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UNIVESIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA CARRERA DE INGENIERÍA QUÍMICA

SISTEMAS MECÁNICOS Y ELÉCTRICOS TAREA N°1 APLICACIONES REALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Pertenece a: Salazar Medina Angie Carolina Curso: IQI-S-CO-7-3 Docente: Ing. Leal Chantong Alfredo Alberto

Período Lectivo: 2020 – 2021 Ciclo II

ACTIVIDAD PARA REALIZAR EN CASA Desarrollar: Cálculo de la suspensión del automóvil, crear el modelo matemático,

aplicar

transformada

de

Laplace,

realizar

la

función

de

transferencia, y obtener los gráficos en condiciones estáticas y dinámicas. EJERCICIO Un sistema de suspensión simplificada de un automóvil se puede representar por la figura siguiente: Las ecuaciones diferenciales que modelan al sistema están dadas por: m1

d2 x(t) dy(t) dx(t) = k 2 (y(t) − x(t)) + b ( − ) 2 dt dt dt + k1 (u(t) − x(t))

d2 y(t) dy(t) dx(t) m2 = k (y(t) − x(t)) − b ( − ) 2 dt 2 dt dt

a) Obtén la función de transferencia

Y(s) U(s)

(Tip: transforma ambas ecuaciones, despeja X(s) en ambas e iguálalas, finalmente reacomoda para dejar Y(s)/U(s)) b) Se sabe que b =1300 Ns/cm, k1=2000 KN/cm, k2=50KN/cm, m2=1850 kg y m1 = 20 kg. Si se le aplica un cambio escalón unitario en la entrada de fuerza, obtén la expresión en el tiempo, es decir, la transformada inversa de dicha función. c) Utilizando cualquier paquete de graficado, Excel, Matlab, mathematica, etc. Grafica la respuesta del desplazamiento en el tiempo para t = [0,20].

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO Literal a) Aplicamos la transformada de Laplace en las ecuaciones para obtener la función de transferencia: •

Transformada de una derivada ℒ[f ′′ (t)] = s2 F(s) − sf(0) − f ′ (0) ℒ[f ′ (t)] = sF(s) − (0) ℒ[f(t)] = F(s)

•

Ecuación 1 m2 [s 2 Y(s) − sY(0) − Y ′ (0)] = k 2 [Y(s) − x(s)] − b[sY(s) − Y(0) − sx(s) + x(o)] m2 s2 = k 2 Y(s) + k 2 x(s) − bs Y(s) + bs x(s) m2 s 2 Y(s) + k 2 Y(s) − k 2 x(s) + bs Y(s) = bs x(s) Y(s)(m2 s 2 + k 2 + bs) = X(s)(k 2 + bs)

•

Ecuación 2 m1 [s 2 x(s) − sx(0) − x ′ (0)] − k 2 [Y(s) − x(s)] + b[sY(s) m1 s 2 x(s) = k 2 Y(s) − k 2 x(s) + bs Y(s) − bs x(s) + k1 U(s) − k1 k 2 (s) m1 s 2 x(s) + k 2 x(s) + bs x(s) + k1 x(s) = k 2 Y(s) + b(s)Y(s) + k1 U(s) X(s)(m1 s 2 +k1 + bs + k 2 ) = Y(s)(bs + k 2 )k1 U(s)

•

Se despeja X(s) igualando las ecuaciones 1 y 2 Y(s)(m2 s 2 + k 2 + bs) Y(s)(k 2 + bs) k1 = + × U(s) 2 2 (m1 s +k1 + k 2 + bs) (m1 s +k1 + k 2 + bs) bs + k 2

m2 s 2 + k 2 + bs k 2 + bs Y(s) [ − ] × (bs + k 2 ) 2 bs + k 2 m1 s +k1 + k 2 + bs =[

(m1

s2 +k

k1 × U(s)] × (bs + k 2 ) 1 + k 2 + bs)

m2 s2 + k 2 + bs (k 2 + bs)2 k1 b(s) + k1 k 2 Y(s) [ − ] = × U(s) (m1 s 2 +k1 + k 2 + bs) 1 m1 s 2 +k1 + k 2 + bs (m2 s 2 + k 2 + bs)(m1 s 2 +k1 + k 2 + bs) − (k 2 + bs)2 k1 b(s) + k1 k 2 Y(s) [ ] = × U(s) (m1 s 2 +k1 + k 2 + bs) m1 s 2 +k1 + k 2 + bs 𝐘(𝐬) 𝐤 𝟏 𝐛(𝐬) + 𝐤 𝟏 𝐤 𝟐 = 𝐔(𝐬) (𝐦𝟐 𝐬𝟐 + 𝐤 𝟐 + 𝐛𝐬)(𝐦𝟏 𝐬𝟐 +𝐤 𝟏 + 𝐤 𝟐 + 𝐛𝐬) − (𝐤 𝟐 + 𝐛𝐬)𝟐

Literal b) •

Tomando en cuenta los siguientes datos: b=1300 Ns/cm k1=2000 KN/cm k2=50KN/cm m2=1850 kg m1 = 20 kg

Si se le aplica un cambio escalón unitario en la entrada de fuerza, obtén la expresión en el tiempo, es decir, la transformada inversa de dicha función. •

Graficando en el programa MATLAB obtenemos:

Script n= [2.6E13 1E15]; d= [37000 243.1E6 3.7935E11 2.6E13 1E15]; G=tf (n, d) pole(G) step(G) [y, t]=step(G);

Literal c) •

A partir de la función de transferencia obtenemos: Y(s) k1 b(s) + k1 k 2 = 2 U(s) (m2 s + k 2 + bs)(m1 s 2 +k1 + k 2 + bs) − (k 2 + bs)2 Y(s) 2.6𝑒13 𝑠 + 1𝑒15 = U(s) 37000𝑠4 + 243.1𝑒6 𝑠3 + 3.7935𝑒11 𝑠2 + 2.6𝑒13 𝑠 + 1𝑒15

• Graficando la respuesta del desplazamiento en el tiempo obtenemos: La respuesta del desplazamiento en el tiempo para t = [0,20].