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• Edgar Rincon

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SISTEMAS DINÁMICOS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 1. ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINÁMICO EN SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD Se realizarán algunas consideraciones relacionadas con la idealización dinámica de las estructuras para ensamblar las ecuaciones de equilibrio: se utilizara la masa de la losa como concentrada al nivel del piso y segundo, el amortiguamiento se introducirá posteriormente, una vez se defina la solución debido a la complejidad en la modelación. Este sistema estructural es altamente idealizado, ya que solo se consideran las deformaciones laterales en la estructura, considerando la losa y vigas infinitamente rígidas a flexión, y se desprecian las deformaciones axiales en vigas y columnas. Este modelo es conocido como el Edificio de Cortante, y solo puede ser posible para estructuras con vigas o losas de gran altura, columnas esbeltas y concreto con un módulo de elasticidad muy alto.

1.1 Vibración Libre El siguiente sistema dinámico representa un edificio de 3 pisos con un grado de libertad horizontal por piso.

Masa m1

Fr1 − Fr2 = Fi

(

)

.. m1 x + k1x1 − k 2 x 2 − x1 = 0 1

1

Masa m 2

(

Fr2 − Fr3 = Fi

)

(

)

.. m 2 x + k 2 x 2 − x1 − k 3 x 3 − x 2 = 0 2

Fr3 = Fi

Masa m 3

(

)

.. m3 x + k 3 x3 − x 2 = 0 3

Reorganizando y factorizando:

(

) (

.. m1 x1 + k1 + k 2 x1 − k 2 x 2 = 0 .. m 2 x − k 2 x1 + k 2 + k 3 x 2 − k 3 x 3 = 0 2 .. m3 x 3 − k 3x 2 + k 3x 3 = 0

)

Cada ecuación anterior corresponde a una ecuación diferencial de equilibrio dinámico de un grado de libertad. En forma matricial .. m   x1   k + k 0 0 − k2 0   x1  0 2  1   ..   1     0  x 2  +  − k 2 k 2 + k 3 − k 3  x 2  = 0  0 m2 ..  0 0 m3 x 3   0 − k3 k 3   x 3  0        .. [m]x  + [k ]{x} = {0}   Ecuación de equilibrio dinámico en vibración libre para varios grados de libertad

1.2 Excitación Arbitraria Ahora se supone el mismo sistema anterior, pero cada masa de la losa es excitada por una fuerza externa Pi(t), variable en el tiempo.

2

Masa m1

Fr1 − P1 − Fr2 = Fi

Masa m 2

Fr2 − P2 − Fr3 = Fi

Masa m 3

Fr3 − P3 = Fi

(

( (

) )

(

) (

.. m1 x + k1 + k 2 x1 − k 2 x 2 = P1 (t ) 1 .. m 2 x − k 2 x1 + k 2 + k 3 x 2 − k 3 x 3 = P2 (t ) 2 .. m 3 x − k 3 x 2 + k 3 x 3 = P3 (t ) 3

)

En forma matricial .. m   x1   k + k 0 0 2  1  ..   1 0 m 0 + − x k 2    ..   2 2  0 0 m3 x 3   0      .. [m]x  + [k ]{x} = {P(t )}  

)

.. k 2 x 2 − x1 − P2 (t ) − k 3 x 3 − x 2 = − m 2 x 2 .. k 3 x 3 − x 2 − P3 (t ) = − m 3 x 3

Reorganizando y factorizando:

(

)

.. k1x1 − P1 (t ) − k 2 x 2 − x1 = − m1 x 1

0   x1   P1 (t )      − k 3  x 2  = P2 (t ) k 3   x 3   P3 (t )    

− k2 k 2 + k3 − k3

3

Ecuación dinámica para un sistema estructural de varios grados de libertad con excitación arbitraria.

1.3 Excitación en la Base Se supone ahora que la misma estructura, es sometida a un sismo en la base, como se muestra en la figura.

.. xo

Desplazamientos relativos u1 = x1 − x 0 u2 = x2 − x0 u =x −x 3 3 0 Forma matricial

u   1 u 2  = u   3

 x  1  1    x 2  − 1 x 0  x  1  3  

{u} = {x} − [γ ]{x 0 }

[γ ] : Matriz que indica que el grado de libertad o coordenadas de la masa, en la línea del sistema de ecuaciones simultáneas, es colineal con la aceleración del terreno. Despejo x y derivo respecto al tiempo.

4

{x} = {u} + [γ]{x 0 } . . .  x  = u  + [γ ]x 0        .. ..     ..  [ ] x = u + γ     x 0        .. .. .. x1 = u + x 0 1 .. .. .. x2 = u + x 0 2 .. .. .. x3 = u + x 0 3

Ecuaciones de equilibrio dinámico Masa m1 : Masa m 2 : Masa m 3 :

(

)

(

)

.. m x +k x −x −k x −x =0 1 1 1 1 0 2 2 1 .. m 2 x + k 2 x 2 − x1 − k 3 x 3 − x 2 = 0 2 .. m x +k x −x =0 3 3 3 3 2

( (

) )

(

)

Se tiene que:

x1 − x 0 = u1 x 2 − x = x − u1 + x 0 = x 2 − x 0 − u1 = u 2 − u1 1 2 x3 − x 2 = x − u 2 + x0 = x3 − x0 − u 2 = u3 − u 2 3

( (

) )

Las ecuaciones de equilibrio quedan:

5

(

) (

.. m1 x + k1u1 − k 2 u 2 − u1 = 0 1 .. m 2 x + k 2 u 2 − u1 − k 3 u 3 − u 2 = 0 2 .. m3 x + k 3 u3 − u 2 = 0 3

( (

) )

)

Factorizando:

(

) (

.. m1 x + k1 + k 2 u1 − k 2 u 2 = 0 1 .. m 2 x − k 2 u1 + k 2 + k 3 u 2 − k 3 u 3 = 0 2 .. m 3 x − k 3u 2 + k 3u 3 = 0 3

)

Matricialmente: m 0  1  0 m2  0 0 

..   x1   k + k 2   ..   1 x + − k   .. 2   2 m3 x 3   0     0 0

0   u1  0     − k 3  u 2  = 0 k 3   u 3  0  

− k2 k 2 + k3 − k3

..

[m]x  + [k ]{u} = {0}

   ..   ..   ..  Pero  x  = u  + [γ ] x       0 .. .. [m]u  + [m][γ]x 0  + [k ]{u} = {0}     .. .. [m]u  + [k ]{u} = −[m][γ]x 0     

Este es un sistema matricial de ecuaciones diferenciales simultáneas de equilibrio dinámico, para un sistema de varios grados de libertad sometido a una excitación en la base.

Problema: (Ref: Structural Dynamics. Craig, Roy. R.) El movimiento de un edificio sujeto a una excitación sísmica, se estudia usando el modelo mostrado. Use la segunda Ley para derivar la ecuación de movimiento del sistema. Considere desplazamientos rotacionales θ pequeños, y la masa de la fundación m como una partícula.

