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• Juan Carlos Tacay Claudio

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ

INDICE DEDICATORIA.............................................................................................................................. 3 INTRODUCCION .......................................................................................................................... 4 I

COORDENADAS CELESTES................................................................................................. 5 CLASIFICACION DE COORDENADAS CELESTIALES ............................................................. 5 En las coordenadas rectangulares o cartesianas .................................................................. 5 Las coordenadas esféricas..................................................................................................... 5

II

COORDENADAS CILINDRICAS ........................................................................................... 6 RELACION CON OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS ............................................................. 7 Relación con las coordenadas cartesianas .................................................................... 7 LINEAS Y SUPERFICIES COORDENADAS ..................................................................................... 7

III

COORDENADAS POLARES ................................................................................................. 8 ECUACIONES POLARES .............................................................................................................. 9 CIRCUNFERENCIA .................................................................................................................. 9 ROSA POLAR.......................................................................................................................... 9

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES ................................................................................................... 10 SECCIONES CÓNICAS ........................................................................................................... 10

IV COORDENADAS GEOGRAFICAS...................................................................................... 11 V

COORDENADA DE REACCION ......................................................................................... 13

VI COORDENADAS BARICENTRICAS................................................................................... 13 A-.

COORDENADAS SIMPLES (n simplex) .......................................................................... 14

B-.

TRIANGULO ................................................................................................................. 14

VII

COORDENADAS HELIOCENTRICAS ............................................................................ 15

CALCULO DE COORDENADAS HELIOCENTRICAS DE UN PLANETA .......................................... 16 CÁLCULO COORDENADAS CARTESIANAS HELIOCÉNTRICAS ................................................... 16 Cálculo de la posición heliocéntrica de la Tierra (o del Sol) ...................................... 16 Coordenadas cartesianas geocéntricas del planeta ................................................... 17 Coordenadas ecuatoriales geocéntricas del planeta[editar] ...................................... 17

VIII

COORDENADAS ELIPTICAS (ELIPSOIDALES) ............................................................. 18

RAMOS PARIONA, Carlos Paúl

1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ DEFINICION.............................................................................................................................. 18 APLICACIONES ......................................................................................................................... 19 WGS84 ..................................................................................................................................... 19

CONCLUSIONES ........................................................................................................................ 20 BIBLIOGRAFIA ...............................................................................Error! Bookmark not defined.

RAMOS PARIONA, Carlos Paúl

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DEDICATORIA EL PRESENTE TRABAJO SE LO DEDICO A NUESTRO SEÑOR DIOS A MIS PADRES Y A TODAS LAS PERSONAS QUE SIEMPRE ME HAN ENSEÑADO BUENOS VALORES.

RAMOS PARIONA, Carlos Paúl

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INTRODUCCION Al comenzar los estudios del cálculo se suele trabajar de forma especial con coordenadas planas o coordenadas cartesianas, dejando de lado las coordenadas polares, esféricas, cilíndricas, etc. Sin embargo, conforme se continúa avanzando en el estudio del cálculo, nos damos cuenta de la necesidad de utilizar diversos tipos de sistemas de coordenadas para poder realizar cálculos que nos faciliten la solución de algunos problemas que no podrían realizarse exitosamente con coordenadas cartesianas. No se trata de que un sistema de coordenadas sea mejor que el otro, sino que cualquiera de estos sistemas son importantes pero uno servirá algunas veces y el otro servirá en otras ocasiones, dependiendo de nuestras necesidades y del trabajo que estemos realizando. En este trabajo se presenta una buena cantidad de sistemas de coordenadas que nos permitirán conocer muchas formas de poder resolver cualquier tipo de problema que se nos presente de acuerdo al contexto en el que nos encontremos. Cada uno de ellos tiene una breve explicación que consiste en características especiales que debemos de saber interpretar.

RAMOS PARIONA, Carlos Paúl

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I

COORDENADAS CELESTES 

Sistemas basados en coordenadas cartesianas



Son el conjunto de valores que, de acuerdo con un determinado sistema de referencia, dan la posición de un objeto en la esfera celeste. Hay dos grandes grupos : cartesianas y coordenadas esféricas:

CLASIFICACION DE COORDENADAS CELESTIALES En las coordenadas rectangulares o cartesianas se toman tres ejes —x, y, z— perpendiculares entre sí, y que se cruzan en un punto origen que puede ser el Sol (Coordenadas heliocéntricas) o la Tierra (Coordenadas geocéntricas). Por ejemplo un punto P (x,y,z). Se emplean en algunos casos para el Sistema Solar. Su unidad es la Unidad Astronómica UA o también el km. Sistemas basados en coordenadas esféricas

