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SEMINARIO TERCERA (PARTE 2) Prob. N°3.- Una máquina eléctrica tiene forma cilíndrica tanto en la estructura del estator como en la del rotor. Los valores de la inductancia son: L11(estator)=0.1 [H];

L22(rotor)=0.04 [H];

L12=0.05cosθ [H]

Donde θ expresa el ángulo que forman los ejes de ambos devanados. a) Si la máquina gira a una velocidad ωm=200rad/s y por el devanado del estator circula una corriente 10sen200t. ¿Cuál será la f.e.m máxima (de pico) inducida en la bobina del rotor y a circuito abierto? Sugerencia use la ley de Faraday. (2p) b) Supóngase que los devanados se conectan en serie y circula por ellos una corriente 10sen200t. ¿Para qué velocidades del rotor desarrollara la máquina un par medio? (2p) c) ¿Cuál es el valor máximo del par medio que puede obtenerse en el caso b? (1p) Nota: Despreciar las resistencias eléctricas de los devanados. Sol. N°3.- Datos: Lss=0,1 H; Lrr=0,04 H; Lsr=0,05cosθ

𝑑𝑖𝑠 𝑑(10 sin 𝜔𝑚 𝑡) = 𝑑𝑡 𝑑𝑡

a) Cuando: is=10sen200t; ωs=200 rad/s; ωm=200 rad/s

𝑑𝑖𝑠 = 10𝜔𝑚 cos 𝜔𝑠 𝑡 𝑑𝑡

En el rotor:

𝑣𝑟 = −(10 sin 𝜔𝑠 𝑡)(−0,05𝜔𝑚 sin(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿)) − (0,05 cos(𝜔𝑚 𝑡))(10𝜔𝑚 cos(𝜔𝑠 𝑡 + 𝛿))

𝑣𝑟 = −

𝑑𝜆𝑟 𝑑𝑡

Donde el flujo concatenado del rotor es:

𝑣𝑟 = 0,5𝜔𝑚 sin(𝜔𝑚 𝑡) sin(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿) − 0,5𝜔𝑚 cos(𝜔𝑚 𝑡) cos(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿)

𝜆𝑟 = 𝐿𝑟 𝑖𝑟 + 𝐿𝑠𝑟 𝑖𝑠

Como: 𝜔𝑚 = 𝜔𝑠 = 200 𝑟𝑎𝑑/𝑠

El rotor a circuito abierto: ir=0

𝑣𝑟 (𝑡) = 0,5𝜔[sin 𝜔𝑡 sin(𝜔𝑡 + 𝛿) − cos 𝜔𝑡 cos(𝜔𝑡 + 𝛿)]

𝜆𝑟 = 𝐿𝑠𝑟 𝑖𝑠 ; 𝐿𝑠𝑟 = 0,05 cos 𝜃; 𝜃 = 𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿 𝑣𝑟 (𝑡) = −0,5𝜔 cos(2𝜔𝑡 + 𝛿) Luego: 𝑣𝑟 (𝑡) = −100 cos(400𝑡 + 𝛿) 𝑣𝑟 = −

𝑑(𝐿𝑠𝑟 𝑖𝑠 ) 𝑑𝐿𝑠𝑟 𝑑𝑖𝑠 = −𝑖𝑠 − 𝐿𝑠𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Por lo tanto: 𝑉𝑚á𝑥 = 100 𝑉

𝑑𝐿𝑠𝑟 𝑑(0,05 cos(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿)) = 𝑑𝑡 𝑑𝑡

b) Cuando ambos devanados se conectan en serie: 𝑖𝑠 = 𝑖𝑟 = 10 sin 200𝑡

𝑑𝐿𝑠𝑟 = −0,05𝜔𝑚 sin(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿) 𝑑𝑡

El torque:

𝑇𝑒𝑚 =

𝑖𝑠 2 𝑑𝐿𝑠 𝑖𝑟 2 𝑑𝐿𝑟 𝑑𝐿𝑠𝑟 + + 𝑖𝑠 𝑖𝑟 2 𝑑𝜃 2 𝑑𝜃 𝑑𝜃

Como: 𝐿𝑠 = 0,1 𝐻; 𝐿𝑟 = 0,04 𝐻 Reemplazando: 𝑇𝑒𝑚 = (10 sin 200𝑡)2 (−0,05 sin 𝜃); 𝜃 = 𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿 𝑇𝑒𝑚 = −5 sin 𝜃 sin2 200𝑡 = −5 sin(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿) sin2 200𝑡 Como: sin2 200𝑡 =

Si 𝜔𝑚 = 400 𝑟𝑎𝑑/𝑠 5 5 𝑇𝑒𝑚 = sin(𝛿) + sin(800𝑡 + 𝛿) 4 4 5 − sin(400𝑡 + 𝛿) 2 Entonces el torque promedio: 5 𝑇𝑒𝑚𝑝 = sin(𝛿) 4 Si 𝜔𝑚 = −400 𝑟𝑎𝑑/𝑠

