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• Jorge Luis Alcalde Ruiz

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Sistema cristalino hexagonal Los minerales son sustancias químicas cuyos átomos están ordenados espacialmente según tres direcciones cristalográficas (ejes cristalográficos x, y, z) que forman entre ellos determinados ángulos (ángulos axiales) y, según estas direcciones los átomos (conjuntos de átomos o moléculas) se repiten a una distancia constante según cada eje, llamadaperiodicidad (parámetros unidad). El conjunto de los ejes cristalográficos, con sus respectivos ángulos, y de los parámetros unidad constituyen un paralelepípedo llamado “celdilla unidad”. Según Bravais (1811-1863), existen 14 posibles combinaciones sin repetición de estas constantes cristalográficas, que, a su vez se agrupan en 6 Sistemas Cristalinos: Triclínico, Monoclínico, Rómbico, Hexagonal y Trigonal, Tetragonal y Cúbico.

El sistema cristalino hexagonal caracterizado porque dos de los parámetros unidad son iguales entre ellos y distintos al tercero. Dos de los ángulos axiales son iguales entre ellos e iguales a 90º y el tercero es igual a 120º. En estos dos sistemas se introduce un cuarto eje cristalográfico “i” planar con los ejes x e y. Se diferencian en la simetría, ya que en el Hexagonal existe un eje senario y en el Trigonal un eje ternario.

El sistema cristalino hexagonal es uno de los siete sistemas cristalinos. Tiene la misma simetría que un prisma regular con una base hexagonal. El único sistema cristalino que posee 4 ejes cristalográficos. Encontramos que los índices de Miller realmente deben ser los índices de Bravais, pero comúnmente quizá por falta de costumbre, todavía se les llama índices de Miller. Como hay 4 ejes, hay 4 letras o números en la notación. Los cristales hexagonales tienen como referencia un sistema de cuatro ejes, tres de ellos en un plano horizontal, formando entre sí un ángulo de 120º; siendo el cuarto eje perpendicular al plano. (Para la distribución de los signos positivos/negativos, ejes cristalográficos). Los parámetros utilizados para los ejes horizontales son para todos los mismos, pero para el eje vertical es mayor e menor que los horizontales. (Para los simbolos internacionales, Simetria, Sistema cristalino).

Símbolo Centro internacional

Ejes de Ejes de Plano rotación rotación de de e simetría simetría inversión

1 6/mmm

C

7

6ii, 1vi,

2 6m2

-

4

3ii -

1vi

Ejemplos

Berilo Benitoita (BaTiSi3O9)

3 6mm

-

6

- 1vi

-

Cincita (ZnO)

4 622 (62)

-

-

6ii, 1vi

-

Cuarzo ß Kalsilita

5 6/m

C

1

- 1vi

-

Apatito

6 6

-

1

1vi

--

No hay ejemplo conocido

7 6

-

-

-1vi

-

Nefelina

División Hexagonal Ahora, se estudiará la primera clase de la división Hexagonal. La Normal o la clase Dipiramidal dihexagonal tiene un eje de simetría senario que coincide con el eje cristalográfico c o eje vertical. También tiene 6 ejes binarios horizontales, 3 que corresponden a los 3 tres ejes cristalográficos horizontales y 3 que bisectan a los ángulos entre los ejes. La notación de Hermann - Mauguin es 6/m2/m2/m. Para comprobar lo anterior, es necesario el uso de la figura 6.2a y 6.2b qué muestra los elementos de simetría de esta clase, asociado con los ejes y planos de simetría.

Elementos de simetría rotacionales

Planos de Simetría

Hay 7 formas posibles que pueden presentarse en la clase Dipiramidal Dihexagonal: Forma 1. Base o pinacoide basal 2. Prisma de primer orden 3. Prisma de segundo orden 4. Prisma dihexagonal 5.Pirámide de primer orden 6. Pirámide de segundo orden 7. Dipiramidal dihexagonal

Numero de caras 2 6 6 12 12 12 24

Índices de Miller (0001) (10-10) (11-20) (hk-i0) ejemplo: (21-30) (h0-hl) ejemplo: (10-11), (20-21) (hh2hl) ejemplo: (11-22) (hk-il) ejemplo: (21-31)

Ver las figuras 6.3 hasta 6.8 (abajo) para las formas referidas.

