• Author / Uploaded
• carlos_0291

• Categories
• Campo eléctrico
• Esfera
• Electrostática
• Electricidad
• Velocidad

Citation preview

685

Preguntas

¿Qué pasaría si? ¿Cómo diferirían los resultados de este problema si la esfera fuese conductora en lugar de aisladora? Respuesta El único cambio sería en la región 쩸, donde r a. Puesto que no puede haber carga dentro de un conductor en equilibrio electrostático, qin = 0 para una superficie gaussiana de radio r a; por lo tanto, sobre la base de la ley de Gauss y simetría, E1 = 0. En las regiones 쩹, 쩺 y 쩻, no habría forma de determinar si la esfera es conductora o aislante.

Resumen DEFINICIONES El flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que penetran una superficie. Si el campo eléctrico es uniforme y forma un ángulo u con la normal a una superficie de área A, el flujo eléctrico a través de la superficie es (24.2) £ E EA cos u En general, el flujo eléctrico a través de una superficie es £E

S

S

E dA

(24.3)

superficie

CONCEPTOS Y PRINCIPIOS La ley de Gauss dice que el flujo eléctrico neto ΦE a través de cualquier superficie gaussiana cerrada es igual a la carga neta qin dentro de la superficie, dividida por e0:

£E

S

S

E dA

q in P0

(24.6)

Al usar la ley de Gauss, se puede calcular el campo eléctrico debido a varias distribuciones de carga simétricas.

Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes propiedades: 1. El campo eléctrico es cero en todas partes dentro del conductor, ya sea que el conductor sea sólido o hueco. 2. Si un conductor aislado tiene una carga, la carga reside en su superficie. 3. El campo eléctrico justo afuera de un conductor con carga es perpendicular a la superficie del conductor y tiene una magnitud s / e0, donde s es la densidad de carga superficial en dicho punto. 4. En un conductor con forma irregular, la densidad de carga superficial es mayor en posiciones donde el radio de curvatura de la superficie es más pequeño.

Preguntas O indica pregunta complementaria. 1. En invierno, el sol está en el cielo más abajo que en verano. ¿Cómo incide lo anterior en el flujo de luz solar sobre un área determinada de la superficie de la Tierra? ¿Cómo afecta lo anterior al clima? 2. Si de una superficie gaussiana salen más líneas de campo eléctrico de las que entran, ¿qué se puede concluir acerca de la carga neta encerrada en la superficie? 3. En una región del espacio en la cual no existen cargas hay un campo eléctrico uniforme. ¿Qué se puede concluir acerca del flujo eléctrico neto a través de una superficie gaussiana colocada en esta región del espacio? 4. O Una partícula con carga q se ubica dentro de una superficie gaussiana cúbica. No hay otras cargas en las cercanías. i) Si la partícula está en el centro del cubo, ¿cuál es el flujo a través

Cap_24_Serway2.indd 685

de cada una de las caras del cubo? a) 0, b) q/e0, c) q/2 e0, d) q/4e0, e) q/6e0, f) q/8e0, g) depende del tamaño del cubo. ii) Si la partícula se puede mover a cualquier punto dentro del cubo, ¿qué valor máximo puede alcanzar el flujo a través de una cara? Elija entre las mismas posibilidades. iii) Si la partícula se puede mover a cualquier parte dentro del cubo o sobre su superficie, ¿cuál es el mínimo flujo posible a través de una cara? Elija entre las mismas posibilidades. 5. O Una superficie gaussiana cúbica rodea un largo filamento recto con carga que pasa perpendicularmente a través de dos caras opuestas. No hay otras cargas en las cercanías. i) ¿En cuántas caras del cubo el campo eléctrico es cero? a) 0, b) 2, c) 4, d) 6. ii) ¿A través de cuántas de las caras del cubo el flujo eléctrico es cero? Elija entre las mismas posibilidades.

