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1. Componentes Simétricos 1.1Introducción Se denominan así a fasores 1 o vectores que siendo partes indivisibles y constituyentes de sistemas trifásicos simétricos, que en su conformación secuencial permiten expresar matemáticamente cualquier sistema trifásico asimétrico o desequilibrado. Cuando en un sistema eléctrico de potencia tiene lugar un cortocircuito o falla, las tensiones y corrientes de dicho sistema sufren cambios súbitos en magnitud y fase, excepto en el cortocircuito trifásico. El análisis circuital de sistemas eléctricos de potencia desequilibrados o asimétricos, es posible realizar con el auxilio de los componentes simétricos, utilizando varios algoritmos que en la materia que desarrollamos, se orientan específicamente al cálculo de corrientes de cortocircuito.

1.2Tipos de Cortocircuitos De acuerdo con lo que normalmente se analiza y calcula, se pueden establecerse cinco tipos de cortocircuitos: a) Cortocircuito Trifásico; b) Cortocircuito Bifásico; c) Cortocircuito Monofásico; d) Cortocircuito Bifásico con Contacto con Tierra y e) Cortocircuito provocado por un Doble Contacto con Tierra.

Fase T

Sistema Trifásico R, S, T

Fase S Fase R a)

1.2.1

b)

c)

d)

e)

Cortocircuito Simétrico

Se conoce así al cortocircuito trifásico que en la figura precedente se identifica con a), teniendo en cuenta que si el contacto eléctrico entre fases es perfecto o galvánico (como el que se logra por soldadura), entonces no existe resistencia de contacto en las uniones, por lo cual tampoco existen caídas de tensión debidas a los contactos y si bien las tensiones de fase se anulan, las corrientes de fase permanecen iguales.

1 Un fasor es un vector “que gira” a la velocidad angular omega (  ).

El hecho de que las corrientes de fase aunque muy grandes como efecto del cortocircuito permanezcan iguales, determina la simetría de fases en cuanto a las corrientes de fase, por lo cual el cortocircuito definido como la unión galvánica, simultánea y perfecta de las tres fases, es un cortocircuito simétrico y por supuesto también trifásico. En la práctica no es posible reunir las características de los contactos perfectos, de manera que el cortocircuito trifásico o simétrico viene a constituir una circunstancia teórica, empero aún así muy importante para la determinación de la capacidad de cortocircuito en las instalaciones eléctricas.

1.2.2

Cortocircuitos Asimétricos

La muy previsible asimetría en tensiones y corrientes de fase en los demás tipos de cortocircuito diferentes al trifásico, efectivamente supone muy diversas configuraciones asimétricas que van desde tensiones o corrientes nulas, hasta sobretensiones y sobrecorrientes de diferente importancia. Por supuesto, las últimas, vale decir, las sobrecorrientes son las que constituyen las corrientes de cortocircuito. Entre los cortocircuitos asimétricos, sin duda el más importante especialmente en alta y extra alta tensión, es el monofásico, que también es el de mayor frecuencia de ocurrencia desde el punto de vista probabilístico. En el alcance del presente texto, estudiamos los cortocircuitos asimétricos bifásicos y trifásicos, además del cortocircuito trifásico ya definido.

1.3Generación de Componentes Simétricos Con el objetivo de expresar biunívocamente tensiones y corrientes asimétricos a través de componentes simétricos de tensión y corriente, además del sentido recíproco, vale decir, componentes simétricos de tensión y corriente equivalentes a tensiones y corrientes trifásicas asimétricas o simétricas, analizamos gradualmente su significado, por medio de un fasor cualquiera A, que se descompone en tres fasores de una manera completamente arbitraria.

A0

A1

A A2

La arbitrariedad inicial en la relación de los fasores A, A0, A1 y A2, la vamos ajustando gradualmente hasta definir relaciones matemáticas exactas entre ellos.

