• Author / Uploaded
• Jassir Junior Salinas Avalos

• Categories
• Análisis matemático
• Física y matemáticas
• Matemática
• Análisis
• Física

Citation preview

EXAMEN FINAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL – BMA-01 (Solucionario 2018-1)

1. Una ventana tiene la forma de un cuadrado coronado por un semicírculo. La base de la ventana se mide como si tuviera un ancho de 60 𝑐𝑚, con un error posible de la medición de 0,1 𝑐𝑚. Use diferenciales para estima el error posible máximo al calcular el área de la ventana. 3 pts. Resolución: Área de la ventana en función del lado 𝑥 del cuadrado: á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 + á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝜋 𝑥 2 𝜋 ( ) = (1 + ) 𝑥 2 2 2 8

𝐴(𝑥) = 𝑥 2 +

Error en la medición del lado del cuadrado: 0,1 𝑐𝑚 Usando diferenciales calculamos el error en la medición del área de la ventana: 𝑑𝐴 = 𝐴′ (𝑥)𝑑𝑥

𝜋 𝑑𝐴 = 2𝑥 (1 + ) (±0,1)| 8 𝑥=60

→

3 𝑑𝐴 = ± (12 + 𝜋) 2

→

El error posible máximo al calcular el área de la ventana es aproximadamente ± 16,7 𝑐𝑚2 2. A mediodía, un barco 𝐴 está a 150 km al oeste de un barco 𝐵. El barco 𝐴 navega hacia el este 35 𝑘𝑚/ℎ y el barco 𝐵 navega hacia el norte a 25 𝑘𝑚/ℎ ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los barcos a las 4:00 PM? 4 pts. Resolución: Modelo que relaciona las distancias:

𝑁

𝐷2 (𝑡) = 𝑥 2 (𝑡) + 𝑦 2 (𝑡) … (1)

25 𝑘𝑚/ℎ

Donde:

𝐷 𝑦 𝑂 35 𝑘𝑚/ℎ

𝑑𝑥 = −35 𝑘𝑚/ℎ 𝑑𝑡

𝐸

𝑥

;

𝑑𝑦 = 25 𝑘𝑚/ℎ 𝑑𝑡

El signo – indica que la distancia del barco A a punto de referencia está disminuyendo. Derivando en forma implícita para obtener qué tan rápido cambia la distancia entre los barcos: 𝐷

𝑑𝐷 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =𝑥 +𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

→

𝑑𝐷 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑦 = + 𝑑𝑡 𝐷 𝑑𝑡 𝐷 𝑑𝑡

Considerando el tiempo: 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑑í𝑎: 𝑡 = 0 4:00 p.m

𝑡=4

Como la velocidad es constante, a las 4:00 PM el barco 𝐴 ha recorrido 140 km. y está a 10 𝑘𝑚 del punto de referencia desde donde se miden las distancias; el barco B a 100 km y la distancia entre ellos:

𝐷 = √102 + 1002 = 10√101

Sustituyendo estos valores en: 𝑑𝐷 10 100 (−35) + (25) ≅ 21,5 = 𝑑𝑡 10√101 10√101 A las 4:00 p.m, la distancia entre los barcos está aumentando a una razón aproximada de 21,5 𝑘𝑚/ℎ

3. Considerando la curva plana |𝑡| 1 + |𝑡| . 𝐶: , 𝑡∈ℝ 𝑡|𝑡| 𝑦= ( 1 + |𝑡| )2 { 𝑥=

a) Elimine el parámetro y escriba la ecuación cartesiana

3 pts.

b) Grafique la curva determinando su orientación.

2 pts.

Resolución: a) Eliminación del parámetro 2

|𝑡|2 |𝑡| 𝑡|𝑡| |𝑦| Siendo 𝑦 = entonces = =( ) = 𝑥2 2 2 1 + |𝑡| ( 1 + |𝑡| ) ( 1 + |𝑡| ) Además, ∀ 𝑡 ∈ ℝ: |𝑡| ≥ 0

→

|𝑡| + 1 ≥ 1

→

0