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• Diego Alf Barrera

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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA-UDE@ GEOMETRIA VECTORIAL Y ANALÍTICA

CONCEPTOS DEL CAPÍTULO CUATRO Fecha: Mayo 03 de 2013

Profesor: Juan Carlos Arango Parra 1. Segmentos Orientados.

Dirección. Sea L una recta. Se llama dirección de L al conjunto ρ[L] de todas las rectas paralelas a L. La dirección es única.

L

L1

L2

L3

Sentido. Para la recta L existen dos sentidos contrarios entre sí. Dichos sentidos son los mismos a todas las rectas que son paralelas entre sí, es decir, a todas las rectas que tienen la misma dirección. Para un segmento AB no nulo, le corresponde a) La dirección de la recta que contiene a AB. b) Dos sentidos contrarios entre sí: s(A, B) y s(B, A). L

−→ AB

B

L

Bb

−→ BA

b

A

A

−→ Sean A y B dos puntos en una recta L. Se llamará segmento orientado AB, se denota AB, al segmento que tiene asociado a) la dirección de la recta L, b) el sentido s(A, B), y

c) la longitud AB

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−→ Se llamará segmento orientado nulo, denotado AA, al segmento nulo AA que tiene todas las direcciones y los dos sentidos y que la longitud es cero. un segmento orientado nulo es un punto cualquiera en el espacio. A los segmentos orientados se les llama también segmentos dirigidos. En el segmento dirigido −→ AB, los puntos A y B reciben el nombre de extremo inicial y extremo final respectivamente. Se sigue entonces que un segmento dirigido tiene:

puntos

finales y los puntos interiores,

Los

una dirección, un sentido y una longitud, donde AB = BA .

−→ −→ En consecuencia, los segmentos dirigidos AB y BA poseen igual longitud, los mismos puntos interiores y extremos, igual dirección, sin embargo tienen sentido diferente. 2. Vector Libre. Sean A y B puntos sobre una recta L y A′ y B ′ puntos sobre otra recta L′ ,



−→ −−→ donde L y L′ tienen la misma dirección y AB = A′ B ′ . A pesar que AB y A′ B ′ tienen −→ −−→ igual dirección, magnitud y sentido, los segmentos dirigidos AB y A′ B ′ son diferentes ya que no tienen los mismos puntos interiores. L

L′

B

−→ AB

B′

b

b

A

A′

−− → A′ B ′

−→ −→ Sea AB un segmento dirigido. Se llama vector libre asociado al segmento dirigido AB al conjunto formado por todos los segmentos dirigidos que coinciden con él en dirección, longitud y sentido. G b A

b

I C

b

b

H

B E

b

J

D F

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→ Por notación se considera los vectores libres con letras latinas minúsculas − a , al vector h−→libre i − → − → nulo se le denota o . De acuerdo con el gráfico anterior se puede escribir que a = AB = n−→ −−→ −→ −−→ − o → AB, CD, EF , GH, IJ, . . . . −→ −→ → Si − a es un vector libre asociado al segmento dirigido AB, se dice que AB es una aplicación → → del vector libre − a en el punto A (ver el siguiente gráfico, donde el vector libre − a se aplicó en el punto A del espacio). Al punto A se le llama punto inicial de la aplicación y B punto final. Piense la aplicación del vector libre como un desplazamiento de éste hasta el punto A, puede desplazarse (no cambia ni la dirección, ni la longitud, ni el sentido) a infinitos puntos del espacio, en el gráfico también se aplica en el punto O. B − → a

O′

− → a b

A

− → a b

O Un vector libre se puede aplicar en cualquier punto del espacio. De allí la diferencia entre vector libre y segemento dirigido, este último posee puntos interiores que son los comprendidos entre A y B, mientras que el vector libre carece de puntos interiores ya que puede aplicarse en cualquier lugar del espacio. −→ → El segmento dirigido AA es un aplicación del vector nulo − o. −→ −−→ −→ → −−→ → → Si tanto AB y CD son aplicaciones del vector libre − a entonces − a = AB y − a = CD y por −→ −−→ tanto AB = CD. Al conjunto de todos los vectores libres se le denota como E 3 . −→ −−→ Teorema 1. El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo si y sólo si AB = DC. B

A

C

D

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Demostración. “ =⇒′′ . En este sentido se considera que ABCD es un paralelogramo, por lo que AB k DC y AB = DC , como además s(AB) = s(DC) ya que los puntos finales están en el mismo −−→ −→ −−→ semiplano determinado por la recta AD. En consecuencia, AB y DC son iguales por que tienen −→ −−→ la misma dirección, longitud y sentido, AB = DC. −→ −−→ “ ⇐=′′ . Como ahora, AB = DC entonces los segmentos AB y DC son paralelos (igual dirección) y tienen igual longitud, en consecuencia ABCD es un paralelogramo ya que dos de sus lados son paralelos y tienen igual longitud.  3. Operaciones entre vectores libres. − → → Adición. Sean − a y b son vectores libres no nulos con diferentes direcciones (no paralelos). Sea O un punto cualquiera en el espacio, es posible formar un paralelogramo aplicando los − → → vectores − a y b en el punto O como se sigue: −→ → → a) Se aplica − a en el punto O, se denota por A el punto final, es decir, − a = OA. − → b) Sobre el punto A se aplica el vector libre b , el punto final se denota como B, se escribe − → −→ b = AB. − → − → −→ c) Se aplica en O el vector b y el punto final se llama C, se tiene asi b = OC. − → a

