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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y CIVIL ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL I IC - 443

RESOLUCION DEL SEGUNDO EXAMEN

CATEDRA ALUMNO

: :

Ing. NORBER QUISPE AUCCAPUCLLA VITOR AGUILAR, DELFOR

AYACUCHO - PERÚ 2010

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA

-

INGENIERIA CIVIL

ROBLEMA N° 01 POR EL METODO DE HARDY CROSS DESARROLLAR EL DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

INICIAREMOS POR EL TRAMO AB:

a.L  1.8  a 

1.8  0.3186 5.65

dd '  0.5  d ' 

0.5  0.714 0.7

Del grafico se observa que

b.L  2  b 

ANALISIS ESTRUCUTURAL I

2  0.3333 5.65

DELFOR VITOR AGUILAR

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INGENIERIA CIVIL

Como vemos ninguno de esos parámetros se encuentra dentro de la tabla (Ángel san Bartolomé) concentrated Load FEMxPL b carry -over factor

stiffness factors

unif load FEM.wL2

Cab 0.704

Cba 0.461

Kab 4.48

Kba 6.84

Mab 0.069

Mba 0.116

Mab 0.133

Mba 0.097

0.3

0.714

0.728795

0.45758

4.54555

7.25325

0.06729

0.120275

0.131005

0.10156

1

0.791

0.449

4.71

8.29

0.063

0.131

0.126

0.113

0.3186

0.714

0.5

0.6 0.714 1

Mab

Mba

0.10147826 0.17882962

0.9

Mab 0.099

Mba 0.186

Mab 0.039

Mba 0.202

Mab 0.004

Mba 0.091

0.194265

d' 0.6

0.7

0.09558

a

0.5

0.3

0.3333

haunch

0.03615

0.208555

0.00343

0.091855

0.087

0.215

0.029

0.225

0.002

0.094

0.73854187 0.45269192 4.5622807 7.4900001 0.0670775 0.12068653 0.13055349 0.10290106 0.10094923 0.18009316 0.09503549 0.19551306 0.03608351 0.207904 0.00345651 0.091669 0.788 0.8336 0.948

0.413 0.40502 0.385

4.62 4.72545 4.99

8.81 9.79895 12.28

0.067 0.065005 0.06

0.119 0.1247 0.139

0.129 0.12615 0.119

0.108 0.11598 0.136

0.094 0.09578976 0.19241612 0.089725 0.079

0.196 0.207685 0.237

0.038 0.035435 0.029

0.195 0.201555 0.218

0.004 0.003715 0.003

entonces pasaremos a interpolar todos los valores necesarios, veamos. Por lo tanto

Mw Mp

B 11.5578468 5.78099431

Mw+Mp 17.3388411

w= p=

3 8

l=

5.65

Mw MP

A 6.423844 5.46769792 -11.8915419

TRAMO BC En este caso se manifiesta una columna con una longitud de 0.35 m cuya rigidez es infinita, como se ve en la siguiente figura.

a.L  0.35  a 

0.35  0.0833 4.2

haunch

a 0.075 0.083333333 1

carry -over factor

stiffness factors

unif load FEM.wL2

Cab Cba Kab Kba Mab Mba 0.492 0.622 5.46 4.32 0.1088 0.0713 0.49194595 0.62240541 5.46567568 4.32108108 0.10887838 0.07126577 0.486 0.667 6.09 4.44 0.1175 0.0675

Como no hay ninguna carga el momento de empotramiento en ambos extremos es el mismo e igual a cero.

Mbc  Mcb  0

ANALISIS ESTRUCUTURAL I

DELFOR VITOR AGUILAR

0.089 0.089855 0.092

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INGENIERIA CIVIL

TRAMO BD Al igual que en el caso anterior se manifiesta una columna con una longitud de 0.35 m cuya rigidez es infinita, como se ve en la siguiente figura.

a.L  0.35  a 

0.35  0.1167 4.2

haunch

carry -over factor

a 0.1 0.116666667 0.125

Cab Cba 0.486 0.667 0.48133333 0.69833333 0.479 0.714

stiffness factors Kab 6.09 6.57 6.81

unif load FEM.wL2

Kba Mab Mba 4.44 0.1175 0.0675 4.52666667 0.12336667 0.06503333 4.57 0.1263 0.0638

Mbd  Mdb  0

TRAMO BD Como se ve el tramo BE es una viga en voladizo por lo cual se puedes reducir a un solo momento en el nudo B.

M

viga voladizo B

  2.152   1.5*  4*2.15   12.0669 Ton  m 2  

Con los resultados obtenidos tanto como rigideces, coeficientes de distribución, factores de distribución y momentos de empotramiento aplicamos el método de Hardy cross. En el siguiente cuadro se muestra la iteración.

