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CUADERNILLO SOLUCIONARIO LÓGICA PROPOSICIONAL 1. Si se define 𝑝 ♥ 𝑞, mediante la tabla 𝑝 𝑞 𝑝♥𝑞

𝑉 𝑉 𝐹 𝐹

𝑉 𝐹 𝑉 𝐹

𝑉 𝑉 𝐹 𝑉

B) ~𝑞 E) 𝑉

C) 𝑝 ∨ 𝑞

2. En el siguiente cuadro se muestran operaciones lógicas con las proposiciones simples 𝑝, 𝑞 y 𝑟. ↔ 𝑝 ∧ 𝑞 𝑟 ∨ ~𝑟

𝑝∆𝑞 ~𝑝 → 𝑞 ~𝑝

𝑦

I. [(𝑞 ∨ 𝑡) ↔ 𝑟] ∧ (𝑟 ∧ ~𝑟) II. [(~𝑝 ∧ 𝑡) ↔ 𝑟] ∧ ~(𝑟 → 𝑝) III. (𝑟 ↔ 𝑝) → [~𝑟 ∨ (𝑡 ∧ 𝑟)] A) solo I D) II y III

Simplifique (𝑝♥𝑞)♥𝑝 A) ~𝑝 D) 𝑝 ∧ 𝑞

PRIMERA PRIMERA SEMANA SEMANA

𝑥 𝐹 𝑧

B) solo II E) Todas

C) I y II

5. Una fórmula lógica puede ser clasificada como tautología (T), contradicción (F) o contingencia (C), según esto clasificar las siguientes fórmulas lógicas: (𝑝∆𝑞) ↔ (𝑞∆~𝑝) I. [𝑝∆(𝑝 ∨ 𝑞)]∆(~𝑞 ∨ 𝑝) II. (𝑝 → 𝑞) → 𝑞 III. A) 𝐶𝐹𝑇 D) 𝑇𝐶𝐹

B) 𝑇𝐹𝐶 E) 𝐶𝐶𝑇

C) 𝐹𝑇𝐶

6. Para la siguiente proposición: “para todo número racional 𝑟 existe un número entero 𝑛 talque 𝑛 ≤ 𝑟 < 𝑛 + 1”. Su negación es:

Determine el valor de verdad (𝑉 ó 𝐹) que corresponde a los casilleros 𝑥, 𝑦, 𝑧 respectivamente.

A) ∃𝑟 ∈ ℚ | ∀𝑛 ∈ ℤ; 𝑛 ≥ 𝑟 > 𝑛 + 1

A) FFV D) VFV

C) ∃𝑟 ∈ ℚ | ∀𝑛 ∈ ℤ; (𝑛 > 𝑟)(𝑛 + 1 ≤ 𝑟)

B) VVV E) FVF

C) FVV

B) ∃𝑟 ∈ ℚ, ∃𝑛 ∈ ℤ | 𝑛 ≤ 𝑟 < 𝑛 + 1

D) ∃𝑟 ∈ ℚ | ∀𝑛 ∈ ℤ; 𝑛 < 𝑟 ≤ 𝑛 + 1 3. En la siguiente tabla, se tiene operaciones con el conectivo lógico disyunción exclusiva "∆". 𝑝 𝑞 ~𝑝∆~𝑞 𝐹 𝑥 𝐹 𝑦 𝑉 𝑉 𝐹 𝐹 𝑧 Halle los valores de verdad (V) ó (F) que le corresponden a las variables proposicionales 𝑥, 𝑦, 𝑧 en ese orden. A) VVV

B) FFF

D) FVV

E) VFV

C) VVF

4. Si la proposición “𝑟” es falsa, ¿en cuál(es) de las siguientes proposiciones es suficiente dicha información para determinar su valor de verdad?

E) ∃𝑟 ∈ ℚ | ∃𝑛 ∈ ℤ; (𝑛 > 𝑟)(𝑛 + 1 ≤ 𝑟) 7. Considere 𝑝(𝑥): 𝑥 ∈ 𝐴 = {𝑎 ∈ ℝ|𝑎2 ≤ 4} 𝑞(𝑥): 𝑥 2 − 4 > 0 Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. [𝑝(1) ∧ 𝑞(2)] → 𝑝(2) II. [𝑞(2) ∨ 𝑝(2)] ↔ 𝑞(1) III. ~𝑝(2) → ~𝑞(1) A) VVV D) VVF

CICLO ENERO - MARZO

B) FVV E) VFV

C) FFV

1

MATEMATICA I

8. De las siguientes proposiciones, halle cuáles son equivalentes: I. Es necesario que Sofía no vaya al cine para que termine su tarea. II. No es cierto que Sofía termine su tarea y vaya al cine. III. Sofía no terminará su tarea y no irá al cine. A) I y II B) I y III C) II y III D) Todas E) Ninguna 9.

