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Secretos del Billar a 3 Bandas Tratado Teórico que incluye el Método de Aprendizaje JJ-Carom

El Autor, en su casa con sus invitados: El máximo representatnte mundial del billar, presidente de la UMB, Jean-Claude Dupont, junto a los múltiples campeones mundiales, Frederic Caudrón, Raymond Ceulemans y Dick Jaspers con sus acompañantes.

Juanjo Trilles Dr. Ingeniero Industrial (Enero 2014)

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ÍNDICE Capítulo 1 – Conceptos Básicos Introducción El Tiro y sus Fases La Concepción La Ejecución

Capítulo 2 – Fundamentos Científicos Magnitudes Troncales Desviaciones La Posición de Referencia Sobre la DIX Sobre la DIC Sobre la DIT Sobre la TOL Factores que Intervienen en la TOL Ley de Distribución de las TOL La DIT frente a las TOL Nivel de Juego de un Jugador Sobre la P/T o Promedio por Tiro Relación entre P/T y P/E

Capítulo 3 – El Método JJ-Carom Recordatorio Separación entre Concepción y Ejecución Nociones sobre la Fase de Concepción Nociones sobre la Fase de Ejecución Relación entre la DIX y la DIC: El Secreto Desvelado

Capítulo 4 – Práctica de la Fase de Concepción La Intuición o ‘Feeling’ frente a los Sistemas Pasos a Seguir para una Correcta Concepción

Capítulo 5 – Práctica de la Fase de Ejecución Consideraciones Previas La Prueba Atención Visual durante el Impacto Pasos a Seguir para una Correcta Ejecución Aspectos a Tener en Cuenta

Capítulo 6 – Consideraciones Finales Todo Está en la Mente A Modo de Resumen Cálculo del Propio DIX Garantías de Efectividad

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Capítulo 1 – Conceptos Básicos Introducción Este tratado describe los análisis, conclusiones y recomendaciones en relación con el juego de billar de carambolas a 3 bandas. En él aparecen conceptos, imágenes, fórmulas y tablas cuyo propósito es ayudar a comprender rápidamente y sin gran esfuerzo la estructura del fenómeno tratado, es decir, el juego a 3 bandas, para así determinar el método de aprendizaje que permita alcanzar altos niveles de juego, con promedios superiores a 1, los cuales sólo han sido tradicionalmente asequibles a un reducido grupo de jugadores afortunados. Como prolegómeno, es interesante observar algo que parece bastante insólito y que sin embargo es una tónica común en la mayoría de los jugadores no especialmente dotados para este deporte y que puede expresarse así: Cuando un billarista comienza a aprender el juego de 3 bandas, suele progresar razonablemente bien durante un tiempo, quizás dos o tres años, hasta alcanzar un Promedio por Entrada (P/E) que varía entre 0,4 y 0,8. Sin embargo, a partir de aquí, la progresión se detiene completamente. Es muy frecuente ver jugadores bastante buenos, (no campeones), con promedios P/E de 0,7 y 0,8 que dicen llevar… nada menos que 30 años jugando sin conseguir mejorar estos promedios, cuando los grandes jugadores llegan a P/E de 2 o más. ¿Por qué hay esta diferencia? ¿Dónde está el obstáculo insalvable que hace que la progresión sea cero a partir de un nivel de juego todavía bastante bajo? ¿Es posible eliminarlo? Y, si es así, ¿Cómo? El presente análisis trata de dar las respuestas a estas preguntas. En este Capítulo 1 se explican los conceptos básicos que sirven de introducción al lector. En el Capítulo 2 se presenta el análisis probabilístico que rige las desviaciones de los tiros del jugador y su relación con las posiciones de las bolas. Sirve para obtener conclusiones que develan las causas de la detención del progreso en los jugadores y por tanto el camino para desbloquear esta situación. Sin embargo, por tratarse de una materia con un contenido algo técnico, el lector no interesado puede omitir la lectura del Capítulo 2 e ir directamente a las explicaciones del método JJ-Carom que encontrará a partir del Capítulo 3. El CAPÍTULO 3, y los que le siguen, expone algunas consideraciones importantes para entender las bases del método expuesto así como los pasos a seguir para practicarlo.

