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• Yheny Cieza Irigoin

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA

CAPITULO I NOCIONES ESTRUCTURALES FUNDAMENTALES

Introducción. Ingeniería Estructural. El diseño de Estructuras implica un profundo conocimiento del comportamiento de las mismas, lo cual hace imprescindible el estudio de las cargas permanentes y accidentales, los materiales a utilizar ya que sus propiedades hacen a las condiciones de diseño, las necesidades para el funcionamiento que se le ponen al proyectista y, entre otras cosas el Análisis de la Estructura, entendiéndose por Análisis el cálculo de solicitaciones (Reacciones, Momentos flectores y torsores, Esfuerzos normales y de corte) y de deformaciones. El Análisis de Estructuras es el principal objetivo de la Asignatura, con la salvedad de que si sólo fuera hallar los valores numéricos de solicitaciones y deformaciones, no tendríamos mas que explicar el uso de alguno de los Programas para el Cálculo de Estructuras que se venden en el mercado y que cada día son más potentes. El objetivo de la asignatura es la formación más amplia del estudiante en el conocimiento de las Estructuras que le permitan poder analizar en la práctica futura los datos obtenidos con el objetivo de optimizar el diseño y/o salvar los posibles errores que se pudieran cometer en el proceso de Análisis y Diseño. Nos será necesario en el curso un buen conocimiento de la Estática y Resistencia de Materiales, ya vistos en asignaturas anteriores, y la utilización de los estados de deformación del sistema para lo cual estudiaremos en el presente Capítulo algunos Teoremas y Principios Generales con una presentación orientada a su aplicación a Sistemas Estructurales de la Ingeniería.

El Análisis Estructural en el proceso de Diseño. 1. Etapas en el proceso del diseño Proceso creativo mediante el cual se le da forma a un sistema estructural para que cumpla una función determinada con un grado de seguridad razonable y que en condiciones normales de servicio tenga un comportamiento adecuado. Es importante considerar ciertas restricciones que surgen de la interacción con otros aspectos del proyecto global; las limitaciones globales en cuanto al costo y tiempo de ejecución así como de satisfacer determinadas exigencias estéticas. Entonces, la solución al problema de diseño no puede obtenerse mediante un proceso matemático rígido, donde se aplique rutinariamente un determinado conjunto de reglas y formulas.

ING. JOSE MARCHENA

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a) Etapa de estructuración Es probable la etapa mas importante del diseño estructural pues, la optimización del resultado final del diseño depende de gran medida del acierto que se haya obtenido en adoptar la estructura esqueletal mas adecuada para una edificación específica. En esta etapa de estructuración se seleccionan los materiales que van a constituir la estructura, se define el sistema estructural principal y el arreglo y dimensiones preliminares de los elementos estructurales mas comunes. El objetivo debe ser el de adoptar la solución optima dentro de un conjunto de posibles opciones de estructuración. b) Estimación de las solicitaciones o acciones En esta segunda etapa del proyecto, se identifican las acciones que se consideran que van a incidir o que tienen posibilidad de actuar sobre el sistema estructural durante su vida útil. Entre estas acciones se encuentra, por ejemplo, las acciones permanentes como la carga muerta, acciones variables como la carga viva. Acciones accidentales como el viento y el sismo. Cuando se sabe de antemano que en el diseño se tienen que considerar las acciones accidentales es posible seleccionar en base a la experiencia la estructuración mas adecuada para absorber dichas acciones. c) Análisis estructural Procedimiento que lleva la determinación de la respuesta del sistema estructural ante la solicitación de las acciones externas que puedan incidir sobre dicho sistema. La respuesta de una estructura o de un elemento es su comportamiento bajo una acción determinada; está en función de sus propias características y puede expresarse en función de deformaciones, agrietamiento, vibraciones, esfuerzos, reacciones, etc. Para obtener dicha respuesta requerimos considerar los siguientes aspectos: Idealización de la estructura. Seleccionar un modelo teórico y analítico factible de ser analizado con los procedimientos de cálculo disponible. La selección del modelo analítico de la estructura puede estar integrada de las siguientes partes: I.- Modelo geométrico. Esquema que representa las principales características geométricas de la estructura. II.- Modelo de las condiciones de continuidad en las fronteras. Debe establecerse como cada elemento esta conectado a sus adyacentes y cuales son las condiciones de apoyo de la estructura. III.- Modelo del comportamiento de los materiales. Debe suponerse una relación acción - respuesta o esfuerzo - deformación del material que compone la estructura. IV.- Modelo de las acciones impuestas. Las acciones que afectan la estructura para una condición dada de funcionamiento se representan por fuerzas o deformaciones impuestas. Determinar las acciones de diseño

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA En muchas situaciones las cargas y otras acciones que introducen esfuerzos en la estructura están definidas por los reglamentos de las construcciones y es obligación del proyectista sujetarse a ellos. Determinar la respuesta de las acciones de diseño en el modelo elegido para la estructura. Es necesario obtener los elementos mecánicos y los desplazamientos en el sistema estructural. Dimensionamiento: En esta etapa se define a detalle la estructura y se revisa si se cumple con los requisitos de seguridad adoptados. Sistemas Estructurales Fundamentales. Se define como estructura a los cuerpos capaces de resistir cargas sin que exista una deformación excesiva de una de las partes con respecto a otra. Por ello la función de una estructura consiste en trasmitir las fuerzas de un punto a otro en el espacio, resistiendo su aplicación sin perder la estabilidad (Marshall y Nelson, 1995). La anterior definición genera diferentes tópicos tales como: fuerza, momento de una fuerza, esfuerzo, deformación etc., que buscan cumplir con la premisa expuesta anteriormente. Para lo cual, estas notas pretenden introducir al estudiante en el área de la estabilidad, indicando las exigencias que debe cumplir una estructura y una descripción cualitativa de las diferentes formas que se pueden concebir en la estructura, para desempeñar la acción impuesta por el arquitecto e ingeniero estructural. Esta descripción cualitativa no basta para definir una estructura con todos sus detalles, hace falta conocer de estática, mecánica de materiales, análisis estructural mecánica de suelos y diseño de elementos de un material dado (acero, concreto armado, madera etc.), que permiten establecer una estructura que cumpla con la definición dada (ver ANEXOS).

Principios Fundamentales del Análisis Estructural. La principal función de un sistema estructural es la de absorber las acciones o solicitaciones que se derivan del funcionamiento de la construcción. DEFINICIONES BASICAS: Acciones: Son todos los agentes externos que inducen en la estructura fuerzas internas, esfuerzos y deformaciones. Respuestas: Se representa por un conjunto de parámetros físicos que describen el comportamiento de la estructura ante las acciones que le son aplicadas. Estado límite: Es cualquier etapa en el comportamiento de la estructura a partir de la cual su respuesta se considera inaceptable.

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Tipos de estados limite Estado límite de falla: Son los que se relacionan con la seguridad y corresponden a situaciones en que la estructura sufre una falla total o parcial o que presenta daños que afectan su capacidad para resistir nuevas acciones. Estado límite de servicio: Son los que se asocian con la afectación del correcto funcionamiento de la construcción y comprenden deflexiones, agrietamientos y vibraciones excesivas. Resistencia: Es la intensidad de una acción hipotética que conduce a la estructura o alguna sección a un estado límite de falla. Por ejemplo, la resistencia a flexión será el momento máximo que es capaz de resistir la sección.

Apoyos. Hemos visto que las fuerzas en un plano pueden producir traslaciones y rotaciones. La traslación puede expresarse por sus dos componentes, según ejes ortogonales, y la rotación alrededor de un eje perpendicular al plano que contiene a las fuerzas. Diremos que una estructura plana posee tres grados de libertad (dos de traslación y una de rotación). Es evidente que estos grados de libertad deben ser restringidos para evitar toda tendencia al movimiento de la estructura y lograr su equilibrio. Esta restricción está dada por los apoyos, los que deben impedir las diversas posibilidades de movimiento; aparecen las reacciones en estos apoyos formando este conjunto (de cargas y reacciones) un sistema de fuerzas en equilibrio. La función de estos apoyos es restringir los grados de libertad de la estructura, apareciendo reacciones en la dirección de los movimientos impedidos. a) Apoyo de primer género: impide desplazamiento en la dirección perpendicular al plano de apoyo.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA b) Apoyo de segundo género o articulación: impide traslaciones en cualquier dirección, permitiendo sólo rotaciones.

La dirección de la reacción puede ser cualquiera pero siempre podrá ser representada por sus dos componentes V y H. No es obligación descomponer la reacción de apoyo en ejes ortogonales, se puede descomponer en dos direcciones cualesquiera. c) Apoyo de tercer género o empotramiento: este tipo de apoyo impide todo tipo de movimiento de la estructura (dos traslaciones y una rotación).

Estabilidad e Inestabilidad Estática. Hemos visto que la función de los apoyos es limitar los grados de libertad de una estructura. Pueden ocurrir tres casos: • Los apoyos son los estrictamente necesarios para impedir todos los movimientos posibles de la estructura. En éste caso el número de reacciones de apoyo es igual al número de ecuaciones de equilibrio disponibles (número de incógnitas = número de ecuaciones). Diremos así que se trata de una estructura ISOSTÁTICA, ocurriendo una situación de equilibrio estable; ante cualquier deformación impuesta a la estructura, ésta tiende a volver a su situación inicial.

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• Los apoyos son en número inferior a lo necesario para impedir todos los movimientos posibles de la estructura. En este caso tenemos más ecuaciones que incógnitas. Se trata de una estructura HIPOSTÁTICA. Puede ocurrir una situación de carga para la cual se consigue equilibrio, pero se trataría de equilibrio inestable, pues cualquier deformación impuesta a la estructura tenderá a seguir hasta su ruina. Las estructuras hipostáticas son inadmisibles para las construcciones.

• En el tercer caso los apoyos son en número superior a lo necesario para impedir todos los movimientos posibles de la estructura. En este caso el número de ecuaciones es inferior al número de incógnitas, produciendo un sistema indeterminado. Las ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar las reacciones de apoyo, siendo necesarias ecuaciones adicionales de compatibilidad de las deformaciones, que se verán en otros cursos. Estas estructuras son HIPERESTÁTICAS, siendo el equilibrio estable. Podríamos decir un poco impropiamente, que el equilibrio es más que estable.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Existe también otro tipo de equilibrio inadmisible para las construcciones y es el equilibrio indiferente. Es cuando, al actuar una pequeña fuerza, la estructura se traslada, y si deja de actuar la fuerza, se restablece el equilibrio, pero en otro lugar (figura MI-19).

Para Decidir sobre un método de análisis, son importantes el comportamiento de la estructura bajo un sistema de cargas dadas y las propiedades del material del que están hechas. ESTRUCTURA: Es un sistema cuya función es transmitir cargas, desde un punto de

aplicación hasta su elemento final de soporte. La aplicación e cargas producen esfuerzos ( ) y deformaciones ( ) TIPOS DE CARGAS

1. CARGAS ESTÁTICAS: “Análisis matricial de estructuras”  

Cargas muertas. Cargas vivas.

2. CARGAS DINAMICAS: “Dinámica de estructuras”     

Viento. Impacto. Terremotos. Explosiones. Cargas aplicadas en forma dinámica.

3. OTRAS SOLICITACIONES:    

Pre esfuerzos. Asentamientos. t. Falta de ajuste.

Las estructuras bajo la acción de carga estática no sufre vibraciones importantes; Ausencia de fuerzas de Inercia.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA x

F

K1X

K 2X

F = (K1 + K2)x Bajo la acción de cargas Dinámicas, aparecen las Fs de Inercia. x(t)

F

mx

F

K 1X

cx

K 2 ) xt

C xt

..

f(t) = m x 1 ( K 1

K 2X .

TEORIA DE LAS PEQUEÑAS DEFLEXIONES Se supone que la geometría de una estructura no cambia apreciablemente bajo la acción de las cargas, muchas estructuras cumplen este requisito, arcos esbeltos, puentes colgantes y en torres altas, etc, el cambio de la geometría tiene un papel importante.

En cualquiera de las condiciones de carga, el producido se supone que serán iguales. Esto es aplicable como hipótesis siempre y cuando sea pequeña y la presencia de P2 no altere la flexión de la columna.

P2 P1

P1

(a)

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(b)

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Ma = P1 L y no valor de P1 L.

P1 L + P2

para lo cual P2 se supone despreciable frente al

LINEALIDAD

Este Principio supone que la relación ( - es lineal) carga - deflexión es lineal. O sea; si todas las cargas externas de la estructura son multiplicadas por C, la deflexión en cualquier punto de la estructura es C más la deflexión inicial.

Pto. de fluencia y

E x Zona elástica

 

Zona inelástica

Todos los materiales, son elásticos o inelásticos. Ellos pueden ser lineales o no lineales en cuanto relación se cumple hasta cierto punto.

