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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL ANÁLISIS MATEMÁTICO II CENTROIDES DE VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN DOCENTE: Ing. Mauricio Basabe. ALUMNO: Kevin Caiza Mayra Chacón Mishell Chela SEMESTRE: Segundo Paralelo “2”

1

ÍNDICE INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... ii OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................. iii OBJETIVOS ESPECÍFICOS ..................................................................................................... iii DESARROLLO .............................................................................................................................. 1 1.

VOLUMEN DE REVOLUCIÓN ............................................................................................ 1 1.1.

MÉTODO DEL CILINDRO O DISCO ........................................................................... 1

1.1.1. 1.2.

MÉTODO DE LAS ARANDELAS ................................................................................. 4

1.2.1. 1.3.

EJERCICIO EJEMPLO ............................................................................................ 5

MÉTODO DE CASQUILLOS......................................................................................... 6

1.3.1. 1.4.

EJERCICIO EJEMPLO ............................................................................................ 3

EJERCICIO EJEMPLO ............................................................................................ 8

EJERCICIOS .................................................................................................................... 9

2.CENTROIDES DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN ............................................................ 18 2.1.

EJERCICIOS .............................................................................................................. 19

2.1 APLICACIONES DEL CENTROIDE ............................................................................... 28 3.CONCLUSIONES ..................................................................................................................... 29 4.BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................... 29

i

INTRODUCCIÓN

Uno de las aplicaciones de la integración, y en específico del tema de las integrales definidas es el cálculo de volúmenes y centroides en sólidos de revolución. La parte de la integración facilita el cálculo de volúmenes a partir de la definición de un elemento diferencial y de las funciones que los definen. Los sólidos de revolución no son más que el resultado de hacer girar o rotar una región limitada por funciones alrededor de un eje que pertenezca al mismo plano de éstas (las funciones). Para la determinación de estos volúmenes existen diferentes métodos como: el método de los discos, método de las arandelas y método de los casquillos o capas; cabe resaltar que cada uno tiene se fórmula de integración deducida previamente y en ocasiones estos tres métodos pueden ser aplicados al mismo ejercicio si lo que se quiere es facilitar el proceso de determinación de volumen. El desarrollo de cada método será explicado a lo largo de este texto. Otro tema a tratar es la determinación de centroides en este tipo de sólidos. A partir de la definición de centroide, el cual es la ubicación geométrica del centro del elemento (cuerpo) en el cual se encontrará estabilidad; se determina que para el caso de los sólidos de revolución sus centroides serán calculados por integración relacionando primer momento de volumen y teniendo en cuenta el centroide del elemento diferencial que se tome. Al igual que existen métodos para la determinación del volumen de este tipo de sólidos, también existen métodos para la determinación de sus centroides; se explicarán en este texto dos: por discos y por casquillos. En cuanto a su aplicación, este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción así, por ejemplo: ejes, embudos, pilares, botellas, émbolos, etc. De la misma manera, el tema de los centroides no es netamente teórico su determinación es importante, como ejemplo en ingeniería civil, para la estabilidad de edificios, construcción de presas, etc.

ii

OBJETIVO GENERAL Demostrar la importancia del uso de la integración para el cálculo de volúmenes y centroides en solidos de revolución, usando diferentes métodos. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Establecer los diferentes métodos que se usan para la determinación de volúmenes de este tipo de sólidos. 2. Diferenciar entre el método del disco, método de arandelas y método de casquillos para determinar el volumen de un sólido de revolución y saber emplearlos adecuadamente en la resolución de ejercicios. 3. Conocer la importancia del cálculo de centroides para la Ingeniería civil.

iii

DESARROLLO 1. VOLUMEN DE REVOLUCIÓN Los sólidos de revolución son aquellos que se obtiene al hacer rotar una región de un plano alrededor de una recta del plano, llamada eje de revolución, el cual puede intersectar o no a la región. 1.1.MÉTODO DEL CILINDRO O DISCO Sea 𝑓 una función continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], y suponiendo que 𝑓(𝑥) ≥ 0 para toda 𝑥 en [𝑎, 𝑏]. Sea R la región limitada por la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), el eje ̅̅̅̅ 𝑂𝑋 y las rectas verticales de ecuaciones 𝑥 = 𝑎 ; 𝑥 = 𝑏,

Imagen 1.- Método del disco Fuente.- Carreño, H (2015)

En el gráfico a) se muestra la región R y el k-ésimo rectángulo, el cual al ser rotado sobre el eje ̅̅̅̅ 𝑂𝑋 forma un cilindro (elemento diferencial) cuya base es un círculo con radio 𝑓(𝑎𝑘 ) y de altura 𝑑𝑥𝑘 , indicado en el gráfico b). Si ∆𝑉𝑘 unidades cúbicas es el volumen del cilindro (elemento diferencial), entonces: ∆𝑉𝑘 = 𝜋 ∗ [𝑓(𝑎𝑘 )]2 ∆𝑥𝑘 Como existe 𝑛 rectángulos, se obtienen 𝑛 cilindros (gráfico c)) de esta manera la suma del volumen de los n-cilindros será:

1

𝑛

𝑛

∑( ∆𝑉𝑘 ) = ∑( 𝜋 ∗ [𝑓(𝑎𝑘 )]2 ∆𝑥𝑘 ) 𝑘=1

𝑘=1

A partir de esta suma de Riemann, se deduce que V (volumen del solido de revolución) es el límite de esta suma cuando ∆𝑥𝑘 → 0, es decir cuando 𝑛 → ∞ el cual existe porque 𝑓 2 es continua en [𝑎, 𝑏], ya que función también lo es. 𝑛