Diagrama de cuerpo libre de los componentes del sistema. 6

Ecuaciones básicas de movimiento de cada cuerpo rígido. Para la fundación

∑ Fx = m&u& = −2f1 − 2f 2 + f 3

(1)

Para el elemento vertical:

∑ Fx = M&x&&G = −f 3

( 2)

∑ Fy = M&y& G = −f 4 − Mg

(3)

∑ M G = I G &θ& = − M1 + f 4 asenθ + f 3acosθ

( 4)

7

De la relación entre fuerza y desplazamiento y velocidad y amortiguamiento, se tiene:

k f1 = (u − z ) (5) 2 c f 2 = (u& − z& ) ( 6) 2 M = Kθ (7 ) 1 Usando las relaciones cinemáticas que relacionan xG y yG con u y θ, se tiene que para desplazamientos pequeños Senθ = θ y Cosθ=1. x G = u + asenθ = u + aθ y G = acosθ = a Reemplazo en (1) las ecuaciones (5) y (6): m&u& + k(u − z) + c(u& − z& ) + M&x& = 0 G m&u& + ku − kz + cu& − cz& + M&x& G = 0 Pero : x G = &u& + a&θ& (m + M)&u& + Ma&θ& + ku + cu& + M&x&

G

= kz + cz&

Reemplazo (2), (3) y (7) en (4):

I G &θ& = − kθ + f aθ + f a 4 3 I G &θ& = − kθ + (Mg + M&y& )aθ − M&x& a = 0 G G I G &θ& + kθ − Mgaθ − M&y& aθ + M&x& a = 0 G G Pero : y &y& G = 0 &x& G = &u& + a&θ& I G &θ& + (k − Mga)θ + Ma(&u& + a&θ&) = 0 (I G + Ma 2 )&θ& + (k − Mga)θ + Ma&u& = 0

(8)

(9)

Escribiendo las ecuaciones de movimiento (8) y (9) en forma matricial:

(M + m )  Ma 

Ma  &u&  c 0 u&  k +  + 2   I G + Ma  &θ& 0 0 θ&   0

(

)

8

0  u  cz& + kz&  = (K − Mga ) θ   0 

2. IDEALIZACIÓN DINÁMICA DE LA MASA La segunda Ley de Newton relaciona el movimiento de la masa con la fuerza inercial. La masa de una estructura está distribuida en todos los elementos que la componen, aunque puede ser idealizada como una masa concentrada en los nudos de la estructura discretizada.

2.1 Matriz de masa distribuida. La masa y la rigidez corresponden a un elemento continuo con infinitos grados de libertad. No es práctico en la mayoría de casos, aunque se puede concentrar la masa en los extremos, usando una matriz consistente de masa, análoga a la de rigidez. Para armar la matriz se considera el siguiente elemento con masa distribuida dm, se acelera cada extremo en cada dirección, generando una fuerza inercial en x e y, en el elemento de masa diferencial dm

u

u

u u

Por la segunda ley: ∑ F  ∑ m  a y ∑ m  ∑ I θ

M F F   M     M M  F  M F  M

M  M

M M M M M M

M M M M M M

M M M M M M

M M M M M M

M µ  M  µ    M   θ  M  µ  µ  M       M  θ 

Se empotran los extremos del elemento, y se le da una aceleración unitaria a cada grado de libertad, induciendo unas fuerzas inerciales en cada elemento de masa dm, proporcionales a la elástica.

dF  X dm

dF  Y dm

La fuerza inercial de extremo es proporcional a la deformada:

dF$%&  y$  Y j  dm m dF$%&  y$  y&  ) + dx l

9

Y  X  µ

F$%& 

.

 / y$  y& dx .

Se encuentran las ecuaciones de la elástica para cada elemento, EI  2  w , se integra 1 y se encuentra la matriz de masa consistente en coordenadas locales. 12 

140 0 0  0 156 22L m  0 22L 4L  4m5  0 0 420 70 0 54 13L  0 13L 3L L: longitud del elemento

70 0 0 0 54 13L   0 13L 3L   ?m% m% 140 0 0  0 156 22L 0 22L 34 

m% m% @

Para transformar a coordenadas globales se usa la matriz de transformación [T]

C S  4T5   0 0 0 0

S C 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 C S 0

4T54M% 54T5O 4M5  N 4T54M% 54T5O  m   4M5  420   

140C  Q 156S  16S  C 22L  S 70C  Q 54S  16S  C 13L  S

0 0 0 S C 0

0 0  0 0 0 1

4T54M% 54T5O P 4T54M% 54T5O

S  sen θ C  cos θ θ  angulo entre eje logal y global Y

XL θ X

16S  C 22L  S 140C  Q 156S  22L  C 22L  C 4L 16S  C 13L  S 70C  Q 54S  13L  C 13L  C 3L

70C  Q 54S  16S  C 13L  S 140C  Q 156S  16S  C 22L  S

16S  C 13L  S  70C  Q 54S  13L  C   13L  C 3L  16S  C 22L  S  140C  Q 156S  22L  C 22L  C 4L 

2.2 Matriz de Masa Concentrada: En un cuerpo rígido no existe deformación interna y las propiedades inerciales se pueden expresar en el centro de masa. Como la masa está relacionada con la aceleración, entonces los grados de libertad serán las aceleraciones. Se tiene que en una placa rígida a flexión hay 3 grados de libertad: dos desplazamientos horizontales, ux y uy y un giro o rotación de la placa θz.

10

Cuando el sistema de coordenadas coincide con en el centroide de la placa y se considera la masa de las columnas despreciable, la matriz de masa de la losa queda:

 m 0 [m] =  0 m  0 0 

 0  0  m  J  A 0

m: Masa de la Losa A: Área de la Losa = a x b Jo: Momento polar de inercia = I xx + I yy =

ba 3 ab 3 + 12 12

Para un sistema estructural reticular aporticado con diafragma rígido, se puede considerar la matriz de masa diagonal, siempre y cuando la mayor parte de la masa este concentrada en la placa Esto significa que la masa de la losa, (Se puede usar la mitad de la masa de las columnas para el segundo y tercer piso y 1/3 de la de la masa de las columnas del primer piso), induce una fuerza inercial solo en el grado de libertad de desplazamiento indicado, es decir la masa mi, se mueve en la dirección xi asociada a una aceleración ai en la misma dirección. Por lo tanto la matriz de masa para el pórtico mostrado es:

m  3 [m] =  0  0 

0 m

2 0

0   0  m1  

11

En estructuras donde la mayor cantidad de la masa se encuentre en los muros estructurales como bodegas, o donde el diafragma del piso sea flexible, como en puentes, no se puede usar diafragma rígido, y se debe usar la matriz consistente de masa para armar la ecuación de equilibrio dinámico. La masa concentrada se utiliza en el análisis dinámico de cuerpos rígidos, cuando el elemento es muy rígido se desprecia la deformación interna y las propiedades inerciales se referencian al centro de masa. Se acelera la placa respecto al punto (0,0,0)

X; Y S distancia al centro de masa

X

Z

Ö

u

u

? Las fuerzas inerciales son:

F  mµ   mYθU

F  mµ   mXθ U

m   MV  mYµ   mXµ  Q ? J Q MYX Q Y Z@ θU A m: masa total A: área de la placa J[ Momento polar de inercia

I[ 





J Q MYX Q Y Z \

-

m 0 Ym µ  F^ 0 m Xm ] F_ `  a b cµ  d m   MV Ym Xm J Q MYX Q Y Z θ U A

eFf  4M5eµ f

Cuando la aceleración se hace respecto al centro de masa queda:

12

X  Y  0, la matriz de masa

m F^ ] F_ `  g 0 0 MV

0 m 0

0 µ  0 h cµ  d m J A θU

Para un conjunto de cuerpos rígidos, unidos por conexiones rígidas

 Σmi 4M5   0  ΣY$ m$

0 Σmi

ΣX$ m$

ΣY$ m$ ΣX$ m$

  m    Σ ) J Q MYX Q Y Z+ A

Problema: Una losa de concreto maciza, con rigidez infinita (diafragma rígido), tiene una masa concentrada m= 25 Ton en un extremo. Calcule la matriz de masa respecto a su eje centroidal.

