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• Miguel Aguilar Ingali

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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

RED NACIONAL UNIVERSITARIA

SYLLABUS

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA INGENIERIA

ECUACIONES DIFERENCIALES

TERCER SEMESTRE

Gestión Académica I / 2011

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UDABOL UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01

VISION DE LA UNIVERSIDAD

Ser la Universidad líder en calidad educativa.

MISION DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad.

MENSAJE AL ESTUDIANTE

Estimado(a) estudiante: El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte una educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas mucho más productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.

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I. Asignatura:

ECUACIONES DIFERENCIALES

Código:

MAT – 202A

Requisito:

MAT – 112ª

Carga Horaria: Horas teóricas Horas teóricas Créditos:

100 horas 80 horas 20 horas 4

II. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA. El estudiante será capaz de evaluar el rol de las ecuaciones diferenciales como métodos de análisis propias del diseño, valorar las ecuaciones diferenciales como lenguaje en el que se expresan fórmulas y procedimientos de solución propias. Ejercitar el pensamiento crítico alternativo y reflexivo como rasgo cuantitativo del perfil profesional. Formación Científica: Se pretende que el alumno obtenga una información coherente y además aplique los métodos fundamentales del Análisis Numérico y su uso en la resolución de problemas matemáticos. Al final del curso el estudiante: Sabrá reconocer y sobre todo como se resuelven los diversos problemas con el uso del aparato de ecuaciones diferenciales. Podrá hacer un estudio cualitativo de la solución. Tendrá concepción de los espacios funcionales y la importancia de esto en su carrera. Comprenderá la necesidad de realizar el análisis de estabilidad de las soluciones. Formación Personal: Se trata de que el alumno aprenda a escribir y a expresarse científicamente con mayor fluidez y precisión donde se aplica las ecuaciones diferenciales. Consideramos que la asignatura contribuye a la formación intelectual, ya que, entre otras cosas cabe destacar: adiestra en la organización lógica del pensamiento; desarrolla la actividad mental y favorece así la imaginación, la intuición y la actividad creadora; forma el espíritu científico dando objetividad.

III. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA.

UNIDAD I

TEMA I:

1.1 1.2 1.3

INTRODUCCIÓN A ECUACIONES DIFERENCIALES.

Introducción Origen de las ecuaciones diferenciales Soluciones de ecuaciones diferenciales

TEMA 2: 2.1.1

ESPACIOS FUNCIONALES, ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO.

Ecuaciones de primer orden

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2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.1

Ecuaciones de variables separables Ecuaciones homogéneas Ecuaciones No homogéneas de M, N lineales Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones diferenciales que se pueden convertir en exactas Ecuación lineal de Primer Orden y primer grado. Ecuación de Bernoulli

TEMA 3: APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO 3.1 3.2 3.3

Grafica de las curvas solución de una ecuación diferencial Método de las isóclinas Aplicaciones en Física, Química y estadística.

UNIDAD II: TEMA 4: 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4

INTRODUCCIÓN A ECUACIONES LINEALES DE ORDEN n

Forma general Soluciones de ecuaciones Independencia lineal de soluciones Wronskiano

TEMA 5: 5.1.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

ECUACIONES DIFRENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

ECUACIONES DE ORDEN n A COEFICIENTES CONSTANTES

Ecuaciones lineales de orden n Ecuaciones homogéneas Ecuaciones no homogéneas Método Continuo Método de fracciones parciales Métodos abreviados

UNIDAD III:

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR

TEMA 6:

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR.

6.1 6.2 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7.

Ecuaciones de orden 1 y grado superior Resolución respecto de p Resolución respecto de y Resolución respecto de x Resolución por Claireaut Resolución por Lagrange Soluciones singulares

UNIDAD IV:

SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES, TEORÍA DE LA ESTABILIDAD Y TRANSFORMADAS DE LA PLACE Y FOURIER

TEMA 7:

SISTEMA DE ECUACIONES

7.1. 7.2. 7.3

Definición sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Teoremas fundamentales Resolución mediante determinadas.

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TEMA 8: 8.1.1. 8.2. 8.2.1. 8.2.2.