9/11/08 5:20:40 PM

686

Capítulo 24

Ley de Gauss

6. O Una superficie gaussiana cúbica se divide en dos partes mediante una gran hoja con carga, paralela a sus caras superior e inferior. No hay otras cargas en las cercanías. i) ¿Sobre cuántas de las caras del cubo el campo eléctrico es cero? a) 0, b) 2, c) 4, d) 6. ii) ¿A través de cuántas de las caras del cubo el flujo eléctrico es cero? Elija entre las mismas posibilidades. 7. O Dos esferas sólidas, ambas de 5 cm de radio, portan cargas totales idénticas de 2 mC. La esfera A es un buen conductor. La esfera B es un aislador, y su carga se distribuye de manera uniforme en todo su volumen. i) ¿Cómo comparar las magnitudes de los campos eléctricos que crean por separado a una distancia radial de 6 cm? a) EA E  0, b) EA E 0, c) EA  E 0, d) EA  E  0, e) 0 EA E, f) 0  EA E. ii) ¿Cómo comparar las magnitudes de los campos eléctricos que crean por separado radios de 4 cm? Elija entre las mismas posibilidades. 8. Si se conoce la carga total en el interior de una superficie cerrada pero no se especifica la distribución de la carga, ¿puede utilizar la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico? Explique. 9. Explique por qué el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada que tiene una carga encerrada conocida es independiente del tamaño o forma de la superficie. 10. Respecto a la naturaleza repulsiva de la fuerza que se genera entre cargas iguales y a la libertad de movimiento de las cargas dentro de un conductor, explique por qué un exceso de carga en un conductor aislado debe residir sobre su superficie. 11. O Una esfera aislante sólida de 5 cm de radio, tiene una carga eléctrica distribuida uniformemente en todo su volumen. Concéntrico con la esfera hay un cascarón esférico conductor sin carga neta, como se muestra en la figura P24.11. El radio interior del cascarón mide 10 cm, y el radio exterior 15 cm. No hay otras cargas en las cercanías. a) Clasifique la magnitud del

12.

13.

14.

15.

A B C D

Figura P24.11

campo eléctrico en los puntos (a un radio de 4 cm), B (radio de 8 cm), C (radio de 12 cm) y D (radio 16 cm) de mayor a menor. Muestre cualquier caso de igualdad en su clasificación. b) De igual modo, clasifique el flujo eléctrico a través de las superficies esféricas concéntricas a través de los puntos A, B, C y D. O Un cable coaxial consiste de un filamento recto largo rodeado por cubierta conductora cilíndrica, coaxial larga. Suponga que la carga Q está en el filamento, sobre la cubierta la carga neta es cero y el campo eléctrico es E1ˆi en un punto particular P a la mitad entre el filamento y la superficie interior de la cubierta. A continuación, coloque el cable en un campo externo uniforme E1ˆi . En tal caso, ¿cuál es el componente x del campo eléctrico P ? a) 0, b) entre 0 y E1, c) E1, d) mayor que E1, e) entre 0 y E1, f) E1, g) menor que E1. Una persona entra en una gran esfera metálica hueca aislada de la tierra. Si a la esfera se le deposita una carga considerable, ¿la persona resultará lastimada si toca el interior de la esfera? Explique qué pasaría si la persona tiene además una carga inicial cuyo signo es opuesto al de la carga de la esfera. O Una gran cubierta metálica y esférica no tiene carga. Se apoya sobre una base aislante y tiene un pequeño orificio en la parte superior. Una pequeña tachuela con carga Q se baja mediante un hilo de seda a través del orificio hacia el interior de la cubierta. i) ¿Ahora cuál es la carga sobre la superficie interior de la cubierta? a) Q, b) Q/2, c) 0, d) Q/2, e) Q. Elija sus respuestas a las siguientes partes entre las mismas posibilidades. ii) ¿Cuál es la carga sobre la superficie exterior de la cubierta? iii) Ahora la tachuela se baja hasta tocar la superficie interior de la cubierta. Después de este contacto, ¿cuál es la carga sobre la tachuela? iv) ¿Ahora cuál es la carga sobre la superficie interior de la cubierta? v) ¿Ahora cuál es la carga sobre la superficie exterior de la cubierta? Una demostración consiste en cargar un globo de látex, que es un aislante, al frotarlo con el cabello de alguien, y después pegarlo al techo o a la pared, que también son aislantes. La atracción eléctrica entre el globo con carga y la pared neutra da como resultado que el globo se adhiera a la pared. Imagine ahora dos láminas planas infinitamente grandes de material aislante. Una de las láminas tiene carga y la otra es neutra. Si éstas son puestas en contacto, ¿existirá una fuerza de atracción entre ellas, como ocurrió entre el globo y la pared?

Pregunta 11 y problema 44.