El Tiro y sus Fases Llamamos Tiro a la acción que lleva a cabo un jugador al impactar con el taco la bola 1 con la intención de realizar la carambola a 3 bandas. El Tiro se compone de dos fases bien diferenciadas: 1- Concepción (de la carambola) 2- Ejecución (del ataque) Nota. Es de suma importancia tener presente la sucesiva concurrencia de estas dos fases del tiro como dos mundos diferenciados que deben comprenderse y trabajarse aparte, es decir, con procedimientos ad-hoc para cada una de dichas fases. Sólo con esta clara visión

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se puede establecer un método efectivo para alcanzar en poco tiempo un alto nivel de juego, y éste es precisamente el propósito de este tratado.

La Concepción La Concepción de la carambola es la primera fase del tiro. En ella, el jugador estudia y analiza la posición de las bolas e imagina la trayectoria que debe seguir la bola 1 para alcanzar las otras dos de acuerdo con las reglas del juego. La Concepción trata de determinar los valores de los cuatro Parámetros del Tiro. Éstos son: Dirección. Este parámetro representa la alineación exacta del taco para que la bola 1 inicie la trayectoria correctamente, tanto si su primer choque, una vez en marcha, es la bola 2 como si es una banda. Efecto. Este parámetro determina la posición del punto exacto de la bola 1 en donde ha de impactar la punta del taco y en principio puede estar en cualquier parte visible de la bola a excepción de las zonas demasiado cercanas a la periferia pues en ellos se corre el riesgo de que el taco resbale sin control. Potencia. Este parámetro es el que determina la energía que el taco transmite a la bola en el instante del ataque, que es de aproximadamente unas centésimas de segundo. Esta energía, llamada ‘cinética’ es proporcional a la masa que se pone en movimiento (la suma de los pesos del antebrazo, la mano y el taco) y también proporcional al cuadrado de la velocidad de dicha masa en el momento exacto del ataque. Naturaleza. Define otras características del tiro como la inclinación vertical del taco y el tipo de toque: seco o alargado. En la siguiente figura se representan los Parámetros del Tiro. Parámetros del Tiro

Figura 1 Para cualquier posición dada de las bolas existe al menos un conjunto de valores de estos parámetros que definen un tiro que con toda seguridad garantiza la realización de la carambola. Llamamos a esta combinación el Tiro Perfecto. Una buena Concepción es aquella que determina con gran precisión los valores teóricos de los cuatro parámetros del tiro para cada posición de las bolas, y naturalmente, existen distintos grados de exactitud entre los muchos jugadores, lo que da a lugar a Concepciones distintas según el nivel de juego del jugador. Es evidente que cuanto mayor es el nivel de juego de un jugador, sus Concepciones serán más precisas y por tanto contribuirán a que la probabilidad de realizar carambolas sea mayor.

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Existen muchas maneras utilizadas por los jugadores para adquirir una buen Concepción pero la única que garantiza poder llegar a un alto grado de precisión es la adquisición de una sólida ‘Intuición’, también llamada ‘Inspiración’ o ‘Feeling’ que es una facultad que desarrolla la mente automáticamente mediante la práctica concentrada y atenta, pudiendo acortar el período de aprendizaje si se sigue el método explicado en este tratado en donde se propone un método para una aprendizaje rápido del tiro. Nota. En este tratado no se da ninguna importancia a los llamados ‘sistemas de juego’, que son procedimientos para calcular la dirección del tiro utilizando los ‘diamantes’ incrustados en el marco de la mesa. Existen abundantes publicaciones ofreciendo fórmulas para calcular los valores de los parámetros de Dirección y Efecto para muchas posiciones. Sin embargo, es mi convicción que quien sigue los ‘sistemas’ tiene cerrada la puerta a convertirse en un jugador de alto nivel. Los verdaderos campeones siguen la ‘Intuición’ del tiro o ‘feeling’ que han desarrollado y salvo en muy contadas excepciones no siguen ningún sistema. Los ‘sistemas’ presentan dos inconvenientes muy importantes: 1) Son muy inexactos incluso con altas dosis de práctica; 2) Impiden la adquisición de una buena Intuición del tiro.