NUDO ij K CD FT Mempotram MD MT ∑M

A AB 0.00692417 0 0.73854187 -11.8915419 0 -0.65679322 -12.5483351

BA 0.011367567 0.275204398 0.45269192 17.33884109 -1.45086137 0 15.88797972

ANALISIS ESTRUCUTURAL I

B BC BD 0.01115909 0.01877925 0.27015721 0.45463839 0.49194595 0.48133333 0 0 -1.42425289 -2.39682683 0 0 -1.42425289 -2.39682683

C CB 0.00882221 0 0 0.62240541 -12.0669 0 0 0 0 -0.70065544 -12.0669 -0.70065544 BE

D DB 0.01293872 0 0.69833333 0 0 -1.0896895 -1.0896895

DELFOR VITOR AGUILAR

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POR LO TANTO LA GRAFICA DE DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES ES LA SIGUIENTE.

ANALISIS ESTRUCUTURAL I

DELFOR VITOR AGUILAR

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PROBLEMA N° 02: Dibujar el DMF (SLOPE DEFLECTION)

SOLUCION

DE LA ESTRUCTURA OBSERVAMOS QUE TENEMOS 4 INCOGNITAS;

ANALISIS ESTRUCUTURAL I

, A , B , D

DELFOR VITOR AGUILAR

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POR SLOPE DEFLECTION: I  Mij  2 E   2 i  j  3   Mºij L L





TRAMO AB: 

 i   A

POSITIVO L  5

M AB 

8 A 5



12  25



j  B

Mº ij  0

E  1 I  2

 j   A

Mº ij  0

E  1 I  2

4 B 5

TRAMO BA: 

i  B

POSITIVO L  5

M BA 

4 A 5



12  25



8 B 5

TRAMO BD: 

0

M BD 

i  B  j   D

L  5 8  B 5



Mº ij  0

E  1

I  2 K  0

4 D 5

TRAMO DB: 

0

M DB 

K  0 4  B 5

L  5 

 i   D

j  B

Mº ij  0

E  1

I  2

8 D 5

TRAMO DE:  i   D

L  5 M DE 

12  25



 j  0



NEGATIVO

 j   D



NEGATIVO

K 

 5

8 D 5

TRAMO ED:  i  0

L  5 M ED 

12  25



K 

 5

4 D 5

ANALISIS ESTRUCUTURAL I

DELFOR VITOR AGUILAR

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EQUILIBRIO EN LOS NUDOS: M AB  8 A 5



8 A 5 12  25

12 





M BA  M BD

M BA  M BD 

25 4 B

......................... E1

0

4 A 5

M DB  M DE  50 

 50  

5

0

5

M DB  M DE  50

 MA

4 B





12 



25

16 B 5



4 D 5

......................... E2

0

12  25



4 B 5



16 D 5

 50

......................... E3

0

 M DE  M ED      10 5   

0

ANALISIS ESTRUCUTURAL I

DELFOR VITOR AGUILAR

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50 

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24 D  M DE  M ED  48     10    50 5 25 5 ......................... E4  

 A   B     D     

           

8

4

5

5

0

4 16

4

5

5

5

4

16

5

5

0 0

0

24 5

12 

1

 25  12  25   12  25  48   25 

 0    0    50   50   

POR LO TANTO TENEMOS

 A   4.464     B  8.929      22.321  D        29.762    HALLAMOS LOS MOMENTOS: M AB 

8 A 5



12  25



4 B 5

M AB  0

M BA 

4 A 5



12  25



8 B 5

M BA  3.572

M BD 

8  B 5



4 D 5

M BD  3.57

M DB  M DB

M DE 

4  B 5



8 D 5

28.57

12  25



8 D 5

M DE  21.428

ANALISIS ESTRUCUTURAL I

DELFOR VITOR AGUILAR

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M ED 

12  25



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4 D 5

M ED  3.571

ANALISIS ESTRUCUTURAL I

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PROBLEMA N°03 Graficar el DMF (Método de Hardy Cross).

SOLUCIÓN La estructura se puede resolver de la siguiente manera, colocando una restricción en el nudo Nº 3.

ANALISIS ESTRUCUTURAL I

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HALLANDO LOS RIGIDECES:

Nudo : 3

Nudo : 2 K 21 

2I  0.667 3

I  0.25 4  K  0.917 K 23

I  0.25 4 2I  3  K 37    0.5 3 4 2I K 34  0.5 4  K  1.25 K 32 

Nudo : 4

Nudo : 5

2I  0.5 4 I K 45   0.167 6  K  0.667

K54 

K 43 

I  0.167 6 2I  3  K56     0.214 7 4

 K  0.381

HALLANDO LOS COEFICIENTES DE DISTRIBUCIÓN.