Problemas Sección 24.1

Flujo eléctrico

1. En un campo eléctrico uniforme se hace girar una espira de 40.0 cm de diámetro hasta encontrar la posición en la cual existe el máximo flujo eléctrico. El flujo en esta posición tiene un valor de 5.20  105 N  m2/C. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico? 2. Existe un campo eléctrico vertical, de 2.00  104 N/C de magnitud, sobre la superficie de la Tierra en un día con tormenta eléctrica. Un automóvil, con dimensión rectangular de 6.00 m por 3.00 m, viaja a lo largo de un camino de grava seca que se

2  intermedio; 3  desafiante;

Cap_24_Serway2.indd 686

inclina hacia abajo a 10.0°. Determine el flujo eléctrico en el chasis del automóvil. 3. Un campo eléctrico uniforme a ˆi  b ˆj atraviesa por una superficie de área A. ¿Cuál es el flujo que pasa a través de esta área si la superficie se encuentra a) en el plano yz, b) en el plano xz, c) en el plano xy? 4. Considere una caja triangular cerrada en reposo dentro de un campo eléctrico horizontal con una magnitud E  7.80  104 N/C, como se muestra en la figura P24.4. Calcule el flujo

 razonamiento simbólico;   razonamiento cualitativo

9/11/08 5:20:41 PM

Problemas eléctrico a través de a) la superficie rectangular vertical, b) la superficie inclinada, y c) la superficie total de la caja.

30.0 cm E

10.0 cm

687

c) ¿Los resultados dependen del radio de la cubierta? Explique su respuesta. 11. Una carga puntual Q se localiza justo por encima del centro de la cara plana de un hemisferio de radio R, como se muestra en la figura P24.11. ¿Cuál es el flujo eléctrico que pasa a) a través de la superficie curva y b) a través de la cara plana?

60.0 d

Q

0

R Figura P24.4

Pregunta 11 y problema 44.

5. Una pirámide de base horizontal cuadrada, de 6.00 m de lado, y con una altura de 4.00 m está colocada en un campo eléctrico vertical de 52.0 N/C. Calcule el flujo eléctrico total que pasa a través de las cuatro superficies inclinadas de la pirámide. Sección 24.2 Ley de Gauss 6.  El campo eléctrico presente en la superficie total de una cubierta esférica delgada de 0.750 m de radio tiene un valor de 890 N/C y apunta radialmente hacia el centro de la esfera. a) ¿Cuál es la carga neta en el interior de la superficie de la esfera? b) ¿Qué se puede concluir en relación con la naturaleza y distribución de la carga en el interior de la cubierta esférica? 7. Las siguientes cargas están localizadas en el interior de un submarino: 5.00 mC, 9.00 mC, 27.0 mC y 84.0 mC. a) Calcule el flujo eléctrico neto a través del casco del submarino. b) ¿El número de líneas de campo eléctrico que salen en comparación con las que entran es: mayor, igual o menor? 8.  a) A una distancia d de un plano infinito está localizada una carga puntual q. Determine el flujo eléctrico a través del plano debido a la carga puntual. b) ¿Qué pasaría si? Una carga puntual q está localizada muy cerca del centro de un cuadrado muy grande sobre la línea perpendicular a dicho cuadrado y que pasa por su centro. Determine el flujo eléctrico aproximado que pasa a través del cuadrado que se espera de la carga puntual. c) Explique por qué las respuestas a los incisos a) y b) son idénticas. 9. En la figura P24.9 se muestran cuatro superficies cerradas, S1 a S4, así como las cargas  2Q , Q y  Q. (Las líneas de color son las intersecciones de las superficies con el plano de la página.) Determine el flujo eléctrico a través de cada superficie. S1

S4

2Q

S3

Q Q S2

Figura P24.11

12. El aire que está por encima de cierta región a una altitud sobre el nivel del suelo de 500 m, el campo eléctrico es de 120 N/C en dirección hacia abajo. A una altitud de 600 m sobre el nivel del suelo, el campo es de 100 N/C hacia abajo. ¿Cuál es la densidad de carga volumétrica promedio de la capa de aire entre estas dos alturas? ¿Es positiva o negativa? 13. Una carga puntual Q  5.00 mC se localiza en el centro de un cubo de arista L  0.100 m. Además, simétricamente alrededor de Q, como se muestra en la figura P24.13, existen otras seis cargas puntuales idénticas q  1.00 mC. Determine el flujo eléctrico a través de una de las caras del cubo. L q q

q q

q

Q

L q

L Figura P24.13

Problemas 13 y 14.

14. Una carga puntual positiva Q está en el centro de un cubo de arista L. Además, otras seis cargas puntuales negativas idénticas q están colocadas simétricamente alrededor de Q como se muestra en la figura P24.13. Determine el flujo eléctrico a través de una de las caras del cubo. 15. Una carga lineal infinitamente larga tiene carga uniforme por cada unidad de longitud l y se localiza a una distancia d del punto O, como se muestra en la figura P24.15. Determine el flujo eléctrico total a través de la superficie de una esfera de radio R con centro en O como resultado de la carga lineal. Tome en cuenta cuando R d y R d.

l d

Figura P24.9

10. Una carga puntual de 12.0 mC está colocada en el centro de una cubierta esférica de 22.0 cm de radio. ¿Cuál es el flujo eléctrico total que pasa a través de a) la superficie del cascarón y b) cualquier superficie hemisférica de la misma?