La Ejecución La Ejecución del ataque es la segunda fase del tiro. En ella, el jugador trata de aplicar con la máxima precisión posible los valores asignados mentalmente a los cuatro parámetros del tiro durante la fase de Concepción. La Ejecución queda configurada mediante los 3 factores siguientes: Precisión. Consiste en aplicar lo más exactamente posible, en el momento del ataque a la bola, los valores de los cuatro parámetros del tiro (Dirección, Efecto, Potencia y Naturaleza) calculados en la fase de Concepción Uniformidad. Consiste en mantener la misma precisión en todas las ejecuciones para todas las posiciones de las bolas. Este factor es de vital importancia para llegar a un alto nivel de juego y su carencia es la causa de la llamativa detención en la progresión del nivel de juego de los jugadores. Toque. Es el ‘estilo’ con que el taco impacta la bola. El mejor toque es el que con suavidad, flexibilidad y velocidad controlada del taco transmite íntegramente la energía a la bola con la mínima fricción y por tanto mínima disipación de energía en forma de calor por el impacto. Naturalmente, un toque perfecto exige el uso de un resorte (movimiento de antebrazo, mano y taco) muy elaborado por parte del jugador, y se distingue porque exhibe visible elegancia y armonía.

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Capítulo 2 – Fundamentos Científicos Nota. Este capítulo aborda el análisis de las probabilidades que regulan, tanto las desviaciones inherentes a los tiros del jugador como las tolerancias de las posiciones de las bolas y por tanto son fundamentales para conocer los ‘secretos’ que regulan el comportamiento, tanto de las bolas como de los jugadores. Sin embargo, aunque he procurado que las explicaciones expuestas sean asequibles a todo el mundo, pueden resultar algo ingratas para para quien no tenga base ni interés en conocer los fundamentos matemáticos utilizados. Por tanto, amigo lector, si lo desea, puede saltarse este capítulo e ir directamente al Capítulo 3 en donde encontrará los pasos que componen un método de aprendizaje, llamado Método JJ-Carom por si le interesa seguirlos.

Magnitudes Troncales En este estudio ha sido necesario definir unas pocas magnitudes que constituyen el tronco del análisis y cuyo significado es de fácil comprensión. Son las siguientes:

Estas magnitudes y sus significados irán apareciendo en el texto de este escrito en los momentos apropiados.

Desviaciones Hemos llamado Tiro Perfecto a aquel cuya Concepción y Ejecución son tan exactas que garantizan sin lugar a dudas la realización de la carambola, pero en la práctica, un jugador rara vez realiza un Tiro Perfecto. Casi siempre hay una cantidad de error, sea en la fase de Concepción, en la de Ejecución o en ambas. Por tanto cabe decir que cada tiro de un determinado jugador tiene una desviación respecto al Tiro Perfecto. Esta desviación recibe el nombre de Desviación de Tiro o simplemente DT. Esta DT se compone a su vez de dos desviaciones elementales: Una, llamada DC, que corresponde a la desviación por errores en la Concepción y otra, llamada DX, que corresponde a la desviación por errores en la Ejecución. Por tanto, DT=DC+DX

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La desviación DC que emana de los errores en la Concepción no se puede medir directamente de manera objetiva en la realidad, pues no se dispone de infinitos patrones de Tiro Perfecto, uno para cada posible posición de las bolas, sobre los que medir las DC para cada caso. Tampoco puede recurrirse a mediciones indirectas midiendo las DT de tiros efectuados en determinadas posiciones, pues para aislar la DC sería necesario realizar experimentos en los que no interviniese la DX, es decir, tiros en los que la ejecución se realizase de manera perfecta con toda garantía, para lo cual se requeriría que el tiro lo realizase, no un jugador, que siempre introduciría algo de error, sino una máquina ad-hoc que hoy por hoy no existe. Sin embargo, la desviación DX (Desviación de Ejecución), aunque al igual que la DC no es medible directamente en el momento de la ejecución, sí es medible de manera indirecta mediante la realización de experimentos en los que se aísla la DX al garantizar la inexistencia de error en la concepción y por tanto la no intervención de la DC. Todo ello se aborda a continuación.