Öz

u

u

Mj.klk  24 kNpmo  10  20  0,25  120 Tn El centroide de área coincide con el de masa

X

Y

ΣX$ m$ 0  25 Q 5  120   4,14 m Σmi 145

ΣY$ m$ 0  25 Q 10  120   8,28 m Σmi 145

Masa de la Placa A= 10x20 = 200

J  I^^ Q I__ 

10  20 20  10 Q  833,33 ms 12 12

Xt  5  4,14  0,86 m

13

Yt  10  8,28  1,82 m Ymt  218,4 Tn  m Xmt  103,2 Tn  m

m 120  8333,33   J Q M )X Q Y +  Q 120  Y0,86 Q 1,82 Z  5486,24 Tn  m A 200 Masa excéntrica A= o , J  0

X  4,14 m , Y  8,28 m

Xm  103,5 Tn  m , Ym  207 Tn  m

m   J Q M )X Q Y +  25  Y4, 14 Q 8, 28 Z  2142,45 Tn  m A 4M5  u

145 0 425,4 0 145 206,7 v 425,4 206,7 7628,7

Unidades [Ton] y [m]

3. MODELACIÓN MATEMÁTICA DE LA ESTRUCTURA 3.1 MATRIZ DE RIGIDEZ De la escogencia y localización de los grados de libertad, depende la forma del sistema de ecuaciones de equilibrio. La Rigidez se define como la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario en la dirección de la carga. El Análisis Estructural relaciona la rigidez, el desplazamiento y la fuerza, por medio de la ecuación de equilibrio estático {F} = [K ]{u}. Este modelo matemático, de múltiples ecuaciones simultáneas, describe el comportamiento de la estructura ante unas cargas estáticas. Un pórtico estructural puede ser idealizado como un ensamblaje reticular de elementos de vigas y columnas interconectadas en los nudos, los muros estructurales no se considerarán en este modelo. Los desplazamientos de los nudos son los grados de libertad. Para un pórtico plano, cada nudo tiene 3 grados de libertad: dos desplazamientos y un giro. Se asume un comportamiento dentro del rango elástico lineal de los materiales, y por lo tanto las fuerzas resistentes del piso serán proporcionales a los desplazamientos.

14

3.2 DIAFRAGMA RÍGIDO Se considera la losa muy rígida en su propio plano; se puede idealizar como un cuerpo rígido, y describir cualquier coordenada dentro del diafragma. La localización de cualquier punto dentro del diafragma se puede describir a partir de 2 desplazamientos horizontales y un giro. θ θ

Se toma el origen en el centro de masa del diafragma, Los desplazamientos verticales en columnas y diafragma, y las rotaciones alrededor de los ejes horizontales, se muestran en la siguiente gráfica:

“Dos puntos de una losa de entrepiso, que se idealice como diafragma rígido no pueden tener desplazamientos relativos horizontales, pero si desplazamientos verticales y giros respecto a ejes horizontales”. [García. L.E.] Las propiedades inerciales de la masa, se encuentran en el centro de la masa, y no se tiene en cuenta la masa de columnas y pantallas, hipótesis aplicable a edificios aporticados, pero no a sistemas de muros estructurales. Cada losa se puede deformar ante diferentes cargas externas, como en la siguiente figura:

15

Lo anterior implica que cada losa posee infinitos grados de libertad, por lo tanto si se considera que las losas son infinitamente rígidas solo existirían 3 grados de libertad únicos para describir el movimiento de cualquier fragmento o partícula, tal y como se muestra en la figura No. 14.

Las losas de Diafragma No Rígido, se presentan en sistemas sobre muros, Placas de entrepiso sobre elementos prefabricados sin superficies rígidas en el nudo, Edificio con vacios grandes en el diafragma, Edificios con irregularidades tipo 2P y 3P, Losas de transferencia en edificios y losas de transición.

3.3 MODELACIÓN DE EDIFICIO APORTICADO

A continuación se presenta el modelo de una edificación de dos niveles. Inicialmente se consideran todos los grados de libertad de la estructura. Si se supone un diafragma rígido, se observa que sobre las losas existen dos desplazamientos horizontales y un grado de libertad rotacional. Del método de la rigidez directa, se sabe que cada nudo tiene 3 grados de libertad y que la masa de la losa se concentra en estos, sumando un total de 12 grados de libertad. θ

θ

3.3.1 Se genera la matriz de rigidez de cada elemento y se ensambla la matriz de rigidez de cada pórtico [ Kp1 ],[ Kp2 ],[ KpA ] y [ KpB ], para éste caso. Cada una de 12 x 12.

16

[ K ]12x12

Pórtico 1 y A

3.3.2. Se suponen las vigas con rigidez axial infinita debido al diafragma rígido. Se define un grado de libertad horizontal X e Y por piso independientes y las otra dependientes, se arma la matriz [ R ] a partir de las relaciones lineales entre los grados de libertad.

[ Ki ] = [ R ]T [ Kp ][ R ] Para el pórtico tipo 1 [ Ki1 ]10x10 Para el pórtico tipo A [ KiA ]10x10 3.3.3. Condensación de grados de libertad Para pórticos bajos y largos H/B ≤ 5, se eliminan los grados de libertad verticales, donde H es la altura de la edificación y B es el lado, se pueden eliminar los grados de libertad verticales, omitiendo tanto la fila como la columna correspondiente en la matriz de rigidez. Caso I: H/B > 5 Se consideran Caso II: H/B ≤ 5 Se desprecian

17

Caso I: Se reordena la matriz para que en las primeras filas y columnas queden los grados de libertad horizontal y rotacional, y a la derecha y parte inferior los grados de libertad verticales. 4K $ 5  x

K$ K o$

k $ y K ss

{Fi} = [Ki]{ui}

La Matriz de rigidez del pórtico con grados de libertad verticales condensados queda:

4K z{ 5  ?4K$ 5  4K $ 54K s$ 54K o$ 5@

Los grados de libertad condensados se obtienen con: {Uv} = -[Ki4]-1[ Ki2] {Usv}

Caso II: Se eliminan filas y columnas de grados de libertad verticales {Uv}=0 en la matriz [Ki] y se obtiene la matriz [Ksv].

Para el pórtico 1 [Ksv1] 6x6 Para el pórtico A [KsvA] 6x6

18

3.3.4. Condensación de los grados de libertad rotacionales. No hay ningún efecto inercial asociado a los grados de libertad rotacionales respecto a ejes horizontales del diafragma, por lo tanto se puedan condensar. [Ksv]: Se reordena para que en las primeras filas y columnas queden los grados de libertad horizontales y las inferiores y derecha las verticales y rotacionales.

4K |} 5  N

K|} K o|}

Se condensa.

K |} P K s|}

[Kc] = [ [Ksv1] – [Ksv2] [Ksv4 ]-1 [Ksv 3] ] Los grados de libertad condensados se calculan con: {Urot} = -[Ksv3]-1 [Ksv2] {Up} Las Matrices de efectos horizontales, contienen la rigidez solo para desplazamientos horizontales, quedan: Pórtico 1 [Ksv1]2x2 Pórtico A [KsvA]2x2

3.3.5. Transformación de los grados de libertad de un desplazamiento por piso a tres por piso en diafragma rígido. θ

θ

Se localiza el origen en la intersección del eje 2 y el eje B. Los grados de libertad del diafragma en el centro de la masa, para que la matriz quede diagonal. 19

α

Se hace equilibrio entre las fuerza en casa piso del pórtico y la resultante en el centro de la masa del diafragma. Se toma la fuerza del pórtico local y del diafragma global.

Las coordenadas (xA ,yA ) y (xB, yB) deben estar en la línea de acción del pórtico.

d  ~YYX   X \ Z Q YY  Y\ Z Z

Sen α = (YB – YA)/d

Cos α = (XB – XA)/d

Si FL se mantiene en su línea de acción, no importa la localización que tenga, si el pórtico no es perpendicular:

Del equilibrio:

F‚$ Sen α Fix Cosα ]Fiy`  u v cF‚$ d  Yy€  y\ ZCosα  YX  X \ ZSenα M‚$ Mi

{ Fi } = [ Ti ] { FLi } { Fi } = Fuerzas globales diafragma piso i { FLi } = Fuerzas locales pórtico i

20

El centro de masa de cada piso i se define con el vector de posición:

€€€€ ri  Yyƒ  €€€ZCos y\ α  YXƒ  X \ ZSenα

Para el edificio de dos pisos. C = Cos α

r = Vector de posición

F F     M  F  F 

M 

{ F } = [ Tp ] { FL }

†Tj ‡  N

T

T

P

S = Sen α

S 0 C  0   r2  0  „F …  0 S  F 0 C  0 r1

ˆˆ

Donde [Ti ]2x1

n = Numero de pisos

Para cada pórtico. {FPL } = [ KCL ] { UPL } {FP } = [TP ] { FPL } = [ TP ][ KCL ] { UPL} Se tiente: { U } = [ TP ] { UPL }

{ U } = Grados de libertad globales del diafragma

{ UPL } = [ TP ]-1 { U } { UPL } = [ TP ]T { U } Reemplazando en { FP } { FPL } = [ TP ] [ KCL ] [ TP ]T { U } { KP }9x9 = [ TP ] [ KCL ] [ TP ]T [ KP ]: Matriz del pórtico en función de los grados de libertad globales de la estructura.