C

B

− → b O

− → b

− → a

A

−→ −→ El cuadrilátero así formado es un paralelogramo de acuerdo al teorema 1, ya que OC = AB. −−→ El vector libre OB se le llama vector diagonal principal del paralelogramo OABC. Se define entonces la adición entre vectores libres como − → − → → → A1 Si − a y b son vectores libres no nulos y no paralelos entonces − a + b es el vector diagonal principal del paralelogramo asociado. − → −→ −→ −−→ − → a + b = OA + AB = OB . Observación. Para sumar es necesario que el punto final del primer vector, sea el punto inicial del segundo vector, en la igualdad anterior A es este enlace.

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− → − → → → A2 Si − a y b son vectores no nulos y con igual dirección entonces − a + b es el vector libre −−→ asociado al segmento dirigido OB que se obtiene: −→ → → · En el punto O se aplica el vector − a , el punto final es A, se escribe − a = OA. − → · En el punto A se aplica el vector b . Sea B el punto final. Igual sentido. − → a

b

b

− → b Ob

− → a

b

Ab

− → b

− → − → a + b

O

B B

Sentidos contrarios. − → a b

− → b

b

− → a

Ob b

O

− → − → a + b

B

A − → b

b

− → → − → → − → − → → → → → A3 Si b = − o entonces − a + b =− a , si − a =− o entonces − a + b = b. Teorema 2. La adición de vectores libres tiene las siguientes propiedades → − → → G1 La adición es asociativa. Es decir, para todo − a , b ,− c ∈ E 3 , se satisface − → − → → → → → (− a + b )+− c =− a +( b +− c). → → G2 La adición es modulativa. Para todo − a ∈ E 3 existe un vector − o para el cual − → → → → → a +− o =− o +− a =− a . → → G3 La adición es invertiva. Para todo − a ∈ E 3 , existe un único vector −− a tal que − → → → → → a + (−− a ) = (−− a)+− a =− o . − → → G4 La adición es conmutativa. Para todo vector libre − a , b ∈ E 3 se cumple − → − → → − → a + b = b +− a .

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−→ −→ → → En cuanto a la propiedad invertiva, si − a = AB entonces −− a = BA, es decir, el vector libre − → → a y su inverso −− a tienen la misma dirección y longitud, pero el sentido cambia. Por lo que −→ −→ −→ → − → → a + (−− a ) = AB + BA = AA = − o . Observación. Con estas propiedades, se dice que el conjunto de vectores libres E 3 con la operación de adición + es un grupo abeliano. − → → − → → Sustracción. Se define la sustracción entre vectores libres como − a−b =− a +(− b ). Al vector − → − → − → − → → − → → → a − b se le llama diferencia entre − a y b , el orden es importante ya que − a − b 6= b − − a. Veamos cual es la interpretación gráfica de la diferencia o sustracción entre vectores libres. Para − → → → ello consideremos − a y b dos vectores libres. Se aplica sobre un punto O el vector − a y sobre − → − → el punto final A se aplica el vector a cuyo final es B, este vector b se refleja sobre el punto − → A, el cual es el inverso − b . A continuación se presenta esta construcción − → a

C

B

− → b O

− → b A

− → a

− → −b

− → − → a + (− b ) B′

→ −→ − → −−→ −→ − → En este caso se tiene que − a = OA, b = AB y − b = AB ′ , entonces − → → − → −→ −−→ −−→ − → a − b =− a + (− b ) = OA + AB ′ = OB ′ −→ −−→ Sin embargo, el cuadrilátero OCAB ′ es un paralelogramo por lo que CA = OB ′ y así − → −→ −→ −→ − → a − b = OA − OC = CA Nótese que es necesario que la diferencia está definida siempre que tengan el mismo punto inicial O y en este caso el vector resultante es la diagonal secundaria del paralelogramo asociado − → → a los vectores − a y b.

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− → → → Teorema 3. Sean − a, b y − c vectores libres, entonces − → − → → → a) −(− a + b ) = −− a − b. − → − → → → b) − a = b sii −− a =−b. − → − → → → → c) − a = b sii − a − b =− o. − → → − → → → → d) − a +− c = b +− c sii − a = b. − → − → → → → → e) La ecuación − a +− x = b tiene solución única en E 3 dada por − x = b −− a. − → − → → → → → f ) La ecuación − x +− a = b tiene solución única en E 3 dada por − x = b −− a. − → − → g) −(− a ) = a . → h) − o es único. → i ) −− a es único. − → − → → − → → → j) − a − b = b −− a sii − a = b.