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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2014-II

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA

CENTRO PREUNIVERSITARIO

Habilidad Lógico Matemática SEMANA N° 19 1.

Abel, Benito, Carlos y Daniel, de 12, 11, 8 y 10 años de edad, respectivamente, llevan puestos gorros de color entero: blanco, azul, verde y rojo, aunque no necesariamente en ese orden. Se sabe que: - El niño de 11 años lleva gorro de color blanco; - Daniel es primo del niño que tiene gorro de color verde; - El niño de 8 años juega con los niños que tienen gorros de color azul y verde. ¿Cuál es la suma de las edades, en años, de los niños que tienen gorros de color verde y rojo? A) 23

B) 20

C) 22

D) 19

E) 21

Resolución: De los datos tenemos: Abel (12) – gorro verde Benito (11) – gorro blanco Carlos (8) – gorro rojo Daniel (10) – gorro azul Verde (12)+rojo (8)=20 Clave: B 2.

En una reunión se encontraban cuatro amigas, María, Nancy, Paola y Carla, las cuales tienen 38, 28, 23 y 22 años de edad, no necesariamente en ese orden. Ellas asistieron con sus esposos José, Alberto, Pedro y Gustavo, no necesariamente en ese orden. Se sabe que: -

Nancy es mayor que Paola y la diferencia de sus edades es de 5 años. María es menor que Nancy. La edad de la esposa de José es un número primo. Pedro no está casado con una veinteañera.

¿Cuál es la suma de las edades, en años, de las esposas de Alberto y Gustavo? A) 61

B) 45

C) 60

D) 50

E) 51

Resolución: Con los datos podemos formar la siguiente relación:

José Alberto Pedro Gustavo

María Nancy Paola Carla

38 28 23 22

Las esposas de Alberto y Gustavo son María y Nancy, y la suma de sus edades es: 50 Clave: D Semana Nº 19

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Tres amigos, Marcos, Ernesto y Luis, obtuvieron puntajes diferentes en el último examen de admisión a San Marcos. Al encontrarse afirmaron: Marcos: “Yo obtuve el mayor puntaje de los tres; Luis, el menor”. Ernesto: “Yo obtuve el mayor puntaje de los tres, más que Marcos y Luis juntos”. Luis: “Yo obtuve el mayor puntaje de los tres, Ernesto solo la mitad de mi puntaje”. Si tres de las seis afirmaciones anteriores son falsas, ¿quiénes obtuvieron el menor y mayor puntaje respectivamente, en ese orden? A) Marcos – Ernesto D) Ernesto – Marcos

B) Ernesto – Luis E) Luis – Ernesto

C) Luis – Marcos

Solución: De las afirmaciones 3V y 3F Marcos

Yo obtuve el mayor puntaje Luis la menor F F Ernesto Yo obtuve el mayor puntaje Obtuve más que Marcos + Luis V F Luis Yo obtuve el mayor puntaje Ernesto solo la mitad de mi V puntaje”. V Supongamos de las dos afirmaciones que mencionan a una misma persona (Luis) pero con diferente puntaje (Una V y la otra F) Las 2 afirmaciones de Ernesto deben tener el mismo valor de verdad.  Entonces:

Marcos

Yo obtuve el mayor puntaje F Ernesto Yo obtuve el mayor puntaje V Luis Yo obtuve el mayor puntaje F

Luis la menor V Obtuve más que Marcos + Luis V Ernesto solo la mitad de mi puntaje”. F

Ernesto > Marcos > Luis Por lo tanto Rpta: E 4.