- , aun para un material lineal, la

Este principio supone que bajo una condición de carga dada en algún punto, los deberán exceder el punto de fluencia del material.

y

SUPERPOSICIÓN

Este principio supone que la secuencia en la aplicación de las cargas no altera los resultados finales, siempre y cuando no se violen los dos principios anteriores. (Pequeñas deflexiones y linealidad)

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P2 P1 C

P1 B

P2

=

+

D

A

En esta estructura PD es la redundante. P2 P1 C

P1 B

P2 B

=

C

B

C +

D

A D

A

PD

DO

A

PD

D

DO

 Por el principio de linealidad DD

 Como DO

PD

PD D

DD

DD

= Deflexión de D a una carga unitaria aplicada en PD.

= 0 en la estructura original.

DD

0

DO

PD

DD

0

DO DD

NOTA: Otra explicación importante de este principio es el uso de fuerzas equivalentes en el nudo calculado a partir de las fuerzas de empotramiento, cuando la estructura está sujeta a cargas aplicadas en los elementos. EQUILIBRIO

Normalmente hay dos clases de equilibrio, el estático y el dinámico.

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El equilibrio estático establece que la de todas las fuerzas externas que actúan sobre la estructura (incluyendo reacciones), trasladadas a un punto común, será igual a cero.

Fx

0

Mx

0

Fy

0

My

0

Fz

0

My

0

Este principio establece que: 1. La estructura está en equilibrio. 2. Que los nudos están en equilibrio. 3. Que los elementos están en equilibrio. COMPATIBILIDAD

Este principio establece que la deformación y consecuentemente el desplazamiento, de cualquier punto en particular de la estructura es continuo y tiene un solo valor.

i

Normalmente este principio se amplia para establecer que los desplazamientos son únicos en los extremos de los elementos que concurren a un nudo.

i

i

j

a

Supongamos tres elementos rígidamente unidos entre si en i y por la aplicación de una carga el nudo i se traslada a i” desplazándose i.

b

La compatibilidad requiere:

ij

=

ia

=

ib

=

i

Está ecuación es valida siempre y cuando los elementos estén unidos rígidamente entre si y no se produce fluencia ni falla en el nudo.

i

j

i

i

En este caso dos elementos están unidos rígidamente y el tercero no por la articulación.

a

b

i = ij = ia ≠ ib Este es el caso de estructuras con uniones semi rígidas o uniones combinadas.

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CONDICIONES DE CONTORNO

Se emplean para definir los problemas estructurales. Estas condiciones se especifican o en función de fuerzas (Fs en los nudos o en los elementos) o en función de los desplazamientos. En función de los desplazamientos: = 4y = 0 1x = 1y =

5K

10 K 2

En función de las fuerzas: P2x = 10 K P3y = 05 K P2y = M2 = P3x = M3 = 0

3

1 4

y

x

UNICIDAD DE LAS SOLUCIONES (TEOREMA DE UNICIDAD DE KIRCHHOFF)

No son posibles soluciones alternativas a los problemas de Análisis estructural. “Para un conjunto dado de fuerzas externas, tanto la forma deformada de la estructura y las fuerzas internas así como las reacciones tienen un valor único.

SISTEMAS DE COORDENADAS

5

2 1

2

3

4

6

1

3

Sistema Global.- Define completamente las Fuerzas y Desplazamientos en el exterior de toda la estructura. (Q-D) Se rigen por:

YG

YG

(Q-D)

XG

ZG (Espacial)

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XG (Plano)

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Sistemas Correspondientes.- El sistema puede ser el mismo para Fuerzas y Desplazamientos, pero no necesariamente. Q1

Vector de Fuerzas.

Q=

Q2

Qi = Fuerza aplicada en la coord. i y en la dirección de ella.

. . Q6 D1

Vector de Desplazamientos.

D=

D2

Di = Desplazamientos lineales y angulares en la coor. Y dirección de ella.

. . D6

Ejemplo: 6T

A

B 5

5

EI = 10 000 T/m2

C 6

Q=

D=

0 0

DVc = ?

c=

2 3

1

DV 5 DV 6 C

?

L

Pl 3

L

3EI

B xL

B

Pl 2 xL 2 EI

Pl 3 2 EI

C

5 Pl 3 6 EI

C

Pl 3 D

5Pl Pl

3EI

3

6 EI

2

2 EI

0.025 mts. 0.0625 mts. 0.0075 mts.

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COORDENADAS GENERALIZADOS

2

q1 + q3 = 0 q1 = - q3 (no es generalizada porque existe dependencia (sólo sirve para calcular desplazamientos mas no para definir cargas)

4

1

3 q4

q2 q1

q3

q3l – q4 – q2 = 0 q4 = – q2 + q3l

 Sistema Dependient e de Co ord 2 q2

1

a q1 y q2 puede darse cualquier valor

q1

  S istema In d ep en d ie n te d e Co o rd

Coordenadas Generalizadas o Sistemas de Coordenadas Generalizadas.Es un Conjunto de mediciones donde cada una de sus componentes puede ser variada en forma independiente y arbitraria.  Coordenada Generalizada es aquel desplazamiento de nudo utilizada para definir un grado de libertad.  Carga Generalizada es aquella que actúa en la dirección definida por una Coordenada Generalizada.

SISTEMAS 1

1 2

S. Independiente.

2

S. Dependiente.

q1 2

q2 4

S. Independiente para deformaciones mas no para fuerzas. 1

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3

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Nótese que al trabajar con sistemas globales no nos da información de lo que pasa en el interior de la estructura, por lo que se hace necesario el uso de un Sistema Local.

SISTEMA LOCAL: Son Sistemas para cada uno de los elementos de la estructura que se analiza. Nos permite medir las fuerzas y los desplazamientos en los extremos de cada uno de ellos.

2 1 qe

2

4

1

3

1

q1

d1

q2

d2

de

q3 q4

4

2

3 Vector de desplazamientos de extremo de elemento e = 1,2

d3 d4

d2

Mi

d4

d1

d3

a partir de {q}e

Mj

Vi

Vj

{ } e { }e

Principio de Superposición. 6

d1

0

30 ; 6

q1

(+)

0

q2

0

0

d2

0 0

(+) d3

0.025

0

d1

;

0.025 .0..75

(+)

6 30 A

6

6 1

0.0025

0.0075 Mov. de sol. rígido

(+) d

0.0075

d2

0

0 6

B

0

0

2

0 C

COORDENADAS GENERALIZADAS

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Se necesita conocer el número mínimo de coordenadas para definir la estructura.

2 i

1

4

L

q2

3j

El equilibrio exige

L i

q1

q3

q4 j

q1 = -q3 FV = 0 q3xL - q4 - q2 = 0 M=0 q4 = - q2 + q3 xL ó q4 = - q2 – q1 xL

Las expresiones anteriores nos muestran que este sistema de cargas no es un sistema independiente, porque algunas cargas dependen de otras o sea que el sistema de coordenadas que los orienta no es generalizada porque hay dependencia.

q2

2 1

En cambio este sistema si es independiente ya que q1 y q2 puede tener cualquier valor.

q1

 Para que el sistema sea generalizado, las fuerzas podrán ser variadas arbitrariamente y en forma independiente.  Coordenada Generalizada es aquel desplazamiento de nudo utilizado para definir un grado de libertad.  Carga generalizada es aquella que actúa en la dirección definida por una coordenada generalizada. 2

4

1

3

 Si la barra es indeformable

Sistema independiente para deformaciones pero dependiente para cargas. Sólido rígido

Sistema Dependiente.

d4

d3 = d1 + d2L d2 = d4

d3

d2 d1

L

 Con dos coordenadas suficiente para ser generalizado. 2 1

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GRADO DE INDETERMINACIÓN CINEMATICA Es el número de G. D. L. de una estructura, que es igual al número mínimo de desplazamientos independientes de los nudos de una estructura. 5

2 1

A partir de los G. D. L. se construye la deformada de la estructura o de sus elementos.

6

3

" " GDL

4

"6" GDL

=

+

+

+

En general los pórticos planos tienen 3 GDL por nudo. 1

5

2 1

3 EI = no existe en realidad desplazamiento d1 = d4 (no es generalizado) basta d1 Solamente. a2 = 0

4 6

3

5

2 1 6 coor. Gen. 6 G.D.L.

2

6

3 EA =

5

2

1

4

4 6

3 EA =

3 coor. Gen. 3 G.D.L.

D5 D1

D5

D1

D1 tg

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D1 D5

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4

9 G.D.L.

EA =

5 G.D.L.

Si EA = 3 G.D.L. 5 G.D.L. 6 G.D.L.

ARMADURAS.- No interesan los giros, sólo 2 G. D. L. por nudo.

2

4 1

6 3

5

7 8

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PORTICOS ESPACIALES En general 12 giros y 12 desplazamientos.  Si EA = 12 giros 4 desplazamientos

Caso de losa rígida en su plano pero flexible perpendicular al plano.

11 G. D. L.

a partir de la estructura que se mostró, se desprecia la rigidez torsional con cada pórtico y se tiene 5 G. D. L.

4

1 2

5

se puede trabajar

3

PARRILLAS Aceptan carga en dirección perpendicular al plano de la parrilla.

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12 G. D. L.

ROTULAS INTERMEDIAS

8 G. D. L.

2 G.D.L. =s

APLICACIÓN DEL P. S. P. El P. S. P. es aplicable a fuerzas y desplazamientos. FUERZAS: Q1

Q2 D2 =

D1

D1

D11

D2

D111

Q1

D1n D2n

D1

f11Q1

f12Q2

D2

f 21Q1

f 22Q2

D1

f11

f12

Q1

D2

f 21

f 22

Q2

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Q2 D'2

D'1

+

D''1

D11

f1 1 Q1

D111

f12

Q2

D 12

f 2 1 Q1

D211

f 22

Q2

D

F

Q1 Q2

D''2

M .Flex.

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Los coeficientes fij se obtienen dando fuerzas Unitarias.

1

=

f21

f11

P

Q1

+

f12

P

f22

Q2

P D1 R

=

f11

=

+ X1

D1 + f11X1 = 0 (Ecuación de compatibilidad o S. P. de desplazamiento.)

DESPLAZAMIENTOS

1

2 (Q - D)

Q2

Q1 D1

D2

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K11 1

K12 + K21 D1

K22 D1

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K D

1

K D

2

Q

K D

K D

Q

11

21

12

1

22

1

2

2

K

11

K

12

D

Q

K

21

K

22

D

Q

1

1

2

K D

Q

2

Método de la Rigidez

Ejemplos: 1 P

K11

+

1

2

K22

1

K21

D1

K1 1D1

K 1 2 D2

Q1

P

K 2 1D1

K 2 2 D2

Q2

0

K1 2

D1

P

K 21 K 22

D2

0

1

(Q - D)

K1 1

2 P

D2

K12

K11

D1 D2

K31

1

K12

K22

K32

1

D3

K21

=

+

D1

1

+

D2

K23

2

1

3

K13

K33

(Q-D)

D3

K1 1

K1 2

K1 3

D1

p

K 21 K 22

K 23

D2

0

K31

K33

D3

0

K32

ING. JOSE MARCHENA ARAUJO.

3X 3

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CAPITULO II: TRABAJO Y ENERGÍA Este par de conceptos son de principal importancia en el Análisis Estructural. TRABAJO.- F x d = W Consideremos que P actúa sobre la estructura a través de dΔ donde, P = Fuerza Actuante y dΔ = Incremento de Desplazamiento.

dW = Incremento de Trabajo hecho por P dW = P dΔ

W

i 0

Pi.d i

Se debe considerar que dΔ siempre debe estar en la misma dirección de la fuerza. GRÁFICAS DE P CONTRA Δ

-

(Fuerza – Desplazamiento)

Caso en que P no es proporcional a Δ.

El incremento de trabajo dW en cualquier nivel de carga está dado por:

ING. JOSE MARCHENA ARAUJO.

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W

i 0

Pi.d i

Donde P = función de Δ, la integración se realiza sobre la variación completa de Δ, esta ecuación representa el área sombreada bajo la curva P – Δ.

-

Caso en el que la Carga P tiene un valor Constante sobre la variación completa del desplazamiento Δ. El valor de W estará dado por:

W = P. Δ

Ejemplo: Cuando P tenga su magnitud completa sobre una estructura y ésta se someta a un desplazamiento que es causado por una acción independiente de P (asentamiento de apoyos).

-

Caso en que la Carga P es proporcional a la variación de Δ.

W = ½ P. Δ Este caso corresponde en estructuras linealmente elásticas, o sea que P para hacer W produce Δ. ING. JOSE MARCHENA ARAUJO.

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GENERALIZACIÓN.-

(Sistematización)

Si actuase un sistema de n fuerzas y n desplazamientos. n

W i 1

i 0

Pi.d i

Debido a que es: i

i

P1 . d 1

0

0

P 2 . d 2 

i 0

Pi . d i 

i 0

Pn . d n

- En el Caso de Valores Constantes de P. P1 . 1

P2 . 2  Pn . n

n

W

Pi . i = {P} T {Δ} i 1

W = {P} T {Δ} Donde:

{P}T = Transpuesta del Vector de Carga. {Δ} = Vector desplazamientos correspondientes. Cada Vector tendrá n elementos.

