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• Duvan Bayona

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PÁGINA 190 6) A continuación se da una serie de experimentos y su variable aleatoria correspondiente. En cada caso determine qué valores toma la variable aleatoria y diga si se trata de una variable aleatoria discreta o continua. Experimento a) Hacer un examen con 20 preguntas. b) Observar los automóviles que llegan a una caseta de peaje en una hora. c) Revisar 50 declaraciones de impuestos. d) Observar trabajar a un empleado. e) Pesar un envío. a) b) c) d) e)

Variable aleatoria (x) Número de preguntas contestadas correctamente. Número de automóviles que llegan a la caseta de peaje. Número de declaraciones que tienen algún error. Número de horas no productivas en una jornada de 8 horas. Número de libras.

Es una variable aleatoria discreta; x≥ 0 Es una variable aleatoria discreta; x ≥ 0 Es una variable aleatoria discreta; x ≥ 0 Es una variable aleatoria continua; 0 ≤ x ≤ 8 Es una variable aleatoria continua; x mayor a cero

PÁGINA 194 9) En Estados Unidos 38% de los niños de cuarto grado no pueden leer un libro adecuado a su edad. La tabla siguiente muestra, de acuerdo con las edades, el número de niños que tienen problemas de lectura. La mayoría de estos niños tienen problemas de lectura que debieron ser detectados y corregidos antes del tercer grado. edad (x) 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Número de niños 37,369 87,436 160,84 239,719 286,719 306,533 310,787 302,604 289,168

Si desea tomar una muestra de niños que tienen problemas de lectura para que participen en un programa que mejora las habilidades de lectura. Sea x la variable aleatoria que indica la edad de un niño tomado en forma aleatoria. a) Con estos datos elabore una distribución de probabilidad para x. Especifique los valores de la variable aleatoria y los correspondientes valores de la función de probabilidad f(x).  X: edad.  f(x): Número de niños

edad (x) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Total

Número de niños 37,369 87,436 160,84 239,719 286,719 306,533 310,787 302,604 289,168 2021,175

f(x) 0,01848875 0,04325998 0,07957747 0,11860378 0,14185758 0,15166079 0,15376551 0,14971687 0,14306925 1

PROBAILIDAD

b) Trace la gráfica de esta distribución de probabilidad. 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

distribución de probabilidad

6

7

8

9

10 11 12 13 14 EDAD

c) Muestre que la distribución de probabilidad satisface las ecuaciones (5.1) y (5.2)

f(x) 0,01848875 0,04325998 0,07957747 0,11860378 0,14185758 0,15166079 0,15376551 0,14971687 0,14306925 1

PÁGINA 199 22. La demanda de un producto de una empresa varía enormemente de mes a mes. La distribución de probabilidad que se presenta en la tabla siguiente, basada en los datos de los dos últimos años, muestra la demanda mensual de la empresa. DEMANDA UNITARIA 300 400 500 600

PROBABILIDAD 0,2 0,3 0,35 0,15

a) Si la empresa basa las órdenes mensuales en el valor esperado de la demanda mensual, ¿cuál será la cantidad ordenada mensualmente por la empresa para este producto? 𝐸(𝑋) = 𝜇 = ∑ 𝑋𝑓(𝑥) DEMANDA UNITARIA (x) 300 400 500 600

PROBABILIDAD f(x) 0,2 0,3 0,35 0,15 1

µ 60 120 175 90 445

Respuesta: la cantidad ordenada mensualmente por la empresa para este producto es de 445 unidades. b) Suponga que cada unidad demandada genera $70 de ganancia y que cada unidad ordenada cuesta $50. ¿Cuánto ganará o perderá la empresa en un mes si coloca una orden con base en su respuesta al inciso a y la demanda real de este artículo es de 300 unidades? PÉRDIDA= TOTAL- GANANCIA PÉRDIDA= (445*50)-(300*70) = $ 1250 perdida Respuesta: La empresa perderá $ 1250 y ganará $ 21000