La Posición de Referencia Para determinar de manera indirecta los valores de la DX de una serie de tiros, realizamos un experimento a partir de una posición que llamamos Posición de Referencia. La Posición de Referencia consiste en una sola bola situada en el punto de salida de las partidas. Desde esa posición, un jugador de destreza media apunta con su taco a la bola en su punto central exactamente, es decir, Efecto=0 y en la Dirección determinada por el punto central de la banda corta opuesta, como se muestra en la siguiente figura. Posición de Referencia

Figura 2 El jugador realiza un número elevado de tiros (al menos 200), tratando de repetir con la máxima exactitud las ejecuciones. Se anota la posición del punto de llegada de la bola a la banda corta de vuelta para cada tiro. La medida del punto de llegada es la distancia de dicho punto al rincón de la mesa. Obsérvese que en todos estos tiros, la Concepción está perfectamente definida por los valores siguientes de sus parámetros: Dirección: La línea que une el centro de la bola y el punto central de la banda corta opuesta. Efecto: Cero. El taco apunta al centro de la bola. Potencia: Media. Si no se exagera ni por arriba ni por abajo, este factor no influye. Naturaleza: Este factor no tiene influencia en las desviaciones a medir.

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Por tanto, la desviación que resulte de cada tiro nunca se verá influida por errores de Concepción (DC) sino solamente por errores de Ejecución (DX). Es decir: DC=0, y por tanto, DX=DT En otras palabras, si sobre la Posición de Referencia medimos las diversas DT (Desviaciones de Tiro), los valores resultantes serán los de las DX (Desviaciones de Ejecución) Este experimento ha sido llevado a cabo de manera real por el autor en una mesa Gabriels con paño nuevo, bolas nuevas y con la colaboración de un jugador de buen nivel (promedio P/E entre 0,9 y 1,1). Los resultados del experimento, correspondientes a 200 tiros, son los mostrados en la Tabla 1, agrupados por intervalos. Tabla 1 Distancias al Rincón de los Tiros del Experimento Distancia al rincón (cm)

18-27

28-37

38-47

48-57

58-67

68-77

Nº Tiros

3

29

69

67

30

2

Lo primero que se observa en la tabla es que el valor central de las distintas medidas es = 47 cm y por tanto el Tiro que lleva la bola a ese punto se considera el Tiro Perfecto para esa Posición de Referencia. También se observa que hay más dispersión en las diversas medidas de la que intuitivamente cabría esperar de un tiro tan sencillo y fácilmente reproducible. Así, aunque el mayor número de medidas se encuentra en las cercanías del valor central de 47 cm, ha habido tiros cuyo punto de llegada ha estado a sólo 20 cm del rincón y otros que se han separado nada menos que 71 cm del rincón, es decir, que entre la llegada más a la derecha y la más a la izquierda ha habido una diferencia de ¡más de medio metro! Este procedimiento demuestra ser un método indirecto muy efectivo para conocer las diferentes desviaciones de Ejecución (DX) pues, en lugar de recurrir a medir los valores en el origen del tiro relativos a las variaciones de la Ejecución en Dirección, Efecto, Potencia y Naturaleza respecto a los valores del Tiro Perfecto, lo cual habría sido imposible, hemos conocido el resultado de la desviación combinada de esos parámetros midiendo puntos de llegada en la Posición de Referencia. Ello nos permite conocer las desviaciones relativas entre sí de los tiros con toda exactitud, que es precisamente lo que pretendíamos. Para conocer las medidas reales de las distintas DX hacemos una sencilla transformación consistente en tomar como origen el Tiro Perfecto (los 47 cm) y anotar las desviaciones sobre dicho origen. Además, en lugar de anotar el número de tiros en cada intervalo de distancias, calculamos los respectivos porcentajes y así construimos la Tabla 2.