2  intermedio; 3  desafiante;

Cap_24_Serway2.indd 687

O

R

Figura P24.15

 razonamiento simbólico;   razonamiento cualitativo

9/11/08 5:20:41 PM

688

Capítulo 24

Ley de Gauss

16. Una esfera hueca no conductora sin carga, con un radio de 10.0 cm, rodea una carga de 10.0 mC localizada en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano. Una broca de radio 1.00 mm es alineada a lo largo del eje de las z y se hace una perforación en la esfera. Calcule el flujo eléctrico a través de la perforación. 17.  Una carga de 170 mC está en el centro de un cubo con una arista de 80.0 cm. Sin cargas en los alrededores a) Determine el flujo a través de cada una de las caras del cubo. b) Encuentre el flujo a través de la superficie total del cubo. c) ¿Qué pasaría si? ¿Cambiarían sus respuestas a los incisos a) y b) en caso de que la carga no estuviera ubicada en el centro? Explique por qué. Sección 24.3 Aplicación de la ley de Gauss a varias distribuciones de carga 18. Una esfera sólida con un radio 40.0 cm tiene una carga positiva total de 26 mC con distribución uniforme en su volumen. Calcule la magnitud del campo eléctrico a las siguientes distancias del centro de la esfera: a) 0 cm, b) 10.0 cm, c) 40.0 cm y d) 60.0 cm. 19. Determine la magnitud del campo eléctrico en la superficie de un núcleo de plomo-208, que contiene 82 protones y 126 neutrones. Suponga que el núcleo de plomo tiene un volumen igual a 208 veces el volumen de un protón, considere al protón como una esfera de radio 1.20  1015 m. 20. Un filamento largo y recto tiene una carga por unidad de longitud de 90.0 mC/m. Determine el campo eléctrico a las siguientes distancias del filamento, medidas perpendicularmente a la longitud del mismo: a) 10.0 cm, b) 20.0 cm y c) 100 cm. 21. Una hoja con carga grande horizontal y plana tiene una carga por unidad de superficie de 9.00 mC/m2. Determine el campo eléctrico justo por encima del centro de la hoja. 22. Una cubierta cilíndrica con un radio de 7.00 cm y longitud de 240 cm tiene una carga con distribución uniforme sobre su superficie curva. La magnitud del campo eléctrico en un punto que está a 19.0 cm radialmente hacia afuera de su eje (medido a partir del punto medio de la cubierta) es de 36.0 kN/C. Determine a) la carga neta sobre la cubierta y b) el campo eléctrico que existe en un punto a 4.00 cm del eje, medido radialmente hacia afuera del punto medio de la cubierta. 23. Un trozo de Styrofoam de 10.0 g tiene una carga neta de 0.700 mC y flota por encima del centro de una gran lámina horizontal de plástico que tiene una densidad de carga uniforme en su superficie. ¿Cuál es la carga por unidad de superficie presente en la lámina de plástico? 24. a) Escriba un problema para el que la siguiente ecuación dé la solución. Incluya los datos requeridos en su enunciado de problema e identifique la única incógnita.

2p(3 cm)(8 cm)E cos 0°  0  0 

p 12 cm2 2 18 cm2 15  106 C>m3 2 8.85  1012 C2>N # m2

b) Resuelva la ecuación para la incógnita. 25. Problema de repaso. Una partícula con una carga de 60.0 nC está colocada en el centro de una cubierta esférica no conductora con un radio interior igual a 20.0 cm y un radio exterior de 25.0 cm. La cubierta esférica tiene una carga con una densidad uniforme de 1.33 mC/m3. Un protón se mueve en órbita circular justo en el exterior de la cubierta esférica. Calcule la rapidez del protón. 26.  Un muro no conductor tiene una carga con densidad uniforme de 8.60 mC/cm2. ¿Cuál es el campo eléctrico a 7.00

2  intermedio; 3  desafiante;

Cap_24_Serway2.indd 688

27.

28.

29.

30.

