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• Alex J Aldonate

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INGENIERÍA CIVIL

 Ahora para el tramo 2, a2 = −2m / s 2

t2

0

0

22.2

adt = dv ⇒ ∫ adt = ∫ dv → a2 t2 = −22.2 .....(a2 = −2m / s ) → −2t2 = −22.2 → t2 = 11.1s

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∴ t1 + t2 = 33.3s PROBLEMA 17(13.72) En la figura, el torno T esta devanando cable a la razón constante de 2 m/s. Determinar la velocidad del contrapeso C relativa al ascensor.

SOLUCIÓN:  Tenemos dos cuerdas L1 y L2

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i) = L1 2 s1 + c1 ( L1 se va devanando) 



L1 = 2 s1 



2 = 2 s1 → s1 = 1m / s (↓) ii ) L2 = 2 s1 + s2 + c2 ( L2 constante) 





L= 2 s1 + s2 2 



s2 =−2 → s2 =2m / s (↑)

PROBLEMA 18(13.120) Dos aviones vuelan en línea recta horizontalmente a la misma altitud , según se indica en la figura. En t=0 s, las distancias AC y BC son 20 km y 30 km, respectivamente .Los aviones llevan celeridades constantes; VA=300km/h y VB=400km/h. Determinar a. La posición relativa 𝑟𝑟⃗B/A de los aviones en t=3min

b. La velocidad relativa 𝑣𝑣⃗B/A de los aviones en t=3min c. La distancia d que separa los aviones en t=3min d. El tiempo T en que será mínima la separación

SOLUCION:

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 Hallando 𝑟𝑟⃗B/A de los aviones en t=3min=1/20 h Para tiempo = 3min 1 ) =5km 20 1 • BC =30 − 400t =30 − 400( ) =10km 20       r B =r A + r B / A → r B / A =r B − r A  = → r B / A 10(cos 60 i + sen60 j ) − (−5 i )  → r B / A =(10i + 8.66 j )km • AC =20 − 300t =20 − 300(

•

Hallando 𝑣𝑣⃗B/A de los aviones en t=3min=1/20 h

      v B =v A + v B / A → v B / A =v B − v A  vB/ A = 400(− cos 60 i − sen60 j ) − (300i )  vB/ A = (−500i − 346.4 j )km / h

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•

Hallando la distancia d que separa los aviones en t=3min

2

2

d 2 = AC + BC − 2 AC × BC cos120 d 2 =52 + 102 − 2(5)(10) cos120 d 2 = 175 → d = 13.23km •

Hallando el tiempo T en que será mínima la separación

2

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2

d 2 = AC + BC − 2 AC × BC cos120 d 2 = (20 − 300t ) 2 + (30 − 400t ) 2 − 2(20 − 300t )(30 − 400t )cos120 d 2 = [ (20 − 300t ) + (30 − 400t ) ] − (20 − 300t )(30 − 400t ) 2

d = min, → (20 − 300t ) + (30 − 400t ) = 0 700t → 50 = 4.28min ∴t=

PROBLEMA 19(13.121) Los rodillos A y B están unidos a los extremos de una barra rígida de 1.5m de longitud. El rodillo B se mueve por una guía horizontal con una celeridad constante de 0.3 m/s y hacia la derecha, mientras que el rodillo A se mueve por una guía vertical.

�⃗A y la aceleración �𝒂𝒂⃗A del rodillo A en función de s, a. Determinar la posición �⃗ 𝒓𝒓A, la velocidad 𝒗𝒗 0 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 1.5𝑚𝑚 �⃗A/B ,𝒂𝒂 �⃗A/B b. Para 𝑠𝑠 = 0.9 𝑚𝑚 , determinar la posición relativa �⃗ 𝒓𝒓A/B , 𝒗𝒗

c. Demostrar que la posición relativa y la velocidad relativa del apartado b son perpendiculares.

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�⃗A y la 𝒂𝒂 �⃗A :  Determinando la posición �⃗ 𝒓𝒓A, 𝒗𝒗 •

Por dato tenemos : vB= s= 0.3m / s , L= 1.5m Por pitagoras : 2 i ) L= s2 + y2

y= L2 − s 2

y= 1.52 − s 2  ∴ rA = 2.25 − s 2 j m

�⃗A/B , 𝒗𝒗 �⃗A/B ,𝒂𝒂 �⃗A/B  Posición relativa 𝒓𝒓

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•

•

DERIVANDO  → ii ) 0= 2 s s + 2 y y

 • ss −  y=  y    •   0.3s − y=  2  2.25 − s  •

  0.3s ∴ vA = − 2  2.25 − s

  j m / s 

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para s = 0.9    i) r A = r B + r A/ B ii )    r A/ B = rA − rB  • r A/ B = 2.25 − s 2 j − 0.9i

   vA = v B + v A/ B    v A/ B = v A − vB    0.3s  • v A/ B = −  j − 0.3i 2  2.25 − s   ∴ v A/ B = (−0.225 j − 0.3i )m / s