TEORÍA DE LA ESTABILIDAD E INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE FOURIER

Ecuaciones diferenciales parciales, lineales de primer orden. Introducción a las Series de Fourier. Transformada de Fourier y de Laplace. Resolución de ecuaciones con transformada de Laplace.

IV. Trabajo de Brigadas (Aula abierta)

a) INTRODUCCION. “Brigada UDABOL” es una forma de organización pedagógica que asume la UDABOL para el desarrollo del aprendizaje productivo mediante la realización de trabajo social por parte de sus estudiantes y docentes. En tal circunstancia y de acuerdo a un diagnostico realizado en nuestro medio se ha llegado a determinar que los estudiantes en general requieren un apoyo logístico y técnico en cuanto al enfoque de los problemas en la materia de matemáticas, en primera instancia se demostraría la materia de algebra y luego enfocar las otras materias, en especial si se atiende la demostración de los problemas de una determinada bibliografía, la demostración de los problemas es con el fin de proporcionarles a otros estudiantes una mejor y mayor información deductiva de los problemas, es decir este trabajo seria de carácter social realizando un apoyo a la comunidad estudiantil de nivel secundario en primera instancia y luego a otro nivel, este trabajo se lo efectuaría o bien en las aulas de Universidad o en sus locales donde pasan clases normalmente. Los estudiantes participarían en forma directa en este trabajo asumiendo la responsabilidad de tutor, para ello se los prepararía inicialmente en este trabajo.

b) NOMBRE DEL PROYECTO. APOYO TECNICO CIENTIFICO EN LA DEMOSTRACION DE PROBLEMAS PROPUESTOS EN LAS MATRIAS DE MATEMATICAS.

c) ACTIVIDADES SEMESTRE.

A

REALIZAR

PÒR

LOS

ESTUDIANTES

Trabajo a realizar por los estudiantes

Localidad, aula o laboratorio

Incidencia social

Efectuar una visita a diferentes colegios que están fuera del centro para efectuar un diagnostico sobre el proyecto de apoyo en la demostración de los problemas en la materia de matemáticas

Aulas de Ingeniería u otros ambientes elegidos por estudiantes involucrados

Estudiantes de 3er semestre capacitados para atender este proyecto

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Visitas a los centros Instituciones educativas educativos o en su u otras que tengan caso ser anfitrión relación con el proyecto para demostrar el proyecto

Participaran los estudiantes más aventajados o los más idóneos de la Facultad de Ciencias y Tecnología

V. Sistemas de evaluación de aprendizajes

Evaluación procesual: La evaluación procesual tiene el carácter formativo y sumativo , lo que implica el seguimiento y evaluación de los trabajos prácticos que realicen los estudiantes de manera individual y grupal durante el transcurso del semestre

NOTA DE LA EVALUACIÓN PROCESUAL

50 %

Evaluación de Resultados: La evaluación de resultado consiste en valorar los procesos de aprendizaje mediante dos pruebas.

NOTA DE EVALUACION DE RESULTADO

50 %

NOTA PARCIAL = NOTA DE EVALUACION PROCESUAL + NOTA EVALUACION DE RESULTADO Evaluación de Resultado final: La evaluación de resultado final consiste en valorar todo el proceso de aprendizaje durante todo el semestre y será mediante una prueba final. NOTA FINAL = PRIMER PARCIAL + SEGUNDO PARCIAL + EVALUACION FINAL DE RESULTADO NOTA FINAL = ( P. PARCIAL + S. PARCIAL + E. R. FINAL )/ 3

VI. BIBLIOGRAFIA Bibliografía básica     

MAKARENKO G., “Problemas de ecuaciones diferenciales”, editor MIR. Moscú, 1991 PISKUNOV N., “Calculo diferencial e integral T.2.”, Editorial MIRI. Moscú, 1990 CHUNGARA, VÍCTOR, “Ecuaciones diferenciales”, S/e. La Paz 2001 AYRES, FRANK, “Ecuaciones Diferenciales”, editorial MC Graw Hill. Colección Schaum, México , 1991 P. EDWARDS,”Ecuaciones Diferenciales”, Editorial Prentice Hall