21

3.3.6. Ensamblaje matriz de masa [ Mi ]: Matriz de masa piso i; suponiendo diafragma rígido. [ Mi ]3x3 = g

m

m

U h U mo M

Matriz de masa de la estructura [ M ]. [ M ] = xN

4m 5oo

4m 5oo

Py

ŠŠ

2 pisos

La fuerza inercial es { F } = [ M ]{ Ü } 3.3.7. Ecuación de equilibrio dinámico de la estructura. [M]{Ü }+[K]{U}={0}

Vibración Libre

[ M ] { Ü } + [ K ] { U } = - [ K ] { γ } { Xo }

Vibración Forzada

{ γ } { Xo } = Aceleraciones en los grados de libertad de la estructura.

El registro acelerográfico tiene cinco componentes de aceleración: Dos horizontales ortogonales NS y EW y una vertical. No registra aceleración rotacional asociada a la inercia de una masa rotacional del diafragma. Para diafragma rígido no se incluyen los efectos verticales de aceleración.

X ‹z  Aceleración Norte  Sur  Aceleración Este  Oeste X Œ

: Aceleraciones horizontales ortogonales del terreno, no colineales con los X ‹z y X Œ grados de libertad globales del diafragma. 22

Senβ X [  X ‹z Cosβ  XŒ Cosβ X [  X ‹z Senβ Q X Œ

Si se usa una componente del acelerograma

X [  X ‹z Cosβ Senβ X [  X Œ

X [ La matriz [ γ ] queda: ev[ f  4γ5 ’X “ [ v[ v  [  v  

1 0   ev[ f  v  0 1  [  v 0   [   0 

v

0 1  0  ’ X ‹z Cosβ “ 0 X Œ Senβ 1 0

Si la aceleración del terreno es colineal con el grado de libertad del diafragma de la estructura se coloca 1, sino 0.

3.3.8. Fuerzas en los elementos Después de resolver la ecuación de equilibrio dinámico y encontrar los desplazamientos globales { U } se calculan: - Grados de libertad rotacionales condensados {Urot} = -[ KSV4 ]-1 [ KSV3 ] { UP } - Grados de libertad verticales { Uv } = - [ Ki4 ]-1 [ Ki3 ] { USV }

eUz{ f  „

Donde:

para H/B > 5

Ut … U”[•

Si H/B ≤ 5

{ UV } = { 0 } entonces:

U eU$ f  „ z{ … U{

Por último se obtiene los desplazamientos de todos los grados de libertad del pórtico.

23

eU‚ f  4R5eUif

Se calculan los grados de libertad del pórtico

eU\ f  4R5eU$ f eU f

Como los desplazamientos están en coordendas locales del pórtico { UL }, se calculan las fuerzas en los elementos de la estructura, y reacciones en los apoyos.

4. SOLUCIÓN DE LA RESPUESTA DINÁMICA PARA SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD Existen varias formas de Solución, entre las que se tiene: La Solución Modal, que consiste en convertir el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas y linealmente dependientes, en un conjunto de ecuaciones de equilibrio independiente. Generalmente se realiza el análisis modal cronológico y el modal espectral. Otra forma de solución se hace por medio de integración de las ecuaciones de equilibrio, el cual es análogo a sistemas de un grado de libertad, con aplicación en sistemas estructurales con características no lineales. Para encontrar la respuesta dinámica se utilizará un espacio vectorial, que es una región del espacio-tiempo con ciertas propiedades o características matemáticas, construida a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes, que se conocen como la Base del sistema, y que describen el movimiento del modelo estructural dentro del espacio vectorial, usando combinaciones lineales y otras propiedades.

4.1 Solución Modal para el caso no amortiguado En Vibración Libre se tiene el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas: ..

[m]u  + [k ]{u} = {0}

  Se supone la solución de la forma:

{u i (t )}= {φi }f i (t )

{φi }: Vector de amplitudes

f (t ) i : Función que depende del tiempo

Derivo dos veces y reemplazo en la ecuación diferencial.

24

{u& i (t )}= {φi }f&i (t ) {&u&i (t )}= {φi }&f&i (t )

[m]{φ i }&f&i (t ) + [k ]{φ i }f i (t ) = {0}  n   n   ∑ mijφ i &f& (t ) +  ∑ kijφ i f (t ) = 0   j i j i  j =1   j =1  Usando el método clásico de separación de variables en ecuaciones diferenciales: n

i &f& (t ) ∑ kijφ j = j 1 − i = n = w2 i f (t ) ∑ mijφ i i j j=1

Se observa que ambos lados de la expresión anterior son iguales a la frecuencia natural wi al cuadrado. Por analogía a los sistemas de un grado de libertad la solución de esta ecuación tiene dos partes: La parte que depende del tiempo es: &f& (t ) + w 2 f (t ) = 0 i i i

La solución de la anterior ecuación diferencial es de la forma: f (t ) = A Senw t + B Cosw t i i i i i w

i : Frecuencia natural A B i , i : Constantes que dependen de las condiciones iniciales y representan la amplitud del movimiento oscilatorio. La otra expresión es: n i 2n i ∑ kijφ j − w i ∑ mijφ j = 0 j=1

j=1

n  i 2n  ∑ kij − w i ∑ mijφ j = 0 j=1  j=1  [k ] − w i2 [m] φ i = 0 (1)

(

){ }

Para solucionar este sistema de ecuaciones simultáneas se recurre al teorema de Cramer: 25

a) Si el determinante de un sistema lineal no homogéneo de n ecuaciones en el mismo φ número de incógnitas n , es diferente de cero, el sistema tiene exactamente una solución. b) Si el sistema es homogéneo y el determinante es diferente de cero, únicamente se tiene la φ solución trivial n =0 c) Si el sistema es homogéneo y el determinante es igual a cero, se tiene soluciones no φ ≠ triviales n 0. Usando la parte c) del teorema se tiene que la ecuación (1) tiene solución no trivial si el determinante de la matriz de coeficientes es cero Det = [k ] − w 2 [m ] = 0 i

Determinante característico

Al expandir el determinante se encuentra la ecuación característica o frecuencial, que es un polinomio de grado 2n. Como las matrices de masa y rigidez son simétricas y positivas definidas, las n raíces de esta ecuación son reales y positivas, y se conocen como los Valores Propios, Eigenvalues o valores normales. La matriz [k ] es positiva definida para evitar el movimiento de cuerpo rígido de la estructura soportada, aunque no es necesario para estructuras como los aviones. La matriz [m] es positiva definida para asegurar que la masa concentrada no sea eliminada en todos los grados de libertad del análisis por la condensación estática. Las n raíces son las frecuencias naturales de vibración del sistema, que es un valor propio si se cumple el teorema de Cramer. Una matriz nxn tiene exactamente n frecuencias naturales. Despejando de la ecuación anterior, se tiene:

[k ] = w i2 [m]

[m]−1[k ] = w i2 [m]− 1[m] [m]−1[k ] = w i2

(2)

La Frecuencia fundamental es la frecuencia natural w más pequeña de las i-avas i frecuencias naturales. Una vez obtenidas las frecuencias de (2) se reemplazan en (1) los w valores de i y se obtienen n sistemas del tipo.

