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• Markoo Polo

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ESTABILIDAD DE LOS CIRCUITOS CON REALIMETACION ▪ EL PROBLEMA DE LA ESTABILIDAD. ▪ DIAGRAMA DE BODE.

▪ COMPENSACION DE FRECUENCIA.

Estabilidad de amplificadores realimentados  La estabilidad del amplificador depende solo de propiedades del sistema y no de la función de excitación.  Si un sistema es estable, cualquier acción acotada ocasiona una respuesta acotada. Ejemplo:  La retroalimentación negativa mejora el desempeño haciendo al sistema menos sensitivo a la variación de parámetros.

Realimentación Positiva  El uso de la realimentación positiva es útil en la construcción de osciladores. La condición de realimentación positiva se da cuando una parte de la salida se combina en fase con la entrada. Mejoras que se obtienen: 1. Impedancia de entrada más alta. 2. Mejor ganancia estabilizada. 3. Respuesta mejorada.

en

de

voltaje

frecuencia

4. Impedancia de salida más baja. 5. Ruido reducido.

El problema de la estabilidad : Criterios de análisis de estabilidad de los circuitos con realimentación.  Existen tres métodos pueden aplicar:

que

se

1. El criterio de Nyquist. 2. El trazado de lugar de las raíces, que nos brinda la ubicación aproximada de los polos al variar la realimentación.

3. La determinación de la ubicación precisa de los polos y ceros del sistema realimentado

𝛽 𝑠 : 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

1. El criterio de Nyquist.  Se basa en un teorema de Análisis con variable compleja conocido como “Principio de Argumento”

 Se trata de un diagrama polar de la ganancia de lazo utilizando la frecuencia como parámetro.

 El diagrama de Nyquist intercepta al eje real negativo en w=180. Si este cruce ocurre a la izquierda del punto (-1,0), sabremos que la magnitud de la ganancia de lazo a esta frecuencia es mayor que la unidad y el amplificador será inestable. Si la intercepción se produce a la derecha del punto (-1,0), el amplificador será estable.

Trazado del lugar de Nyquist a partir del diagrama de Bode. Si se dispone del diagrama de Bode de amplitud y fase de la ganancia de lazo 𝛼𝛽 se puede construir el lugar de Nyquist. Procedimiento: Para cada frecuencia se representa un punto en el plano complejo con modulo igual a la amplitud de la guanacia y argumentos igual a la fase de la ganancia.

2. El trazado del lugar de las raíces.  Se define “lugar de las raíces o lugar de Evans” como el lugar geométrico de los eros de la función: 1 + 𝛼(𝑠)𝛽(𝑠) al variar 𝛼 0 𝛽 0 entre 0 e ∞.

 Para valores negativos de 𝛼 0 𝛽 0 resulta llamado el “lugar inverso de las raíces”. Existen pasos para trazar de forma aproximada el lugar de las raíces. 1. El lugar de las raíces está formado por líneas que empiezan (a(0)β(0) = 0) en los polos de a(s)β(s) y terminan (a(0)β(0) = ∞) en los ceros de a(s) β(s).

2. El lugar de las raíces es simétrico respecto al eje real. 3. El lugar de las raíces de a(s) β(s) incluye todos los segmentos del eje real que se encuentran a la izquierda de un número impar de polos y ceros de a(s) β(s). 4. Todos los segmentos del lugar de las raíces sobre el eje real que se encuentren entre dos polos consecutivos o entre dos ceros consecutivos de a(s) β(s) tienen algún punto de ruptura interior donde el lugar se abre en pares de ramas conjugadas. 5. Las ramas complejas del lugar de las raíces comienzan en los puntos de ruptura con ángulo recto respecto al eje real.

