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ANALISIS ESTRUCTURAL I 2020-10

Semana 4 – sesión 7 y 8

CAPITULO 4 CARGAS INTERNAS DESARROLLADAS EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES

PROPÓSITO: • Conocer la fuerza y el momento que actúan en el interior de elementos estructurales de viga y de pórtico

UCONTINENTAL.edu.pe MSc. Ing. Misael C. Joaquín Vásquez

CARGAS INTERNAS EN UN PUNTO La carga interna en un punto específico de un elemento puede determinarse aplicando el método de las secciones. En general, esta carga para una estructura coplanar consistirá en una fuerza normal N, una fuerza cortante V y un momento flexionante M.

Debe tenerse en cuenta que estas cargas representan en realidad las resultantes de la distribución de esfuerzos que actúa sobre el área transversal del elemento en la sección cortada.

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CARGAS INTERNAS EN UN PUNTO Convención de signos.-

Convención de signos ampliamente aceptada en la práctica de la ingeniería estructural.

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Procedimiento de análisis.Aplicación del método de las secciones para determinar N, V. y M en una ubicación especifica de un elemento estructural 1.

Determinar las reacciones en los soportes.

2.

Dibujar el D.C.L. del elemento estructural, y pase una sección imaginaria a través del elemento donde se desea determinar la carga interna.

3.

Seleccione uno de los dos tramos seccionados e introduzca las cargas internas en el corte.

4.

Aplique las ecuaciones de equilibrio escalar SFx=0, SFy=0 y SM=0, para resolver las incógnitas (cargas internas).

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PROBLEMA.-

El techo del edificio que se muestra en la fotografía tiene un peso de 1.8 kN/m2 y se sostiene sobre vigas simplemente apoyadas de 8 m de largo, entre las cuales hay una separación de 1 m. Cada viga, que se muestra en la figura transmite su carga a dos trabes, ubicadas en la parte delantera y trasera del edificio. Determine la fuerza cortante y el momento internos de la viga frontal en el punto C. (No tome en cuenta el peso de los elementos)

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Solución.1.

Determinar las reacciones en los soportes.

La carga del techo se transmite a cada viga como una losa de un solo sentido, por lo tanto, la carga tributaria, en cada viga interior es (1.8 kN/m2)(1 m) = 1.8 kN/m. (Las dos vigas del borde soportan 0.9 kN/m,) De la figura 4,Ia reacción de cada viga interior sobre la trabe es (1.8kN/m)(8 m)/2 = 7.2 kN La reacción de cada columna es:

[2 (3.6 kN) + 11 (7.2 kN)]/2 = 43.2 kN UCONTINENTAL.edu.pe MSc. Ing. Misael C. Joaquín Vásquez

2.- Dibujar el D.C.L. del elemento estructural, y pase una sección imaginaria a través del elemento donde se desea determinar la carga interna. 3.- Seleccione uno de los dos tramos seccionados e introduzca las cargas internas en el corte.

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4.- Aplique las ecuaciones de equilibrio escalar SFx=0, SFy=0 y SM=0, para resolver las incógnitas (cargas internas).

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FUNCIONES DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO La fuerza cortante (V) y el momento flector (M) que pueden obtenerse mediante el método de las secciones, varia en función de la posición de un punto arbitrario a lo largo del eje de la viga. Es por ello que para determinar las funciones de V y M, es necesario localizar la sección imaginaria o cortar, a una distancia arbitraria x desde un extremo de la viga, en ver de en un punto específico.

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FUNCIONES DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO En general, las funciones de la fuerza cortante y del momento internos serán discontinuas, o su pendiente será discontinua, en los puntos donde el tipo o la magnitud de la carga distribuida cambia, o bien donde se apliquen las fuerzas concentradas o los momentos de par. Debido a esto, las funciones de la fuerza cortante y del momento deben determinarse para cada región de la viga localizada entre cualquiera de las dos discontinuidades de carga.

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Procedimiento de análisis.-

1.

Determinar las reacciones en los soportes.

2.

Dibujar el D.C.L. del elemento estructural, y especifique por separado las coordenadas x y sus orígenes asociados, extendiéndose a las regiones de la viga entre fuerzas concentradas y/o momentos de par, o donde haya una discontinuidad de la carga distribuida.

3.

Seccione la viga en un punto arbitrario en una región identificado en el paso anterior, e introduzca las cargas internas en el corte.

4.

Aplique las ecuaciones de equilibrio escalar SFx=0, SFy=0 y SM=0, para resolver las incógnitas (cargas internas).

5.

Desarrollar los pasos 3 y 4 para todas las regiones identificadas en el paso 2.

6.

