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• Giancarlo Gonzales Martinez

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RESPUESTAS EXAMEN PARCIAL INGENIERÍA INDUSTRIAL 2018 1.-La distribución de acciones de una sociedad es: 153 123 129 132 147 138 137 134 131 147 158 128 134 148 125 139 146 145 148 135 152 128 146 143 138 138 122 146 137 121 145 124 132 138 144 141 137 146 138 146 152 136 160 159 157 150 160 142 148 130

a) Calcular el número medio de acciones que posee un accionista. b) Número de acciones que más frecuentemente posee un accionista. c) Número de acciones que debe poseer un accionista para que la mitad de los restantes accionistas tengan menos acciones que él. d) Asimetría y curtosis de esta distribución. e) Graficar el histograma y la ojiva. SOLUCIÓN R=160-123=37

C

m = 1 + 3,3 log 50 = 6,61 (6 ó 7)

yi' 1  yi' 121 – 128 128 – 135 135 – 142 142 – 149 149 – 156 156– 163 Total

5 9 12 15 4 5 50

X i'1  X i'

y i ni

yi

ni

124,5 131,5 138,5 145,5 152,5 159,5 fi

160  121  6,5  7 6

622,5 1183,5 1662 2182,5 610 797,5 7.058,00

Xi

X i fi

y i hi

hi

0,10 0,18 0,24 0,30 0,08 0,10 1 fi

12,45 23,49 35,75 43,35 15,15 12,68 142,87

f X i  i   ni 

n

Nuevo rango = R  162 – 120 = 42 a) Calcular el número medio de acciones que posee un accionista.  y i ni y n

X 

X i f i n

X  X i  f i / n

y  y i hi

y

7.055800  141,16 50

y  142,87

X  142.87

b) Número de acciones que más frecuentemente posee un accionista. Estamos hablando de la moda por lo tanto:

M

o

M

o

M

o

   Li   1  c  1  2 

 3   142   7  3  11

 143.5

c) Número de acciones que debe poseer un accionista para que la mitad de los restantes accionistas tengan menos acciones que él. ni Ni yi' 1  yi' Estamos hablando de la mediana: 121 – 128 128 – 135 135 – 142 142 – 149 149 – 156 156– 163 Total

n   2  N i 1  c M e  Li   n   i   1)Ni

𝑛

5 9 12 15 4 5 50

5 14 26 41 45 50

2)Me:2 =25

fi Fi X i'1  X i'  25  14  142acciones. M e  135   12 7  141.42 Debe tener d) Asimetría y curtosis de esta distribución. Para aplicar nuestra fórmula necesitamos calcular S media y moda lo tenemos:

𝐴𝑆1 =

ni

yi  y

50

-16,66 -9,66 -2,66 4,34 11,34 18,34 ----

fi

Xi  X

yi

124,5 131,5 138,5 145,5 152,5 159,5

4 9 13 15 5 4 Xi

 Y  Y  n 6

S

2



𝑋̅ − 𝑀0 𝑆

i

i 1

i

=

n

4312 50

4312

( X i  X ) fi

= 86.24 S=9.29 141.16 − 143.5 = −0.25 9.29

yi' 1  yi'

Q Q K 2P  P  3

1

90

10

 r *n   4  N i 1  Qr  Li   c ni    

12.5  5 Q1  128   9 7  133.83 3∗50 4

1110,2224 839,8404 91,9828 282,534 642,978 1345,4224

2

𝐴𝑆1 =

𝑄3 :

( y i  y ) 2 ni

= 37.5

𝑄1 :

1∗50 4

= 12.5

121 – 128 128 – 135 135 – 142 142 – 149 149 – 156 156– 163 Total

X i'1  X i'

Ni

ni

5 9 12 15 4 5 50

5 14 26 41 45 50

fi

Fi

 37.5  26   142   7  147.37  15 

Q

3

 r *n   100  N i 1  c P r  Li   ni     90∗50 100

𝑃90 :

P

90

𝑃10 :

P

Q Q 2P  P  3

1

90

10

K

= 45

 45  41  149   7  156  4 

10∗50 100

10

K

147.37  133.83  0.24 2156  128

Es una mesocúrtica

=5

5  0   121   7  128  5 

e) Graficar el histograma y la ojiva.

