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Pontificia Universidad Cat´olica de Chile Facultad de F´ısica Mec´anica Cl´asica I - FIZ0121

Ejercicios Opcionales Profesor: Sascha Wallentowitz Ayudante: Alan Valenzuela ([email protected]) Problema 1. Dos bolitas se mueven en direcci´on opuesta siguiendo la trayectoria de una circunferencia, con velocidad angular ω, como muestra la figura. En t = 0 ambas se encuentran en ~r = R~ey , en donde R es el radio de la circunferencia. Encuentre la velocidad relativa entre ambas bolitas y la distancia entre ellas como funci´ on del tiempo.

Soluci´ on. La dependencia angular para la part´ıcula que gira en el sentido del reloj est´a dada por θ1 = −ωt + π/2, ya que el ´ angulo disminuye y parte en ´angulo π/2 en coordenadas polares. Luego la posici´ on est´ a dada por: r~1 = R(cos θ1 , sin θ1 ) = R(cos(−ωt + π/2), sin(−ωt + π/2)) = R(sin ωt, cos ωt) An´ alogamente para la otra part´ıcula, θ2 = ωt + π/2 y luego r~2 = R(cos θ2 , sin θ2 ) = R(cos(ωt + π/2), sin(ωt + π/2)) = R(− sin ωt, cos ωt) As´ı, sacamos las velocidades d r~1 = Rω(cos ωt, − sin ωt) dt d v~2 = r~2 = Rω(− cos ωt, − sin ωt) dt Luego, tenemos que la velocidad que la velocidad relativa est´a dada por v~1 =

~v = v~2 − v~1 = −2Rω(cos ωt, 0) lo cu´ al corresponde a la velocidad con que la part´ıcula 2 ve a la part´ıcula 1. Finalmente, la distancia entre las part´ıculas est´ a dada por |r~1 − r~2 | = 2R| sin ωt|

Problema 2. (Espiral Logar´ıtmica) Una part´ıcula se mueve en un espiral de la forma r = r0 exp(kθ), r0 y k constantes, de tal forma que su rapidez es tambi´en constante, igual a v0 . a) Obtenga la velocidad ~v en t´erminos de r y θ. b) Obtenga la aceleraci´ on ~a en t´erminos de r y θ. c) Demuestre que en todo instante la velocidad es perpendicular a la aceleraci´on. ˙ como funci´on del tiempo. d) Encuentre θ(t) y θ(t)

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Soluci´ on. Sabemos que la posici´ on est´ a dada por ~r = re~r Ahora, para obtener la velocidad derivamos esta relaci´on, haciendo derivada de un producto y recordando d e~r = e~θ θ˙ por regla de la cadena que dt ~v = r˙ e~r + rθ˙e~θ Derivando una vez mas esta relaci´ on obtenemos la f´ormula de aceleraci´on en coordenadas polares ¨ ~a = e~r (¨ r − rθ˙2 ) + e~θ (2r˙ θ˙ + rθ) Teniendo ya la f´ ormula general, calculamos r˙ r˙ = kr0 exp(kθ)θ˙ Ahora, la rapidez est´ a dada por v0 = |~v | =

q

˙ 2 = r0 exp(kθ)θ˙ r˙ 2 + (rθ)

p

k2 + 1

donde v0 es constante. Notamos ahora que como el m´odulo de la velocidad es constante d d 2 |~v | = ~v · ~v = 2~a~v = 0 dt dt As´ı la aceleraci´ on es ortogonal a la velocidad. Luego, podemos integrar la ecuaci´ on de la velocidad: Z t Z t p ˙ 0 exp(kθ) k 2 + 1dt = θr v0 dt t0

Z Ahora, usamos que

˙ (θ)dt = θf

t0

Z f (θ)dθ, y obtenemos Z

θ

p r0 exp(kθ) k 2 + 1dθ = (t − t0 )v0

0

√

k2 + 1 = (t − t0 )v0 k ecuaci´ on de la cu´ al podemos despejar el ´angulo y obtener:   (t − t0 )v0 k √ θ(t) = ln +1 r0 k 2 + 1 r0 (exp(kθ) − 1)

Problema 3. (Cicloide) Un neum´ atico rueda en l´ınea recta sin resbalar. Su centro se mueve con velocidad constante V . Una peque˜ na piedra inicialmente en el suelo, sobre la recta en la cual se mueve la llanta, se incrusta en ´esta en t = 0. Encuentre la posici´on, velocidad y aceleraci´on de la piedra como funci´ on del tiempo.

