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Sistema de Control del llenado de un Tanque Modelos de Nivel de Liquido:

Buscamos una relación entre Q y H, por el teorema de Bernoulli tomemos la sección 1 en la superficie libre del tanque y la sección 2 en la salida, en ese caso ambas presiones son iguales a la ambiente. La diferencia de alturas es la profundidad del tanque H. Considerando que el fluido es un líquido incompresible tomamos un peso específico constante. 𝑃1 𝑉1 2 𝑃2 𝑉2 2 + + ℎ1 = + + ℎ2 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔 𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ1 − ℎ2 = 𝐻 y llamamos V a la relación de los diámetros de la salida y del tanque.

𝛽=

∅2 ∅1

Teniendo en cuenta la ecuación de continuidad

𝑉1 ∗ 𝑆1 = 𝑉1 ∗ 𝑆1 = 𝑄 Siendo la superficie de las secciones circulares

𝜋 ∗ ∅2 𝑆= 4 Combinando estas últimas tres expresiones tenemos

𝑉1 = 𝑉2 ∗ 𝛽 2

Reemplazando esta expresión en la del teorema de Bernoulli y teniendo en cuenta la igualdad de las presiones a la ambiente en las secciones que tomamos nos queda

𝑉 2 ∗ (1 − 𝛽 2 ) = 2𝑔 ∗ 𝐻 La velocidad de salida del líquido del tanque queda

𝑉2 = √

2𝑔 ∗ √𝐻 1 − 𝛽4

Entonces la expresión del caudal de salida es: 𝑄 = 𝐶𝐷 ∗ 𝑆2 ∗ 𝑉2 = 𝐶𝐷 ∗ 𝑆2 ∗ √

2𝑔

1 − 𝛽4

∗ √𝐻

Donde 𝐶𝐷 es el coeficiente de descarga que tiene en cuenta la eficiencia del orificio de salida. Agrupamos todo lo que antecede a la raíz de H como una constante K 𝑄 = 𝐾 ∗ √𝐻 Representamos esta relación de raíz cuadrada (no lineal)

Tomemos el diferencial primero para linealizar la expresión del caudal 𝑑𝑄 𝑑𝑄 = 𝑞 = [ ]𝑄,𝐻 ∗ 𝑑ℎ = 𝐾 ∗ ℎ 𝑑ℎ

Definiremos dos conceptos que tienen aplicación cuando se hace la analogía del problema mecánico a un circuito eléctrico ( en general R,L ,C en distintas configuraciones): Capacitancia: es la razón entre el cambio en la cantidad de líquido acumulado y el cambio de nivel. Se hace esta interpretación puesto que en la ecuación diferencial ocupa el lugar de la superficie del tanque con lo cual se logra una equivalencia con el modelo de carga del capacitor en un circuito RC. Resistencia: es la razón entre el cambio en la diferencia de niveles y el cambio en el caudal de salida. Suponemos el valor de la derivada en el punto de funcionamiento constante del valor K´ y a su inversa la llamamos R pues coincide con la resistencia que opone el orificio a la salida de fluido, 𝑞0 =

ℎ 𝑅

(1)

Las letras minúsculas indican variaciones alrededor del punto de funcionamiento, colocamos el subíndice “o” para simbolizar en este caso las variaciones del caudal de salida, y le colocaremos el subíndice i para simbolizar las variaciones del caudal de entrada. El volumen que se acumula en el tanque es la integral del caudal entrante menos el saliente en el tiempo y un diferencial de volumen será 𝑑𝑉 = 𝑆1 ∗ 𝑑ℎ = (𝑄 + 𝑞𝑖 − (𝑄 + 𝑞0 )) ∗ 𝑑𝑡 A la superficie del tanque se la considera como la capacidad en este modelo por lo que S1 = C por otro lado los caudales de diseño entran sumando y restando , por lo que se cancelan quedando 𝐶∗

𝑑ℎ = 𝑞𝑖 − 𝑞0 𝑑𝑡

(2)

Si transformamos las expresiones 1 y 2 nos queda el siguiente sistema que nos permitirá despejar las variaciones del nivel en función del caudal modulado de entrada qo. 𝐶 ∗ ℎ(𝑠) ∗ 𝑠 = 𝑞𝑖 (𝑠) − 𝑞0 (𝑠) 𝑅 ∗ 𝑞0 (𝑠) = ℎ(𝑠) despejemos la relación entre el caudal modulado qi(s) y el aumento de nivel h(s): 𝐶 ∗ ℎ(𝑠) ∗ 𝑠 = 𝑞𝑖 (𝑠) −