Forma abierta abierta abierta abierta cerrada cerrada cerrada

Prisma hexagonal de Prisma hexagonal de Prisma Dihexagonal primer orden y Pinacoide segundo orden y Pinacoide y Pinacoide c c c

Dipirámide hexagonal de Dipirámide hexagonal de primer orden segundo orden

Dipirámide dihexagonal

Las dos caras de la base, o el pinacoide basale, es normal al eje c y al observador, y generalmente se denota por la letra cursiva c. Sus índices del Miller son (0001) y (000-1).

Los primeros y segundos prismas del orden no pueden distinguirse entre si, cuando cada uno aparece como un prisma hexagonal regular con un ángulo interfacial de 60 grados, pero cuando se observa hacia abajo el eje c, como en la figura 6.9, las relaciones de las dos formas y los ejes a son rápidamente visualizadas. Correspondiendo a los 3 tipos de prismas son 3 tipos de pirámides. Se puede notar que en las figuras 6.6 y 6.7 de la página anterior la forma similar, pero se diferencia en la relación angular en los ejes horizontales. La dipirámide dihexagonal es una doble pirámide de 12 lados (figura 6.8). La primera pirámide del orden se etiqueta la p. La segunda pirámide del orden se etiqueta s. La dipirámide del dihexagonal se etiqueta v.

Estas formas aunque parezcan relativamente simples algunos de ellas se combina en un solo cristal, en este punto, se debe de tener especial atención. Se pueden tener algunas de las mismas formas, incluso a ángulos diferentes, así las dos pirámides de primer orden pueden denominarse las pirámides del orden p y u, respectivamente. Vea figura 6.10 de un cristal del berilo que tiene todas estas formas desplegadas. La molibdenita y la pirrotita también cristalizan en esta clase.

El dipiramidal ditrigonal {hk il} tiene un eje senario de rotoinversión que es escogido como c. Se debe notar que los ejes -6 son equivalentes a un eje 3 de rotación normal a un plano de simetría. Tres ejes de simetría, cortan al eje vertical y son perpendiculares a las 3 ejes cristalográficos horizontales. Existen también 3 ejes binarios horizontales en los planos de simetría verticales, Herman - Mauguin es -6m2.

Esta clase es una forma de doce, seis en la cara superior y seis caras en la parte inferior del plano de simetría que queda en el a1-a2-a3 plano axial. La figura 6.11a es la dipirámide ditrigonal que se forma y la figura 6.11b representa un dibujo de benitoita, el único mineral que se ha descrito en esta clase. La clase Hemimórfica (Piramide dihexagonal). Esta clase difiere de las clases discutidas anteriormente en que no tiene ningún plano horizontal de simetría y ningún eje horizontal de simetría. No presenta centro de simetría. Por consiguiente, la notación de Hermann Mauguin es 6mm. La geometría de los prismas presenta el mismo comportamiento. El plano basal es un pedión (recuerde que un pedión difiere de un pinacoide en que es una sola cara) y las pirámides positivas y negativas de los 3 tipos. La diferencia puede notarse rápidamente en un dibujo de

la forma de esta clase ( fig. 6.12) cuando se comparó con la figura 6.8 (dos páginas atrás).

Algunos minerales como zincita, wurtzita, y greenockita que son de esta clase (figs. 6.13a, b, & c).

En la clase Trapezoedral Hexagonal, los ejes de simetría están igual que la clase normal (la clase dipirámidal dihexagonal que se discute inicialmente en esta sección), pero los planos de simetría y el centro de simetría no están presentes. La notación de Hermann - Mauguin es 622. Dos formas enantiomórficas (la imagen espejo) están presentes, cada uno presenta 12 caras trapezoidales (figura 6.14). Otras formas, incluso los pinacoides, prismas hexagonales, dipiramides, y prismas dihexagonales, pueden estar presentes. Se conocen sólo 2 minerales que representan a esta clase cristalina: cuarzo beta y kalsilita.