𝑉 = lim ∑( 𝜋 ∗ [𝑓(𝑎𝑘 )]2 ∆𝑥𝑘 ) 𝑛→∞

𝑘=1 𝑏

𝑉 = 𝜋 ∗ ∫ [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑎

De la misma manera, se determina la fórmula para calcular el volumen de un sólido, si éste girara alrededor de un eje y o paralelo a este, con la diferencia que el elemento diferencial que se tome ahora, tendrá una altura 𝒅𝒚. Quedando su fórmula de la siguiente manera:

𝑏

𝑉 = 𝜋 ∗ ∫ [𝑓(𝑦)]2 𝑑𝑦 𝑎

2

1.1.1. EJERCICIO EJEMPLO El eje de rotación en el siguiente ejemplo no es el eje ̅̅̅̅ 𝑶𝑿, pero la regla para calcular el volumen es la misma

𝒃

𝑽 = 𝝅 ∗ ∫𝒂 [𝒇(𝒙)]𝟐 𝒅𝒙

1) Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la curva 𝑦 = √𝑥, y las rectas de ecuaciones 𝑦 = 1, 𝑥 = 4 ; alrededor de la recta horizontal 𝑦 = 1 Solución:

Altura= dx Radio=√𝑥 − 1

𝑏

𝑉 = 𝜋 ∗ ∫ [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑎

Si [𝑓(𝑥)]2 = (√𝑥 − 1)2 4

∴ 𝑉 = 𝜋 ∫ (√𝑥 − 1)2 𝑑𝑥 1 4

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑥 − 2√𝑥 + 1)𝑑𝑥 1 3

𝑥2 2𝑥 ⁄2 𝑉 = 𝜋[ −2∗ + 𝑥] 2 3

4

1

𝑽=

𝟕 𝝅 𝟔 3

1.2. MÉTODO DE LAS ARANDELAS Las arandelas son discos delgados con un agujero central. Este método es usado cuando la región plana R ya no interseca directamente con el eje de rotación, sino que ahora lo hace con otra función y la región que encierran las dos rotará sobre el eje, de modo que el elemento diferencial que ahora se forma serán arandelas. Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones continuas en el intervalo [𝑎, 𝑏], tales que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para toda x en [𝑎, 𝑏]. Se considera que el sólido engendrado al girar la región limitada por las curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑦 = 𝑔(𝑥) , alrededor del eje ̅̅̅̅ 𝑂𝑋, va a tener como sección producida un anillo (arandela o corona circular). Este anillo está limitado por un circulo de radio 𝑦1 = 𝑓(𝑥) y otro de radio 𝑦2 = 𝑔(𝑥). Por tanto, el área de la base de esta arandela será: 𝐴(𝑥) = 𝜋 ∙ {[𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2 } En consecuencia, el volumen de este solido de revolución tendrá como fórmula: 𝑏

𝑉 = 𝜋 ∗ ∫ {[𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2 } 𝑑𝑥 𝑎

Ejemplo gráfico del método

Imagen 2.- Método de arandelas Fuente.- Carreño, H (2015)

4

1.2.1. EJERCICIO EJEMPLO 2) La región del primer cuadrante acotada por la parábola 𝑦 = 𝑥 2 , el eje ̅̅̅̅ 𝑶𝑿 y la recta 𝑥 = 1 3

, gira alrededor de la recta 𝑥 = 2 , para generar un sólido. Halle el volumen del sólido generado.

𝑏

𝑉 = 𝜋 ∫ {[𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2 } 𝑑𝑦 𝑎 3

3

Si [𝑓(𝑥)]2 = (2 − √𝑦)2 Y [𝑔(𝑥)]2 = (2 − 1)2 1 3 3 ∴ 𝑉 = 𝜋 ∫ ( − √𝑦)2 − ( − 1)2 𝑑𝑦 2 0 2 1

9 1 𝑉 = 𝜋 ∫ ( − 3√𝑦 + 𝑦 − )𝑑𝑦 4 0 4 1

𝑉 = 𝜋 ∫ (2 − 3√𝑦 + 𝑦)𝑑𝑦 0 1

𝑉 = 𝜋 [2𝑦 −

3 2𝑦 ⁄2

𝑦2 + ] 2 0

1 𝑉= 𝜋 2 5

1.3. MÉTODO DE CASQUILLOS En algunos casos calcular el volumen de un sólido de revolución por arandelas se complica debido a que las función o funciones (radios) se tiene que elevar al cuadrado, por lo que es más recomendable el método de los casquillos. Suponiendo que se hace girar la región de una figura alrededor del eje ̅̅̅̅ 𝑂𝑌 para generar un sólido. Calculando el volumen de un casquillo se obtiene que:

Imagen 3.- Método de los casquillos-elemento diferencial Fuente.- Carreño, H (2015)

𝑉𝐶 = 𝑉2 − 𝑉1 𝑉𝐶 = 𝜋𝑟22 ℎ − 𝜋𝑟12 ℎ 𝑉𝐶 = 𝜋ℎ(𝑟22 − 𝑟12 ) 𝑉𝐶 = 𝜋ℎ(𝑟2 + 𝑟1 )(𝑟2 − 𝑟1 ) 𝑉𝐶 = 2𝜋ℎ