 ∴ r A/ B = (1.2 j − 0.9i )m    CONSIGUE EL SOL iii ) a= a B + a A/ B A    COMPLETO DE → a A / B =a A − a B  DINAMICA RILEY 0.2 j − 0 − → a A/ B = 3 DE 170 PAGINAS AL 2 2.25 − s  WASHAP ∴ a A/ B = −0.115 j m / s 2

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�⃗A/B , 𝒗𝒗 �⃗A/B son perpendiculares:  Para demostrar que la 𝒓𝒓

    0 • r A/ B ⊥ v A/ B → r A/ B . v A/ B = 0 → (1.2 j − 0.9i ).(−0.225 j − 0.3i ) = → −0.27 + 0.27 =0 0=0

iii ) Se deriva una vez mas : •2

••

•2

••

s =0 0 =s + s ( s ) + y + y ( y ) ;   2  ss  2  s 2 + y 2  −( −  s +    / y y= )= y   y    s 2 × L2   y = −  3  y   0.32 × 1.52 aA = − 3 2.25 − s 2  0.2 j m / s 2 ∴a A = − 3 2 2.25 − s

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PROBLEMA 20(13.142) La grúa de la figura gira en toro al eje AD a la razón constante de 3 rad/min .Al mismo tiempo , el aguilón AB de 20 m de largo va descendiendo a la razón constante de 5 rad/min . Calcular la velocidad y la aceleración del punto B cuando φ = 30º .

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SOLUCIÓN:

 Como datos tenemos:

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



r 20m , = r 0, = r 0 ; •= φ 30º •= CONSIGUE EL SOL   1 1 COMPLETO DE / min rad / s = / min rad / s = •θ 3 rad = •φ 5rad = 20 12 DINAMICA RILEY   DE 170 PAGINAS AL → θ 0 = = →φ 0 WASHAP +51954537276     v= r e r + r φ e φ + r θ sen φ e θ 



vr = r = 0 , v φ = r φ = 20 ×

1 5 1 = m / s , vθ = 20 × × sen30º = 0.5m / s 12 3 20

→= v

vr 2 + v φ 2 + vθ 2

→ v=

5 + 0.52 3

2

∴v= 1.74 m / s

La aceleración en coordenadas esfericas :     a = a r + aφ + aθ r 2 − rφ2 − rθ 2 sen 2φ → a =  r

1 1 0 − 20( ) 2 − 20( ) 2 sen 2 30 ar = 12 20 2 ar = −0.15 m / s → a = rφ + 2rφ − rθ 2 senφ cos φ φ

aφ = 20 × 0 + 2 × 0 ×

1 1 − 20( ) 2 sen30cos30 12 20

aφ = −0.022 m / s 2   cos φ + rθsenφ →a = 2rθsenφ + 2rθφ θ

aθ = 0 + 2 × 20 ×

1 1 × cos30 + 0 20 12

aθ = 0.144 m / s 2 a=

ar 2 + aφ 2 + aθ 2

a=

(−0.15) 2 + (−0.022) 2 + 0.144 2

∴a= 0.21m / s 2

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PROBLEMA 21(13.27) : Una bola que cae en el aire tiene una aceleración

= a a= (v) (9.81 − 0.003v 2 ) m

s2

Donde la velocidad del punto se expresa en metros por segundo y el sentido positivo es hacia abajo. Determinar la velocidad de la bola en función de la altura si se lleva una velocidad hacia debajo de 3m s cuando y0 = 0 . Determinar también la velocidad de régimen de la bola.

a

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SOLUCIÓN: •

Piden hallar la velocidad en función de la altura cuando la v0 = 3 m

•

s y y0 = 0

Como la aceleración está en función de la velocidad

(v) (9.81 − 0.003v 2 ) m = a a=

•

s2 Utilizamos la segunda derivada de la posición para obtener la aceleración en función del tiempo

dv dv dx dv = = v dt dx dt dx dv → dx = v a Multiplicamos y dividimos por dx; luego obtenemos la dx en función de v y a = a

•

Para poder integrar necesitamos que la aceleración este en función de la velocidad

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