ℎ(𝑠) 𝑅

1 ℎ(𝑠) ∗ (𝐶 ∗ 𝑠 + ) = 𝑞𝑖 (𝑠) 𝑅

𝒉(𝒔) 𝑹 = 𝒒𝒊 (𝒔) 𝑹 ∗ 𝑪 ∗ 𝒔 + 𝟏

Sistemas con retroalimentación

Veamos en primer instancia cómo reacciona el tanque a una variación del valor deseado (Set point) en principio ya hemos deducido la transferencia del tanque en sí 𝑮𝑻 =

𝒉(𝒔) 𝑹 = 𝒒𝟏 (𝒔) 𝑹 ∗ 𝑪 ∗ 𝒔 + 𝟏

el diagrama de bloques sin considerar la perturbación será:

Siendo G la productoria de las transferencias de la Rama directa es decir Gc. Gv. GT, y H la productoria de las transferencias de la rama inversa o de realimentación aplicamos la fórmula deducida para la transferencia total de lazo cerrado es decir: ℎ𝑠 𝐺 = ℎ𝑟𝑒𝑓 1 + 𝐺 ∗ 𝐻 Demos valores literales a las transferencias y veamos a través del teorema del valor final de la transformada como corrige por ejemplo un algoritmo de control GC solo proporciona, cuando se da a href un escalón unitario. En estas condiciones tomamos una realimentación unitaria es decir admitimos que la transferencia de la rama de realimentación sea unitaria, de esta manera podemos comparar las variaciones que le damos al valor deseado directamente con la salida sin hacer adaptaciones de las magnitudes.

Demos ganancias estáticas genéricas (sin considerarles dinámica alguna) a las transferencias del control y la válvula, admitiendo que reaccionan mucho más rápido que el tanque. Entonces: 𝐺𝐶 = 𝐾𝑃 Ganancia proporcional (algoritmo de control solo proporcional). 𝐺𝑉 = 𝐾𝑉 Ganancia de la válvula (respuesta inmediata). 𝐺𝑇 Es la transferencia del tanque ya vista, es decir la salida es el nivel y la entrada es el caudal que manipulamos a través de la válvula de control. Como hemos dicho la realimentación se toma unitaria H = 1. Apliquemos la fórmula del lazo cerrado. ℎ𝑠 =

𝐺𝑐 ∗ 𝐺𝑉 ∗ 𝐺𝑇 ∗ ℎ𝑟𝑒𝑓 1 + 𝐺𝑐 ∗ 𝐺𝑉 ∗ 𝐺𝑇 ∗ 𝐻

Haciendo los reemplazos según los valores mencionados arriba queda

ℎ𝑠 =

𝐺 𝐾𝑐 ∗ 𝐾𝑣 ∗ 1 + 𝐺 ∗ 𝐻

1 ∗ 𝐺 1 + 𝐾𝑐 ∗ 𝐾𝑣 ∗ 1 + 𝐺 ∗ 𝐻 ∗ 𝐻 𝑠

Operando sobre la misma nos queda ℎ𝑠 =

𝐾𝐶 ∗ 𝐾𝑉 ∗ 𝑅 1 ∗ 1 + 𝑅𝐶𝑆 + 𝐾𝐶 ∗ 𝐾𝑉 ∗ 𝑅 𝑠

Apliquemos entonces el teorema del valor final de la transformada del Laplace que vimos dice: lim 𝑓𝑡 = lim 𝑠 ∗ 𝐹𝑠

𝑡→∞

𝑠→0

Cual será entonces la salida del sistema cuando le pido que se modifique en una unidad 𝑠 ∗ 𝐾𝐶 ∗ 𝐾𝑉 ∗ 𝑅 1 ∗ 𝑠→0 1 + 𝑅𝐶𝑆 + 𝐾𝐶 ∗ 𝐾𝑉 ∗ 𝑅 𝑠 lim

Vemos que el resultado es menor que la unidad que es lo que le solicitamos como valor deseado por lo que un algoritmo solo proporcional no corrige sin error a un sistema como el tanque que es de primer orden. 𝐾𝐶 ∗ 𝐾𝑉 ∗ 𝑅 0 1 + 𝐾𝐶 ∗ 𝐾𝑉 ∗ 𝑅 Vemos que cuanto más ganancia KC en el controlador menor será el error permanente, la inversa de la carga R también influye, pero esta influencia disminuye al crecer. Vemos que la válvula tiene importancia en el control , si su funcionamiento no nos asegura un valor constante de KV o bien si este varía ,en forma no lineal ,o a saltos discretos tendremos ya respuestas que se van de la posibilidad de un análisis con estas herramientas matemáticas.