( 𝑟2 + 𝑟1 ) (𝑟2 − 𝑟1 ) 2

𝑉𝐶 = 2𝜋ℎ𝑟∆𝑟

6

𝑉𝐶 = 2𝜋 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ∗ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 ∗ 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 Ahora bien, el volumen del solido de revolución se obtendrá al sumar los n-ésimos casquillos que se formaran en el sólido, teniendo en cuenta que su espesor será una cantidad infinitamente pequeña. Ejemplo gráfico

Imagen 4.- Método de los casquillos Fuente.- Carreño, H (2015)

Por tanto, 𝑛

𝑛

∑( ∆𝑉𝑖 ) = ∑(2 𝜋 ∙ 𝑥𝑖 ∙ 𝑓(𝑎𝑖 ) ∙ ∆𝑥𝑖 ) 𝑖=1

𝑖=1 𝑛

𝑉 = lim ∑(2 𝜋 ∙ 𝑥𝑖 ∙ 𝑓(𝑎𝑖 ) ∙ ∆𝑥𝑖 ) 𝑛→∞

𝑖=1 𝑏

𝑉 = 2𝜋 ∗ ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

De la misma manera, se determina la fórmula para calcular el volumen de un sólido, si éste girara alrededor de un eje x o paralelo a este, con la diferencia que el elemento diferencial (casquillo) que se tome ahora, tendrá una espesor 𝒅𝒚. Quedando su fórmula de la siguiente manera. 𝑏

𝑉 = 2𝜋 ∗ ∫ 𝑦 ∙ 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 𝑎

7

1.3.1. EJERCICIO EJEMPLO Hallar el volumen del solido generado al girar la región limitada por 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 + 1 , 𝑦 = 1, 𝑥 = 1 ; alrededor de 𝑥 = 2

𝑏

𝑉 = 2𝜋 ∗ ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

Si 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑓(𝑥) − 1 ; 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 2 − 𝑥 Y 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 = 𝑑𝑥 1

𝑉 = 2𝜋 ∫ (2 − 𝑥) ∙ (𝑥 3 + 𝑥 + 1 − 1) 𝑑𝑥 0 1

𝑉 = 2𝜋 ∫ (2 − 𝑥) ∙ (𝑥 3 + 𝑥) 𝑑𝑥 0 1

𝑉 = 2𝜋 ∫ (2𝑥 3 + 2𝑥 − 𝑥 4 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 0 1

𝑥4 𝑥5 𝑥3 𝑉 = 2𝜋 [ + 𝑥 − − ] 2 5 3 0 29

29

𝑉 = 2𝜋 ∗ 30 → 𝑉 = 15 𝜋

8

1.4. EJERCICIOS 1) Hallar el volumen del solido generado al girar la región limitada por 𝑥 = (𝑦 − 1)2 ; 𝑦 = 𝑥 − 1 ; que rota en 𝑦 = −2

𝑥 = (𝑦 − 1)2 ; 𝑦 = √𝑥 + 1 ; 𝑦 = −√𝑥 + 1 𝑦 =𝑥−1 𝑦 = −2

Arandela 1

Arandela 2

𝑅1 = 2 + 𝑦 = 2 + (√𝑥 + 1)

𝑅2 = 2 + 𝑦 = 2 + (√𝑥 + 1)

𝑅1 = 3 + √𝑥

𝑅2 = 3 + √𝑥

𝑟1 = 2 + 𝑦 = 2 + (−√𝑥 + 1)

𝑟2 = 2 + 𝑦 = 2 + (𝑥 − 1)

𝑟1 = 3 − √𝑥

𝑟2 = 1 + 𝑥

ℎ = 𝑑𝑥

ℎ = 𝑑𝑥 9

Arandela 2

Arandela 1

4

1

𝑉2 = ∫ 𝜋[(𝑅2 )2 − (𝑟2 )2 ]ℎ

𝑉1 = ∫ 𝜋[(𝑅1 )2 − (𝑟1 )2 ]ℎ

1

0 1

2

4

2

2

𝑉1 = ∫ 𝜋 [(3 + √𝑥) − (𝑥 + 1)2 ] 𝑑𝑥

𝑉1 = ∫ 𝜋 [(3 + √𝑥) − (3 − √𝑥) ] 𝑑𝑥

1

0

4

1

𝑉1 = 𝜋 ∫ [9 + 6√𝑥 + 𝑥 − 𝑥 2 − 2𝑥 − 1]𝑑𝑥

𝑉1 = 𝜋 ∫ [9 + 6√𝑥 + 𝑥 − 9 + 6√𝑥 − 𝑥]𝑑𝑥

1

0

4

1

𝑉1 = 𝜋 ∫ [6√𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 + 8]𝑑𝑥

𝑉1 = 𝜋 ∫ [12√𝑥]𝑑𝑥

1

0 1

𝑉1 = 12𝜋 ∫

4

1 𝑥 2 𝑑𝑥

1

𝑉1 = 𝜋 ∫ 6𝑥 2 − 𝑥 2 − 𝑥 + 8𝑑𝑥 1

0

4

2 31 𝑉1 = 12𝜋 [ 𝑥 2 ] 3 0

2 3 𝑥3 𝑥2 𝑉1 = 𝜋 [6 ∗ 𝑥 2 − − − 8𝑥] 3 3 2 1

2 3 2 3 𝑉1 = 12𝜋 [ 12 − 02 ] 3 3

3

𝑉1 = 𝜋 [4 (42 ) −

43 42 67 − − 8(4) − ] 3 2 6

𝑉1 = 8𝜋 𝑢3 𝑉1 =

47 𝜋 𝑢3 2

Volumen Total 𝑉𝑇 = 𝐴𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑙𝑎1 + 𝐴𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑙𝑎2 𝑉𝑇 = 8𝜋 + 𝑉𝑇 =