PÁGINA 209 28) Una encuesta de Harris Interactive para Inter Continental Hoteld and Resorts preguntó: “Cuando viaja al extranjero, ¿suele aventurarse usted solo para conocer la cultura o prefiere permanecer con el grupo de su tour y apegarse al itinerario?” Se encontró que 23% prefiere permanecer con el grupo de su tour (USA Today, 21 de enero de 2004). a. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de seis viajeros, dos prefieran permanecer con su grupo? P(X=2): (6C2) (0,23)² (0,77)⁴ P(X=2): 0,2789 Respuesta: la probabilidad de que dos viajeros quieran permanecer en su grupo es de 0,2789, es decir, 27%. b. ¿De que en una muestra de seis viajeros, por lo menos dos prefieran permanecer con su grupo? P(X≥2): 1-[P(X=0)+P(X=1) P(X≥2): 1-[(6C0) (0,23)º (0,77)⁶ + (6C1)(0,23)¹ (0,77)⁵] P(X≥2): 1-[0,2084+0,3735] P(X≥2): 0,4181. Respuesta: la probabilidad de que por lo menos dos viajeros prefieran permanecer con su grupo es de 0,4181, es decir, 41% c. De que en una muestra de 10 viajeros, ninguno prefiera permanecer con su grupo P(X=0): (10C0) (0,23)º (0,77)¹º P(X=0): 0,0733 Respuesta: la probabilidad de que de 0 viajeros de 10 quiera estar con su grupo, es de 0,0733, es decir, 7,3%.

PÁGINA 214 43. Los pasajeros de las aerolíneas llegan en forma aleatoria e independiente al mostrador de revisión de pasajeros. La tasa media de llegada es 10 pasajeros por minuto. a. Calcule la probabilidad de que no llegue ningún pasajero en un lapso de un minuto. 100 ∗ 𝑒 −10 𝑃(𝑋 = 0) = 0! P(X=0): 0,0000453 Respuesta: la probabilidad de que no llegue ningún pasajero en un lapso de un minuto, es de 0,0000453. b. Calcule la probabilidad de que lleguen tres o menos pasajeros en un lapso de un minuto 102 𝑒 −10 101 𝑒 −10 100 𝑒 −10 𝑃(𝑋 ≤ 3): ⌊( )+( )+( )⌋ 2! 1! 0! P(x≤3): 2,7693x10^-3 Respuesta: la probabilidad de que lleguen tres o menos pasajeros en un lapso de un minuto es de 0,0027693 c. De que no llegue ningún pasajero en un lapso de 15 segundos µ: 2,5 pasajeros por 15 segundos 𝑃(𝑋 = 0) =

2,50 ∗ 𝑒 −2,5 0!

P(x=0): 0,0820 Respuesta: La probabilidad de que no llegue ningún pasajero en un lapso de 15 segundos es de 0,0820, es decir, 8%. d. De que llegue por lo menos un pasajero en un lapso de 15 segundos. µ: 2,5 pasajeros por 15 segundos P(x≥1): 1- P(x=0)

𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 −

2,50 ∗ 𝑒 −2,5 0!

P(x≥1): 0,9179 Respuesta: La probabilidad de que por lo menos llegue un pasajero en un lapso de 15 segundos es de 0,9179, es decir, 91,79%.

PÁGINA 231 4. La mayoría de los lenguajes de computadora tienen una función para generar números aleatorios. En Excel, la función ALEATORIO se usa para generar números aleatorios entre 0 y 1. Si x denota un número aleatorio generado mediante ALEATORIO, entonces x es una variable aleatoria continua, cuya función de densidad de probabilidad es la siguiente. {

1 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 0 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

a. Haga la gráfica de la función de densidad de probabilidad

b. b. ¿Cuál es la probabilidad de generar un número aleatorio entre 0.25 y 0.75? P(0,25