Chart Title 16 14 12 10 8 6 4 2

0 121 – 128

128 – 135

135 – 142

142 – 149

149 – 156

156– 163

Chart Title 60 50 40 30 20 10 0 114 - 121 121 – 128

128 – 135

135 – 142

142 – 149

149 – 156

156– 163

2.- Los 2000 trabajadores de UPAO se divide en docentes y administrativos, con un sueldo promedio de 4000 soles. Los sueldos promedios para los dos grupos son 3500 y 4500 soles respectivamente. ¿Cuántos docentes y cuántos administrativos hay?

Solución: n  2000 n1 

f1

4000 

x  4000 ?

x1  3500

n2 

x2  4500

f2  ?

35002000  n2   4500 n2 2000

2000 4000  3500 2000  3500 n2  4500 n2 8000000  7000000  3500 n2  4500 n2 8000000  7000000  4500 n2  3500 n2 1000000  1000 n2

 n2 

1000000  1000 Docentes 1000 n1  2000  1000  1000 Administrativos

2.-EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE LOS INGRESOS MENSUALES DE 100 EMPLEADOS DE UNA COMPAÑÍA ES 0.6.DESPUÉS DE UN AUMENTO GENERAL DE 40000 MENSUALES PARA TODOS LOS EMPLEADOS DE LA CÍA.EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN ES AHORA 0.5. DETERMINAR LA CANTIDAD DE DINERO QUE NECESITARÁ MENSUALMENTE LA CÍA.PARA PAGAR LOS SUELDOS DESPUÉS DE HACER EFECTIVOS LOS AUMENTOS.

3.- Una distribución de frecuencias de 5 intervalos de clase constantes y de ella se conocen los siguientes datos: n=110; 𝑛4 -𝑛5 = 10; 𝑛4 -𝑛3 -𝑛1 = 0; 𝑛1 = 𝑛5 ; 𝑛2 = 𝑛4 𝑙 𝑙 𝑌0 =12.5; 𝑌4 𝑛4 = 975 Calcular la mediana. (Sabiendo 𝑌0𝑙 - 𝑌1𝑙 es el primer intervalo). Solución: Tenemos: ∑ 𝑛𝑖 = 110

𝑛1 = 𝑛5

𝑛2 = 𝑛4 𝑛4 − 𝑛5 = 𝑛4 − 𝑛1 = 𝑛3 = 10 𝑛4 = 𝑛2 = 𝑛1 + 10

𝑛1 + (𝑛1 + 10) + 10 + (𝑛1 + 10) + 𝑛1 = 110 4𝑛1 = 110 − 30 𝑛1 = 𝑌𝑙4 𝑛4 = 975 → 𝑌𝑙4 =

80 = 20 4 975 975 = → 𝑌𝑙4 = 32.5 𝑛4 30

𝑌4𝑙 − 𝑌0𝑙 = 20 → 𝐶 =

20 →𝐶=5 4

[𝑌′𝑖−1 − 𝑌′𝑖 )

𝑌𝑖

𝑛𝑖

𝑁𝑖

[12.5 − 17.5)

15

20

20

[17.5 − 22.5)

20

30

50

[22.5 − 27.5)

25

10

60 ← 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎

[27.5 − 32.5)

30

30

90

[32.5 − 37.5)

35

20

110

110

𝑛 110 = = 55 2 2 𝑛 − 𝑁𝑖−1 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 + (2 )𝐶 𝑛𝑖 𝑀𝑒 :

55 − 50 𝑀𝑒 = 22.5 + ( )5 10 𝑀𝑒 = 25 3.- El análisis de 50 datos se clasifican en un cuadro de distribución de frecuencias son 4 intervalos de igual ancho, sabiendo que: Q2=55.4, Y3=60, n1=4, N2 =24, N4-N3=1 la ∑ 𝑌𝑖 𝑛𝑖 =2730 Reconstruir la tabla de frecuencias absolutas solamente. Solución: [𝑌′𝑖−1 − 𝑌′𝑖 )

𝑌𝑖

𝑛𝑖

𝑁𝑖

4

60 1 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿

50

50

𝑁1 = 𝑛1 = 4

𝑛2 = 𝑁2 − 𝑁1 = 24 − 4 = 20

𝑁4 = 50 = 𝑁𝑚á𝑥 = 𝑛

𝑁4 − 𝑁3 = 𝑛4 = 1

𝑁4 = 𝑁3 + 𝑛4 → 𝑁3 = 𝑁4 − 𝑛4 = 50 − 1 = 49

𝑁3 − 𝑁2 = 𝑛3 → 𝑛3 = 49 − 24 = 25

Para hallar los límites de los intervalos, utilizamos:

𝑄2 = 55.4 = 𝑀𝑒

50 2 ( 4 ) − 𝑁𝑖−1 𝑄2 = 𝐿𝑖 + ( ) 𝐶 = 55.4 𝑛𝑖

50 2 ( ) = 25 ∈ 𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑄2 ) 4

→

𝐿𝑖 + (

25 − 24 ) = 55.4 25

𝐿𝑖 + 0.04𝐶 = 55.4 … … … … … (𝐼)

Ahora se sabe que:

∑ 𝑌𝑖 𝑛𝑖 = 2730

Es decir:

𝑌1 𝑛1 + 𝑌2 𝑛2 + 𝑌3 𝑛3 + 𝑌4 𝑛4 = 2730 Los valores 𝑛𝑖 son conocidos: De los 𝑌𝑖 solo 𝑌3 = 60 es conocido, entonces expresemos las demás marcas de clase en función de 𝑌3

(𝑌3 − 2𝐶)𝑛1 + (𝑌3 − 𝐶)𝑛2 + 𝑌3 𝑛3 + (𝑌3 + 𝐶)𝑛4 = 2730

(60 − 2𝐶)4 + (60 − 𝐶)20 + 60(25) + (60 + 𝐶) = 2730

240 − 8𝐶 + 1200 − 20𝐶 + 1500 + 60 + 𝐶 = 2730

𝐶 = 10 … … … … … (𝐼𝐼)

→

𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝐼𝐼) 𝑒𝑛 (𝐼)

𝐿𝑖 + 0.04(10) = 55.4

𝐿𝑖 = 55 ← 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜

Ubicamos el límite en su lugar sumamos y restamos 𝐶 = 10 para completar los intervalos:

[𝑌′𝑖−1 − 𝑌′𝑖 )

𝑌𝑖

𝑛𝑖

𝑁𝑖

[35 −45)

40

4

4

[45 − 55)

50

20

24

[55 − 65)

60

25

49

[65 − 75)

70

1

50

𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 4.-

50

Contesta a las siguientes preguntas.

a. ¿Qué tipo de gráfico se puede utilizar para representar una variable continua? Histograma b. ¿Te parece adecuado calcular las frecuencias absolutas acumuladas de una variable discreta? ¿y una de ordinal? ¿y una nominal? No es adecuado para variables nominales c.¿Cuándo te parece útil y cuándo no utilizar un gráfico de sectores para representar una variable discreta? No es útil cuando existen muchas categorías 4.-Una fábrica cuenta con 500 trabajadores que se dedican al ensamblado de un cierto equipo electrónico. El administrador del centro necesita realizar un estudio en la fábrica, basado en los siguientes aspectos: a) Nivel cultural de los trabajadores. b) Cantidad de equipos ensamblados por trabajador en cada jornada de trabajo. c) Tiempo, en horas, que invierte cada trabajador para ensamblar uno de estos equipos.

d) Calidad de equipos ensamblados en una jornada de trabajo. e) Clasificación de los trabajadores por turnos de trabajo. Identifica la variable, describe los valores que puede tomar y determina cuál es la escala de medición en cada caso. SOLUCIÓN a)Variable:Nivel cultural de cada trabajador Tipo de variable: Cualitativa Valores de la variable: {Primario; Medio básico; Medio superior; Universitario} Escala de medición de la variable: Ordinal b)Variable: Cantidad de equipos ensamblados Tipo de variable: Cuant. discreta Valores de la variable: {0; 1; 2; 3; 4; 5;…} Escala de medición de la variable: De razones c)Variable: Tiempo que invierte cada trabajador Tipo de variable: Cuant. continua Valores de la variable: 1; 0,5; 2; 0; 3; 4,23; … horas. Escala de medición de la variable: De razones d)Variable: Calidad de los equipos ensamblados. Tipo de variable: Cualitativa Valores de la variable: { Buena; regular; mala} Escala de medición de la variable: Ordinal e)Variable: Turnos de trabajo. Tipo de variable: Cualitativa Valores de la variable: {Turno A; Turno B; Turno C Escala de medición de la variable: Nominal