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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA ElÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

SOLUCIONARIO DE LA SEGUNDA PRÁTICA 2018-III Curso: Matemáticas III

Código de Curso: MA133

Sección: N

Docente: Ing. Manuel Arévalo Villaneva

Alumno: Vilchez Navarro Ronald

20171386E

Garcia Mitma Leonardo

20174543D

LIMA-PERÚ 2019 1

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica 1. La encuentre la torsión y la curvatura de la indicatriz esférica de la binormal a una curva regular ζ. Solución: Hallando la curvatura: Sabemos que :

KB (s) =

~ 0 (s) xB~00 (s) k kB ~ 0 (s) k3 kB

~ 0 = -τ N ~ ⇒ kB ~ 0 (s) k3 = τ 3 B ~ - τ (-KT~ +τ B) ~ = -τ˙ N ~ + τ KT~ - τ 2 B ~ B~00 = -τ˙ N ~ 0 xB~00 = τ 2 KB ~ + τ 3 .T~ ⇒ kB ~ 0 xB~00 k2 = τ 4 k 2 + τ 6 = τ 4 (k 2 + τ 2 ) B »

⇒ KB (s) =

√ τ 4 (k 2 + τ 2 ) k2 + τ 2 = τ3 τ

Hallando la torsión:

τ(s) =

~ 0 (s) xB~00 (s) .B~000 (s) B kB 0 (s) xB~00 (s) k2

~ 0 = -τ N ~ B ~ - τ (−K T~ + τ B) ~ B~00 = -τ˙ N ~ - τ˙ (-KT~ + τ B)−(−K ~ ~ - τ (-k˙ T~ - K(kN ~ ) + τ˙ B ~ + τ (-τ N ~ )) B~000 = -¨ τN T~ + τ B) ˙ T~ + (−2τ˙ τ − τ ) B ~ + (2τ˙ K + τ k) ~ B~000 = (-¨ τ + τ k 2 + τ 3 )N

Entonces: ~ 0 xB~00 = τ 2 KB ~ + τ 3 T~ ⇒ kB ~ 0 xB~00 k2 = τ 4 (k 2 + τ 2 ) B

2

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica ~ 0 xB~00 .B~00 = (2τ˙ Kτ 3 + τ 4 ) + (−3τ˙ .τ )(τ 2 K)= 2τ˙ τ 3 K + τ 4 - 3τ˙ τ 3 K = τ 4 - τ˙ τ 3 K B ~ 0 xB~00 .B~000 = τ 3 (τ − τ˙ K) B

∴ τ(s) =

τ − τ˙ k τ 3 (τ − τ˙ K) = 4 2 2 τ (k + τ ) τ (K 2 + τ 2 )

2. Por la recta L, trazar los planos tangentes a la superficie S.    x = 2z − 1 S : x2 + y 2 − 2z 2 = 0 ; L :  y = −z + 2 Solución:

Hallamos los puntos en el plano que pertenecen a la superficie:   

S: x2 + y 2 − 2z 2 = 0 L : 

x = 2z − 1 y = −z + 2

S : (2z0 - 1)2 + (−z0 - 1 )2 − 2(z0 )2 = 0

4z0 2 + 1 − 4z0 + z0 2 + 4 − 4z0 - 2z0 2 = 0

3z0 2 − 8z0 + 5 = 0

Resolviendo z0 = 1 y z0 =

5 3

Los puntos serán : Ç

(1,1,1) y

7 1 5 , , 3 3 3

å

Ahora hallaremos el plano tangente a la superficie:

f (~x) = x2 + y 2 − 2z 2

∇f (~x) = (2x,2y,-4z)

3

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

⇒ Plano tangente

[(x - x0 ),(y - y0 ),(z - z0 )].(2x0 ,2y0 ,-4z0 ) = 0

[(x - x0 ),(y - y0 ),(z - z0 )].(x0 ,y0 ,-2z0 ) = 0

x.x0 - x0 2 + y.y0 - y0 2 − 2z.z0 + 2.z0 2 = 0

x.x0 + y.y0 - 2z.z0 = 0

En el punto (1,1,1), el plano es: x + y - 2z = 0 Ç

En el punto

å

7 1 5 , , , el plano será: 3 3 3

1 10 7 x+ yz=0 3 3 3 3. (a) Sin aplicar el método de multiplicadores de Lagrange, halle las distancias máximas y mínimas de un punto de la elipse x2 + 4y 2 = 4 a la recta x + y = 4 Solución:

Ñ

La distancia de un punto de la elipse

d=f=

|x +

q

x,

s

1−

2

1 − x4 − 4| √ 2

Encontrando los puntos críticos de f: df x = 0 . . . (α) =1- √ dx 2 4 − x2 df = 0 . . . (β) dy De (α) y (β): ±4 x= √ 5

4

x2 4

é

a la recta x + y - 4 = 0 esta dada por:

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica ±1 y= √ 5 Los puntos críticos se obtienen combinando los soluciones Ç

P1 =

4 1 √ ,√ 5 5

å

Ç

, P2 =

4 −1 √ ,√ 5 5

å

Ç

, P3 =

−4 1 √ ,√ 5 5

å

Ç

, P4 =

−4 −1 √ ,√ 5 5

å

Reemplazando en f cual hace "d" máxima y mínima.

dP1 =

dP2 =

dP3 =

dP4 =

√ 4 5−5 √ (mínimo) 10 √ 4 5−3 √ 10 √ 4 5+3 √ 10 √ 4 5+5 √ (máximo) 10 x4 + y 4 + 2z 4 . 2 2 2 ~ x→~0 x + y + z

(b) Determine si existe o no, el siguiente límite: lim Solución: Por definición: x4 + y 4 + 2z 4 Existe lim 2 2 2 ~ x→~0 x + y + z . . . (1)

|x| ≤

»

x2 + y 2 + z 2

|x| ≤

»

x2 + y 2 + z 2

|z| ≤

»

∀ε>0,∃δ >0/

x4 + y 4 + 2z 4 2 x + y2 + z2

x2 + y 2 + z 2

Entonces: |x|4 ≤ (x2 + y 2 + z 2 )2 = a2

5