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     

DEMIDOVICH, “Problemas de Análisis Matemático, Editorial Mir, 1975. www.tutoria.com.ar/matematica.htm www.adermails.com/categoria1002.htm www.adermails.com/categoria401.htm www.adermails.com/categorias.php3?categorias=categorias www.solotutoriales.com/tutoriales.asp?id=040308

· Bibliografía complementaria VII. CONTROL DE EVALUACIONES

1° evaluación parcial Fecha A DEFINIR Nota

2° evaluación parcial Fecha A DEFINIR Nota

Examen final Fecha A DEFINIR Nota

APUNTES

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VIII. PLAN CALENDARIO

CALENDARIO ACADÉMICO GESTIÓN I / 2011 TURNOS REGULAR-TRABAJO ESTUDIANTES NUEVOS Y ANTIGUOS SEMANA

DEL

AL

ACTIVIDADES

OBSERVACIONES

1ra.

09 -Mar

12 - Mar

Avance de materia

INTRODUCCION A ECUACIONES DIFERENCIALES

2da.

14-Mar

19-Mar

Avance de materia

3ra. 4ta. 5ta. 6ta.

21-Mar 28-Mar 04-Abr 11-Abr

26- Mar 02-Abr 09-Abr 16-Abr

Avance de materia Avance de materia Avance de materia Avance de materia

CLASES DE SOLUCIONES Y FORMACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES SEPARABLES, ECUACIONES HOMOGENEAS

7ma.

18-Abr

23-Abr

ECUACIONES HOMOGENEAS REDUCIBLES ECUACIONES DE BERNULLI

Inicio Primera Evaluación Parcial

Presentación de Notas

Avance de materia

Conclusión Primera Evaluación Parcial

Presentación de Notas

8va.

25-Abr

30-Abr

Avance de materia

9na.

02-May

07-May

Avance de materia

APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO ECUACIONES DE 1ER. ORDEN NO RESUELTAS RESPECTO A LAS DERIVADAS,

10ma.

09-May

14-May

Avance de materia

ECUACIONES DE LAGRANGE, DE CLAIRAUT

11ra.

16-May

21-May

Avance de materia

ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

12da.

23-May

28-May

13ra. 14ta. 15ta.

30-May 06-Jun 13-Jun

04-Jun 11-Jun 18-Jun

16ta. 17ma.

20-Jun 27-Jun

25-Jun 02-Jul

18va.

04-Jul

09-Jul

Inicio Evaluación Final

Presentación de Notas

19na.

11-Jul

16-Jul

Conclusión Evaluación Final

Transcripción de Notas

20va.

18-Jul

23-Jul

Evaluación del segundo turno

Presentación de Notas

21ra.

25-Jul

26-Jul

Cierre de Gestión

Avance de materia Avance de materia Avance de materia

Inicio Segunda Evaluación Parcial

Presentación de Notas

Conclusión Segunda Evaluación Parcial

Presentación de Notas

Ecuaciones de Orden Superior

Aplicaciones de Ecuaciones 2do. orden ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIORES

ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIORES

FERIADOS 22 abril Viernes santo 1de mayo

Día del Trabajo

23 junio Corpus Christi U N

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WORK PAPER # 1

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD Nro DE PROCEDIMIENTO:

APRO 07

Nro. DE HOJAS: 3

ELABORO: ING. JOSE ANTONIO BERBETTY LOPEZ

CÓDIGO: MAT 202

TITULO WORK PAPER: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN DPTO:

UDABOL – ORURO

DESTINADO A: DOCENTE

ALUMNOS

x

ADMINISTRATIVOS

OTROS

OBSERVACIONES: Ecuaciones Diferenciales, Carreras de Ingeniería de sistemas, Telecomunicaciones FECHA DE DIFUSIÓN: Marzo de 2011 FECHA DE ENTREGA: Marzo de 2011

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WORK PAPER Nº 1 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

1.1.

INTRODUCCIÓN.

