• Author / Uploaded
• Tommy

• Categories
• Masa
• Ecuaciones
• Velocidad
• Fuerza
• Cantidad

Citation preview

´ ´ ANALISIS MATEMATICO IV Sistemas Masa–Resorte Consideremos un resorte de longitud l suspendido verticalmente de un soporte r´ıgido. Si colgamos de ´el una masa m, el resorte se alargar´a una cantidad, llamada elongaci´on, que denotamos por ∆l, v´ease Figura (1).

Figura 1: Sistema masa–resorte. 1. Movimiento arm´ onico simple o libre no amortiguado mx00 (t) + kx(t) = 0

(1)

• Ejemplo 1.– Si situamos una masa de 5 kg en un resorte, ´este se alarga 10 cm. Liberamos la masa 8 cm por debajo de la posici´on de equilibrio. ¿Cu´al es la ecuaci´on del movimiento suponiendo un movimiento arm´onico simple? (T´omese el valor aproximado de g = 10 m/s2 ). Soluci´on: x(t) = 8 cos (10t) cm

5

0.5

1.0

1.5

2.0

-5

Figura 2: Movimiento libre no amortiguado.

1

2. Movimiento libre amortiguado mx00 (t) + c x0 (t) + k x(t) = 0

(2)

La ecuaci´on caracter´ıstica se escribe como mr2 + cr + k = 0

(3)

cuyas ra´ıces son

√ c2 − 4mk r= . 2m Dependiendo del signo de c2 − 4km distinguiremos tres casos: −c ±

(a) Sistema sobreamortiguado. Si c2 − 4km > 0, tendremos dos ra´ıces reales distintas, √ √ −c + c2 − 4mk −c − c2 − 4mk r1 = y r2 = . 2m 2m La soluci´on de la ecuaci´on diferencial (2) viene dada por x(t) = C1 er1 t + C2 er2 t .

(4)

• Ejemplo 2.– Supongamos que una masa de 1 kg alarga 5 m un resorte. Determine la ecuaci´on del movimiento libre amortiguado si la masa se libera 2 m por debajo de la posici´on de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 m/s suponiendo que la fuerza amortiguadora es 3 veces la velocidad instant´anea. Soluci´on: x(t) = e−t + e−2t 2.0

1.5

1.0

0.5

1

2

3

Figura 3: Sistema sobreamortiguado.

2

4

(b) Sistema subamortiguado. Si c2 − 4km < 0, tendremos como soluciones de la ecuaci´on caracter´ıstica (3) dos ra´ıces complejas conjugadas, √ √ −c − i 4mk − c2 −c + i 4mk − c2 y r2 = . r1 = 2m 2m La soluci´on de la ecuaci´on diferencial (2) viene dada por c

x(t) = e− 2m t (C1 cos (λ t) + C2 sen (λ t)).

(5)

√

4mk − c2 . 2m • Ejemplo 3.– Determine la ecuaci´on del movimiento de un sistema masa– resorte para el caso m = 1 kg, c = 2 N s/m y k = 10 N/m suponiendo que la masa se libera desde la posici´on de equilibrio con una velocidad descendente de 3 m/s. Soluci´on: x(t) = e−t sen (3t)

donde λ =

0.6

0.4

0.2

1

2

3

4

-0.2

Figura 4: Sistema subamortiguado. (c) Sistema cr´ıticamente amortiguado. Si c2 − 4mk = 0, tendremos como soluc ci´on de la ecuaci´on caracter´ıstica (3) una ra´ız real doble, r = − . En este caso, 2m la soluci´on de (2) viene dada por x(t) = ert (C1 + C2 t).

(6)

• Ejemplo 4.– Una masa de 2 kg se sujeta a un resorte cuya constante es k = 2 N/m. Supongamos que sobre el sistema est´a actuando una fuerza amortiguadora que es igual a 4 veces la velocidad instant´anea. Determinar la ecuaci´on del movimiento si la masa se libera 1 m por debajo de la posici´on de equilibrio con una velocidad descendente de 1 m/s. Soluci´on: x(t) = e−t (1 + 2t) 3

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

2

4

6

8

10

Figura 5: Sistema cr´ıticamente amortiguado. • Ejemplo 5.– Consideremos el mismo sistema masa–resorte del ejemplo anterior con las condiciones iniciales dadas por x(0) = 1 y x0 (0) = −3. Soluci´on: x(t) = e−t (1 − 2t) 0.4

0.2

1

2

3

4

5

6

-0.2

-0.4

Figura 6: Sistema cr´ıticamente amortiguado. 3. Movimiento forzado amortiguado mx00 (t) + c x0 (t) + k x(t) = F (t).

(7)

• Ejemplo 6.– A un sistema masa–resorte amortiguado cuyos par´ametros son m = 1 kg, c = 4 N s/m y k = 3 N/m se le aplica una fuerza externa dada por F (t) = 5 cos t. Determinar la ecuaci´on que describe el movimiento del sistema suponiendo que x(0) = 0 y x0 (0) = 0. 3 1 5 Soluci´on: x(t) = − e−t + e−3t + cos t + sen t. 4 4 2

4

1.0

0.5

5

10

15

20

25

30

-0.5

-1.0

Figura 7: Movimiento forzado amortiguado. 4. Movimiento forzado no amortiguado mx00 (t) + k x(t) = F (t).