La clase Dipiramidal Hexagonal (figura 6.15) tienen sólo un eje vertical senario de rotación y un plano de simetría perpendicular a el. La notación de Hermann - Mauguin es

6/m. Cuando esta forma se presenta sola, parece poseer la simetría más alta. Sin embargo, en la combinación con otras formas revela su baja simetría. Las formas generales de esta clase son los dipirámides hexagonales positivas y negativas. Estas formas poseen 12 caras, 6 superiores y 6 inferiores, y corresponden en posición a la mitad de las caras de una dipirámide dihexagonal. Otras formas presentes puede incluir pinacoides y prismas. Los minerales principales que tienden a cristalizar en esta clase son los del grupo del apatito.

La Dipirámide trigonal posee un eje senario de roto-inversión , la notación de Hermann - Mauguin de -6. Esto es equivalente de tener un eje 3 y un plano de simetría normal a él (3/m). Ver figura 6.16. Matemáticamente, esta clase puede existir, pero hasta la fecha no, se conoce ningún mineral que cristalize en esta clase.

En la clase de la Pirámide hexagonal, el eje vertical es un eje 6. Ninguna otra simetría está presente en este sistema. La figura 6.17 es la pirámide hexagonal. Las formas de esta clase son similares a aquéllas de la Dipirámide Hexagonal (anteriormente discutidas), pero porque no se presenta ningún plano de simetría horizontal? a diferencia de esto, están presentes en la parte superior e inferior del cristal. La pirámide hexagonal tiene cuatro ejes senarios presentes y sus formas son :superior positivo, superior negativo, inferior positivo, inferior negativo. Pediones, pirámides hexagonales y prismas pueden estar presentes. Sólo raramente se presentan plenamente desarrolladas. La nefelina es la representante más común de esta clase.

División Trigonal Hasta ahora se ha trabajado a través de las primeras 7 clases en el Sistema Hexagonal, todos que tienen algún grado de simetría senaria (6). Ahora, toca mirar la División Trigonal del Sistema Hexagonal. Aquí, se observa que la simetría ternaría (3) gobierna en esta división. Hay que recordar que los prismas son formas abiertas. En la división trigonal hay dos juegos distintos de prismas que están involucrados. El primero se llama el prisma trigonal y consiste en caras de igual tamaño, las cuales son paralelas al eje cristalográfico c y forma un prisma de 3 lados iguales. Se puede pensar en la División Trigonal como la mitad de las caras del el prisma hexagonal de primer orden.

De hecho, la luz normal refractada 60 grados en un prisma de vidrio, se ha usado en muchos talleres de laboratorio de física, de esta manera esta limitada en el extremo por el pinacoide c. Allí existe un prisma de segundo orden y que da la apariencia general del de primer orden, pero cuando otras formas trigonales están presentes en la terminación de otra manera que el pinacoide c, los dos prismas pueden distinguirse rápidamente, uno del otro. El prisma de segundo orden se gira 60 grados sobre el eje de c cuando se compara con el prisma de primer orden.

El segundo prisma es el ditrigonal, y es una forma abierta. Esta forma consiste en 6 caras verticales arregladas en conjuntos de 2 caras. Por consiguiente los bordes alternos son de diferente carácter; sobre todo es notable cuando se observa hacia abajo el eje c. Los diferentes ángulos entre los 3 conjuntos de caras, distinguen esta cara del prisma hexagonal de primer orden. Las estriaciones en la parte izquierda de la figura son típicos para los cristales trigonales naturales, como la turmalina. En el dibujo, en el eje c están los pinacoides y en m las caras del prisma. Se cree que estas formas son bastantes simples y no es necesario algún dibujo para explicarlos, pero si se busca en la figura 6.23 (abajo) las formas de la turmalina. Ellos se dan la anotación del prisma normal de m y a.

La clase escalenoedrica hexagonal. Lo primero en considerar en esas formas es la simetría - 3 2/m en la notación de Hermann - Mauguin. Hay dos formas principales en esta clase: el romboedro y el escalenoedro hexagonal. En esta clase, los ejes de rotoinversión -3 son coincidentes con el eje vertical (c) y los tres ejes binarios 2 corresponden a las tres ejes horizontales ( a1, a2,y a3). La forma general {hk- il} del escalenoedro hexagonal (figura 6.19), la diferencia primaria en el romboedro es una forma romboedral , es decir, hay 3 caras romboedrales anteriores y 3 caras debajo del centro del cristal. En un escalenoedro, cada una de las caras del romboedro se convierten en 2 triángulos escalenos dividiendo el romboedro de las esquinas por una línea. Sin embargo, se encuentran 6 caras en la parte superior y 6 en la parte inferior. El escalenoedro que es una forma de 12 caras. Estas formas se ilustran en la figura 6.20.

Con esta forma, usted puede tener ambos, positivo {h0 - hl} y negativo {0h - hl} las formas para el romboedro...

y formas positiva {hk-il} y negativa {kh-il} para el escalenoedro. Las figuras complicadas, el romboedro y escalenoedro, como formas, a menudo se combinan con las formas presentes, en las clases de simetría hexagonales más complicadas. Así, se pueden encontrarlas en combinación con los prismas hexagonales, dipirámides hexagonales, y formas del pinacoides. La calcita es la más común, bien cristalizada, y mineral coleccionable en estas formas. Ver la figura 6.21 algunas formas de la cristalización de calcita. Varios minerales, como la chabazita y el corindón, normalmente muestran las combinaciones de la forma.

En los últimos 3 dibujos en la figura 6.21, hay que nombrar las caras presentes. Ya se han nombrado las primeras 5 figuras. La próxima clase de cristal a considerar es la Pirámide Ditrigonal. El eje vertical es un eje ternario de rotación(3) y tres planos de simetría que cortan este eje. La notación Hermann - Mauguin es 3m, 3 que se refieren al eje vertical y m

que se refiere a los tres planos normales a los tres ejes horizontales (el a1,a2,a3). Estos 3 planos de simetría cortan al eje vertical 3. La forma general {hk-il} es una Pirámide Ditrigonal. Hay 4 formas posibles de pirámides ditrigonales cuyos índices son {hk-il}, {kh-il}, {hk-i-l}, y {kh-i-l}. Las formas son similares a la forma escalenoedrica hexagonal pero tienen solo la mitad de las caras, observándose la ausencia de ejes binarios de rotación. Como los cristales, tienen formas diferentes en la parte superior en su parte superior así como en su base. La figura 6.22 muestra la pirámide ditrigonal.

La figura 6.23 muestra 2 cristales de turmalina el mineral más común que se cristaliza en esta clase la cual despliega simetría de 3m. Esta forma puede combinarse con pediones, Prismas hexagonal y Piramides, Pirámides trigonales, Prismas trigonales prismas, y Prismas ditrigonal algunas veces formas interesantes y complicadas. Se ha llegado al trapezoedro trigonal. Las 4 direcciones axiales están ocupadas por los ejes de rotación. El eje vertical es un eje ternario (3) y los 3 planos horizontales tienen la simetría de un eje binario(2). Esto es similar a la clase -32/m (escalenoedro hexagonal), pero los planos de simetría están ausentes. Hay 4 trapezoedros trigonales, cada uno compuestos de 6 caras trapezoidales. Sus índices de Miller son: {hk - il}, {i-k - hl}, { kh - il}, y {- ki - hl}. Estas formas corresponden a 2 pares enantiomórficos, cada uno con una forma derecha y una forma izquierda (un par ilustra la figura 6.24).

Otras formas que pueden estar presentes incluyen pinacoides, prismas trigonales, prismas hexagonales, prismas ditrigonales, y romboedros. El cuarzo es el mineral más común que cristaliza en esta clase, pero raramente la cara trapezohedral se forma. Cuando, es una cuestión simple para determinar si el cristal es de forma derecha o izquierda (figura 6.25). El cinabrio también cristaliza en esta clase.