Los resultados pueden comprobarse observando que dM/dx = V y que dV/dx = w, donde w es positiva cuando actúa hacia arriba. UCONTINENTAL.edu.pe MSc. Ing. Misael C. Joaquín Vásquez

PROBLEMA.-

Para la viga que se muestra, determine la fuerza cortante y el momento como una función de x

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Solución.-

1.- Determinar las reacciones en los soportes.

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2.- Dibujar el D.C.L. del elemento estructural, y especifique por separado las coordenadas x y sus orígenes asociados, extendiéndose a las regiones de la viga entre fuerzas concentradas y/o momentos de par, o donde haya una discontinuidad de la carga distribuida. 3.- Seccione la viga en un punto arbitrario en una región identificado en el paso anterior, e introduzca las cargas internas en el corte. 4.- Aplique las ecuaciones de equilibrio escalar SFx=0, SFy=0 y SM=0, para resolver las incógnitas (cargas internas).

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5.- Desarrollar los pasos 3 y 4 para todas las regiones identificadas en el paso 2.

6.- Los resultados pueden comprobarse observando que dM/dx = V y que dV/dx = w, donde w es positiva cuando actúa hacia arriba. Observe que: dM/dx = V, y que dV/dx = -x/15 = w

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PRUEBA

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DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR PARA UNA VIGA Representación gráfica de las variaciones de V y M en función de x, las gráficas resultantes se denominan diagrama de fuerza cortante y oía grama de momento, respectivamente.

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DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR PARA UNA VIGA Método basado en las relaciones diferenciales que existen entre la carga, la fuerza cortante y el momento.

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DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR PARA UNA VIGA Si se divide entre Dx y se toma limite cuando Dx  0, entonces estas ecuaciones se convierten en:

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DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR PARA UNA VIGA Las ecuaciones anteriores pueden integrarse entre dos puntos, y se obtienen.

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DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR PARA UNA VIGA Si las áreas bajo los diagramas de carga y de fuera cortante son fáciles de calcular, las ecuaciones 4-3 y 4-4 proporcionan un método para determinar numéricamente los valores de la fuera cortante y el momento en varios puntos a lo largo de una viga. Las ecuaciones 4-1 y 4-3 no pueden usarse en los puntos donde actúa una fuerza concentrada y un momento de par, puesto que estas ecuaciones no toman en cuenta el cambio repentino de la fuerza cortante o momento en estos puntos.

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DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR PARA UNA VIGA El equilibrio de fuerzas requiere que el cambio en la fuerza cortante sea:

Así, cuando F actúa hacia abajo sobre la viga, DV es negativa por lo que el diagrama de corte muestra un “salto“ hacia abajo, y viceversa si la fuerza F actúa hacia arriba UCONTINENTAL.edu.pe MSc. Ing. Misael C. Joaquín Vásquez

DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR PARA UNA VIGA El equilibrio de momentos requiere que el cambio en el momento sea:

Si se aplica un momento de par M’ en sentido horario, DM es positivo, por lo que el diagrama de momento salta hacia arriba, y viceversa si el momento de par M’ es antihorario. UCONTINENTAL.edu.pe MSc. Ing. Misael C. Joaquín Vásquez

Procedimiento de análisis.-

1.

Determinar las reacciones en los soportes.

2.

Diagrama de fuerza cortante Establezca los valores de V y x y grafique los valores en los extremos de la viga. Dado que dV/dx=w, la pendiente del diagrama en cualquier punto es igual a la intensidad de la carga distribuida en ese punto.

Si debe determinar el valor numérico de la fuerza cortante en el punto , puede aplicar el método de las secciones, o usar la ecuación 4-3, la cual establece que el cambio en la fuerza cortante es igual al área bajo el diagrama de carga distribuida. Como w(x) se integra para obtener V, cuando w(x) sea una curva de grado n, V(X) será una curva de grado n+1

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Procedimiento de análisis.-

3.- Diagrama de momento flector Establezca los valores de M y x y grafique los valores en los extremos de la viga. Dado que dM/dx=V, la pendiente del diagrama en cualquier punto es igual a la intensidad de la fuerza cortante en ese punto. En el punto donde la fuerza cortante es cero dM/dx=0, por lo que este puede ser un punto donde el momento puede ser máximo o mínimo Si debe determinar el valor numérico del momento en el punto puede aplicar el método de las secciones, o usar la ecuación 4-4, la cual establece que el cambio en el momento es igual al área bajo el diagrama de fuerza cortante. Como V(x) se integra para obtener M, cuando V(x) sea una curva de grado n, M(X) será una curva de grado n+1 UCONTINENTAL.edu.pe MSc. Ing. Misael C. Joaquín Vásquez

PROBLEMA.-

Los dos elementos horizontales de la estructura que sostiene líneas de alta tensión están sometidos a las cargas de cable (cada uno de 4kN) como se muestran en la figura. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para cada elemento.