Las coordenadas esféricas empleadas para superficies esféricas -la esfera celeste, la superficie de un planeta Para situar un punto necesita dos ángulos y una distancia. Por ejemplo un punto que forma un ángulo con el eje X y un ángulo con el eje Z, se relaciona con las coordenadas cartesianas mediante:

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La mayor parte de coordenadas celestes son coordenadas esféricas. En Astronomía la posición de un astro se determina ordinariamente mediante coordenadas polares o esféricas. Sin embargo y dado que en principio la distancia r es desconocida, solo nos preocupará la dirección OP del astro, determinable mediante dos coordenadas. Lo que hacemos es proyectar todos los astros sobre una esfera de radio arbitrario, que se denomina esfera celeste. Tal esfera está centrada en el observador. En realidad el observador, prescindiendo de irregularidades topográficas solo ve una semiesfera celeste, limitada por un plano que pasa por el pie del observador y que corta a la esfera celeste en un círculo llamado horizonte.

II

COORDENADAS CILINDRICAS 

Coordenadas cilíndricas: La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.



Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espaciomediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienensimetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de lageometría analítica plana. Un punto 

en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ, ), donde:

ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto

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al eje , o

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bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano 

φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje proyección del radiovector sobre el plano

la .



: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano .

Los rangos de coordenadas son:

variación

de

las

tres

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

RELACION CON OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS

Relación con las coordenadas cartesianas Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

LINEAS Y SUPERFICIES COORDENADAS

Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas RAMOS PARIONA, Carlos Paúl

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cilíndricas, éstas son: 

Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje



Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.



Líneas coordenadas : Rectas verticales.

.

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son: 

Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.



Superficies verticales.



Superficies =cte.: horizontales.

φ=cte.:

Semiplanos Planos

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

III

COORDENADAS POLARES 

Coordenadas polares:El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.



Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría.

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8

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llamaorigen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo puntoP del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de Pal origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

ECUACIONES POLARES CIRCUNFERENCIA

La ecuación general para una circunferencia con centro en (

0,

φ) y

radio es

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:8

ROSA POLAR La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

para cualquier constante

(incluyendo al 0). Si k es un número entero,

estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2kpétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa. Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo

para

, la

gráfica de la ecuación:

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural . Y si

, la gráfica es una

circunferencia de radio

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES La espiral

de

Arquímedes es

una

famosa

espiral

descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que bcontrola la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.

Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.

SECCIONES CÓNICAS

Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:

donde e es la excentricidad y

es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco

desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define unahipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio .

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IV

COORDENADAS GEOGRAFICAS



Este tipo de coordenadas se usa para nombrar puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud.



Son un sistema de referencia que utiliza las dos coordenadas angulares, latitud (Norte y Sur) y longitud (Este y Oeste) y sirve para determinar los laterales de la superficie terrestre (o en general de un círculo o un esferoide). Estas dos coordenadas angulares medidas desde el centro de la Tierra son de un sistema de coordenadas esféricas que están alineadas con su eje de un sistema de coordenadas geográficas incluye un datum, meridiano principal y unidad angular. Estas coordenadas se suelen expresar en grados sexagesimales:



La latitud mide el ángulo entre cualquier punto y el ecuador. Las líneas

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de latitud se denominan paralelos. La latitud es el ángulo que existe entre un punto cualquiera y el Ecuador, medida sobre el meridiano que pasa por dicho punto. La distancia en km a la que equivale un grado de dichos meridianos depende de la latitud, a medida que la latitud aumenta disminuyen los kilómetros por grado. Para el paralelo del Ecuador, sabiendo que la circunferencia que corresponde al Ecuador mide 40.075,004 km, 1° equivale a 111,319 km.1 

La latitud se suele expresar en grados sexagesimales.



Todos los puntos ubicados sobre el mismo paralelo tienen la misma latitud.



Aquellos que se encuentran al norte del Ecuador reciben la denominación Norte (N).



Aquellos que se encuentran al sur del Ecuador reciben la denominación Sur (S).



Se mide de 0° a 90°.



Al Ecuador le corresponde la latitud 0°.



Los polos Norte y Sur tienen latitud 90° N y 90° S respectivamente.



La longitud mide el ángulo a lo largo del Ecuador desde cualquier punto de la Tierra. Se acepta que Greenwich enLondres es la longitud 0 en la mayoría de las sociedades modernas. Las líneas de longitud son círculos máximos que pasan por los polos y se llaman meridianos.2 Para los meridianos, sabiendo que junto con sus correspondientes antimeridianos se forman circunferencias de 40.007 km de longitud, 1° de dicha circunferencia equivale a 111,131 km.

