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SENSCESMT024-A16V1

SOLUCIONARIO ENSAYO MT- 024

1. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Números racionales Comprensión

Dado que m, n, p y q son números primos distintos menores que 10 y, además se sabe que: (m – n) = p (m + n) = q Para que se cumplan las condiciones, necesariamente m > n, por lo tanto los valores de m y n que satisfacen las condiciones son m = 5 y n = 2, ya que (5 – 2) = 3, el cual es un número primo y (5 + 2) = 7 que también es un número primo. Por lo tanto p = 3, q = 7. Entonces (p – q) = 3 – 7 = – 4

2. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Potenciación Comprensión

Si a m cocineros se le entregan m frutas, la cantidad total de frutas que habrá es m ∙ m = m2 frutas. Luego si cada fruta se corta en m trozos, el total de trozos que habrá es m2 ∙ m = m3 trozos. Entonces, si todos los trozos se reparten en m platos, cada plato tendrá m3  m 2 trozos de fruta. m

3. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Números racionales ASE

Si b, k y m son números enteros positivos y, además k y m son múltiplos de b, entonces: I)

Verdadera, ya que la suma entre k y b, ambos múltiplos de b, resulta siempre un número múltiplo de b.

II)

Falsa, ya que al dividir un múltiplo de b por el mismo b, no siempre resulta un número múltiplo de b. km Falsa, ya que en la expresión , la suma entre k y m en el numerador, al ser b ambos múltiplos de b, resulta un número múltiplo de b. Al estar divididos por b, no siempre resulta un número múltiplo de b.

III)

Por lo tanto, solo la afirmación I representa siempre a un número múltiplo de b.

4. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Números racionales Aplicación

11 (Truncando 1,57142… a la décima)  1,57142... 7 m = 1,5 (Redondeando a la décima) m 2  2,25 2,3 Luego, m2 redondeado a la décima es 2,3.

5. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Potenciación Aplicación

2 3  32  6 2 

(Aplicando propiedad de potencia con exponente negativo)

1 1 1  2  2  3 2 3 6

(Desarrollando potencias)

1 1 1    8 9 36

(Desarrollando suma de fracciones)

982  72 15 72 5 24

(Desarrollando) (Simplificando)

6. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Números racionales ASE

Si a, b y c son números positivos, tales que

a a b   , entonces se puede determinar que b c c

c  b y a  b . Por lo tanto: A) a < b < c es incorrecta, ya que b es mayor que a y c. B) c < a < b no es siempre verdadera, ya que no se puede determinar la relación entre a y c. C) c < b < a es incorrecta, ya que b es mayor que a y c. D) a < c < b no es siempre verdadera, ya que no es posible determinar la relación entre a y c. Por lo tanto, faltan datos para determinar la relación entre a, b y c.

7. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Potenciación Comprensión

Se define la operatoria (m  n) como el cuociente entre la raíz enésima de m y n, lo que se expresa de la siguiente manera: n

m n Por lo tanto el valor de (-8  3) se calcula de la siguiente manera: (m  n) 

3

(-8  3) 

8  2  3 3

8. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Números irracionales ASE

Sea b un número irracional, con b un número impar. Para determinar las expresiones que representan siempre a un número irracional, se tiene: A) b - 1 , no siempre representa a un número irracional, ya que si b = 5, al reemplazar resulta: 5 - 1  4  2 B) 2b , representa siempre a un número irracional, ya que al descomponer la raíz en 2  b , independiente del valor de b, el resultado es un irracional. C) b  1 , no siempre representa a un número irracional, ya que si b = 3, al reemplazar resulta: 3  1  4  2 D)

1 b 1

resulta:

, no siempre representa a un número irracional, ya que si b = 5, al reemplazar

1 5 1



1 4



1 2

E) 3b , no siempre representa a un número irracional, ya que si b = 3, al reemplazar resulta: 3  3  9  3 Por lo tanto, la alternativa correcta es B.

9. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad Dado que

r  0,4 y

Números irracionales Aplicación 4s  1,2 , este último al descomponerse resulta 2 s  1,2

Luego el valor más cercano a ( s  4r ) se puede determinar de la siguiente manera: 2 s  1,2

1,2 2 s  0,6 s  0,36 s

(Multiplicando la ecuación por

1 ) 2

(Dividiendo) (Elevando al cuadrado)

Además, descomponiendo la expresión

4r  4  r  2 r , con

r  0,4

Reemplazando los valores en la expresión ( s  4r ), se tiene:

s  4r  s  2 r

(Reemplazando los valores de s y

0,36·2·0,4

(Multiplicando)

0,36·0,8

(Multiplicando)

r)

0,288 Por lo tanto, el valor más cercano a la expresión ( s  4r ) es 0,288.

10. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Números irracionales ASE n

2a  n a .

I)

Falsa, ya que 2a > a, entonces

II)

Verdadera, ya que al ser iguales las cantidades subradicales, el valor de la raíz es menor si el valor del índice es mayor.

III)

Verdadera, ya que al elevar

2n

2a y

n

a a 2n, se tiene que:

(2n 2a ) 2n  2a (n a ) 2n  a 2

Luego, 2a < a2, para todo a > 2, por lo tanto

2n

2a  n a

Por lo tanto, solo las expresiones II y III son siempre menores que

n

a.

11. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Números irracionales Aplicación

Si log 6 ≈ 0,78, entonces: (Aplicando propiedad potencia con exponente racional)

log 6.000 1

log (6.000) 2

(Aplicando propiedad de exponente)

1 log (6.000) 2

(Descomponiendo)

1 log (6  1.000) 2

(Aplicando propiedad del producto)

1 (log 6  log 1.000) 2

1 (log 6  3) 2

(Reemplazando el valor de log 6)

1 (0,78  3) 2 3,78  1,89 2

12. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

log 8 32  log 32 8

Potenciación Aplicación (Aplicando cambio de base)

log 2 32 log 2 8  log 2 8 log 2 32 5 3  3 5 16 15

(Resolviendo)

13. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

.

Potenciación ASE 1

Como p  2  log 5 (a) y q  log 5 a  log 5 (a) 2 

1 log 5 (a) , entonces: 2

Verdadera, ya que 3p = 3·2· log 5 (a) = 6· log 5 (a) = log 5 (a) 6 1 Verdadera, ya que 4q = 4· log 5 (a) = 2· log 5 (a) = p 2 1 Falsa, ya que p – 2q = 2  log 5 (a) – 2· log 5 (a) = 2  log 5 (a) – log 5 (a) = log 5 (a) 2

I) II) III)

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.

14. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad Sea m =

Potenciación Aplicación

4n - 12 , para que m sea un número entero positivo, se tiene que cumplir que:

4n – 12 > 0

(Resolviendo la inecuación)

4n > 12 n>3 Por lo tanto, se descartan las alternativas A y B, ya que ambas no son mayores a 3. Analizando el resto de las alternativas, se tiene: C)

13  3,25 4

D)

15  3,75 4

E) 4 Por lo tanto, el menor valor que podría tomar n para que m sea un número entero positivo 13 es . 4

15. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Números complejos Comprensión

Sea z un número complejo de la forma z = a + bi, en donde Re(z) = 3·Im(z). Por lo tanto, Re(z) = a, Im(z) = b  a = 3b. Además, el conjugado de z es de la forma z = a – bi. Si Im( z ) = 4  – b = 4  b = – 4 Por lo tanto, si b = – 4  a = 3·(– 4) = – 12 Luego z = – 12 – 4i, entonces

z  12  4i   6  2i 2 2

16. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Números complejos Aplicación

Como z = 3 - 4i  z  32  (4) 2  9  16  25  5 Su conjugado es: z  3  4i Luego, reemplazando los valores en la expresión z  (z) 2 , se tiene: 5·(3 + 4i)2 = 5·(9 + 24i +16i2) = 5·(– 7 + 24i) = – 35 + 120i

17. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Números complejos ASE

Si p y q son dos números complejos, entonces: I)

Falsa, ya que si q es el conjugado de p, entonces se cumple que |p| = |q|

II)

Verdadera, ya que si Re(p) = Re(q) = 0, entonces p y q son de la forma: p = ai, q = bi. Luego p · q = ai · bi = abi2 = – ab

III)

Verdadera, ya que si q es de la forma: q = a + bi  p = a – bi. Luego p + q = 2a

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son siempre verdaderas.

18. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Transformación algebraica Aplicación

Área total de la figura = Área del cuadrado EFGH + Área del rectángulo ACDH. Entonces: Área del cuadrado EFGH = (x – 10)2 Área del rectángulo ACDH = 4·(x – 9) Por lo tanto: Área total de la figura = (x –10)2 + 4·(x – 9)

(Desarrollando)

= x2 – 20x + 100 + 4x – 36 = x2 – 16x + 64

(Factorizando)

= (x – 8)2

19. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Ecuaciones y sistemas de primer grado Aplicación

ax 2  bx = 3b + ax x3

(Multiplicando por (x + 3))

ax2 + bx = (3b + ax)·(x + 3)

(Distribuyendo)

ax2 + bx = ax2 + 3ax + 3bx + 9b

(Desarrollando)

ax2 + bx – ax2 – 3ax – 3bx = 9b – 2bx – 3ax = 9b

(Multiplicando por – 1)

2bx + 3ax = – 9b

(Factorizando por x)

x·(2b + 3a) = – 9b

(Despejando x)

x=

 9b 2b  3a

20. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Transformación algebraica Comprensión

Planteado algebraicamente el enunciado, se tiene: x Si al triple de se le suma la sexta parte de 2x, resulta 2

3

3 ∙

∙

x 2

+

x 1 + ∙ 2x = 2 6 3x x   2 3 9x  2x  6 11x 6

1 6

∙

2x

=

(Simplificando) (Sumando las fracciones) (Desarrollando)

21. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Transformación algebraica Aplicación

Dada la expresión z =

wx 2  vy 2 , con w(x + vy)  0, entonces: w(x  vy)

I)

Verdadera, ya que si v = w y w = 1  v = 1, reemplazando en la expresión resulta: x 2 - y 2 (x  y)(x - y) z= = =x–y xy xy

II)

Falsa, ya que w = 1 y v = 0, reemplazando en la expresión resulta: x2 z= =x x

III)

Falsa, ya que w = 4 y v = 9, reemplazando en la expresión resulta: z=

4x 2  9y 2 4x 2  9y 2 = , expresión que no es posible reducir. 4·(x  9y) 4x  36y

Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.

22. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Ecuación de segundo grado y función cuadrática ASE

Sea la ecuación cuadrática: a x 2 + bx + c = 0 Se cumple que la suma de las raíces es

c b y la multiplicación de las raíces es . a a

Entonces, para la ecuación: m x 2 – nx + p = 0, las raíces o soluciones de la ecuación x 1 y x 2 , cumplen que: n p x1 + x 2 = x1  x 2 = m m Luego,

x1  x 2 – ( x1 + x 2 ) =

p n pn – = m m m

23. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Ecuación de segundo grado y función cuadrática Aplicación

Sean x e y los lados del rectángulo, entonces: Perímetro = 2x + 2y = 16  x + y = 8 Además, la diagonal del rectángulo es x 2  y 2 = 6  x2 + y2 = 36 Al despejar x de la ecuación del perímetro resulta: x = 8 – y. Si se reemplaza el valor de x en la ecuación de su diagonal se tiene: (8 – y)2 + y2 = 36

(Desarrollando el cuadrado de binomio)

64 – 16y + y2 + y2 = 36

(Reduciendo términos)

2y2 – 16y + 64 = 36

(Dividiendo por 2)

y2 – 8y + 32 = 18

(Reagrupando términos)

y2 – 8y + 14 = 0 Sea la ecuación cuadrática ax2+ bx + c = 0, las raíces o soluciones se determinan de acuerdo a la expresión:

- b  b 2  4·a·c x 2a En este caso a = 1, b = – 8, c = 14. Reemplazando los valores en la expresión anterior se tiene:

y=

- (-8)  (-8) 2  4·1·14 8  64  56 8  8 8  2 2 = = = = 4 2 2·1 2 2 2

Luego, si y = 4  2  x = 8 – ( 4  2 ) = 4  2  Lado mayor = 4  2 Si y = 4  2  x = 8 – ( 4  2 ) = 4  2  Lado mayor = 4  2 Por lo tanto, en cada caso el lado mayor del rectángulo mide 4  2 cm.

24. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Ecuación de segundo grado y función cuadrática Aplicación

Dada la ecuación x(x + 3) = 3p – 7  x2 + 3x = 3p – 7 3 Si una de las raíces o soluciones de la ecuación es x = + 4i, entonces reemplazando 2 en x, se tiene:  3  3   4i  = 3p – 7  4i  + 3·    2   2  2

9 9 – 12i –16 – + 12i = 3p – 7 4 2 9 9 – – 16 = 3p – 7 4 2

9 – 18 – 64 = 12p – 28

(Desarrollando)

(Reduciendo términos) (Multiplicando por 4) (Desarrollando)

– 45 = 12p

(Despejando p)

 45 =p 12

(Simplificando)

 15 =p 4

25. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Desigualdades, inecuaciones y función potencia Comprensión

De acuerdo al enunciado, Ana tiene a años y Pedro b años, entonces la expresión “La suma entre la edad de Ana y Pedro es a lo menos 25 años” se interpreta como a + b  25. La expresión “El doble de la diferencia entre la edad de Pedro y la edad de Ana es a lo más 6 años” se interpreta como 2(b – a)  6.