Se dispone de una balanza de dos platillos, una pesa de 60 gr y 1 kg de arroz. Si se quiere separar 360 gr de arroz, ¿cuántas pesadas se deberán realizar, como mínimo, para lograrlo? A) 3

B) 5

C) 4

D) 6

E) 2

Solución: 1) Comenzamos pesando 60 gr de arroz (1° pesada ). 2) Ahora se utilizara los 60 gr de de arroz obtenido como pesa ,de manera que ahora se puede pesar 120 gr de arroz directamente.(2° pesada). 3) Luego con la pesa de 60 gr y los 120 gr de arroz que se utilizara como pesa, obtendremos 180 gr de arroz. (3° pesada) Con eso obtendremos los 360 gr de arroz. Clave: A Semana Nº 19

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Alejandro tiene una balanza de un solo platillo y una pesa de 3 kg. Un cliente le pide 29 kg. de azúcar, pero la balanza de Alejandro sólo puede pesar exactamente pesos de 5, 10, ó 15 kg. ¿Cuántas veces, como mínimo, tendrá que utilizar la balanza para cumplir el pedido de su cliente? A) 3 B) 2 C) 6 D) 4 E) 5 Resolución: Debe realizar las siguientes pesadas : Con la pesa de 3 kg. hasta la marca de 15 así obtiene: 12 kg. Con la pesa de 3 kg. hasta la marca de 15 así obtiene: 12 kg. Hasta la marca de 5 kg. y así obtiene: 5 kg. Por lo tanto 3 pesadas Clave: A

6.

Kina tiene 1 tonelada de arena, pero solo dispone de una balanza de dos platillos y de dos pesas, una de 2 kg y la otra de 5 kg, ¿Cuántas pesadas debe hacer como mínimo para obtener 882 kg? A) 5 Resolución

B) 4

C) 6

D) 7

E) 3

1 tonelada=1000kg Pesadas 1. 2. 3. 4.

500 = 500kg 250 = 250 125 = 125 2+5 = 7

Tengo 500 + 250+ 125 + 7 = 882 Por Tanto mínimo número de pesadas= 4 Clave: B 7.

¿Cuál es el número total de círculos, desde la figura 1 hasta la figura 20?

FIG. 1 A) 1539

Semana Nº 19

FIG. 2 B) 1449

C) 1249

FIG. 3 D) 1519

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…

E) 1439

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Resolución: Fig. 1: Fig. 2: Fig. 3:

2x3 / 2 3x4 / 2 4x5 / 2

Fig. 20: 20x21 / 2 Total= (2x3 + 3x4 + 4x5 +… + 20x21) / 2 Total= (1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +… + 20x21 – 1x2) / 2 Total= ((20x21x22)/3 – 2) /2 = 1539 Clave: A 8.

Tengo tres dados que presentan en sus caras letras diferentes. Al tirar los dados puedo formar palabras como: IDA, ADU, AGU, DUO, OTU, TIO, MIO, HOY, VOY, RIO, MIL, SER, BAR, GIN, TIK, SOY, MAS. Según esto, el dado que posee la letra S, ¿qué letras más posee? A) N,J,B,G,H B) I,U,B,N,J C) I,U,B,H,V D) H,N,B,V,U E) H,N,B,V,Y Resolución: Cada dado tiene 6 letras diferentes Las palabras que se pueden leer son: IDA, ADU, AGU, DUO, OTU, TIO, MIO, HOY, VOY, RIO, MIL, SER, BAR, GIN, TIK, SOY, MAS.

Rpta: C

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El campanario de una iglesia estuvo tocando durante 21 segundos. Si se escucharon tantas campanadas como 10 veces el tiempo que hay entre campanada y campanada. ¿Cuántos segundos empleará este campanario para tocar 17 campanadas? A) 24

B) 21

C) 28

D) 30

E) 35

Resolución: t = tiempo que transcurre entre campanada y campanada # campanada = 10 t # intervalos = 10 t -1

t (10 t -1) = 21, luego

t=

3 2

seg

Para 17 campanada: # intervalos = 16 Tiempo que demora = 16 t = 16 (3/2 seg) = 24 seg. Clave: A 10. Empezando en el punto M, nos movemos a lo largo de las aristas del cubo de la figura, siguiendo la dirección de la flecha. Al final de cada arista hay que elegir entre ir a la derecha o a la izquierda. Se elige alternadamente ir a la derecha o a la izquierda. ¿Después de cuántas aristas volveremos al punto M por segunda vez? A) 18 B) C) D) E)

16 10 12 14

M

Resolución: 1. Proceso cuando vuelve a M por primera vez:

M

2. Por tanto el número de aristas que recorre para volver al punto M por segunda vez: 2x6=12. Clave: D

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11. ¿De cuántas maneras diferentes, a igual distancia mínima entre letras y sin repetir la mima letra, se puede leer la palabra PEREZOSO?