(8)

• Ejemplo 7.– Al sujetar una masa de 2 kg a un resorte cuya constante es k = 32 N/m, ´este queda en reposo en la posici´on de equilibrio. A partir de t = 0, se aplica al sistema una fuerza externa dada por F (t) = 4 cos (2t). Encontrar la ecuaci´on del movimiento en ausencia de amortiguaci´on. 1 1 Soluci´on: x(t) = − cos (4t) + cos (2t) 6 6

0.1

2

4

6

8

-0.1

-0.2

-0.3

Figura 8: Movimiento forzado no amortiguado. • Ejemplo 8.– Consideremos el mismo sistema masa–resorte del ejemplo anterior al que se le aplica ahora una fuerza externa dada por F (t) = 3 cos (4t). 3 Soluci´on: x(t) = t sen (4t) 16

5

0.5

1

2

3

4

5

-0.5

Figura 9: Movimiento forzado no amortiguado. Resonancia.

Ejercicios 1. Supongamos que una masa de 2 kg alarga 5 m un resorte. Determinar la ecuaci´on del movimiento libre amortiguado si la masa se libera 2 m por encima de su posici´on de equilibrio sin velocidad inicial suponiendo que la fuerza amortiguadora es 4 veces la velocidad instant´anea. Soluci´on: x(t) = −2e−t (cos t + sen t). 2. Consideremos una masa de 5 kg sujeta a un resorte de constante k = 20 N/m. Sobre este sistema est´a actuando una fuerza amortiguadora de constante c = 20 N s/m. Si la masa se suelta 2 m por debajo de su posici´on de equilibrio con una velocidad inicial descendente de 1 m/s, determ´ınese la ecuaci´on del movimiento del sistema. Soluci´on: x(t) = 2e−2t + 5te−2t . 3. Determinar la ecuaci´on del movimiento de un sistema masa–resorte formado por una masa de 8 kg suspendida de un muelle de constante k = 32 N/m suponiendo que, en ausencia de amortiguaci´on, act´ ua una fuerza externa dada por F (t) = 16 cos (4t). La masa se libera desde la posici´on de equilibrio con una velocidad inicial ascendente de 1 m/s. Soluci´on: x(t) = 61 cos (2t) − 21 sen (2t) − 16 cos (4t). 4. A un sistema masa–resorte no amortiguado cuyos par´ametros son m = 1 kg y k = 9 N/m se le aplica una fuerza externa dada por F (t) = 6 sen (3t). Determinar la ecuaci´on que describe el movimiento del sistema suponiendo que x(0) = 1 y x0 (0) = 0. Soluci´on: x(t) = cos (3t) + 13 sen (3t) − t cos (3t). 6

49 5. Se ha encontrado experimentalmente que una masa igual a 1 kg estira un resorte 320 m. Encuentre la amplitud y el periodo del movimiento resultante si se desprecia la resistencia del aire y la masa es llevada a una posici´on 41 m m´as abajo de su posici´on de equilibrio y luego se suelta (´ usese g = 9.8 m/s2 ). Soluci´on: Amplitud = 41 , periodo = 14 π.)

6. Sea x(t) = Aer1 t + Ber2 t , con |A| + |B| = 6 0. a) Demuestre que x(t) es igual a cero a lo m´as una vez. b) Compruebe que x0 (t) es igual a cero cuando mucho una vez. 7. Un peque˜ no objeto de masa igual a 1 kg se encuentra sujeto a un resorte con constante de restituci´on igual a 2 N/m. El sistema masa–resorte est´a inmerso en un medio viscoso con constante de amortiguamiento igual a 3 N.s/m. En el tiempo t = 0, la masa se encuentra 1/4 m por abajo de la posici´on de equilibrio, desde donde es soltada. Demuestre que la masa regresar´a a la posici´on de equilibrio conforme t tiende a infinito. 8. El ca˜ no´n de un tanque M60(veh´ıculo de combate) se encuentra sujeto a un sistema con una constante de restituci´on de 100α2 , y una constante de amortiguamiento de 200α en las unidades apropiadas. La masa del ca˜ n´on es igual a 100 kg. Suponga que el desplazamiento x(t) de dicho ca˜ no´n con respecto a su posici´on de equilibrio satisface el siguiente problema de valor inicial despu´es de haber sido accionado en el tiempo t = 0. 100x00 + 200αx0 + 100α2 x = 0; x(0) = 0, x0 (0) = 100 m/s. Se desea que un segundo m´as tarde, la cantidad x + (x0 )2 sea menor que 0.01. ¿Qu´e tama˜ no debe tener α para garantizar que pase tal cosa? 9. Un sistema masa–resorte-amortiguador con m = 1,c = 2 y k = 2(en sus unidades respectivas) se hallan en equilibrio. En el tiempo t = 0, una fuerza externa F (t) = π − t N act´ ua sobre el sistema durante un intervalo de tiempo igual a π. Halle la posici´on de la masa para todo t > π.

7