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• Jesus Alberto Zúñiga Yustres

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SISTEMA DE CONTROL BALL AND BEAM Ávila Plazas Ingrid, Lamilla Trujillo Maria, Zúñiga Yustres Jesús Universidad Surcolombiana ultrasónico HSCR04 ubicado en un extremo del canal.

RESUMEN: En este documento se presenta el modelado, construcción y pasos para diseño del sistema de control para un sistema mecánico simple Ball and Beam a fin de probar los principios de la teoría de control, en el cual se describen primero las características más importantes del sistema, cómo funciona y finalmente cómo se logró el control del mismo.

1. INTRODUCCIÓN Un sistema es un conjunto de componentes que actúan en conjunto para realizar un objetivo determinado. Para hacer que un sistema se comporte de forma deseada se utiliza un controlador. Un controlador es un dispositivo con el que se efectúa una acción de control dentro de un sistema permitiendo manipular sus características dinámicas, en otras palabras, se encarga que el sistema llegue a un estado deseado en un tiempo determinado. El sistema ball and beam objeto de este trabajo, figura 1, es un sistema donde la posición de una esfera sobre una barra es controlada por la inclinación de la barra. El objetivo es controlar la posición de la esfera sobre la barra. El giro de la esfera, debido a la gravedad, está guiado por un canal metálico en forma de U, la posición de la esfera se mide mediante un sensor

figura 1 Sistema Ball and Beam El sistema mostrado en la figura 1 es un mecanismo simple, con una bola de acero rodando sobre una barra larga que está montada sobre el eje de un servomotor. En esta configuración, la barra puede ser inclinada con respecto de su eje central aplicando una señal de control eléctrica al amplificador que maneja el servomotor. La posición de la bola en la barra es registrada con el sensor ultrasónico. El objetivo del control es regular automáticamente la posición de la bola en el balancín cambiando el ángulo de la barra. La bola se mueve con una aceleración proporcional al ángulo de la barra. En términos de la ingeniería de control, el sistema es inherentemente oscilatorio, es decir, este no se estabilizará sin un sistema de control. Por lo tanto, un esquema de control retroalimentado tiene que ser

empleado para mantener la bola en una posición deseada en la barra. 2. OBJETIVOS Diseñar e implementar un sistema de control para un sistema mecánico simple Ball and Beam a fin de probar los principios de la teoría de control. Diseñar e Implementar un control PID y un control por frecuencia para estabilizar la respuesta del sistema y hacerlo llegar a un punto deseado. Comparar la respuesta de los dos compensadores diseñados y determinar cuál de ellos ofrece mejores características dinámicas. 3. DESARROLLO PRACTICO La descripción completa de la dinámica de la pelota rodando sobre la viga es compleja pero una útil simplificación del modelo que se presenta en este trabajo, puede ser utilizada para diseñar el controlador. La fuerza que acelera la pelota conforme rueda por la barra viene de la componente gravitacional que actúa paralela a la barra. La bola acelera sobre la barra cuando rueda, para efectos prácticos en nuestro proyecto asumimos que la bola se desplaza sin fricción. El sistema ball and beam, se ha posicionado desde hace tiempo como un referente en el estudio de sistemas dinámicos no lineales. Por este motivo existen bastantes modelos desarrollados de distintas dimensiones y características. Básicamente, las diferencias principales entre un modelo y otro, si únicamente atendemos a los elementos integrantes, radican en la forma de medir la posición de la bola, lo que conlleva también un

cambio de las características geométricas del mecanismo. Para nuestro caso de estudio el modelo matemático del sistema parte de La formulación lagrangiana de la mecánica del sistema a partir de dos principios; el principio de Definición de la Masa y el principio de los Desplazamientos Virtuales, obteniéndose finalmente la siguiente ecuación (a partir de la figura 1) 2  J  d r  d  0   2  m  mg ( sen )  mr  2  R  dt  dt 

Ecuación de LaGrange del movimiento de la bola.

Linealizando la ecuación sobre el ángulo de la barra, α = 0, nos da la siguiente aproximación lineal del sistema: 2  J  d r  mg  2  m 2  R  dt

Ecuación de LaGrange linealizada.

La ecuación que relaciona el ángulo de la barra con el ángulo del servo se puede aproximar como lineal por la siguiente ecuación:



d  L

Sustituyendo esto en la ecuación anterior, obtenemos: 2 d  J  d r   mg   2  m 2 L  R  dt

Tomando la transformada de Laplace de la ecuación anterior, llegamos a:

2

mgd  J  2  ( s)  2  m  R( s) S   L  R 

Respuesta a lazo cerrado:

Al tomar la transformada de Laplace para encontrar la función de transferencia de las condiciones iniciales son iguales a cero. Reorganización encontramos la función de transferencia que relaciona el ángulo del engranaje

θ (s )

y la

posición bola

R (s). R( s) mgd 1   (s)  J  S2 L 2  m   R  Ecuación que describe el comportamiento de la planta

m R d g L J

masa de la pelota radio de la bola brazo de palanca acodada aceleración de la gravedad longitud de la viga bola momento de inercia

0,037 kg 0.0215 m 0,025 m 9,8 m / s 2 0,373 m 6.84e-6 kgm2

R ( s ) 0.4692 = θ (s ) S2 Función de transferencia ball and beam

Análisis comportamiento en Matlab: Respuesta a lazo abierto:

A partir de la función de transferencia hallada podemos empezar el diseño de nuestros compensadores; se puede observar por las respuestas obtenidas en Matlab que el sistema es oscilatorio, lo cual coincide con la tf obtenida, dado que esta tiene un polo doble en el origen lo cual la hace críticamente establo es decir oscilatoria.

COMPENSADOR PID a partir del método de Ziegler–Nichols, usando una entrada escalón, llegamos a la siguiente respuesta en Matlab:

Como se observa en la gráfica, no es necesario realizar un ajuste fino del PID dado que las características dinámicas obtenida con Z&N son lo suficientemente buenas para obtener un buen controlador: