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• Jaime Quispe

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PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL ESTADÍSTICA II

Plan de clases Inicio

• Organizador previo • Caso práctico • Competencias

• Prueba de hipótesis para la proporción poblacional. Construcción

Cierre

• Síntesis • Metacognición • Actividad de aprendizaje

PRUEBA DE HIPÓTESIS Error tipo I y error tipo II Prueba de normalidad

Media (µ)

Cálculo de cometer error tipo II Varianza es conocida Varianza es desconocida

Proporción (π)

Varianza (σ2) Cociente de varianzas (σ12/σ22) Diferencia de medias (µ1 – µ2) Diferencias de proporciones (π1 – π2 )

Con muestras independientes Con muestras dependientes

Caso práctico En una fábrica de electrodomésticos, el gerente de ventas debe decidir si los lotes que llegan a una fábrica deben ser aceptados o devueltos al proveedor. Se sabe que, los artículos de este lote vienen con una garantía de 10% de artículos defectuosos. Al conocer esto; el gerente rechazará el lote, si hay evidencia que más del 10% de los artículos son defectuosos. Para tomar una decisión se elige una muestra aleatoria de 625 artículos y se encuentran que 75 son defectuosos. Con un nivel de significancia de 2.5%, ¿cuál será la decisión del gerente de ventas?

¿Cuál es la variable en estudio?, ¿Qué temas o procedimientos estadísticos necesitamos aplicar para resolver el caso?, ¿Qué datos se pueden identificar en este caso?

Logro esperado Realiza la prueba de hipótesis para la proporción poblacional en la resolución de problemas contextualizados, aplicando criterios estadísticos así como software estadístico, para luego interpretar los resultados obtenidos.

Prueba de Hipótesis para la proporción poblacional π PASOS

1. Hipótesis

UNILATERAL A LA IZQUIERDA

BILATERAL

H0: π  π0

H0: π  π0

H1: π  π 0

H1: π < π 0

2. Nivel de significación

  0.01, 0.05, 0.10, etc 

3. Estadístico de Prueba

Zcal =

p - π0 π 0 (1 - π 0 ) n

UNILATERAL A LA DERECHA

H0: π  π0 H1: π > π 0

Donde: p =

#casos favorables #casos totales

4. Decisión Rechazar H0 si Zcal < Zα

Rechazar H0 si |Zcal| > Z1 – α/2

Rechazar H0 si Zcal > Z1 – α

Ejercicio resuelto 1. En una fábrica de electrodomésticos, el gerente de ventas debe decidir si los lotes que llegan a una fábrica deben ser aceptados o devueltos al proveedor. Se sabe que, los artículos de este lote vienen con una garantía de 10% de artículos defectuosos. Al conocer esto; el gerente rechazará el lote, si hay evidencia que más del 10% de los artículos son defectuosos. Para tomar una decisión se elige una muestra aleatoria de 625 artículos y se encuentran que 550 no son defectuosos. Con un nivel de significancia de 2.5%, ¿cuál será la decisión del gerente de ventas?

Ejercicio resuelto Sea la variable: X = Número de artículos defectuosos. Datos: Tamaño de muestra (casos totales): n = 625 artículos Número de artículos defectuosos (casos favorables) = 75 ⟶ Proporción estimada de artículos defectuosos: 𝑝 =

75 625

= 0.12

Nivel de significancia: α = 0.025 Se quiere probar si: π > 0.1 (proporción de artículos defectuosos del lote) → se rechazará el lote de artículos.

Ejercicio resuelto (Unilateral a la derecha) Prueba de hipótesis: i. Planteamiento de hipótesis: Hipótesis nula: H0: 𝜋 ≤ 0.1 Hipótesis alterna: H1: 𝜋 > 0.1

Valor crítico: ZT = Z1 – α = Z1 – 0.025 = Z0.975 = 1.96.

ii. Nivel de significancia: α = 0.025

iii. Estadístico de prueba: 𝑧𝑐𝑎𝑙 =

𝑝−𝜋 𝜋(1 − 𝜋) 𝑛

=

0.12 − 0.1 0.1(0.9) 625

= 1.67

iv. Decisión: Como Zcal = 1.67 < ZT = 1.96, no se rechaza H0.

v. Conclusión: Al 2.5% de significancia, no existe evidencia estadística para que el gerente decida rechazar el lote de artículos.

Decisión y conclusión con el p – valor en una prueba de hipótesis ¿Qué significa p – valor? El “p – valor” llamado nivel de significación observado, es el mínimo valor de , al cual se rechazaría la hipótesis nula. Un “p – valor” cercano a 0 indica que es muy poco probable que H0 ocurra, por lo que estaremos inclinados a rechazarla.

Conclusión con el p – valor Se rechaza H0, si p-valor < α; caso contrario no se rechaza H0.