-

En el Caso P proporcional a Δ

(Variación Lineal)

½ P1.dΔ1 + ½ P2.dΔ2....................+ ½ Pi.dΔi + ½ Pn.dΔn W

1 2

n i 1

i 0

Pi.d i = ½ {P} T {Δ}

W = ½ {P} T {Δ} ENERGÍA.Se la define siempre como: “La capacidad de hacer trabajo”, el trabajo puede transformarse en varias formas de Energía. Energía Cinética (T): Si el cuerpo es puesto en movimiento.

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Energía de Deformación (U): Si el cuerpo se deforma. Si tenemos presente el Principio de Conservación de la Energía se requiere que:

W=T+U Donde:

W = Trabajo realizado T = Energía Cinética U = Energía de Deformación

Ahora si T = 0 , lo cual se puede lograr con la aplicación de P en forma gradual.

W=U Lo que significa que el trabajo hecho al deformar una estructura es igual a la Energía de Deformación almacenada.

-

Caso cuando actúa una sola Carga, la cual es proporcional a Δ, recordemos que: {P} = [K] {Δ} tomando una sola fuerza: como:

Pi = Ki. Δi

W = ½ Pi Δi

reemplazo Pi de la anterior.

W = ½ (Ki. Δi) (Δi)

W = ½ Ki. Δi2 del mismo modo si tenemos en cuenta:

Δi = Fi Pi

U = ½ Fi Pi 2 - GENERALIZACIÓN:

para ello consideramos un sistema n dimensional.

U = ½ {Δ} T [K] {Δ} Demostración:

{P} = [K] {Δ} {P}T = {Δ} T [K] T

como:

[K] T = [K]

por ser simétrica

{P}T = {Δ} T [K] W = ½ {P} T {Δ} ING. JOSE MARCHENA ARAUJO.

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W = ½ {Δ} T [K] {Δ} = U

U = ½ {Δ} T [K] {Δ} Del mismo modo:

U = ½ {P} T [F] {P}

Al desarrollarse estas dos últimas expresiones, las expresiones resultantes contienen términos que son cuadráticos en los desplazamientos o en las fuerzas respectivamente; estas formas son típicas de las expresiones de Energía de Deformación. TRABAJO INTERNO DE DISTORCIÓN (Wd).- Es otra forma de expresar el trabajo hecho al deformarse un cuerpo.

dWd = P.dδ donde:

dWd = Incremento de Trabajo Interno de Distorsión. P dδ

= Fuerza sobre un elemento interno.

= Incremento de desplazamiento.

Consideremos un elemento interno.

Si P es una fuerza sobre un elemento interno de la estructura que produce un desplazamiento dδ tendremos: P = ζ dΔ = F dΔ = dz dy dδ = ε . dx (def. Unitaria) dWd = (ζ dΔ)( ε . dx) = ζ . ε . dx.dy.dz dWd = ζ . ε. dv

dδ

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Wd

v

. . dv

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pero como:

W=U

U=

v

. . dv

Ésta es la expresión de la energía de deformación en su forma más fundamental y es válida para cualquier tipo de material.

TRABAJO ESPECÌFICO DE DEFORMACIÒN TOTAL (WUσ) Consideremos un elemento de un cuerpo elástico sujeto al estado triaxial de Esfuerzos; el trabajo específico de deformación almacenado en la unidad de volumen será:

Wx

1 2

x.

x

Según la ley de Clapeyrón la Ud cuando la carga se aplica paulatinamente vale la

Wx

1 2

y.

y

mitad de la Energía que se desarrolla cuando la misma Carga se aplica en forma

Wx

1 2

z.

z

instantánea.

Aplicando el Principio de Superposición de Causas y Efectos tendremos que:

Wu WUσ

Wx

1 2

Wy

x. x

Wz

y.

y

z. z

.......... (*)

Expresando la ecuación anterior sólo en función de los esfuerzos, aplicando la ley generalizada de Hook, tendremos:

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x

1 E

x

y

z

Según la ley de Clapeyrón la Ud cuando la carga se aplica paulatinamente vale la

y

1 E

y

x

z

mitad de la Energía que se desarrolla cuando la misma Carga se aplica en forma

z

1 E

z

x

y

instantánea.

Donde = Coeficiente Adimensional de Poisson obtenido por experimentación que relaciona la deformación longitudinal con la transversal, varía entre 0.25 y 0.30

reemplazando en (*) tendremos:

WUζ

1 2E

x2

x y

z

y2

y x

z2

z

z y

x

Reduciendo:

WUζ

1 2E

UU

x2 1 2E

y2 x2

z2 2 1 y2

z2 2 1

x. y

x. y

x. z

z y

x. z

z y

UU = Energía Específica de Deformación debido a esfuerzos normales, aplicados gradualmente.

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TRABAJO DE DEFORMACIÓN POR ESFUERZOS TANGENCIALES

Z

Y X Elemento con sólo esfuerzos Tangenciales

τ

Proyección sobre el plano ZOY

τ

Por el efecto de zy y yz (esfuerzos), el cuerpo se deforma un pequeño ángulo;

γzy y τzy

recorre una distancia:

δ = dz γzy

el trabajo efectuado por la

τ

fuerza P = zy dx dy es:

Wzy =

½ (τzy dx dy ) (γzy dz )

Wzy = ½ τzy γzy V El trabajo específico por unidad de volumen es:

Wzyu =

½ τzy γzy

Del mismo modo para los planos ZOX y XOY

Wzxu =

½ τzx γzx

Wxyu =

½ τxy γxy

Aplicar todos los esfuerzos tangenciales, por el p.s.p. Wu es:

Wuτ =

1 2

zy

zy

zx

zx

xy

xy

= Uu

En conclusión el trabajo específico de deformación para un estado de esfuerzos total es:

WuT = Wu σ

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+

Wuτ ANALISIS ESTRUCTURAL I

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Wuτ =

1 2

x

x

y

y

z

z

zy

zy

zx

zx

xy

xy

Wuη =

Energía Específica de Deformación de un punto de un cuerpo sujeto a un estado de esfuerzo cualquiera.

W

Wu

v

dx dy dz

W =trabajo de deformación almacenada en el cuerpo.

MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL Es una de las herramientas más poderosas con las que cuenta el Análisis Estructural, este método se obtiene del Principio de los Desplazamientos Virtuales. PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES.Se acredita este Principio a John Bernoulli en 1717, consideremos el cuerpo rígido siguiente:

el cual se encuentra en equilibrio estático bajo el sistema de Fuerzas P que se indica.

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Se descomponen Pi en sus componentes Piy, Pix y luego se produce la transformación δ. (*) En la gráfica anterior consideramos que el cuerpo esta sujeto a una “traslación sin rotación”, a esta traslación imaginaria se la llama desplazamiento virtual “δ” y δv y δu son sus componentes vertical y horizontal respectivamente. El trabajo resultante de traslación de todo el cuerpo es:

δWT = P1x δu + P1y δv + ............+ Pix δu + Piy δv + ...........+ Pnx δu + Pny δv NOTA: - Tener cuidado con el signo de cada término del trabajo. - El Trabajo es (+) cuando fuerza y desplazamiento virtual están en la misma dirección y (-) cuando son opuestos. n

n

Pi x

WT

u

i 1

Pi y

v

i 1

Como el cuerpo está en equilibrio entonces cada uno de los [∑] = 0, ya que ∑Fx = 0 y ∑Fy = 0 .

δWT = 0 (**)

Trabajo Virtual de Traslación.

Ahora consideremos que el cuerpo está sujeto a una “rotación virtual δx” que

produce un δui y un δvi en el punto “i”.

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2 1

Como: Δ 1 es Δ 2

Xi vi

Yi ui

ui

Yi

vi

Xi

Vi Vi

Por lo tanto el Trabajo Virtual de Rotación es:

WR

P1X WR

P1X Y1

u1

P1Y P1Y X 1

Pi

i

U1

 Pi

ui

 PiX Yi

PiY

Ui

PiY X i

 PnX

un

PnY

 PnX Yn

Un

PnY X n

n

PiX Yi

WR

PiY X i

i 1

Como el cuerpo está en equilibrio [∑M] = 0 WR

0

Ahora tengamos en cuenta que cualquier desplazamiento virtual de cuerpo rígido puede componerse de Traslación y Rotación: ING. JOSE MARCHENA ARAUJO.

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δW = Trabajo Virtual Total W

WT

WR

0

PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES.- Si un cuerpo está en equilibrio bajo un conjunto de Fuerzas P y se sujeta a cualquier desplazamiento virtual, el Trabajo Virtual hecho por las Fuerzas “P” es cero.

TRABAJO VIRTUAL PARA UN CUERPO DEFORMABLE

Consideramos el cuerpo deformable que se muestra, en equilibrio bajo la acción de las Fs P.

Config. Distorsionada

P2

Config. Original

(d e Di(despl. f o un ita rmac virtuales) ria io s n ) es

P1 Pn

Cualquier elemento dentro del cuerpo está en equilibrio bajo un conjunto de esfuerzos producidos por las fuerzas P; después el cuerpo se somete a una distorsión virtual, apareciendo los desplazamientos virtuales D en cada uno de los puntos de carga.

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P

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Config. Según movim. del cuerpo rígido

Configuración Distorsionada

Configuración Original

La distorsión total del cuerpo consta de dos componentes; hay un movimiento de cuerpo rígido del cuerpo como conjunto y una deformación del cuerpo. ( Conf. Deformada) El trabajo virtual total hecho por las fuerzas P es

We y

tiene dos componentes:

Wr = Trabajo virtual de cuerpo rígido. Wd= Trabajo virtual de distorsión interna. We =

Wr + Wd

Wr =

Wd - We

pero como Wr = 0 0 = Wd - We We =

Wd

(*)

así mismo notamos que Wd, es el trabajo virtual interno hecho por

P

a través de los ED

n

We =

Pi ( Di ) i 1

Ahora como: Wd =

vol

P

(

ED

)d v

Sustituyendo estos valores en (*)

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ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA n

Pi (

D

)i

i 1

vo l

P

(

ED

) dV

Esta expresión establece que si un cuerpo deformable está en equilibrio bajo un conjunto de fuerzas P y está sujeto a una distorsión virtual, el trabajo virtual externo hecho por las fuerzas P, es igual al trabajo virtual interno hecho por los esfuerzos P. Entonces al aplicar el método del trabajo virtual uno debe pensar en dos sistemas separados. Un sistema de fuerzas P en equilibrio y un sistema D de deformaciones virtuales que es geométricamente compatibles. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL USANDO DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES. n

Pi (

)

D i

i 1

P

v

(

ED

)d v

METODO DEL TRABAJO VIRTUAL USANDO FUERZAS VIRTUALES. n

( P) i Di i 1

(

P

v

)ED d v

Eligiendo asi un conjunto adecuado de P, puede anularse los desplazamientos D en el 2° miembro de la ecuación y calcularse. Generalmente el sistema P involucra una carga unitaria en el punto y la dirección usada. (método de la carga unitaria ficticia). TRABAJO, TRABAJO COMPLEMENTARIO, ENERGÍA REAL, ENERGIA COMPLEMETARIA Qi

Q1 D1

Q

Q2 D2

Tensor de Esfuerzos

Son correspondientes, es decir

D se miden en la misma direccion

, xx

n

Qn

SIM

xy

xz

yy

yz zz

Las fuerzas las aplicamos lentamente (para que esté en equilibrio y no aparezcan fuerzas inerciales.