De hecho los subíndices cero, uno y dos, permiten ya un importante ajuste relacional, considerando que cada uno de ellos puede corresponder a un sistema trifásico simétrico de secuencia homopolar, directa e inversa, respectivamente, en la posibilidad de que tres sistemas trifásicos, uno homopolar

2

A1T (a partir de A0), otro directo (a partir de A1) y otro inverso (a partir de A2), puedan ser equivalentes al supuesto sistema trifásico asimétrico del cual es parte A. Gráficamente y suponiendo muy pertinentemente que A es una tensión o corriente de la fase R, se puede volver a representar lo relativo a los fasores del modo siguiente:

A2S

A2T

AR

A2R

A1S

A0 A1R A0 es el mismo fasor homólogo para cada una de las tres fases, por lo cual no requiere la identificación de fase, R, S ó T. Gráficamente superpone tres fasores A0 que en conjunto constituyen el sistema trifásico homopolar o de secuencia cero. A1R, A1S y A1T en conjunto constituyen el sistema trifásico simétrico de secuencia positiva, vale decir, con giro vectorial antiorlógico. La simetría de módulo y fase tiene lugar con magnitudes iguales entre los tres fasores y una diferencia de fase de 120 grados eléctricos exactamente. Este sistema trifásico simétrico también se conoce como directo. A2R, A2S y A2T en conjunto constituyen el sistema trifásico simétrico de secuencia negativa, vale decir, con giro vectorial orlógico o en el sentido de las agujas del reloj. La simetría de módulo y fase tiene lugar con magnitudes iguales entre los tres fasores y una diferencia de 120 grados eléctricos exactamente. Este sistema trifásico simétrico también se conoce como inverso. Las últimas representaciones Fasoriales parecen indicar entidades diferentes sin dependencia biunívoca, sin embargo, con base en el ajuste relacional consistente en la definición de sistemas trifásicos simétricos, se puede restaurar la inicial representación de A, A0, A1 y A2 del siguiente modo:

3

A2T AT

A1T

AR

A1R

A0

AS

A1S

A2S

A2R

El fasor A0 ha sido utilizado para componer los fasores AR, AS y AT, en tanto que los componentes simétricos de secuencia positiva y negativa ordenada y correspondientemente nos permiten componer primero AR, luego AS y finalmente AT. Al concluir el redibujo, no obstante, uniendo correspondientemente las secuencias positivas y negativas, por lo menos gráficamente se puede verificar que con los sistemas trifásicos simétricos, se ha podido definir un sistema trifásico asimétrico. El siguiente paso es verificar la correspondencia biunívoca entre valores asimétricos y componentes simétricos, lo cual requiere ir resolviendo gradualmente varias relaciones matemáticas.



1.4Operador Alfa

120°

120°

0 ° eléctrico

   120°

  

El operador Alfa es un fasor unitario que puede valer un amperio, un voltio, un kilovoltio, un kiloamperio, un microvoltio, un microamperio, etc. El fasor unitario Alfa tiene un módulo de uno y un ángulo de fase de 120 grados eléctricos, tal como lo muestra el gráfico al lado. Aprovechando su calidad unitaria, el fasor Alfa da lugar al fasor Alfa 2, Alfa3, Alfa4, Alfa5, etc., con desfasajes en el sentido antiorlógico de 240, 360, 480, etc., grados eléctricos.

1.5Ecuaciones Fasoriales Incluyendo el Operador Alfa 4

Los gráficos fasoriales anteriores permiten formular varias ecuaciones por supuesto que en el dominio de los fasores o los vectores, por tanto en el marco de la matemática fasorial o vectorial sujetas a todos los requisitos y propiedades inherentes. Estas ecuaciones se formulan más convenientemente en forma de sistemas de tres ecuaciones en correspondencia con las tres fases que se manejan. Con los diagramas fasoriales de 1.3 se puede escribir: Este primer sistema de tres ecuaciones tiene siete incógnitas lo cual matemáticamente determina incompatibilidad, la misma que se resuelve introduciendo el Operador Alfa, teniendo en cuenta que:

A1S es igual a  A1R, A2S es igual a A2R, A1T es igual a A1R y A2T es igual a 2A2R. 2

1.6

Matrices del Operador Alfa y de las Ecuaciones Fasoriales

El último sistema de tres ecuaciones ya compatibilizado con la conveniente aplicación del Operador Alfa, se puede expresar con la ecuación matricial siguiente:

AR = A0 + A1R + A2R AS = A0 + A1S + A2S AT = A0 + A1T + A2T AR = A0 + A1R + A2R AS = A0 + 2A1R + A2R AT = A0 + A1R + 2A2R

AR111A0 AS =12 A1R AT 12 A2R

En el ámbito estrictamente matemático donde se plantean las relaciones fasoriales entre los valores asimétricos AR, AS, AT, lo mismo que entre A0, A1R y A2R, se puede formular la inversión de la Matriz del Operador Alfa, vale decir, de la matriz compuesta sólo por fasores Alfa, para conseguir la relación recíproca:

Matriz Columna de Componentes Simétricos

=

Matriz Inversa del Operador Alfa

Matriz Columna de Valores Asimétricos

Esta fórmula evidentemente requiere de la Matriz Inversa del Operador Alfa, la cual se calcula como la Matriz Transpuesta del Operador Alfa, dividida por el Determinante de la Matriz Alfa:

Matriz Inversa del Operador Alfa

=

Matriz Transpuesta del Operador Alfa Determinante de la Matriz del Operador Alfa

La Matriz Transpuesta del Operador Alfa, se calcula como la de sus propios cofactores:

=

4 - 2

-  2

-  2

-  2

 



-  2

1- 

 2 -1

5

Matriz Transpuesta del Operador Alfa Por otra parte, el Determinante de la Matriz del Operador Alfa es igual a la suma de los elementos de la primera fila de la Matriz Transpuesta del Operador Alfa:

Determinante de la Matriz del Operador Alfa

=

 4 -  2 + -  2 + -  2 = 3 (-  2)

constante de 1/3 para toda la Matriz Transpuesta, elementos unitarios con la relación de (-  2)/(-  2), además de los cocientes notables de ( 2 - 1)/(-  2) y (1- )/(-  2), que se resuelven en el diagrama fasorial del Lo cual plantea la

Operador Alfa. Vale decir que:

3 90°

( 2 - 1)/(-  2) = 120° = 

 1

( 2 - 1)/(-  2) = 3 210° / 3 90°

 2

4

3 210°

3 = 1 3 330°



2



(1- )/(-  2) = 3 330° / 3 90° (1- )/(-  2) =

240°

= 

De manera que la Matriz Inversa Operador Alfa se expresa como:

del

111 1 12 ____ 12 3

Con lo que la ecuación matricial que expresa la relación recíproca de Componentes Simétricos en función de Valores Asimétricos es:

A0111AR 1 A1R =12AS ____ A2R 12AT 3 1.7Composición Gráfica de Componentes Simétricos 6

Para explicar este paso por cierto muy importante en el manejo de fasores, vamos a utilizar el sistema trifásico asimétrico AR, AS y AT, completamente descrito más arriba. Primeramente seleccionamos el fasor AR como referencia. Luego disponemos los sistemas trifásicos de AS, AS y  2AS, además de AT, AT y 2AT, al principio y al final del fasor AR. Teniendo en cuenta las sumas de fasores definidas por la ecuación matricial de los Componentes Simétricos en función de los Valores Asimétricos, se establece que:

3A0 = AS + AR + AT 3A1R = AS + AR +  AT 2

3A0

AS

3A2R = 2AS + AR + AT

AT

AT

AR  2AT 3A1R

AS

3A2R

 2AS

Cada Componente Simétrico Triple puede dividirse mediante un método geométrico sencillo, tal como el que se describe para 3A0, llegando a redefinir el sistema trifásico simétrico respectivo. En el caso del Componente Simétrico Homopolar recordamos que la respectiva representación contiene tres fasores idénticos.