Las ecuaciones con las que generalmente el alumno ha trabajado responden, en su mayor parte, a la necesidad de obtener los valores numéricos de ciertas magnitudes. Pero en las aplicaciones de las matemáticas surgen con frecuencia una gran clase de problemas cualitativamente diferentes: problemas en los que la incógnita es a su vez una función. Llegamos así a las ecuaciones funcionales y su naturaleza puede ser, en general, muy diversa. De hecho, puede decirse que ya se conocen algunos ejemplos de ecuaciones funcionales: el cálculo de primitivas y las funciones implícitas. La primera clasificación que se puede dar para las ecuaciones diferenciales es dividirlas en ordinarias y parciales, según que la función incógnita dependa de una o de varias variables. Actualmente, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la investigación de los fenómenos naturales. La mecánica, la astronomía y la tecnología han sido causa de numerosos progresos en este área.

1.2.

SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

El problema en las ecuaciones diferenciales elementales consiste esencialmente en encontrar la primitiva que dio origen a la ecuación. En otras palabras resolver una ecuación diferencial de orden n es en realidad, hallar una relación entre las variables conteniendo n constantes arbitrarias independientes, que junto con las derivadas obtenidas de ella satisfaga la ecuación diferencial. Por ejemplo: Ecuación diferencial

Primitiva

3

d y =0 dx 3 d3y d2y dy − 6 + 11 − 6 y = 0 3 2 dx dx dx

2

Y = Ax + B x + C 3x

2x

Y = C1e + C2e + C3e

x

2

 dy  y   + y2 = r 2  dx 

2

2

1.3.

2

(x- C) +y = r

2

ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN.

Una ecuación lineal de Primer orden es de la forma:

dy + yP( x) = Q( x) . ................. dx

(1)

Cuyo miembro de la izquierda es lineal, tanto en la variable dependiente como en su derivada, se llama una ecuación lineal de primer orden.

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Por ejemplo:

dy dy + 3 xy = sen x es una ecuación lineal, mientras que + 3xy 2 = sen x no lo es por que “y” dx dx esta elevado al cuadrado. Como

e∫

P ( x ) dx P ( x ) dx P ( x ) dx dy dy dy ∫ P ( x ) dx e ( ye ∫ )= ( + yP( x)) , + yP( x)e ∫ = e∫ dx dx dx

P ( x ) dx

es un factor integrante de la ecuación (1) y su primitiva es:

e∫ 1.4.

P ( x ) dx

=

∫ ∫ Q( x) * e

P ( x ) dxdx

+C

ECUACIÓN DE BERNOULLI

La ecuación de Bernoulli es de la forma:

dy dy + yP( x) = y nQ( x) o bien y − n + y − n +1P( x) = Q( x) dx dx se reduce a la forma de la ecuación (1), a saber:

dy + v{¨(1 − n) P ( x)} = (1 − n)Q( x) dx mediante la transformación

y − n +1 = v , y − n

1.5.

1 dy dy = dx 1 − n dx

PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

Resolver: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

dy + 2 xy = 4 x dx dy ( x − 2) = y + 2( x − 2)3 dx dy + 2 xy + xy 4 = 0 dx dy + y = 2 + 2x dx xdy − 2 ydx = ( x − 2)e x dx dy + y = y 2e x dx xy ' = y (1 − x tg x) + x 2 cos x 5

(2xy – y) dx + 2x d y = 0

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FACULTAD DE INGENIERIA

WORK PAPER # 2

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD Nro DE PROCEDIMIENTO:

APRO 07

Nro. DE HOJAS: 7

ELABORO: ING. JOSE ANTONIO BERBETTY LOPEZ

CÓDIGO: MAT 202

TITULO WORK PAPER: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR DPTO:

UDABOL – ORURO

DESTINADO A: DOCENTE

ALUMNOS

x

ADMINISTRATIVOS

OTROS

OBSERVACIONES: Ecuaciones diferenciales, Carreras de Ingeniería de sistemas, Telecomunicaciones

FECHA DE DIFUSIÓN: Marzo de 2011 FECHA DE ENTREGA: Marzo de 2011

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WORK PAPER Nº 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 2.1.