Qi

W 

Qf dQi

Df Do

Q dD i

i

EXTERNO

W*

Qf Qo

D dQ i

i

Trabajo Real

Trabajo complementario

Di

Q0 D0

dDi Df

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n

T

W

Q dD

i

Q dD

i 1

i

i

Q = factor que contiene todas las fuerzas externas. T

W*

D dQ

U

i

i

Qi

T

d d

Energía Interna Real

U* i

U i

W = W*

Qi W*

T

W

1/ 2 Q

W

1/ 2 Q D

n

i 1

i

W * 1/ 2 D

W

D i

T

Q

TRABAJO REAL = TRABAJO COMPLEMENTARIO

Di

PRINCIPIO DE CONSERVACION DE ENERGIA Si en una estructura aplicamos fuerzas, aparecen: Por el 1er PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA: Si el cuerpo está aislado térmicamente, el W hecho sobre el cuerpo por las fuerzas externas es igual al incremento de energía cinética más el cambio en la energía de deformación: Trabajo de las Q = T + U = U En ausencia de fuerzas externas, existe una única configuración indeformada, donde la Energía Interna vale cero. W=U ó T

Q dD

T

d d

Linealmente elástica:

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T

Q dD

1 Q D 2 T

Y

i

yy yx yz

xy

zy

dy zz

xx

xz

zx

i

U = U*

X

dz dx

Z Lo que almacena un elemento:

dU d

du

1 2

U*

1 2

1 2

i

T

i

i

d T

1 2

dvi

i

i

d

1 2

U

T

d

d

Simplificando la expresión:

1 1 l

T

1 0

No

hay deformaciones angulares

0

por cambio de temperatura

0

en un cuerpo isotropico

1 u

l

l

1

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u

u 1 u

u

0

0

0

u

0

0

0

1

0

0

0

E 0

0

0

2(1 u )

0

0

0

0

0

0

2(1 u )

0

0

0

0

0

0

2(1 u )

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(

xx

u

xx

u

yy

zz

)

Podemos escribir:

s

S 1 2

U

T

l

;S

d

o

l 1 2

U*

1

T

S

d

U = U*

B

C N= da

1=

dL

El área de la sección transversal: da, se puede someter ya sea a un esfuerzo normal o a un esfuerzo cortante .

da

dL

dL

|

B

C 2= 2

dL

G

dL

dL Supongamos que el extremo B está empotrado y el bajo los dos tipos de esfuerzo es:

A

1

E

dL

C, libre.

y

A

2

el desplazamiento de C

G

dL

E = Módulo de elasticidad en tensión o compresión y: G = Módulo de elasticidad en esfuerzo cortante. Cuando se aplican gradualmente las fuerzas da y da, que causan los desplazamientos anteriores, la energía almacenada en los dos elementos es:

dU dU

1

2

1 ( da) 2 1 ( da) 2

2

1

1 dL da 2 E 2

2

1 dL da 2 E

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Usando ” ” como símbolo general para deformación, las ecuaciones anteriores se pueden poner en forma general:

1 2

dU

d

;

d

dadL

; (volumen del elemento)

Representa un esfuerzo generalizado que es un esfuerzo normal o un esfuerzo cortante. Como se debe o a un esfuerzo normal ( = /E) o a un esfuerzo cortante ( = /G), G y E E se relacionan así: ; es la relación de Poisson.

G

2(1

)

Por lo que la deformación debida al esfuerzo cortante se loa expresa así:

2

(1

E

)

El incremento en la energía de deformación de cualquier elemento elástico de volumen d debido a un cambio de deformación de =0 a = f, es decir: εf

dU

d

1 f 2

x dv

0

f

Si consideramos cualquier estructura que consiste en pequeños elementos, sometidos a esfuerzos normales xx yy, zz y a esfuerzos cortantes x, y y z con deformaciones resultantes x, y, z, x, x, x, La energía de deformación total en una estructura lineal es:

yy yx yz

Y X

Z

xy

zy

dy zz

zx

xz

1 2

U

xx

6 m 1

m

m

d

Donde m se refiere al tipo de esfuerzo y a la deformación correspondiente.

dz dx

Esto quiere decir que la integración debe llevarse a cabo sobre el volumen de la estructura para cada tipo de esfuerzo por separado. En el caso más general, cuando actúan 6 tipos de esfuerzo, la relación esfuerzo deformación para un material homogéneo e isotrópico que obedece a la ley de Hooke se puede escribir en forma matricial:

l Donde { } es un vector columna: { } = { x, { } es el vector de esfuerzo: { } = { x,

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y,

y, z,

z,

x,

y, z)

x, y, z}

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y [ l ] es una matriz cuadrada simétrica que representa la flexibilidad del elemento (u = ):

1

u

u u

1 E

l

1 u

u

0

0

0

u

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

2(1 u )

0

0

0

0

0

0

2(1 u )

0

0

0

0

0

0

2(1 u )

La 3era Ecuación representada es:

u(

x x

z

E

y

)

E

Igualmente, La 4era Ecuación representada es: xy

xy

2(1 u ) E

La ecuación { } = [ l ] { } se puede escribir: { } = [s] { } Donde: [S] = [e]-1 es una matriz cuadrada simétrica que representa la rigidez del elemento:

S

U

1 u

u

u

0

0

0

u

1 u

u

0

0

0

u

u

1 u

0

0

0

0

0

0

1 2u / 2

0

0

0

0

0

0

1 2u / 2

0

0

0

0

0

0

1 2u / 2

E 1 u 1 2u

1 2

6 m

m

m

d

Se puede escribir:

U

U Ó Sustituyendo:

U

1 2

U

1 2

T

T

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e S

1 2 1 2

T

T

d

d

d d ANALISIS ESTRUCTURAL I

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Estas ecuaciones son generadas para una estructura elástica lineal de cualquier tipo. Para estructuras reticulares la energía de deformación debida a diferentes tipos de resultantes de esfuerzos se determinan mejor separadamente así:

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA A FUERZA AXIAL:

N a

dL

N Ea

y

Y no hay

N

2

1 N dL 2 Ea

U N dL Ea

L

para un miembro prismático se convierte en:

2

1N L 2 Ea

U

ENERGIA DE DEFORMACION DEBIDA A MOMENTO DE FLEXION dL = dx

Z da

X

y

Y N dL Ea

Y

El esfuerzo normal sobre un elemento “da” a una distancia y del eje Z es

= My / I

I es el 2do momento de área alrededor del eje X.

E

My EI

2

2

du

1M y d 2 EI 2

2

2

1M y da dL 2 EI 2

Integrando sobre la sección transversal del segmento dL: 2

U

1M dL y da  2 EI 2

2

I

2

U

1M dL 2 EI

2

U

1 M dL 2 EI

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En la figura podemos ver que las dos secciones que limitan el segmento dL giran una respecto a la otra: -d = -(d2y/dx2)dL, donde “y” es la derivación hacia abajo. El trabajo externo realizado por un par M que se mueve a través de -d es:

1 Md 2

W viga.

Un M(+) de flexión (que causa tensión en fibras inferiores) produce una disminución de la pendiente = dy/dx del eje derivado de la

La diferencia de pendiente de la tangente del eje de la viga desviada en los extremos derecho e izquierdo del segmento dx es: -d = -d2y/dx2. Como los trabajos interno y externo sobre el segmento son iguales uno con otro, es decir W= U

U

M dL EI

d

2

1 Md 2

que es otra forma de expresar:

U

1 M dL 2 EI

ENERGIA DE DEFORMACION DEBIDA A ESFUERZO CORTANTE dL V

d

y

y V dL G ar

2

y d 2L 4

y

da

2

b 2

U

1 dLda 2 G

U

1 V dLda 2 Gar

G

2

ar = área reducida = a / factor de forma.

En general, el factor de forma que relaciona el área de la sección transversal que el área reducida depende de la distribución del esfuerzo cortante que, a su vez depende de la sección transversal. 2

U

2

1 V dL 2 Gar

1 V fdL 2 G

ENERGIA DE DEFORMACION DEBIDA A TORSION

dL

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TdL GJ

T

da ANALISIS ESTRUCTURAL I

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El esfuerzo cortante en cualquier punto a la distancia del centro es: = Tr/J, en que J es el momento de inercia polar, la deformación correspondiente es: = / G.

2

U U

2

2

1 T dadL 2 GJ

1 T dL da  2 GJ 2

2

1 T 2dL 2 GJ

2

J ( mto inercia polar)

, así que para toda la estructura:

2

U

1 T dL 2 GJ

ENERGIA TOTAL DE DEFORMACION 2

U

2

2

2

1 N 1 M 1 V 1 T dL dL dL dL 2 EA 2 EI 2 GAr 2 GJ

Se puede demostrar que:

2

U

2

2

2

2

2

1 N 1 My 1 Mz 1 Mx 1 Vy 1 Vz ds ds ds ds fyds fzds 2 EA 2 EIy 2 EIz 2 GJ 2 GA 2 GA

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ANALISIS ESTRUCTURAL I

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DEFORMACIONES TOTALES DE LOS ELEMENTOS Y RELACION FUERZADESPLAZAMIENTO.- Existe una única relación entre los efectos externos que actúan sobre una estructura y su forma deformada. Considerando que la forma deformada de toda la estructura en conjunto depende de las deformaciones de sus elementos, es evidente que es esencial como punto de partida un buen entendimiento del comportamiento de los elementos individuales sometidos a cargas externas y fuerzas internas.

y

Y

i x

j j

i

j

i

X Ya que, como los métodos matriciales tratan de establecer la relación entre las deflexiones de los nudos y las fuerzas externas que actúan en ellos, podrá ser suficiente un entendimiento de las deformaciones de los elementos debidas solamente a las acciones en los extremos (fuerzas internas desarrolladas en los extremos).

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ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Cuando un cuerpo deformable se somete a efectos externos, en todas partes de él se desarrollan esfuerzos y deformaciones. Mientras que los esfuerzos se definen como las fuerzas internas por unidad de área, las deformaciones se definen como los cambios de forma de un elemento unidad en el cuerpo (cubo). Como el cambio de forma de un cubo infinitesimalmente pequeño puede observarse solamente de dos maneras, el cambio de su longitud y el cambio de sus ángulos, las deformaciones correspondientes se identifican como las deformaciones comunes (o lineales) y las deformaciones por esfuerzo cortante . Las relaciones entre esfuerzos y deformaciones que se denominan la ley de Hooke son: E

G

En las que las constantes E y G, se conocen como los módulos de elasticidad de Young y de rigidez, respectivamente. Las deformaciones totales se definen como la suma de las deformaciones (unitarias) y los desplazamientos, como los cambios en la posición. Con miras a aclarar la diferencia entre deformación total y desplazamiento, consideremos un elemento (fig. anterior) aislado de una estructura en sus posiciones deformada y no deformada. Sean i y j los desplazamientos (deflexiones) de los extremos i y j. Si la forma deformada de este elemento está definida como Y = (x) en el sistema XY o como y = f(x) en el sistema xy, la primera representará la ecuación del desplazamiento y la última representará la ecuación de las deformaciones totales. La diferencia entre las dos es una constante que representa desplazamiento como cuerpo rígido ( i - j) de este elemento. P

B

P

L2I2

C C'

c

C 1 2

L1 I1

L1 I1 A

B

L2I2

(a)

A

(b)

En consecuencia, los desplazamientos son iguales a las deformaciones totales más una constante. Considerando que dicha constante se determina a partir de las condiciones de contorno, la forma deformada total de una estructura se reduce en sí a la observación de la forma deformada de sus elementos y al cumplimiento de las condiciones en sus contornos. Examinemos por ejemplo, la figura anterior donde dos estructuras idénticas están sometidas a dos sistemas diferentes de carga. La deflexión vertical del punto c en la figura (a) es el resultado de la deformación del elemento AB únicamente, mientras que el elemento BC en este caso sólo se desplaza sin deformarse. En cambio en la figura (b), la deformación total de C está influenciada por la deformación de ambos elementos. Cualquier cambio en las

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ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA propiedades del elemento AB altera 1, mientras que 2 permanece inmodificado; análogamente, 1 es independiente de la deformación del elemento BC. La parte sombreada de ambas figuras representa la deformación de cada uno de los elementos. La deformación total de la estructura es eventualmente en los dos casos una función de la deformación de sus elementos. Una fuerza interna, así como una fuerza generalizada en el espacio tridimensional, puede cuando máximo tener seis componentes, es decir, tres lineales y tres angulares. A causa de las similitudes en sus efectos sobre un elemento, las seis componentes pueden agruparse en cuatro: axial F, fuerza cortante V, flexión M y torsión T (fig (a)). Ø V

M j

x

v

F

i

j

L

(1)

u

i

(2)

Tomemos u, v, , , respectivamente, como los desplazamientos en la dirección de F, V, M y T en un extremo de un extremo del elemento que resultan de la aplicación de estas fuerzas en el mismo extremo (fig (2)). La relación entre estos dos conjuntos de cantidades puede establecerse por la suma de las deformaciones desde un extremo del elemento hasta el otro. La deformación total axial u por ejemplo, que representa el alargamiento total del elemento, puede calcularse integrando la deformación axial desde i hasta j así:

u

y resulta:

u

L 0

dx

L 0

F dx EA

FL EA

para un elemento prismático (E yA son constantes). Si bien los otros ( v, , ,) pueden evaluarse similarmente por integración de las deformaciones correspondientes a través de toda la longitud y la sección transversal del elemento, su evaluación de esta manera (operando sobre esfuerzos y deformaciones) es más bien campo de la mecánica de materiales. Sin embargo, en lugar de esto, emplearemos los conceptos de energía de deformación, el trabajo virtual, o los teoremas de Castigliano. Refiriéndonos a la ecuación: U

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L 0

F2 dx 2EA

L 0

M2 dx 2EI

L 0

V2 dx 2GA

L 0

T2 dx 2GJ

ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA La energía de deformación U del elemento mostrado en la figura anterior se ve que es:

U

L 0

F2 dx 2EA

L 0

V2 dx 2GA

L

(M

0

Vx ) 2 dx 2EI

L 0

T2 dx 2GJ

Pero de acuerdo con el segundo teorema de castigliano: U F

u

U V

v

U M

U T

de donde: L

u

0

2F F dx 2 EA F

FL EA

................(*)

similarmente: 0

VL3 3EI

VL GA

v

2(M Vx ) xdx O 2 EI

2V V dx 2GA V

L

v

L

ML2 2EI

donde el primer término que representa la contribución de la deformación por esfuerzos cortante es usualmente despreciable en presencia de los otros dos: Continuando de la misma manera hallamos:

L 0

L 0

2( M Vx ) dx 2 EI 2T dx 2GJ

ML EI

TL GJ

VL 2 2 EI .................(**)

Las ecuaciones (*) a (**) pueden combinarse en una sola ecuación como sigue:

u v

L EA 0 0 0

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0

0

L3 3EI L2 2 EI

L2 2 EI L EI

0

0

0 F 0 0 L GJ

V M

....................(ECUAC. )

T

ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Que representa la relación entre las fuerzas en los extremos de un elemento y los desplazamientos en el mismo extremo. Considerando que todas las fuerzas internas pueden tener seis componentes, podemos escribir finalmente la ecuación anterior en su forma más general como: L EA

0

0

0

0

0

L3 3EI x

0

0

0

L2 3EI x

0

0

L 3EI y

0

0

0

0

L GJ

0

0

0

0

0

L EI y

0

0

L2 3EI x

0

0

L EI z

0 x y z x y z

3

L2 3EI y

2

0

L 3EI y

0

P x P y P z M x My Mz

Teniendo en cuenta que los ejes x, y, z son los ejes principales de la sección transversal. La matriz cuadrada de la derecha y su inversa se designan respectivamente como la matriz de flexibilidad y la matriz de rigidez de un elemento prismático. Con miras a ilustrar el uso de estas ecuaciones, calculemos la deflexión del punto C en la figura (a) supongamos que E es una constante en todos los puntos. C en

la figura (a) es igual a la pendiente en B por L2 (la distancia entre B y C)

C

B

L2

PL12 L2 2EI1

1 en

la figura (b) es igual a la pendiente en B por L2 más la deflexión de C resultante de la deformación del elemento BC. En otras palabras: C = 1 + 2 donde:

1

2

L1 ML 2 EI 1

PL1 L22 EI 1

PL2 L32 3EI 2

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ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Øj

Øi

Ø

v i

-

j

LØj

j'

Øj

j

L

j

i

Ahora con el fin de encontrar la famosa ecuación conocida como la ecuación de la deflexión de la pendiente (Slope-deflexión), consideramos que de la ecuación ( ) se despeja M. M

6 EI v L2

4 EI L

Valor que corresponde al momento de flexión desarrollado en un extremo de un elemento cundo este extremo ocurre un desplazamiento transversal v y un giro con respecto al otro extremo. Considerando que v y un giro están relacionados con los desplazamientos reales en ambos extremos (Fig. anterior) mediante: v= i = i-

j

-L

j

j

Y reemplazando estos en la ecuación anterior e identificando a M como Mij para indicar el momento en el extremo i del elemento ij encontramos la muy conocida ecuación de la deflexión de la pendiente: M ij

2 EI (2 L

i

j

3

L

)

En los métodos matriciales, esta ecuación aparece como una parte de la matriz de rigidez del elemento. Esta es bastante usada en los métodos prematriciales para calcular los momentos en los extremos de los elementos. Mediante esta ecuación se introdujo uno de los métodos prematriciales, el de la deflexión de la pendiente que es extensamente usada en análisis de estructuras indeterminadas.

TEOREMAS DE CASTIGLIANO.- Las partes I y II de su trabajo se conocen frecuentemente como los teoremas de Castigliano, respectivamente. Se expresan como:

U i

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P i

Parte I; y

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U P i

i

Parte II

Donde: U = Energía de deformación del sistema. Pi = Carga externa aplicada en el punto i = Deflexión del punto i en la dirección de Pi Los dos teoremas son aplicables a los sistemas lineales y no lineales, siempre que la temperatura sea constante y los dos apoyos sean firmes. El primer Teorema puede servir para determinar los coeficientes de rigidez de una estructura mientras que el segundo puede usarse para calcular las deflexiones y los coeficientes de flexibilidad. La energía de deformación y los principios del Trabajo Virtual desempeñan papeles importantes en la deducción de los teoremas de Castigliano. Por ejemplo, consideramos la viga simplemente apoyada mostrada en la figura siguiente:

dPi

dPi P1

Pn-1

P2 Pi

Pn

Pi i i

i

d

d

i'

i

i''

i

La figura de la derecha, donde la energía de deformación es una función de las cargas aplicadas y es igual al trabajo externo realizado por las fuerzas externas:

U W

( P1, P ,.....P ) 2 n

Ahora, si una de estas cargas, como Pi, varía en una cantidad pequeña, dPi, la energía de deformación del sistema cambiará en la cantidad U/ PidPi y se hará:

U' U

U dP Pi i

W'

La cual a su vez será igual al nuevo Trabajo Externo W’. Sin embargo, la figura anterior muestra que el cálculo de W’ es muy largo ya que requiere determinar las variaciones de los desplazamientos en la dirección de cada carga. En vez de esto, si la secuencia de

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ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA aplicación de las cargas se invierte esto es, si aplicamos dPi primero y las cargas externas después como en la figura siguiente, de acuerdo con el principio de superposición, los trabajos totales internos y externos serán los mismos de antes. Sin embargo, en este caso dPi actuará como una carga virtual y la magnitud del trabajo virtual será dPi i siendo i el desplazamiento del punto i en la dirección Pi ocasionado por el sistema de fuerzas P.

dPi Pn-1

P1 P2 Pi

dPi

Pn

Pi i

d

d

i

i

i'

i

i

i''

En consecuencia, el trabajo total en la figura anterior será:

W' W dP i i Pero con el principio de conservación de la energía, W’ = U’ Luego:

U dP Pi i

Que se reduce a:

i U Pi

y

W=U

dP i

i

Esta igualdad se conoce como el segundo teorema de Castigliano en la cual Pi y i pueden también tomarse como el momento y la rotación angular o como la fuerza corriente y la deflexión, respectivamente. El primer teorema de Castigliano puede obtenerse en forma análoga. Por ejemplo supongamos que el trabajo total interno y el trabajo total externo de un sistema son respectivamente U y W. Si i cambia en una cantidad infinitesimal d i mientras los otros desplazamientos permanecen invariables, el cambio correspondiente en la energía de deformación será: U d i i

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ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Durante tal cambio Pi es la única fuerza externa que realiza trabajo siendo la magnitud de éste Pid i, ya que todos los otros desplazamientos no cambian. Igualando energías interna y externa del sistema:

U

U

d

i U

resulta:

W

i

d

Pi d i

i

i

que era lo que se quería demostrar.

LEYES DE LAS DEFLEXIONES RECIPROCAS DE MAXWELL Y BETTI Es un caso especial de Betti; se tiene una estructura linealmente elástica, en equilibrio bajo un sistema de cargas Pm.

Pn1 Pm1

Pn5

Pn

Pm2

2

Pm3

Pn3

Pm4

Pmi Pm5

Pn4

Luego se aplica otro sistema de cargas Pn, mientras Pm se encuentra actuando, la estructura se deformará nuevamente y luego permanecerá en equilibrio en su forma deformada final (línea de trazos) W

1 Pm 2

mm

Pn

mn

1 Pn 2

nn

mn = deflexión del punto de aplicación de una de las P m (en la dirección de esta fuerza) causada por el sistema Pn.

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ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA El primero y último término es el W de P m y Pn respectivamente y el término intermedio es el trabajo virtual realizado por Pm durante las deformaciones causadas por el sistema Pn. Ahora invertimos la secuencia de cargas, aplicamos Pn y luego la Pm. 1 Pn 2

W

Pn

nm

nm

1 Pm 2

(**)

mm

En este caso Pn realiza el trabajo virtual (Término intermedio) igualando (*) (**)

Pm

mn

Pn

nm

Esto es conocido como el teorema de la reciprocidad de Betti. y dice: El trabajo realizado por un sistema de fuerzas Pm durante la deformación ocasionada por otro sistema de fuerzas Pn, es igual al trabajo realizado por las fuerzas Pn, durante la deformación ocasionada por las fuerzas Pm. Supongamos ahora que ambos sistemas de cargas Pm y Pn constan de una misma carga P. que tiene la misma magnitud, pero no necesariamente la misma dirección.

P m

n nm

P

mn

mn

=P =

P n

m

mn

nm

nm

Esta expresión es la deflexión recíproca de Maxwell, y establece que “la deflexión del punto m debido a una fuerza P aplicada en un punto n, es numéricamente igual a la deflexión del punto n debido a una fuerza P aplicada en el punto m.  

Las deflexiones son medidas en dirección de las Fs en ambos sistemas o sea ellas no representan las deflexiones reales de los puntos sino más bien las componentes en dirección de las fuerzas. La ley tampoco hace diferencia entre una fuerza ordinaria y un momento o entre un desplazamiento lineal y una rotación.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA P

a

P=M

c

c

ba

ab

P bc

ba

ab

ca

ac

cb

bc

ac

ba

y

b

en radianes

Esta ley da una explicación física del hecho que las matrices de rigidez y flexibilidad sean simétricas.

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CAPITULO III

ESENCIA DEL METODO DE FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ 1. METODO DE FLEXIBILIDAD  Se obtiene de la superposición de fuerzas.  Las ecuaciones de equilibrio siempre están satisfechas.  Se fuerza a la estructura a cumplir las condiciones de compatibilidad de desplazamientos.  Las incógnitas son las fuerzas. (reacciones de los apoyos, fuerzas internas).

[D]=[F][Q]

[ F ] = Cuadrada.  Simétrica Fij = Fji  Fii 0  Invertible

Fij = Coeficiente de flexibilidad Fij Desplazamiento de la coordenada i debido a la acción de una fuerza unitaria en j, manteniendo nulos las demás cargas

PROBLEMA:

X1 2m

1

2

= EA = EI = 3m 2m

1000 Kg

T EA = EI = 3m 2m

1000 Kg

En barras 1 y 2 EA = 2x106x5 = 107 Kgs. =10-5 1/°C T = 20°C

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ESTADO 1

ESTADO 2

1

}

T

D1

+

} f

11

1

X1

RESOLVIENDO ESTADO 1

P1

No existe P2 porque se ha quitado el apoyo.

P2 1000

= E PL L EA

1667 x 200 0.0333cm 107

L1

-P1 x 3+5 x 1000 = 0 P1 = 1667 Kg P2 = 0

SUELTO SIN APOYO

SU DILATACION NO GENERA ESFUERZO

D' 1- T2=

0.1227 0.04053

0 .08217 cm  ( n eg a tivo p o r el sistema p ro p u esto )

L1

= 0.0333 0.12217

T2=

L1

TL= 0.04053 cm

T2

D1 3 5 D1 0.12217cm RESOLVIENDO ESTADO 2 D1 + f11 X1 = 0

Ec. De Compatibilidad

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1

1.- Por equilibrio

P'1

-P1 x 3+5 = 0 P1 = -5/3 P2 = 1 2.-

P2 1

5 x 200 3 107

P1 L1 EA

L1

P2 L2 EA

L2

1x200 107

x10 5 cm

2 x10 5 cm

3.- Compatibilidad F11 = 2 x 10-5 + ((10/3)x10-5)5/3 = 7.556 x 10-5 cm/Kg

-5

2x10

-5

10 x10 3 -5

10 x10 3

5 3

D1 + f11 X1 = 0 -0.08217 + 7.556 x 10-5X1 = 0 X1 = 1087 Kg.

2. METODO DE LA RIGIDEZ     

Se obtiene de la superposición de Desplazamientos. Las incógnitas son los desplazamientos de los nudos. Condiciones de compatibilidad. El equilibrio. La relación - (L. E.)

[Q]=[K][D] [K]

Es Cuadrada. Es Simétrica. Kij = Coeficiente de rigidez. Kij 0 Kij = Fuerza que aparece en la coordenada i debido a un desplazamiento en j, manteniendo nulos los demás desplazamientos.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Relación entre [ K ] y [ F ] [D]=[F][Q] [ F ]-1 [ D ] = [ F ]-1 [ F ] [ Q ] = [ Q ] [Q]

=[K][D]

[ F ] -1 [ D ] = [ K ] [ D ] [ F ]-1 = [ K ]

; [ K ]-1 = [ F ]

Ejemplo: Resolvamos el problema anterior, por el método.  Definimos las coordenadas generalizadas.

1

1

2

R1

T°

1

T°

2

1000 Kg

D1 = 0

 Planteamos la superposición.

a) Si no hay cambio de Temperatura y se impide el giro con R1, entonces los esfuerzos en 1 y 2 valen cero.