Tabla 2 Distribución de las ‘DX’ de un Jugador en la Posición de Referencia DX (cm)

-30 a -20

-20 a -10

-10 a 0

0 a 10

10 a 20

20 a 30

%

1,5

14,5

34,5

33,5

15

1

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Sobre la DIX Ley Normal de Distribución El conjunto de valores que aparecen en la tabla anterior sigue fielmente un patrón de distribución estadística de probabilidades que se conoce como Ley Normal de Distribución o ley de Laplace-Gauss, que se representa mediante una curva muy conocida por su forma de campana y que se muestra en la siguiente figura. Curva de Distribución de DX

Figura 3 Para los no iniciados en análisis estadísticos es prudente aclarar que en la curva que representa la distribución normal la distancia desde el valor central hasta el punto de inflexión (cambio de curvatura) de la curva se denomina ‘Desviación Típica’ y se representa por la letra griega sigma (). La desviación típica es una medida de la dispersión de los valores representados. Cuanto mayor es  más aplanada es la curva y más dispersos están los valores. La probabilidad de que un valor al azar de la población estudiada se encuentre entre dos límites dados (A y B) lo da la ‘densidad de probabilidad’ que es el área comprendida entre la curva y las líneas verticales que determinan dichos límites como se muestra en la siguiente figura.

Figura 4 El área delimitada entre los valores A y B es la medida de la densidad de probabilidad, y se calcula mediante la fórmula:

En donde la función P(x) tiene una formulación algo compleja que no es necesario exponer aquí. Los valores de la densidad de probabilidad de la zona de la curva comprendida entre + y - es igual para todas las distribuciones que siguen la Ley Normal y es un área que representa el

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68,26% de los valores medidos. Esto quiere decir que en toda distribución estadística que siga la Ley Normal, el 68,26% de los valores del conjunto están comprendidos en el área delimitada por la curva y las líneas verticales distanciadas + y - del valor central. Si se considera el área comprendida entre +2 y -2 entonces la densidad de probabilidad llega al 95,44%. Volviendo a los valores de las DX del jugador del experimento tal como aparecen en la Tabla 2 podemos ver que justamente en el intervalo comprendido entre DX = -10 y DES =+10 se encuentra el 68% de los tiros de forma prácticamente simétrica (34,5% + 33,5%). Esto significa que el valor de la desviación típica de la curva de distribución puede considerarse  =10, lo cual coincide con lo mostrado en la Figura 3. Esta curva con =10 representa la Dispersión de Desviaciones en Ejecución, o simplemente, Dispersión de Ejecución a la que llamaremos DIX, correspondiente a esta serie de tiros del jugador. Y damos como valor de DIX el de la desviación típica de su curva de distribución. Por tanto: Dispersión de DX = DIX =  Y puesto que la Ejecución depende exclusivamente del mecanismo que utiliza el jugador para efectuar el ataque, podemos aceptar con verosimilitud que dicho ataque y por tanto la dispersión que se observa en sus DX, es característico del jugador y consecuentemente es aplicable al conjunto de todos los tiros del mismo, con independencia de las posiciones iniciales de las bolas. En otras palabras, La dispersión DIX mide la desviación global en las Ejecuciones (DX) de un jugador para el conjunto de todos sus tiros. En el ejemplo anterior, en el que la desviación típica es=10 podemos decir que para ese jugador, su DIX es=10. Nótese que aquí no se incluyen aún las DC o Desviaciones de Concepción.