3.Métodos de Polos y Ceros.  La determinación explícita de los polos y ceros de una función de transferencia es posible sólo para sistemas de hasta cuarto orden, debido a la imposibilidad de resolver en forma explícita las ecuaciones de grado mayor que 4. Sistema de Primer Orden: Consideremos un sistema estable de primer orden con la siguiente función de transferencia: 𝑎𝑜 1 𝑎 𝑠 = = 1 + 𝑇(𝑠) 1 − 𝑠ൗ𝑠𝑎 Sera realimentado con : 𝛽 𝑠 = 𝛽𝑜 , la función de transferencia a lazo cerrado resulta ser: 1 1 − 𝑠ൗ𝑠𝑎 𝑎𝑜 𝐴 0 = , 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐴 0 = 𝑦𝑠1 = (1 + 𝑎𝑜 𝛽𝑜 )𝑠0 1 1 + 𝑎𝑜 𝛽𝑜 1+ 𝛽 1 − 𝑠ൗ𝑠𝑎

 Vemos que la ganancia en continua queda dividida por el factor 1 + 𝑎𝑜 𝛽𝑜 mientras que el polo se multiplica por dicho factor. Se suele resumir esto diciendo que el producto ganancia por ancho de banda se mantiene constante. En un diagrama de Bode, esto significa que la asíntota para alta frecuencia se conserva

 Si la realimentación es positiva, el lugar de las raíces se sustituye por el lugar inverso de las raíces, que tiene sentido opuesto y por lo tanto incursiona en el semiplano real positivo. Esto significa que a partir de algún valor de realimentación el sistema a lazo cerrado se vuelve inestable. En la figura 14a se muestran los diagramas de Nyquist de un amplificador con dos valores de realimentación, uno de los cuales lo hace estable (βo’) y el otro inestable (βo).

Sistema de Segundo Orden. Consideremos ahora un sistema estable de segundo orden con la función de transferencia. 𝑎0 1 1 1 𝑎 𝑠 = , 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑎1 = − − 𝑦 𝑎2 = 1 + 𝑎1 𝑠 + 𝑎2 𝑠 𝑠𝑎 𝑠𝑏 𝑠𝑎 𝑠𝑏 Si se realimenta con 𝛽 𝑠 = 𝛽0 , se obtiene:

𝑎0 𝐴 𝑠 = 1 + 𝑎0 𝛽0 + 𝑎1 𝑠 + 𝑎2 𝑠 2

Al resolver la ecuación se obtiene los ceros del dominador, que son los polos del sistema realimentado. 𝑎1 𝑠1, 𝑠2 = − ± 2𝑎2

𝑎1 2𝑎2

2

1 + 𝑎0 𝛽0 − 𝑎2

Se tiene entonces: 𝑠1, 𝑠2 = (1 + 𝑎0 𝛽0 )𝑠𝑎 𝑠𝑏

Esta conclusión también puede obtenerse por el criterio de Nyquist y mediante el lugar de las raíces. Dado que cuando los polos se vuelven complejos su parte real se mantiene constante, el lugar de las raíces contiene dos semirrectas paralelas al eje imaginario.

Sistema de Tercer Orden A diferencia de los sistemas de orden 1 y 2, que son estables para cualquier realimentación negativa, los sistemas de tercer orden comienzan a presentar problemas de inestabilidad para rea1imentaciones moderadas a grandes. Por ese motivo estudiaremos estos sistemas, como ejemplo de sistemas potencialmente inestables. Consideremos un sistema estable de tercer orden con la siguiente función de transferencia: 𝑎𝑜 𝑎 𝑠 = (1 + 𝑠Τ𝑠𝑎 ) (1 − 𝑠Τ𝑠𝑏 )(1 − 𝑠Τ𝑠𝑐 ) Si se lo realimenta con 𝛽(𝑠) = 𝛽𝑜 , obtenemos la siguiente función a lazo cerrado: 𝑎𝑜 𝐴 𝑠 = 1 + 𝑎𝑜 𝛽𝑜 + 𝑎1 𝑠 + 𝑎2 𝑠 2 𝑎3 𝑠 3

A su vez, las raíces pueden expresarse en función del valor del polo real, 𝛾, de la parte real de los polos complejos, α, y del ángulo θ que forman los polos complejos con el eje real negativo. 𝑠1 = 𝛾 , 𝑠2 = 𝛼 1 + 𝑗𝑡𝑎𝑛𝜃 , 𝑠3 = 𝛼 1 − 𝑡𝑎𝑛𝜃

