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DESEMPEÑO ENTRE TÉCNICAS ITERATIVAS Y TÉCNICAS DIRECTAS PARA LA SOLUCIÓN DE REDES DE ABASTECIMIENTO DE AGUA UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA - HUANCAVELICA PERU Autor Asesor

𝒊

: ELVIZ HERNAN QUISPE GARCIA 𝒊𝒊

: MSc. IVAN AYALA BIZARRO

Sinopsis:

El Método Gradiente Hidráulico, es utilizado en la mayoría de los softwares comerciales actuales, como son EPANET, WaterCAD, MikeNet, entre otros, el mismo que corresponde a un método iterativo y depende de parámetros estimados iniciales y estructuras de programación que asegura la convergencia para obtener resultados con la mayor precisión, además de ello este método hace uso de sistemas de ecuaciones no lineales. Así mismo, el tiempo de ejecución para grandes extensiones de redes de distribución de agua son considerablemente altos. Por otro lado, el Método de Perturbaciones es un nuevo Método Directo de solución, que hace uso de principios de la mecánica cuántica para transformar las ecuaciones no lineales en sistemas lineales más simples. Obteniendo un método de optimización simple y robusto que solo requiere procesos matemáticos simples y directos. Categoría: Hidráulica e Hidrología Palabras Clave: Método de Perturbaciones, Mecánica Cuántica, Gradiente Hidráulico

serie de Taylor generando una serie de ecuaciones fáciles de calcular.

1. OBJETIVOS: El presente trabajo tiene como propósito comparar mediante indicadores y herramientas informáticas el desempeño del Método de Perturbación y el Método de Gradiente Hidráulico, ambos son métodos de solución de Sistemas de Abastecimiento de Agua .

El caudal se puede expresar de la siguiente forma a fin de poder aplicar el método de perturbación: 𝑄 = 𝛼ℎ 𝑥

(1)

Donde la constante α depende de la ecuación usada para nuestra prueba se utilizara la ecuación de Darcy Weisbach:

2. DESARROLLO: 2.1 Descripción de Método de Perturbación

Hazen -Williams

Con el Método de Perturbaciones busca soluciones analíticas aproximadas de ecuaciones complejas y de difícil solución. Las ecuaciones pueden ser, por ejemplo, algebraicas, diferenciales, integrales, etc. El Método de Perturbación reduce un problema complejo a uno más sencillo mediante la

𝛼=

0.849𝜋 𝐶 𝐷 2.63 41.63

𝐿0.54

1

, 𝑥 = 1.85

(2)

Darcy –Weisbach 𝑔 𝐷5

𝛼 = 𝜋√8 𝑓 𝐿

1

1

, 𝑥=2

(3)

ℎ0,1,2,3 : Perdidas de carga para 0,1,2,3 estado de energía

Manning 𝛼=

8 𝜋 𝐷 ⁄3 5 43

𝑛√𝐿

1

, 𝑥=2

(4)

Donde:

Derivando y aplicando los principios de la serie de Taylor para un punto fijo =0, en la ecuación (6) y (8) se obtiene:

𝑄: Caudal que circula por la tubería. ℎ: Perdida de Carga piezometrica 𝑥: Contante que varía de 0.5 a 0.54 dependiendo de la formula usada.

ℎℎ𝛿 = ℎ0 + (ℎ1 + ℎ0 ln ℎ0 )𝛿 + [ℎ2 +

Para hallar la solución de esta ecuación se usó una técnica de perturbación llamada expansión delta 𝛿 que consiste en hacer un cambio de variable de la siguiente forma

ℎ1 + ℎ1 ln ℎ0 +

2

(ln ℎ0 )2 ] 𝛿 2 + [ℎ3

ℎ1 2 +ℎ2 + + (ℎ1 + ℎ2 ) ln ℎ0 2ℎ0 +

Siendo 𝑥 =𝛿+1

ℎ0

(5)

ℎ1 2

(ln ℎ0 )2 +

ℎ0 6

(ln ℎ0 )3 ] 𝛿 3 +… (9)

Luego se reemplaza la ecuación (9) en la ecuación (6) entonces el Caudal es igual a :

