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• MarioMaximilianoMaldonado

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SOLUCIONARIO DE HOJA DE TRABAJO N°7 Sesión 7: límites y continuidad de funciones trigonométricas

1. Calcular los límites cuando 𝑥 → 0 de las siguientes funciones:

a) 𝑓(𝑥) =

sen 4𝑥 𝑥

Solución sen 4𝑥 4 sen 4𝑥 = lim … … … (𝛼) 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 4𝑥 lim

Pero se sabe que conforme 𝑥 → 0 también lo hace 4𝑥 → 0. Así lim

𝑥→0

sen 4𝑥 𝑥

= lim

4𝑥→0

sen 4𝑥 4𝑥

=

1. Luego la expresión (𝛼) queda: lim

𝑥→0

sen 4𝑥 𝑥

4 sen 4𝑥

= lim

4𝑥

𝑥→0

= 4 lim

sen 4𝑥 4𝑥

4𝑥→0

= 4(1) = 4.

2𝑥

b) 𝑓(𝑥) = sen 3𝑥 Solución Le damos la forma de límites conocidos dividiendo por 3𝑥 al numerador y denominador: 2𝑥 2𝑥 2𝑥 2𝑥 lim 3𝑥 lim 3𝑥 lim 3𝑥 2𝑥 lim = lim 3𝑥 = 𝑥→0 = 𝑥→0 = 𝑥→0 sen 3𝑥 sen 3𝑥 sen 3𝑥 𝑥→0 sen 3𝑥 𝑥→0 sen 3𝑥 lim lim lim 3𝑥 𝑥→0 3𝑥 3𝑥→0 3𝑥 3𝑥→0 3𝑥 El límite que está en el recuadro equivale a 1. Por tanto lim

2𝑥

𝑥→0 sen 3𝑥

2𝑥 3𝑥 sen 3𝑥 3𝑥

= lim

𝑥→0

=

2𝑥 lim 𝑥→03𝑥 sen 3𝑥 lim 𝑥→0 3𝑥

=

2𝑥 lim 𝑥→03𝑥 sen 3𝑥 lim 3𝑥→0 3𝑥

=

2𝑥 lim 𝑥→03𝑥 sen 3𝑥 lim 3𝑥→0 3𝑥

2

= . 3

sen 9𝑥

c) 𝑓(𝑥) = sen 7𝑥 Solución 9

7

Le damos la forma de límites conocidos multiplicando por 9𝑥 y 7𝑥 al numerador y denominador respectivamente: lim

sen 9𝑥

𝑥→0 sen 7𝑥

= lim

𝑥→0

9sen 9𝑥 9𝑥 7sen 7𝑥 7𝑥

9

= 7 lim

𝑥→0

sen 9𝑥 9𝑥 sen 7𝑥 7𝑥

sen 9𝑥

=

lim 9 𝑥→0 9𝑥 7 lim sen 7𝑥 𝑥→0 7𝑥

Pero la expresión dentro del recuadro su valor es 1. Departamento de Ciencias

1

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En efecto sen 9𝑥 sen 9𝑥 lim 1 9𝑥 𝑥→0 9𝑥 = 9𝑥→0 = =1 sen 7𝑥 sen 7𝑥 1 lim 7𝑥 lim 7𝑥 𝑥→0 7𝑥→0 lim

sen 9𝑥

9

Por tanto lim sen 7𝑥 = 7. 𝑥→0

sen⁡3𝑥

d) 𝑓(𝑥) = sen 6𝑥 Solución De modo análogo que el ejercicio e) sen 3𝑥 sen 3𝑥 3sen 3𝑥 sen 3𝑥 lim 3𝑥 lim 3𝑥 sen⁡3𝑥 3 1 1 3𝑥→0 lim lim 3𝑥 = lim 3𝑥 = 𝑥→0 = 𝑥→0 sen 6𝑥 𝑥→0 6sen 6𝑥 6 𝑥→0 sen 6𝑥 2 lim sen 6𝑥 lim sen 6𝑥 2 6𝑥 6𝑥 𝑥→0 6𝑥 6𝑥→0 6𝑥 3𝑥

e) 𝑓(𝑥) = sen 5𝑥 Solución De modo a análogo al ejercicio b): 3𝑥

lim sen 5𝑥 = lim

𝑥→0

𝑥→0

f) 𝑓(𝑥) =

3𝑥 5𝑥 sen 5𝑥 5𝑥

=

3𝑥 lim 𝑥→05𝑥 sen 5𝑥 lim 𝑥→0 5𝑥

=

3𝑥 lim 𝑥→05𝑥 sen 5𝑥 lim 5𝑥→0 5𝑥

=

3𝑥 lim 𝑥→05𝑥 sen 5𝑥 lim 5𝑥→0 5𝑥

3

=5

sen2 𝑥⁡ 𝑥2

Solución Le damos la forma de límites conocidos lim

sen2 𝑥⁡ 𝑥2

𝑥→0

⁡ = lim

g) 𝑔(𝑥) =

𝑥→0

sin 𝑥 sin 𝑥 𝑥

𝑥

= lim

sin 𝑥

𝑥→0

𝑥

lim

𝑥→0

sin 𝑥 𝑥

= 1(1) = 1.

sen3 𝑥⁡ 𝑥2

Solución Le damos la forma de producto. Como cada función, su limite existe sen2 𝑥⁡ sen 𝑥 sen 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 = lim sen 𝑥 = lim lim lim sin 𝑥 = 1(1)(0) = 0 2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 𝑥 lim

𝑥2

h) ℎ(𝑥) = sen2 3𝑥 Solución 𝑥2

Dividiendo la expresión lim sen2 3𝑥⁡por 𝑥 2 (numerador y denominador) se tiene: 𝑥→0

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lim

𝑥→0

𝑥2 𝑥2 sen2 3𝑥 𝑥2

⁡ = lim

𝑥→0

1 sen2 3𝑥 𝑥2

, pero lim

sen2 3𝑥

𝑥→0

𝑥2

= lim

sen 3𝑥 sen 3𝑥 𝑥

𝑥→0

𝑥

= lim

𝑥→0

sen 3𝑥 𝑥

lim

𝑥→0

sen 3𝑥 𝑥

=

3(3) = 9. El argumento para este resultado es análogo al ejercicio 1. Por tanto lim

𝑥2

𝑥→0 sen2 3𝑥

i) 𝑓(𝑥) =

𝑥2 𝑥2 sen2 3𝑥 𝑥2

⁡ = lim

𝑥→0

1

1

⁡ = lim sen2 3𝑥 = 9 . 𝑥→0

𝑥2

sen5 2𝑥⁡ 4𝑥 5

Solución lim

𝑥→0

lim

𝑥→0

sen5 2𝑥⁡ 4𝑥 5

sen5 2𝑥⁡ 𝑥5

𝑥→0

sen 2𝑥 𝑥

j) 𝑓(𝑥) =

1

= 4 lim

lim

sen 2𝑥 𝑥

𝑥→0

lim

1

= 4 lim

sen 2𝑥

𝑥→0

sen 2𝑥 sen 2𝑥 sen 2𝑥 sen 2𝑥 sen 2𝑥 𝑥

𝑥→0

𝑥

lim

sen 2𝑥

𝑥→0

𝑥

𝑥

lim

𝑥

sen 2𝑥

𝑥→0

𝑥

𝑥

𝑥

=

1

= 4 2(2)(2)(2)(2) = 8.

1−cos 4𝑥 𝑥

Solución lim

𝑥→0

1−cos 4𝑥 𝑥

= lim

(1−cos 4𝑥)4 4𝑥

𝑥→0

1

= 4 lim

1−cos 4𝑥

𝑥→0

4𝑥

1

= 4 (0) = 0.

1−cos 𝑥

k) 𝑓(𝑥) = 1+sen 𝑥 Solución: Aproximando se tiene: 1 − cos 𝑥 =0 𝑥→0 1 + sen 𝑥 lim

l) 𝑓(𝑥) =

tan 𝑥 2𝑥

Solución: sen 𝑥 sen 𝑥 lim 𝑥 tan 𝑥 1 tan 𝑥 1 sen 𝑥 1 1 𝑥→0 1 𝑥 lim = lim = lim = lim 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 = = .1 𝑥→0 2𝑥 2 𝑥→0 𝑥 2 𝑥→0 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 𝑥→0 2 lim 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 𝑥 𝑥 𝑥→0 m)𝑓(𝑥) =

tan4 𝑥 4𝑥 4

Solución: lim

𝑥→0

tan4 𝑥 4𝑥 4

tan 𝑥 4

1

= 4 lim ( 𝑥→0

𝑥

1

) = 4 (lim

𝑥→0

tan 𝑥 4 𝑥

1

1

) = 4 (1)4 = 4 Utilizando el límite anterior

(dado en l). n) 𝑓(𝑥) =

1−cos 𝑥 𝑥2

Solución:

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(1 − cos 𝑥) (1 + cos 𝑥) 1 − cos 𝑥 1 − cos 2 𝑥 sen2 𝑥 lim = lim = lim = lim 𝑥→0 𝑥→0 𝑥2 𝑥2 (1 + cos 𝑥) 𝑥→0 𝑥 2 (1 + cos 𝑥) 𝑥→0 𝑥 2 (1 + cos 𝑥) sen2 𝑥 1 1 lim = 1 ( ). 𝑥→0 𝑥 2 𝑥→0 (1 + cos 𝑥) 2

= lim

Está en el ejercicio f. o) 𝑓(𝑥) =

𝑥 2 +3𝑥 sen 𝑥

Solución: 𝑥 2 + 3𝑥 lim 𝑥 2 + 3𝑥 lim 𝑥 + 3 𝑥 + 3𝑥 𝑥 𝑥 lim = lim = 𝑥→0 = 𝑥→0 =3 (sen 𝑥) 𝑥→0 sen 𝑥 𝑥→0 (sen 𝑥) 1 lim 𝑥 𝑥 𝑥→0 2

2. Dado que −sen 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 2 + sen 𝑥, para toda 𝑥 en el intervalo abierto 〈−𝜋, 0〉,

determine lim𝜋 𝑓(𝑥). 𝑥→−

2

Solución: utilizando el teorema del encaje lim𝜋(−sen 𝑥) = 1 = lim𝜋(2 + sen 𝑥) = 2 − 1 = 1.

𝑥→−

2

𝑥→−

Por

tanto

se

concluye

que

2

lim𝜋 𝑓(𝑥) = 1

𝑥→−

2

Incrementos - Razones de cambio promedios - Aplicaciones 1.

Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 calcule ∆𝑦 cuando 𝑥 cambia (a) de 2 a 2.05 (b) de 2 a 2.01 Solución (a) 𝑓(2) = 23 + 22 − 2(2) + 1 = 9 𝑓(2.05) = (2.05)3 + (2.05)2 − 2(2.05) + 1 = 9.717625 Luego ∆𝑦 = 𝑓(2.05) − 𝑓(2) = 0.717625 (b) 𝑓(2.01) = (2.01)3 + (2.01)2 − 2(2.01) + 1 = 9.140701 Luego ∆𝑦 = 𝑓(2.01) − 𝑓(2) = 0.140701

2.

Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 (a) calcule ∆𝑦 si 𝑥 = 1 y ∆𝑥 = 0.2 (b) determine ∆𝑦 cuando 𝑥 = 1 para cualquier incremento ∆𝑥 (c) determine ∆𝑦 para valores generales de 𝑥 y ∆𝑥 Solución

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(a) los valores de 𝑥 y ∆𝑥 en la fórmula de ∆𝑦 ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝑓(1 + 0.2) − 𝑓(1) = 𝑓(1.2) − 𝑓(1) = (1.2)2 − (1)2 = 1.44 − 1 = 0.44 Asi que, un cambio de 0.2 en el valor de 𝑥 da como resultado un cambio en 𝑦 de 0.44 (b) ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝑓(1 + ∆𝑥) − 𝑓(1) = (1 + ∆𝑥)2 − (1)2 = (1 + 2∆𝑥 + (∆𝑥)2 ) − 1 = 2∆𝑥 + (∆𝑥)2 (c) ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)2 − (𝑥)2 = 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 3.

Dada la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 5𝑥 + 3 determine (a) el incremento de 𝑦 en el intervalo desde 𝑥 = −2 hasta 𝑥 = 2. (b) el incremento de 𝑦 en el intervalo desde 𝑥⁡hasta 𝑥 + ∆𝑥 Solución (a) ∆𝑦 = 𝑓(2) − 𝑓(−2) = [2(2)2 − 5(2) + 3] − [2(−2)2 − 5(−2) + 3] = 1 − 21 = −20 (b) ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = [2(𝑥 + ∆𝑥)2 − 5(𝑥 + ∆𝑥) + 3] − [2𝑥 2 − 5𝑥 + 3] = [2(𝑥 2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 ) − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 3] − 2𝑥 2 + 5𝑥 − 3 = [2𝑥 2 + 4𝑥∆𝑥 + 2(∆𝑥)2 − 5𝑥 − 5∆𝑥 + 3] ⁡ − 2𝑥 2 + 5𝑥 − 3 = 4𝑥∆𝑥 + 2(∆𝑥)2 − 5∆𝑥

4.

Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 , 𝑥 ≠ 0

2

(a) calcule ∆𝑦 si 𝑥 = 2 y ∆𝑥 = 0.5 (b) determine ∆𝑦 cuando 𝑥 = 2 para cualquier incremento ∆𝑥 (c) determine ∆𝑦 para valores generales de 𝑥 y ∆𝑥 Solución (a) los valores de 𝑥 y ∆𝑥 en la fórmula de ∆𝑦

∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝑓(2 + 0.5) − 𝑓(2) = 𝑓(2.5) − 𝑓(2) = [2.5 +

2 2 ] − [2 + ] = 0.3 2.5 2

Asi que, un cambio de 0.5 en el valor de 𝑥 da como resultado un cambio en 𝑦 de 0.3 (b) ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝑓(2 + ∆𝑥) − 𝑓(2) Departamento de Ciencias

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2 2 ] − [2 + ] 2 + ∆𝑥 2 2 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= ∆𝑥 + −1 2 + ∆𝑥 = [2 + ∆𝑥 +

= ∆𝑥 +

2 − (2 + ∆𝑥) 2 + ∆𝑥

= ∆𝑥 −

∆𝑥 2 + ∆𝑥

(c) ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 2 2 = [𝑥 + ∆𝑥 + ] − [𝑥 + ] 𝑥 + ∆𝑥 𝑥 2 2 = ∆𝑥 + − 𝑥 + ∆𝑥 𝑥 2𝑥 − 2(𝑥 + ∆𝑥) = ∆𝑥 + 𝑥(𝑥 + ∆𝑥) 2∆𝑥 = ∆𝑥 − 𝑥(𝑥 + ∆𝑥)

5.

Calcule la tasa de cambio promedio de 𝑓(𝑥) =

𝑥 2 −9 𝑥−3

para 𝑥 = 2 con ∆𝑥 = 0.5

Solución ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) (2 + 0.5)2 − 9 22 − 9 =[ − ] 2 + 0.5 − 3 2−3 6.25 − 9 −5 =[ − ] −0.5 −1 = [5.5 − 5] = 0.5 Por tanto ∆𝑦 0.5 = =1 ∆𝑥 0.5

6.

El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende del precio por litro. Si 𝑝 es el precio por litros en céntimos, se encuentra que el volumen de venta 𝑞 (en litros por día) está dado por 𝑞 = 500(150 − 𝑝). Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento en el precio de 120 a 130 céntimos por litro. Solución

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El primer valor de 𝑝 es 𝑝1 = 120 y el segundo valor es 𝑝2 = 130. El incremento de 𝑝 es ∆𝑝 = 𝑝2 − 𝑝1 = 130 − 120 = 10 Los valores correspondientes de 𝑞 son: 𝑞1 = 500(150 − 𝑝1 ) = 500(150 − 120) = 15000 𝑞2 = 500(150 − 𝑝2 ) = 500(150 − 130) = 10000 En consecuencia, el incremento de 𝑞 esta dado por ∆𝑞 = 𝑞2 − 𝑞1 = 10000 − 15000 = −5000 El incremento de 𝑞 mide el crecimiento en 𝑞 y el hecho de que sea negativo significa que 𝑞 en realidad decrece. El volumen de ventas decrece en 5000 litros por día si el precio se incrementa de 120 a 130 céntimos. 7.

Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir 𝑥 toneladas de cierto fertilizante está dado por 𝐶(𝑥) = 20000 + 40𝑥 dólares y el ingreso obtenido por la venta de 𝑥 toneladas está dado por 𝑅(𝑥) = 100𝑥 − 0.01𝑥 2 . La compañía actualmente produce 3100 toneladas por semana; pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por semana. Calcule los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras producidas. Solución El primer valor de 𝑥 es 3100 y 𝑥 + ∆𝑥 = 3200

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡∆𝐶 = 𝐶(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐶(𝑥) = 𝐶(3200) − 𝐶(3100) = [20000 + 40(3200)] − [2000 + 40(3100)]⁡ = 148000 − 144000 = 4000

∆𝑅 = 𝑅(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑅(𝑥) = 𝑅(3200) − 𝑅(3100) = [100(3200) − 0.01(3200)2 ] − [100(3100) − 0.01(3100)2 ]⁡ = 217600 − 213900 = 3700

