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• Jesus Martinez

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Series de Laurent Gladys Cruz Yupanqui 8 de noviembre de 2017

1.

Sucesiones y Series

1.1.

Sucesi´ on compleja

Una sucesi´on de n´ umeros complejos es una funci´on de la forma {zn } : N −→ C tal que para cada n ≥ 1 se asocia un zn complejo. Si l´ımn−→∞ zn = L se dice que {zn } en convergente. Es decir, {zn } −→ L si para cada  > 0 existe un N tal que |zn − L| <  cuando n > N . Si una sucesi´on no es convergente, se dice que es divergente. Ejemplo 1.

1. {1 + in } = {1 + i, 0, 1 − i, 2, 1 + i, . . .}, la serie diverge.

2. {

in+1 −i 1 i −1 1 = {−1, , , , , . . .}} −→ 0 la serie converge. n 2 3 4 d5 6

3. {

3 + ni 2 2 } −→ +i n + 2ni 5n 5n

1.2.

Series

Una serie o serie infinita ∞ X

zk = z1 + z2 + z3 + . . . + zn + . . .

(1.1)

k=1

converge si las sumas parciales {Sn } Sn = z1 + z2 + z3 + . . . + zn convergen. Es decir, si Sn −→ L cuando n −→ ∞ si

1

(1.2) P∞

k=1 zk

= L.

1.3.

Serie geom´ etrica

Una serie geom´etrica es de la forma ∞ X

az k−1 = a + az + az 2 + az 3 + . . . + az n−1 + . . .

(1.3)

k=1

el n-´esimo t´ermino de la suma parcial de Sn es Sn = a + az + az 2 + az 3 + . . . + az n−1

(1.4)

zSn = az + az 2 + az 3 + . . . + az n

(1.5)

y

Restando (1.4) y (1.5) se obtiene que Sn =

a(1 − z n ) 1−z

(1.6)

Pero z n −→ 0 cuando n −→ ∞ para |z| < 1. Por lo tanto, ∞ X

az k−1 =

k=1

a 1−z

y para |z| > 1 la serie geom´etrica diverge.

1.4.

Series especiales

1.

1 = 1 + z + z2 + z3 + . . . 1−z

2.

1 = 1 − z + z2 − z3 + . . . 1+z

Ambas series son v´alidas para |z| < 1.

1.5.

Convergencia P∞

Si k=1 zk converge entonces Pl´ımn−→∞ zk = 0 Si l´ımn−→∞ zk 6= 0 P entonces ∞ k=1 zk diverge ∞ es absolutamente convergente si P∞Una serie infinita k=1 zk se dicePque ∞ |z | converge. Una serie infinita z k=1 k P∞ k=1 k se dice que es condicionalmente convergente si ´esta converge pero k=1 |zk | diverge. 2

1.5.1.

Pruebas de Convergencia

Teorema 1. [Criterio de la Raz´on] Supongamos que la serie que zn+1 |=L l´ım | n−→∞ zn

P∞

k=1 zk

es tal

(i) Si L < 1 entonces la serie converge absolutamente (ii) Si L > 1 o L = ∞ entonces la serie diverge (iii) Si L = 1 entonces la serie puede ser convergente o divergente. P Teorema 2. [Criterio de la Ra´ız] Supongamos que la serie ∞ k=1 zk es tal que p l´ım n |zk | = L n−→∞

(i) Si L < 1 entonces la serie converge absolutamente (ii) Si L > 1 o L = ∞ entonces la serie diverge (iii) Si L = 1 entonces la serie puede ser convergente o divergente.

1.6.

Series de Potencias

Una serie de la forma 2

a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a) + · · · =

∞ X

an (z − a)n

n=0

se llama serie de potencias en z − a. 1.6.1.

C´ırculo de Convergencia

Toda serie de potencias compleja tiene un c´ırculo de convergencia con centro en a y radio R, esto es |z − a| = R, y la serie converge en |z − a| < R y diverge en |z − a| > R. 1 Considerendo los criterios de convergencia, tomamos R = L

3

Figura 1: Regi´on de convergencia de una serie

2.

Serie de Taylor

2.1.

Series de Taylor

Sea f (z) anal´ıtica dentro y sobre una curva cerrada simple C. Sean a y h + a dos puntos de C. Entonces f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) +

hn h2 00 f (a) + . . . + f (n) (a) 2! n!

escribiendo z = a + h, h = z − a, f (z) = f (a) + f 0 (a)(z − a) + =

∞ X f (k) (a) k=0

k!

f 00 (a) f (n) (a) (z − a)2 + . . . + (z − a)n 2! n!