47 𝜋 2

63 𝜋 𝑢3 2

10

2) Hallar el volumen del solido generado al girar la región limitada

𝑦 = 2𝑥 2 ; 𝑦 = 2𝑥 +

4 que rota en 𝑥 = 2 𝑦

𝑦

𝑦 = 2𝑥 2 ; 𝑥 = √ 2 ; 𝑥 = −√2 𝑦 = 2𝑥 + 4 ; 𝑥 =

𝑦−4 2

𝑥=2

Arandela 1

Arandela 2

𝑦 𝑅1 = 2 − 𝑥 = 2 − (−√ ) 2

𝑅1 = 2 − 𝑥 = 2 − (

𝑦 𝑅1 = 2 + √ 2

𝑅1 = 2 −

𝑦 𝑟1 = 2 − 𝑥 = 2 − (√ ) 2 𝑦 𝑟1 = 2 − √ 2 ℎ = 𝑑𝑦

𝑦−4 ) 2

𝑦−4 2

𝑦 𝑟1 = 2 − 𝑥 = 2 − (√ ) 2 𝑦 2

𝑟1 = 2 − √ ℎ = 𝑑𝑦

11

Arandela 2

Arandela 1

8

2

𝑉2 = ∫ 𝜋[(𝑅1 )2 − (𝑟1 )2 ]ℎ

𝑉1 = ∫ 𝜋[(𝑅1 )2 − (𝑟1 )2 ]ℎ

2

0 2

2

𝑦 𝑦 𝑉1 = ∫ 𝜋 [(2 + √ ) − (2 − √ ) ] 𝑑𝑦 2 2 0 2

𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑉1 = 𝜋 ∫ [4 + 4√ + − 4 + 4√ − ] 𝑑𝑦 2 2 2 2 0 𝑦 𝑉1 = 𝜋 ∫ [8√ ] 𝑑𝑦 2 0 𝑉1 = 8𝜋 ∫ 0

1 √2

𝑦−4 𝑦−4 2 𝑦 𝑦 𝑉2 = 𝜋 ∫ [4 − 4 ( )+( ) − 4 + 4√ − ] 𝑑𝑦 2 2 2 2 2 8

8 1 𝑦 𝑦 𝑉2 = 𝜋 ∫ [−2(𝑦 − 4) + (𝑦 − 4)2 + 4√ − ] 𝑑𝑦 4 2 2 2

2

2

2

𝑦−4 2 𝑦 𝑉2 = ∫ 𝜋 [(2 − ) − (2 − √ ) ] 𝑑𝑦 2 2 2 8

2

8

1 𝑦 2 𝑑𝑦

𝑉2 = 𝜋 ∫ [−2𝑦 + 8 + 2

𝑦2 𝑦 𝑦 − 2𝑦 + 4 + 4√ − ] 𝑑𝑦 4 2 2

8

𝑦2 𝑦 9𝑦 𝑉2 = 𝜋 ∫ [12 + + 4√ − ] 𝑑𝑦 4 2 2 2

8𝜋 2 3 2 𝑉1 = [ 𝑦2] √2 3 0

8 1 1 9 𝑉2 = 𝜋 ∫ [ 𝑦 2 − 𝑦 + 2√2 𝑦 2 + 12] 𝑑𝑦 2 2 4

8𝜋 2 3 2 3 𝑉1 = [ ∗ 22 − ∗ 02 ] 3 √2 3

8

32𝜋 3 𝑉1 = 𝑢 3

1 9 4√2 3 𝑉2 = 𝜋 [ 𝑦 3 − 𝑦 2 + 𝑦 2 + 12𝑦] 12 4 3 2 𝑉2 = 𝜋 [ 𝑉2 =

112 − 21] 3 49𝜋 3 𝑢 3

Volumen Total 𝑉𝑇 = 𝐴𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑙𝑎1 + 𝐴𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑙𝑎2 𝑉𝑇 =

32𝜋 49𝜋 + 3 3

𝑉𝑇 = 27𝜋 𝑢3

12

3) Calcule el volumen resultante al rotar la región encerrada por la hipérbola 𝑦 2 − 𝑥 2 = 1 𝑦 = 2 en torno al eje x y el eje y.