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De modo que los costos se incrementan en $4000 con el incremento dado en la producción, mientras que los ingresos se incrementan en $3700 A partir de estos resultados, es claro que la utilidad debe decrecer en $300. De modo que la utilidad 𝑃(𝑥) por la venta de 𝑥 toneladas de fertilizantes es 𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 100𝑥 − 0.01𝑥 2 − (20000 + 40𝑥) = 60𝑥 − 0.01𝑥 2 − 20000 En consecuencia el incremento de la utilidad cuando 𝑥 cambia de 3100 a 3200 es ∆𝑃 = 𝑃(3200) − 𝑃(3100) = [60(3200) − 0.01(3200)2 − 20000] − [60(3100) − 0.01(3100)2 − 20000] = 69600 − 69900 = −300 Asi pues, la utilidad decrece en $300. La tasa de cambio promedio de la utilidad por tonelada extra es ∆𝑃 −300 = = −3 ∆𝑥 100 En donde ∆𝑥 = 3200 − 3100 = 100. De modo que la utilidad decrece en un promedio de $3 por tonelada con el incremento dado en la producción. 8.

Cualquier objeto se suelta a partir del reposo y se le permite caer libremente bajo la fuerza de gravedad, la distancia 𝑠 (en pies) recorrida en el tiempo 𝑡 (en segundos) está dada por 𝑠(𝑡) = 16𝑡 2 . Determine la velocidad promedio del objeto durante el intervalo de tiempo de 3 a 5 segundos. Solución La velocidad promedio de cualquier móvil es igual a la distancia recorrida dividida entre el intervalo de tiempo empleado. Así, la velocidad promedio es la razón ∆𝑠 𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡) 𝑠(5) − 𝑠(3) 16(5)2 − 16(3)2 256 = = = = = 128 ∆𝑡 ∆𝑡 5−3 2 2 Por consiguiente, durante el lapso de 𝑡 = 3 a 𝑡 = 5, el móvil cae una distancia de 256 pies con una velocidad promedio de 128 pies/segundo.

9.

Considere un camino con altura dada por la función ℎ(𝑥) = 100 + 40𝑥 − 𝑥 2 , donde 𝑥 se mide en metros y ℎ se mide en centímetros. Calcular la razón de cambio promedio en el tramo de 10 a 20 metros. Solución

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Si pasamos de 𝑥0 = 10⁡𝑚 a 𝑥1 = 20⁡𝑚, la altura cambia desde ℎ0 = ℎ(𝑥0 ) = 100 + 40(10) − 102 = 400⁡𝑐𝑚 a ℎ1 = ℎ(𝑥1 ) = 100 + 40(20) − 202 = 500⁡𝑐𝑚. La razón de cambio promedio en ese tramo es ∆ℎ 500 − 400 = = 10⁡𝑐𝑚/𝑚 ∆𝑥 20 − 10 Esto significa que, en promedio, se suben 10 cm por cada metro recorrido. 10. El tamaño de una población está modelada por 𝑃(𝑡) = 5000 + 500𝑡 − 50𝑡 2 , donde 𝑡 es el número de años después del 2001.Calcule la razón de cambio promedio de 𝑡 = 2 a 𝑡 = 4. Solución La razón de cambio promedio de 𝑡 = 2 a 𝑡 = 4 viene dada por 𝑃(4) − 𝑃(2) 5000 + 500(4) − 50(16) − [5000 + 500(2) − 50(4)] 400 = = = 200 4−2 4−2 2 Observe que entre el lapso de tiempo de 𝑡 = 2 a 𝑡 = 4 el crecimiento promedio de la población fue de 200 hab/año. 11. Suponga que el desplazamiento de un móvil hasta el tiempo 𝑡 está dado por la ecuación 𝑑(𝑡) = 64 + 4𝑡 2 metros, donde 𝑡 está medido en segundos. Determinar la velocidad promedio durante los intervalos de tiempo (a) 𝑡 = 2 a 𝑡 = 4 (b) 𝑡 = 2 a 𝑡 = 3 Solución (a) La velocidad promedio durante el tiempo de 𝑡 = 2 a 𝑡 = 4 viene dada por 𝑑(4) − 𝑑(2) [64 + 4(16)] − [64 + 4(4)] = = 24⁡𝑚/𝑠 4−2 4−2 (b) La velocidad promedio durante el tiempo de 𝑡 = 2 a 𝑡 = 3 viene dada por 𝑑(3) − 𝑑(2) [64 + 4(9)] − [64 + 4(4)] = = 20⁡𝑚/𝑠 3−2 3−2

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