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Solución.1.

Determinar las reacciones en los soportes.

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2.- Diagrama de fuerza cortante. Primero se grafican los puntos extremos

x=0, V=-4kN, y x=6m, V=4kN La fuerza cortante entre cada fuerza concentrada es constante puesto que w=dV/dx= 0 La fuerza cortante justo a la derecha del punto B (o C y D) puede determinarse por el método de las secciones

El diagrama de fuerza cortante también puede establecerse "siguiendo la carga" en el D.C.L. Comenzando en A, la carga de 4 kN actúa hacia abajo de modo que Va=-4 kN. Ninguna carga actúa entre A y B, por lo que la fuerza cortante es constante. En B. la fuerza de 6 kN actúa hacia arriba, por lo que la fuerza cortante salta hacia arriba 6 kN. desde -4 kN hasta + 2 kN, etcétera. UCONTINENTAL.edu.pe MSc. Ing. Misael C. Joaquín Vásquez

3.- Diagrama de momento flector Primer lugar se gráfica el momento en los puntos extremos

x=0, M=0 y x=6 M=0 La pendiente del diagrama de momento dentro de cada región de 1.5 m de longitud es constante puesto que V también es constante. Los valores específicos del momento, como en C, pueden determinarse por el método de las secciones, o buscando el cambio en el momento mediante el área bajo el diagrama de fuerza cortante.

Por ejemplo como MA=0 en A, entonces en C. MC= MA +DMAC = 0 + (-4)(1.5) + (2)(1.5) = -3 kN-m. UCONTINENTAL.edu.pe MSc. Ing. Misael C. Joaquín Vásquez

DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO PARA UN PORTICO Un marco se compone de varios elementos que están conectados fijamente o articulados en sus extremos. Con frecuencia, el diseño de estas estructuras requiere elaborar diagramas de fuerza cortante y de momento para cada uno de sus elementos.

Para analizar cualquier problema, se puede utilizar el procedimiento de análisis, en la cual primero hay que determinar las reacciones en los apoyos, y luego aplicando el método de las secciones, se encuentran la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento que actúan en los extremos de cada elemento. Los diagramas de fuerza cortante y de momento para cada elemento pueden dibujarse de la manera descrita anteriormente, siempre y cuando todas las cargas se descompongan en componentes que actúan en forma paralela y perpendicular al eje del elemento. UCONTINENTAL.edu.pe MSc. Ing. Misael C. Joaquín Vásquez

PROBLEMA.-

Dibuje el diagrama de momento para el pórtico de la figura. Suponga que el soporte en A es un rodillo y que B es una articulación

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Solución.1.

Determinar las reacciones en los soportes.

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Con estos resultados, el pórtico se secciona en dos elementos, y se determinan las reacciones internas en las juntas extremas de los elementos. Observe que la carga externa de 5 k solo se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la junta en C.

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Diagrama de momento.De acuerdo con la convención de signos positivos, y el uso de las técnicas descritas, los diagramas de momento para los elementos del pórtico son como se muestra en la figura. .

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DIAGRAMAS DE MOMENTO CONSTRUIDOS POR EL METODO DE SUPERPOSICION Si se aplica el principio de superposición, cada una de las cargas en la viga puede tratarse por separado y entonces el diagrama de momento puede construirse en una serie de partes en vez de hacerlo en una sola forma que en ocasiones resulta complicada. En el análisis estructural, la mayoría de las cargas aplicados sobre vigas es una combinación de las cargas.

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DIAGRAMAS DE MOMENTO CONSTRUIDOS POR EL METODO DE SUPERPOSICION

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PROBLEMA.-

Determinar el DMF de la viga que se muestra en la figura.

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Solución.-

Superposición de vigas en voladizo UCONTINENTAL.edu.pe MSc. Ing. Misael C. Joaquín Vásquez

Superposición de vigas en voladizo

Superposición de los diagramas de momentos asociados UCONTINENTAL.edu.pe

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Diagrama de momento resultante

Superposición de los diagramas de momentos asociados MSc. Ing. Misael C. Joaquín Vásquez

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Diagrama de momento resultante

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Con estos resultados, el pórtico se secciona en dos elementos, y se determinan las reacciones internas en las juntas extremas de los elementos. Observe que la carga externa de 5 k solo se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la junta en C.

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Diagrama de momento.De acuerdo con la convención de signos positivos, y el uso de las técnicas descritas, los diagramas de momento para los elementos del pórtico son como se muestra en la figura. .

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DOCENTE: Misael C. Joaquín Vásquez Email: [email protected]

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