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• Patricio Acosta

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Jr. Espinar Nº 150. Telf.: 281515-282759. Av. Bolognesi Nº 274. Telf.: 282747. Quillabamba

Tema: Definiciones Geométricas, Segmentos 8. PROBLEMA. Enunciado en el cual se pide hallar una cantidad o construir una figura geométrica según condiciones dadas. ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA

Definiciones Geométricas 1. PROPOSICIÓN. Enuncia una verdad demostrada o por demostrar. Toda proposición tiene un solo valor lógico: o es verdadero (V) o es falso (F). 2. AXIOMA. Proposición evidente por sí misma que no necesita demostración. 3. POSTULADO. Es una proposición evidente que sin tener la evidencia del axioma se acepta sin demostración. 4. TEOREMA. Es una proposición que para ser evidente requiere ser demostrada; tiene dos partes: a) Hipótesis: Es lo que se plantea para la demostración del teorema. b) Tesis: Es teorema.

la

demostración

1. El Punto. Es un ente matemático, es la mínima representación geométrica de cualquier figura geométrica. El punto no tiene dimensiones, por lo tanto no existe en la naturaleza; pero sí en el pensamiento humano. Se lee: Punto “Q”

Q

2. La Recta. Es una sucesión infinita de puntos que siguen una misma dirección y que es ilimitada en ambos sentidos.

L

Se lee: Recta “L”

del

5. COROLARIO. Es una consecuencia deducida de un teorema ya demostrado.

3. El Plano. Es una superficie llana, lisa, sin espesor que es ilimitada en todo sentido.

6. LEMA. Es una proposición que sirve de base para la demostración de un teorema. 7. ESCOLIO. Es una proposición que sirve para aclarar, restringir o ampliar alguna proposición.

Se lee: Plano “P” FIGURA GEOMÉTRICA. Es cualquier conjunto de puntos.

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Geometria

2

 

CONJUNTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES

CLASIFICACIÓN GEOMÉTRICAS

DE

LAS

FIGURAS

1. Conjuntos Convexos: Se llama conjunto convexo a una figura geométrica si el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de dicho conjunto está contenido en éste.

1. Congruentes: Si tienen igual forma y tamaño.

R



R

B

P Q

A Una Recta

Una Región Triangular

2. Semejantes: Cuando tienen igual forma pero tamaños diferentes.

R



r

3. Equivalentes: Si tienen igual área o volumen sin importar su forma. Figuras Planas

2. Conjuntos Cóncavos: Se llama S geométrica conjunto cóncavo a una figura si por lo menos una parte del segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de dicho conjunto no está contenido en R éste. Una Esfera

 

P A

Figuras Espaciales

B

Una Región Cuadrangular Cóncava

Q Un Triángulo

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3

S POSICIONES RELATIVAS RECTAS EN UN PLANO (a) Secantes Oblicuas

R

DE

DOS



Una Superficie Cilíndrica

POSTULADOS DE LA SEPARACIÓN DE RECTAS 1. Un punto contenido en una recta divide a esta recta en dos semirrectas. 2. Una recta contenida en un plano divide a este plano en dos semiplanos. 3. Un plano divide al espacio en dos semiespacios.

  90º (b) Secantes Perpendiculares

L1

SEMIRECTA: Es uno de los sentidos de la recta.

L2 L1  L2

Sea una recta cualquiera AB y sobre ella tomamos el punto O entre A y B, (ver figura).

O

A

B (c) Paralelas

Semirrecta OA

A

L1

O

Semirrecta OB

O

L2 L1  L2

B

RAYO: Es la figura formada por una semirrecta y su punto de origen. A O

O B

Rayo OA

Segmentos

Rayo OB

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Es aquel conjunto de puntos pertenecientes a una línea recta limitados por dos puntos denominados extremos.

A

B

Elementos: A, B : Extremos AB : Segmento AB Punto Medio de un Segmento. Llamado también punto bisector, es aquel punto que divide a un segmento en dos segmentos congruentes; es decir, dicho punto lo divide por la mitad.

A

M

B

AB AM  MB  2

C

B AB  BC  AC

b) Resta:

P

Q

R

PR  PQ  QR

Observaciones: Sobre una recta real R se tienen los puntos A y B cuyas coordenadas son “a” y “b” respectivamente, entonces se cumple que:  Las coordenadas del punto medio del segmento AB viene dado por: M

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos y colineales ABCD tal que AC = 18, BD = 15 y AD = 30. Determinar la longitud del segmento BC. a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 5 2. Se tienen los puntos colineales y consecutivos ABCD tales que: AD = 24, AB AD  AC = 16 y . Hallar BC: BC CD a) 3 b) 4 c) 6 d) 3,6 e) 5 3. P, Q y R son tres puntos consecutivos de una recta. PQ = 2QR + 1 y PR = 31. Hallar QR. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 8

Operaciones con Segmentos. a) Suma:

A

Geometria

ab 2

4. A, C, D y E son puntos colineales y consecutivos tal que D sea punto medio de CE y AC + AE = 50. Hallar AD. a) 25 b) 12,5 c) 50 d) 20 e) 15 5. A, B y C son puntos colineales y consecutivos tales que 7AB = 8BC y AC = 45. Hallar BC. a) 25 b) 19 c) 23 d) 21 e) 15 6. Los puntos consecutivos A, M, B y C pertenecen a la misma recta. M es el punto medio de AC. Halla la longitud de MB, si AB – BC = 30. a) 8 b) 32 c) 18 d) 20 e) 15