A) 128

PEREZOSO PEREZOS PEREZO PEREZ PERE PER PE P

B) 256

C) 164

D) 286

E) 384

Solución: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑷𝑬𝑹𝑬𝒁𝑶 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∗ 𝑶𝑺𝑶 ̅̅̅̅̅̅ Notemos que leer 𝑷𝑬𝑹𝑬𝒁𝑶𝑺𝑶

PEREZOSO PEREZOS PEREZO PEREZ PERE PER PE P Para leer Para leer

OSO OS O

O:2 O:4 O:2

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑷𝑬𝑹𝑬𝒁𝑶 = 𝟐𝟓 = 𝟑𝟐 ̅̅̅̅̅̅ 𝑶𝑺𝑶 = 𝟖 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟑𝟐 ∗ 𝟖 = 𝟐𝟓𝟔 𝑷𝑬𝑹𝑬𝒁𝑶𝑺𝑶 Clave B

12. Un balsero debe transportar de una orilla a la otra de un río a un lobo, un atado de pasto y una oveja, pero la balsa disponible solo soporta el peso del balsero, del balsero con el lobo o con el atado de pasto o con la oveja; la dificultad radica que ante la ausencia del balsero, el lobo puede comerse a la oveja o la oveja se puede comer el pasto. ¿Cuántos viajes tendrá que realizar el balsero, como mínimo, para hacer que todos puedan cruzar el río sin pérdida alguna? A) 6

Semana Nº 19

B) 7

C) 8

D) 9

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E) 10

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Solución: Sea B = el Balsero L = el lobo ( no come pasto ) A = atado de pasto O = la oveja Se tiene el siguiente grafico que muestra los viajes que se realizan.

Por lo tanto Para que pasen se necesita 7 viajes como mínimo. Clave: B 13. Una obra puede ser hecha por 18 hombres en 8 días, trabajando 7 horas diarias. Si antes de que comience la obra 6 de los obreros aumentan su rendimiento en 50%, ¿Cuántos días, trabajando 6 horas diarias, demorarán en terminar dicha obra? A) 8

B) 9

C) 12

D) 16

E) 10

Solución: obreros h / d días obra 18 7 8 1 21 6 x 1 (18)(7)(8)(1)=(21)(6)(x)(1) 8=x CLAVE: “A” 14. Al comprar un producto, Miriam debe pagar S/. 397 solo con monedas de S/. 1, S/. 2 y S/. 5. Si debe utilizar los tres tipos de monedas, ¿cuántas monedas como mínimo debe emplear? A) 82

B) 84

C) 80

D) 83

E) 81

Resolución:

397

a1

b 2

c 5

Piden menor cantidad de monedas implicaría utilizar más monedas de S/. 5 y al menos una moneda de las demás. 397

a 1

b 2

c 5

1

3

78 390

6

 La mínima cantidad de monedas necesarias seria 82. Rpta: A Semana Nº 19

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15. En la figura, una moneda de radio 30 cm. se mueve girando en sentido horario empezando en el punto A y terminando en el punto B. ¿Cuál es la longitud del recorrido total, en centímetros, del punto central de la moneda en dicho tramo? A) 9,1 + 14,3π/60 B) 10 + 14,3π/60 C) 9,6 + 14,3π/60 D) 9,1 + 42,9π/60 E) 9 + 14,3π/60

Resolución Recorrido total =1+(5-0.15)+(1.5-0.15)+(2-0.3)+(0.5-0.3)+(0.3)53π/180+ (0.3)π/2=9.1+14.3 π/60 Rpta: A 16. Dentro de un tablero con marco están ubicadas siete fichas; ver figura. Si las fichas se desplazan sobre el tablero, sin levantar en ningún momento, ¿cuántas fichas se tienen que mover como mínimo para que estas queden distribuidas en una diagonal, una columna y una fila, de forma que la suma de los valores ubicados en cada una de ellas sea siempre la misma?