INTRODUCCIÓN

Llamamos ecuación diferencial lineal de orden n a toda ecuación que se puede expresar en la forma (1) Para la que admitimos que los coeficientes a i (x), i = 1, 2, . . . , n y el segundo miembro f(x) son funciones definidas en un intervalo La ecuación (1) se dice homogénea o incompleta si f(x) = 0 para todo x ε I. En caso contrario, se dice no homogénea o completa. El problema de valor inicial asociado a la ecuación diferencial (1) es

son constantes arbitrarias.

Donde

Como vimos en el tema anterior, la ecuación (1) puede escribirse como un sistema diferencial de primer orden equivalente haciendo.

Así se obtiene

y tomando

la ecuación diferencial tiene como sistema equivalente a

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Evidentemente si X(t) es solución del sistema, la primera de sus componentes x1 = y ; será solución de la ecuación diferencial mientras que las restantes son las derivadas sucesivas de ésta hasta orden n - 1. Obsérvese, además, que el sistema obtenido es lineal y cuando los coeficientes de la ecuación a i (t), i = 1, 2, . . . , n, son constantes, entonces el sistema construido es de coeficientes constantes. Por otro lado, tomando (2) puede escribirse en la forma

2.1.1.

el problema de valores iniciales

Teorema 1 (Existencia y unicidad).

son continuas en un intervalo abierto I que contiene al Si las funciones punto x 0 , entonces el problema de valores iniciales (2) posee una única solución, para cada , definida en dicho intervalo. 2.1.2.

Teorema 2.

Consideremos la ecuación diferencial lineal homogénea

donde las funciones son continuas en un intervalo abierto I. Si y 1 , y 2 , . . . , y n son n soluciones de la ecuación (3) l.i. en el intervalo I, entonces cada solución de la ecuación (3) puede expresarse en la forma C 1 y 1 + C 2 y 2 + · · · + C n y n , para algunas constantes C 1 ,C 2 , . . . , C n ε R. De esta forma, para obtener todas las soluciones de la ecuación lineal homogénea (3) necesitamos conocer un conjunto de n soluciones l.i. Veremos un procedimiento para obtener este conjunto de soluciones en el caso de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes. 2.2.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS CONSTANTES. OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN GENERAL

DE

COEFICIENTES

Cuando la ecuación diferencial lineal es homogénea y de coeficientes constantes, esto se expresa de la forma:

Con a 1 ,.....a n ε R el sistema equivalente a esta ecuación es homogénea y de coeficientes constantes. Es decir es de la forma X’ = A * X, siendo:

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Así podemos obtener “n” soluciones de la ecuación lineal homogénea aplicando las técnicas del tema anterior, por consiguiente deben obtenerse en primer lugar los autovalores de A y para ello su polinomio característico p A (λ).

Los autovalores de la matriz A se obtienen resolviendo la ecuación característica

Además, si calculamos los autovectores y autovectores generalizados asociados a los diferentes autovalores de la matriz A, podemos obtener la solución general X(t) del sistema X’ = A · X. Tomando la primera componente de dicha solución X(t) tendremos la expresión de la solución general de nuestra ecuación diferencial lineal. No obstante, teniendo en cuenta la estructura de la matriz A y observando la solución obtenida al resolver el sistema equivalente, podemos deducir un procedimiento para obtener las “n” soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea. Este procedimiento consiste en lo siguiente. (a) (b) (c)

Encontrar las “n” raíces de la ecuación característica. Para cada raíz real (λ) de multiplicidad algebraica 1, una solución de la ecuación diferencial homogénea es Para cada raíz real λ de multiplicidad algebraica m > 1, m soluciones de la ecuación diferencial homogénea son:

(d)

son raíces de multiplicidad algebraica 1, entonces dos Si soluciones de la ecuación diferencial homogénea son:

(d)

son raíces de multiplicidad algebraica m > 1, entonces 2m Si soluciones de la ecuación diferencial homogénea son:

Siguiendo los pasos anteriores, las n soluciones obtenidas y 1 , y 2 , ......, y n son lineales, por ello la solución general de la ecuación diferencial homogénea es:

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2.3.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS. 

MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

Para una ecuación diferencial lineal no homogénea de orden n

Teorema 3 Supongamos que las funciones a 1 (x), a 2 (x), . . . , a n (x), f(x) son continuas en un intervalo abierto I. Si z p (x) es una solución particular de la ecuación no homogénea e y g (x) es la solución general de la ecuación homogénea asociada

entonces todas las soluciones y(x) de la ecuación no homogénea se pueden expresar en la forma y esta expresión constituye la solución general de la ecuación no homogénea. Para obtener una solución particular de la ecuación no homogénea podemos aplicar, los siguientes métodos:

• MÉTODO DE VARIACIÓN DE CONSTANTES Suponiendo calculada la solución general de la ecuación homogénea asociada, dada por

el método consiste en buscar una solución particular de la ecuación no homogénea de la forma

Para ello, si observamos que una matriz fundamental del sistema de primer orden asociado a la ecuación homogénea viene dada por

podemos determinar C 1 (x), C 2 (x) , . . . , C n (x), resolviendo el sistema

e integrando cada una de las

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• MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Este método nos facilita el cálculo de la solución particular cuando la función f(x) es exponencial, polinómica, seno, coseno o sumas y productos de éstas. Seguidamente ilustramos la idea subyacente en el método con algunos casos particulares. Consideremos la ecuación lineal no homogénea de orden 2

bx

Caso f(x) = e Puesto que la derivación de la función f reproduce dicha función con un posible cambio en el coeficiente numérico, es natural presuponer que la ecuación (4) posee como solución alguna del tipo , para algún valor del coeficiente B. Como resulta que

cuando el denominador no se anula. Por tanto, cuando b no sea raíz de la ecuación característica (es decir, el denominador anterior es no nulo) tendremos una solución particular de la ecuación (4). Por otra parte, si b es raíz de la ecuación posible solución de la ecuación, tenemos

característica, ensayando

ya que el primer paréntesis se anula, al ser b raíz de la ecuación característica. Por consiguiente, obtenemos una solución particular de (4) si 2b+a1 no se anula. Esto es, si b no es raíz doble de la ecuación característica. Finalmente, cuando b es raíz doble de la ecuación característica, se puede comprobar que la función es una solución particular de la ecuación diferencial (4). En definitiva, si

, la ecuación (4) tiene una solución particular de alguna de las tres formas

, donde el coeficiente indeterminado B se obtendrá de imponer que siguientes: sea solución particular. Obsérvese que se descartan la primera o las dos primeras posibilidades cuando la ecuación homogénea asociada posee ese tipo de soluciones.

Caso f(x) = sen bx, f(x) = cos bx o cualquier combinación lineal Las derivadas sucesivas de este tipo de funciones nos hacen pensar que la ecuación (4) puede admitir una solución particular del forma

Se puede comprobar que esto es así, siempre que la ecuación homogénea asociada no posea soluciones del tipo propuesto. En dicho caso, se ensayará con una solución particular del tipo

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Caso f(x) función polinómica de grado m en x En este caso es lógico pensar que (4) admita como solución particular un polinomio de grado menor o igual que m Los casos reseñados anteriormente se pueden generalizar a ecuaciones diferenciales de orden n. El siguiente cuadro muestra el tipo de solución particular yp(x) a ensayar cuando f(x) es de los tipos anteriormente citados o su forma es aún más general.

son polinomios de grado m. Aquí, Siempre se deberá tener presente que si cualquiera de los sumandos de la solución propuesta y p (x) es solución de la ecuación homogénea, entonces se deberá ensayar como solución particular una del sea solución

tipo donde k será el menor número natural tal que ningún sumando de de la ecuación homogénea.

Obsérvese que la idea básica de este método no se puede extrapolar a ecuaciones con coeficientes no constantes. 2.4. PROBLEMAS DE APLICACIÓN. Ecuaciones lineales de orden n 1.

Demostrar que la ecuación ax

2. 3.

