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Esquema de Rufini Javier Serrano Primavera de 2011

1.

Introducci´ on

A la hora de escribir las resoluciones de algunos ejercicios o apuntes de clase, es frecuente encontrarse con la necesidad de escribir una divisi´on entre polinomios realizada por el famoso m´etodo de Ruffini. Presentamos aqu´ı una serie de comandos que facilitar´an en grado sumo la tarea del profesor en este aspecto. Para el uso de estos comandos s´ olo es necesario tener cargado en el pre´ ambulo el paquete pstricks y tener copiado el c´odigo que aparece en la Secci´ on Implementaci´ on.

2.

El comando Ruffini

Este comando abre un entorno pspicture y dibuja los coeficientes de la divisi´ on. La sintaxis del comando es la siguiente: \Ruffini(an)(an−1 )· · · (a0 )[a] donde an , an−1 , · · · , a0 son los coeficientes del polinomio dividendo y a es el opuesto del t´ermino independiente del polinomio divisor, es decir, el comando har´ a la siguiente divisi´on: (an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ) : (x − a) Cada coeficiente del dividendo ha de escribirse entre par´entesis y el t´ermino a entre corchetes. Todos estos n´ umeros han de ser n´ umeros enteros. Por ejemplo, el c´ odigo de la derecha produce el esquema de la izquierda: 1 1 1

−3

3

1

1

−2

1

−2

1

2

\Ruffini(1)(-3)(3)(1)[1]

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Como se observa en el ejemplo anterior, el comando \Ruffini no s´ olo coloca los coeficientes en su lugar. Adem´as realiza la divisi´on y separa el resto del cociente mediante medio rect´ angulo, lo que sin duda ser´ a de gran ayuda para muchos profesores.

3.

Cambiando la presentaci´ on

La presentaci´ on del esquema de la divisi´on de Ruffini esta sujeta al valor de determinadas magnitudes que el usuario puede cambiar a su gusto. Para realizar estos cambios se debe tener en cuenta que el origen de coordenadas del dibujo se encuentra situado en el punto de corte de las l´ıneas vertical y horizontal. Los cambios posibles se realizan modificando el valor de las siguientes longitudes (hay que asignarles un valor, por tanto, seguido de una unidad). Para modificar cualquiera de ellas hay que escribir antes del comando el nombre de la longitud, un signo igual y el nuevo valor. Por ejemplo: \Xdivisor=1cm. \Xdivisor e \Ydivisor. Son las coordenadas del punto donde se situar´ a el valor a. \Ydividendo. Es la altura de la fila que contiene los coeficientes del dividendo. Existe tambi´en un \Xdividendo, pero debe cambiarse con mucha atenci´ on. Corresponde al valor horizontal donde comienza la fila del dividendo menos una cierta longitud llamada \sepnumeros que se explicar´ a m´ as adelante. \Ycociente. Es la altura de la segunda fila del esquema. El nombre de cociente no es demasiado adecuado quiz´a. Tambi´en existe un \Xcociente al que le valen los mismos comentarios hechos m´ as arriba. \Yresto. Es la altura de la fila inferior del esquema. Tampoco este nombre parece muy afortunado. Existe tambi´en un \Xresto para el que siguen siendo v´alidas las precauciones dichas anteriormente. \Alto. Es la altura sobre el origen de coordenadas de la l´ınea vertical del esquema. \prolongarabajo. Es la distancia por debajo del origen a la que empieza a dibujarse la l´ınea vertical del esquema. Es decir, la l´ınea vertical se dibuja desde el punto (0,-\prolongarabajo) hasta el punto (0, \Alto). \prolongarizquierda. Es la distancia a la izquierda del origen a la que empieza a dibujarse la l´ınea horizontal del esquema. Es decir, la l´ınea horizontal se dibuja desde el punto (-\prolongarizquierda,0)

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hasta el punto (\Ancho, 0). El valor de \Ancho es calculado autom´ aticamente y depende del n´ umero de coeficientes del dividendo y de la longitud \sepnumeros. \sepnumeros. Es la separaci´on entre los coeficientes de las tres l´ıneas del esquema. \anchuraresto y \alturaresto. Se trata de las longitudes de las l´ıneas que separan el resto de la divisi´on del cociente. Longitud \Xdivisor \Ydivisor \Xdividendo \Ydividendo \Xcociente \Ycociente \Xresto \Yresto \Alto \prolongarabajo \prolongarizquierda \sepnumeros \anchuraresto \alturaresto

4.