Donde: 𝛿: 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

𝑄 = 𝛼 ∗ ℎ 𝑥 = 𝛼 ∗ ℎ1+𝛿 = 𝛼ℎ0 + 𝛼(ℎ1 + ℎ0 ln ℎ0 )𝛿 + 𝛼[ℎ2 +

Convertimos el problema original en un problema perturbado introduciendo un pequeño parámetro delta 𝛿 para esto reemplazamos la ecuación (5) en la ecuación (2) y se obtiene: 𝑄 = 𝛼 ∗ ℎ1+𝛿

ℎ1 + ℎ1 ln ℎ0 +

ℎ0 2

(ln ℎ0 )2 ] 𝛿 2 +𝛼[ℎ3

ℎ1 2 +ℎ2 + + (ℎ1 + ℎ2 ) ln ℎ0 2ℎ0

(6)

+

ℎ1 2

(ln ℎ0 )2 +

ℎ0 6

(ln ℎ0 )3 ] 𝛿 3 +… (9)

Buscamos una expansión para 𝑥(𝛿) como una serie de energía de 𝛿 que es la Serie de Taylor

De esta forma se obtiene la ecuación perturbada del caudal.

𝑥(𝛿) = 𝑐0 + 𝑐1 𝛿 + 𝑐2 𝛿 2 + ⋯

Orden cero:

(7)

∝ ℎ0

La serie de energía para las pérdidas de carga para la ecuación de caudal seria:

(10)

Orden uno:

ℎ = ℎ0 + ℎ1 𝛿 + ℎ2 𝛿 2 + ℎ3 𝛿 3 + … (8)

∝ (ℎ1 + ℎ0 ln ℎ0 )𝛿

Orden dos: Donde: 2

(11)

∝ [ℎ2 + ℎ1 + ℎ1 ln ℎ0 +

ℎ0 2

(ln ℎ0 )2 ] 𝛿 2

(12)

Orden tres: 𝛼[ℎ3 + ℎ2 + +

ℎ1 2

ℎ1 2 + (ℎ1 + ℎ2 ) ln ℎ0 2ℎ0

(ln ℎ0 )2 +

ℎ0 6

(ln ℎ0 )3 ] 𝛿 3 +… (13)

Esta ultimas formulas (10,11,12,13) representan los grados perturbados, que se hallaran implementando las formulas en el lenguaje de Programación Python por ser más fácil el manejo de grandes datos ordenados matricialmente.

Figura 1 : Red de Hanoi

2.2.LA RED DE HANÓI

Tabla 1: Datos de las Tuberías

La red de Hanoi se encuentra en Vietnam y es usada frecuentemente para testear métodos de diseño, lo que permite contrastar los resultados obtenidos con los modelos que se proponen. La red consta de un depósito, 31 nudos de demanda, 34 conducciones y tres circuitos básicos. La mínima presión que se requiere para el buen funcionamiento del sistema es de 30 metros de columna de agua. Todos los nudos se encuentran en la misma elevación y no hay pérdidas menores en las tuberías. La LGH (Línea de Gradiente Hidráulico) de la fuente es de 100 mca y la presión mínima requerida es de 30 mca.

3

TUBERIA

NODO

NODO

N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

INICIAL 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 10.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 19.00 3.00 20.00 21.00 20.00 23.00 24.00 25.00 26.00 27.00 23.00 28.00 29.00 30.00 31.00 32.00

FINAL 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 19.00 3.00 20.00 21.00 22.00 23.00 24.00 25.00 26.00 27.00 16.00 28.00 29.00 30.00 31.00 32.00 25.00

LONGITUD DIAMETRO (m) 100.00 1350.00 900.00 1150.00 1450.00 450.00 850.00 850.00 800.00 950.00 1200.00 3500.00 800.00 500.00 550.00 2730.00 1750.00 800.00 400.00 2200.00 1500.00 500.00 2650.00 1230.00 1300.00 850.00 300.00 750.00 1500.00 2000.00 1600.00 150.00 860.00 950.00

(mm) 1016.00 1016.00 1016.00 1016.00 1016.00 1016.00 1016.00 1016.00 1016.00 762.00 609.60 609.60 508.00 406.40 304.80 304.80 406.40 508.00 508.00 1016.00 508.00 304.80 1016.00 762.00 762.00 508.00 304.80 304.80 406.40 304.80 304.80 406.40 406.40 609.60

Tabla 2: Datos de los Nodos NODO

COTA

CAUDAL

N° 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 19.00 20.00 21.00 22.00 23.00 24.00 25.00 26.00 27.00 28.00 29.00 30.00 31.00 32.00

