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• Katherine Bermejo Vichino

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ESTADÍSTICA APLICADA

LOGRO ESPERADO Estima intervalos de confianza para la diferencia de proporciones de dos poblaciones de acuerdo al tipo de variable en problemas de contexto profesional/científico.

INDICADORES DE LOGRO • Interpreta un intervalo de confianza para la diferencia de proporciones de dos poblaciones a partir de la teoría respectiva y considerando las características del problema. • Estima un intervalo de confianza para la diferencia de proporciones de dos poblaciones de acuerdo con el tipo de variable.

SUPONGA QUE SE DESEA ESTIMAR LA DIFERENCIA ENTRE LAS PROPORCIONES DE PERSONAS QUE ADQUIEREN UN PRODUCTO EN LOS DISTRITOS 1 Y 2 Población 1: Todas las personas en el distrito 1

Población 2: Todas las personas en el distrito 2

𝜋2 : 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 de personas que 𝑎𝑑𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 en el distrito 2

𝜋1 : 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 personas que 𝑎𝑑𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 en el distrito 1

Selección aleatoria

Selección aleatoria

𝑛1 = 900

270 𝑝1 = = 0.30 900

Muestra 1: De las 900 personas seleccionadas, 270 personas adquirieron el producto

𝑛2 = 800 ¿A partir de estas dos muestras se puede inferir que la proporción de personas que adquiere el producto en el distrito 1 es mayor que en el distrito 2?

𝑝2 =

200 = 0.25 800

Muestra 2: De las 800 personas seleccionadas, 200 personas adquirieron el producto

1. ¿Qué tipos de estimación por intervalos conoce? 2. ¿ Con cuál de estos tipos se puede estimar un intervalo para comparar las proporciones de dos poblaciones o grupos?

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES 𝝅𝟏 − 𝝅𝟐 Sean 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛1 y 𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑛2 dos muestras aleatorias independientes de tamaños 𝑛1 𝑦 𝑛2 tomadas de dos poblaciones Bernoulli con parámetros π1 y π2 respectivamente donde π1 y π2 representan la proporción de elementos que poseen la misma característica de interés en sus respectivas poblaciones. Si 𝑋 e 𝑌 representan el número de observaciones que poseen la misma característica de interés en sus respectivas poblaciones, entonces 𝑋 e 𝑌 son variables aleatorias binomiales con parámetros (𝑛1 , π1 ) y (𝑛2 , π2 ). El intervalo con un nivel de confianza de (1 − 𝛼) × 100% para la diferencia de proporciones poblacionales 𝜋1 − 𝜋2 , es:

𝑰𝑪 𝜋1 − 𝜋2 ∶ 𝑝 1 − 𝑝2 ± 𝑧1−𝛼

2

𝑝1 1 − 𝑝1 𝑝2 1 − 𝑝2 + 𝑛1 𝑛2

EJERCICIO RESUELTO La tabla que se presenta a continuación corresponde al número de barras defectuosas de construcción encontradas en muestras aleatorias de barras de las empresas Aceros AKI y Fierros Duros (el peso nominal está por debajo de la especificación técnica de 0.8 kg/m).

Empresa

Tamaño de muestra

Barras defectuosas

AKI

350

26

Fierros Duros

420

40

Estime un intervalo de confianza del 97% para la diferencia de las proporciones poblacionales de barras defectuosas de las empresas AKI y Fierros Duros.

SOLUCIÓN Sean las variables: X1=Número de barras defectuosas encontradas en la empresa AKI. X2=Número de barras defectuosas encontradas en la empresa Fierros Duros. Datos: n1 = 350 𝑥1 = 26 𝑝1 = 0.0743 1 − α = 0.97 n2 = 420 𝑥2 = 40 𝑝2 = 0.0952 El intervalo de confianza se obtiene de la siguiente manera: 𝑝 1 − 𝑝2 ± 𝑧1−𝛼

0.0743 − 0.0952 ± 2.17

2

𝑝1 1 − 𝑝1 𝑝2 1 − 𝑝2 + 𝑛1 𝑛2

0.0743 1 − 0.0743 0.0952 1 − 0.0952 + 350 420

< −0.0644, El valor de 𝑍1−𝛼

2

0.0226 >

= 𝑍0.985 = 2.17 se obtiene de la tabla de la distribución normal estándar.

EJERCICIO PROPUESTO La siguiente información corresponde a las preferencias electorales de ciudadanos peruanos que fueron entrevistados por el personal de dos empresas encuestadoras (JC y RK) con motivo de las elecciones generales en el año 2016.

Empresa encuestadora

Tamaño de muestra

Candidato A

Candidato B

JC

1600

29%

24%

RK

2000

28%

23%

Para el candidato B. Estime un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las proporciones poblacionales respecto a los resultados de las empresas encuestadoras JC y RK.

RESUMEN  INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES POBLACIONALES (𝛑𝟏 − 𝛑𝟐 )

𝑰𝑪 𝛑𝟏 − 𝛑𝟐 ∶ 𝑝 1 − 𝑝2 ± 𝑧1−𝛼

2

𝑝1 1 − 𝑝1 𝑝2 1 − 𝑝2 + 𝑛1 𝑛2

METACOGNICIÓN ¿Qué aspectos le han parecido interesantes?

¿Qué contenido considera más importante del tema trabajado? ¿Qué competencias del tema podría aplicar en su vida diaria?

PARA REFORZAR LO APRENDIDO



RESOLVER LOS EJERCICIOS DE TRABAJO AUTÓNOMO LIBRO

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1.

Montesinos, L.,Llanos, K., Cerna, E., Pajuelo, S. y Coaquira, F.(2017) Estadística

Descriptiva e Inferencial. Fondo Editorial USIL 1° Edición. Lima, Perú. 2.

Montgomery, D. (2014). Applied statistics and probability for engineers (6a ed.). United States of America.: Hoboken, NJ2.

3.

Mendenhall, W. & Sincich, T. (2016). Statistics for engineering and the sciences (6a ed.). Boca Raton: CRC Press, Taylor & Francis Group.