Sobre la DIC De igual manera que hemos analizado el origen, medición y distribución de las DX en la Posición de Referencia, viendo que dichas medidas siguen la Ley Normal de Distribución a la que hemos llamado DIX, podemos deducir con lógica que, el comportamiento de las DC también seguirá una Ley Normal. A esta ley de distribución de las DC la llamaremos DIC, es decir, La Dispersión DIC mide la desviación global en las Concepciones (DC) de un jugador para el conjunto de todos sus tiros. Ya hemos dicho que la adición de la DX y la DC en cada tiro da lugar a la DT = DC + DX. Si ahora, en lugar de analizar cada tiro de un jugador, nos referimos al conjunto de tiros para todas las posiciones de las bolas, podemos decir que: DIT = DIC + DIX La Dispersión DIT representa la desviación global, incluyendo las desviaciones de Concepción y las de Ejecución de un jugador, para el conjunto de todos sus tiros Considerando pues las distintas DIT del conjunto de tiros de un jugador dado, podríamos representar sus mediciones mediante la misma curva utilizada en el estudio de las DX. La diferencia es que debemos aumentar el valor de la desviación típica () de la curva de Dispersión de Ejecución para incluir la participación de la Dispersión de Concepción (DIC) y así obtener la curva de la Dispersión Global de Tiro o DIT.

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Basándonos en la intuición experimental, ya que no podemos hacerlo sobre mediciones objetivas, supondremos que para el jugador del experimento de la Tabla 2, es decir, de nivel alto pero no campeón, las variaciones de los valores de DC a lo largo de las múltiples posibles posiciones de las bolas añade un incremento de 10 cm a la desviación típica de la curva de distribución de las DX mostrada en la Figura 3 y por tanto: DIT = 10 +10 = 20 Nota: No siempre la desviación que introduce la DC es de magnitud similar a la que introduce la DX. Puede que un jugador con mucha experiencia tenga una DIX pequeña (una buena Ejecución de las carambolas) y sin embargo un deficiente DIC, es decir una pobre Concepción. . Según lo dicho, la curva DIT para el jugador del ejemplo es la representada en la siguiente Figura en la que la desviación típica es =20.

Curva de Dispersión DIT

Figura 5

Sobre la DIT No hay que confundir la DIT o Dispersión Global con la DT o Desviación de Tiro. La DT es la medida de la desviación del tiro para un tiro particular ante una determinada posición inicial de las bolas, mientras que la DIT es la función de distribución que representa el conjunto de las diferentes DT de un determinado jugador considerando el conjunto de todas las posiciones posibles, por tanto es un referente de la calidad o nivel general de juego de un jugador. El valor cuantitativo de la DIT es igual al de la desviación tipo () de la correspondiente curva de distribución, por tanto, si se dice que un jugador tiene una DIT=25 significa que la curva de distribución de todas las posibles DT para todos sus posibles tiros tiene una desviación típica =25 cm. La DIT es la verdadera medida de la calidad o nivel de un jugador pues determina de manera definitiva la dispersión de sus desviaciones para el conjunto de los tiros que pueda realizar. Un jugador de poco nivel tendrá un juego poco consistente y por tanto la curva de su DIT será aplastada, con una desviación típica (elevada, y lo contrario ocurrirá con un jugador de alto nivel. Cabe objetar que la medida de la DIT incorpora un factor intuitivo experimental por la presencia de las DC, que, a diferencia de las DX, no se han podido medir objetivamente y por tanto su valor es poco riguroso. Ello es cierto pero sólo hasta cierto punto puesto que los valores asignados al componente DC, al igual como sucede con los valores de la TOL que se aborda a continuación, están basados en la observación estadística fruto de la experiencia y las conclusiones matemáticas a las que se

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llega sobre estos valores experimentales concuerdan de manera bastante exacta con la realidad por lo que podemos dar por válidas las conclusiones a las que lleven los estudios analíticos que se presentan en este tratado.