31.

cm del muro? ¿El resultado cambia si se modifica la distancia a la pared? Considere una distribución de carga cilíndrica larga de radio R con una densidad de carga uniforme r. Encuentre el campo eléctrico a una distancia r del eje, cuando r R. En la fisión nuclear, un núcleo de uranio 238 que contiene 92 protones puede dividirse en dos esferas más pequeñas, cada una con 46 protones y con un radio de 5.90  1015 m. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica de repulsión que separa las dos esferas? Considere una cubierta esférica delgada con un radio de 14.0 cm y una carga total de 32.0 mC con distribución uniforme sobre su superficie. Determine el campo eléctrico a) a 10.0 cm y b) a 20.0 cm del centro de distribución de la carga. Llene dos globos con aire. Sujete los extremos de las cuerdas de la misma longitud desde el mismo punto, con los otros extremos unidos a los globos. Frote cada uno de ellos con lana o con su cabello, de forma que cuelguen separados por un espacio visible entre ambos. Haga estimaciones de orden de magnitud de a) la fuerza en cada uno, b) la carga de cada globo, c) el campo que cada uno de ellos genera en el centro del otro y d) el flujo total de campo eléctrico creado por cada globo. Establezca las cantidades que ha considerado como datos y los valores medidos o estimados para los mismos. Un filamento recto con carga uniforme de 7.00 m de longitud tiene una carga positiva total de 2.00 mC. Un cilindro de cartón sin carga de 2.00 cm de longitud y 10.0 cm de radio, rodea el filamento en su parte central, y lo tiene como el eje del cilindro. A partir de aproximaciones razonables, determine a) el campo eléctrico en la superficie del cilindro y b) el flujo eléctrico total a través de dicho cilindro.

Sección 24.4 Conductores en equilibrio electrostático 32. Una placa muy grande delgada y plana de aluminio con área A tiene una carga total Q, con distribución uniforme sobre sus superficies. Existe una carga igual distribuida uniformemente sobre la superficie superior de una placa de vidrio idéntica en todo, compare los campos eléctricos justo por encima del centro de la cara superior de cada una de las placas. 33. Una varilla de metal larga y recta tiene un radio de 5.00 cm y una carga por unidad de longitud de 30.0 nC/m. Determine el campo eléctrico a las siguientes distancias, medidas perpendicularmente al eje de la varilla: a) 3.00 cm, b) 10.0 cm y c) 100 cm. 34.  Una esfera sólida de cobre con un radio de 15.0 cm tiene una carga de 40.0 nC. Determine el campo eléctrico a) a 12.0 cm, b) a 17.0 cm y c) a 75.0 cm del centro de la esfera. d) ¿Qué pasaría si? ¿Cuáles serían sus respuestas si la esfera fuese hueca? 35. Una placa cuadrada de cobre de 50.0 cm de lado tiene una carga neta igual a cero y está colocada en una región de un campo eléctrico uniforme de 80.0 kN/C dirigido perpendicularmente a la placa. Determine a) la densidad de carga en cada una de las caras de la placa y b) la carga total en cada placa. 36. En cierta regióng del espacio, el campo eléctrico es S E  6 000x 2ˆi N>C # m2. Encuentre la densidad volumétrica de la carga eléctrica en x = 0.300 m. Sugerencia: Aplique la ley de Gauss a una caja entre x = 0.300 m y x = 0.300 m  dx. 37. Dos esferas conductoras idénticas con un radio de 0.500 cm están conectadas por un alambre conductor ligero de 2.00 m de largo. En una de las esferas se coloca una carga de 60.0 mC. Suponga que la distribución de la carga superficial en cada una es uniforme. Determine la tensión en el alambre. 38.  Una esfera metálica sólida, de radio a, tiene carga total Q sin otra carga en los alrededores. El campo eléctrico justo afue-

 razonamiento simbólico;   razonamiento cualitativo

9/11/08 5:20:42 PM

Problemas ra de su superficie es keQ/a2 radialmente hacia afuera. ¿El campo eléctrico en este caso también se conoce por s / e0? ¿Por s / 2e0? Explique si debe esperar que sea igual a alguna de estas cantidades. 39. Un alambre largo y recto, rodeado por un cilindro de metal hueco cuyo eje coincide con el suyo, tiene una carga por unidad de longitud l, y el cilindro una carga por unidad de longitud 2l. Con esta información, utilice la ley de Gauss para determinar a) la carga por unidad de longitud en las superficies interna y externa del cilindro y b) el campo eléctrico exterior al cilindro, a una distancia r de su eje. 40. Una carga puntual positiva se encuentra a una distancia R/2 del centro de una cubierta esférica conductora delgada, sin carga y de radio R. Dibuje las líneas de campo eléctrico que se establecen debido a este sistema tanto adentro como afuera de la cubierta. 41. Una delgada placa conductora y cuadrada de 50.0 cm de lado se encuentra sobre el plano xy. Se deposita una carga total de 4.00  108 C sobre la placa. Determine a) la densidad de carga sobre la placa, b) el campo eléctrico justo por encima de la placa y c) el campo eléctrico justo por debajo de la misma. Puede suponer que la densidad de carga es uniforme. Problemas adicionales 42. Un campo eléctrico no uniforme tiene la expresión

E  ayˆi  bzˆj  cx ˆ k S

donde a, b y c son constantes. Determine el flujo eléctrico a través de una superficie rectangular en el plano xy, que se extiende de x  0 hasta x  w y de y  0 hasta y  h. 43. Una esfera de radio R rodea una partícula con carga Q, ubicada en su centro. a) Demuestre que el flujo eléctrico a través de un casquete circular de semiángulo u (figura P24.43) es

£E

Q 11 2P0

cos u2

¿Cuál es el flujo para b) u = 90° y c) u = 180°?