R 1'

T°

R1'' + R'1 = -5000 K-m

1000 Kg

b) Si se mueven las barras 1 y 2 ( por cambio de temperatura) l T = L = PL/EA ,

R1''

2000

P=

2000

T°EA = 10-5x20x107 = 2000 Kg. R111=-200x3-200x5=-16000 Kg-ml R = R11+R111 = -21000 Kg-m

Esto significa:

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA 1 21000

1000 Kg

D1 = 0

21000

=

+ 21000

D1

1000 Kg

D1 = 0

i) Compatibilidad 1=

3m (si 2 = 5m (si

K11 ii)

= 1) (rad) = 1) (rad)

-

1 = D1

1

P1 xL1 EA

P1

2.50x107 Kg

Diagrama de cuerpo libre

K11

P1

Tomando momentos en apoyos izquierdo: -3P1 - 5P2 + K11 = 0 K1 = 17 x 107 Kg–m/rad Regresando a la ec. De equilibrio: Q = KD

P2

21000 = 17 x 107 x D1 D1 = 1.235 x 10-4 rad Calculamos las fuerzas en las barras 1 y 2 F1 = -2000 + P1 x D = -148 Kg. F1 = -2000 + 1.5 x 107 x 1.235 x 10-4 = -148 Kg. F2 = -2000 + 2.5 x 107 x 1.235 x 10-4 = 1088 Kg. Verificamos el equilibrio

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148 (c)

1088 (T) 1000

R=60 Kg

Mo= 0 Fy = 0 1088 + 60 – 1000 – 1458 = 0 0=0

PROBLEMA E = 2 X 106 Kg/cm2 A = 6.25 cm2

TIRANTE

2

2.70 1

3000 Kg

EA = 3.60

F2

F2 = 5000 Kg (T) F1 = -4000 Kg (C)

36.87°

F1 2.-

1.- Equilibrio Suponemos que los desplazamientos son pequeños, entonces podemos plantear el equilibrio en la posición indeformada de la estructura.

3000 Kg

- (Para averiguar desplazamiento del extremo de la barra rígida)

= E P AL PL E L L.E. A L EA Para la barra 1: 1 = 0 Para la barra 2: 5000x450 0.18 2 2 x106 x6.25 ( Al arg amiento)

3.- Compatibilidad:

0.18 0.30 (Desplazamiento Vertical)

MATRICES DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA (Para estructuras linealmente elásticas) j

5 4

i

Asociado a esta estructura tenemos:

k

6

{D}, {Q}

2 1

i = 1, ......n

3

(Q-D)

Acogiéndonos de la hipótesis de linealidad, los desplazamientos los podemos elegir como una combinación lineal de las cargas. Los desplazamientos son funciones lineales de las cargas. D1 = F11 Q1 + F12 Q2.................................+F1n Qn D2 = F21 Q1 + F22 Q2.................................+F2n Qn . . Dn = Fn1 Q1 + Fn2 Q2.................................+Fnn Qn

Fij = Coeficiente de flexibilidad. Estas relaciones pueden escribirse así: n

Di

f ij Q j j 1

i = 1,2, ......................n D=F Q

F Será una matriz cuadrada (Matriz de Flexibilidad) Una matriz de flexibilidad se genera por columnas.

F

F1 1

F1 2

............ F1n

F2 1

F2 2 ............ F2 n

: : Fn1

Fn 2

............ Fn n

n xn

Condiciones para que exista F Si Q = generliz. F existe. Si F = 0 Singular k no existe. Q1 = K11 D1 + K12 D2.................................+K1n Dn Q2 = K21 D1 + K22 D2.................................+K2n Dn . ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA . Qn = Kn1 D1 + Kn2 D2.................................+Knn Dn n

Qi

i = 1,2, ......................n

K ij D j j 1

Q=K D Kij = Coeficiente de rigidez; fuerza que hay en la coordenada i debido a un desplazamiento unitario aplicado en la coordenada j manteniendo los otros desplazamientos nulos. K 1 1 ........... K 1n K

: : K n1 ........... K n n

n xn

Matriz de rigidez para las coordenadas seleccionadas, es una matriz cuadrada en donde agrupamos todos los coeficientes de rigidez. La matriz de rigidez se genera por columnas.

1 1 2 2

3 3 4 4

5 5 6 6

K13

K33

K53

1

K23

D3 = 1 ;

D1, 2, 3, 4, 5, 6 = 0

K63

K43 RELACION ENTRE F Y K

F = K-1

Existencia de K y F 1. Si D son dependientes K no existe y F es singular. 2. Si Q son dependientes K existe y es singular; F no existe. 3. Para que K y F existen simultáneamente de haber un sistema generalizado para desplazamientos y para fuerzas (Q-D).

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ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA 5

86

7

1

3

4

2

Existe K? EA = Columnas EA = Vigas

D1 = D2 Sistema no D5 = D6 generalizado

K no existe

Existe K? Si existe, ya que las coordenadas son generalizadas.

Existe F? El sistema de coordenadas es generalizado (independiente) para la aplicación de fuerzas. [ F ] = existe pero es singular ya que | F | =0 F-1 K no existe.

1

2

3

4

Aquí si existe K K singular y no existe F ya que el sistema no es independiente para generar fuerzas.

Ejemplo 1.

1

3

2 4

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EA = Para todas las barras  D1 = D2 K; no puede aplicarse un desplazamiento manteniendo fijo los otros.  Si puedo aplicar un giro y mantener fijo los otros.

ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA 1

1 1

1

Si existe F; puede aplicar una carga unitaria única en un punto y se calcula como se deforma la estructura. F1 1 F

F1 2

F1 3

F1 4

F2 1 F2 2

F2 3

F2 4

F3 1

F3 2

F3 3

F3 4

F4 1 F4 2

F4 3

F4 4

F1 2

F2 1

F1 1

F2 2

F3 1

F3 2

Barra indeformable, principio de transitabilidad de las fuerzas.

“SISTEMA DEPENDIENTE NO GENERALIZADO”

Ejemplo 2.

2

6

1

5

F si existe.

4

1

a1

2

a2

3

a3

4

a4

5

a5

7

3

“SISTEMA NO GENERALIZADO” (súper abundante)

K no existe. a 4 + b 5+ c 6 = 0 a 0, b 0, c 0

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|F|=0

6

a6

7

a7

f es singular.

ANALISIS ESTRUCTURAL I

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1 Sistema Incompleto

Ejemplo 3.- Estructura sin apoyos.

2 1

5

K no existe. F si existe.

4

3

6 Q1 + Q4 + Q7 + Q10 = 0 Q1 + Q4 + Q7 + Q10 = 0 M (centro de rotación) = 0

7

9 8

10

12

RELACIONES Fx = 0 Fy = 0 M =0

11 El sistema se lo puede volver generalizado para medir fuerzas de la sgte. forma.

MATRICES DE TRANSFORMACION DE FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS MATRIZ DE TRANSFORMACION Y DESPLAZAMIENTOS [ A ] = A 2 1

5 4 d=A D Convierte desplazamiento en el sistema global D a 6 desplazamientos en sistema local d.

3

(Q - D)

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A = Matriz de transformación de desplazamiento de global a local. d = Deformación de las barras (desplazamientos internos de los extremos de barra). D = Desplazamientos externos de los nudos de la estructura.

ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA 2

1

3

de = ae D

11

8

5 6

4

7 9

10 12

ae = Matriz de transformación de desplazamientos de barra.

Cómo se genera la matriz a ? d1

D1

:

C1

:

C2

C3

:

............ C N

:

Particionado por filas

dm

DN

Si hago: D2 = D3 = ................... = DN = 0 y D1 = 1 d1 : :

D1 C 1 D1

:

D1 1

:

dm

C1

DN

A : Se genera por columnas, aplicando desplazamientos unitarios. Los términos en la columna ј de la matriz A son las deformaciones de los elementos debido a la aplicación de un desplazamiento unitario en la coordenada j (Global) cuando los desplazamientos en las otras coordenadas son nulos. EJEMPLO:

3

4

2 2

L

1 45°

1 L

L

Se podría trabajar con el sgte. sistema q-d,

3

6 2

4 7

5 pero este sistema no vale para medir fuerzas. El sistema debe ser capaz de formar la configuración deformada de toda la estructura.

1

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ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Para cumplir con lo anterior elegimos:

4

3 2 (q - d)

1 Generación de la 1° Columna.D1 = 1 Resto = 0 Luego según (q-d) 1 y 2 Se obtiene.

1

d1

en (Q - D)

en (Q-D).

1

d2 d3

C1

d4

0 0 0

Generación de la 2° columna.-

2

C2

d1

0

d2 d3

1 1

d4

0

Generación de la 3° columna.-

1

1

1 1

C3

L

2

2

1

1

45°

1 1

Øi =

L L

L L

Li

Generación de la 4° columna.-

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ANALISIS ESTRUCTURAL I

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2 0 C4

0 0 1

C1 C 2

C3

C4

d1

1 0

1/ L 0

d2

0 1

d3

0 1

1 / L 0 D2 1 / L 0 D3

d4

0 0

1/ L

D1

1 D4

De donde podemos obtener: d1

D1

d4

A

1 D3 L

d2

1 D3 L1

D4

1 0

1/ L 0

0 1

1/ L 0

1 D3 L

D2

etc

0 1

1/ L

0

0 0

1/ L

1

OBSERVACIONES 1.- A Si el sistema de desplazamiento [ D ] no es independiente. 2.- Si A es cuadrada [D] = [A]-1[d]; A no siempre es cuadrada. PRINCIPIO DE CONTRAGRADENCIA [ Q ] = [ A ]T [ q ] Q1

1

0

0

0

q1

Q2

0

1

1

0

q2

Q3

1/ L

1/ L 1/ L 1/ L

q3

Q4

0

0

q4

ING. JOSE MARCHENA

0

1

ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA De aquí obtenemos las ecuaciones de equilibrio de nudo. Q1 = q1 Q2 = q2 + q3 Q3 = -1/L (q1 + q2 - q3 - q4) Q4 = q4 Si d = A D D = A-1 d Generar esta matriz No siempre es fácil. Q2 Q3

q1+q2 2L

V1

N V2 q2

q3

V2

q4

Q4

V1 q3 +q4 L

q1 Q1

V1

Q1 = q1 Q2 = q2 + q3 Q4 = q4

Q3 V2

2 2 N V1 V2 0 2 2 2 2 N V2 V1 2 2 q3 q 4 2 1 x (q1 q2 ) 2 L 2 L

N

2 (q1 q2 ) 2L

N

q3 q 4 L

q1 q2 2L

q3 q 4 L

2

Retomamos el equilibrio Q3

2 N V2 2

2 q1 q 2 2 L 2

2 q1 q 2 2L

q1 q 2 1 q1 q 2 2L L 2 q1 q 2 1 q3 q 4 2L L 2

ING. JOSE MARCHENA

q3

q3

q4 2

q4

1 L

ANALISIS ESTRUCTURAL I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Con lo que se comprueba el equilibrio (PRINCIPIO DE CONTRA GRADIENCIA) PROBLEMA: Tomar 2 sistemas de coordenadas internas. 3

2

4

2

5m

1

1

1

4

6 3

d1 = A1 D

2

5

1

0 0 0

0 1

(q1 - d1)

1

A

No es un sistema generalizado para medir fuerzas, pero si lo es para medir desplazamientos. Q = AT q

0 0

0 0 1

0

0 0 1

0

0 0 0 1 0 1

0 0

Observamos que pasa con esta relación, y ver si cumple el equilibrio. 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

AT

0 0 1 1 0 0

acá no existe A-1

0 0 0 0 1 0

2

3 2

4 (q2 - d2)

1

ING. JOSE MARCHENA

d2 = A2 D2 Acá si

Q = (AT/2)q2

A-1

D2 = A-12 d2 ? (tratar de generar por geometría)

ANALISIS ESTRUCTURAL I

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A2

1

1/ 5 0 0

0

1/ 5 1 0

0

0

1 0

0

0

0 1

0 1

A2

1

0

0

0

5

0

0

1

0

0

0

0

1

1

5 0

1

1 1

1

D1 = 1

D 2= 1

1

D3 = 1

D4= 1

MATRIZ DE TRANSFERENCIA DE FUERZAS

Q2 Q1

q=BQ

Q5

Transformación del sistema Global a Local.

Q4 Q3

Q6

q: Contiene las fuerzas de extremos de barra. Q: Fuerzas externas. B: Matriz de transformación de fuerzas.

B es posible generarla si la estructura es determinada (estable e isostática) q=BQ

Ecuación de Equilibrio

d=AD

Desplazamientos Globales

Desplazamientos Locales.

ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL I

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q

1

b

q

2

b

q

Q

2

: q :

1

: b :

e

b

n

1

Q

Q :

2

q

e

C C ..... C    1

2

n

: Q

B

N

n

N = N° de G. D. L.

n = N° de elementos

En general: q = C1 Q1 + C2 Q2 + C3 Q3 + …………+ CN QN Si Qj = 1

;

Qi = 0

i

j

q = Cj Qj = Cj (1) = Cj

. .