Decisión y conclusión con el p – valor en una prueba de hipótesis Cálculo del p – valor UNILATERAL A LA IZQUIERDA

p-valor =P(z  z cal )

BILATERAL p-valor = 2 1 - P(z  z cal )  donde, z cal siempre en valor "+"

UNILATERAL A LA DERECHA

p-valor =1-P(z  z cal )

Donde: • zcal: Valor del Estadístico de prueba normal estándar • P(z ≤ zcal): Probabilidad buscada del valor del estadístico de prueba en la tabla de la distribución normal estándar.

Ejercicio resuelto La empresa NATURAL S.A invertirá en la elaboración de yogurt de aguaymanto si más del 72.5% de consumidores que adquieran el producto. El jefe del área de marketing realizó un estudio de mercado, en donde se observó que 318 adquirirán el producto de una muestra de 400 consumidores . A un nivel de significación del 5%, ¿se puede afirmar que la empresa invertirá en el nuevo producto? a) Plantee la hipótesis nula y alterna (en forma simbólica y literal).

b) Calcule el estadístico de prueba correspondiente. c) Realice la decisión y conclusión con el p-valor.

Ejercicio resuelto Sea la variable: X = Número de consumidores que adquieran el nuevo producto. Datos: Tamaño de muestra: n = 400 consumidores (casos totales) Número de consumidores de adquieran el producto: X = 318 (casos favorables) ⟶ Proporción estimada de consumidores que adquieran el producto: 𝑝 =

318 400

= 0.795

Nivel de significancia: α = 0.05 Se quiere probar si: π > 0.725 (proporción de que todos los consumidores adquieran el yogurt es más del 72.5%) → La empresa invertirá en el nuevo producto.

Ejercicio resuelto Prueba de hipótesis: a) Hipótesis nula: H0: 𝜋 ≤ 0.725(La empresa no invertirá en el nuevo producto) Hipótesis alterna: H1: 𝜋 > 0.725(La empresa invertirá en el nuevo producto) Nivel de significancia: α = 0.05 b) Estadístico de prueba: 𝑧𝑐𝑎𝑙 =

𝑝−𝜋 𝜋(1−𝜋) 𝑛

=

0.795−0.725 0.725(0.275) 400

= 3.14

c) Cálculo del p – valor : p – valor = 1 – P(z ≤ zcal) = 1 – P(z ≤ 3.14) = 1 – 0.99916 = 0.00084

Decisión y conclusión: Como p_valor = 0.00084 < α = 0.05, se rechaza H0. Al 5% de significancia, existe evidencia estadística para concluir que la empresa invertirá en el nuevo producto.

Síntesis

Prueba de hipótesis

Prueba de hipótesis para la proporción poblacional, π

-Se calcula el estadístico de prueba Zc

Si: Decisión con el p_valor

*p – valor < α, se rechaza H0

*p – valor > α, no se rechaza H0.

Metacognición  ¿Qué dificultades has tenido para entender el tema?  ¿Cómo mejorarías el aprendizaje del tema?  ¿En que problemas de tu especialidad puedes aplicar lo aprendido?

Actividad de aprendizaje 1. El gerente de una compañía telefónica está tratando de determinar si algunas líneas en una determinada comunidad deben instalarse subterráneamente. Debido a que se hará un pequeño cargo adicional en las cuentas telefónicas para pagar los costos extras de la instalación, la compañía ha determinado hacer un estudio entre los clientes y proceder con la instalación subterránea solo si el estudio indica que más del 60% de todos los clientes están a favor de la instalación. Si 118 de 160 clientes entrevistados están a favor de esta instalación a pesar del cargo adicional, ¿qué debe hacer la compañía? Use un  = 0.01.

Actividad de aprendizaje 2. El proveedor de un determinado comercio afirma que a lo sumo el 5.2% de artículos producidos son defectuosos. El gerente de una empresa en donde se distribuye su mercadería quiere corroborar dicha afirmación; para ello, selecciona una muestra aleatoria de 400 artículos y encontró que 368 no son defectuosos. Con un nivel de significación del 5%, ¿a qué conclusión llegaría Ud.?

a) b) c) d)

Plantee las hipótesis en forma simbólica y literal y fije el nivel de significación. Calcule el estadístico de prueba. Calcule el p-valor, luego realice la decisión y conclusión. Defina en términos del problema el error tipo I y el error tipo II.

Referencias Bibliográficas

1. Anderson, S. (2010) Estadística para Administración y Economía. Cengage Learning 8va. Edición. México. 2. Montesinos, L., Llanos, K., Cerna, E., Pajuelo, S. y Coaquira, F. (2017) Estadística Descriptiva e Inferencial. Fondo Editorial USIL 1° Edición. Lima, Perú.