3 6 2 5 7 1 4

A) 1 B) 4 C) 5 D) 3 E) 2 Resolución

En la figura se indican los movimientos respectivos.

3 6 2 5 7 1 4

3 6 2 5 7 1 4

3 6 2 5 7 1 4

3 6 5 7 2 1 4

Bastan 3 movimientos. Clave: D 17. En el 2015, Amelia encuentra la carta de su bisabuela: “En un verano me comprometí con Eulogio, era un jueves 4 de febrero; luego de 2 años nos casamos y un jueves 4 de febrero celebramos nuestro quinto aniversario.” ¿Qué día de la semana celebró su boda la bisabuela? A) Lunes Semana Nº 19

B) Miércoles

C) viernes

D) Sábado

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E) Domingo Pág. 8

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Resolución: Del dato: El -1-2+1+5 será +2-3+1+1 del miércoles. El +3 será +1 del miércoles Dentro de 3 días será jueves. Entonces: Hoy es lunes. Como hace 4 días fue 15 de noviembre, entonces Hoy es lunes 19 de noviembre. Luego: El 31 de diciembre de ese año será lunes + 11 + 31 = lunes + 6 semanas = lunes. Clave: A 18. Fabio nació el 1 de octubre del 2012 e Iván nació el 1 de diciembre del 2013. ¿En qué fecha se cumplirá que el triple de la edad de Iván es el doble de la edad de Fabio? A) 2 Abril 2015 D) 1 Mayo 2015

B) 21 Marzo 2015 E) 31 Marzo 2015

C) 8 Mayo 2015

Resolución: Como buscamos una fecha real, debemos tomar como referencia un día real: lunes 08/12/2014 o

Entonces el 25/11/2014 fue martes, porque (5+8= 7 -1). Hay 9 años bisiestos desde 1977 hasta 2014: 1980; 1982;…. ; 2012. Luego, analizamos desde 25/11/1977 hasta 25/11/2014: Qué día? + 37(años transc.) + 9 (años bisiestos) = Qué día? + 46 = Qué día? o

+ 7 +4 = martes. Nació el día viernes. Rpta: A. 19. Juanito dispone de 96 canicas idénticas que se han de repartir en grupos, de forma que en cada grupo haya el mismo número de canicas. Si cada grupo debe tener más de 5 pero menos de 20 canicas, ¿de cuántas formas diferentes puede agrupar dichas canicas? A) 8 B) 6 C) 4 D) 12 E) 16 Resolución: Como 96 es múltiplo de 6, 8, 12 y 16, las canicas pueden ser agrupadas de cuatro formas diferentes con la condición que haya más de 5 pero menos de 20 canicas en cada grupo. Clave C 20. Con ladrillos de dimensiones 6x18x30 cm se desea construir cuatro cubos sólidos. Si cada ladrillo cuesta S/. 0,5 ¿cuál es el mínimo costo total? A) S/. 250

B) S/. 450

C) S/. 540

D) S/. 240

E) S/. 480

Resolución: La arista del cubo será: L= mcm (6, 18, 30) = 90 cm La cantidad de ladrillos de un cubo será: (90/6). (90/18). (90/30) = 225 Costo total = 225x 4 x S/. 0.5 = S/ 450 Clave: B 21. Si 186769  N 2  abc , con N el mayor valor entero positivo, calcule el valor de  3a  b  c  . A) 2 Semana Nº 19

B) 5

C) 7

D) 4

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E) 1 Pág. 9

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Resolución: Esto se reduce a calcular la raíz cuadrada de 158695 186769 432