4.

d 2 y dy − − 2 y = 0 , tiene dos soluciones distintas de la dx 2 dx

forma y=e . –x 2x Demostrar que y = C 1 e +C 2 e es la primitiva de la ecuación del problema 1. demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes: 2 2 c) ln x, x lnx, x lnx a) sen ax, cosax b) 1, x , x Formar la ecuación diferencial cuya primitiva es: a) y = C1e2x + C2 e-3x 2x 2x 2 2x b) y = C 1 e + C 2 xe + C 3 x e

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes: 5.

Demostrar que (D-a)(D-b)(D-c)y = (D-b)(D-c)(D-a)y

6.

Resolver

7.

Resolver: (D + 2D - 15)y = 0

d 2 y dy − − 6y = 0 dx 2 dx 2

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WORK PAPER # 3

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD Nro DE PROCEDIMIENTO:

APRO 07

Nro. DE HOJAS: 4

ELABORO: ING. JOSE ANTONIO BERBETTY LOPEZ

CÓDIGO: MAT 202

TITULO WORK PAPER: ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR DPTO:

UDABOL – ORURO

DESTINADO A: DOCENTE

ALUMNOS

x

ADMINISTRATIVOS

OTROS

OBSERVACIONES: Ecuaciones Diferenciales, Carreras de Ingeniería de sistemas, Telecomunicaciones

FECHA DE DIFUSIÓN: Marzo de 2011 FECHA DE ENTREGA: Marzo de 2011

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WORK PAPER Nº 3 ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR

3.1.

DEFINICIÓN.

Una ecuación diferencial de primer orden tiene la forma f (x,y,y’) = 0 o bien f (x,y,p) = 0, donde se ha sustituido y’ =

dy 2 por “p”. Si el grado de “p” es mayor que uno, como en p – 3px+2y=0, la ecuación dx

es de primer orden y de grado superior, en este caso particular de segundo grado.

La ecuación general de primer orden de grado “n” se puede escribir en la forma:

p n + P1 ( x, y ) p n −1 + ............ + Pn −1 ( x, y ) p + Pn ( x, y ) = 0

............

(1)

A veces se pueden resolver tales ecuaciones por uno o varios de los procedimientos que se van a exponer. En cada caso se reduce a resolver una o mas ecuaciones de primer orden y primer grado.

3.2.

ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER RESPECTO DE “p”.

En este caso el miembro de la izquierda de (1) considerado como un polinomio en “p”, se puede resolver en “n” factores reales lineales, es decir (1) se puede poner en la forma. (p – F 1 ) (p – F 2 ) .......... (p – F n ) = 0 Donde las F son funciones de x e y. Igualase a cero cada factor y resuélvase las “n” ecuaciones diferenciales resultantes de primer orden y primer grado.

dy = F1 ( x, y ) , dx

dy = F2 ( x, y ) ,....................., dx

dy = Fn ( x, y ) dx

obteniendo: f 1 (x,y,C) = 0,

f 2 (x,y,C) = 0, .................,

f n (x,y,C) = 0

(2)

la primitiva de (1) es el producto f 1 (x,y,C) * f 2 (x,y,C) * ................ * f n (x,y,C) = 0 (3) de las “n” soluciones (2) Nota: Cada solución individual de (2) se puede escribir en cualquiera de sus diversas formas posibles antes de combinarla en el producto (3).

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3.3.

ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER RESPECTO DE “y”.

Esto es , y = f (x,p). Derivando respecto de “x” se obtiene:

dy ∂f ∂f dp dp = p= + = F ( x, p , ) dx ∂x ∂p dx dx una ecuación de primer orden y primer grado Resolviendo :

p = F ( x, p ,

dp ) se obtiene la siguiente relación: φ ( x, p, C ) = 0 dx

para lo cual se debe obtener la primitiva eliminando “p” entre y = f(x, p) y φ ( x, p, C) = 0, cuando sea posible, o bien exprésese “x” e “y” separadamente como funciones del parámetro “p”.

3.4.

ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER RESPECTO DE “x”.

