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MATEMATICA IV

Funciones de Varias Variables En muchos casos, encontramos funciones que dependen de más de una variable.

Ejemplos 1. El volumen de un cilindro circular recto está dada por la siguiente formula  . r 2 .h , donde h es su altura y r es el radio de la base circular, es decir para determinar el volumen de un cilindro debemos conocer los valores de su altura y radio, por eso podemos decir que el volumen de un cilindro depende de los valores de su altura y radio. En otras palabras podemos expresar el volumen del cilindro como una función de dos variables h y r , a las cuales llamaremos variables independientes. Dicha función puede quedar representada como V (r , h)   . r 2 . h

2. Para determinar el área de un rectángulo es necesario conocer su largo ( l ) y ancho

( a ) , es decir el área del rectángulo depende del largo y ancho. Es decir podemos representar el área de un rectángulo mediante la siguiente función A(l , a)  l . a

Definición: Una función real de n varias variables reales es una regla que asocia a cada n  upla real ( x1 , x2 , x3 , ... , xn ) de un conjunto U  IR n , un único número real,

f ( x1 , x2 , x3 , ... , xn ) llamado imagen de ( x1 , x2 , x3 , ... , xn ) bajo f . Una función tal se denota como:

f : U  IR n  IR x1 , x2 , ... , xn   z  f ( x1 , x2 , ... , xn )

Al conjunto U de la definición anterior se le llama dominio de la función

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MATEMATICA IV 

Si n  2 ; entonces

f :U  IR 2  IR ( x, y )  z  f ( x, y )



Si n  3 ; entonces

f :U  IR 3  IR ( x, y , z )  w  f ( x, y , z )

Ejemplo: Dada la función V (r , h)   . r 2 . h ; es una regla que indica el proceso que sufre

las variables independientes

r,h

para

transformarse en su imagen

V (r , h)   . r 2 . h . En este caso, la función f toma al elemento (r , h)  DV , eleva al

cuadrado el radio r y lo multiplica por la altura h , obteniendo así el valor de la imagen correspondiente V (r , h)   . r 2 . h ; que seria el volumen del cilindro.

Variable dependiente

Regla de correspondencia Variables independientes

Valor de una función de varias variables: Para determinar el valor de una función z  f ( x1 , x2 , x3 , ... , xn ) sustituimos los valores de

las variables independientes

x1 , x2 , x3 , ... , xn

en la

regla

de

correspondencia de la función.

Ejemplo: Dada la función V (r , h)   . r 2 . h ; deseamos calcular el valor del volumen del cilindro cuando su altura es 5 y su radio es 9; entonces debemos sustituir en la regla de correspondencia, V (9,5)   . (9) 2 . 5  405

Obteniendo un volumen de 405 u 3

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MATEMATICA IV

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

Con frecuencia, el dominio de una función f no es especificada sólo se da una regla o ecuación que define a la función. Con esos casos decimos que el dominio de f es el conjunto más grande de números reales para los cuales tiene sentido la regla o, más precisamente, los valores para los que f (x) es un número real. Así el dominio de f es igual al de la variable x en la expresión f (x) .

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIAS VARIABLES: Para determinar el dominio de una función real de varias variables, utilizamos los mismos criterios de las funciones de una variable; es decir excluyendo los valores que conducen a números complejos o a la división entre cero.

Ejemplos: 1. Hallar el dominio de la función: f ( x, y ) 

1 x2  y2

Solución: ¿Cuándo existe z ó es real?; z existe si x 2  y 2  0 . Por lo tanto

D f  IR 2  (0,0)

2. Hallar el dominio de la función: f ( x, y)  x 2  y Solución: Como la función es una raíz cuadrada, entonces x 2  y  0 . Por lo tanto el





dominio de la función es D f  ( x, y)  IR 2 / x 2  y  0

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MATEMATICA IV Gráfica del dominio:

3. Hallar el dominio de la función: f ( x, y)  ln( x  y)

3. Hallar el dominio de la función: f ( x, y)  x 2  y 2 Solución: Podemos ver que la función está definida para cualquier valor de x e y ; es decir

D f  IR 2 Gráfica del dominio: en este caso seria todo el plano cartesiano. 4. Hallar el dominio de la función: f ( x, y, z )  1  x 2  y 2  z 2 Solución: Como la función es una raíz cuadrada, entonces 1  x 2  y 2  z 2  0 . Por lo tanto





el dominio de la función es D f  ( x, y)  IR 2 / 1  x 2  y 2  z 2  0

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MATEMATICA IV Gráfica del dominio: esfera unitaria

5. Hallar el dominio de la función: f ( x, y)  y 2  x Solución: Como la función es una raíz cuadrada, entonces y 2  x  0 . Por lo tanto el





dominio de la función es D f  ( x, y)  IR 2 / y 2  x  0 Gráfica del dominio:

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MATEMATICA IV 6. Hallar el dominio de la función: f ( x, y)  1  x 2  y 2 Solución: Como la función es una raíz cuadrada, entonces 1  x 2  y 2  0 . Por lo tanto el





dominio de la función es D f  ( x, y)  IR 2 / x 2  y 2  1

Gráfica del dominio:

7. Hallar el dominio de la función: f ( x, y)  ln x . y  Solución: Como la función es un logaritmo, entonces x . y  0 . Por lo tanto el dominio de la





función es D f  ( x, y)  IR 2 / x . y  0

Gráfica del dominio:

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MATEMATICA IV

AUTOEVALUACION I. Determine y grafique el dominio de la función 1. 𝑓 (𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑦 2. 𝑓 (𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦 3. 𝑓 (𝑥, 𝑦) = √1 − 𝑥 2 − √1 − 𝑦 2 4. 𝑓 (𝑥, 𝑦) = √𝑦 + √25 − 𝑥 2 − 𝑦 2 5. 𝑓 (𝑥, 𝑦) =

√𝑦−𝑥 2 1−𝑥 2

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