16 267 249 1869 1724

83  3=249 862  2=1724 

 3a  b  c    3  1  4  5   2

145  abc Clave: A 22. Alejandro cobró su sueldo y se fue de compras; al finalizar observó que por cada S/.2 que gastó, no gastó S/. 5. Si le quedan S/.750, ¿cuántos soles más debió gastar para que lo gaste sea a lo que no gaste, como 2 es a 3 ? A) 120 B) 80 C) 100 D) 150 E) 180 Resolución: Cobra = gastó + No gastó = G + N G/ 2 = N / 2 pero: lo que queda= No gastó así 750 = N Entonces G / 2 = 750 /5 así G= 300 . Lo que cobró fue C = 300+ 750 = 1050 Si la relación fuera: g / 2 = n / 3 =1050 / 2+3 = 210 Gastaría g = 420 Debe gastar: 420 – 300 = 120 Clave : A 23. Tengo dos cajas, una contiene 12 naranjas y la otra está vacía. Traslado cierto número de naranjas de una caja a otra, de manera que el producto del número de naranjas que hay en ambas cajas es mayor que 27. ¿Cuántas naranjas trasladé como mínimo? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Resolución: Primera Caja = 12 naranjas Segunda Caja = 0 naranjas Número de naranjas que traslade = x Según los datos tenemos que: (12-x)(x) > 27 x2 – 12x +27 < 0 (x – 9) ( x – 3) < 0 Por lo tanto el x mínimo = 4 Clave: C 24. ¿A qué hora, entre la una y las dos de la tarde, el minutero adelanta a la marca de las dos tantos grados como minutos está marcando? A) 1:10 pm

Semana Nº 19

B) 1:12 pm

C) 1:15 pm

D) 1:30 pm

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E) 1:18 pm

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Resolución: 1) Consideremos que el reloj está marcando: 1: x 2) Por ángulo formado por las manecillas, se tiene x 11 x  30   x  30 1 2 2 3) Resolviendo, se obtiene x  12 4) Por tanto la hora es: 1:12 pm. Clave: B 25. Un grupo de investigadores consta de quince miembros y está conformado por tres matemáticos, además de físicos, químicos y biólogos, ¿cuántos grupos de tres miembros se pueden formar de manera que en cada grupo haya por lo menos un matemático? A) 235

B) 250

C) 125

D) 225

E) 150

Resolución: Si el grupo está formado por un solo matemático 3 12 Nro de formas  C1  C2  3  66  198 Si el grupo está formado por dos matemáticos 3 12 Nro de formas  C2  C1  3  12  36 Si el grupo está formado por tres matemáticos 3 Nro de formas  C3  1 Total = 235 Rpta: A 26. En la figura, ABC es un triángulo isósceles, donde AC, es el lado desigual. Si AF = 5 cm, calcule el máximo valor entero de CF . B

A) 9 cm

B) 8 cm

C) 10 cm

D) 7 cm F

E) 6 cm 

Resolución:

C

A

1) ABC isósceles: mA = mC = 2 2) trazamos FE tal que  AFE y  FEC son isósceles: 3) En  FEC: 10 > x 4 + 2 = 180°  2 +  = 90° FEC = 2 + 2= 90° +  (obtuso)  x>5  10 > x > 5  valor máximo entero de CF = 9 cm



B 2

F

2 b

x

5

5

2b

2b

A

b b

E

5

C

Rpta: A Semana Nº 19

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27. Se tiene una plancha de cartón de forma rectangular de 50 cm por 40 cm, como se muestra en la figura. Doblando dicha plancha se obtiene una caja sin tapa de forma de un paralelepípedo rectangular (cortando las esquinas). Si el área total exterior es menor que 400 cm2, ¿cuál es la altura mínima entera de dicha caja? A) 18 cm

B) 17 cm

C) 19 cm

D) 20 cm

E) 21 cm

Resolución: 1) Sea la altura de la caja: h Las otras dimensiones son: 50-2h y 40-2h 2) El área total exterior: (50-2h)(40-2h)+2h(50-2h)+2h(40-2h) 3) Por la condición, se tiene (50-2h)(40-2h)+2h(50-2h)+2h(40-2h)