CD12  0 K 21 0.667 CD21    0.727 K 21  K 23 O.667  0.25 CD23  0.273

CD43  0.75 CD45  0.25 CD54  0.438 CD56  0.562

CD32  0.2

CD65  1

CD37  0.4

CD73  1

CD34  0.4 PRIMERA ESTRUCTURA

ANALISIS ESTRUCUTURAL I

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Hallando el momento de empotramiento: Como vemos solo existe en los tramos 2-3 y 4-5:

1.5* 42  2Tn  m  M 32E  2Tn  m 12 2 * 62 M 45E    2  6Tn  m  M 54E  6Tn  m 12 M 23E  

Ahora procedemos a iterar:

NUDO ij CD ME D1 T1 D2 T2 D3 T3 D4 T4 D5 T1 D6 T2 ∑M

2

1 12

21

0.000 0 0.727

0.727 0 1.454

3 23

32

37

4 34

43

5 45

54

0.273 0.200 0.400 0.400 0.750 0.250 0.438 -2 2 0 0 0 -6 6 0.546 0.273 -0.2273 -0.4546 -0.9092 -0.9092 -0.4546 2.42048 4.84095 1.61365 2.42048 -1.84408 -3.68817 0.08262 0.16525 0.06205 0.03103 -0.24515 -0.4903 -0.9806 -0.9806 -0.4903 0.87539 1.75079 0.5836 0.2918 -0.0639 -0.12781 0.08911 0.17822 0.06693 0.03346 -0.09089 -0.18177 -0.36354 -0.36354 -0.18177 0.09213 0.18426 0.06142 0.03071 -0.00673 -0.01345

56

6 65

7 73

0.562 0

1.000 0

1.000 0

0

0

-4.73231

-0.16399

-0.01726

0.89874 1.79747 -1.88836 1.21082 -2.25334 1.13465 5.64932 -5.65605 4.91356 -4.91356

Hallando “R”: Aplicando sumatoria de fuerzas horizontales en la estructura del caso I:

F

H

0

 40  H1  R  0 1  R  40  ( M 120  M 210 ) 3 1 R  40  (0.8987  1.7975) 3  R  40.9 Tn

ANALISIS ESTRUCUTURAL I

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SEGUNDA ESTRUCTURA:

Como vemos que de la estructura solamente se deforma la barra 1-2, debido a que existen apoyos de rodillo en los nudos 6 y 7; que dejan desplazarse horizontalmente: Hallando los momentos de empotramiento producto del desplazamiento: Como vemos solo existe en los tramos 1-2 :

M 12E  M 21E   Sea 1 

6 E (2 I ) * 1 32

75  M 12E  M 21E  100Tn  m EI

Ahora procedemos a iterar:

NUDO ij CD ME D1 T1 D2 T2 D3 T3 D4 T4 D5 T1 D6 T2 MF

1 12 0.000 -100 36.35

21 0.727 -100 72.7

2

23 0.273 0 27.3 -1.365

32 0.200 0 13.65 -2.73

3 37 0.400 0 -5.46

34 0.400 0

43 0.750 0

-5.46 1.02375

-2.73 2.0475

4

45 0.250 0

54 0.438 0

5

56 0.562 0

7 73 1.000 0

0

0

0.6825 1.02375 -0.2242 -0.4484 -0.57535

0.496178 0.992355 0.372645 0.186323 -0.12101 -0.24201 -0.48403 -0.48403 -0.24201 0.174831 0.349662 0.116554 -0.01276 0.043986 0.087972 0.033035 0.016517 -0.01913 -0.03827 -0.07654 -0.07654 -0.03827 0.019137 0.038274 0.012758 -0.0014

0.058277 -0.02553 -0.03275 0.006379 -0.00279 -0.00359

-63.1098 -26.2197 26.20054 10.84256 -6.02057 -4.80285 -0.57485 0.573451 0.611684 -0.61168 ANALISIS ESTRUCUTURAL I

6 65 1.000 0

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Hallando “R”: Aplicando sumatoria de fuerzas horizontales en la estructura del caso II:

F

H

0

 H1  F  0 1  F   ( M 12F  M 21F ) 3 1 F   ( 63.11  26.22) 3  F  29.8 Tn Entonces el factor de corrección podemos determinar de la siguiente forma: Por superposición :

F

H

0

 R  xF  0 Reemplazando los valores respectivos tenemos:

40.9  x(29.8)  0

 x  1.372 Finalmente haciendo una corrección obtenemos los momentos finales:

M12 Mº 0.898736 X*(MF) -86.5867 Mij FINAL -85.688

M21 1.797471 -35.9734 -34.1759

M23 M32 -1.88836 1.210818 35.94714 14.87599 34.05878 16.0868

M37 -2.25334 -8.26022 -10.5136

M34 1.134654 -6.58951 -5.45486

M43 5.649323 -0.78869 4.860631

M45 -5.65605 0.786775 -4.86927

M54 4.913556 0.839231 5.752787

M56 M65 -4.91356 0 -0.83923 0 -5.75279 0

Finalmente hago la gráfica del DMF.

ANALISIS ESTRUCUTURAL I

DELFOR VITOR AGUILAR

M73 0 0 0