El surgimiento de las Academias. Newton y Leibniz. Segunda Crisis en los Fundamentos de la Matemática. Desarrollos actua
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El surgimiento de las Academias. Newton y Leibniz. Segunda Crisis en los Fundamentos de la Matemática. Desarrollos actuales. El Análisis No Estándar. Euler. La Reforma Napoleónica
La construcción del cálculo infinitesimal fue desarrollada casi simultáneamente por Leibniz y Newton hacia fines del siglo XVII. En rigor, se reconoce que el sistema de Leibniz fue publicado tres años antes que el propuesto por Newton, y la notación adoptada universalmente fue la propuesta por el primero.
La época debió generar tal herramienta y dos genios la construyeron. Se enfrascaron luego en una larga disputa por la prioridad y la gloria.
"Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus"
1) En esta época los problemas todavía eran abordados con una visión geométrico-euclidiana. 2) El cálculo tanto de Newton como el de Leibniz trataba de cantidades variables. - Cada concepto matemático debía ser explícitamente definido en términos de otros conceptos cuya naturaleza era suficientemente conocida. - Las pruebas de los teoremas debían ser completamente justificadas en cada una de sus etapas, o bien por un teorema anteriormente probado, por una definición, o por un axioma explícitamente establecido. - Las definiciones y axiomas escogidos debían ser lo suficientemente amplios para que pudiesen cubrir los resultados ya existentes. - La intuición (geométrica o física) no era un criterio válido para desarrollar una prueba matemática.
EL CALCULO FRACCIONARIO
¿Cómo podemos generalizar la derivada ordinaria a una de orden arbitrario? ¿Qué pasa si el orden es 1/2? Llevará a una paradoja, de la cual algún día podremos obtener útiles consecuencias.
1) La mayoría de las derivadas fraccionarias globales, excepto las de tipo Caputo, no satisfacen D(1)=0, si no es un número natural. 2) Todas las derivadas fraccionarias globales no satisfacen la familiar Regla del Producto de dos funciones D(fg)=gD(f)+fD(g). 3) Todas las derivadas fraccionarias globales no satisfacen la conocida Regla del Cociente de dos funciones D(f/g)=(gD(f)-fD(g))/g2. 4) Todas las derivadas fraccionarias globales no satisfacen la Regla de la Cadena, para funciones compuestas D[f(g(t))]=D[f]Dg(t). 5) Las derivadas fraccionarias, no tienen su correspondiente “calculus”. 6) Todas las derivadas fraccionarias, no satisfacen la Regla de los Indices, o Ley de Semigrupo, D(D(f))=D+(f).
El adjetivo conforme puede no ser muy apropiado, puesto que inicialmente se refiería al hecho que en una derivada fraccionaria de este tipo, se satisface Tf(t)→f’(t) si →1, o sea, la derivada fraccionaria local Tf(t), preserva el ángulo de la recta tangente a la curva cuando →1.
Esta derivada fraccionaria es local por definición, por tanto, cualquier comparación con las derivadas fraccionarias clásicas es errónea, porque estamos considerando objetos matemáticas de diferentes tipos¡¡¡¡¡
EL Q-CALCULO DE JACKSON
Jackson, F. H., On q-functions and a certain difference operator, Trans. Roy. Soc. Edin., 46, 1908, 253-281. Jackson, F. H., On q-definite integrals, Quart. J. Pure and Appl. Math. 41, 1910, 193-203.
Se dice que un campo ordenado F es completo, si y solo si, todo subconjunto no vacío de F que posee una cota superior en F, posee un supremo en F. Así tenemos que Q no lo es, mientras R sí. Se ha probado además, que R es el único campo ordenado completo.
3 = 3, 3, 3, 3, 3,... 241= 241, 241, 241, ... 7/5 = 7/5, 7/5, 7/5, ... 5 = 5, 5, 5, ...
F = 241, 423, 33, 21, 1, 821, 5, 5, 5, 5, ... G= 4, 286, 4/3, 6, 281, 7, 621, 41/3, 721, 5, 5, 5, 5, ...
Academia dei Lincei
En 1662 mediante una carta real, la Royal Society dio carácter oficial a las reuniones de sabios que se realizaban en el Gresham College de Londres; y la Academia de Ciencias, fundada en Francia por el ministro Colbert en 1666, contaría entre sus primeros miembros a los contertulios del círculo de Mersenne. En cuanto a las publicaciones periódicas, el Journal des Savants en Francia y las Philosophical Transactions en Inglaterra mantenían informados a los aficionados a las ciencias sobre los descubrimientos más recientes.
Toma de la Bastilla, 14 de julio de 1789
V+C=A+2
Años 1725-1734 1735-1744 1745-1754 1755-1764 1765-1774 1775-1783
Obras 35 50 150 110 145 270
MATEMÁTICA CONTEMPORÁNEA Problemas con Objetos Abstractos
Joseph-Louis Lagrange (1736 –1813)
Pierre-Simon, marquis de Laplace (1749–1827)
Johann Carl Friedrich Gauss (1777 –1855) “El Príncipe de las Matemáticas”
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
Sea f(x) una función periódica 2L, f(x+2L)=f(x)
a0 nx nx f ( x) an cos bn sin 2 n1 L L
1 an L
c L
1 bn L
f ( x) cos
c
c L
c
f ( x)sin
nx L
dx
nx L
dx
¿Cómo una suma de funciones suaves como senos y cosenos puede representar una función discontinua?
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Évariste Galois (1811 -1832)
Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856)
“Un punto dado, no situado en una recta dada, es el extremo de exactamente dos semirrectas no alineadas, que no cortan a la recta, pero que todas las semirrectas situadas entre ellas cortan a la recta”.
B
. A
C