Formalice el siguiente enunciado: Si Juán es músico, entonces Juan es cantante; pero Juan no es músico, por lo tanto es cantante. Igualmente Juan es compositor, además, si Juan no hubiera sido compositor, entonces sería cantante. Indique su expresión equivalente más simple.

10. “No aprendí Lógica dado que no aprendí Matemática; ya que aprendo Matemática o Lógica”. De lo anterior, se concluye que: A) No aprendo Matemática ni Lógica. B) Aprendo Matemática y Lógica. C) Aprendo Matemática o Lógica D) No es cierto que aprenda Lógica pero no Matemática. E) No es cierto que aprenda Matemática pero no Lógica. 11. Simplificar la proposición compuesta: [(~𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑞 → 𝑝)] ∧ ~(~𝑝 ∧ 𝑞) Siendo 𝑝 ∧ 𝑞 proposiciones lógicas. B) 𝑝 ∨∼ 𝑞 E) ~𝑝 ∨∼ 𝑞

A) 𝑞 ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) B) 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) C) 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) D) 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑟) E) 𝑟 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) 14. Si: 𝑝 ⊗ 𝑞 ≡ {𝑝 ∨ [(𝑟 → 𝑝) ∧ 𝑝]} ∧ [𝑞 ∧ (𝑝 ↔ ~𝑝)] Simplificar: [(𝑝 ⊗ 𝑞)⨂(𝑞⨂𝑝)]⨂[𝑝⨂(𝑞⨂𝑝)] A) 𝑝 D) 𝑉

B) 𝑞 E) 𝐹

C) 𝑝 ∨ 𝑞

15. Simplifique: (𝑝 ∨ 𝑡 ∨ 𝑟) ∧ (𝑝 ∨ 𝑡 ∨∼ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨∼ 𝑡 ∨ 𝑟)

A) Juan es músico y cantante. B) Juan es músico y compositor. C) Juan es cantante y compositor. D) Juan es cantante o músico E) Juan es compositor o cantante

A) ~𝑝 ∧ 𝑞 D) ~𝑝 ∨ 𝑞

13. Usando las leyes lógicas simplificar la fórmula lógica: [𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∨ [𝑟 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)] ∨ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)]

C) 𝑝 ∧∼ 𝑞

12. Simplifique: [𝑝 → (𝑝𝑞)] → ~[~𝑞 → (𝑝𝑞)] A) 𝑝 B) 𝑞 C) 𝑝 → 𝑞 D) 𝑞 → 𝑝 E) ~𝑞)

A) 𝑝 ∨ [𝑟 ∧ (𝑡 ∨∼ 𝑞)] B) 𝑝 ∧ [𝑟 ∧ (𝑡 ∨∼ 𝑞)] C) 𝑝 ∨ [∼ 𝑟 ∧ (∼ 𝑡 ∨∼ 𝑞)] D) 𝑝 ∨ [𝑟 ∨ (𝑡 ∧∼ 𝑞)] E) 𝑝 ∧ [𝑟 ∨ (∼ 𝑡 ∧∼ 𝑞)]

TEORÍA DE CONJUNTOS 16. Dado los siguientes conjuntos:

𝐴 = {1; {1; 2}; {3}} 𝐵 = {{1}; {3}; 2} Dé el valor de verdad de las siguientes proposiciones: {2} ∈ 𝐵 I. {1; {1}} ⊂ (𝐴 ∪ 𝐵) II. {1; 2} ∈ (𝐴\𝐵) III. {3} ⊂ (𝐴 ∩ 𝐵) IV. A) 𝐹𝑉𝑉𝑉 B) 𝑉𝐹𝑉𝐹 C) 𝐹𝑉𝐹𝑉 D) 𝑉𝑉𝑉𝑉 E) 𝐹𝑉𝑉𝐹 17. Dado el conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ| (

1 3−𝑥

< 0) ∆ (

1 𝑥−5

> 0)}

Determine el cardinal de 𝐴. A) 1 D) 4

CICLO ENERO - MARZO

B) 2 E) 5

C) 3

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MATEMATICA I

A) 𝐴 D) 𝐵𝐶

18. Sea:

𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 > 3 → 𝑥 < 2} 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ| − 3 < 𝑥 ≤ 6} Determine el conjunto 𝐶 = {𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}

25. De un conjunto de 50 deportistas se sabe:  Todo aquel que practica básquet practica atletismo.  Todo aquel que practica fútbol no practica básquet.  10 practican al menos dos deportes. Calcule cuántos practican un solo deporte, siento esto, el triple de los que no practican ninguna de las disciplinas mencionadas. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

