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• fernando4000

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___________________Movimiento Plano____

Problema MP_2: En la figura aparece el mecanismo biela-manivela del motor de explosión de un coche, que está constituido por cigüeñal, biela y émbolo. Si el cigüeñal (manivela) gira en el sentido antihorario con una velocidad angular constante ω. Cuando el coche se encuentra parado y con el motor encendido, calcular: 1. Velocidad lineal del punto B 2. Aceleración lineal de B 3. Velocidad lineal del émbolo 4. Velocidad angular de la biela AB 5. Aceleración angular de la biela AB 6. Velocidad de mínimo deslizamiento de la biela Se recomienda utilizar los ejes OXYZ representados en la figura y que están ligados al coche. Datos: OB = R AB = L = 3R

A

B ω

Z X

θ o

Y

Solución: Los sólidos del mecanismo se numeran del siguiente modo: -

S1: suelo S0: coche S2: manivela OB S3: biela AB S4: émbolo

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___________________Movimiento Plano____

Se utilizan los ejes XYZ recomendados en el enunciado y dadas las restricciones impuestas por el enunciado, sabemos que:

vA I 31

ω31

β

vB

ω21 = ω

Aplicando el teorema del seno en el triángulo OAB se obtiene la siguiente relación entre los ángulos:

R 3R L = = , con L = 3R senβ sen(90 − θ ) cos θ Por tanto se cumple que: cos θ =3senβ , siendo

θ =ωt (suponiendo θ 0 =0 en el instante inicial)

Cuando el coche se encuentra parado: el suelo y el coche son el mismo sólido, el movimiento relativo a ambos sólidos será el mismo. 1. Velocidad lineal del punto B.

v 20B = v 21B = v31B = ωR (− senθ j + cos θ k ) 2. Aceleración lineal de B.

a 20B = a 21B = ω 2 R (− cos θ j − senθ k ) 3. Velocidad lineal del émbolo. Si se establece campo de velocidades entre los puntos A y B de la biela, tendremos que:

v31A = v31B + ω 31 ∧ BA

v31A k = ωR (− senθ j + cos θ k ) + ω 31 (−i ) ∧ 3R( − senβ j + cos β k ) Operando e igualando componentes, se obtiene:

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___________________Movimiento Plano____

v31A = ωR (cosθ + senθ tgβ ) k

ω 31 =

ω senθ (−i ) 3 cos β

También se podría calcular la velocidad lineal del émbolo derivando su vector de posición

OA = ( R senθ + 3R cos β ) k 4. Velocidad angular de la biela AB. Se ha obtenido en el apartado anterior:

ω 31 =

ω senθ (−i ) 3 cos β

Pero también se podría calcular sin más que derivar la relación: Se obtiene:

cos θ =3senβ .

− ω senθ − senθ θ =3 cos β β , y por tanto: β = 3 cos β

5. Aceleración angular de la biela AB.

α 31 =

dω 31 = dt

Lsenββ 2 − R cos θ ω 2 i L cos β

6. Velocidad de mínimo deslizamiento de la biela. Por ser un movimiento plano, sabemos que será nula (

v31I 31 = 0 )

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS: Cuando el coche avanza en línea recta con velocidad v i constante: 7. Velocidad y aceleración lineal del punto B. 8. Elementos del movimiento helicoidal tangente de la biela. Solución: Cuando el coche avanza en línea recta con velocidad v i arrastre es una traslación con

v01B = v i

y

constante: Ahora el movimiento de

ω 01 = 0 .

7. Velocidad y aceleración lineal del punto B.

v 21B = v 20B + v01B = ωR (− senθ j + cos θ k ) + v i a 21B = a 20B + a 01B + 2ω 01 ∧ v 20B = ω 2 R (− cos θ j − senθ k ) 8. Elementos del movimiento helicoidal tangente de la biela.

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___________________Movimiento Plano____ ω senθ (−i ) 3 cos β

o

ω 31 =

o

v mínimo deslizamiento = − v i

o

Eirmd31 pasará por el punto I31 y tendrá la dirección del eje X.

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