-45

OMF (lcH.m)¡,)

H

~

R1

v. = O =0-27=-27

t.Vec = (-6)(3) = -9 => V0 = 9- 9 = O => resto antisimétrico

Rz

Resolución:

f(6)(12J • 36

V8 + R, =-27 +36= 9 kN

Momento flexionante M, = O

}tJX18J•'l7

-D=-:::,¿{]

1

12

At

atN1m

.ª.JC

R1

Sm

3m

Rt

2

A, = 3 (6)(36) = 144 A,=

2 (3)(9) 3

= 18

=> A,= 81

1amm

r\..,.........-=a:3-=i,~==3~m==~f

12~~

(6) = 36 kN

8

l 27

~9

(3)(9) = 9 kN.m

~

=21 (-12-6)(3):-27 => V

! A2

452. Viga cargada como se muestra en la figura.

1:

l

3m · · ~ Rt

Cálculo de reacciones:

v:=

t.Mec =

45

·

A

t.V..

=M. + AM.. = O -

(1V00 = O V0 =-35 y vi= 15

=> R0 = 15-(-35)=50

M.=O ;t>M,.. =

VE= 15

1

2 (1)(- 5-15) =-1 0

=>

M 8 =M.+6M,.. =-10

6M 80 =(2)(10):20 => M 0 = M 8 +6M 80 =-10+20 = 10

Momento flexionante:

.-

Diagrama de cargas:

6Mc0 =

M -O 6MA8 = (15)(2) = -30 => M8 = 30 6Mec = (-5)(2) = -10 => Me= 20 AMco = (-35)(1) = -35 => M0 = -15 6M00 = (15)(1) = 15 => ME= 0

R8 =20l

R0 =25l

l15 =V,

lv.=-15

lRo= 50

1

2

(2)(-10+0)=-10 => M 0 =M 0 +6Mco = O

Verificando el equilibrio:

!:f

tM, = 0:-10 ( ;)+25(1)-10(3)-10(4)+10(5)= O 4m 2m2m2m 4m • . 40

456. Diagrama de fuerza cortante como en la figura. OMF(l