([k] − w 2n [m]){φ n }= 0

n = 1, 2, 3…....

26

{ }

existe un vector independiente φ n que es una solución no trivial n del sistema de ecuaciones simultáneas, que se conoce como vector característico, Eigenvector o modo de vibración.

Para cada valor de w

{ }

se tiene un vector φ n que tiene una forma definida pero n amplitud arbitraria, dado por los valores relativos de los n desplazamientos, correspondientes a las n frecuencias de vibración. Si existen n frecuencias naturales entonces excitarán n modos de vibración. Si dos frecuencias son iguales, cualquier combinación lineal de los modos, también es otro modo de vibración. Para cada frecuencia w

Los Modos de Vibración son propiedades del sistema que dependen de la rigidez y masa. Cada modo se puede excitar independientemente y el movimiento del conjunto de masas se w moverá con la forma del modo y con una frecuencia natural n asociada al modo. El movimiento general de un sistema de n grados de libertad se representa por la superposición de los modos del sistema.

4.2 Ortogonalidad de los modos. Cada modo corresponde a una frecuencia natural diferente que satisface la siguiente condición de ortogonalidad. Cuando w ≠ w . i n

{ }= w 2n [m]{φ n }

[k ] φ n

{}

Premultiplicando por la transpuesta del r-avo modo φ r

{φ r } [k]{φ n }= w 2n {φ r } [m]{φ n } T

T

T

(3)

Si se inicia con el modo r y premultiplicamos por el vector transpuesto del modo n, se tiene:

{φ n } [k]{φ r }= w 2r {φ n } [m]{φ r } T

T

( 4)

T T Como la matriz [k ] = [k ] y la [m ] = [m ] , debido a que son simétricas, se tiene que la transpuesta de la matriz del lado derecho es igual a la transpuesta del lado izquierdo. Usando la ecuación (3):

{φ n } [k]{φ r }= w 2n {φ n } [m]{φ r } T

T

(5)

Restando (4) de (5)

27

{ } {}

 w 2 − w 2  φ n T [m ] φ r = 0 r  n  w 2 − w 2  = 0 r  n

{φ n } [m]{φ r }= 0 T

w2 ≠ w2 r , que para sistemas con frecuencias La ecuación anterior es verdadera cuando n w ≠w r , se puede concluir que: naturales positivas implica que n

{φ r } [k]{φ n }= 0 T

y

{φ r } [m]{φ n }= 0 T

Y sustituyendo en la ecuación (3) y (4), se observa que se cumple la igualdad. La ortogonalidad de los modos naturales de vibración implica que las siguientes matrices cuadradas son diagonales, siempre y cuando r=n, si son diferentes, entonces las matrices son iguales a cero

{φ r } [k]{φ n }= {w 2r } {φ r } [m]{φ n }= {1} T T

El significado físico que implica la ortogonalidad modal, es que el trabajo hecho por la fuerza inercial en el n-avo modo a través del desplazamiento en el r-avo modo, es igual a cero.

4.3 Normalización de los Modos. La Normalización consiste en tomar uno de los elementos del vector y asignarle un valor arbitrario, por ejemplo 1, los elementos restantes quedan normalizados, respecto a este valor, y los vectores se denominan modos normales. Si el vector φ n es un modo normal,

{ }

cualquier vector proporcional es prácticamente el mismo modo escalado por un factor. A veces es conveniente normalizar cada modo en los elementos correspondientes a un grado de libertad en particular, por ejemplo asignarle la unidad al último piso de un edificio de varios pisos. Es común normalizar los modos respecto a la matriz de masa, es decir que la n-ésima masa mn tenga valores unitarios, esta normalización se conoce como masa ortonormal.

{φ r }T {φ r } = 1 {φ r }T [m]{φ r } = [I] 28

[I] es la matriz identidad.

r }T [m ]{φ r } { φ Si los modos se normalizan con , entonces los vectores modales componen un conjunto de vectores linealmente independientes. Se acostumbra a escribir todos los modos en una sola Matriz modal

[Φ] = {φ1}{φ 2 }{φ 3 }...... {φ n } 



4.4 Desacople de las Ecuaciones de Movimiento Un vector siempre puede expresarse como una combinación lineal de los modos y pueden describir cualquier movimiento del sistema, cada modo multiplicado por unas constantes que dependen de las condiciones iniciales. Si el movimiento es forzado, las constantes dependen de la solicitación. Las constantes indican el grado de participación de cada modo en el movimiento total. Para vibración libre el movimiento del sistema se describe con la siguiente expresión:

{u} = [Φ]{η} Donde: {U}: Grados de libertad globales

{η}: Nuevos Grados de libertad o generalizados [Φ] : Matriz modal normalizada

Derivo dos veces y reemplazo en la ecuación diferencial de equilibrio dinámico.  ..  ..  u  = [Φ ]η     .. [m]u  + [k ]{u} = {0}   .. [m][Φ]η + [k ][Φ]{η} = {0}   T Premultiplicamos por [Φ ]

[Φ]T [m][Φ]{&η&} + [Φ]T [k ][Φ]{η} = {0} Por el principio de ortogonalidad:

29

[Φ]T [m ][Φ]{η} = [I]

y

[Φ]T [k ][Φ] = w 2  



[I]{&η&} + w 2 {η} = 0 



Esto implica que se tienen n ecuaciones independientes de un grado de libertad del tipo: .. ηi + w 2 η = 0 i i Para solucionar esta ecuación diferencial se aplican los mismos métodos que se usaron para resolver sistemas de un grado de libertad. Después que se obtiene la solución de la ecaución diferencial de cada grado de libertad generalizado, la respuesta dinámica de la estructura es la superposición de la contribución de cada modo.

{u} = [Φ ]{η} =

[{ } ] { }

{ }

n ∑ φ η (t ) = φ1 η1 (t ) + φ 2 η 2 (t ) + K + {φ n }η n (t ) i=1 i i

{η}:

Sistema de coordenadas generalizadas, donde cada una actúa independientemente como si fuera un grado de libertad único, que a su vez afecta los grados de libertad globales, de forma tal que se mueven armónicamente en el modo correspondiente.

4.5 Vibración con Condiciones Iniciales Una vez obtenida la respuesta dinámica de la estructura de cada una de las ecuaciones desacopladas, se debe emplear la transformación de coordenadas siguiente para pasar a los grados de libertad globales.

{u (t )} = [Φ ]{η} Derivo

{u& (t )} = [Φ ]{η& } Para el caso no amortiguado la solución para los grados de libertad generalizados es de la forma:

{η(t )} = {ASenwt} + {BCoswt} Derivo

{η& (t )} = {AwCoswt} − {BwSenwt} Reemplazando en la respuesta dinámica de los grados de libertad globales: 30

{u(t )} = [Φ]{ASenwt} + [Φ]{BCoswt} .  u (t ) = [Φ ]{wACoswt } + [Φ ]{− wBSenwt }   .  Si se tienen condiciones iniciales u y u o  o   u = [Φ]{η(0 )} = [Φ]{B} o  .   .  u o  = [Φ ]η& (0 ) = [Φ]{wA}    

{ }

{ }

T Premultiplicando por [Φ ] [m ]

[Φ]T [m]{u o }= [Φ]T [m][Φ]{B} = {B} [Φ]T [m]{u& o }= [Φ]T [m][Φ]{wA} = {wA} La solución de la respuesta dinámica de desplazamiento en el tiempo, de un sistema de varias grados de libertad no amortiguado con condiciones iniciales es:

{u (t )} = [Φ][Φ]T [m ]{u& o } 1 Senwt  + [Φ][Φ]T [m]{u o }{Coswt} w



Problema: (Fuente: Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico. García, Luis E.). Hallar las frecuencias naturales, modos de vibración y la Respuesta Dinámica de desplazamiento en coordenadas globales. Estructura Idealizada

31

Matriz de masa de la estructura:

0  m 0  [m] =  0 2m 0   0 0 2m Usando el método de la rigidez directa:

Donde k =

12EI ×4 3 L

Columnas

I: Momento de Inercia respecto al eje flexionado. E: Modulo de elasticidad del material. 32

L: Altura del piso. k: Rigidez del piso. Matriz de rigidez del Edificio:

 k −k 0  [k ] = − k 2k − k   0 − k 2k  Ecuaciones de Movimiento  ..  u  0  .. 3   k − k 0   u 3  0 m 0  0 2m 0  u  + − k 2k − k  u  = 0  2      2      0 0 2m  ..  0 − k 2k   u  0  1    u1    Se pueden obtener n sistemas del tipo:

([k] − w 2n [m]){φ n }= 0 Las Frecuencias Naturales se hallan: Det = [k ] − w 2n [m ] = 0

k − w 2m −k Det = −k 2k − w 2 2m 0

−k

0 −k 2k − w 2 2m

Expando el determinante D = 4m 3 w 6 − 12km 2 w 4 + 9k 2 mw 2 − k 3 = 0 w6 − 3

÷ 4m 3

k 4 9 k 2 2 1 k3 w + w − =0 m 4 m2 4 m3

Se puede hacer por comodidad w 2 = u y

k = 1 , se obtiene un polinomio de grado 3 con 3 m

raíces

33

u 3 − 3u 2 +

u1 = 0.134

9 1 u− =0 4 4

u2 = 1 u 3 = 1.886 Pero u = w 2 y colocando 1 =

k y ordenando de menor a mayor se obtienen las m

frecuencias naturales del sistema k w 2 = 0.134 1 m

k w2 = 2 m

k w 2 = 1.886 3 m

Los modos de vibración se calculan con:

([k] − w 2n [m]){φ n }= 0 k Para w 2 = 0.134 1 m

   k −k 0 k −  0.134 m m      φ 3  0 k    φ  = 0 −k 2k −  0.134 2m −k   2    m       k    φ1  0   0 −k 2k −  0.134 2m  m     −k 0  φ 3  0 0.866k      −k 1.732k − k  φ 2  = 0   0 1.732k   φ1  0 −k   0.866kφ 3 − kφ 2 = 0 − kφ 3 − 1.732kφ 2 − kφ1 = 0

(2)

− kφ 2 + 1.732kφ1 = 0 De (3) De (1) De (2)

φ 3 = 1.155φ 2

(1)

(3)

φ 2 = 1.732kφ1

(

)

0.866kφ 3 − k 1.732φ1 = 0

φ 3 = 2φ1

− 2kφ1 − 1.732k 1.732φ1 − kφ1 = 0

0=0

(

)

34

φ

1

Solución Trivial

φ1 Puede tomar cualquier valor. φ =1 Sea 1 Primer modo de vibración o modo fundamental

 2    φ1 = 1.732  1   

{ }

k Para w 2 = 2 m  0 − k 0  φ 3  0 − k 0 − k  φ  = 0   2     0 − k 0   φ  0  1 − kφ 3 = 0 − kφ 3 − kφ1 = 0

φ 3 = −φ1

− kφ 2 = 0

φ1 φ 3 y : Pueden tomar cualquier valor . Si φ1 = 1 − 1   Segundo modo de vibración o Modo 2 φ 2 =  0  1  

{ }

k Para w 2 = 1.886 3 m −k 0  φ 3  0 − 0.866      −k − 1.732k − k  φ 2  = 0   0 −k − 1.732  φ1  0   − 0.866kφ 3 − kφ 2 = 0 − kφ 3 − 1.732kφ 2 − kφ1 = 0

− kφ 2 − 1.732kφ1 = 0

φ 2 = −1.732φ1

(

)

− 0.866kφ 3 − k − 1.732φ1 = 0

De (1) Si φ1 = 1

 2    Modo 3 φ 3 = − 1.732  1   

{ }

35

φ 3 = 2φ1

Fuente: Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico. García, Luis E. Normalizando los modos respecto a la matriz de masa

{φ r }T [m]{φ r } = [I] Se obtienen las modas ortonormales Modo 1: m 0 {2 1.732 1} 0 2m  0 0  2  1   φ1 = 1.732 = 2 3m    1 

{ }

 2   1.732 = 12m    2m   1  0.557  1    0.5  m  0.289  0 0

Modo 2: 0  − 1 m 0  {− 1 0 1} 0 2m 0   0  = 3m  0 0 2m   1 

{φ 2 }=

− 1 − 0.557  1   1   0 =  0  3m   m  1  0.557 

Modo 3:

36

m 0 {2 − 1.732 1} 0 2m  0 0  2  1   φ3 = − 1.732 = 2 3m    1 

{ }

 2   − 1.732 = 12m    2m   1  0.557  1    − 0.5  m  0.289 0 0

Matriz Modal

0.557 − 0.557 0.557 1  [Φ ] = 0.5 0 − 0.5   m 0.289 0.557 0.289 Usando la matriz [Φ] , se desacopla el sistema:

[Φ ]

0.5 0.289  m 0 0   0.557 0.557 − 0.557 0.557  1  1     [m][Φ ] = − 0.557 0 0.557   0 2m 0  0.5 0 − 0.5    m m  0.557 − 0.5 0.289   0 0 2m  0.289 0.557 0.289 

[Φ ]

1 0 0 [m][Φ ] = 0 1 0 0 0 1 

[Φ ]

0.5 0.289   k − k 0   0.557 0.557 − 0.557 0.557  1  1  0.5 [k ][Φ ] = − 0.557 0 0.557  − k 2k − k  0 − 0.5  m m  0.557 − 0.5 0.289   0 − k 2k  0.289 0.557 0.289 

[Φ ]

0  0.1341 0 k [k ][Φ ] =  0 1 0  m  0 0 1.886

T

T

T

T

Las ecuaciones desacopladas  ..  1 0 0 0   η1  0    η1  0.134 0     0 1 0 η..  + k  0 1 0  η 2  = 0   2  m  0 0 1  ..   0 0 1.886  η 3  0   η3   

37

Como ecuaciones diferenciales independientes: .. k η1 + 0.134 η1 = 0 m .. k η2 + η2 = 0 m .. k η3 + 1.886 η3 = 0 m Suponiendo un desplazamiento unitario como condición inicial y velocidad inicial igual a cero:  .  u o  = {0}   1 {u o } = 1 1 

0  1 0.5 0.289 m 0  0.557 2.1547  B1  1 − 0.557   0 2m 0  1 = m 0.5774 = B  {B} = [Φ ]T [m] u o = 0 0.557    2    m        0.557 − 0.5 0.289  0 0 2m 1 0.1548  B3 

{ }

La respuesta del sistema es:

{u} = {φ1}η1 (t ) + {φ 2 }η 2 (t ) + {φ 3 }η3 (t )  u  0.557 0.557 − 0.557  3       u 2  =  0.5 2.1517Cosw1t +  0 0.5774Cosw 2 t +  − 0.5 0.1547Cosw 3 t  u  0.289  0.557  0.289       1   u   1.244  − 0.333  0.089   3  k k k      t + − 0.077 Cos 1.886 t u 2  = 01.077Cos 0.134 t +  0 Cos m  m  m  u   0.622    0.333 0.045        1

4.6 Análisis Modal en vibración libre con amortiguamiento Cuando se incluye el amortiguamiento, la respuesta en la vibración libre es:

38

[m]{&u&} + [c]{u& } + [k ]{u} = {0}

{u o }

y

.  u o    , se pueden expresar los desplazamientos

Si existen condiciones iniciales {u} en términos de los modos naturales del sistema sin amortiguamiento:

[m][Φ]{&η&} + [c][Φ]{η& } + [k ][Φ]{η} = {0} T Premultiplicando por [Φ]

[M]{&η&} + [C]{η& } + [K]{η} = {0} Donde

[M] = [Φ]T [m][Φ] [C] = [Φ]T [c][Φ] [K ] = [Φ]T [k ][Φ]