 La medida del segmento AB es igual a: AB  b  a

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Calidad Educativa 7. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, y D, cumpliendo la relación: 4AB – BD – 2CD = 4. Hallar AD, si AB = 3 y AC = 5. a) 8 b) 5 c) 9 d) 6 e) 7 8. M, N y R son puntos colineales y consecutivos, tales que 2 MN + 3NR = 81. Hallar NR, si MR = 36. a) 12 b) 11 c) 10 d) 8 e) 9 9. Sean los puntos colineales y consecutivos P, Q, R, S, tales que: PQ QR RS   y 2PQ  5QR  8RS  132 ; 3 4 5 Hallar PQ. a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 4 10. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y E, de modo que AE = 36, BD = 9, AC = 23 y AB – DE = 5. Hallar CD. a) 1 b) 1.2 c) 1,5 d) 2.5 e) 2 11. En una recta se toman los puntos colineales G, A, I; además se toma B entre A y I cumpliéndose: 4GB = BI y AI – 4GA = 20. Hallar AB. a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 10 12. Dados los puntos consecutivos R, O, N, A, L, D donde RO = LD, ON = AL, RA = 18 y RD = 28. Hallar NA. a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 13. Sean los puntos R, O, N, consecutivos y colineales. RO ON RN    18 y Hallar RO, si: 2 3 6 RO  ON  6 .

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5 a) 12 d) 14

b) 10 e) 18

c) 15

14. En una línea se tienen los puntos consecutivos R, O, G, A y B; RG RA OB GB ; OG AB 9 y RO GA 7 . Hallar RG2 – GB2. a) 16 b) 4 c) 2 d) 1 e) 8 15. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C, cumpliéndose: AB. AB BC    . Luego: BC = AC2 y BC AB 1 1 1 a)   1  b)   2   c)   1  1 2 d)   2   e)   5 16. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, y E en donde se cumple que AD . DE = AB . BE ¿Cuál de las alternativas es la correcta? a) BC  CD b) AC  CE c) BE  AD d) AE  2BD e) AD  2BC 17. Los puntos AQRC de una recta son tales que AQ es la media aritmética entre AR y RC, si se cumple: (QC) 2 + 4 = 4QC, el valor de AC es: a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4 18. Se dan los puntos consecutivos M, A, B siendo O el punto medio de AB. Hallar el valor de K para que se cumpla la siguiente igualdad: MA  MB  K  MO  AO  a) 2 b) 1 c) 3 d) 2.5 e) 0.5 2

2

2

2

19. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E, F y G cumpliéndose que:

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AD  BD  CD  CG  DG  EG  14 3AG . Hallar AG. 4 a) 12 b) 10 d) 8 e) 14

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6

BE 

c) 9

20. Se tienen los puntos colineales G, A, B, Y donde la longitud de AY es el triple de la longitud de GA , calcular BY, si se GB 1  2 cumple: 2GA AY 5 3 5 a) b) c) 3 2 2 4 2 d) e) 3 3

Tarea para tu domicilio AUTOEVALUACIÓN 1. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A; B; C y D tales que: AD  18 cm , BD  13 cm y AC  12 cm . Hallar la medida del segmento BC . a) 6 cm b) 7 cm c) 8 cm d) 9 cm e) 5 cm 2. Sean los puntos colineales y consecutivos L, M, N, P, Q, siendo: LN 1 NQ  2LM  MN y MQ 5 . Hallar: LM a) 12 b) 2 c) 13 1 1 d) e) 13 12 3. Sobre una recta se marcan los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, tal que: AB  CD . Luego, la expresión: 1 1 E  ; es equivalente a: AB.AC BC.BD

a) AB.BC d)

1 AB.BC

1 c) (AB  BD)2 AB  BC 2 e) AB.BC b)

1

2

2

4. Se tienen los puntos consecutivos y colineales A; B y C, de tal manera que: AC  18 ; AB  x  y ; BC  4y  x . ¿Entre qué valores enteros varía “x”? a) 6  x  8 b) 3  x  5 c) 6  x  10 d) 3  x  6 c) 5  x  8 5. Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C y D; de tal forma que: AD  13 ; AB.BC  12 ; además CD  6 . Hallar el menor valor de AB. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2 6. En una recta se toman los puntos consecutivos L, I, M, O, N tal que M es el punto medio de LN . ¿A que es igual: IN  LI LO  ON R  IM MO ? a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 e) 5 7. Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos ABCD, tal que AD = 1 1 1   . AC  AB AD 2AB, y AB BC 4 Calcular CD. a) 4 b) 2 c) 8 d) 1 e) 6 8. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, M, O, AM OR R tal que: AO  MR  1. Calcular “x” si: 3 x MO MO   8 AO MR a) 4 b) 2 c) 8 d) 1 e) 6 9. G, A, B, Y son puntos colineales y consecutivos GY = 24, GA = (x – y), AB = (x + y) y BY = (2y – x). Hallar el valor entero de “y” a) 5 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6

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10. Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos P, Q, R, S, calcular "3

3x

1 x

" . Si PQ = 3QR,

PS  3RS  4 a) 2 d) 4



3

X

X

3 b) 9 e) 6



3

QS  2

2 x

y

c) 8

11. Se tienen los puntos consecutivos y colineales A, B, C y D. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de MD y AN, si M y N son puntos medios de AB y CD. Además AD = m y BC = n. mn mn mn a) b) c) 2 4 2 mn mn d) 8 e) 4 12. Sobre una recta se tienen segmentos consecutivos cuyas longitudes 1 2 3 4 ; ; ; ; ... y así sucesivamente. son: 2! 3! 4! 5! Hallar la suma límite de sus longitudes. a) 3 b) 2,5 c) 1 d) 1,5 e) 0,5

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