B: Se genera por columnas Aplicando cargas unitarias.

. . Q1

1=Q1

1=Q2

Q3

Q2

1=Q3

Ejemplo:

3

4

2

4

3 2

L

j

i (q - d)

1 L

L

ING. JOSE MARCHENA

1

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA GENRAMOS 1era COLUMNA Q1 = 1

1

1

Q1 = 1

1/ 2 1/ 2

C

1 2L

1

0

1 2L

2

1

Q2 = 1 1/2

Q2 = 1

0

(1/2L x L) = 1/2

C 1 2L

Q1 = 1

2

1/ 2 1/ 2 0

1 2L

Q3 = 1 Q3 = 1

L/2

1 2L

0 C

3

l/2 l/2 0

1

L/2

Q4 = 1

ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA

1/2

Q4 = 1

0 C

1 2L

4

1/ 2 1/ 2 1

1 2L

M 1

1 x l 0 2l

M

1 L

M

1 1 2 q1 q2 q3

1 2L

1 2 1 =

0

1/ 2 1/ 2

l/2

1/ 2

1/ 2

l/2

0

0

0

q4

0

Q1

1/ 2

Q2

0

1 / 2 Q3 Q4 1

OBSERVACIONES: 1. La matriz B puede generarse directamente solamente si la estructura es estáticamente determinada. 2. B no existe si Q es dependiente (no generalizada). 3. Para este caso en particular: B es cuadrada no simétrica. B-1 por tanto q = B Q

Q = B-1 q ó Q = Cq

(C transforma cargas del sistema local al sistema global) 4. Para este caso en particular: d=AD

D = A-1 d

ó

D E d

1

q=BQ

Q = B-1 q

ó

Q C q

2

Si d = A D

CONTRAGRADIENCIA Q

Si q = B Q

CONTRAGRADIENCIA

ING. JOSE MARCHENA

D

AT q

B

T

d

3 Ecuación de Equilibrio 4

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Concluimos que: De 1 y 4

E

B

A-1 = BT:

;

T

Pre multiplicando por A

A A-1 = A BT I = A BT De 2 y 3

T

A

AT = B-1:

;

C

? (Ejercicio)

B AT = B B-1 B AT = I

? (Ejercicio)

Nota.- 3 y 4 no se pueden generalizar. (Curiosidad): En el ejercicio anterior: Q=Cq ó

3

Q = B-1 q

q1 = 1 (q3 = q4 = 0)

4

2

Q3=?

Q2=0

2 L

1

1 l 2

j

i

q1=1

1 L

3

Q4=0

1 l 2 Acá no habrá fuerzas,

ya que q3 = q4 = 0

Q3 = -1/l

Q1=1

L

q3 = 1

Q3

Q2=1 1 l

Q4=0 1 l

1 l 2

Q3 = 1/l Q1=0

ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA

q4 = 1

Q3

q4=1 Q4=1

Q2=0

1 l

1 l 1 l 2

Q3 = 1 Q1=0

C

Aquí, C = B-1

Q=Cq

Para chequer:

1

0

0

0

0

1

1

0

1/ l

1/ l 1/ l 1/ l

0

0

0

1

debe ser así. CB=I ó Ejercicio (si cumple)

(Prop. Conmutativa) BC=I Ejemplo: (Vamos a trabajar con un sistema súper – abundante.

3

2

2

5

4

2

4

3 5m

1

(q - d)

1

1

(Permiten describir comportamiento de barra) nos interesa generar q = B Q

3 2

d

AD

Q

A q

4 (q' - d')

T

1

Por desplazamiento respecto a la cuerda. ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA

Como ejercicio: generar la matriz B (y debe salir).

q q

1

1

0

0 0

2

0

1

0 0

q

3

1

q

4

1

q

5

0

5 0 0 5

1 0

0

0 1

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

No es posible generar la inversa, puesto que es un sistema dependiente.

q

1

q

2

q

3

q

Q

1

Q

2

Q

1

4

Q

5

Q

q

1

5Q

representa las ecuaciones de equilibrio

2

5Q

2

Q

3

4

Representa las ecuaciones de equilibrio. Verificar así: (Ejercicio).

Q2

Q3

Q4

Ecuación Global = R = ¼ (Q1+ 5Q2 + Q3 + Q4) Conociendo esta reacción, se pasa a realizar cada una de las barras.

R Q1 Q2 R

Q4 q5 q5 q4

R q5 = q 4

R

Demostrar que la matriz de rigidez es simétrica.

ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

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ANEXOS

ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA

ÁLGEBRA MATRICIAL MATRIZ: Una matriz m x n es un arreglo rectangular de elementos dispuestos en m filas y n columnas.

A

a1 1

a1 2

a1 3...... a1n a 2 3...... a 2 n

a2 1

a2 2

aij

ain

.

.

...........

.

ami

amn

.

.

...........

.

.

.

...........

.

a m1

am 2

am3

a mn

ORDEN (mxn )

aij

A

fila i columna i

TIPOS DE MATRICES A) MATRIZ CUADRADA

m=n

a11 a12 a13 [A] = a21 a22 a23 a31 a32 a33 ORDEN = (3 x 3) B) MATRIZ FILA ò (vector fila ò vector transpuesto) [A] = [a21 a22 a23 ] C) MATRIZ COLUMNA

[A] =

m=1 n = cualquiera

ò (vector columna)

a11 a21 . . . am1

MATRIZ NULA [A] = [0]

aij = 0

⍱

i = 1, ..., m j = 1, ..., n

ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA

aij = 0

m=n

MATRIZ DIAGONAL

[A] =

a11

0

0

0

0

a22 0

0

0

0

a33

0

0

0

0

i≠j

a33 ORDEN = (4 x 4)

MATRIZ IDENTIDAD Ò UNITARIA  Debe ser cuadrada

1 0 0

I=  Matriz diagonal

0 1 0

0 0 1

aii = 1

aij = 0

La propiedad esencial de esta matriz es que la multiplicación por ella no produce ningún cambio en el multiplicando. AI=AIA=A

Único caso donde es II=I

aceptable que: A B = B A

(u = upper)

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR m=n

[u] =

u11

u12 u13 u14

0

u22 u23 u24

0

0

u33 u34

0

0

0

u44

N

de elementos n

2

n 2

4x4

ING. JOSE MARCHENA

4 2

o 10

uij = 0 = U

⍱ Si además uii = 1

4

2

i>j

Matriz triangular Superior unitaria.

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA El determinante de esta matriz es igual al producto de los elementos de la diagonal principal

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

(l = lower)

m=n

L = [L] =

l11

0

0

0

l21

l22 0

0

l31

l32

l33

0

l41

l32

l33

l44

[A] = [L] [U]

4x4

lii = 0

⍱

i>j

Si lii = 1 Matriz Triangular inferior Unitaria. colum j

MATRIZ SIMÉTRICA aij

 m=n Cuadrada  aij = aji

a ji

Fila i Fila j

colum i

MATRIZ ANTISIMÉTRICA  m=n  aii = 0  aij = aji

[A] =

0 1 2 -1 0 3 -2 -3 0

MATRIZ BANDEDA O EN BANDAS  Todos los elementos no nulos ≠s de cero de la matriz se agrupan alrededor de la diagonal principal.  m = n (Cuadrada) Simétrica.

ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA

w 3 2 1 0 0 0

2 3 4 1 0 0

1 4 5 6 1 0

0 1 6 7 4 5

0 0 1 4 3 6

0 0 0 5 6 2

w = Ancho de la semi banda = # de diagonales superiores incluyendo la principal. - Para nuestro caso w = 3 - Ancho de la banda = 2w-1 (medida de cuan dispersa está la matriz.) - En nuestro caso: ancho = 5

(6 x 6)

aij = 0

⍱

|i – j| ≥ w

En términos de computadora.- si guardáramos todos los elementos de la semibanda tendríamos: °

° ° ° ° °

° ° °

° ° °

° ° °

# de elementos a guardar: w.n - [(w(w-1))/2)]

w-1 w Ejemplo:

2 1

3

5 6

w=5 2w – 1 = 9

4

8

1 2 3 4 X 0 X X X X 0 X 0 X

7

9

5 0 X X 0 X

6 0 X X X X X

7 0 0 0 X 0 0 X

# total de elementos = 81 w.n - [(w(w-1))/2)] = 35

OTRA FORMA DE GUARDAR LOS ELEMENTOS ES EMPLEANDO EL SKYLINE 

ARTICULO: E. L. WILSON – H. H. DONEY “SOLUTION OR DECUCTION OF EQUILIBRIUM EQUATIONS FOR LARGE COMPLEX STRUCTURAL SATEM”

ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

8 0 0 0 0 X X 0 X

9 0 0 0 0 X X X X X

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA

OPERACIONES CON MATRICES

aij = bij

1) IGUALDAD

[A]m x n = [B] m x n

2) SUMA

[A] m x n + [B] m x n + [C] m x n = [D] m x n

⍱

i, j

dij = aij + bij + cij

A + B = B+ A ( Propiedad Conmutativa) A + B + C = A + (B + C) = (A + B) + C (Propiedad Asociativa)

3) RESTA

cij = aij - bij

[A] m x n - [B] m x n = [C] m x n

4) TRANSPOSICIÓN

[A]

[A]Tmxn = [B]nxm

→

Se cambian filas por columnas

PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICION

a)

[A] m x n

→

[A]T n x m

b)

( [A]T )T = [A]

c)

Si [A] es simétrica

d)

Si [A] es antisimétrica

e)

( [A] ± [B] )T = [A]T ± [B]T

f)

( [A] [B] )T = [B]T [A]T

g)

( [A] [B] [C] )T = [C]T [B]T [A]T

h)

( [A] [A]T = [B] No simétrica

[A] T también es simétrica y además [A]

=

[A] T también es simétrica y además [A]

[A]T =

-[A]T

[A]T [A] = [C] Siempre es simétrica. Si es simétrica

5) MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR CЄR C [A] = [B]

bij = caij

6) MULTIPLICACIÓN DE MATRICES (conformables) [A] [B] = [C] ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA [A]m x Ø [B] Ø x n = [C]m x n P

Cij

a ik bkj K 1

i 1,2,...., m j 1,2,...., n

1

2

4

5 2

8

7

2

0 1

4

1 8

3x3

1 7 5

2

0

1

1

7

1

2

4

8

7

2 42 37

4

1 8

9

3x2

28

32 63

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION

a) ASOCIATIVA

[A] ([B] [C] ) = ([A] [B] ) [C]

b) DISTRIBUTIVA

[A] ([B] [C] ) = [A] [B] + [A] [C] A

c)

a ( b [A] ) = a b [A]

a; b Є R

d)

[A] [B] ≠ [B] [A]

en general (no es conmutativa)

A B

[A] [I] = [I] [A] = [A]

1 2

B

3 4

1x 2

2 x1

3 4 6 8

B A A B

11 B A

El producto de dos matrices cuadradas, es otra matriz cuadrada. El producto de dos matrices en triángulo Superior o Inferior es otra matriz triangular superior o inferior. El producto de una matriz por su transpuesta es una matriz simétrica. El producto de dos matrices simétricas, en general no es simétrica. f)

Si [A] [B] = [0]

g)

[0] [A] = [A][0] = [0]

f)

Si [A] [B] = [A][C]

no implica que una de las dos sea 0

no implica que [B] = [C] (Sólo si A es Simétrica, Cuadrada)

MATRICES ORTOGONALES

ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA  [A] y [B] son ortogonales si [A] T [B] = [B]T [A] = [I]  [A] es ortogonal si [A] T [A] = [A] [A]T = [I] [A]T = [A]-1 Es ortogonal, si la transpuesta y la inversa son iguales. PRUEBA: A AT = I -1 T -1 A (AA ) = A I I AT = A-1 I AT = A-1

PARTICIONAMIENTO DE MATRICES

a1 1

a1 2

a1 3

a2 1 a2 2

a2 3

a3 1 a3 2

a3 3

A1 1

2x2

A2 1 1x 2

A1 2

b1 1 2 x1

;

A1 1 1x1

B b1 2 b1 3

B1 1 2 x1 B2 1 1x1

[A] [B] = [A11]2 x 2 [A12]2 x 1

[A11][B11] + [A12][B21]

[A21]1 x 2 [A11]1 x 1

[A21][B11] + [A22][B21]

T

[A11]2 x 2 [A12]1 x 2

[A11]T

+

[A21]T

[A12]T

+

[A22]T

= [A21]1 x 2 [A11]1 x 1

ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA [A]T =

DETERMINANTES

=

[A]

a11

a12

a21

a22

b1 1 b1 2 B

a11 a22 - a12 a21 = #

=

b1 3

b2 1 b2 2 b2 3 b3 1 b3 2 b3 3

1 2 3 B

4 5 6

( 1)

i

j

b1 1

7 8 9 ( 1) ( 1)(1)

i

j

5 6 8 9

b13

b21

b22

b31

b32

( 1)(2)

4 6 7 9

b2 2 b2 3 b3 2

(1)(3)

b3 3

4 5 7 8

( 1)

i

j

3 12 9

b1 2

b2 1 b2 3 b3 1 b3 3

0

El determinante de cualquier Matriz puede ser (+) ó (-) cuando el | | es = 0, La matriz es singular, no tiene inversa. MENOR DE UNA MATRIZ

El menor Mij corresponde al elemento aij de una matriz cuadrada [A] es el determinante de la sumatoria que queda al eliminar la fila “i” y la columna “j”. La expansión por la Fila, será: |B| = (-1)i+j b11 + (-1)i+j b12 M12 + (-1)ij b13 M13 COFACTOR DE UNA MATRIZ

Es el mismo afectado por el signo:

Cij

( 1) i j M ij

ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

|[A]| = |[A]T| |[A][B]| = |[A]||[B]| Si una fila o columna tiene todos los elementos = 0

det = 0

Si se intercambia 2 filas o 2 columnas, el determinante cambia de signo pero no su valor absoluto. Si 2 filas o 2 columnas de una matriz son iguales su determinante = 0 El determinante de una matriz triangular inferior o superior (|L| ó |U|) es igual al producto de los términos de su diagonal principal. 1 0 0 A 2 4 0 A (1)(4)(8) 3 6 8 Si a una fila ó columna se le añade un submúltiplo de otra fila ó columna el determinante no cambia. Si se multiplica una fila ó columna por un número real, el determinante quedará multiplicado pro este número. CALCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR METODO DE CHIO

a1 1 a1 1

a1 2

a1 3...... a1n

a2 1

a2 2

a 2 3...... a 2 n

.