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V

COORDENADA DE REACCION 

En química, una coordenada de reacción es un parámetro que representa el progreso de una reacción. Es habitualmente una magnitud geométrica que cambia a lo largo de la conversión de uno o más reactivos en un producto o productos. 

El diagrama denominado coordenada de reacción es una herramienta que resulta de utilidad cuando tratamos de correlacionar especies intermedias en un mecanismo determinado En química, una coordenada de reacción es un parámetro que representa el progreso de una reacción elemental. Es habitualmente una magnitud geométrica que cambia a lo largo de la conversión de uno o más reactivos en un producto o productos. Esta coordenada de reacción puede ser una longitud de enlace, un ángulo de enlace o una combinación de ambos. También puede ser una magnitud no geométrica como por ejemplo elorden de un enlace. Por ejemplo, en la disociación homolítica de la molécula de hidrógeno una coordenada de reacción adecuada sería la distancia interatómica. La coordenada de reacción se representa frente a la energía potencial para mostrar de forma esquemática el perfil de energía asociado a la reacción. Aquélla sigue la trayectoria de mínima energía que conecta los reactivos con los productos en una representación de la superficie de energía potencial de la reacción.

VI

COORDENADAS BARICENTRICAS

Coordenadas baricéntricas tienen su origen en el centro de masas del Sistema Solar. Estas pueden ser un tipo de coordenas heliocéntricas.

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A-.

COORDENADAS SIMPLES (n simplex)

Las coordenadas baricéntricas permiten parametrizar mediante n+1 números reales en el intervalo [0,1] el interior de un n-simplex. En realidad, de las n+1 coordenadas baricéntricas sólo n son independientes, ya que la suma de todas es igual a uno.

B-.

TRIANGULO

Como ejemplo introductorio se considera un triángulo en el plano euclídeo de vértices , y , entonces cualquier punto del interior del triángulo puede ser representado por tres coordenadas baricéntricas tales que: Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:

En concreto el lado se caracteriza por tener lado . El baricentro coincidirá con el punto

, el lado

tiene

, y el .

El triángulo estará formado por todos los puntos del conjunto T:



Las Coordenadas baricéntricas tienen masas del Sistema Solar.

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su

origen

en

el centro

de

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Como es un sistema discreto se cumple:

Para simplificar consideremos sólo el planeta Júpiter que dista del Sol r=778.330.000 Km. y tiene de masa MJ=1,899 1027 Kg. y el Sol cuya masa es MS=1,989 1030 kg. y cuyo radio es RS=696.000 Km. El centro de masas distará del Sol una distancia x que cumplirá: es decir:

Es decir el centro de masas 46.403 km. por encima de la superficie.

.

VII COORDENADAS HELIOCENTRICAS



Coordenadas heliocéntricas: Las coordenadas heliocéntricas tienen por origen el Sol y pueden ser coordenadas cartesianas, coordenadas eclípticas o coordenadas ecuatoriales. Para distinguir de las coordenadas geocéntricas que tienen su origen en la Tierra se añade la palabra heliocéntricas o geocéntricas.



Suelen expresarse en coordenadas heliocéntricas todos los planetas, asteroides, cometas que giran en torno al Sol, incluida la Tierra.

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CALCULO DE COORDENADAS HELIOCENTRICAS DE UN PLANETA Para el cálculo necesitamos tener actualizados los elementos orbitales del cuerpo en cuestión, que supondremos que es un planeta o un asteroide, pero que gira en órbita elíptica alrededor del Sol Así por ejemplo para un planeta conocida la longitud del perihelio y en un instante dado la anomalía media M, podremos calcular la longitud media heliocéntrica sumando ambas cantidades.

CÁLCULO COORDENADAS CARTESIANAS HELIOCÉNTRICAS El planeta tiene unas coordenadas esféricas heliocéntricas (r, L,B) se pueden trasformar a coordenadas cartesianas (x,y,z) eclípticas mediante:

o calcular las coordenadas cartesianas heliocéntricas (x,y,z) ecuatoriales mediante:

donde V es la anomalía verdadera, r la distancia del planeta al Sol y unascantidades auxiliares que vienen dados en función de los elementos orbitales, argumento del perihelio , inclinaciónde la órbita , excentricidad , longitud del perihelio actualizados para la época T. Cálculo de la posición heliocéntrica de la Tierra (o del Sol) Como un planeta más y siguendo los mismos pasos se puede calcular R la distancia de la Tierra al Sol asumiendo a=1 y calcular la longitud heliocéntrica de la Tierra pues la latitud es cero. En realidad se prefiere adaptar un criterio equivalente asumiendo que el que se mueve es el Sol y la Tierra está fija por lo que se habla de la longitud heliocéntrica del Sol, que difiere en 180º de la de la Tierra y calcular las coordenadas cartesianas del Sol respecto a la Tierra, que son las mismas pero cambiadas de signo. De ahí se calculan las coordenadas cartesianas (X,Y,Z) eclípticas del Sol o RAMOS PARIONA, Carlos Paúl