Sea : 𝑦 2 − 𝑥 2 = 1, entonces si (𝑥0 , 𝑦0 ) se sigue que (−𝑥0 , 𝑦0 )y(𝑥0 , −𝑦0 ) también pertenecen a F y por lo tanto la función es simétrica en torno al eje X. Grafiquemos entonces solamente en el primer cuadrante, i.e. 𝑦 = √(𝑥 2 + 1)

Luego, la región y los sólidos generados son los siguientes:

13

Imagen 5.- ejercicio 3 Fuente.- Carreño, H (2015)

Ahora calculamos los sólidos. Para el eje OX es directo, los extremos los obtenemos resolviendo√𝑥 2 + 1 = 2 → 𝑥 = ±√3, con lo cual: √3

𝜋[4 − (1 + 𝑥 2 )] 𝑑𝑥

𝑉𝑥 = ∫

−√3 √3

= 2𝜋 ∫ (3 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 0

= 2𝜋 (3√3 −

3√3 ) 3

𝑉𝑥 = 4𝜋√3 Para el eje OY lo haremos por cascarones para demostrar que también es posible. En este caso, para obtener el resultado mediante cascarones cilíndricos debemos restar correctamente las alturas involucradas: √3

𝑉𝑦 = 2𝜋 ∫

𝑥 [2 − √1 + 𝑥 2 ] 𝑑𝑥

0

14

√3

√3

2𝑥√1 + 𝑥 2 𝑑𝑥)

= 2𝜋 (∫ 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 0

0

1 √3 = 2𝜋 (3 − ∫ √1 + 𝑢 𝑑𝑢) 2 0 1 2 3 = 2𝜋 (3 − . (1 + 𝑢) ⁄2 ) 2 3 = 2𝜋 (3 −

𝑉𝑦 =

8 1 + ) 3 3

4𝜋 3

4) Hallar el volumen del sólido obtenido al rotar la región R en torno al eje Y donde 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 ∶ 𝑦 2 ≤ 4𝑥,

𝑥 2 ≥ 4𝑦,

𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 12}

Lo primero que debemos hacer es determinar la región de revolución. Para ello graficamos las dos curvas considerando que las dos primeras son parábolas (de hecho son la misma parábola pero con distinta dependencia) y la ´ultima es una circunferencia de radio 2√3. Con estas consideraciones, los gráficos son más o menos como sigue: y la región es muy fácil de determinar:

Imagen 6.- ejercicio 4 Fuente.- Carreño, H (2015)

El resultado de hacer esto mediante fórmula directa en el eje y nos resultará complicado ya que no se generará una figura como la que queremos de forma directa. Por esta razón es que usaremos 15

integración mediante cascarones cilíndricos, dividiendo la región en 2: 𝑅 = 𝑅1 ∪ 𝑅2 donde 𝑅1 es la región delimitada hasta que la curva verde se intersecta con la roja y 𝑅2 lo restante. La justificación de esta división pasa porque las alturas de los cascarones serán variables según la curva delimitada. 𝑥̅

𝑉𝑅1 = 2𝜋 ∫0 𝑥 (2√𝑥 −

𝑥2 4

) 𝑑𝑥

¿Cuánto vale 𝑥̅ ? Queda determinado por el punto de intersección de ambas curvas: 1. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 12 2. 𝑦 2 = 4𝑥 Restando 𝑥 2 + 𝑦 2 − 12 = 0 → (𝑥 − 2)(𝑥 + 6) = 0 ∴ 𝑥̅ = 2 En consecuencia, 2

𝑉𝑅1

𝑥2 = 2𝜋 ∫ 𝑥 (2√𝑥 − ) 𝑑𝑥 4 0 2

𝑉𝑅1

2

𝑥3 = 2𝜋 {∫ (2𝑥 √𝑥)𝑑𝑥 − ∫ ( )𝑑𝑥} 0 0 4 2

𝑉𝑅1

4𝑥 5/2 𝑥 4 = 2𝜋 ( − ) 5 16 0 𝑉𝑅1 = 7,06𝜋

𝑥̅

𝑉𝑅2

= 2𝜋 ∫ 𝑥 (√12 − 𝑥 2 − 2

𝑥2 ) 𝑑𝑥 4

¿Cuánto vale 𝑥̅ ? Queda determinado por el punto de intersección de ambas curvas: 1. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 12 2. 𝑥 2 = 4𝑦 12 − 𝑦 2 = 4𝑦 16

𝑦 2 + 4𝑦 − 12 = 0 ∴𝑦=2 ∴ 𝑥 = 2√2 En consecuencia, Sustitución: 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 𝑑 2 = 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 ̅̅̅̅̅̅

𝑉𝑅2

1 2√2 𝑢 = 2𝜋 ∙ ∫ (√12 − 𝑢 − ) 𝑑𝑢 2 2 4 ̅̅̅̅̅̅ 2√2

𝑉𝑅2 = 𝜋 (∫

̅̅̅̅̅̅ 2√2

√12 − 𝑢 𝑑𝑢 − ∫

2

0

𝑢 𝑑𝑢) 4

Sustitución: 𝑤 = 12 − 𝑢 𝑑𝑤 𝑑 = (12 − 𝑢) 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑤 = −𝑑𝑢 ̅̅̅̅̅̅ 2√2

𝑉𝑅2 = 𝜋 (− ∫

̅̅̅̅̅̅ 2√2

√𝑤 𝑑𝑤 − ∫

2

0

𝑢 𝑑𝑢) 4 2√2

𝑉𝑅2

2(12 − 𝑥 2 )3/2 (𝑥)4 = 𝜋( − ) 3 8 2 𝑉𝑅2 = 3,75𝜋 𝑉𝑅2 = 10,81𝜋

17

2.CENTROIDES DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN Si un objeto es subdividido en elementos (elemento diferencial) de volumen dV, la ubicación del centroide C (x, y, z) para el volumen del objeto puede ser determinada calculando los "momentos" de los elementos con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Resultando:

Imagen 7.- Centroides Fuente.- Meriam,J y Kraige,L 𝑏

𝑏

𝑏

∫𝑎 𝑑𝑉

∫𝑎 𝑑𝑉

∫𝑎 𝑑𝑉

∫ 𝑥𝑐 ∙𝑑𝑉 ∫ 𝑦𝑐 ∙𝑑𝑉 ∫ 𝑧𝑐 ∙𝑑𝑉 𝑋̅ = 𝑎 𝑏 ; 𝑌̅ = 𝑎 𝑏 ; 𝑍̅ = 𝑎 𝑏

En el caso de los centroides de solidos de revolución debido a que estos giran sobre un eje, el sólido que se forma tiene una centroide compuesto de una coordenada o en ocasiones de dos. Elemento diferencial.- Para este tipo de solidos se toma como elementos diferenciales a un cilindro de volumen (𝑑𝑉 = 𝜋 ∗ [𝑟]2 𝑑𝑥) o (𝑑𝑉 = 𝜋 ∗ [𝑟]2 𝑑𝑦) dependiendo el eje sobre el que gira el sólido. Otro elemento diferencial tomado es el casquillo. Para considerar el radio de nuestro elemento diferencial, en este caso el cilindro, lo primordial será considerar la distancia del eje de rotación hacia la función real que está generando el cuerpo de revolución Centroide.- Para determinar nuestra coordenada centroidal dependerá del eje donde se esté haciendo rotar la función (ejes x, y, z). Ya que nuestro centroide tendrá una única coordenada 𝑥̃, 𝑦̃ o 𝑧̃ según lo determine nuestro eje de rotación. Y esta coordenada centroidal será únicamente la distancia del centroide de nuestro elemento diferencial hacia nuestro eje original.

18

2.1.EJERCICIOS 1) Localizar el centroide de un hemisferio de radio r con respecto a su base, el cual está definido por

𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝒓𝟐 y está girando en OY

Solución Por simetría, la semiesfera tendrá 𝑋̅ y 𝑍̅ = 0. Por tanto, tendrá un centroide de coordenada Y 𝑏

𝑌̅ =

∫𝑎 𝑦𝑐 ∙ 𝑑𝑉 𝑏

∫𝑎 𝑑𝑉

Por discos 1.

𝑦𝑐 = 𝑦 𝑏

𝑟

2. ∫𝑎 𝑦𝑐 ∙ 𝑑𝑉 = ∫0 𝑦 ∙ 𝜋[𝑧]2 𝑑𝑦

Imagen 8.- ejercicio 1.1: Centroides Fuente.- Meriam,J y Kraige,L

19

𝑟

=∫0 𝑦 ∙ 𝜋[𝑧]2 𝑑𝑦 𝑟

= ∫ 𝑦 ∙ 𝜋 ∙ (𝒓𝟐 − 𝒚𝟐 )𝑑𝑦 0 𝑟

= 𝜋 ∙ ∫ (𝒓𝟐 𝒚 −𝒚𝟑 )𝑑𝑦 0

𝑟

𝒚𝟐 𝒚𝟒 𝟐 = 𝜋 ∙ [𝒓 − ] 𝟐 𝟒 0 𝑏 1 ∫ 𝑦𝑐 ∙ 𝑑𝑉 = 𝜋𝒓𝟒 4 𝑎

𝑏

𝑟

3. ∫𝑎 𝑑𝑉 = 𝜋 ∫0 [𝑧]2 𝑑𝑦 𝑏

𝑟

𝑉 = ∫ 𝑑𝑉 = 𝜋 ∫ (𝒓𝟐 − 𝒚𝟐 )𝑑𝑦 𝑎

0 𝑟

𝒚𝟑 = 𝜋 [𝒓 𝒚 − ] 𝟑 0 𝟐

𝑉=

2 𝟑 𝜋𝒓 3

𝑏

∫ 𝑦𝑐 ∙𝑑𝑉 4. 𝑌̅ = 𝑎 𝑏 ∫𝑎 𝑑𝑉

1 𝟒 𝜋𝒓 𝑌̅ = 4 2 𝟑 3 𝜋𝒓 3 𝑌̅ = 𝑟 8

20

Por casquillos

𝑦𝑐 =

1.

𝑏 ∫𝑎 𝑦𝑐

2.

𝑦 2 𝑟𝑦

∙ 𝑑𝑉 = ∫0 𝑟

∫ 0

∙ 2𝜋 ∙ 𝑧 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝑧

2

𝑦 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑧 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝑧 2 𝑟

= 𝜋 ∙ ∫ 𝑦 2 ∙ 𝑧 𝑑𝑧 0 𝑟

= 𝜋 ∙ ∫ (𝒓𝟐 − 𝒛𝟐 ) ∙ 𝑧 𝑑𝑧 0 𝑟

= 𝜋 ∙ ∫ (𝒓𝟐 𝒛 −𝒛𝟑 )𝑑𝑧 0 𝑟

𝒛𝟐 𝒛𝟒 = 𝜋 ∙ [𝒓 − ] 𝟐 𝟒 0 𝟐

Imagen 9.- ejercicio 1.2: Centroides Fuente.- Meriam,J y Kraige,L 𝑏 1 ∫ 𝑦𝑐 ∙ 𝑑𝑉 = 𝜋𝒓𝟒 4 𝑎 𝑏

