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• Juan

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2019

CALCULO 1 SEMINARIO T1 El presente seminario tiene por finalidad fortalecer los conceptos adquiridos en aula de los temas que serán considerados en la evaluación T1 del curso de Cálculo I. Esperamos que sea de tu máximo provecho. Tus docentes. I. Lee atentamente y resuelve los siguientes problemas: 1. La población de cierta ciudad en el tiempo t (medido en años) está dada por: 𝑃(𝑡) = 10000 + 1000𝑡 − 2𝑡 2 . Determine la razón de cambio promedio entre el 3er y 7mo año. 2. Los costos de fabricación C(x) en soles, de salchicha huachana, dependen de la cantidad elaborada x (en kilos) de acuerdo con la siguiente expresión: C ( x)  10  2 x . El fabricante estima que el precio de venta de cada kilogramo de salchichas viene dado por: x2 soles. P( x )  20  150 Obtenga la función de ganancia y determine la razón de cambio instantánea cuando se producen 100 kilos de salchicha. II. Obtener la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas y propiedades estudiadas: a).

y  1  5x 6

b)

f ( x)  3x  x3  1

e) f ( x )   x  2 





f)



y  ln x3  7



x2  2x  2

3

5

1 x  h) y    1 x 

i)

2 y  e x 1  52 x

j) f ( x )  2

g) y  ln ( x.senx )

2 c) f ( x )  3  x

 1  d) y    1 x 

4

3

k)

3

3 x2

 e5 x

y  sen 2 x  cos2 (3x)

l) z 

w 1  4w2

III. Resuelva los siguiente problemas aplicando los conceptos de las derivadas: 1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función: y  4  x 2 a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la función en cualquier punto. b) Encuentre la pendiente de la recta normal a la función en cualquier punto. c) Determine la pendiente de la recta tangente a la función en el punto x  3 d) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto x  3 2. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva y  x3  3x  2 en el punto P (1,0) 3. Hallar la ecuación de las recta tangente y normal a la curva y  ln 4  x 2 en el punto de abscisa x =1 4. Los

costos

mensuales,

en

soles,

de

una

empresa

vienen

dados

por:

C( x)  0,02 x  30 x  5000 2

Donde x representa el número de unidades producidas. Halla el costo marginal para x = 50. 5. Se lanza verticalmente un proyectil hacia arriba desde el nivel del suelo, la distancia del objeto al suelo está dado por: ℎ(𝑡) = −5𝑡 2 + 100𝑡. Determine la posición y la velocidad del proyectil en el cuarto segundo y en el doceavo segundo. En ese instante, ¿el proyectil está subiendo o bajando?

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1

CÁLCULO I

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2019 IV. Calcule los siguientes límites.

x2  4 x 2  5x  6

a)

lim

b)

1  5x  2 x 2 x x2  1

x2

c)

lim

V. Calcule la derivada

𝑑𝑦 𝑑𝑥

x2

d) lim x0

5 x  10 2x  5  1

sen(4 x) tan( x)

en cada caso:

a)

x  y  25 (Circunferencia)

b)

x2  y  x3  y 2

c)

x 2  y 3  9 xy (Folio de Descartes)

d)

xy  1 (Hipérbola equilátera)

e)

x

f)

4 x 2  9 y 2  36 (Elipse)

g)

3x 3 y 2  sen( x 2 y )  1  0

2

lim

2

2

 y 2   4  x 2  y 2  (Lemniscata de Bernoulli) 2

VI. Resuelva los siguiente problemas aplicando la derivación implícita: 1. Muestre que la recta tangente a la curva cuya ecuación es 4𝑦 = (𝑦 2 + 𝑥)2 en el punto P0 = (−3, 1) es perpendicular a la recta 𝑦 = 3𝑥 + 13. 2. Suponga que 𝑥 y 𝑦 representan cantidades de dos materias primas necesarias para un proceso productivo y que la ecuación: 60𝑥 3/4 𝑦 1/4 = 3240 unidades describe las cantidades 𝑥 y 𝑦 para las cuales la producción es de 3240 unidades. Use la 𝑑𝑦 𝑑𝑥 derivación implícita para calcular las razones marginales cruzadas y en 𝑥 = 81 y 𝑦 = 16. 𝑑𝑥

𝑑𝑦

3. Suponga que la relación de demanda de cierto producto es 𝑝 + 2𝑥 + 𝑥𝑝 = 38 en donde 𝑥 está dado en miles de unidades y 𝑝 es el precio en dólares por unidad. Suponga también que el precio (y en consecuencia la demanda) cambia semanalmente, esto es, p es función del tiempo. ¿A qué ritmo está cambiando la demanda cuando x = 4 si el precio está disminuyendo a razón de 0.40 dólares por semana? 4. Igual que el anterior, pero ahora halle el ritmo de cambio de la demanda si el precio aumenta a razón de 0.20 dólares por semana.

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