R

689

campo eléctrico en el punto C, a 12.0 cm de radio. e) Considere una superficie gaussiana esférica a través del punto C y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. f) Considere una superficie gaussiana esférica de 8.00 cm de radio y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. g) Encuentre el vector de campo eléctrico en el punto B, a 8 cm de radio. h) Considere una superficie gaussiana esférica a través del punto A, a 4.00 cm de radio, y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. i) Encuentre el vector de campo eléctrico en el punto A. j) Determine la carga sobre la superficie interior de la cubierta conductora. k) Determine la carga sobre la superficie exterior de la cubierta conductora. l) Bosqueje una gráfica de la magnitud del campo eléctrico en términos de r. 45.  Una cubierta esférica metálica y hueca tiene radio exterior de 0.750 m, sin carga neta y está apoyado sobre una base aislante. El campo eléctrico en todas partes justo afuera de su superficie es 890 N/C radialmente hacia el centro de la esfera. a) Explique qué puede concluir acerca de la cantidad de carga sobre la superficie exterior de la esfera y sobre la distribución de esta carga. b) Explique qué puede concluir acerca de la cantidad de carga sobre la superficie interior de la esfera y su distribución. c) Explique qué puede concluir acerca de la cantidad de carga dentro de la cubierta y su distribución. 46.  Imagine dos esferas conductoras idénticas cuyas superficies se encuentran a una pequeña distancia una de la otra. A una esfera se le da una gran carga positiva neta, en tanto que a la otra se le da una pequeña carga neta, también positiva. Se descubre que la fuerza existente entre ambas esferas es de atracción, aun cuando las dos tienen cargas netas del mismo signo. Explique por qué es posible. 47. Una esfera aislante y sólida, de radio a, tiene una densidad de carga uniforme r y una carga total Q. Colocada en forma concéntrica a esta esfera existe otra esfera hueca, conductora pero descargada, de radios interno y externo b y c, respectivamente, como se observa en la figura P24.57. a) Determine la magnitud del campo eléctrico en las regiones r a, a r b, b r c y r c. b) Determine la carga inducida por unidad de superficie en las superficies interna y externa de la esfera hueca. Aislante

u

Conductor Q

a b

c

Figura P24.43 Figura P24.47

44. Una esfera aislante y sólida, de 5.00 cm de radio, tiene una carga positiva neta de 3.00 mC, con distribución uniforme en todo su volumen. Concéntrico a la esfera hay una cubierta esférica conductora con radio interior de 10.0 cm y radio exterior de 15.0 cm, que tiene carga neta de 1.00 mC, como se muestra en la figura Q24.11. a) Considere una superficie gaussiana esférica de 16.0 cm de radio y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. b) ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico en el punto D, a la derecha de la cubierta y a un radio de 16 cm? c) Encuentre la magnitud del campo eléctrico en el punto D. d) Encuentre el vector de

2  intermedio; 3  desafiante;

Cap_24_Serway2.indd 689

Problemas 47 y 63.

48. Problema de repaso. Uno de los primeros modelos (incorrecto) del átomo de hidrógeno, sugerido por J. J. Thomson, suponía que una nube positiva con carga e estaba distribuida de manera uniforme en todo el volumen de una esfera de radio R, con el electrón (una partícula con carga negativa e de igual magnitud) en el centro. a) Con la aplicación de la ley de Gauss, demuestre que el electrón estaría en equilibrio en el centro y, en caso de ser desplazado del centro una distancia r R, experimentaría una fuerza de restauración de la forma F Kr, siendo K una constante. b) Demuestre que K  kee2/R 3. c)