Luego el sistema de inecuaciones que representa la situación descrita es: a + b  25 2(b – a)  6

26. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Desigualdades, inecuaciones y función potencia Aplicación

Sea el sistema de inecuaciones: 3–x>1 2 (x – 1) < 1 Al resolver la primera inecuación, se obtiene: 3–x>1

(Despejando x)

–x>–2

(Multiplicando por –1)

x< 2 El conjunto solución descrito por la desigualdad, es el intervalo:  ,2 Al resolver la segunda inecuación, se obtiene: 2 (x – 1) < 1

(Distribuyendo)

2x – 2 < 1

(Desarrollando)

2x < 3

(Despejando x)

x
0. (1) La ordenada de M es 3. Con esta información no es posible encontrar el punto simétrico de M respecto a la recta L, ya que el punto M es de la forma M(3, 0). Sin embargo, como solo se sabe que la recta L pasa por el origen, hay infinitas rectas que pasan por el origen, tanto crecientes como decrecientes. (2) L es creciente. Con esta información no es posible encontrar el punto simétrico de M respecto a la recta L, ya que se desconoce las coordenadas del punto M y por el origen pasan infinitas rectas crecientes. Con ambas informaciones, no es posible encontrar el punto simétrico de M, ya que de la primera condición se tiene que M(3, 0) y de la segunda se tiene que L es creciente, sin embargo hay infinitas rectas crecientes que pasan por el origen, por lo que no hay un solo punto simétrico de M. Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.

78. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Geometría analítica ASE

(1) L intersecta al eje X en el punto (p, 0). Con esta información es posible determinar el valor numérico de k, ya que se puede reemplazar el punto en la ecuación de la recta. (2) L intersecta al eje Y en el punto (0, p). Con esta información no es posible determinar el valor numérico de k, ya que al reemplazar el punto en la ecuación de la recta L se tiene: k · 0 + p = p  p = p Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

79. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Datos ASE

(1) El rango de la muestra es 12. Con esta información y la del enunciado no es posible determinar la varianza del conjunto de números, ya que si a < b < c, entonces el rango será: c – a = 12. Pero no hay mayor información respecto al valor de b. Si se observa en la recta numérica: a

b

c

12 (2) b es igual a la media aritmética (o promedio) de la muestra. Con esta información no es posible determinar la varianza del conjunto, ya que se desconocen los valores de a, b y c. Sin embargo, dado que a < b < c, eso quiere decir que son números distintos ente sí, por lo que b corresponde a un número que se ubica en la mitad entre a y c. En la recta numérica se observa: a

b

x

c

x

Con ambas juntas, es posible determinar la varianza del conjunto de números, ya que de la primera condición se tiene que c – a = 12 y de la segunda condición b está en medio de a y c. Luego, como se observa en la recta numérica: a

b

6

c

6

( x  a ) 2  ( x  b) 2  ( x  c ) 2 La varianza se puede obtener mediante la fórmula:   , de 3 la recta numérica se obtiene que ( x  a)  6 , ( x  b)  0 y ( x  c)  6 , y con ello se puede llegar a un valor para la varianza. 2

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2).

80. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Azar ASE

(1) En la bolsa hay 40 fichas. Con esta información no es posible determinar la probabilidad de extraer una ficha con la letra B, ya que se desconoce la cantidad de fichas con la letra A, B y C que hay en la bolsa. (2) La cantidad de fichas con la letra C es el doble de la cantidad de fichas con la letra A y el doble de la cantidad de fichas con la letra B. Con esta información es posible determinar la probabilidad de extraer una ficha con la letra B. Si llamamos x a la cantidad de fichas con la letra A, y a la cantidad de fichas con la letra B y z a la cantidad de fichas con la letra C, entonces:

Total de fichas en la bolsa = x + y + z Como z = 2x = 2y entonces x = y Por lo tanto el total de fichas en la bolsa es: x + x + 2x = 4x. Entonces P(Extraer una ficha con la letra B) =

x 1 = 4x 4

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.