Esto es , x = f (y,p). Derivando respecto de “y” se obtiene:

dp dx 1 ∂f ∂f dp = F ( y , p, ) = = + dy dy p ∂y ∂p dy una ecuación de primer orden y primer grado Resolviendo :

1 dp = F ( y, p, ) se obtiene la siguiente relación: φ ( y, p, C ) = 0 p dy para lo cual se debe obtener la primitiva eliminando “p” entre y = f(y, p) y φ ( y, p, C) = 0, cuando sea posible, o bien exprésese “x” e “y” separadamente como funciones del parámetro “p”.

3.5.

ECUACIÓN DE CLAIRAUT.

La ecuación diferencial de la forma y = px + f (p) se denomina ecuación de Clairaut, siendo su primitiva de la forma: y = Cx + f (C) y se obtiene sencillamente sustituyendo p por C en la ecuación dada.

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3.6.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

1.

Resolver

p ( p – 1 ) ( p – x ) ( p - 2y ) = 0

2.

Resolver

2y = px – 16

3.

Resolver (y – px) = 1 + p

4.

Hallar la primitiva de:

xp + (y – 1 - x ) p – x ( y – 1 ) = 0

5.

Hallar la primitiva de:

3x p – xp –y = 0

6.

Hallar la primitiva de:

y p + 3px – y = 0

7.

Hallar la primitiva de:

16x p – 4xp + y = 0

8.

Hallar la primitiva de:

xp – yp – y = 0

9.

Hallar la primitiva de:

xp – yp – y = 0

10.

Hallar la primitiva de:

y = (1+p)x + p

2

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2 2

2

4 2

2 2

3 2

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FACULTAD DE INGENIERIA

WORK PAPER # 4

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD Nro DE PROCEDIMIENTO:

APRO 07

Nro. DE HOJAS: 4

ELABORO: ING. JOSE ANTONIO BERBETTY LOPEZ

CÓDIGO: MAT 202

TITULO WORK PAPER: SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DPTO:

UDABOL – ORURO

DESTINADO A: DOCENTE

ALUMNOS

x

ADMINISTRATIVOS

OTROS

OBSERVACIONES: Ecuaciones Diferenciales, Carreras de Ingeniería de sistemas, Telecomunicaciones

FECHA DE DIFUSIÓN: Marzo de 2011 FECHA DE ENTREGA: Marzo de 2011

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WORK PAPER Nº 4 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 4.1.

INTRODUCCIÓN

Este Work Paper está dedicado a la discusión de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la misma variable independiente. Por ejemplo, las leyes de Newton.

donde m es la masa de la partícula, (x 1 , x 2 , x 3 ) son sus coordenadas espaciales y F 1 , F 2 , F 3 las componentes de la fuerza actuante sobre la partícula en dicha posición, que pueden ser función de la posición, de la velocidad y del tiempo. Hay una importante conexión entre los sistemas de ecuaciones y las ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuación de orden n (1) puede ser reducida a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con una forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables, llamando

...

Entonces se puede reescribir (1) como

... que es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. En el caso más general un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden tiene la forma:

...

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Antes de proseguir será necesario establecer en qué caso hay solución del sistema y si ésta es única. Para ello, se enuncia el siguiente teorema: 4.1.1.

TEOREMA

Sean continuas en una región R del espacio (n+1) dimensional

las funciones

. Entonces existe un intervalo

y tal que dicha región contiene el punto el que hay solución única de la forma:

en

...

del sistema de ecuaciones diferenciales que satisface la condición

...

Nota.- Es importante saber que este teorema da las condiciones suficientes para que haya solución, sin embargo, no establece las necesarias. Es decir, las condiciones son muy restrictivas y puede encontrarse un sistema que sin cumplirlas totalmente tenga solución única. Los sistemas se clasifican como las ecuaciones ordinarias. Pueden ser lineales y no lineales. Si las funciones

tienen la forma

el sistema se dice lineal. Si no, es no lineal. Si es cero en todas y cada una de las ecuaciones, el sistema se dice homogéneo; en caso contrario, no homogéneo. Para los sistemas lineales el teorema de existencia y unicidad de solución es más simple y con una conclusión más amplia. Es un teorema de existencia de solución global, como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Si las funciones

y

son continuas en el intervalo abierto α