.

...........

.

.

.

...........

.

.

.

...........

.

a m1

am 2

am3

a mn

A

1

A

a1n1 2

a1 1

a1 2

a1 3

a2 1 a2 2 a1 1 a1 2

a2 1 a2 3 a1 1 a1 3

a3 1 a3 2 .

.

a3 1 a3 3 .

.

.

.

a1 1

......

a2 1 a2n a1 1 a1n

......

a3 1 a3 n .

.

.

a1n

.

.

.

a1 1

a1 2

a1 1

a1 3

a1 1

a1n

a n1

an 2

a n1

an3

a n1

an n

Ejemplo:

2 0

1

3

1

3

1

5

4

0

2

1

6

1

0

1 ( 2) 2

8 4x4

2 0

2

1

2 3

1 3 2 0

1 2

1 1

1 5 2 3

0 0 2 0

4

6

ING. JOSE MARCHENA

1

2 2 1

6

6

4 2 6

1 3

1 4

6 0 2

1

13

0

14

6

2

8

ANALISIS ESTRUCTURAL

3x3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA 6 1 1 4

0 6

1 6

0 1

2

6

6

13

0 6

14 13

2

2

1 0 24

14

38x84

133

MATRIZ ADJUNTA: Es la matriz formada por los cofactores

A

c1 1

c1 2

c1 3...... c1n

c2 1

c2 2

c 2 3...... c 2 n

.

.

...........

.

.

.

...........

.

.

.

...........

.

c m1

cm 2

cm3

c mn

MATRIZ INVERSA:

[A] [B] = [B] [A] = [ I ] y [B] = [A] -1

Si [B] es la inversa de [A]

La matriz inversa es única. No toda matriz tiene inversa. [A]{x} = {b} x

b A

[A]-1[A]{x} = [A]-1{b} [I]{x} = [A]-1{b} {x} = [A]-1{b} METODOS PARA LA OBTENCION DE MATRICES INVERSAS INVERSIÓN POR LA ADJUNTA:

A

adjA A

T

Para una matriz de 2 x 2

ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA A

a1 1

a1 2

a21

a22

a22

adjA

a1 2 a22

T

adjA

a21 a1 2

a21

A

a1 1 a1 1

a22

a1 2

a21

a1 1 A

Ejemplo

C1 1 ( 1)1 1 2 3 4 4 3 1

C1 2

( 1)1

C1 3

( 1)1 3

3 1

10

2 4

2

1 2 4

4 1

15

1 4 4 3

5

1 2

C21 = -4 C31 = -9 C22 = 4 C23 = -1 C33 = -6 |A| = 2 (10) + 3 (-15) + 4 (+5) = -5

C22 = 14

10 10 adjA

15

5

4

4

1

9

14

6

10 adjA

T

15 5

4 4 1

15

9 14

A

6

1

5

4 4 1

9 14 6

5

INVERSIÓN POR TRANSFORMACIONES SUCESIVAS (GAUSS-JORDAN)

Si tenemos [A]n x n Si existe [A]-1 existen una serie de transformaciones [11][12][13]. . .[Tn] de tal modo que se multiplica [T] por [A] llegamos a la matriz [ I ] [Tn] [Tn-1] [Tn-2] . . . [T3] [T2] [T1] [A] = [ I ] [Tn] [Tn-1] [Tn-2] . . . [T2] [T1] [[A] [ I ]] = [[ I ] [A]-1]

2 3 4

Ejemplo: 4 3 1 1 2 4

ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA f 1/ 2

1 3/ 2

f 1( 4)

f2 0

f 1( 1)

f 3 0 1/ 2

2

3

f 1( 1 / 2)

0 0

2

1 0

7 2

1/ 2 0 1

1 3/ 2 f 2( 1 / 3)

1/ 2

2

1/ 2

0

2/3

1/ 3 0

0

1

7/3

f3 0

0

5/6

5/6

0

1/ 6

1

determinante = (1) (1) (5/6) (2) (-3) = 5 continuamos 1 3/ 2 0 5/ 2 f 3 x( 7 / 3)

f2 0

1

0

0

0

1

f 3x6 / 5

f 2 x(3 / 2)

3 1

f 1 1 3/ 2 0 5/ 2 0

1

0

0

0

1

3 1

2/5

12 / 5

4/5

14 / 5

1/ 5

6/5

2/5

12 / 5

4/5

14 / 5

1/ 5

I

6/5 1

A

INVERSION POR PARTICIONES

[A]-1

[A]n x n

Si [B] = [A]-1 A1 1

 A1 2

pp

 A2 1

[A] [B] = [ I ] pq

 q xp

 A2 2

q xp

B1 1  B1 2

I







B2 1  B2 2

pp

 0 

0  I

qq

A11, A12, B11, B22 son cuadradas. La partición deben dejar sumatorias conformables. p + q = n. Multiplicando: A1 1B1 1

A1 2 B 2 1

I

A1 1B1 2

A1 2 B 2 1

0

A2 1B1 1

A2 2 B 2 1

0

A2 1B1 2

A2 2 B 2 2

I

[B] [A] =[ I ]

4 ecuaciones

B11 = (A11 – A12 A-122 A21)-1 B21 = -(A-122 A21 B11) ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA B12 = -B11 A12 A-122 B22 = A-122 - B21 A12 A-122 [B] = [A]-1 También es simétrica y B12 = BT21

 Si [A] es simétrica Ejemplo: 3

1

1

0

2

0

A1 1

A1 2

1

1

1

A2 1

A2 2

A1 1

3

A1 2

[ 1 0] 2

A2 1

1

1

(A11 – A12 A22-1 A21)-1 = [3]|x| - [-1 0]|x|

1

1 1 1 2

A2 2

1 2x2

0

(3

1 1 1 2

1

2)

1

2 x1

B11 = [2]-1 = [1/2] Calculamos B12 B12 = -B11 A12 A22-1 = -[1/2] [-1 0]

1 1 1 2

1/ 2 1/ 2

Como es simétrica:

1/ 2

B21

B12

1/ 2

B22

T

1 1

1/ 2

1 2

1/ 2

1 0

1 1

3/ 2 3/ 2

1 2

3/ 2 5/ 2

1/ 2 1/ 2 1/ 2 A

1

B

1/ 2 3 / 2 3 / 2 1/ 2 3 / 2 3 / 2

PROPIEDADES DE LA INVERSA 1

1)

A

2)

A B

3)

A

1

A 1

B

T

1

A

A

4)

Si [A] es simétrica

5)

CA

1

1 A C

1

1 T

1

ING. JOSE MARCHENA

[A]-1 es simétrica. C R C 0

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA

6) La inversa de una matriz diagonal también es diagonal 7 0 0 0 9 0

A

A

A1 1

0

0

A2 2

0 0 2

A

1

1/ 2

0

0

0

1/ 9

0

0

0

12

A

A1 1

1

1

A2 2

1

-1

7) Si [A] = [A] [A] = [ I ] 8) La inversa de una matriz triangular superior o inferior es también una matriz Triangular Superior o inferior MATRIZ TRIANGULAR

La matriz es triangular y [A]-1 No existe

Si |A| = 0

MATRIZ REGULAR

Si |[A]|

La matriz es REGULAR y [A] -1 Si existe

0

SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS

A nxn x

nx1

b

nx1

A = Vect. de coeficientes x = Vect. de incógnitas b = Vect. de términos independientes ECUACIONES MAL CONDICIONADAS

X1 + 5X2 = 17 1.5X1 + 7.501X2 = 25.503 1

5

X1

1.5 7.501 X 2

Resolviendo:

X1 = 2.0

17 25.503

X2 = 3.0

Que sucede si: ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA X1 + 5X2 = 17 1.5X1 + 7.501X2 = 25.500 1

X1

5

17

1.5 7.501 X 2

Resolviendo:

25.500

X1 = 17

X2 = 0

Lo que se debe chequear es: |A| = (1) (7.501) – (5 x 1.5) = 0.001 Como el valor del determinante es muy pequeño en comparación con los términos de las ecuaciones; entonces las ecuaciones son mal condicionadas. METODOS DE SOLUCION 1° INVERSIÓN DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES

[ A] x

b

[ A] 1[ A] x x

[ A]

[ A] 1

1

b

b

2° METODO DE GAUSS O DE CONDENSACIÓN PIVOTAL

[ A] x

b

Transf. [U] x = c X1 X2

C1 C2

.

.

. Xn

. Cn

u1 1 u1 2 ..... u1n 0

u 2 2 .... u 2 n

.

.

0

0

um Xn = cn

unn

Luego hacemos una sustitución de inversa:

Xn

Luego en la penúltima ecuación como ya conocemos Xn = Cn-1 sucesivamente

ING. JOSE MARCHENA

Xn-1 =  , asi

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA Ejemplo: 2 4

6

X1

2

6 6

4

X2

8

7 8 10

X3

15

2 4

6

2

6 6

4

8

7 8 10 15 1

2

3

1

f1

2

0

6

14 2 f 1 ( 6)

f2

0

6

11 8 f 1 ( 7)

f3

1 2

3

0 1 7 / 3 1/ 3 0 0

3

3 x3 6

1 6

f2

( 6)

f 2 x(6)

f3

X2 X1

7 / 3X 3 2X 2 A

X3 1/ 3

3X 3

(3)( 6) x

2 X2 X1

2

5 5

36

METODO DE CHOLESQUI O DE LA RAIZ CUADRADA

[A] = [L] [U] Si [A] es simétrica: [A] = [L] [L]T = [U] [U]T [A]

x = b

[L][L]T x = b [L]T x = y [L] y = b Método: 1.- Se plantea: [A] = [L] [L]T 2.- [L] y = b 3.- [L]T x = y

ING. JOSE MARCHENA

[L] y por sustitución directa x por sustitución directa

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA

Ejemplo: 3 2 1

X1

8

2 3 2

X2

2

1 2 3

X3

1° Paso l1 1 0 l21 l22 l31 l32

1

0

l1 1

l1 2

l1 3

3 2 1

0

0

l22

l23

2 3 2

l33

0

0

l33

1 2 3

l21

l1 2

l121

l31

l1 3

l1 1l1 2

2

l1 2

l32

l23

l1 1l1 2

1

l1 3

3

l1 1

l122 l 222

3

4 3

l23

3 2 3 3 5

l22

3 8

l22

3 5

5

2° Paso [L] y = b

3

0 5

2 3

3 4 3

1 3

3

4 3 3 5

8

0

Y2

2

Y3

8

1

5

y1 = 8 / 3

2/ 3 y1 + 5 / 3 y2 = 2

y1

Y1

3 5

3 y1 = 8

1

0

y2

8 5

y3

y2 =

1

10 3 3 5 y3

5 8

2° Paso [L]T x = y

ING. JOSE MARCHENA

ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA 2

3

5 5 3

3X 1

X3

8 5

5

X3

X2

X2

3 5

0

3 10 3 3 5 5 8

X1

4 3 3

0

8

3

5

0

8

1 3

4 3 3 5 2 3

10 3

X3

X2

5

X3

8

3 5 1 3

X3

ING. JOSE MARCHENA

8

X2

1.50

8

X1

3

3.875

ANALISIS ESTRUCTURAL