1 − cos 400𝑡 2

5 𝑇𝑒𝑚 = − (1 − cos 400𝑡) sin(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿) 2 5 𝑇𝑒𝑚 = − sin(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿) 2 5 + sin(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿) cos 400𝑡 2 Pero: sin(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿) cos 400𝑡 sin(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿 + 400𝑡) + sin(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿 − 400𝑡) = 2 5 𝑇𝑒𝑚 = − sin(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿) 2 5 + sin(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿 + 400𝑡) 4 5 + sin(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿 − 400𝑡) 4

5 5 𝑇𝑒𝑚 = sin(𝛿) + sin(−800𝑡 + 𝛿) 4 4 5 − sin(−400𝑡 + 𝛿) 2 Entonces el torque promedio: 5 𝑇𝑒𝑚𝑝 = sin(𝛿) 4 Por lo tanto: 𝜔𝑚 = ±400 𝑟𝑎𝑑/𝑠 c) El par promedio: 5 𝑇𝑒𝑚𝑝 = sin(𝛿) 4 Por lo tanto el torque promedio máximo: 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑚á𝑥 =

5 𝑁−𝑚 4

Prob. N°4.- Se tiene una maquina rotativa que consta de un estator y rotor los cuales tienen devanados Ns y Nr de valores 110 vueltas y 45 vueltas respectivamente. El estator tiene un radio interno R de 11 cm y una longitud axial de 0,17 m. El ángulo β=30°, la longitud del entrehierro lg=0,5 mm y la permeabilidad del estator y rotor µm muy grande.

i Ns

Nr µm lg

θ=ωmt+δ

β β

R µm

a) Si al inicio al devanado rotórico se le excita con una corriente continua i=15 Amp, calcule la densidad de flujo. b) Luego el rotor es accionado por una maquina prima a la velocidad de 3600 R.P.M., calcule la tensión instantánea y el valor eficaz del mismo en la bobina del estator de circuito abierto, para un δ=90°. Re

Sol. N°2.- Datos: Ns=110 vueltas; Nr=45 vueltas; R=11 cm; L=0,17 m; β=30°; lg=0,5 mm y µm → ∞ a) Cuando al devanado rotórico se excita con tensión continua i=15 A, surge un flujo magnético que fluye de la siguiente forma.

Rg

Rr

- Nr i +

B

i Nr

El circuito magnético equivalente:

Re

B Dónde: ℜ𝑟 =

𝑙𝑟 𝜇𝑚 𝑆𝑟

ℜ𝑔 =

𝑙𝑔 𝜇0 𝑆𝑔

ℜ𝑒 =

𝑙𝑒 𝜇𝑚 𝑆𝑒

Reduciendo:

Rr

Rg

Rg

- Nr i +

Rr

Rr

Rg

B

i

Re /2

B

θ=ωmt+δ

Nr

Ns

Como µm → ∞, entonces: ℜ𝑒 = ℜ𝑟 ≈ 0 Por lo tanto:

La tensión inducida en el estator: Rg

𝑒𝑠 = − - Nr i +

ϕ

𝑑𝜆𝑒 𝑑𝑡

El flujo concatenado en la bobina del estator: Rg

𝜆𝑒 = 𝑁𝑠 𝜙𝑠 𝜙𝑠 = 𝐵𝑆𝑠 cos(90° − 𝜃)

Entonces: 𝑁𝑟 𝑖 = 2ℜ𝑔 𝜙 𝑙𝑔 = 0,5 𝑚𝑚 La sección transversal: 𝑆𝑔 = (2𝛽)(𝑅 − 𝑙𝑔 )𝐿; 𝛽 = 𝜋/6

𝜙𝑠 = 𝐵𝑆𝑠 sin 𝜃 𝑆𝑠 = (2𝑅)𝐿 Entonces: 𝜆𝑒 = 𝑁𝑠 𝐵𝑆𝑠 sin(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿) 𝜔𝑚 = 3600 ×

𝜋 = 120𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 30

También: 𝜙 = 𝐵𝑆𝑔 𝑒𝑠 = −𝑁𝑠 𝐵𝑆𝑠 𝜔𝑚 cos(𝜔𝑚 𝑡 + 𝛿) Reemplazando: Reemplazando: 𝑁𝑟 𝑖 = 2

𝑙𝑔 2𝑙𝑔 𝐵 𝐵𝑆𝑔 = 𝜇0 𝑆𝑔 𝜇0

2 × 0,5 × 10−3 𝐵 45 × 15 = 𝜇0 La densidad de flujo magnético: 𝐵 = 0,8482 𝑇 b.- Cuando el rotor gira a 3600 R.P.M.

𝑒𝑠 = −1315,51 cos(𝜔𝑚 𝑡 + 90°) Por lo tanto: 𝑒𝑠 = 1315,51 sin 𝜔𝑚 𝑡 La tensión eficaz:

𝐸=

𝐸𝑚á𝑥 √2

=

1315,51 √2

𝐸 = 930,21 𝑉