19. 𝐴 y 𝐵 son dos conjuntos tales que

𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) = 83, 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 74, halle 𝑛(𝐴∆𝐵) B) 62 E) 70

C) 65

20. La negación de la siguiente proposición lógica: "∀𝑥 ∈ 𝐴: ∃𝑦 ∈ 𝐵|𝑥 + 𝑦 = 𝑧" es: A) ∃𝑥 ∈ 𝐴|∀𝑦 ∈ 𝐵: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 B) ∃𝑥 ∈ 𝐴|∀𝑦 ∈ 𝐵: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 C) ∃𝑥 ∈ 𝐴|∀𝑦 ∈ 𝐵: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 ≠ 0 D) ∀𝑥 ∈ 𝐴|∃𝑦 ∈ 𝐵|𝑥 + 𝑦 − 𝑧 ≠ 0 E) ∀𝑥 ∈ 𝐴|∃𝑦 ∈ 𝐵|𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0

26. Si (𝑋 ∩ 𝐴)𝐶 ∩ (𝑋 ∩ 𝐴𝐶 )𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 Halle 𝑋 y luego encontrar 𝑋 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵). A) 𝐴 − 𝐵 D) 𝐴𝐶 ∪ 𝐵

21. Los cardinales de los conjuntos 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 son 1, 2, 3, … , 𝑛 respectivamente y el producto de los cardinales de sus conjuntos potencias es 1024, entonces el valor de "𝑛" es: A) 3 D) 6

B) 4 E) 10

C) 5

22. En un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de sociología y 53 no siguen el curso de filosofía. Si 27 alumnos no siguen filosofía ni sociología, ¿Cuántos alumnos llevan exactamente uno de tales cursos? A) 35 D) 52

B) 40 E) 61

C) 𝐵

24. Sean 𝐹, 𝐺 𝑦 𝐻 conjuntos no nulos contenidos en el universo 𝑈, si 𝐹 ⊂ 𝐺 𝑦 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ Simplifique: {[(𝐹 ∩ 𝐺)𝐶 \𝐺] ∩ 𝐻} ∪ (𝐻\𝐹) ∪ (𝐹\𝐺) A) 𝐹 B) 𝐺 C) 𝐻 D) ∅ E) 𝑈

A) 𝐶 = {2; 3; 2; −1} B) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 ≤ 3} C) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℤ| − 3 < 𝑥 < 3} D) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℕ|2 ≤ 𝑥 ≤ 3} E) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℤ| − 3 < 𝑥 ≤ 2}

A) 60 D) 68

B) 𝐴𝐶 E) 𝐶

C) 48

23. Simplifique: 𝐸 = {[(𝐵 ∪ 𝐴) ∩ (𝐵𝐶 ∩ 𝐶)] ∪ 𝐴𝐶 } ∪ 𝐵𝐶 , 𝐴⊂𝐵

si

B) 𝐴∆𝐵 E) 𝐴𝐶 − 𝐵

C) 𝐵 − 𝐴

27. En una fiesta social asistieron 4200 personas y se observa que de las mujeres 3/8 son solteras. De los hombres se sabe que estos representan los 2/5 del total de mujeres; y 2/5 del número de mujeres casadas están embarazadas. ¿Cuántas mujeres casadas no están embarazadas? A) 1125 D) 1135

B) 1225 E) 1120

C) 1425

28. En un salón existen 50 personas cuyas edades varían entre los 17 y 60 años inclusive, además se sabe que:  El 38% no tiene ni 17, ni 18 años.  El 42% son mujeres, entre las cuales 7 tienen 18 años.  El número de varones que no tienen 17 ni 18 años es el doble del número de mujeres que tienen 17 años de edad.

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MATEMATICA I

Determine el número de varones que tienen 17 ó 18 años de edad. A) 10 D) 30

B) 19 E) 38

C) 24

29. Si 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 son subconjuntos de 𝑈 tales que: 𝑛(𝐴) = 25 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 10 𝑛(𝐵) = 20 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) = 15 𝑛(𝐶) = 25 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 8 𝑛(𝑈) = 50 𝑛(𝐴′ ∩ 𝐵′ ∩ 𝐶′) = 10 ′ Halle: 𝑛[(𝐴 − 𝐵′) ∪ (𝐶 ′ ∪ 𝐵′)] A) 13 B) 15 C) 47 D) 19 E) 21 30. De un grupo de 64 damas de una oficina, se observó lo siguiente:  25 son simpáticas.  36 son blancas.  12 son solo blancas.  8 son blancas, simpáticas con ojos azules.  18 no tenían estas características. Además, se sabe que todas las damas de ojos azules son blancas. ¿Cuántas damas son blancas y simpáticas, que no tienen ojos azules? A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

C) 6

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