Valor por defecto −.5cm .5cm −.5cm 1.5cm −.5cm .5cm −.5cm −.5cm 2cm 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm

Ejemplo 1

−3

3

1

1

1 −2

−2 1

1 2

1

\Xdivisor=-.25cm% \Ydivisor=.25cm% \Ydividendo=1.2cm% \Ycociente=.25cm% \Yresto=-.25cm% \Alto=1.5cm% \prolongarabajo=.25cm% \prolongarizquierda=.25cm% \sepnumeros=1.5cm% \anchuraresto=.75cm% \alturaresto=.5cm% \Ruffini(1)(-3)(3)(1)[1]

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5.

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Implementaci´ on Para que est´e el comando disponible tiene dos opciones: Copie el c´ odigo que aparece m´ as abajo en el pre´ ambulo de cualquier documento .tex en el que vaya a usarlo. Incluya el c´ odigo en su documento de comandos habitual y luego (en el pre´ ambulo o el cuerpo) ins´ertelo mediante inputdocumentocomandos.tex. El c´ odigo que hay que copiar es el siguiente:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% CONTADORES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcount\cociente \newcount\resto \newcount\dividendo \newcount\divisor \newcount\numterminos \newcount\primertermino %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% VALORES INICALES DE CONTADORES %%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \numterminos=0 \primertermino=0 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% LONGITUDES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newdimen\Xdivisor \newdimen\Ydivisor \newdimen\Xresto \newdimen\Yresto \newdimen\Xcociente \newdimen\Ycociente \newdimen\Xdividendo \newdimen\Ydividendo \newdimen\Ancho \newdimen\Alto \newdimen\prolongarizquierda 4

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\newdimen\prolongarabajo \newdimen\sepnumeros \newdimen\comienzorayaresto \newdimen\alturaresto \newdimen\anchuraresto %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% VALORES INICALES DE LONGITUDES %%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \Xdivisor=-.5cm \Ydivisor=.5cm \Xresto=-.5cm \Yresto=-.5cm \Xcociente=-.5cm \Ycociente=.5cm \Xdividendo=-.5cm \Ydividendo=1.5cm \anchuraresto=1cm \alturaresto=1cm \prolongarizquierda=1cm \prolongarabajo=1cm \Alto=2cm \sepnumeros=1cm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% COMANDOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\rayavertical{% \psline(0,-\prolongarabajo)(0,\Alto)} \def\rayahorizontal{% \Ancho=\sepnumeros \multiply\Ancho by \numterminos \psline(-\prolongarizquierda,0)% (\Ancho,0)} \def\rayaresto{% \comienzorayaresto=\Ancho \advance\comienzorayaresto by -\anchuraresto \psline(\comienzorayaresto,0)% (\comienzorayaresto,-\alturaresto)% (\Ancho,-\alturaresto)}

\def\Ruffini(#1)[#2]{% \contar(#1) \divisor=#2 \abredibujo \rput(\Xdivisor,\Ydivisor){$\the\divisor$} 5

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\rayavertical \rayahorizontal \primertermino=1 \pondividendo(#1)} \def\contar(#1){% \advance\numterminos by 1 \contarsiguiente} \def\contarfin{} \makeatletter \def\contarsiguiente{% \@ifnextchar ( {\contar}{\contarfin}% } \makeatother \def\pondividendo(#1){% \advance\Xdividendo by \sepnumeros \advance\Xcociente by \sepnumeros \dividendo=#1% \advance\Xresto by \sepnumeros \ifnum \primertermino=1 \resto=\dividendo% \cociente=0 \primertermino=2% \else% \cociente=\resto \multiply\cociente by \divisor% \resto=\dividendo \advance\resto by \cociente \fi% \rput(\Xdividendo,\Ydividendo){$\the\dividendo$} \ifnum \primertermino=2 \primertermino=3 \else \rput(\Xcociente,\Ycociente){$\the\cociente$} \fi% \rput(\Xresto,\Yresto){$\the\resto$}% \dividendosiguiente} \def\abredibujo{% \begin{pspicture}% (-\prolongarizquierda,-\prolongarabajo)(\Ancho,\Alto)} \def\cierradibujo{% \end{pspicture}} \makeatletter \def\dividendosiguiente{% \@ifnextchar ( {\pondividendo}{\divisionfin}% 6

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} \makeatother \def\divisionfin{% \rayaresto \cierradibujo}

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