[C]

es una matriz cuadrada pero no es diagonal, ya que depende de la distribución del amortiguamiento en todo el sistema estructural. Si [C] es diagonal, representa el amortiguamiento en las n-avas ecuaciones diferenciales desacopladas en las coordenadas de los grados de libertad generalizados η , y se dice que el sistema tiene un amortiguamiento clásico, ya que es aplicable a tales sistemas, con las mismas frecuencias naturales y modos de vibración que el sistema no amortiguado. El amortiguamiento generalmente se especifica con un valor para una relación modal, suficiente para realizar un análisis de un sistema lineal. Por lo tanto no es práctico definir los coeficientes en la matriz de amortiguamiento a partir de la geometría estructural, sección de los elementos, y propiedades de amortiguamiento en materiales. El amortiguamiento es un valor obtenido de ensayos experimentales los cuales son usados en la relación modal. Los coeficientes de la matriz de amortiguamiento clásicos se definen imponiendo unas condiciones iniciales de velocidad unitaria en cada uno de los grados de libertad generalizados, es decir de la ecuación de equilibrio desacoplada, obteniendo las fuerzas internas de amortiguamiento en cada uno de los grados de libertad, se repite el proceso para cada grado de libertad y se obtiene la matriz de amortiguamiento. Desacoplando la Matriz [C] se tiene:

[C] = [Φ]T [c][Φ] = [2ξ i ωi ]

39

[2ξiωi ] es una matriz diagonal y i es el amortiguamiento asociado con el modo i en el grado de libertad i obtenido de ensayos. Aunque la matriz de amortiguamiento se puede desacoplar, no tiene relación con el amortiguamiento real en el grado de libertad determinado. Por lo tanto lo que se hace es desacoplar la ecuación de equilibrio dinámico y después el amortiguamiento se introduce en la ecuación desacoplada, evitando un gran error.

2 &η& + 2ξ w η& + w ηi = 0 i i i i i Esta ecuación se resuelve por cualquiera de los métodos vistos anteriormente, para sistemas de un grado de libertad. En cada ecuación desacoplada el amortiguamiento es el correspondiente al modo i.

4.7 Excitación en la Base La ecuación de movimiento para excitación en la base es: ..

..

[m]u  + [k ]{u} = −[m][γ ]x o   





Usando coordenadas generalizadas y derivando respecto al tiempo:

{u (t )} = [Φ ]{η} {u& (t )} = [Φ ]{η& } {&u&(t )} = [Φ ]{&η&} Reemplazando en la ecuación de equilibrio ..

..

[m][Φ]η + [k ][Φ]{η} = −[m][γ]x o   





T Premultiplicamos por [Φ ]

..

[Φ]T [m][Φ]{&η&} + [Φ]T [k ][Φ]{η} = −[Φ]T [m][γ]x o  



Por el principio de ortogonalidad:

[Φ]T [m ][Φ]{η} = [I]

y

[Φ]T [k ][Φ] = w 2  



Se obtienen n ecuaciones desacopladas de un grado de libertad. 40

.. 2 &η& + w ηi = −α i x i i o Se introduce el amortiguamiento clásico

.. 2 &η& + 2ξ w η& + w η = −α i x i i i i i i o Donde:

[α] = [Φ]T [m][γ] El valor máximo que puede tener η entre la base y la masa del sistema, es igual al leído en i el espectro de respuesta del sismo para la misma frecuencia w y el mismo amortiguamiento ξ en un sistema de un grado de libertad.

( )

η (max) = α Sd T ξ i i i i

Donde

( )

Sd T ξ i i es el valor del espectro de desplazamientos.

Si se tiene el espectro de aceleraciones:

η (max) = α i i

( )

1 Sa T ξ i i 2 w i

La matriz modal es:

[Φ] = {φ1}{φ 2 }{φ 3 }...... {φ n } 



La respuesta dinámica de desplazamientos de la estructura se obtiene con:

{u (t )} = [Φ][α]{η} = {φ1}α1η1 (t ) + {φ 2 }α 2 η 2 (t ) + .............. + {φ n }α n η n (t ) =

{}

n ∑ φ ⋅ α η i (t ) i i i =1

Si se toman los máximos de la respuesta dinámica de los grados de libertad generalizados η i , y se superponen, no se obtiene la máxima respuesta, ya que estos desplazamientos máximos ocurren en tiempos diferentes, debido a la variación en el tiempo de la magnitud de la aceleración. La máxima respuesta dinámica de desplazamiento modal, correspondiente al modo i es: 41

{u (t )i }max = [Φ]{α iSd(w i ξ i )}=

{ }

(

n ∑ φ ⋅ α Sd w ξ i i i i i =1

)

Las fuerzas dinámicas inerciales en la estructura de cada modo, se obtienen multiplicando los desplazamientos de cada modo por la matriz de rigidez de la estructura.

{Fi} = [k ]{u i } El cortante basal en el modo i correspondiente a la fuerza en el piso i es:

{Vi} = {1}T {Fi} El momento de volcamiento en el modo i es:

{Mi} = {h}T {Fi} Donde hi es la altura del piso i. Para cada modo, las fuerzas dinámicas inerciales modales máximas se obtiene con: i {Fmod }= [k]{u imod }= [k]{φi }(ηi )max = [k]{φi }αiSd(w iξ i )

([Φ][m])T =  [m]T [Φ]T  = [m][Φ]T T [ ] α [ Φ ]   Premultiplicando por y usando [Φ]T [α ] = [Φ]T [Φ]T [m][γ ] = [Φ]T [m ][Φ][γ ] = [γ ] La masa total de la estructura en cualquier grado de libertad, es la suma de las masas en cada dirección principal. La masa total se relaciona con cada grado de libertad:

[m ]Total = [γ ]T [m ][γ ] Reemplazando [γ ] T

[m]Total =  [Φ]T [α] [m][Φ]T [α] = [α]T [Φ][m][Φ]T [α] 



[m]Total = [α] [I][α] = T

[∑ αi2 ]

La masa total corresponde a la suma de los cuadrados de los coeficientes de participación modal αi. Este valor es la masa efectiva modal, y es el porcentaje de masa total que se mueve en determinado modo de vibración. De acuerdo al NSR-98, se deben tener en cuenta los modos que muevan más del 90% de la masa total del sistema estructural. 42

Problema: Encontrar la respuesta dinámica modal en términos de desplazamiento y las fuerzas dinámicas inerciales máximas, de una edificación para vivienda ubicada en el norte de la ciudad de Cali, donde de acuerdo a las características geotécnicas del suelo, este se ha catalogado como un S2. El edificio tiene diafragma rígido y está sometido a la aceleración espectral del NSR-98 en la base. La altura del entrepiso a ejes es 2.8 m, en cada piso hay 6 columnas y todas tiene una sección de 40X40 cm. Las losas de los pisos 1 y 2 tienen un peso de 800 kgf/m2, la losa del piso 3 tiene un peso de 200 kgf/m2, todas las losas tienen un área de 20X15 m2, y f´c = 28 MPa. Desprecie la masa de las columnas.