 razonamiento simbólico;   razonamiento cualitativo

9/11/08 5:20:43 PM

690

Capítulo 24

Ley de Gauss

Encuentre una expresión para la frecuencia f de oscilaciones armónicas simples que podría sufrir un electrón de masa me si fuera desplazado y después liberado en una pequeña distancia ( R) desde el centro. d) Calcule un valor numérico para R, como resultado de una frecuencia de 2.47  1015 Hz, que es la frecuencia de la luz que irradia la línea más intensa del espectro del hidrógeno. 49. Una partícula de masa m y carga q se mueve con magnitud de velocidad alta a lo largo del eje x. Inicialmente se localiza cerca de x , y termina cerca de x  . Una segunda carga Q se encuentra fija en el punto x  0, y  d. Cuando la carga en movimiento pasa por la carga estacionaria, su componente x de velocidad no sufre una modificación significativa, pero adquiere una velocidad pequeña en la dirección y móvil. Determine el ángulo en que la carga se desvía. Sugerencia: La integral a la que llegue al determinar vy puede ser evaluada aplicando la ley de Gauss a un cilindro largo de radio d, centrado sobre la carga estacionaria. 50. Dos láminas infinitas de carga, no conductoras, se encuentran paralelas entre sí, como se observa en la figura P24.50. La lámina de la izquierda tiene una densidad de carga superficial uniforme s, y la de la derecha tiene una densidad de carga uniforme s. Calcule el campo eléctrico a) a la izquierda de, b) entre, y c) a la derecha de las dos láminas.

53. Una cubierta esférica con carga uniforme de densidad superficial s tiene una pequeña perforación en su superficie. El radio de la perforación es pequeño en comparación con el radio de la esfera. ¿Cuál es el campo eléctrico en el centro de la perforación? Sugerencia: Este problema, al igual que el problema 52, se resuelve con la idea de la sobreposición. 54. Una superficie cerrada de dimensiones a  b  0.400 m y c  0.600 m está colocada como se observa en la figura P24.54. La arista izquierda de la superficie cerrada está ubicada en la posición x  a. El campo eléctrico en toda la región no es → uniforme y se conoce por E  (3.0  2.0x 2)iˆ N/C, donde x está expresado en metros. Calcule el flujo eléctrico neto que sale de la superficie cerrada. ¿Cuál es la carga neta que se encuentra dentro de la superficie?

y x a c

E a

z b

x

Figura P24.54

s

s Figura P24.50

¿Qué pasaría si? Repita el cálculo del problema 50 en el caso de que ambas láminas tuvieran densidades de carga superficiales uniformes positivas de valor s. 52. Una esfera de radio 2a está hecha de un material no conductor con una densidad de carga volumétrica uniforme r. (Suponga que el material no afecta al campo eléctrico.) Se efectúa en seguida una cavidad de radio a en la esfera, como se muestra en la figura P24.52. Demuestre que el campo eléctrico dentro de la cavidad es uniforme y está dado por Ex  0 y Ey  ra/3e0. Sugerencia: El campo en el interior de la cavidad es la sobreposición del campo debido a la esfera original sin perforación mas el campo debido a una esfera del tamaño de la cavidad con una densidad de carga negativa uniforme de r.

51.

55. Una esfera aislante y sólida de radio R tiene una densidad de carga no uniforme que varía en función de r de acuerdo con la expresión r  Ar2, donde A es una constante y r R está medida desde el centro de la esfera. a) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico exterior de la esfera (r R) es igual a E  AR 5/5e0r 2. b) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico interior de la esfera (r R) es igual a E  Ar 3/5e0. Sugerencia: La carga total Q de la esfera es igual a la integral de r dV, donde r se extiende desde cero hasta R; también la carga q dentro de un radio r R es inferior a Q. Para evaluar las integrales, observe que el elemento de volumen dV para una cubierta esférica de radio r y de espesor dr es igual a 4 pr 2dr. 56. Una carga puntual Q está localizada sobre el eje de un disco de radio R a una distancia b del plano del disco (figura P24.56). Demuestre que en el caso de que una cuarta parte del flujo eléctrico de la carga pasara a través del disco, R sería igual a 43b .

R

y

b a

Q x

Figura P24.56

2a

Figura P24.52

2  intermedio; 3  desafiante;

Cap_24_Serway2.indd 690

57. Una distribución de carga de simetría esférica tiene una densidad de carga expresada por r  a/r, siendo a una constante. Determine el campo eléctrico como una función de r. Sugeren-

 razonamiento simbólico;   razonamiento cualitativo

9/11/08 5:20:44 PM

Respuestas a las preguntas rápidas cia: La carga en el interior de una esfera de radio R es igual a la integral de r dV, donde r se extiende de 0 hasta R. Para evaluar la integral, recuerde que el elemento de volumen dV de una cubierta esférica de radio r y de un espesor dr es igual a 4 pr 2dr. 58. Un cilindro aislante de longitud infinita y de radio R tiene una densidad de carga volumétrica que varía en función del radio de la forma siguiente:

constante. La placa es infinita en las direcciones y y z. Deduzca expresiones para el campo eléctrico en a) las regiones externas y b) la región interna de la placa (d/2 x d/2). 61. a) Utilizando la similitud matemática entre la ley de Coulomb y la ley de la gravitación universal de Newton, demuestre que la ley de Gauss para la gravitación se puede escribir de la forma S

r0 a a

r

62.