𝑟

3. ∫𝑎 𝑑𝑉 = 2𝜋 ∫0 𝑧 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝑧 𝑏

𝑟

𝑉 = ∫ 𝑑𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑧 ∙ √𝒓𝟐 − 𝒛𝟐 𝑑𝑧 𝑎

0

Sustitución: 𝑢 = 𝒓𝟐 − 𝑧 2 𝑑𝑢 𝑑 𝟐 = (𝒓 − 𝑧 2 ) 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑢 = −2𝑧 𝑑𝑧 𝑟

= −𝜋 ∫ 𝑢

1⁄ 2 𝑑𝑢

0

21

𝑟 𝟐 𝟐 2 )𝟑⁄𝟐 (𝒓 = −𝜋 [ ∙ −𝑧 ] 𝟑 0

𝑉=

2 𝟑 𝜋𝒓 3

𝑏

∫ 𝑦𝑐 ∙𝑑𝑉 5. 𝑌̅ = 𝑎 𝑏 ∫𝑎 𝑑𝑉

1 𝟒 𝜋𝒓 𝑌̅ = 4 2 𝟑 3 𝜋𝒓 3 𝑌̅ = 𝑟 8

2) Hallar la distancia 𝑧̅ entre el vértice de un cono recto de revolución y el centroide de su volumen.

𝑦̅ =

∫ 𝑦̃ 𝑑𝑣 ∫ 𝑑𝑣

𝑦̃ = 𝑦 ℎ

1. ∫ 𝑦̃ 𝑑𝑣 = ∫0 𝑦 ∙ 𝜋 ∙ (𝑟)2 𝑑𝑦 22

𝑟 = 𝑓(𝑦)

Donde

𝑦 −𝑦

La función: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 −𝑥1 (𝑥 − 𝑥1 ) 2

1

ℎ−0 (𝑥 − 𝑎) 0−𝑎 𝑦𝑎 𝑥=𝑎− ℎ

𝑦−0=

ℎ

ℎ

∴ ∫ 𝑦 ∙ 𝜋 ∙ (𝑟)2 𝑑𝑦 = ∫ 𝑦 ∙ 𝜋 ∙ (𝑎 − 0

0

𝑦𝑎 2 ) 𝑑𝑦 ℎ

𝑎(ℎ − 𝑦) 2 = 𝜋∫ 𝑦∙( ) 𝑑𝑦 ℎ 0 ℎ

=𝜋

𝑎2 ℎ ∫ 𝑦(ℎ2 − 2ℎ𝑦 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑦 2 ℎ 0 ℎ

𝜋𝑎2 𝑦 2 ℎ2 2ℎ4 ℎ4 = 2 [ − + ] ℎ 2 3 4 0 =

𝜋𝑎2 ℎ4 2ℎ𝑦 3 𝑦 4 { − + } ℎ2 2 3 4 =

𝜋𝑎2 ℎ2 { } ℎ2 12

= 2. ∫ 𝑑𝑣 =

𝜋𝑎2 ℎ2

𝜋𝑎2 ℎ2 12

ℎ

∫0 (ℎ2 − 2ℎ𝑦 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑦 ℎ

𝜋𝑎2 𝑦3 = 2 [ℎ2 𝑦 − ℎ𝑦 2 + ] ℎ 4 0 =

𝜋𝑎2 3 ℎ3 3 {ℎ − ℎ + } ℎ2 4 =

3. 𝑦̅ =

𝜋𝑎2 ℎ 3

∫ 𝑦̃ 𝑑𝑣 ∫ 𝑑𝑣

23

𝜋𝑎2 ℎ2 𝑦̅ = 122 𝜋𝑎 ℎ 3 𝑦̅ =

ℎ 4

Finalmente, 𝑧̅ = ℎ − 𝑧̅ =

ℎ 4

3 ℎ 4

3) Calcular el centroide de un sólido que se forma al hacer girar la superficie limitada por 𝜋

las rectas 𝑦 = 0 y 𝑥 = 4 , la curva 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) al hacer girar alrededor del eje 𝑥.

𝑏

𝑋̅ =

∫0 𝑥𝑓(𝑥)2 𝑑𝑥 𝑏

∫0 𝑓(𝑥)2 𝑑𝑥 𝜋

𝑋̅ =

𝜋 ∫04 𝑥𝑠𝑖𝑛2 (2𝑥)𝑑𝑥 𝜋

𝜋 ∫04 𝑠𝑖𝑛2 (2𝑥)𝑑𝑥

24

𝜋 4

= ∫ 𝑠𝑖𝑛2 (2𝑥)𝑑𝑥 0

=∫

𝜋 41

0

2

[1 − cos(4𝑥)]𝑑𝑥

𝜋

𝜋

4 1 4 = [∫ 𝑑𝑥 − ∫ cos(4𝑥) 𝑑𝑥] 2 0 0

= ∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑢)𝑑𝑢 𝑧 = 𝑎𝑢

;

𝑑𝑢 =

𝑑𝑧 𝑎

= ∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝑧)𝑑𝑧 1

= 𝑎 ∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝑧)𝑑𝑧 1

= 𝑎 𝑠𝑖𝑛(𝑧) 1

= 𝑎 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑢) Reemplazando 𝜋

4 1 1 = {𝑥 [− sin(4𝑥)] } 2 4 0 𝜋

4 1 1 = [𝑥 − sin(4𝑥)] 2 4 0 1 𝜋

1

𝜋

1

1

= 2 [ 4 − 4 sin (4. 4 )]-2 [0 − 4 sin(0)] =

𝜋 8

25

𝜋 4

= ∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛2 (2𝑥)𝑑𝑥 0

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 𝑢=𝑥

𝑑𝑣 = 𝑠𝑖𝑛2 (2𝑥)