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mejor las coordenadas cartesianas heliocéntricas ecuatoriales del Sol mediante:

donde es la Oblicuidad de la eclíptica y V la anomalía verdadera del Sol. Coordenadas cartesianas geocéntricas del planeta Los planetas los vemos desde la Tierra. Sus coordenadas cartesianas geocéntricas son (vector Tierra-planeta) (x',y',z') que resultan suma de las coordenadas cartesianas heliocentricas del Sol (X,Y,Z) (vector Tierra-Sol) y las coordenadas cartesianas heliocéntricas del planeta (x,y,z) (vector Sol-planeta)

Coordenadas ecuatoriales geocéntricas del planeta[editar] Ahora se trata de pasar de esas coordenadas cartesianas geocéntricas a las polares distancia geocéntrica,Ascensión recta y Declinación geocéntricas que determinan su posición en el cielo. Se usan las relaciones directas:

y sus inversas que permiten el cálculo:

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Nota importante: El último apartado corresponde geocéntricas pero por terminar el tema se ha colocado aquí.

VIII

a coordenadas

COORDENADAS ELIPTICAS (ELIPSOIDALES)



Las coordenadas elípticas son un sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonales en los que las líneas coordenadas son elipses confocales ehipérbolas. Los dos focos y están generalmente fijos en las posiciones y , respectivamente, sobre el eje de un sistema cartesiano cuyos ejes son ejes de simetría de las líneas coordenadas hiperbólicas y elípticas.



Las coordenadas elípticas cilíndricas son un sistema tridimensional obtenido haciendo rotar el sistema anterior alrededor del eje de focos y añadiendo una coordenada angular polar adicional.

DEFINICION La

definición

más

bidimensionales

común

de

las

coordenadas

elípticas

es:

Donde: es un número real no negativo y . En el plano complejo, existe una relación equivalente dada por:

Estas definiciones corresponde a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica:

muestra que las curvas con constante son elipses, mientras que las la identidad trigonométrica hiperbólica: RAMOS PARIONA, Carlos Paúl

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muestra que las curvas con

constante son hipérbolas.

APLICACIONES Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas son resolución de ecuaciones en derivadas parciales como laecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las que las coordenadas elípticas admiten separación de variables. Un ejemplo típico es la carga eléctrica que rodea a un conductor plano de anchura 2a. O el campo de dos cargas eléctricas puntuales del mismo signo a una distancia 2a.

WGS84

El WGS84 es un sistema de coordenadas geográficas mundial que permite localizar cualquier punto de la Tierra (sin necesitar otro de referencia) por medio de tres unidades dadas. WGS84 son las siglas en inglés de World GeodeticSystem 84 (que significa Sistema Geodésico Mundial 1984). Se trata de un estándar en geodesia, cartografía, y navegación, que data de 1984. Tuvo varias revisiones (la última en 2004), y se considera válido hasta una próxima reunión (aún no definida en la página web oficial de la Agencia de Inteligencia Geoespacial). Se estima un error de cálculo menor a 2 cm. por lo que es en la que se basa el Sistema de Posicionamiento Global (GPS).

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CONCLUSIONES  Luego de haber visto todos los sistemas de coordenadas, podemos darnos cuenta que hay muchas formas de aplicación de problemas propuestos que se deben de aplicar de acuerdo al contexto.  El conocer las tendencias que una función determinada tiene en los diversos sistemas de coordenadas nos facilitaran la solución de problemas que se nos presenten en la realidad.  Aunque en la actualidad se cuenta con importantes programas de computación que hacen las gráficas con la simple acción de introducir la función que necesitamos, es totalmente necesario que como estudiantes de Ingeniería conozcamos cómo se forman y de dónde nacen matemáticamente cada uno de estos sistemas de coordenadas. Es de esta manera que se concluye este trabajo, esperando que sea provechoso y de valor y utilidad

RAMOS PARIONA, Carlos Paúl

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