63.

re 1 2pB m e P0

f

y

64. x

O d

65. Figura P24.59

S

g dA

r b b

siendo r0, a y b constantes positivas y r la distancia al eje del cilindro. Utilice la ley de Gauss para determinar la magnitud del campo eléctrico a las siguientes distancias radiales a) r R y b) r R. 59. Problema de repaso. Una placa de material aislante (con dos de sus tres dimensiones infinitas) tiene una densidad de carga uniforme positiva r. Una vista lateral de la placa se muestra en la figura P24.59. a) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico a una distancia x de su centro y en el interior de la placa es E  rx/e0. b) ¿Qué pasaría si? Suponga que un electrón de carga e y de masa me puede moverse con libertad en el interior de la placa. Si le libera del reposo a una distancia x del centro, demuestre que el electrón despliega un movimiento armónico simple con una frecuencia

691

Problemas 59 y 60.

60. Una placa de material aislante tiene una densidad de carga positiva no uniforme r  Cx 2, donde x se mide a partir del centro de la placa como se muestra en la figura P24.59, y C es

4pGm in

donde min es la masa neta existente en el interior de la superficie → → de Gauss y g  F g/m representa el campo gravitacional en cualquier punto de la superficie gaussiana. b) Determine el campo gravitacional a una distancia r del centro de la Tierra, donde r RE, y suponiendo que la densidad de masa de la Tierra es uniforme. Una esfera sólida aislante, de radio a, tiene una densidad de carga volumétrica uniforme y tiene una carga positiva total Q. Una superficie gaussiana de radio r, que comparte un centro común con la esfera aislante, se infla partiendo de r = 0. a) Encuentre una expresión para el flujo eléctrico que pasa a través de la superficie de la esfera gaussiana como función de r para r < a. b) Encuentre una expresión para el flujo eléctrico para r > a. c) Grafique el flujo en términos de r. Para la configuración que aparece en la figura P24.47, suponga que a  5.00 cm, b  20.0 cm y c  25.0 cm. Además, suponga que el campo eléctrico en un punto 10.0 cm del centro tiene un valor medido de 3.60  103 N/C, radial y hacia adentro, en tanto que el campo eléctrico en un punto a 50.0 cm del centro es de 2.00  102 N/C radial y hacia afuera. Con esta información, encuentre a) la carga existente en la esfera aislante, b) la carga neta de la esfera conductora hueca y c) las cargas en las superficies interna y externa de la esfera conductora hueca. Una cubierta aislante cilíndrica de longitud infinita, con radios interno y externo a y b, respectivamente, tiene una densidad de carga volumétrica uniforme r. Una línea de densidad de carga lineal uniforme l está colocada a lo largo del eje de la cubierta. Determine el campo eléctrico en todo los sitios. Considere un campo eléctrico que es uniforme en dirección en todo el volumen. ¿Puede ser uniforme en magnitud? ¿Debe ser uniforme en magnitud? Responda estas preguntas a) si supone que el volumen está lleno con un material aislante que tiene carga descrita por una densidad de carga volumétrica y b) si supone que el volumen es espacio vacío. Establezca el razonamiento para probar sus respuestas.

Respuestas a las preguntas rápidas 24.1 e) En cualquier esfera, sin importar el tamaño, pasa el mismo número de líneas de campo. El campo es más intenso porque los puntos que están en la superficie de la esfera están más cerca de la carga. 24.2 b) y d) La afirmación a) no es necesariamente verdadera, porque dentro de la superficie podría estar presente un número igual de cargas positivas y negativas. La afirmación c) no es necesariamente verdadera, como se puede ver a partir de la

2  intermedio; 3  desafiante;

Cap_24_Serway2.indd 691

figura 24.8: por toda la superficie existe un campo eléctrico distinto de cero, pero la carga no está encerrada en el interior de la superficie, por tanto, el flujo neto es igual a cero. 24.3 a) Las cargas que su hermano añade al cilindro metálico residen en la superficie exterior del cilindro conductor. Si usted está en el interior, estas cargas no se transferirán a usted desde la superficie interna. Por esta misma razón usted estará seguro dentro de un automóvil metálico durante una tormenta eléctrica.

 razonamiento simbólico;   razonamiento cualitativo

9/11/08 5:20:45 PM