La clase Romboedrica tiene un eje ternario(-3) de rotoinversion que es equivalente a un eje ternario(3) y un centro de simetría. La forma general es {hk - il} y la notación Hermann - Mauguin es -3. Esta forma es engañosa porque a menos que en otras formas estén presentes, su verdadera simetría no estará clara. El pinacoide {0001} y los prismas hexagonales pueden estar presentes. Dolomita e ilmenita son la mayoría de los minerales comúnes que cristalizan en esta clase. Ver la figura 6.26.

Ahora, se ha alcanzado a la clase final en el sistema Hexagonal. La Pirámide trigonal tiene uno eje un eje ternario de rotación(3). Ver figura 6.27. Hay, sin embargo, 8 pirámides trigonales cuya forma general es {hk - il, cuatro arriba y cuatro abajo. Cada uno de éstos corresponde a 3 caras de la Dipirámide Dihexagonal (ya se discutió anteriormente). Además de esto, es posible que

puede haber pirámides trigonales en la parte superior, independientes, de las pirámides abajo de. Sólo cuando Pirámides trigonales están en combinación entre si es cuando la combinación revela la verdadera simetría. Aparece sólo un mineral, una especie rara llamada gratonita, que pertenece a esta clase no se ha estudiado suficientemente por los cristalógrafos.

Todos los cristales en el sistema Hexagonal se orientan por el extremo negativo del eje a3 (ver la figura 6.1 de nuevo) se considera que es 0 grados para propósitos de ploteo Esto es importante cuando se mira la distribución de las formas del romboedro y determinan si ellos son positivos o negativos. Se sugiere que se lea la página 88 del Manual de Mineralogía de J. D. Dana por Klein y Hurlbut (edición 20) si se desea todo a detalle

ÍNDICES DE MILLER EN CELDAS HEXAGONALES POSICIONES ATÓMICAS   

En la celda unidad hexagonal se utilizan cuatro ejes (a1, a2, a3, c) Las coordenadas de posición se expresan como cuatro distancias separando cada número con comas Para garantizar la uniformidad entre las direcciones y los planos se ha acordado que cumpla: a1+a2 = -a3

DIRECCIONES CRISTALOGRAFICAS Los índices de las direcciones cristalográficas son los componentes del vector dirección descompuesto sobre cada eje de coordenada. El procedimiento a seguir para determinar las direcciones cristalográficas es el siguiente: 1. En el origen de coordenadas se traza un vector de longitud conveniente.

2. Se determina la longitud del vector proyección en cada uno de los cuatro ejes, en función de las dimensiones de la celdilla unidad. 3. Los tres índices se encierran entre corchetes sin comas [u v w t]. Los números u, v, t corresponden a las proyecciones reducidas a lo largo de los ejes a1, a2, a3 y el índice w corresponde a la proyección reducida sobre el eje c. 4. Para garantizar la uniformidad entre las direcciones y los planos se ha acordado que : u + v = -t

PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Para identificar planos cristalográficos en celdas hexagonales se utilizan los índices de miller-bravais. El procedimiento a seguir para determinar los índices de Miller es el siguiente: 1. Escoger un plano que no pase por el origen. 2. Determina las intersecciones del plano en base a los ejes a1, a2, a3 y c cristalográficos. Estas intersecciones pueden ser fraccionarias. 3. Construir los reciprocos de estas intersecciones. 4. Despejar fracciones y determinar el conjunto de minimos enteros. 5. Los tres índices de encierran entre parentisis sin comas, asi (hkil). Los números son los índices de miller de un plano cristalino para los ejes a1, a2, a3 y c.

RESUMEN Convencionalmente se ha establecido que para designar posiciones, direcciones y planos se usen cuatro números enteros o índices Los valores de los índices se determinan basándose en un sitema de coordenadas cuyio origen esta situad en un vértice de la celda ubnidda y cuyos ejes ( a1,a2, a3, c) coinciden con las aristas de la celda. Los planos en celdas unidad hexagonales se indixan por los reciprocos a las intercsecciones axiales del plano, seguidos por ña eliminación de fracciones y son conocidos como índices de miller-bravais.