(m) 91.44 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

(Lt/s) 0.00 247.22 236.11 36.11 201.39 279.17 375.00 152.78 145.83 145.83 138.89 155.56 261.11 170.83 77.78 86.11 240.28 373.61 16.67 354.17 258.33 134.72 290.28 227.78 47.22 250.00 102.78 80.56 100.00 100.00 29.17 223.61

El tiempo de ejecución (Time Run) fue: 0.0310 segundos Los resultados detallados se presentan en la Tabla N° 3 METODO DE GRADIENTE HIDRAULICO Se implementó las formulas del Método de Gradiente Hidráulico en Python expuestos por los investigadores Todini & Pilati(1987).

METODO DE PERTURBACIÓN Se implementó las formulas del Método de Perturbación (Ecuación 9) en Python por ser un lenguaje de programación de alto nivel, interpretado, de código libre y multipropósito así mismo se comprobó las formulas en el programa Mathcad. Mediante Python se elaboró un programa basado en las formulas del método de perturbaciones

Figura 3 : Metodo de Gradiente Hidraulico en Codigo Python

El tiempo de ejecución (Time Run) fue: 0.0781 segundos Los resultados detallados se presentan e n la Tabla N° 3 A continuación se presentan los resultados del Método de Perturbación, Método de Gradiente Hidráulico y el software EPANET

Figura 2 : Metodo de Perturbacion en Codigo Python 4

Tabla N°3: Resultados de la Red de Hanoi

TUBERIA

Metodo de Perturbacion

Metodo Gradiente Hidraulico

EPANET

CAUDAL(Lt/s)

CAUDAL(Lt/s)

CAUDAL(Lt/s)

1 2 3

5538.89 5291.69 2215.268287

5538.89 5291.69 2281.627974

5538.89 5291.67 2236.61

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

2179.168287 1977.768287 1698.568287 1323.568287 1170.768287 1024.968287 555.56 416.67 261.11 323.5782869 152.7482869 74.96828685 -11.36014177 -251.6401418 -625.2501418 -641.9201418 2198.401571 393.05 134.72 1451.181571 993.4427217 765.6627217 352.5615714 102.5615714 -0.21842862 167.4588496 86.89884964 -13.10115036 -113.1011504 -142.2711504 -365.8811504

2245.527974 2044.127974 1764.927974 1389.927974 1237.127974 1091.327974 555.56 416.67 261.11 389.9379738 219.1079738 141.3279738 94.37197532 -145.9080247 -519.5180247 -536.1880247 2237.774002 393.05 134.72 1490.554002 1005.553755 777.7737545 391.9340015 141.9340015 39.15400154 194.720247 114.160247 14.16024699 -85.83975301 -115.009753 -338.619753

2200.5 1999.11 1719.94 1344.94 1192.16 1046.33 555.56 416.67 261.11 344.94 174.11 96.33 -8.85 -249.12 -622.74 -639.4 2179.55 393.05 134.72 1432.32 976.21 748.44 333.71 83.71 -19.07 165.83 85.28 -14.72 -114.72 -143.89 -367.5

𝒊 𝒊𝒊

3. CONCLUSIONES: Se comprueba que el Método de Perturbación presenta un 60.31 % de reducción de tiempo de ejecución en comparación al Método de Gradiente Hidráulico. Es decir, el Método de Perturbación presenta eficiencia para estimar las características hidráulicas como las presiones en los nudos y la velocidades en la tuberías de la redes de distribución de agua potable 4. REFERENCIAS: -Bender, C. M., Milton, K. A., Pinsky, S. S. y Simmons, Jr., L. M. (1989).New perturbative approach to nonlinear problems. American Institute of Physics,30(7), 1447-1455

-Bender, C.M., Orszag, S.A. (1999). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I. New York,USA: Springer.

-Fujiwara, O., Khang, D.B. (1990). “A two phase decomposition method for optimal design of looped water distribution network”. Water resources research, 26(4), 539-549.

-Todini, E. & Pilati, S.( 1987). A gradient algorithm for the analysis of pipe networks. Proceedings of the International/Conference on Computer Applications for Water Supply and Distribution, Leicester,, UK 1987

Egresado, [email protected] MSc, [email protected] 5