Coeficientes del espectro: I= Aa = S= Tc = TL =

1 0.25 1.2 0.576 2.88

s s

ESPECTRO DEFINIDO PARA UN COEFICIENTE DE AMORTIGUAMIENTO RESPECTO AL CRÍTICO ξ = 5% a(g) 0.7 0.6

Sa (g)

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.5

1

1.5

2

T (s)

43

2.5

3

Evaluación de cargas Piso 1 y 2: m1 = m2 = 800*15*20 = 240.000 kg Piso 3: m3 = 200*15*20 = 60.000 kg Matriz de masa [kg] o [Tn]

0  60 0  [m] =  0 240 0   0 0 240

[Tn]

Matriz de rigidez Las unidades se dan en [N/m] o [kN/m], si la matriz de está en [kg] o [Tn] respectivamente. Se ha encontrado que una losa con un módulo de elasticidad como el del concreto, Ec = 3900 f´c = 20637 MPa , y con una altura de más de 1.50 m, no es suficientemente rígida a flexión. Por lo tanto, la rigidez del piso, es similar a la de una columna en voladizo. Para simular un piso rígido, se debe usar un módulo de elasticidad muchísimo mas grande que el del concreto. Por lo tanto la rigidez del piso será:

k=

3EI ×6 3 L

Columnas

I: Momento de Inercia respecto al eje flexionado. E: Modulo de elasticidad del material. L: Altura del piso. 0.4 * 0.4 3 3 * 20637 * 10 6 * I 12 k= × 6 = 36100 kN/m 2.83 Usando el método de la rigidez directa:

44

Matriz de rigidez del Edificio:

0   36100 − 36100  [k ] = − 36100 72200 − 36100  0 − 36100 72200 

[kN/m]

Ecuaciones de Movimiento ..

..

[m][Φ]η + [k ][Φ]{η} = −[m][γ]x o   





 ..  u  x  0  .. 3   36100 − 36100 0  u 3  0  1&& o1  60 0 60 0  0 240 0  u  + − 36100 72200 − 36100 u  = −  0 240 0  1x    2    2     && o 2        0  0  0 0 240 .. − 36100 72200  u1 0 240 1      &x& o   3 u1    Se pueden obtener n sistemas del tipo:

([k] − w 2n [m]){φ n }= 0 Las Frecuencias Naturales se hallan: Det = [k ] − w 2n [m ] = 0

45

[k ] = w i2 [m]

[m]−1[k ] = w i2 [m]− 1[m] [m]−1[k ] = w i2

(2)

Las frecuencias naturales al cuadrado del sistema son:

 rad  w 2 = 47.93  1  s 

2

 rad  w 2 = 354.67  2  s 

2

 rad  w 2 = 800.73  3  s 

2

La matriz modal es:

− 0.872 1   1  [Φ] = - 0.331 - 0.358 0.920  0 1 0.547 La columna 1 corresponde al modo 1, la 2 al modo 2 y la 3 al modo 3. El modo 1 y 3 están normalizados respecto a la unidad en el último piso, mientras que en el modo 2 se le asigno un valor unitario al primer piso. Normalizando los modos respecto a la matriz de masa Modo 1: 0  1  60 0  {1 − 0.331 0.1} 0 240 0  - 0.331 = 88.65  0 0 240  0.1   0.1062    φ1 = - 0.0351  0.0106   

{ }

Modo 2: 0  - 0.872 60 0  {− 0.872 − 0.358 1} 0 240 0  - 0.358 = 316.36  0 0 240  1  − 0.0490   φ 2 =  - 0.0201   0.0562   

{ }

46

Modo 3: 0  1  60 0  {1 0.920 0.547} 0 240 0  0.920 = 335.19  0 0 240 0.547  0.0546   φ 3 = 0.0503 0.0299  

{ }

Matriz Modal Normalizada

 0.1062 − 0.0490 0.0546 [Φ] = - 0.0351 - 0.0201 0.0503  0.0106 0.0562 0.0299 Usando la matriz [Φ] , se desacopla el sistema:

[Φ ]

0   0.1062 − 0.0490 0.0546  0.1062 − 0.0351 0.0106 60 0    [m][Φ ] = - 0.0490 - 0.0201 0.0562  0 240 0  - 0.0351 - 0.0201 0.0503  0.0546 0.0503 0.0299  0 0 240  0.0106 0.0562 0.0299

[Φ ]

1 0 0 [m][Φ ] = 0 1 0 0 0 1

[Φ]

0   0.1062 − 0.0490 0.0546  0.1062 − 0.0351 0.0106  36100 − 36100    [k ][Φ ] = - 0.0490 - 0.0201 0.0562 − 36100 72200 − 36100 - 0.0351 - 0.0201 0.0503  0.0546 0.0503 0.0299  0 − 36100 72200   0.0106 0.0562 0.0299

T

T

T

[Φ]

T

0 0  800.73  [k ][Φ] =  0 354.7 0   0 0 47.93

 0.4767  [α] = [Φ]T [m][γ] =  5.7233  22.5172 Las ecuaciones desacopladas 47

 ..  0 0   η1   0.4767  1 0 0  η1  800.73 .. 0 1 0  η  +  0  η  = - 5.7233  ⋅ x (t) 354.7 0     2  && o   2   ..     22.5172 0 0 1   0 0 47.93 η 3     η3     Como ecuaciones diferenciales independientes: .. η1 + 800.73η1 = −0.4767&x& (t) o .. η 2 + 354.7 η 2 = 5.7233&x& (t) o .. η 3 + 47.93η = 22.5172&x& (t) 3 o Se introduce el amortiguamiento clásico modal

.. 2 &η& + 2ξ w η& + w η = −α i x i i i i i i o Donde  es el coeficiente de amortiguamiento crítico. Usando = 5%, como el amortiguamiento asociado con los modos en cada uno de los 3 grados de libertad. 2ξ w = 2 * 0.05 * 28.30 = 2.83 1 1 2ξ w = 2 * 0.05 * 18.83 = 1.88 2 2 2ξ w = 2 * 0.05 * 6.92 = 0.692 3 3 Las ecuaciones desacopladas quedan: .. η1 + 2.83η& + 800.73η1 = −0.4767 &x& (t) 1 o .. η 2 + 1.88η& + 354.7 η 2 = 5.7233&x& (t) 2 o .. η 3 + 2.83η& + 47.93η = 22.5172&x& (t) 3 3 o Del espectro de respuesta se tiene Tc = 0.576 s y TL = 2.88 s. Modo 1:

48

2π T1 = = 0.222 s w 1 m Sa = 2.5AaI = 2.5 * 0.25 * 9.81 * 1.0 = 6.13 2 1 s Sd = 1

Sa = 0.0077 m w12

Modo 2: 2π T2 = = 0.334 s w 2 Sa

2

= 2.5AaI = 2.5 * 0.25 * 9.81 * 1.0 = 6.13

Sd = 2

m s2

Sa = 0.0173 m 2 w2

Modo 3: 2π T3 = = 0.908 s w3 Sa 3 =

1.2AaIS 1.2 * 0.25 * 9.81 * 1.0 * 1.2 m = = 3.89 T 0.908 s2

Sd = 3

Sa = 0.0811 m w 32

La máxima respuesta dinámica de desplazamiento modal, correspondiente al modo i es:

{u (t )i }max = [Φ]{α iSd(w i ξ i )}=

(

η max = α Sd w ξ i i i i

)

{ }

(

n ∑ φ ⋅ α Sd w ξ i i i i i =1

η max = α Sd = 0.4767 * 0.0077 = 0.00365 m 1 1 1 η max = α Sd = 5.7233 * 0.017 = 0.097 m 2 2 2 η max = α Sd = 22.5172 * 0.0077 = 0.173 m 3 3 3 La respuesta del sistema es:

{u}max = {φ1}η1 max + {φ 2 }η 2 max + {φ 3 }η3 max 49

)

 u   0.1062  − 0.0490 0.0546  3       u 2  = - 0.0351 * 0.0365 +  - 0.0201  * 0.097 + 0.0503 * 0.173  u   0.0106   0.0562  0.0299       1   u   0.00388  − 0.00475 0.00944  3       u 2  = - 0.00128 +  - 0.00195  + 0.00870  u   0.00039   0.00545  0.00517        1   u  0.00857   3   u 2  = 0.00547   u   0.01101   1 

[m]

Las fuerzas inerciales máximas resultantes de todos los modos

{Fi} = [k ]{u i }  F   111.91   3   F2  = - 311.90  F   597.46    1 

[kN]

El momento de volcamiento es:

{Mi} = {h}T {Fi}  M   313.35   3   M 2  = - 873.32  M  1588.89    1 

[kN.m]

50