;

𝑣 = ∫ 𝑠𝑖𝑛2 (2𝑥)𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

1

1

𝑣 = 2 [𝑥 − 4 sin(4𝑥)]

Reemplazando 𝜋

𝜋

4 41 1 1 1 = 𝑥 [𝑥 − sin(4𝑥)] − ∫ [𝑥 − sin(4𝑥)] 𝑑𝑥 2 4 4 0 0 2

=

1 𝜋 𝜋 1 𝜋 1 1 ∙ [ − sin (4 ∙ )] − (0) [0 − sin(4 ∙ 0)] 2 4 4 4 4 2 4

=

1 𝜋 𝜋 ∙ [ ] 2 4 4

=

𝜋2 32

Haciendo

∫

𝜋 41

0

1 [𝑥 − sin(4𝑥)] 𝑑𝑥 2 4 𝜋

𝜋

1 4 1 4 = [∫ 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ sin(4𝑥) 𝑑𝑥] 2 0 4 0 𝜋

𝜋

4 1 𝑥2 4 1 1 = {[ ] − [− ∙ cos(4𝑥)] } 2 2 0 4 4 0

26

𝜋

4 1 𝑥2 1 = [ + cos(4𝑥)] 2 2 16 0

1 1 𝜋 2 1 𝜋 1 02 1 = [ ( ) + cos (4 ∙ )] − [ + cos(4 ∙ 0)] 2 2 4 16 4 2 2 16 =

1 1 𝜋2 1 1 1 [ ∙ − ]− [ ] 2 2 16 16 2 16

=

𝜋2 1 1 − − 64 16 32

=

𝜋2 2 − 64 32

Reemplazando =

𝜋2 𝜋2 2 −( − ) 32 64 32

=

𝜋2 𝜋2 2 − + 32 64 32

=

𝜋2 2 + 64 32

=

𝜋2 + 4 64

Respuesta total

𝑋̅ =

𝜋 ∫04 𝑥𝑠𝑒𝑛2 (2𝑥)𝑑𝑥 𝜋 ∫04 𝑠𝑒𝑛2 (2𝑥)𝑑𝑥

𝜋2 + 4 𝑋̅ = 64 → 𝜋 8 𝑋̅ =

𝜋2 + 4 8𝜋 27

2.1 APLICACIONES DEL CENTROIDE En la Ingeniería Civil los centroides al igual que el centro de gravedad son aplicados en la Ingeniería de Caminos, al momento de construir una viga para poder centrar las líneas horizontales y verticales, la separación de carriles y más aún en las curvas es muy importante el cálculo del centroide para poder ubicar y construir la vía de manera correcta. Otra aplicación del centroide se da en las vigas, pues aquí se necesita hacer el cálculo del centroide, punto donde actúan las fuerzas externas, sabemos que una viga está sometida a flexión, cuya resistencia provoca deformaciones, por ende al encontrar si centroide se puede evitar que la viga llegue a su punto de ruptura ubicando una columna como un soporte o ayuda para mantener firme el peso que se encuentra sobre la viga ya sea losa o techo. De la misma manera se aplica en puentes o en losas pues con el centroide de estos se consideran pilares de apoyo y esto evita que estas colapsen. También el centroide se usa en mecánica de fluidos en las placas sumergidas, sean estos tanques de almacenamiento o muros de contención. En los muros de contención de las presas la fuerza que ejerce el agua tiende a romper la pared, es por eso que se calcula el centro de presión y el centroide de este muro para poder ubicar los contrafuertes necesarios para brindar el apoyo al muro y así el agua no lo pueda tumbar.

Imagen 10- Aplicaciones de centroides Fuente.- Sebastián Soto (2014)

28

3.CONCLUSIONES 

 

Con el desarrollo de esta investigación pudimos reforzar los conocimientos adquiridos en clase, mediante el análisis de los diferentes métodos que facilitan la resolución de los ejercicios planteados. La resolución de ejercicios de centroides de revolución nos permitió comprender la importancia y aplicación de estos conceptos para la Ingeniería Civil. La aplicación de la integral indefinida es un método que nos ayuda en el cálculo de algunas propiedades geométricas, sin ningún porcentaje de error.

4.BIBLIOGRAFÍA

Jesús del Valle Sierra. (2006). Elementos básicos de cálculo integral y series. Recuperado el 29 de enero de 2020, de http://recursos.salonesvirtuales.com/assets/bloque/Univer_Antioquia_Aplicacionesintegra l.pdf Meriam,J y Kraige,L. Mecánica para ingenieros, Estática. 3era Edición, Editorial Reverté S.A Sebastián Soto (2014). Resumen de conceptos y problemas resueltos. Recuperado el 29 de enero de 2020, de https://sebastian.soto.sh/static/mat1620_compilado20a5175a89fc85bd57e3451432303247.pdf Ayers, Frank. Serie de Compedios Schaum. 4ta Edición, Editorial Libros Mcgraw-hill de Mexico Carreño, H (2015). Parte 2: Calculo del Volumen de un Sólido de Revolución. recuperado el 29 de enero de 2020, de https://www.studocu.com/es/document/universidad-de-santiago-dechile/calculo-ii-para-ingenieria/apuntes/parte-2-calculo-del-volumen-de-un-solido-derevolucion/2372562/view

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