 Sustituyendo estos valores en la expresión anterior, desarrollando e igualando coeficientes se llega a: 𝑏𝑜 = −𝑏3 𝛾𝛼 2 (1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃) 𝑏1 = 𝑏3 (𝛼 2 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 2𝛼𝛾) 𝑏2 = −𝑏3 (2𝛼 + 𝛾)

COMPENSACION DE LA FRECUENCIA Cuando un amplificador realimentado se hace inestable, deben ser compensados. Para ello existen varias alternativas. Todas ellas tratan de evitar que cuando la fase de Aβ sea 180 ,el módulo sea superior a 0dB. La inestabilidad suele ser debida al hecho de que el producto Aβ tiene una ganancia elevada y existe una acumulación de polos próximos. ✓ Una forma de controlar la estabilidad puede ser limitando el valor de β. Por ejemplo, para un sistema sin realimentar como el indicado en el siguiente cuadro ✓ Si introducimos un circuito de realimentación, para mantener el sistema estable y con respuesta transitoria aceptable, hemos de limitar β de forma que la ganancia total del amplificador realimentado sea siempre mayor que 100.

Método del Polo Domínate.  Consiste en introducir un nuevo polo en la función A(s) a una frecuencia muy baja, (𝑓𝐷 ), de forma que la ganancia en lazo abierto modificada, 𝐴′ (𝑠), intercepte la curva 20log(1/ 𝛽) a una frecuencia a la cual la fase no sobrepase 180°.  Resulta necesario compensar por cuanto |A(W180 )|>1, o lo que es lo mismo , |A(W180 )|> 0dB. Supongamos que dispone una red de realimentación 𝛽 con ganancia 40dB o 10−2 .

 Se dibujara un línea 20log(1/ 𝛽)=40dB, que intercepta A(s), en el cual A 𝛽=0dB o A 𝛽=1

Ejemplo: IMPEDANCIA CON REALIMENTACION DE VOLTAJE DE DERIVACION.

Determine la ganancia de voltaje, la impedancia de entrada y la de salida con realimentación para la configuración de realimentación de voltaje en serie con 𝐴 = − 100, 𝑅𝑖 = 10𝐾Ω y 𝑅𝑜 = 20𝑘Ω para la realimentación de (a) β= -0.1 y (b) β= -0.5. Solución: 𝐴 −100 −100 𝐴𝑓 = = = = −9.09 1 + 𝛽𝐴 1 + −0.1 −100 11 𝑍𝑖𝑓 = 𝑍𝑖 1 + 𝛽𝐴 = 10𝑘Ω 11 = 110𝑘Ω 𝑍𝑜 20𝑥103 𝑍𝑜𝑓 = = = 1.82𝑘Ω 1 + 𝛽𝐴 11 𝐴 −100 −100 𝐴𝑓 = = = = −1.96 1 + 𝛽𝐴 1 + −0.5 −100 51 𝑍𝑖𝑓 = 𝑍𝑖 1 + 𝛽𝐴 = 10𝑘Ω 51 = 510𝑘Ω

𝑍𝑜𝑓

𝑍𝑜 20𝑥103 = = = 392.16Ω 1 + 𝛽𝐴 51

Ganancia, Impedancia de entrada y salida

ESTABILIDAD USANDO DIAGRAMA DE BODE 1.FORMA E S T Á N D A R D E BAJA F R E C U E N C I A

𝐾( ς (𝑆 + 𝑍𝑖 ))( ς (𝑆 2 + 2𝑆𝑤𝑧ξ𝑧 +𝑤 2 )) 𝐺 𝑠 = 𝑁 𝑆 ( ς (𝑆 + 𝑃𝑖))( ς (𝑆 2 + 2𝑆𝑤𝑝ξ𝑝 +𝑤𝑝2 ))

𝐾 𝑆𝑁 ς (𝑆 +𝑍𝑖) ς (𝑆 2 + 2𝑆𝑤𝑧ξ𝑧 +𝑤 2𝑧)

:Ganancia :Integradores o derivadores :Polos simples :Polos complejos

2.DIAGRAMA D E B O D E

2.1 G A N A N C I A : 𝐺 𝑗𝑤 = 𝐾 Magnitud: 𝐾 >1

𝐺 = 20 log10(𝐾)

𝐾 0

𝐺 = 20 log10(𝐾) 𝐾