(z − a)k

(2.7)

Si a = 0, la serie de Taylor se llama serie Maclaurin, es decir, f (z) =

∞ X f (k) (0) k=0

3.

k!

zk

(2.8)

Series de Laurent

Sea f (z) anal´ıtica dentro y sobre la regi´on limitada por el anillo C1 y C2 : R1 < |z − a| < R2 , luego f (z) se puede escribir como la serie de potencias 4

Figura 2: Regi´on de convergencia de la serie de Laurent

∞ X

n

an (z − a) =

n=1

n=−∞

donde

∞ X

1 an = 2πi

∞

X a−n an (z − a)n + (z − a)n n=0

I

(3.9)

f (z) (z − a)n+1

C

C es cualquier c´ırculo conc´entrico entre C1 y C2 y n ∈ Z. El primer sumando de la serie (3.9) se llama parte principal (PP) de la serie y el segundo se llama parte ana´ılitica (PA) de la serie.

4.

Residuos El coeficiente a−1 del t´ermino

1 de la serie de Laurent se llama residuo z−a

de f (z) en z = a, esto es, a−1

1 = 2πi

I f (z)dz

(4.10)

f (z)dz = 2πia−1

(4.11)

C

de donde I C

5

4.0.1.

C´ alculo de residuos

Si z = a es un polo de orden k entonces el residuo de f (z) en z = a est´a dado por 1 dk−1 {(z − a)k f (z)} z−→a (k − 1)! dz k−1

a−1 = l´ım 4.0.2.

(4.12)

Teorema del residuo

Sea f (z) un´ıvoca y anal´ıtica dentro y sobre una curva simple cerrada excepto en las singularidades a, b, c, . . . interiores a C con residuos dados por a−1 , b−1 , c−1 , . . .. Entonces el teorema del residuo dice que I f (z)dz = 2πi(a−1 + b−1 + c−1 + . . .) (4.13) C

Ejemplo 2. Sea f (z) =

3 , entonces 1−z

a−1 = Res(f (z), 1) = l´ım (z − 1) z−→1

−3 = −3 z−1

y la integral I C

3 dz = 2πi(−3) = −6πi 1−z EJERCICIOS

1. Determine si la sucesi´on dada converge o diverge 3ni + 2 n(1 + i)n } b) { } n + ni n + 1n n n+i ni + 2 { √ } d) { } 3ni + 5n n

a) { c)

2. Determine si la serie geom´etrica dada es convergente o divergente a)

P∞

d)

P∞

k=0 (1

k=0

− i)k

b)

P∞ i k 2 k ) c) ) k=0 3( 2 1 + 2i ik (i + 1)k−1

P∞

k=1 (

P 1 4i( )k−1 e) ∞ k=2 3

6

3. Halle el c´ırculo y radio de convergencia de la serie de potencias

a) c) e)

P∞ (−1)k 1 k (z − 2i) b) (z − 1 − i)k k=0 k=1 (1 − 2i)k+1 k2k P∞ P∞ 1 k k )(z)k d) k=0 (1 + 3i) (z − i) k=0 ( k 1+i P∞ (z − 4 − 3i)k P∞ (2k)! f) (z − i)2k k=0 k=0 2k 5 (k + 1)(k!)2

P∞

4. Desarrollar en una serie de Taylor alrededor del punto indicado y determinarla regi´on de convergencia f (z) = e−z ; z = 0 b) f (z) = cos z; z = π/2 1 d) f (z) = ze2z ; z = −1 f (z) = 1+z ; z = 1 1+z z ; z = 0 f )f (z) = ;z = i e) f (z) = 1+z 1−z

a) c)

5. Halle una serie de Maclaurin para ln(1 − z) 6. Desarrollar f (z) =

1 en una serie de Laurent v´alida para z−3 a) |z| < 3 b) |z| > 3

7. Desarrolle en una serie de Laurent f (z) =

z v´alida para (z − 1)(2 − z)

a) |z| < 1 b) 1 < |z| < 2 c) |z| > 2 d) |z − 1| > 1 e) 0 < |z − 2| < 1 8. Halle la serie de Laurent de la funci´on f (z) =

3z − 3 en (2z − 1)(z − 2)

1 2