Sobre la TOL El propósito último de este tratado, naturalmente, es ayudar al lector a desarrollar un procedimiento que le permita realizar el máximo número de carambolas, para lo cual es necesario conocer todo lo posible acerca de qué significa ‘realizar una carambola’. Hasta ahora nos hemos concentrado en encontrar las formulaciones matemáticas, o mejor, estadísticas, que nos dan una idea de las DT y la DIT de un jugador pero no hemos dicho nada sobre los comportamientos de las bolas en las distintas posiciones, lo cual es de extrema importancia a la hora de comprender el por qué unas carambolas se hacen y otras no. Para ello necesitamos definir una nueva variable: la Tolerancia de Posición o TOL. La TOL o Tolerancia de Posición es la máxima DT que una posición de las bolas puede aceptar para que la carambola desde esa posición sea realizada. De lo dicho se deduce lo evidente: Que para realizar una carambola se ha de cumplir necesariamente la regla básica siguiente: DT =0

>=5

>=10

>=15

>=20

>=25

>=30

>=35

>=40

>=45

>=50

P(TOL)

100

93,32

84,13

69,15

50,00

30,85

15,87

6,68

2,28

0,62

0,00

La interpretación de esta tabla es la siguiente:

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La probabilidad P(TOL) de que una posición de bolas al azar tenga una TOL igual o superior a 0 es, naturalmente, del 100%; La probabilidad de que una posición al azar tenga una TOL igual o superior a 5 es del 93,32; La probabilidad de que una posición al azar tenga una TOL igual o superior a 10 es de 84,13 %;… Y así hasta llegar a la última celda, en la que se puede ver que la probabilidad de que una posición al azar tenga una TOL igual o superior a 50 es tan pequeña que puede considerarse =0.

Las DIT frente a las TOL Con lo dicho hasta ahora estamos en condiciones de conocer cómo se relaciona la DIT, que define la Dispersión de Tiro de un jugador determinado, es decir, las probabilidades de sus distintas DT para el conjunto de todas las posibles posiciones de bolas, con la distribución estadística de las TOL, es decir las distintas probabilidades de que aparezcan unas u otras posiciones de las bolas, cada una con su correspondiente dificultad. Volvemos, como ejemplo, al jugador del experimento mencionado antes, cuya DIT se representa mediante el gráfico de la siguiente figura.

Curva DIT del Jugador

Figura 10 Vemos que el valor de la DIT de este jugador es =20 puesto que su desviación típica es = 20 cm. Es importante señalar que aunque la DT o Desviación de Tiro de una tirada es la diferencia de los valores de los parámetros entre el tiro actual y el Tiro Perfecto, esta diferencia se puede medir en cualquier dirección y por tanto al calcular la densidad de probabilidad de una DT hay que tener en cuenta que dicha DT puede ser en los dos sentidos y por tanto el área a considerar es simétrica respecto al centro de la curva. Por ejemplo, el área a considerar, y por tanto la densidad de probabilidad para una DT=15 es la que encierra la curva entre los valores -15 y +15.

Nivel de Juego de un Jugador Con lo explicado hasta ahora podemos calcular la probabilidad que tiene un jugador, definido por su DIT, de realizar carambolas en conjunto. Para realizar ese cálculo hay que enfrentar la DIT del jugador con las probabilidades de tolerancia de las diversas posiciones que pueden presentarse, es decir, con la ley de distribución de las TOL, la cual acabamos de formular en el aparatado anterior y que ha quedado representada en la Figura 9 y la Tabla 3 mostradas.

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La probabilidad de realizar una carambola con un tiro, sin conocer previamente la TOL de la posición, será el resultado de multiplicar la probabilidad de que ocurra una determinada DT multiplicada por la probabilidad de que la TOL de la posición en la que se realiza el tiro sea igual o superior a la DT mencionada. Para cubrir las posibilidades de ocurrencia de todas las posiciones de las bolas habría que realizar el correspondiente cálculo integral que acumule o integre dichos productos de probabilidades para los infinitos intervalos elementales de dimensión infinitesimal combinando las curvas DIT y TOL. Sin embargo, a efectos prácticos considero una buena aproximación recurrir al cálculo polinómico estableciendo como sumandos las probabilidades combinadas resultantes de intervalos suficientemente pequeños de DT y sus correspondientes regiones TOL. Cada término en ese polinomio tendrá la expresión: P(z1