A0

7

A1T En el caso de los sistemas trifásicos simétricos de secuencia positiva y negativa se reproduce lo siguiente:

A2S A1S

1.8

A2T A2R

Valores Asimétricos y A1R Componentes Simétricos de Tensiones y Corrientes

A partir de las ecuaciones matriciales que definen Valores Asimétricos en función de Componentes Simétricos y éstos en función de Valores Asimétricos, se establecen dos sistemas compatibles de tres ecuaciones:

AR = A0 + A1R + A2R

3A0 = AR + AS + AT

AS = A0 + 2A1R + A2R

3A1R = AR+ AS + 2AT

AT = A0 + A1R + 2A2R

3A2R = AR + 2A2R + AT

Es importante recordar que como base del análisis de los fasores anteriores, se han considerado íntegramente las propiedades vectoriales y fasoriales de las tensiones y corrientes en sistemas eléctricos de potencia trifásicos, por tanto ordenadamente cada una de las ecuaciones anteriores se puede aplicar a tensiones y corrientes de fase, en la convención de los símbolos R, S y T para designar cada fase.

1.8.1 Cuatro Corrientes

Sistemas

de

Ecuaciones

de

Tensiones

y

Considerando solamente el cambio ordenado de parámetros de tensiones y corrientes para los fasores genéricos de los sistemas de tres ecuaciones anteriores, se pueden formular cuatro sistemas de tres ecuaciones para tensiones y corrientes, primeramente teniendo en cuenta Valores Asimétricos y luego Componentes Simétricos.

8

UR = U0 + U1R + U2R

3U0 = UR + US + UT

US = U0 + 2U1R + U2R

3U1R = UR+ US + 2UT

UT = U0 + U1R + 2U2R

3U2R = UR + 2U2R + UT

IR = I0 + I1R + I2R

3I0 = IR + IS + IT

IS = I0 + 2I1R + I2R

3I1R = IR+ IS + 2IT

IT = I0 + I1R + 2I2R

3I2R = IR + 2I2R + IT

1.8.2 Quinto Sistema de Segunda Ley de Kirchhoff

Ecuaciones

de

Acuerdo

con

la

En forma complementaria a los cuatros sistemas de tres ecuaciones, que reflejan relaciones entre tensiones y corrientes considerando las características más generales de los sistemas de potencia trifásicos, se puede determinar un quinto sistema de tres ecuaciones para una situación específica que reproduce la utilizada para el establecimiento de la segunda ley de Kirchhoff 2, vale decir, un camino cerrado en el cual la suma de las tensiones de sus elementos componentes debe ser igual a cero. La particularidad de este quinto sistema de ecuaciones radica en que cada una de las tres ecuaciones se define para cada una de las tres secuencias consideradas, vale decir, la secuencia positiva, la secuencia negativa y la secuencia cero.

U1R = Ef – Z1 I1R U2R = – Z2 I2R U0 = – Z0 I0

En la primera de las tres ecuaciones se puede advertir la presencia de Ef, que es la fuerza electromotriz de fase, característica última que es resaltada por el subíndice f. De aquí surge una regla de oro universal y es que la generación de eléctrica sólo tiene lugar en secuencia positiva, no hay fuerza electromotriz de otra secuencia que no sea la positiva. Este quinto sistema de ecuaciones tiene también la particularidad de utilizar valores de impedancia, los cuales se corresponden exactamente con la respectiva secuencia, a mayor abundamiento, hay que tener en cuenta que las impedancias consideradas son las absolutas para cada secuencia.

2 La segunda ley de Kirchhoff se conoce como la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) y su enunciado es el siguiente: "La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier lazo (camino cerrado) en un circuito, es igual a cero en todo instante".

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