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Soluci´ on. Podemos ver este movimiendo como la suma vectorial de dos movimientos: rotaci´on y desplazamiento. Esto se trata que podemos descomponer el movimiento como s´olo el giro de la rueda y s´ olo el desplazamiento horizontal, y luego sumamos vectorialmente y obtenemos el movimiendo entero. Entonces, obtenemos ambos movimientos. Primero, observamos que el neum´atico se desplaza como: r~c = (V t, 0) y ahora, la part´ıcula si gira tendr´ıa una trayectoria: r~g = (R/2 cos(−ωt − π/2), R/2 sin(−ωt − π/2) + R/2) = −R/2 (sin(ωt), cos(ωt) − 1) As´ı el vector posici´ on de la part´ıcula es  ~r = r~c + r~g =

R R V t − sin(ωt), (1 − cos(ωt)) 2 2



Ahora, si el neum´ atico rueda sin resbalar, se tiene que el arco descrito por un ´angulo recorrido corresponde a la distancia recorrida en el suelo: Rθ = d Luego, derivando esta ecuaci´ on se obtiene Rω = V as´ı la velocidad angular es ω = V /R. As´ı la posici´on est´a dada por      V R V R t , (1 − cos t ) ~r = V t − sin 2 R 2 R Luego la velocidad est´ a dada por la derivada:      d V V V V ~v = ~r = V − cos t , sin t dt 2 R 2 R y la aceleraci´ on por la derivada de la velocidad:      V V d V2 ~a = ~v = sin t , cos t dt 2R R R Problema 4. Cuando estudiamos el movimiento de particulas, frecuentemente es u ´til separar la aceleraci´ on en dos componentes, una en direcci´on tangencial, y otra en direcci´on normal. Obtenga una expresi´ on para cada componente, y demuestre que para cada punto de la trayectoria, ~a = v˙ ~t + κv 2~n siendo κ la curvatura de la trayectoria, y v = |~r˙ (t)|. Alternativamente, demuestre que podemos escribir tambi´en ~a = aT ~t + aN ~n, siendo aT =

~r˙ (t) · ~r¨(r) |~r˙ (t)|

aN =

|~r˙ (t) × ~r¨(r)| |~r˙ (t)|

Calcule expl´ıcitamente las componentes tangencial y normal de un cuerpo movi´endose sobre la curva ~r(t) = (t2 , t2 , t3 ) ¿Est´ a esta curva contenida en un plano? Soluci´ on. Sabemos que la velocidad de una part´ıcula est´a dada por ~v = r˙ e~r + rθ˙e~θ = v~t

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Derivamos esta relaci´ on y obtenemos dˆ t dt Ahora, se tiene que podemos relacionar la derivada del vector tangencial con el largo de curva s como: ~a = v˙ ~t + v

d ~ d~t ds t= dt ds dt por regla de la cadena. Ahora, se tiene que el primer t´ermino corresponde a la curvatura por el vector normal y el segundo corresponde a la rapidez (derivada del largo recorrido respecto al tiempo). As´ı d~ t = kv~n dt as´ı obtenemos el resultado pedido. Notamos ahora que la aceleraci´ on tangencial tiene componente en ~t de modo que aT = ~t · ~a =

~r˙ (t) ¨ · ~r(t) |~r˙ (t)|

y que la aceleraci´ on normal es ortogonal a lo tangencial aN = |~a × ~t| =

|~r˙ (t) × ~r¨(t)| |~r˙ (t)|

√ 8 + 18t2 6 2t(2t − 1) Haciendo el c´ alculo de las componentes se tiene que valen aT = √ y aN = √ . Por 8 + 9t2 8 + 9t2 u ´ltimo, al hacer el producto cruz entre ~r˙ (t) y ~r¨(t) se obtiene que es un ponderado del vector (1, −1, 0), por lo cu´ al al tener direcci´ on constante, est´a en un plano.

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